M5510 Teorie kuželoseček a kvadrik Středa 14. 1. 2015
Jméno a příjmení:
1. V euklidovské rovině je dána kuželosečka 5 bodů
k: 9x2 + 2Axy + 16y2 - 120x + 90y = 0 .
Určete:
a) charakteristickou rovnici, hlavní čísla, hlavní směry
b) obecné rovnice os
c) souřadnice vrcholů
d) kanonickou rovnici a typ kuželosečky
e) transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky na kanonický tvar
2. V projektivním prostoru je dána kvadrika 6 bodů K: 2x\ + 2xiX2 + 6xxX3 + 2x\X^ — x\ + 8x2X3 + 4x2x4 + lx\ — 2x3x4 + 7x\ = 0 . Určete:
a) normovanou polární bázi
b) normální tvar rovnice
c) projektivní typ kvadriky
d) transformační rovnice, které převádějí rovnici kvadriky na normální tvar.
3. Určete asymptoty kuželosečky 4 body
k: 8x2 + Axy + 5y2 + 16x + Ay - 28 = 0 .
4. a) Geometrické místo bodů, které mají stejnou vzdálenost od roviny a přímky  5 bodů
s ní rovnoběžné, je kvadrika. Jaká?
b) Průnikem nepřímkového paraboloidu a libovolné reálné roviny, která obsahuje reálný nevlastní bod tohoto paraboloidu je kuželosečka. Která?
c) Jaká je nevlastní kuželosečka eliptického paraboloidu?
d) Pro které kvadriky platí, že jejich charakteristická rovnice má trojnásobný kořen?
e) Jak se nazývá regulární kvadrika hodnosti 3?