Matematická analýza 1
Pojem funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 1 / 14
Funkce
Definice
Nechť jsou dány neprázdné množiny D ⊆ R, H ⊆ R. Předpis f, který
každému x ∈ D přiřazuje právě jedno y ∈ H, nazýváme funkcí jedné
proměnné. Tuto funkci označujeme
y = f(x).
Množina D se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f), množina
H se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f).
Co je na tom špatně?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 2 / 14
Zobrazení je základ
Definice
Kartézským součinem A × B dvou množin A a B rozumíme množinu
všech uspořádaných dvojic (x, y), kde x ∈ A a y ∈ B jsou libovolné
prvky.
Binární relací rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu
A × B. V případě, že A = B, používáme název binární relace na množině
A.
Definice
Relaci f ⊆ A × B nazveme zobrazením množiny A do množiny B,
jestliže platí, že ke každému prvku x ∈ A existuje právě jeden prvek
y ∈ B takový, že (x, y) ∈ f.
Množinu A nazýváme definiční obor f a značíme D(f). Množinu všech
prvků y ∈ B takových, že existuje x ∈ A s vlastností (x, y) ∈ f,
nazýváme obor hodnot f a značíme H(f).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 3 / 14
Funkce a její graf
Definice
Buď M ⊆ R. Zobrazení f : M → R nazýváme reálnou funkcí reálné
proměnné nebo stručně funkcí jedné proměnné.
Množina M se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f), mno-
žina
H(f) := {f(x): x ∈ M}
se nazývá obor hodnot funkce f.
Definice
Grafem funkce f : D(f) → R je množina bodů
G = {(x, f(x)) ∈ R2
: x ∈ D(f)}.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 4 / 14
Typické (netypické) funkce
Logistická funkce (saturační proces)
y =
a
1 + be−cx
a, b, c > 0
0
y
x
a
1+b
a
Trendová funkce s periodickými fluktuacemi
y = a + bx + c sin dx
a, b, c, d ∈ R
0
y
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 5 / 14
Typické (netypické) funkce
„Zásobovací“ funkce
y = iS −
S
T
x
(i − 1)T ≤ x ≤ iT
S, T > 0, i = 1, 2, . . .
0
y
x
S
T 2T 3T
Gaussova funkce
y = ae−
(x−b)2
2c2
a, b, c ∈ R, c ̸= 0
0
y
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 6 / 14
Technikálie s nekonečnem
Definice
Množinu R⋆ = R ∪ {+∞, −∞}, která je uspořádaná tak, že pro libovolné
x ∈ R platí −∞ < x < +∞, nazýváme rozšířenou množinou
reálných čísel.
Je-li c ∈ R, 0 < k < +∞, −∞ < z < 0 zavádíme
1.
c + (±∞) = (±∞) + c = ±∞,
+∞ + (+∞) = +∞, −∞ + (−∞) = −∞
2.
k · (±∞) = ±∞, z · (±∞) = ∓∞
+∞ · (+∞) = +∞, −∞ · (−∞) = +∞, +∞ · (−∞) = −∞
3.
c
±∞
= 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 7 / 14
Intervaly a okolí
Definice
Jsou-li
1. a, b ∈ R⋆, a < b, položíme (a, b) = {x ∈ R: a < x < b};
2. a, b ∈ R, a < b, položíme [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b};
3. a ∈ R, b ∈ R⋆, a < b, položíme [a, b) = {x ∈ R: a ≤ x < b};
4. a ∈ R⋆, b ∈ R, a < b, položíme (a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}.
Definice
Nechť x0, δ ∈ R, δ > 0. Pak interval O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) nazveme
okolím bodu x0, interval [x0, x0 + δ) pravým okolím bodu x0 a interval
(x0 − δ, x0] levým okolím bodu x0. Množina O(x0) \ {x0} se nazývá ryzí
okolí bodu x0. Buď a ∈ R. Pak interval O(+∞) = (a, +∞) nazveme
okolím bodu +∞ a interval O(−∞) = (−∞, a) nazveme okolím bodu
−∞.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 8 / 14
Vlastnosti funkcí
Definice
Funkce f se nazývá shora ohraničená, jestliže existuje U ∈ R takové, že
f(x) ≤ U pro každé x ∈ D(f). Funkce f se nazývá zdola ohraničená,
jestliže existuje L ∈ R takové, že f(x) ≥ L pro každé x ∈ D(f). Funkce
f se nazývá ohraničená, jestliže existuje K ∈ R, K > 0, takové, že
|f(x)| ≤ K pro každé x ∈ D(f).
Definice
Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro ∀x ∈ D(f) platí −x ∈ D(f)
a f(−x) = f(x).
Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro ∀x ∈ D(f) platí −x ∈ D(f)
a f(−x) = −f(x).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 9 / 14
Definice
Nechť je dána funkce f : D(f) → R a interval I ⊆ D(f). Pak funkci f
nazveme
• rostoucí na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1, x2 ∈ I taková,
že x1 < x2, je f(x1) < f(x2),
• klesající na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1, x2 ∈ I taková,
že x1 < x2, je f(x1) > f(x2),
• nerostoucí na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1, x2 ∈ I taková,
že x1 < x2, je f(x1) ≥ f(x2),
• neklesající na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1, x2 ∈ I taková,
že x1 < x2, je f(x1) ≤ f(x2).
Funkce, která má některou z uvedených vlastností, se nazývá monotonní.
Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze mono-
tonní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 10 / 14
Definice
Řekneme, že funkce f je rostoucí v bodě x0, jestliže existuje okolí
O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) tak, že pro x0 − δ < x < x0 je f(x) < f(x0) a
pro x0 < x < x0 + δ je f(x) > f(x0).
Analogicky se definuje funkce klesající v bodě, neklesající v bodě a
nerostoucí v bodě. Společný název pro tyto čtyři vlastnosti je funkce
monotonní v bodě, resp. pro první dvě funkce ryze monotonní v bodě.
Věta
Funkce je rostoucí na intervalu právě tehdy, když je rostoucí v každém
jeho bodě.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 11 / 14
Definice
Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna x1, x2 ∈ D(f) platí:
je-li x1 ̸= x2, pak f(x1) ̸= f(x2).
Definice
Funkce f se nazývá periodická s periodou p ∈ R, p > 0, jestliže platí, že
pro každé x ∈ D(f) je také x ± p ∈ D(f) a f(x + p) = f(x − p) = f(x).
Základní perioda funkce je nejmenší prvek množiny všech period této
funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 12 / 14
Nové funkce ze starých
Definice
Nechť g: D(g) → R a f : D(f) → R jsou funkce. Pak
F = (x, y) ∈ R2
: ∃u ∈ R | (x, u) ∈ g ∧ (u, y) ∈ f
se nazývá složená funkce. Píšeme F(x) = f (g(x)). Funkce g se nazývá
vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce F.
Definice
Nechť g: A → B a f : B → R jsou funkce. Pak funkce F : A → R daná
předpisem y = f(g(x)) se nazývá složená funkce. Funkce g se nazývá
vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce F.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 13 / 14
Definice
Inverzní funkcí k prosté funkci f je funkce f−1, pro kterou platí, že
D(f−1) = H(f) a ke každému y ∈ D(f−1) je přiřazeno právě jedno
x ∈ D(f) takové, že f(x) = y.
Věta
Inverzní funkcí k funkci f rostoucí (klesající) na množině D(f) je rostoucí
(klesající) funkce na množině H(f).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 14 / 14