##############################################################
#                                                            #   
#  Závěrečný test E3101: podzim 2024, varianta J, Σ 90 bodů  #
#                                                            #
##############################################################

########################
#                      #   
#  Úloha č. 1: 8 bodů  #
#                      #
########################

# Popište, jaký je rozdíl mezi procesem modelování a simulací.





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 2: 7 bodů   #
#                       #
#########################

# V čem se liší lokální a golbální analýza citlivosti?





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 3:  5 bodů  #
#                       #
#########################

# K čemu slouží v R příkaz nleqslv()? Ilustrujte na nějakém příkladu.





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 4: 25 bodů  #
#                       #
#########################

# Model exponenciálního růstu dN(t)/d(t) = r ⋅ N(t) vedl v našich předchozích úvahách k nerealistickému, extrémnímu růstu.
# Při pokusech o modelování reálné světové lidské populace nicméně i tento model nedostačoval  tempu růstu počtu osob
# Modeláři proto zkonstruovali model, který zohledňuje i vzájemnou spolupráci lidí, což se projeví zvýšením exponentu N(t)
# na pravé straně rovnice z 1 na 1+c, kde c odpovídá kladnému číslu (míra spolupráce).
# Vzniká tak ještě strmější model, zvaný „koaliční model“: dN(t)/d(t) = r ⋅ N(t)^(1+c).
# Využijte metodu separace proměnných (tj. na jedné straně dif. rovnice ponechejte pouze výrazy s t a na druhé straně
# pouze výrazy s N(t) a obě strany integrujte) a řešte obecně, na jaké hodnotě velikosti populace se daný model ustálí.
# Okomentujte, proč a čemu odpovídá integrační konstanta (nezapomeňte na ni aspoň na jedné straně diferenciální rovnice).





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 5: 15 bodů  #
#                       #
#########################

# Koaliční model je zajímavý svojí vlastností, že obsahuje soudný den - okamžik, kdy populace dosáhne nekonečné velikosti.
# Pro jakou hodnotu t nastane soudný den? Vyřešte obecně.





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 6: 20 bodů  #
#                       #
#########################

# Využijte model z předchozího příkladu a sestrojte grafy pro hodnoty r=2.3 a c=0.01 pro nějaký rozumný časový interval.
# Vykresete řešení pro počáteční hodnotu populace N(0) = 8 ⋅ 10^9.





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 7: 10 bodů  #
#                       #
#########################

# Zapište libovolný model tří populací tak, aby se v něm vyskytovaly všechny následující vztahy:
# predace, mutualizmus a neutrální vztah dvou populací.
# Vykreslete výsledky modelu do grafu.





#####################
#                   #   
#  Bonus za 5 bodů  #
#                   #
#####################

# Váš komentář k předmětu E3101. Co byste chtěla, aby se změnilo, a co by mělo zůstat, jak bylo?
# Jaký je Váš názor na styl výuky, R a Metacentrum?
# Máte pocit, že Vám může být probraná látka v něčem užitečná? 




