4. cvičení (13. a 19. 10. 2023)
Bilineární formy
Pojmy:
• bilineární forma;
• symetrická a antisymetrická forma;
• věta o jedinečném rozkladu bilineární formy na symetrickou a antisymetrickou bilineární formu;
• matice bilineární formy;
• matice přechodu od báze B k bázi B′ (opakování z Analytické geometrie 1 a 2);
• singulární vektory bilineární formy.
Úlohy:
1. V kanonické bázi na R3 je dána bilineární forma
f(x, y) = 2x1y1 + 4x1y2 − 2x1y3 + x2y2 − x2y3 + x3y2 + x3y3.
Určete symetrickou formu fS a antisymetrickou formu fA, pro které platí f = fS + fA.
2. V kanonické bázi na R3 je dána bilineární forma
f(x, y) = x1y1 + 2x2y2 + 3x2y3 − x3y3.
Určete rovnice této bilineární formy v bázi u1 = (1; 0; 1), u2 = (0; 1; 1) a u3 = (1; 1; 0).
3. Určete hodnost a singulární vektory bilineární formy
f(x, y) = 4x1y1 + 5x1y2 + 3x1y3 + 5x2y1 − 6x2y2 + 16x2y3 + 3x3y1 + 16x3y2 − 10x3y3.
Kvadratické formy
Pojmy:
• kvadratická forma a její polární bilineární forma;
• polární báze kvadratické formy, normovaná polární báze;
• normální tvar kvadratické formy;
• signatura a typ kvadratické formy.
Úlohy:
4. Určete polární bilineární formu kvadratické formy F(x) = x2
1 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2
2 − 6x2x3 + 3x2
3.
5. Určete hodnost a singulární vektory kvadratické formy F(x) = 2x2
1 + 2x1x2 − 2x1x3 + x2
2 + x2
3.
6. V nějaké bázi na reálném vektorovém prostoru V4 jsou dány kvadratické formy F1, F2 a F3. Určete jejich
normované polární báze, normální tvary rovnic, typy forem, signatury a transformační rovnice přechodu
k normovaným polárním bázím.
F1(x) = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 + 4x2x3 + 4x2x4 + 3x3x4
F2(x) = 5x2
1 + 2x2
3 + 4x2
4 + 2x1x3 + 4x1x4 − 4x3x4
F3(x) = 3x2
3 + 2x2
4 + 4x1x4 + 4x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4
Řešení
Bilineární a kvadratické formy
1. fS(x; y) = 2x1y1 + 2x1y2 − x1y3 + 2x2y1 + x2y2 − x3y1 + x3y3
fA(x; y) = 2x1y2 − x1y3 − 2x2y1 − x2y3 + x3y1 + x3y2
2. f(x′; y′) = −x′
1y′
2 + x′
1y′
3 + 2x′
2y′
1 + 4x′
2y′
2 + 2x′
2y′
3 + 4x′
3y′
1 + 5x′
3y′
2 + 3x′
3y′
3
3. hodnost je 2; singulární vektory tvoří množinu {(−2t; t; t), t ∈ R}
4. f(x; y) = x1y1 + x1y2 + 2x1y3 + x2y1 + 2x2y2 − 3x2y3 + 2x3y1 − 3x3y2 + 3x3y3
5. hodnost je 2; singulární vektory tvoří množinu {(t; −t; t), t ∈ R}
6. F′
1(x) = x2
1 + x2
2 − x2
3 − x2
4; signatura (2, 2); indefinitní forma
F′
2(x) = x2
1 + x2
2; signatura (2, 0); pozitivně semidefinitní forma
F′
3(x) = x2
1 + x2
2 − x2
3 − x2
4; signatura (2, 2); indefinitní forma