Matematická analýza 1
Limita funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 1 / 9
Definice limity pomocí okolí
Definice
Nechť x0, L ∈ R⋆. Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu rovnu
L a píšeme lim
x→x0
f(x) = L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje
okolí O(x0) bodu x0 tak, že pro všechna x ∈ O(x0) \ {x0} platí
f(x) ∈ O(L). Píšeme lim
x→x0
f(x) = L.
Pomocí kvantifikátorů lze psát
∀O(L) ∃O(x0) ∀x ∈ O(x0) \ {x0}: f(x) ∈ O(L).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 2 / 9
ε – δ definice
Definice
Nechť x0, L ∈ R. Řekneme, že lim
x→x0
f(x) = L, jestliže
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R: 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − L| < ε.
Definice
Řekneme, že lim
x→+∞
f(x) = L, L ∈ R, jestliže
∀ε ∃A > 0 ∀x ∈ R: x > A =⇒ |f(x) − L| < ε.
atd.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 3 / 9
„Naivní“ definice
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu L, jestliže se s hodnotami funkce
f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně
blízké hodnotě x0, ale různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = L.
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu rovnu +∞, jestliže hodnoty funkce
f(x) můžeme udělat libovolně velké tak, že vezmeme hodnoty x
dostatečně blízké hodnotě x0, ale různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = +∞.
Funkce y = f(x) má v bodě +∞ limitu L, jestliže se s hodnotami funkce
f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x
dostatečně velké. Zapisujeme
lim
x→+∞
f(x) = L.
Říkáme, že funkce má v nevlastním bodě vlastní limitu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 4 / 9
Jednostranné limity
Definice
Nechť x0 ∈ R, L ∈ R⋆. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 limitu
zprava rovnu číslu L a píšeme lim
x→x+
0
f(x) = L, jestliže
∀O(L) ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0, x0 + δ): f(x) ∈ O(L).
Podobně definnujeme limitu zleva lim
x→x−
0
f(x) = L.
Opět „naivně“ řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu zleva
rovnu L, píšeme
lim
x→x−
0
f(x) = L,
jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit L tak, že
vezmeme hodnoty x menší než x0 a dostatečně blízké hodnotě x0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 5 / 9
Věty o limitách
Věta
Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.
Věta
Má-li funkce f v bodě x0 vlastní limitu L ∈ R, pak existuje O(x0) takové,
že f je na O(x0) ohraničená.
Věta
Platí lim
x→x0
f(x) = L právě tehdy, když
lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x) = L .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 6 / 9
Věta
Nechť existují obě vlastní limity lim
x→x0
f(x) = L1 , lim
x→x0
g(x) = L2. Pak
platí:
a)
lim
x→x0
(f(x) ± g(x)) = L1 ± L2,
b)
lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = L1 · L2,
c) Je-li L2 ̸= 0, pak
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
L1
L2
,
d)
lim
x→x0
|f(x)| = | lim
x→x0
f(x)|.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 7 / 9
Věta
Nechť lim
x→x0
f(x) = 0. Jestliže pro funkci g existuje okolí O(x0) bodu x0
takové, že g je v něm ohraničená, pak lim
x→x0
f(x)g(x) = 0.
Věta
Nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž platí f(x) ≥ g(x) ≥ h(x).
Jestliže lim
x→x0
f(x) = L = lim
x→x0
h(x), pak lim
x→x0
g(x) = L.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 8 / 9
Věta
Nechť x0 ∈ R⋆.
1. Jestliže lim
x→x0
f(x) = ±∞, pak lim
x→x0
1
f(x) = 0.
2. Jestliže lim
x→x0
f(x) = 0 a existuje O(x0) takové, že pro všechna
x ∈ O(x0) je f(x) > 0, pak lim
x→x0
1
f(x) = +∞.
3. Jestliže lim
x→x0
f(x) = 0 a existuje O(x0) takové, že pro všechna
x ∈ O(x0) je f(x) < 0, pak lim
x→x0
1
f(x) = −∞.
Nevíme tzv. neurčité výrazy
∞ − ∞,
∞
∞
,
0
0
, 0 · ∞, 00
, ∞0
, 1∞
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 9 / 9