Oceňování finančních derivátů
Martin Kolář
Implikovaná volatilita
Mezi všemi parametry Black-Scholesova modelu, tedy
S0, K, T, r, a,
je a je jediný parametr, který nelze pozorovat. Existují dva základní způsoby počítání s volatilitou:
- odhad z historických dat
-používání implikované volatility
Volatilita a měří naši nejistotu ohledně zisku z akcie Black-Scholesově modelu předpokládáme
dSt = /iStdt + aStdWt
tedy
dS,
= ndt + adWt
Z Itôova lemmatu dostaneme
St = S0 exp
aWT - — T + iiT
odtud zlogaritmováním
a2
In ST - In So = aWT - — T +
In St — In Sq má tedy rozdělení
2
odpovídající Brownově pohybu s driftem.
Odtud plyne že InSy- má strední hodnotu
lnS0+ ^/i- y^j T
a rozptyl a2 7". Náhodná veličina St má log-normáln rozdělení, jinak řečeno, InSy- má normální rozdělení.
□ ť3? -
Máme
a x má rozdělení
Střední směrodatná odchylka x je tedy
Definice: Veličina x se nazývá míra zisku akcie,
Měření volatility
Volatilita je míra nejistoty o výnosech akcie. Typické hodnoty a jsou 0,15 - 0,60.
Z předchozího víme, že x ~ N ^ — y, y-J, tedy a je střední směrodatná odchylka míry zisku akcie za 1 rok. Pro malé T =At máme
^ ~ A/(/iAŕ,a2Aŕ).
Odtud plyne, že a\[Ť je tedy strední směrodatná odchýlke relativní změny ceny akcie za čas T. Příklad: Necht a = 0, 3 (30% ročně) a 50 = 50 Kč. Střední směrodatná odchylka procentuální změny ceny akc za 1 týden je pak
30 'xlh = 4'16%-
Tedy pohyb o 1 odchylku je 50 • 0, 0416 = 2, 08 Kč.
Odhad volatility z historických dat Označme
n + 1   ...    počet pozorování
Si   ...    cena akcie na konci /-tého intervalu, / = 0,1,..., n r   ...    délka časového intervalu v letech
Dále necht
Ui = ln(
Si-!
a necht s je strední směrodatná odchylka ut
11
kde u je strední hodnota u,.
□ ť3? - =
Víme, že střední směrodatná odchylka u\ je a • yjř a je tedy odhadem o\/~ř. Odhad a je pak
Obchodní x kalendářní dny:
V praxi se ignorují dny, ve kterých se neobchoduje, tedy
volatilita za rok = vol. za 1 obch. den • ^/počet obch. dnů za rok.
Životnost opce se s touto konvencí počítá jako
počet obch. dnů do expirace počet obch. dnů za rok (=252)
Implikovaná volatilita a volatility smile
Připomeňme, že podle předpokladů Black-Scholesova modelu ceny akcie sledují geometrický Brownův pohyb, tedy pravděpodobnostní rozdělení cen akcie St je lognormální.
Empirické výsledky naopak ukazují významnou odchylku od tohoto předpokladu. Následující tabulka obsahuje procenta dnů kdy pohyby kursů jsou větší než 1, 2, 3, 4, 5, 6 středních směrodatných odchylek.
	realita (% dnů)	lognormální B.-S. model (% dnů)
> 1 sso	25,00	32,00
> 2 SSO	5,00	5,00
> 3 SSO	1,30	0,27
> 4 SSO	0,30	0,01
> 5 SSO	0,08	0,00
> 6 SSO	0,03	0,00
Jak toho využít? V začátcích používání Black-Scholesova
vzorce šlo na této velké odchylce profitovat.
Stačilo nakoupit opce hluboko mimo peníze, podle Black-Scholesova modelu jsou velmi levné, a čekat.
Protože velké výkyvy mají daleko větší pravděpodobnost než v lognormálním modelu, některé opce se dostaly do peněz.
Při použití Black-Scholesova modelu v praxi se dovolí, aby volatilita závisela na realizační ceně opce a čase do expirace.
Ze skutečných tržních cen opcí dopočítáme volatilitu v Black-Scholesově vzorci, která vede k této ceně. To je implikovaná volatilita.
Pokud by Black-Scholesův model beze zbytku platil, pak by tato volatilita byla stejná pro všechny realizační ceny K. Ve skutečnosti ale a závisí na K (volatility smile, skew).
Tvar této závislosti závisí na povaze podkladového aktiva. Budeme uvažovat dva základní případy.
Opce na směnné kurzy
Připomeňme, že hodnota opce v čase t = 0 je rovna diskontovanému očekávání hodnoty opce v čase expirace t = 7", vzhledem k risk-neutrální pravděpodobnostní míře.
Levý i pravý chvost skutečného rozdělení je "těžší' (větší) než u lognormálního rozdělení.
Uvažujeme call opci s realizační cenou K2. Opce bude v penězích pro Sj > K2. Pravděpodobnost toho, že St > K2 je větší pro skutečné rozdělení než pro lognormální. Z toho plynou následující důsledky:
Větší pravděpodobnost ^> větší očekávání ^> větší cena opce ^> větší volatilita =^ zvednutí grafu implikované volatility ^> "půlka" volatility smile.
Tak dostaneme levou půlku volatility smile. Analogicky pro K\ uvažujeme put opci s realizační cenou K\. Z put-call parity plyne, že implikovaná volatilita je stejná pro put i call opci se stejnými parametry.
Stejným argumentem dostaneme druhou půlku volatility smile.
Opce na akcie
Levý chvost je u skutečného rozdělení větší než u lognormálního rozdělení, pravý chvost je menší.
Dostaneme tedy jen levou půlku volatility smile, celkově dostaneme graf směřující šikmo dolů, který se nazývá skew.
Ukazuje se, že velké rozšírení stejných jistící strategií sice snižuje riziko každému jednotlivému investorovi, ale vede naopak k větší volatilitě celého trhu.
Mechanismus který A-hedging působí funguje takto:
pohyb ceny nahoru ^> nákup ^> další růst ceny pohyb ceny dolů ^> prodej ^> další pokles
Jištění tedy zesiluje pohyb cen a tím zvyšuje celkovou volatilitu na trhu.
Plocha implikované volatility
Jak se ukazuje, u skutečných ceny opcí nezávisí implikovaná volatilita jen na realizační ceně, ale také na čase expirace. Tak vzniká "časová struktura" volatility (volatility term structure).
Volatilita bývá rostoucí funkcí času pokud je současná volatilita historicky nízká. Důvodem je očekávání investorů že dojde k jejímu nárůstu.
Naopak, pokud je současná volatilita historicky vysoká, pak volatita bude klesající funkcí času, opět kvůli očekávání jejího poklesu.
Plocha implikované volatility dává současně závislost implikované volatility na čase a na realizační ceně.
Když obchodník s opcemi chce ocenit nový opční kontrakt, požije príslušnou volatilitu kterou mu dává plocha implikován volatility.
Jednotlivými časovými řezy plochy volatility dostaneme volatility smiles pro různé doby expirace. Jak čas do expirace roste, volatility smile obvykle bývá méně výrazný.
V souvislosti s předchozími fakty se nabízí otázka jaká je reálná role Black-Scholesova modelu při praktickém oceňování opcí.
Podle některých názorů slouží především jako interpolační nástroj, který pomáhá k tomu, aby konkrétní opce (zejména OTC opce) byly oceněny konzistentně s ostatními opcemi dostupnými na trhu.
□ s