8. cvičení (10. a 16. 11. 2023)
Kuželosečky v afinní rovině
Pojmy:
• přechod od projektivních k afinním souřadnicím a zpět;
• střed kuželosečky, průměr kuželosečky;
• asymptota kuželosečky;
• průměr kuželosečky;
• afinní typy kuželoseček, sestavení afinního polárního repéru.
Úlohy:
1. Určete střed kuželoseček:
(a) k1 : x2 − 2xy + 2y2 − 4x − 6y + 3 = 0
(b) k2 : x2 − 2xy + y2 − 4x − 6y + 3 = 0
(c) k3 : x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y − 4 = 0
2. Určete asymptoty kuželoseček:
(a) k1 : 3x2 + 10xy + 7y2 + 4x + 2y + 1 = 0
(b) k2 : 3x2 − 4xy + 4y2 − 2x + 8y + 11 = 0
3. Určete průměr kuželosečky k: 3x2 − 2xy + 3y2 + 4x + 4y − 4 = 0, který prochází bodem M[1; −2].
4. Určete průměr kuželosečky k: 3x2 − 2xy + 3y2 + 4x + 4y − 4 = 0, který je rovnoběžný s přímkou p: 2x −
− 5y + 4 = 0.
5. Určete dvojici sdružených průměrů kuželosečky k: 7x2 − 8y2 + 8xy + 26x − 16y − 17 = 0, z nichž jeden
má směrový vektor u = (1; 2).
6. Určete afinní typ kuželosečky, normální tvar rovnic, normovaný afinní polární repér a transformační rovnice
afinních souřadnic do normovaného afinního polárního repéru.
(a) k1 : 3x2 − 2xy + 3y2 + 4x + 4y − 4 = 0
(b) k2 : x2 − 2xy + y2 − 4x − 6y + 3 = 0
(c) k3 : x2 + 2xy + y2 − x − y = 0
(d) k4 : x2 − 4xy + 5y2 + 4y + 5 = 0
Řešení
Kuželosečky v afinní rovině
1. (a) S[7, 5]
(b) nevlastní střed s = (1, 1)
(c) přímka středů s: x + y + 1 = 0
2. (a) a1 : 2x + 2y − 1 = 0
a2 : 6x + 14y + 11 = 0
(b) a1 : 6i
√
2 · x + (8 − 4i
√
2) · y + 10 − 2i
√
2 = 0
a2 : − 6i
√
2 · x + (8 + 4i
√
2) · y + 10 + 2i
√
2 = 0
3. d: x + 2y + 3 = 0
4. d: 2x − 5y − 3 = 0
5. S −1; −3
2
d1 : 5x − 4y − 1 = 0
d2 : 4x − 2y + 1 = 0
6. (a) reálná elipsa
x′2 + y′2 − 1 = 0
S[−1, −1], e1 =
√
8√
3
, 0 , e2 =
√
3
3 ,
√
3
x =
√
8√
3
· x′ +
√
3
3 · y′ − 1
y =
√
3 · y′ − 1
(b) parabola
x′2 + 2y′ = 0
P[1, 0], e1 = 4
5, −1
5 , e2 = −1
5, −1
5
x = 4
5 · x′ − 1
5 · y′ + 1
y = −1
5 · x′ − 1
5 · y′
(c) dvojice reálných rovnoběžek
x′2 − 1 = 0
S 1
2, 0 , e1 = 1
2, 0 , e2 = (1, −1)
x = 1
2 · x′ + y′ + 1
2
y = −y′
(d) imaginární elipsa
x′2 + y′2 + 1 = 0
S[−4, −2], e1 = (1, 0) , e2 = (2, 1)
x = x′ + 2 · y′ − 4
y = y′ − 2