MIN101 Matematika I - příklady počítané na cvičení (podzimní semestr 2021) 1 1. týden — komplexní čísla a zbytkové třídy Cvičení konané 15. 9. 2021. 2 2. týden — diferenční rovnice, kombinatorika Cvičení konané 22. 9. 2021. Příklad 2.1: (Příklady 1.27 a 1.28 z Drsné matematiky.) Mirek si chce koupit nové auto, které stojí 300 000 č. Mirek by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu nabízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. (i) Mirek by chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? (ii) Jak dlouho by Mirek auto splácel, kdyby chtěl měsíčně splácet 5000 Kč? Příklad 2.2: Na schůzi má promluvit pět řečníků A,B,C,D,E (každý právě jednou). (i) Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení. (ii) Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení, má-li řečník B promluvit bezprostředně po A. (iii) Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení, má-li řečník B promluvit až poté, co promluvil řečník A. Příklad 2.3: Kolik čtyřciferných přirozených čísel s navzájem různými ciframi lze sestavit z cifer (i) 1, 2, 3, 4 (ii) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (iii) 0, 1, 2, 3, 4, 5. Kolik z nich je sudých? Kolik z nich je dělitelných čtyřmi? Příklad 2.4: Mezi 6 dětí rozdělujeme 15 (stejných) tenisových míčků. Určete počet všech možných rozdělení. Určete počet všech rozdělení, při kterých každé dítě dostane aspoň jeden míček. Příklad 2.5: Pro libovolné pevné A;, n G N určete počet všech řešení rovnice xi + x2 + ... + xk = n v množině celých nezáporných čísel (resp. v množině přirozených čísel). Příklad 2.6: Pro libovolné pevné k,n G N určete počet všech řešení nerovnice xi + x2 + ... + xk < n v množině celých nezáporných čísel (resp. v množině přirozených čísel). Příklad 2.7: (Příklady 1.36 z Drsné matematiky.) Do řady v kině o 2n místech je náhodně rozmístěno n mužů a n žen. Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe? 3 3. týden — pravděpodobnost Cvičení konané 29. 9. 2021. Příklad 3.1: Ve zprávě školy jsou uvedeny následující údaje. Dokažte, že tato zpráva je chybná. • Do ročníku chodí 45 dětí, z toho 30 chlapců. • 30 dětí má dobrý prospěch, z nich je 16 chlapců. • 28 dětí sportuje, z toho 18 chlapců a 17 dětí s dobrým prospěchem. • 15 chlapců má dobrý prospěch a zároveň sportuje. Příklad 3.2: Dvě kostky mají netradičně popsané stěny - jedna má čísla 113366 a druhá 223444. Která z nich bude „častěji" vítězit? Přesněji řečeno, určete pravděpodobnost vítězství první kostky, pravděpodobnost remízy a pravděpodobnost vítězství druhé kostky. (Pozn.: Když přidáme třetí kostku s čísly 113555, kostky se „navzájem porazí".) Příklad 3.3: Hodíme červenou a modrou (standardní) kostkou a uvažujeme následující jevy: • Jev A: součet na kostkách je dělitelný třemi. • Jev B: na kostkách jsou stejná čísla. • Jev C: na červené kostce je vyšší číslo než na modré. Rozhodněte, zda jsou tyto jevy stochasticky nezávislé. Příklad 3.4: Karel má ve skříni jsou 2 zelené, 6 modrých a 6 černých ponožek. • Ráno Karel náhodně vytáhne ze skříně 2 ponožky. Jaká je pravděpodobnost, že budou mít stejnou barvu? • Karel přijde ke skříni druhý den a opět vytáhne 2 ponožky (špinavé se do skříně nevrací). S jakou pravděpodbností vytáhne dvě stejnobarevné za předpokladu, že první den vytáhl dvě stejnobarevné? Příklad 3.5: Následující příklady řešte pomocí geometrické pravděpodobnosti: (i) V kruhové ohradě s kůlem uprostřed je zavřený kůň (jehož výskyt je náhodný). Jaká je pravděpodobnost, že je kůň blíž ke středovému kůlu než k ohradě? (ii) Kůň je v obdélníkové ohradě, u jejíž jedné strany stojí pozorovatel. Jaká je pravděpodobnost, že je kůň nejblíž ke straně s pozorovatelem? Příklad 3.6: Když zbyde čas, budeme násobit matice. 4 4. týden — geometrie v rovině Cvičení konané 6. 10. 2021. Příklad 4.1: Určete matici An pro n G N, kde Příklad 4.2: (Příklad 1.51 z Drsné matematiky.) Jsou dány přímky p : [2, 0] + í(3, 2), ŕ G IR a q : [-1, 2] + s(l, 3), s G R Naůezněte průsečík těchto přímek a určete obecnou rovnici přímky p. Příklad 4.3: (Příklad 1.53 z Drsné matematiky.) Najděte obecnou rovnici přímky p, jež prochází bodem [2, 3] a je rovnoběžná s přímkou x — 3y + 2 = 0. Dále určete parametrickou rovnici přímky q procházející body [1,3] a [—2,1]. Příklad 4.4: Je dán trojúhelník ABC, kde A = [1,1], B = [3, 2] a C = [-4,6]. (i) Určete obsah trojúhelníku ABC. (ii) Určete vnitřní úhly. (iii) Je bod R = [0,4] uvnitř trojúhelníka? (iv) Které strany (resp. vrcholy) jsou viditelné z bodu P = [—8,9]? Příklad 4.5: V čase t = 0 vyslal hráč v bodě [0,0] puk na prázdnou bránu ve (správném) směru (10, 30) rychlostí 10 m/s. O 0, 5 s později protihráč v bodě [20,10] hodil hokejku délky y/2 ve směru (—10,10) také rychlostí 10 m/s. (V čase t\ = 0,5 s je v bodě [20,10] začátek hokejky.) Zamezí hozená hokejka pohybu puku do prázdné brány? Příklad 4.6: Mějme pravidelný šestiúhelník se středem v počátku [0,0], přičemž jeden z vrcholů je [20, 0]. Určete jeho ostatní vrcholy. že p je ekvivalencí na Z \ {0} a popište rozklad (Z \ {0})/p. Příklad 5.2: Na množině IR x IR je definována relace p. Dokažte, že p je relace ekvivalence a načrtněte, jak vypadá rozklad IR x M/p (zde IR x IR chápeme jako množinu všech bodů v rovině). Přitom pro (x, y), (ii,i))eRx8 je: 5 5. týden — relace Cvičení konané 20. 10. 2021. Příklad 5.1: Na množině Z\ {0} je relace p definována vztahem 0. Dokažte (ii) (x,y)p(u,v) y — v = 2{x — u). Příklad 5.3: Rozhodněte, zda jsou následující relace uspořádání, resp. lineární uspořádání na N. Je-li tomu naznačte Hasseovský diagram uspořádané množiny (N, d)'- (iii (iv (v (vi x d y -<=>- x = y, x d y •<=>- x < y, x d y •<=>- x < y, x d y -<=>- počet cifer čísla x je menší nebo roven počtu cifer čísla y, x d V ^==^ y = 4\/ x = y, xdy^(x = y)y(2j(xA 2\y) V (2\x + y A x < y). _Zde jsme skončili 6.10.2021 _ 6 6. týden — soustavy lineárních rovnic, vektorové prostory Cvičení konané 22. 10. a 27. 10. 2021. Příklad 6.1: Řešte soustavu rovnic 2a: i + 2x2 — x% + x5 = 3, — x1 — x2 + 2x3 — 3a:4 + rr5 = 0, xl + x2 — 2>x3 — x5 = 0, X3 + X4 + X5 = 1 Gaussovou eliminací (zpětné eliminace). Příklad 6.2: Řešte soustavu rovnic 7xi + 3x2 — x% = 1, —xi + 6a: 2 — 3x3 = 2, 50a:! + 15x2 — llx3 = 4. Pak najděte řešení příslušné zhomogenizované soustavy. Příklad 6.3: Najděte inverzní matice k maticím Příklad 6.4: Popište množinu řešení následující soustavy rovnic v závislosti na parametru a G R: axi + x2 + x3 = 1 X\ + ax2 + x3 = a xi + rr2 + ^3 = 1- Příklad 6.5: V IR4 jsou dány vektory Vl = (1,1,1,2), v2 = (-1,-1,1,2), v3 = (1,1,3,6), v4 = (3,3,1,2). (i) Vyberte z nich bázi a podprostoru (t'i, v2, 1*3, v 4) C IR4. Pak tuto bázi doplňte na nějakou bázi (3 podprostoru IR4. (ii) Určete souřadnice vektoru u = (5,4,2,4) v bázi (3. Příklad 6.6: Rozhodněte, zda je následující množina vektorovým podprostorem a případně najděte bázi a určete jeho dimenzi: (i) M,M' C MatZ2(R), M-{(o J) M'={(alb °)lfl'6GR}' (ii) Q,S CR4[x], Q = {f(x) | /(l) = 0 A /(2) = 0}, S = {g(x) \ g(x) = g(-x)}. Příklad 6.7: Mějme podprostory Q, S C K4[x] z předchozího příkladu. Určete bázi a dimenzi podprostoru Q + S a Q fl S* v IR4[:r]. 7 7. týden — skalární součin, lineární zobrazení Cvičení konané 18. 11. 2021. Příklad 7.1: Nalezněte ortogonální a ortonormální bázi prostoru V = (vi,v2,v3) C IR4, kde ^ = (1,1,1,1), v2 = (1,0,0,3), v3 = (1,2,1,0). Příklad 7.2: Napište matice následujícího lineárních zobrazení ip : IR3 —>• IR3 ve standardní bázi IR3: a) cp splňuje cp(l, 0,1) = (0,1, 0), IR2 danou předpisem / i—y (/(l),/(2)) ve standardních bazích těchto vektorových prostorů. 8 8. týden — determinanty, vlastní vektory Cvičení konané 25. 11. 2021. Příklad 8.1: Určete determinant matice /l 0 0 1\ 0 2 3 1 1 0 -1 1 V -3 1 Příklad 8.2: Určete vlastní vektory a čísla matice / 1 0 2 0 \ 0 3 0 -2 -3 0 6 0 \ 0 3 0 8 / 9 9. týden — vlastnosti lineárních zobrazení Cvičení konané 2. 12. 2021. Příklad 9.1: Určete, jaké lineární zobrazení zadává ortogonální matice Příklad 9.2: Určete, jaké lineární zobrazení zadává ortogonální matice _I _I\ 3 6 1 _ 1 3 3 _I 5 / 3 6 / Dále mějme rovinu p zadanou rovnicí (tj. implicitně) p : x\ — x% = 0. Určete obraz roviny p při zobrazení ip. 10 10. týden — lineární diferenční rovnice Cvičení konané 9. 12. 2021. Uvažme diferenční rovnici dkUn+k + dk-lUn+k-l + • • • + Olž/n+1 + ^Vn = P(n)an kde P(n) je nějaký polynom. Proto takovouto pravou stranu hledáme partikulární řešení ve tvaru Vn = Q(n)nran kde Q{n) je polynom stejného stupně jako P(n) a r je násobnost a jakožto kořene charakteristického polynomu aj,\k + a^iX^1 + ... + aľX + a0 = 0. (Jestliže a není kořenem, tak r = 0.) Příklad 10.1: Rešete následující lineární diferenční rovnice: a) ÍJn+2 — 5í/n+i+6yn = 0 s počátečními podmínkami y0 = 2 a y\ = 7. [Řešení: yn = 3n+1_2n.] b) yn+3 = %n+2 — 5yn+i + 2yn s počátečními podmínkami y0 = 3, y\ = 3 a y2 = 5. [Řešení: yn = l-2n + 2n+1.] Příklad 10.2: Najděte obecné řešení lineární diferenční rovnice yn+4 = yn+3 + Vn+i — Vn = 0. [Řešení: yn = C1 + C2n + C3 sin(^p) + C3 cos(^), d E R.] C Příklad 10.3: Řešte následující lineární diferenční rovnice: a) Vn + %n-i + 9í/n_2 = (n + 2)2n s počátečními podmínkami yo = y± = 0. b) yn + 6yn-i + %n-2 = 4(—3)n s počátečními podmínkami yo = yi = 0. [Řešení: í/n = 2n(n - l)(-3)n.] Příklad 10.4: Určete řešení lineární diferenciální rovnice yn+i — 2í/n+2 + yn = 3 s počátečními podmínkami y0 = 3, yx = y, y2 = §, y3 = y- [Řešení: yn = 2 + (-l)n + |n2] Příklad 10.5: Odvoďte vzorce pro součty a) sn = J2k=0 b) sn = J2k=0 k3. riS ' \ 1 3 i 1 2 i 1 n(n+l)(2n+l) /i \ 1 4 , 1 3 , 1 2 n2(n+l)2 i [Resem: a) sn = ±nó + + ±n = v ;6V—(b) sn = ±rr + ±nó + = —v 4_ ' .\ 11 11. týden — iterační procesy s nezápornými maticemi Cvičení konané 16. 12. 2021. Příklad 11.1: (Leslieho model růstu.) Mějme populaci ovcí rozdělenou do tří skupin: • jehňata (0-2 roky) - porodnost 1/2, úmrtnost 1/2 (na jedno jehně), • dospělé ovce (1-2 roky) - porodnost 3/2, úmrtnost 1/2 (na jednu dospělou ovci), • staré ovce (2-3 roky) - porodnost 1/2 (na jednu starou ovci), všechny staré ovce jdou na jatka. Popište dlouhodobý vývoj populace. Příklad 11.2: (Leslieho model růstu.) Mějme populaci ovcí rozdělenou do čtyř skupin: • jehňata (0-1 rok) - porodnost 0, úmrtnost 1/2 (na jedno jehně), • mladé ovce (1-2 roky) - porodnost 2, úmrtnost 1/2 (na jednu mladou ovci), • dospělé ovce (2-3 roky) - porodnost 4, úmrtnost 1/2 (na jednu dospělou ovci), • staré ovce (3-4 roky) - porodnost 2 (na jednu starou ovci), všechny staré ovce jdou na jatka. Farmář chce navíc prodávat jehňata na kožešinu. Jakou část jich má prodat, aby měl stabilní chov? A jaké pak bude rozložení populace? Příklad 11.3: (Markovův proces.) Malé dítě si hraje se 4 kostkami, snaží se z nich postavit věž. Když má rozházené kostky, tak se mu s pravděpodobností 1/2 podaří dát dvě kostky na sebe (věž výšky 2). Když má věž výšky 2 nebo 3, tak se mu podaří s pravděpodobností 1/2 přidat jednu kostku (výška se zvýší o 1) a s pravděpodobností 1/2 stávající věž zboří. Když má věž výšky 4, tak dítě radostně zatleská a věž zboří. Po dlouhé době se na dítě přijde podívat tatínek. S jakou pravděpodobností najde věž výšky 4 (nebo 3 nebo 2 nebo 1)? Příklad 11.4: Roztržitý profesor ztrácí s pravděpodobností 1/2 deštník všude, kam přijde, přičemž jeho denní trasa je každý den domov-práce-restaurace-práce-domov. S jakou pravděpodobností se bude deštník na Štědrý večer 2021 nacházet v restauraci? 12 12. týden — Jordánovy kanonické tvary Cvičení konané 6. 1. 2021. Příklad 12.1: Určete Jordánův kanonický tvar následujících matic A spolu s příslušnými transformačními maticemi. 13 13. týden — Afinní a Euklidovská geometrie Cvičení konané 13. 1. 2021. B F [1,0,0], C = [1,1,0], D [1,0,1], G =[1,1,1], H [0,1,0], [0,1,1]. Příklad 13.1: (a) Určete příčku mimoběžek DE a GH procházející bodem B. (b) Rozmyslete si příčku mimoběžek DE a GH procházející bodem C. (c) Určete vzdálenost přímek AF a EG. [Řešení: (a) příčka protíná přímku DE v bodě [—1,1,1] a přímku GH v bodě [0, |,|], (b) neexistuje, (c) ^.] Příklad 13.2: Určete vzdálenost bodu X = [1 3, 0,1] od podprostoru p: [1,0, 0,1]+r(l, 1,0,1)+ s(l, 0,1,-1)+t(2,1,2 0). [Řešení: : \/6.] Příklad 13.3: Určete vzájemnou polohu rovin (a) BEG a ACH, (a) BDE a AFH. Příklad 13.4: Určete odchylku (a) přímek AG a BD, (b) přímek AF a AH, (c) přímky CG a roviny BDE, (d) rovin AFG a BDE. [Řešení: (a) §, (b) f, (c) f - arccos^, (d) f.] Příklad 13.5: Určete objem čtyřstěnu (a) ABCE a (b) ACFH. [Řešení: (a) \, (b) ...]