Matematická analýza 1
Elementární funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 1 / 14
Goniometrické a cyklometrické funkce
Definice
Buď x ∈ R. Nechť P je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici, jehož počáteční bod
je [1, 0] a jehož délka je |x|; přitom oblouk je od bodu [1, 0] k bodu P orientován v protisměru,
resp. ve směru chodu hodinových ručiček podle toho, zda x ≥ 0, resp. x < 0. Pak
první souřadnici bodu P nazýváme cos x a druhou souřadnici sin x. Dále definujme
tg x =
sin x
cos x
, cotg x =
cos x
sin x
.
Funkce sin x, cos x, tg x a cotg x nazýváme funkce goniometrické.
cos x
sin x
tg x
cotg x
1
1
P
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 2 / 14
Co budeme „často“ používat
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
sin x = cos
π
2
− x , cos x = sin
π
2
− x
sin2
x + cos2
x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2
x − sin2
x
sin2
x =
1 − cos 2x
2
cos2
x =
1 + cos 2x
2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 3 / 14
Definice
Inverzní funkce k funkci sin x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arcsin x.
Inverzní funkce k funkci cos x definované na [0, π] se označuje arccos x.
Inverzní funkce k funkci tg x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arctg x.
Inverzní funkce k funkci cotg x definované na (0, π) se označuje
arccotg x.
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x nazýváme cyklometrické
funkce.
Věta
Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti.
1. Funkce arcsin x a arctg x jsou rostoucí, funkce arccos x a arccotg x
jsou klesající.
2. Funkce arcsin x a arctg x jsou liché.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 4 / 14
0 1 π
2
−1− π
2
1
π
2
−1
− π
2
x
y = arcsin x
y = sin x
0 1 π
2
π
−1
π
π
2
−1
x
y = arccos x
y = cos x
0 π
2− π
2
π
2
− π
2
y
x
y = arctg x
y = tg x
0 π
π
π
2
π
2
y
x
y = arccotg x
y = cotg x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 5 / 14
Polynom
Definice
Funkci P : R → R tvaru
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R,
nazýváme polynomem. Čísla ai se nazývají koeficienty polynomu. Je-li
an ̸= 0, pak číslo n nazveme stupněm polynomu.
Číslo α ∈ C se nazývá kořen polynomu P, jestliže
P(α) = 0.
Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P, existuje-li polynom Q
takový, že
P(x) = (x − α)k
Q(x),
a α není kořenem polynomu Q, tj. Q(α) ̸= 0. Číslo k ∈ N se pak nazývá
násobnost kořene α polynomu P.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 6 / 14
Věta
Nechť P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R je
polynom stupně n ≥ 0.
1. (Základní věta algebry.) Polynom P má nad komplexním oborem
C právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho
násobnost.
2. Je-li komplexní číslo α k-násobným kořenem reálného polynomu P,
je číslo komplexně sdružené ¯α k-násobným kořenem polynomu P.
3. (Rozklad polynomu v oboru reálných čísel.) Jsou-li α1, . . . , αr
všechny reálné kořeny polynomu P s násobnostmi k1, . . . , kr a
(c1 ± id1), . . . , (cs ± ids) všechny navzájem různé dvojice komplexně
sdružených kořenů s násobnostmi r1, . . . , rs, platí
P(x) = an(x−α1)k1
· · · (x−αr)kr
[(x−c1)2
+d2
1]r1
· · · [(x−cs)2
+d2
s]rs
.
4. Nechť an = 1. Je-li celé číslo α kořenem polynomu P s celočíselnými
koeficienty, pak α je dělitelem čísla a0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 7 / 14
Racionální lomená funkce a parciální zlomky
Definice
Buďte P, Q nenulové polynomy. Funkce
R(x) =
P(x)
Q(x)
se nazývá racionální lomená funkce. Tuto funkci nazveme ryze lomenou,
platí-li st P < st Q, a neryze lomenou, platí-li st P ≥ st Q.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 8 / 14
Rozklad na parciální zlomky
Každou ryze lomenou funkci tvaru R(x) = P(x)
Q(x) lze rozložit na součet
parciálních zlomků následujícím způsobem:
a) Je-li číslo α reálný k-násobný kořen polynomu Q, pak rozklad obsahuje
součet k parciálních zlomků tvaru
A1
(x − α)
+
A2
(x − α)2
+ · · · +
Ak
(x − α)k
.
b) Jsou-li čísla α ± iβ komplexně sdružené k-násobné kořeny polynomu
Q, pak rozklad obsahuje parciální zlomky tvaru
A1x + B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
+ · · ·
Akx + Bk
(ax2 + bx + c)k
.
kde ax2 + bx + c má kořeny α ± iβ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 9 / 14
Malá odbočka
Definice
Buď A množina. Řekneme, že relace ≤ na A je uspořádání, jestliže
1. ∀x ∈ A platí x ≤ x,
2. ∀x, y ∈ A platí x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y,
3. ∀x, y, z ∈ A platí x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z.
Je-li ≤ uspořádání na A, pak dvojice (A, ≤) se nazývá uspořádaná
množina.
Definice
Buď A ̸= ∅ uspořádaná množina, B ⊆ A, B ̸= ∅, libovolná. Řekneme,
že prvek a ∈ A je supremum množiny B, píšeme a = sup B, jestliže
1. x ≤ a pro každé x ∈ B,
2. je-li y ∈ A takové, že x ≤ y pro každé x ∈ B, pak a ≤ y.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 10 / 14
Exponenciální a logaritmická funkce
Definice
Buď a ∈ R, a > 0 a c ∈ R. Pro a > 1 definujme
ac
= sup {ax
: x ∈ Q, x ≤ c} .
Pro a = 1 položmě ac = 1c = 1 a pro 0 < a < 1 definujme ac = 1
a
−c
.
Definice
Buď a ∈ R, a > 0. Funkci f určenou předpisem f(x) = ax nazveme
exponenciální funkcí o základu a.
Věta
Exponenciální funkce f(x) = ax má tyto vlastnosti:
1. D(f) = R a H(f) = (0, +∞) pro a ̸= 1, H(f) = {1} pro a = 1.
2. Funkce f je rostoucí v R pro a > 1, klesající v R pro a < 1 a
konstantní v R pro a = 1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 11 / 14
Definice
Buď a ∈ R, a > 0, a ̸= 1. Funkce inverzní k funkci y = ax se nazývá
logaritmická funkce o základu a, značí se y = loga x.
Věta
Logaritmická funkce f(x) = loga x má tyto vlastnosti:
1. D(f) = (0, +∞), H(f) = (−∞, +∞).
2. Funkce f je rostoucí na (0, +∞) pro a > 1 a klesající na (0, +∞)
pro a < 1.
3. Pro x, y ∈ (0, +∞) a z ∈ R platí
loga(xy) = loga x+loga y, loga
x
y
= loga x−loga y, loga xz
= z loga x.
4. Pro a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a ̸= 1, b ̸= 1 a x ∈ (0, +∞) platí
loga x =
logb x
logb a
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 12 / 14
Mocninná funkce
Definice
Buď s ∈ R. Pro x > 0 definujeme funkci y = xs a nazýváme ji mocninnou
funkcí.
Věta
Mocninná funkce f(x) = xs má tyto vlastnosti:
1. D(f) = (0, +∞) a H(f) = (0, +∞) pro s ̸= 0, H(f) = {1} pro
s = 0.
2. Funkce f je rostoucí v (0, +∞) pro s > 0, klesající v (0, +∞) pro
s < 0 a konstantní v (0, +∞) pro s = 0.
3. Platí f(x) = xs = eln x s
= es ln x pro x ∈ (0, +∞).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 13 / 14
Poznámka
Je-li s ∈ Q, definujeme xs pro x < 0, právě když v základním tvaru m
n
čísla s je číslo n liché. Pak klademe xs = n
√
xm a 1
√
a = a.
x
2
2
?
=
√
x2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 14 / 14