12. cvičení (14. a 15. 12. 2023)
Kvadriky v euklidovském prostoru
Pojmy:
• osa kvadriky, vrchol kvadriky;
• euklidovská klasifikace kvadrik;
• metoda invariantů.
Úlohy:
1. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla, hlavní směry, hlavní roviny a osy kvadriky
K : 2x2
+ 2y2
− 5z2
+ 2xy − 2x − 2y − 4z + 2 = 0.
2. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ, kanonickou rovnici a transformační rovnice, které
převedou rovnici kvadrik do kanonického tvaru.
(a) K1 : 2x2 + 2y2 − 5z2 + 2xy − 2x − 2y − 4z + 2 = 0
(b) K2 : x2 + y2 + 5z2 − 6xy − 2xz + 2yz − 6x + 6y − 6z + 9 = 0
(c) K3 : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy − 12x + 6y − 9 = 0
(d) K4 : 5x2 + 8y2 + 5z2 + 4xy + 4yz − 8xz − 27 = 0
(e) K5 : 4x2 + y2 + 4z2 + 4xy − 4yz − 8xz + 6x + 3y − 10 = 0
3. Zodpovězte na otázky:
(a) Které přímkové plochy jsou eliptické?
(b) Kvadrika má trojnásobné hlavní číslo 3. Co to může být za kvadriku?
(c) Plocha, která vznikne rotací přímky v prostoru okolo přímky s ní mimoběžné, je kvadrika. Jaká?
(d) V prostoru jsou dány dvě různé rovnoběžné přímky p a q a dále je dáno kladné reálné číslo d. Množina
všech bodů X v prostoru, pro které platí |Xp| + |Xq| = d, je kvadrika. Jaká?
(e) V jaké kuželosečce protíná nevlastní rovinu přímkový paraboloid?
Řešení
Kvadriky v euklidovském prostoru
1. λ3 + λ2 − 17λ + 15 = 0,
λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = −5,
u1 = (1, −1, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (0, 0, 1),
π1 : x − y = 0, π2 : 3x + 3y − 2 = 0, π3 : − 5z − 2 = 0,
o1 : X = 1
3, 1
3, −2
5 + t(1, −1, 0), o2 : X = 1
3, 1
3, −2
5 + t(1, 1, 0), o3 : X = 1
3, 1
3, −2
5 + t(0, 0, 1).
2. (a) dvoudílný hyperboloid
x 2 + 3y 2 − 5z 2 + 32
15 = 0


x
y
z

 =



√
2
2
√
2
2 0
−
√
2
2
√
2
2 0
0 0 1


 ·


x
y
z

 +


1
3
1
3
−2
5


(b) reálná kuželová plocha
3x 2 + 6y 2 − 2z 2 = 0


x
y
z

 =



√
3
3 −
√
6
6
√
2
2
−
√
3
3
√
6
6
√
2
2√
3
3
√
6
3 0


 ·


x
y
z

 +


1
−1
1


(c) rotační paraboloid
5x 2 + 5y 2 + 6
√
5z = 0


x
y
z

 =



√
5
5 0 2
√
5
5
2
√
5
5 0 −
√
5
5
0 1 0


 ·


x
y
z

 +


−3
5
3
10
0


(d) eliptická (reálná) rotační válcová plocha
9x 2 + 9y 2 − 27 = 0


x
y
z

 =



√
5
5 −4
√
5
15
2
3
2
√
5
5
2
√
5
15 −1
3
0
√
5
3
2
3


 ·


x
y
z


(e) dvojice reálných rovnoběžných rovin
9x 2 + 9y 2 − 27 = 0


x
y
z

 =



√
5
5 −4
√
5
15
2
3
2
√
5
5
2
√
5
15 −1
3
0
√
5
3
2
3


 ·


x
y
z


3. (a) žádné
(b) reálný elipsoid (přesněji reálná kulová plocha), imaginární elipsoid (přesněji imaginární kulová plocha),
imaginární kuželová plocha
(c) rotační jednodílný hyperboloid
(d) eliptická válcová plocha
(e) ve dvojici reálných přímek