Oceňování finančních derivátů
Martin Kolář
Numerické metody oceňování evropských opcí
- Ukážeme si jak oceňovat evropské opce numericky.
- V tomto případě máme explicitní vzorec pro jejich hodnotu a numerické metody použít nemusíme.
- V případě amerických opcí ale nemáme jinou možnost než použít numerické metody.
- Ty jsou založeny právě na rozšíření příslušných numerických metod pro evropské opce.
Explicitní metoda
(i)
Black-Scholesovu rovnici nejdříve prevedenie na standardní rovnici vedení tepla. Uvažujme tedy rovnici
d u d2 u ~di = d^
na oblasti R x (0, T), s počáteční podmínkou (transformovanou výplatní funkcí příslušné opce)
u(x,0) = #0 (2)
□       ifp        -        =        -E    O Q, O
a pretransformovanými okrajovými podmínkami pro x ±00.
Například pro hodnotu call opce V(SJ t) platí V —> 0 pro S —> 0 a \/ —» S pro S —» 00.
□ e
Jako první krok budeme diskretizovat oblast K. x (0, 7").
Zvolíme prostorový krok h > 0 a časový krok k > 0.
Předpokládejme, že k = ^, jinak řečeno a?7 je počet dělících podintervalů intervalu (0, 7").
V oblasti IR x (0, 7") uvažujme sít mřížových bodů
x; = //?,    / G Z,        t; = j/c,   7 = 0,..., m.
Aproximaci řešení v mřížovém bodě (x,-, ťy) označme uj, tedy
"í ~ "(*/, tj). (4)
Parciální derivace budeme aproximovat diferencemi. Uvažujme Taylorův rozvoj 2. rádu v bodě (x,-, íy) . Máme X/+1 — x; = x; — x/_i = /7, tedy
9u,     ld2u ,9 ^/fox
l/(x/+i, ty) = 1/(X/, ŕy) + —/7 + - —/72 + 0(h3)
a analogicky
i/(x/_i, ŕy) = 1/(X/, ŕy) -Q^h + ~-^h2 + 0(/73).
Odečtením
du
u>!+1 - u*^ =        + 0{h*) (7)
' + 1
dx
a vydělením h
ě> t;) - (8)
s chybou 0(h2) pro h ^ 0. To je aproximace první derivace pomocí centrální diference.
Sečtením rovnic (s pridaním členů 3. rádu, které se vyruší) dostaneme po úpravě a vydělení h2 aproximaci druhé derivace
tj)) « <1Z24±±L. (9)
Pro časovou derivaci použijeme aproximaci pomocí dopředně diference.
Máme
d u
u(xh tj+1) = u(xh tj) + -Q-tk+ °(/í } (10)
Odtud
du í/Í+1 — \J-
-(*„ t,) « ^-L (11)
s chybou O(k).
Dosazením aproximací do rovnice vedení tepla máme pro ^
4+ - 4 _     ~2uJi + 4-1
/C /72
(12)
s chybou 0(/c + h2) pro h,k ^ 0.
Tedy hodnotu na časové vrstvě j + 1 lze explicitně vyjádřit pomocí hodnot na vrstvě j,
"í+1 = Wí-i + (1 - 27)"í + 7"í+i, (13)
Pro konečnost výpočtu musíme ještě omezit obor proměnné x.
Zvolíme N tak velké, abychom hraniční hodnoty uJ_N a u^N mohli aproximovat pomocí okrajových podmínek.
Označme \ý vektor řešení na časové vrstvě j, tedy
u1 = (^i/v+i, • • •, ^-i, Uq, "í, ..., 1/^-1) (14)
je vektor v IR
.2A/-1
V maticovém zápisu tak dostaneme
uJ+1 = Air +
pro j = 0,..., m — 1, kde A je tridiagonální matice tvaru
/ I-27 7
7      I — 27 7
>4 =
\
V
7
•    • •
•    • •
7
7
1-27 y
o
o
Pokud platí takzvaná Courant-Lewy-Fridrichsova podmínka
stability
0<7<^ (18)
tedy
pak je explicitní metoda stabilní. To znamená, že přibližná řešení konvergují pro h, k     0 k přesnému řešení.
Metoda binomického stromu
Pokud zvolíme
h = VŤk (20)
bude 7 = | a člen s koeficientem 1 — 27 = 0 vypadne Metoda pak má tvar
"T =ô"Í-i + ô"Í+i> (21)
2
tedy Uy    je aritmetický průměr hodnot řešení ve vrstvě tj. Výpočet je tedy analogický jako u binomického modelu.
^□^ ^I^ ZI      'O Q,
Implicitní metoda
V implicitní metodě pro aproximaci časové derivace namísto dopředně diference použijeme zpětnou diferenci,
-(*, tj) « (22)
s chybou O(k). Tedy ^ splňuje rovnici
4 - 4 = "í+i -2^ + "í-i
opět s chybou 0(/c + h2) pro /7, /c —> 0.
(23)
Tedy
-7iií_! + (1 + 27H - 7^+i = "f1 (24)
+i
kde 7 = ^. Omezíme se opět na konečnou posloupnost prostorových bodů x,-, / = — A/ + 1,... N — 1. Pak dostaneme
soustavu rovnic
>W+1 = i/ + /y (25)
pro j = 0,... m — 1, kterou vyřešíme vhodnou numerickou metodou (obvykle iterační metodou, viz. níže).
v tomto případě matice
/ I + 27 7
7      I + 27 7
4 =
7
•    • •
V
•    • •
7
7
□ i5P
a Ď je vektor
v =
o
o
(27)
V 1< )
kde hodnoty řešení v krajních bodech x_/v a x n aproximujeme
pomocí okrajových podmínek.
- Hlavní výhodou implicitní metody je stabilita pro libovol hodnotu 7.
- Posloupnost přibližných řešení tedy vždy konverguje k přesnému řešení.
- Matice A je opět tridiagonální, ale navíc je diagonálně dominantní pro libovolné 7.
Iterační metoda řešení soustav lineárních rovnic
- Ukážeme si iterační metodu řešení systému lineárních rovnic, nazývanou SOR metoda
- lze ji adaptovat i na řešení úloh lineární komplementarity, na které vede oceňování amerických opcí.
Necht uj > O je zvolený parametr (tzv. relaxační parametr). Necht
A= L+D+U (28)
je rozklad matice A na diagonální část (D) a dolní a horní trojúhelníkovou matici (L a U).
Chceme řešit rovnici
Au = b. (29)
To je ekvivalentní rovnici
Du = Du + uj(b- Au). (30)
Z rozkladu A = L + D + U dostaneme
(D + LoL)u = (l-oj)Du-LoUu + Lob. (31)
Matice D + uiL je invertovatelná, tedy u řeší úlohu
u=Tuu + cu (32)
kde
Tu = {D + uL)-1{{l-u;)D-u;U) (33)
cu =uj{D + ujL)-1b. (34)
Pomocí matice Tu definujeme rekurentní posloupnost přibližných řešení úlohy Au = b,
u°=C
pro zvolený vektor C (např. C = 0) a
up+1 = T„up + c„
pro p = 1, 2,...,
Pokud posloupnost up konverguje k nějakému vektoru u, pak zřejmě platí
u= T^u + Cu, (37) tedy u je řešení původní úlohy Au = b.
Konvergenci dostaneme pomocí Banachovy věty o kontrakci. Pokud dokážeme, že ve vhodné normě (např. spektrální, kdy je norma rovna maximu z absolutních hodnot vlastních čísel)
pak zobrazení
je kontrakce
Tu  < 1,
(38)
u —> Tuu + q
(39)
Platí následující věta:
Věta: Pro tridiagonální diagonálně dominantní matici existuje ujo G (1,2) pro které je spektrální norma minimální, a platí
Tt, ?n        *\    1 •
^0
(40)
SOR - Succesive OverRelaxation, neboř u > 1
- Stačí velmi málo iterací pro dobrou aproximaci řešení