Diferenciální počet funkcí více proměnných Kmenová funkce, lokální extrémy Petr Liška Masarykova univerzita 09.10.2023 Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 09.10.2023 1 / 4 Věta Má-li funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] totální diferenciál, má graf funkce v tomto bodě tečnou rovinu o rovnici z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0). Věta Nechť P, Q jsou spojité funkce proměnných x, y definované na otevřené jednoduše souvislé množině Ω ⊂ R2, které mají na této množině spojité parciální derivace Py, Qx. Pak výraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy je diferenciálem nějaké funkce, právě když platí Py(x, y) = Qx(x, y) pro každé [x, y] ∈ Ω. Funkci z předchozí věty se říká kmenová funkce funkcí P a Q. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 09.10.2023 2 / 4 Lokální extrémy Definice Řekneme, že funkce f : R2 → R nabývá v bodě [x0, y0] lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí tohoto bodu takové, že pro všechny body z tohoto okolí platí f(x, y) ≤ f(x0, y0), resp. f(x, y) ≥ f(x0, y0). Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro [x, y] ̸= [x0, y0] ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. (Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrně (ostré) lokální extrémy. Definice Nechť f : R2 → R. Řekneme, že bod [x0, y0] je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě [x0, y0] existují obě parciální derivace prvního řádu funkce f a platí fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 09.10.2023 3 / 4 Věta (Fermat) Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] lokální extrém. Pak všechny parciální derivace funkce f, které v tomto bodě existují, jsou rovny nule. Věta Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť [x0, y0] je její stacionární bod. Jestliže D(x0, y0) = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − [fxy(x0, y0)]2 > 0, pak má funkce f v [x0, y0] ostrý lokální extrém. Je-li fxx(x0, y0) > 0, jde o minimum, je-li fxx(x0, y0) < 0, jde o minimum. Jestliže D(x0, y0) < 0, pak v bodě [x0, y0] lokální extrém nenastává. Petr Liška (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných 09.10.2023 4 / 4