Matematická analýza 1
Derivace funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 1 / 6
Definice
Buď f funkce a bod x0 ∈ D(f). Existuje-li limita
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
,
nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x0 a značíme f′(x0).
Je-li tato limita vlastní, nazývá se číslo f′(x0) vlastní derivací funkce
f v bodě x0, je-li tato limita nevlastní, nazývá se f′(x0) nevlastní derivací
funkce f v bodě x0.
Položíme-li h = x − x0, lze derivaci zapsat ve tvaru
f′
(x0) = lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
.
Podobně definujeme derivace zprava a derivace zleva:
f′
+(x0) = lim
x→x+
0
f(x) − f(x0)
x − x0
, f′
−(x0) = lim
x→x−
0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 2 / 6
Věta
Má-li funkce f v bodě x0 vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá.
Věta
Nechť mají funkce f, g vlastní derivaci na množině M. Pak platí:
a) cf(x)
′
= cf′(x), c ∈ R,
b) f(x) ± g(x)
′
= f′(x) ± g′(x),
c) f(x) · g(x)
′
= f′(x)g(x) + f(x)g′(x),
d) je-li g(x) ̸= 0, pak
f(x)
g(x)
′
=
f′(x)g(x) − f(x)g′(x)
g2(x)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 3 / 6
Věta
Nechť funkce u = g(x) má vlastní derivaci v bodě x0 a nechť funkce
y = f(u) má vlastní derivaci v bodě u0 = g(x0). Pak složená funkce
y = F(x) = f (g(x)) má vlastní derivaci v bodě x0 a platí:
F′
(x0) = f′
[g(x0)] · g′
(x0).
Věta
Nechť funkce x = f(y) je spojitá a ryze monotonní na intervalu I.
Nechť y0 je vnitřní bod intervalu I a nechť má f v y0 derivaci f′(y0).
Pak má inverzní funkce y = f−1(x) v bodě x0 = f(y0) rovněž derivaci.
i) Je-li f′(y0) ̸= 0, je derivace inverzní funkce vlastní a platí
f−1 ′
(x0) =
1
f′(y0)
.
ii) Je-li f′(y0) = 0, je derivace inverzní funkce nevlastní, přičemž pro
f rostoucí f−1 ′
(x0) = +∞ a f−1 ′
(x0) = −∞ pro f klesající.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 4 / 6
Věta
Pro derivace elementárních funkcí platí:
c′
= 0, (xa
)′
= axa−1
,
(sin x)′
= cos x, (cos x)′
= − sin x,
(tg x)′
=
1
cos2 x
, (cotg x)′
= −
1
sin2
x
,
(arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
, (arccos x)′
= −
1
√
1 − x2
,
(arctg x)′
=
1
x2 + 1
, (arccotg x)′
= −
1
x2 + 1
,
(ex
)′
= ex
, (ax
)′
= ax
· ln a,
(ln x)′
=
1
x
, loga x
′
=
1
x ln a
,
kde a ∈ R a c ∈ R. Tyto vzorce platí všude tam, kde jsou příslušné
funkce definovány.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 5 / 6
Definice
Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f′′ = (f′)′
a pro libovolné
n ≥ 2 definujeme n-tou derivaci (derivaci n-tého řádu) funkce f vzta-
hem
f(n)
= f(n−1)
′
.
Z geometrického významu derivace plyne, že funkce f má v bodě x0
derivaci právě tehdy, když její graf má v bodě (x0, f(x0)) tečnu se
směrnicí f′(x0). Rovnice této tečny je
y = f(x0) + f′
(x0)(x − x0).
Pro rovnici normály, tj. přímky kolmé k tečně a procházející dotykovým
bodem, platí
y = f(x0) −
1
f′(x0)
(x − x0), je-li f′
(x0) ̸= 0,
x = x0, je-li f′
(x0) = 0 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 2023 6 / 6