1. cvičení (21. a 22. 9. 2023)
Kružnice
1. Nalezněte rovnici kružnice opsané trojúhelníku ABC, kde A[−3; 2], B[−1; 4], C[3; 0].
2. Na přímce p: 5x − 12y − 9 = 0 nalezněte takový bod S0, aby jeho vzdálenost od středu kružnice k: x2 +
+ y2 − 2x − 8y − 8 = 0 byla co nejmenší. Vypočtěte dále délku tětivy, kterou přímka p na kružnici
vytíná.
3. Určete tečny kružnice k: (x − 1)2 + (y + 13)2 = 100, které prochází bodem A[3; 1]. Pro každou z tečen
určete také dotykový bod.
Elipsa
1. Vypočtěte délku úsečky RS, kde S je střed elipsy
e:
(x − 2)2
25
+
(y + 1)2
100
= 1
a R je střed tětivy, kterou vytíná přímka p: 2x + y − 17 = 0 na elipse e.
2. Vypočtěte obsah čtyřúhelníku FCGD, kde body F a G jsou ohniska a body C a D vedlejší vrcholy elipsy
e: 25x2
+ 9y2
+ 100x − 18y − 116 = 0.
O jaký čtyřúhelník jde?
Parabola
1. Určete rovnici, vrchol, osu a průsečíky s osami souřadného systému paraboly, která má řídící přímku
d: x = 5
4 a ohnisko F 3
4; 2 .
2. Je dána kuželosečka p: x2 − 6x + 4y − 7 = 0 a přímka r: x + 3y − 2 = 0. Nalezněte všechny tečny zadané
kuželosečky, které jsou kolmé k přímce r. K tečnám zjistěte také souřadnice jejich dotykových bodů.
Hyperbola
1. Nechť je dána hyperbola
h:
x2
9
−
(y + 2)2
16
= 1.
Označme A libovolný vrchol hyperboly h a F to z ohnisek, které je blíže vrcholu A. Určete vzdálenost
středu úsečky AF od asymptoty hyperboly.
2. Nalezněte rovnici hyperboly, která má osy totožné s osami soustavy souřadnic, prochází bodem M[9; 2
√
5]
a jedna z jejích asymptot má rovnici a1 : 2x − 3y = 0.
3. Nalezněte rovnice všech přímek, které prochází bodem B[5; −2] a mají s kuželosečkou k: x2 − 4y2 − 9 = 0
jediný společný bod.
Řešení
Kružnice
1. k: x2 + (y − 1)2 = 10
2. S0
33
13; 4
13 , přímka vytíná tětivu délky 6.
3. t1 : 3x − 4y − 5 = 0, T1[−5; −5]
t2 : 4x + 3y − 15 = 0, T2[9; −7]
Elipsa
1. |RS| = 7
√
5
2
2. S = 24, jedná se o kosočtverec.
Parabola
1. p: − (x − 1) = (y − 2)2
V [1; 2],
o: y = 2,
X[−3; 0],
Y1[0; 1], Y2[0; 3]
2. t: 3x − y + 4 = 0,
T[−3; −5]
Hyperbola
1. 16
5
2. h: x2
36 − y2
16 = 1
3. p1 : y = 1
2x − 9
2
p2 : y = −1
2x + 1
2
p3 : 5x + 8y − 9 = 0