Matematická analýza 1
Diferenční rovnice
Petr Liška
Masarykova univerzita
06.12.2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 06.12.2023 1 / 3
Lineární diferenční rovnice 1. řádu
Definice
Nechť p(n) a r(n) jsou posloupnosti, přičemž p(n) ∕= 0 pro všechna n.
Rovnici tvaru
y(n + 1) − p(n)y(n) = r(n). (1)
nazýváme lineární diferenční rovnice prvního řádu. Je-li r(n) ≡ 0, nazývá
se rovnice
y(n + 1) − p(n)y(n) = 0. (2)
homogenní.
Řešením rovnice (1) rozumíme posloupnost y(n) = a(n) takovou, že
a(n + 1) − p(n)a(n) = r(n) .
Obecným řešením rovnice (1) rozumíme posloupnost, která je řešením
dané rovnice a závisí na konstantě c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 06.12.2023 2 / 3
Věta
Nechť posloupnost y = a(n) je řešením rovnice (2), pak také posloupnost
y = c · a(n), c ∈ R, je řešením rovnice (2).
Věta
Nechť p(n) ∕= 0. Je-li n ≥ 1, pak řešením rovnice (2) je posloupnost
u(n) = u(1)
n−1󰁜
k=1
p(k) . (3)
Věta
Nechť p(n) ∕= 0. Potom všechna řešení rovnice (1) jsou tvaru
y(n) = u(n)
󰀗 󰁛 r(n)
u(n + 1)
+ c
󰀘
,
kde c ∈ R a u(n) je posloupnost daná (3).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 06.12.2023 3 / 3