STEJNOLEHLOSTI (2 cvičení)
(1) Sestrojte kosočtverec o straně 6 cm, jehož úhlopříčky mají délky v poměru
2 : 3.
(2) Na kružnici k jsou dány tři různé body A, B, C. Sestrojte její tětivu AD,
kterou tětiva BC protne v bodě, jehož vzdálenosti od krajních bodů A, D
jsou (v uvedeném pořadí) v poměru 3 : 1.
(3) Uvnitř konvexního úhlu XV Y je dán bod T. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník
ABC se základnou AB a těžištěm T tak, aby jeho vrcholy A, C
ležely na rameni V X a vrchol B na rameni V Y . [Návod: Sestrojte nejprve
střed B1 strany AC a v druhé části využijte rovnost |AT| = |BT|.]
(4) Ve vnitřní oblasti kružnice k(S, r) je dán bod A, A = S. Sestrojte rovnostranný
trojúhelník ABC tak, aby na kružnici k ležel jak vrchol B,
tak střed B1 strany AC. [Návod: Uvažte kružnici, na které leží střed C1
strany AB a pak využijte otočení.]
(5) Uvnitř ostrého úhlu AV B je dán bod E. Na rameni V B sestrojte úsečku CD
tak, aby polokružnice nad průměrem CD procházela bodem E a dotýkala
se ramena V A. [Návod: Na rameni V A kromě neznámého bodu dotyku T
uvažme libovolný bod T′
a sestrojme obraz hledané polokružnice v té stejnolehlosti
se středem V , při které T → T′
.]
(6) V daném čtverci ABCD označme E střed strany CD. Sestrojte rovnostranný
trojúhelník KLM tak, aby bod K ležel na straně AB, bod L na
straně BC, bod M na straně AD a aby úsečky KM a BE byly rovnoběžné.
[Návod: Zvolte bod K′
uvnitř AB libovolně a využijte tu stejnolehlost se
středem A, při které K → K′
.]
(7) Do dané kruhové úseče vymezené obloukem AB nad úsečkou AB vepište
čtverec KLMN tak, aby strana KL ležela na úsečce AB (K blíže A,
L blíže B) a aby jeho vrcholy M, N byly body hraničního oblouku AB.
[Návod: Nejprve vysvětlete, proč střed S úsečky AB musí být i středem
úsečky KL (AB a MN jsou rovnoběžné tětivy téže kružnice, takže mají
společnou osu, podle které je ovšem čtverec KLMN souměrný). Pak využijte
obrazu čtverce KLMN v té stejnolehlosti se středem S, ve které
K → A (a L → B, jak už víme).]
(8) Je dán bod M a tři různoběžky a, b, c se společným bodem P, P = M.
Bodem M veďte přímku p mimo bod P tak, aby proťala přímky a, b, c po
řadě v bodech A, B, C, pro které platí |AB| = 2·|BC|. [Návod: Na přímce b
zvolte bod B′
různý od P a sestrojte obraz p′
přímky v té stejnolehlosti se
středem P, při které B → B′
. Obrazy A′
∈ a a C′
∈ c určete s ohledem
na |A′
B′
| = 2 · |B′
C′
| pomocí stejnolehlosti se středem B′
. Nezapomeňte
přitom, že bod B′
může ležet buď na úsečce A′
C′
, nebo na polopřímce
opačné k C′
A′
.]
Typeset by AMS-TEX
1
(9) Ve vnější oblasti oblasti kružnice k(S, r) je dána přímka p a na ní bod M.
V kružnici k je navíc sestrojena tětiva PQ, PQ p. Na přímce p sestrojte
úsečku XY se středem M tak, aby průsečík Z přímek PX a QY ležel
na kružnici k. [Návod: Trojúhelníky PQZ a XY Z jsou stejnolehlé podle
středu Z, přitom středu K strany PQ odpovídá střed M strany XY , takže
bod Z leží na přímce KM.]
(10) Do daného trojúhelníku ABC vepište dvě shodné kružnice k a l s vnějším
dotykem tak, aby se kružnice k rovněž dotýkala stran AB, AC a kružnice l
stran BA a BC. [Návod: Sestrojte nejprve příklad dvojice kružnic k′
a l′
,
které splňují všechny podmínky úlohy s případnou výjimkou té, že kružnice
l′
se dotýká strany BC. Pak využijte toho, že vhodná stejnolehlost se
středem A převede kružnici k′
na hledanou kružnici k.]
(11) Je dána kružnice k(S, r) a dva její různé poloměry SA, SB. Sestrojte tětivu
XY kružnice k tak, aby byla oběma poloměry rozdělena na tři shodné
úseky XP, PQ a QY . [Návod: Nejprve dokažte, že musí platit |SP| = |SQ|
(užitím shodnosti trojúhelníků PXS a QY S v důsledku věty sus). Pak
využijte tu stejnolehlost se středem S, při které PQ → AB.]
(12) Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC a bod K jeho strany AB (nevylučujeme,
že K = A nebo K = B). Sestrojte vnitřní bod X strany AC a vnitřní bod Y
strany BC tak, aby lomená čára CXY K byla složena ze tří shodných úseček.
[Návod: Uvnitř strany AC zvolte bod X′
a v té stejnolehlosti se středem C,
při níž X → X′
, určete postupně obrazy Y ′
a K′
bodů Y , resp. K.]
Konec dokumentu
2