Oceňování finančních derivátů
Martin Kolář
Numeraire
Pojem numeraire zachycuje volbu jednotek které použijeme pro vyjádření ceny aktiva.
Necht f a g jsou ceny obchodovatelných aktiv, závisející na jednom zdroji nejistoty. Definice: Hodnota
g
se nazýva relativní cena f vzhledem ke g.
0 můžeme chápat jako cenu f vyjádřenou v jednotkách g, namísto korun.
Aktivum g se nazývá numeraire.
Věta: Za předpokladu neexistence arbitráže je 0 martingal pro nějakou volbu tržní ceny rizika. Touto volbou je volatilita g.
Důkaz: Necht volatility f a g jsou a ag. Z minulé rovnice máme (za tržní cenu rizika bereme volatilitu g, tedy ag):
df = (r + ag- df) f dt + af f dW dg = (r + ag2) g dt + ag g dW.
Itôovo lemma (použité na funkci In) dává
din f = ( r + ag • af -       \ dt + afdW
ding" = ( r + ^f- ) dt + agáW.
Tedy
dí\nf-\ng\ = Le.<rf-?L--ZL- ) dř + [ af - ag ] dl/l/
d I In I - I I =       Vf-Vg ) dt+ [af-ag]áW.
g 2
Aplikací Itóova lemmatu na proces f- a funkci In dostaneme Tedy O = - je martingal.
Svět, ve kterém je cena rizika rovna volatilitě g, budeme
nazývat (Jorward)-risk-neutrálni vzhledem kg.
Podíl — je tedy martingal, odkud plyne g
gO \gT
fo = g0 E
f-
T
S-gT
kde Eg je očekávaná hodnota v risk-neutrálním světě vzhled ke g.
Volby numeraire:
1. Peněžní trh jako numeraire:
Peněžní trh je aktivum, které v čase t = 0 má hodnotu 1 Kč a získává okamžitou bezrizikovou míru r v libovolném čase, (kde r může být stochastické). Je-li g hodnota peněžního trhu, pak
dg = r • g • dř
Drift je stochastický, ale volatilita g je rovna 0.
□    si ► ^ i ► < i i
V risk-neutrálním světě vzhledem ke g je tedy cena rizika
rovna 0, nebot fi = r.
Máme
fo=goV , kde E je očekávání ve standardním risk-neutrálním světě.
go = l   a   gT = e& rdt
tedy
ŕ0 = É(V^dŕ.ŕT)
neboli
kde
1
T
r = — / rdt ' Jo
je aritmetický průměr hodnoty r mezi časy 0 a 7~.
2. Bezkuponový dluhopis jako numeraire:
Necht P(t, 7") je cena v čase t bezkuponového dluhopisu, který vyplatí 1$ v čase T. Položme g rovno P(t, 7"). E7- bude označovat očekávání ve světě, který je risk-neutrální vzhledem k P(t, 7").
Protože gT = P(7", 7") = 1 a g0 = P(0, 7"), rovnice
6 = »■ E, (£)
dává
/b = P(0, 7) • ET(/y)
-    - (IJ
Tedy oproti peněžnímu trhu je diskontovaní (pomocí P(0, 7")) mimo operátor očekávání.
To zjednoduší oceňování derivátů, které závisí jen na hodnotách v čase 7~.
□ e
Necht 6 je stochastická proměnná. Forwardový kontrakt na 6 se splatností v čase T je definován jako kontrakt s výplatou
6j — K
v čase 7", kde 6j je hodnota v čase T a K je realizační cena. Necht f označuje hodnotu kontraktu. Máme
f0 = P(0, T)-[ET(6T)-K]. Forwardová cena F je ta hodnota K, pro kterou je f0 = 0.
Tedy
P(0, T) ■ \ET{0T) - F] = O
odkud plyne
F = ET{9T).
Tedy forwardová cena proměnné 6 je očekávání budoucí ceny ve světě risk-neutrálním vzhledem k P(t, 7").
Rozšírení Black-Scholesova modelu pro stochastickou úrokovou míru
Uvažujeme evropskou call opci s časem expirace T. Podle (1) máme
C = P(0, T) • ET[max(ST - K, 0)], kde St je cena akcie v čase 7", K je realizační cena opce.
Necht R je zero rate (T-roční okamžitá úroková míra),
P(0, T) = e
-RT
tedy
C = e~RT .E7[max(ST- AC, 0)].
Předpokládejme, že Sj je lognormálnív risk-neutrálním světě vůči P(ř, 7") se střední směrodatnou odchylkou W. Dostaneme (jako při odvození standardního Black-Scholesova vzorce)
ET[max(5T - K, 0)] = ET(ST) • 0(cfi) - K • 0(cf2),
□    3    - =
kde
J _ \n[ET(ST)/K] + l/l/2/2        J _ \n[ET(ST)/K] - W2/2
Fjt{St) je forwardová cena akcie pro kontrakt se splatností v čase T. Z neexistence arbitráže plyne, že
Et(St) = 50 • e
rt
Celkem tedy
C = So • 0(c/i) - K ■ e~NI ■ <t>{d2),
kde
\n[S0/K] + RT+ l4/2/2 _ \n[S0/K] + RT - W2/2
dl ~ w '    d2 ~ W
Platí-li W = a • \[Ť, pak dostaneme přesně Black-Scholesův vzorec s r nahrazeným R.
Numerické metody oceňování evropských opcí
- Ukážeme si jak oceňovat evropské opce numericky.
- V tomto případě máme explicitní vzorec pro jejich hodnotu a numerické metody použít nemusíme.
- V případě amerických opcí ale nemáme jinou možnost než použít numerické metody.
- Ty jsou založeny právě na rozšíření příslušných numerických metod pro evropské opce.
Explicitní metoda
(2)
Black-Scholesovu rovnici nejdříve převedeme na standardní rovnici vedení tepla. Uvažujme tedy rovnici
d u d2 u ~di = d^
na oblasti R x (0, T), s počáteční podmínkou (transformovanou výplatní funkcí příslušné opce)
u(x,0) = ^(x) (3)
□        ifp - = -E     O Q, O
a pretransformovanými okrajovými podmínkami pro x ±00.
Například pro hodnotu call opce V(SJ t) platí V —> 0 pro S —> 0 a \/ —» S pro S —» 00.
□ e
Jako první krok budeme diskretizovat oblast K. x (0, 7").
Zvolíme prostorový krok h > 0 a časový krok k > 0.
Předpokládejme, že k = ^, jinak řečeno a?7 je počet dělících podintervalů intervalu (0, 7").
V oblasti IR x (0, 7") uvažujme sít mřížových bodů
x; = //?,    / G Z,        t; = j/c,   7 = 0,..., m.
Aproximaci řešení v mřížovém bodě (x,-, ťy) označme uj, tedy
w/ « u(x,-, íy). (5)
Parciální derivace budeme aproximovat diferencemi. Uvažujme Taylorův rozvoj 2. rádu v bodě (x,-, íy) . Máme X/+1 — x; = x; — x/_i = /7, tedy
9u,     ld2u ,9 ^/fox
l/(x/+i, ty) = 1/(X/, ŕy) + —/7 + - —/72 + 0(h3)
a analogicky
i/(x/_i, ŕy) = 1/(X/, ŕy) -Q^h + ~-^h2 + 0(/73).
Odečtením
du
u>!+1 - u*^ =        + 0{h*) (8)
' + 1
dx
a vydělením h
Q^„tj)--T (9)
s chybou 0(h2) pro h 0. To je aproximace první derivace pomocí centrální diference.
Sečtením rovnic (s přidáním členů 3. řádu, které se vyruší) dostaneme po úpravě a vydělení h2 aproximaci druhé derivace
Pro časovou derivaci použijeme aproximaci pomocí dopředně diference.
Máme
d u
u{xh tJ+1) = u(xh tj) + -^k+ 0{k2) (11)
Odtud
-(*, t,) « -^-^ (12)
s chybou 0(/c).
Dosazením aproximací do rovnice vedení tepla máme pro ^
4+ - 4 _     ~2uJi + 4-1
/c /72
(13)
s chybou 0(/c + h2) pro h,k ^ 0.
Tedy hodnotu na časové vrstvě j + 1 lze explicitně vyjádřit pomocí hodnot na vrstvě j,
"í+1 = Wí-i + (1 - 27)"í + 7"í+i, (14)