5. cvičení (20. 10. a 26. 10. 2023)
Ortogonální transformace kvadratické formy
Pojmy:
• vlastní čísla a vlastní směry (opakování z lineární algebry);
• Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces (opakování z lineární algebry);
• ortogonální transformace kvadratické formy.
Úlohy:
1. Určete charakteristickou rovnici, vlastní čísla a podprostory vlastních směrů matice A. Každý vlastní
podprostor navíc vyjádřete jako lineární obal ortonormálních vektorů.
A =


0 2 2
2 3 −1
2 −1 3


2. V ortonormální bázi na euklidovském vektorovém prostoru V3 jsou dány kvadratické formy F1, F2 a F3.
Pomocí ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic, typ formy, ortonormální polární bázi
a rovnice transformace souřadnic, které převádí formu do kanonického tvaru.
F1(x) = 2x2
1 + x2
2 + 2x2
3 − 2x1x2 + 2x2x3
F2(x) = 2x2
1 + x2
2 − 4x1x2 − 4x2x3
F3(x) = x2
1 − 2x2
2 + x2
3 + 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3
Řešení
Ortogonální transformace kvadratické formy
1. λ3 − 6λ2 + 32 = 0, λ1,2 = 4, λ3 = −2 podprostor vlastních směrů příslušný λ1,2 je generován vektory
(1; 0; 2) a (1; 2; 0) a podprostor vlastních směrů příslušný λ3 je generován vektorem (−2; 1; 1).
2. F1(y) = 3y2
1 + 2y2
2, kladně semidefinitní forma,
F2(y) = y2
1 + 4y2
2 − 2y2
3, indefinitní forma,
F3(y) = 6y2
1 − 3y2
2 − 3y2
3, indefinitní forma,