Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky
Petr Kurfürst
POČETNÍ PRAKTIKUM
Skripta
Aktualizovaná rozšířená verze elektronické publikace:
“Početní praktikum” (2. vydání), Elportál, Brno, Masarykova univerzita.
Brno 2017
Obsah
Úvod
Kapitola 1 Diferenciální a integrální počet 1
1.1 Derivace funkcí jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Neurčité integrály funkcí jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Určité integrály funkcí jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Geometrické a fyzikální aplikace integrace funkce jedné proměnné . . . . . . . . 14
Kapitola 2 Základy vektorové a tenzorové algebry 19
2.1 Vektory a matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Báze a jejich transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Úvod do tenzorového počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Kovariantní a kontravariantní transformace: ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kapitola 3 Obyčejné diferenciální rovnice 47
3.1 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Rovnice separovatelné a homogenní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Lineární nehomogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.3 Bernoulliova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.4 Diferenciální rovnice exaktní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.5 Riccatiova rovnice ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Lineární obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Rovnice s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Rovnice s nekonstantními koeficienty ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého a vyšších řádů převodem
na soustavu lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu . 61
3.3.1 Homogenní soustavy s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Nehomogenní soustavy s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . 64
Kapitola 4 Úvod do křivočarých souřadnic 69
4.1 Kartézské souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Válcové (cylindrické) souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Kulové (sférické) souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Kapitola 5 Skalární a vektorové funkce více proměnných 75
5.1 Parciální a směrové derivace, úplný diferenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Kmenová funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Diferenciální operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Kapitola 6 Křivkový integrál 87
6.1 Křivkový integrál 1. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Křivkový integrál 2. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Kapitola 7 Dvojný a trojný integrál 95
7.1 Plošný integrál 1. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Plošný integrál 2. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3 Objemový integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4 Geometrické a fyzikální charakteristiky útvarů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Kapitola 8 Integrální věty 113
8.1 Greenova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Stokesova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3 Gaussova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Kapitola 9 Taylorův rozvoj 123
9.1 Rozvoj funkce jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 Rozvoj funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Kapitola 10 Fourierovy řady 131
10.1 Fourierovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10.2 Fourierova analýza ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Kapitola 11 Úvod do komplexní analýzy 139
11.1 Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2 Funkce komplexní proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Kapitola 12 Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 149
12.1 Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.2 Počet pravděpodobnosti a základy statistiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Příloha A Laplaceova transformace ⋆ 163
A.1 Definice a přehled elementárních transformací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.2 „Skoková“ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.3 Diracova delta funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.4 Obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, s okrajovými
podmínkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.5 Obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu s nekonstantními koeficienty, s okrajovými
podmínkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.6 Užití konvoluce v Laplaceově transformaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Příloha B Křivočaré souřadnice ⋆ 175
B.1 Kartézská soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.1 Diferenciální operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
B.1.2 Plochy, objemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.1.3 Vektory polohy, rychlosti a zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.2 Válcová soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.2.1 Diferenciální operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.2.2 Plochy, objemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.2.3 Vektory polohy, rychlosti a zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.3 Kulová soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
B.3.1 Diferenciální operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.3.2 Plochy, objemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
B.3.3 Vektory polohy, rychlosti a zrychlení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.4 Eliptická soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
B.5 Parabolická soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
B.6 „Anuloidová“ soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
B.7 Příklady neortogonálních soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
B.7.1 „Kuželová“ soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
B.7.2 „Disková“ soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Příloha C Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 207
C.1 Parciální diferenciální rovnice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
C.1.1 Homogenní parciální diferenciální rovnice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . 207
C.1.2 Nehomogenní parciální diferenciální rovnice 1. řádu . . . . . . . . . . . . 209
C.2 Parciální diferenciální rovnice 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
C.2.1 Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu . . . . . . . . . . . 212
C.2.2 Metoda fundamentálního řešení (metoda Greenovy funkce) . . . . . . . 213
C.2.3 Řešení parabolických parciálních diferenciálních rovnic Fourierovou metodou
(metodou separace proměnných) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
C.2.4 Jednoduché příklady prostorových úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
C.2.5 Řešení hyperbolických parciálních diferenciálních rovnic Fourierovou metodou
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
C.2.6 Ukázka možných způsobů řešení jednoduchých eliptických parciálních diferenciálních
rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Příloha D Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 229
D.1 Numerické metody lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
D.2 Interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
D.2.1 Kubický interpolační splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
D.2.2 Bilineární interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
D.2.3 Bikubická interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
D.3 Regrese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
D.3.1 Lineární regrese metodou nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . . . 245
D.3.2 Polynomiální regrese metodou nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . 247
D.3.3 Robustní regrese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
D.3.4 Kubický vyhlazovací splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
D.4 Numerické metody výpočtů funkcí jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . 252
D.4.1 Hledání kořene funkce jedné proměnné - Newtonova metoda . . . . . . . 252
D.4.2 Numerické derivování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
D.4.3 Numerické integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
D.4.4 Jednoduché numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic . 258
D.5 Numerické metody výpočtů funkcí více proměnných - řešení parciálních diferenciálních
rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
D.5.1 Hledání kořenů soustavy funkcí více proměnných
Newtonova-Raphsonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
D.5.2 Principy konečných diferencí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
D.5.3 von Neumannova analýza stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
D.5.4 Laxova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
D.5.5 Metoda zpětného kroku (Upwind method) . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
D.5.6 Laxova-Wendroffova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
D.5.7 Implicitní schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
D.5.8 Příklad pokročilejšího numerického schématu . . . . . . . . . . . . . . . 272
D.5.9 Příklady modelování reálných fyzikálních procesů . . . . . . . . . . . . . 276
D.6 Paralelizace výpočetních algoritmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Reference 281
Úvod
Protože matematika je nejdůležitějším pracovním nástrojem a zároveň vyjadřovacím jazykem
fyziky, patří znalost základních matematických postupů, uváděných v této sbírce, k neodmyslitelné
výbavě každého, kdo se chce fyzikou hlouběji zabývat. Souhrnný předmět Početní praktikum
1, Početní praktikum 2 představuje praktický kurz, určený studentům bakalářského studia,
bezprostředně navazující na předměty Základní matematické metody ve fyzice 1, Základní
matematické metody ve fyzice 2. Smysl početního praktika, jak už samotný název napovídá,
spočívá především v praktickém počítání a v detailním procvičování znalostí, získaných ve výše
uvedených přednáškách. Předpokladem je zde rovněž úplná a bezpečná znalost všech okruhů
středoškolské matematiky, které se zde již nepřipomínají.
Tato sbírka představuje souborný studijní materiál, usnadňující výběr příkladů, souvisejících
s danými tématy. Je členěná do dvanácti základních kapitol, řazených pouze zhruba podle časové
posloupnosti přednášené problematiky, doplněných třemi přílohami, určenými zájemcům
o širší znalost základů některých důležitých okruhů matematiky, potenciálně využitelných v
dalším studiu i ve fyzikální praxi. Jednotlivé kapitoly jsou vždy uvedeny stručným teoretickým
shrnutím daného tématu, které si neklade za cíl podávat matematicky přesný a vyčerpávající
výklad (doplněný větami, důkazy, atd.), nýbrž pokud možno jednoduchým a přehledným
způsobem zrekapitulovat hlavní zásady pro praktické počítání příslušného problému. Pokud
je někde výklad zjednodušen do té míry, že například opomíjí některé předpoklady nebo některá
řešení uvedené rovnice, je to v textu uvedeno. Jádro každé kapitoly tvoří potom soubor
příkladů, které v dostatečném rozsahu pokrývají danou problematiku. U každého příkladu je
také uvedený výsledek, který podle mého názoru studentům, kteří se s danou látkou teprve
seznamují, umožní správnou orientaci při počítání. Odstavce a příklady, využívající pokročilejší
matematiku, které jsou primárně určeny pro studenty vyšších ročníků bakalářského studia, jsou
označené ⋆. Pro jednodušší zacházení je celá sbírka vybavena modře zvýrazněnými hypertextovými
odkazy, umožňujícími v elektronické verzi se kliknutím ihned přesunout na odkazované
místo a stejně zvýrazněnými odkazy URL, které po kliknutí automaticky otevřou uvedenou
webovou stránku.
Ani sebelepší studijní materiál nenahradí vlastní píli a odhodlání těch, kteří o získání znalostí
a dovedností usilují, může jim pouze více nebo méně práci usnadnit. Velmi proto uvítám, pokud
ti, kteří budou s touto sbírkou pracovat, mně sdělí svoje případné názory, podněty nebo výhrady
např. ke srozumitelnosti výkladu nebo obtížnosti příkladů a zároveň mě kdykoli upozorní na
jakoukoli nepřesnost nebo nedostatek, který v příkladech nebo v textu odhalí.
Děkuji rovněž Mgr. Lence Czudkové, Ph.D. a Mgr. Pavlu Kočímu, Ph.D. za podnětné rady
a cenné připomínky.
Petr Kurfürst
Kapitola 1
Diferenciální a integrální počet1
1.1 Derivace funkcí jedné proměnné
• Derivace je jedním ze základních pojmů diferenciálního počtu a matematické analýzy
vůbec. Pomocí předem definovaného pojmu limita je derivace funkce jedné proměnné
definovaná jako (viz obrázek 1.1)
df(x)
dx
= f′
(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
, (1.1)
kde h = ∆x je přírůstek nezávisle proměnné x.
x x + h
f (x)
f (x + h) seˇcna
teˇcna
funkce
h→0
Obrázek 1.1: Schematické vyobrazení geometrického významu derivace funkce jedné proměnné, ilustrující
vzorec (1.1). Graf funkce je vyobrazen červenou křivkou. Zelenou barvou je znázorněna sečna této
funkce, procházející body [x, f(x)] a [x + h, f(x + h)], jejíž směrnice (tangens úhlu, který tato sečna
svírá s vodorovnou osou x) je dána podílem [f(x + h) − f(x)]/h. Budeme-li h zmenšovat, bude se druhý
průsečík sečny s danou funkcí přibližovat prvnímu, až pro h → 0 se sečna stane (modře vyznačenou)
tečnou, jejíž směrnice (derivace dané funkce f(x) v bodě x) je dána vzorcem (1.1).
Pokud bychom tedy chtěli vyjádřit derivace elementárních funkcí přímo z definice (1.1),
můžeme například v případě mocninné funkce s přirozeným exponentem, y = xn, n ∈ N, psát
y′
= lim
h→0
(x + h)n − xn
h
= lim
h→0
xn + nxn−1h + . . . − xn
h
= nxn−1
, (1.2)
1
Doporučená literatura k této kapitole: Jarník (1974), Jarník (1984), Děmidovič (2003), Kvasnica (2004),
Bartsch (2008), Rektorys (2009), Zemánek & Hasil (2012).
1
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 2
kde výraz s tečkami pokrývá členy s vyššími mocninami h. Obdobně můžeme derivaci exponenciální
funkce y = ex definovat jako
y′
= lim
h→0
e(x+h) − ex
h
= ex
lim
h→0
eh − 1
h
= ex
(1.3)
a derivaci goniometrické funkce y = sin x (s použitím relace sin α − sin β = 2 sin α−β
2 cos α+β
2 a
věty o limitě součinu funkcí: lim
x→a
[f(x)g(x)] = lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x)) jako
y′
= lim
h→0
sin(x + h) − sin x
h
= lim
h→0
sin h
2
h
2
lim
h→0
cos x +
h
2
= cos x. (1.4)
Derivaci mocninné funkce s reálným exponentem, y = xn, n ∈ R, můžeme definovat pomocí
derivace exponenciály (1.3) a pravidla pro derivování složené funkce (1.31),
y′
= (xn
)′
= en ln x
′
= xn n
x
= nxn−1
. (1.5)
Derivace elementárních inverzních funkcí lze snadno definovat pomocí derivací jejich původních
vzorů, například pro funkci y = ln x platí ey = x a tedy eyy′ = 1, nebo pro funkci
y = arcsin x platí sin y = x a tedy cos y y′ = 1. Pro tyto dva případy tak postupně dostáváme
y′
=
1
ey
=
1
x
, y′
=
1
cos y
=
1
1 − sin2
y
=
1
√
1 − x2
. (1.6)
Některým z uvedených způsobů můžeme definovat i derivace ostatních elementárních funkcí
jedné proměnné.
• Následující výčet shrnuje derivace elementárních funkcí jedné proměnné:
(Cxn
)′
= Cnxn−1
, kde C ∈ R je konstanta, n ∈ R je konstanta, (1.7)
(ex
)′
= ex
, (1.8)
(ax
)′
= (ex ln a
)′
= ax
ln a, kde a > 0 je konstanta, (1.9)
(ln x)′
=
1
x
, x > 0, (1.10)
(loga x)′
=
1
x ln a
, x > 0, kde a > 0, a ̸= 1 je konstanta, (1.11)
(sin x)′
= cos x, (1.12)
(cos x)′
= − sin x, (1.13)
(tg x)′
=
1
cos2 x
, x ̸= (2k + 1)
π
2
, k ∈ Z, (1.14)
(cotg x)′
= −
1
sin2
x
, x ̸= kπ, k ∈ Z, (1.15)
(arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
, −1 < x < 1, (1.16)
(arccos x)′
= −
1
√
1 − x2
, −1 < x < 1, (1.17)
(arctg x)′
=
1
1 + x2
, (1.18)
(arccotg x)′
= −
1
1 + x2
, (1.19)
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 3
(sinh x)′
=
ex − e−x
2
′
=
ex + e−x
2
= cosh x, (1.20)
(cosh x)′
= sinh x, (1.21)
(tanh x)′
=
1
cosh2
x
= 1 − tanh2
x, (1.22)
(coth x)′
= −
1
sinh2
x
= 1 − coth2
x, x ̸= 0. (1.23)
Z rovnice (1.20) lze odvodit následující identity pro hyberbolometrické funkce (funkce
inverzní k hyperbolickým funkcím):
argsinh x = ln x + x2 + 1 a tedy (argsinh x)′
=
1
√
x2 + 1
, (1.24)
argcosh x = ln x + x2 − 1 a tedy (argcosh x)′
=
1
√
x2 − 1
, x > 1, (1.25)
argtanh x =
1
2
ln
1 + x
1 − x
a tedy (argtanh x)′
=
1
1 − x2
, −1 < x < 1 (1.26)
argcoth x =
1
2
ln
x + 1
x − 1
a tedy (argcoth x)′
=
1
1 − x2
, |x| > 1. (1.27)
• Pravidla pro derivování součtu, součinu a podílu funkcí jedné proměnné:
(αf + βg)′
= αf′
+ βg′
pro libovolné funkce f a g a konstanty α a β, (1.28)
(fg)′
= f′
g + fg′
pro libovolné funkce f a g, (1.29)
f
g
′
= f
1
g
′
=
f′g − fg′
g2
pro libovolné funkce f a g, g ̸= 0. (1.30)
• Pravidlo pro derivování složené funkce f (ϕ(x)), kde f je vnější a ϕ je vnitřní funkce
proměnné x (tzv. řetězové pravidlo pro derivace):
[f(ϕ)]′
=
df
dϕ
dϕ
dx
=
df
dϕ
ϕ′
. (1.31)
Důkazy pro uvedená pravidla (1.28) - (1.31) lze provést poměrně jednoduše pomocí definice
derivace (1.1), zájemce o hlubší porozumění uvedeným principům odkazuji na níže
uvedenou odbornou literaturu.
• Pro hlubší prostudování nejen diferenciálního a integrálního počtu, ale širší matematické
analýzy, pokrývající významnou část látky obsažené v tomto skriptu, doporučuji zejména
sbírku Děmidovič (2003).
Pro budoucí praktické počítání (a to nejen derivací, ale víceméně ve všech oblastech matematiky),
případně pro kontrolu správnosti mechanických výpočtů, lze využít analytické programové
balíčky, například Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine https://www.
wolframalpha.com/, jehož základní aplikace jsou volně dostupné, velmi pokročilý je také program
Sage (SageMath) http://www.sagemath.org/, atd. V žádném případě to ovšem nenahrazuje
vlastní dovednosti, pouze je doplňuje a pomáhá rychle a bezchybně zvládat, zjednodušovat
a kontrolovat i velmi rozsáhlé, na mechanické počítání pracné výrazy.
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 4
• Příklady:
Vypočítejte derivace uvedených funkcí a výsledky zjednodušte. V případě, že Df je pouze podmnožinou
R, určete průnik definičních oborů zadaných i vypočítaných funkcí. Výsledek je u
každého příkladu uveden červenou barvou.
1.1 (2 − x2)(1 − x2 + x3) −6x + 6x2 + 4x3 − 5x4
1.2
1 − x
1 + x
−
2
(1 + x)2
1.3 (5x2 + 1)3 30x(5x2 + 1)2
1.4 sin(x2 + 2x) cos(x2 + 2x)(2x + 2)
1.5
sin x
1 − cos x
1
cos x − 1
1.6 6 e2x + 10x2 ln x 12 e2x + 10x(2 ln x + 1)
1.7
3 ex
5 e3x + 1
3( ex − 10 e4x)
(5 e3x + 1)2
1.8 ln(1 − 7x)3 21
7x − 1
1.9 3 log7[(x2 + 1)3]
18x
(x2 + 1) ln 7
1.10 ln sin(3x2)
√
x2 + 1 6x cotg (3x2) +
x
x2 + 1
1.11 Součet dvou neznámých čísel je 12. Nalezněte taková dvě čísla
(a) aby součet jejich druhých mocnin byl minimální,
(b) aby součin jednoho čísla s druhou mocninou druhého čísla byl maximální.
(a) 6; 6
(b) 4; 8
1.12 Nalezněte takové kladné číslo, pro něž je součet šestnáctinásobku tohoto čísla a převrácené
hodnoty druhé mocniny tohoto čísla minimální.
1
2
1.13 Jak vysoko vyletí barevná světlice, vystřelená ze země svisle vzhůru počáteční rychlostí
v0 = 40 m s−1 (odpor vzduchu a jiné vedlejší vlivy zanedbejte) ? Za jak dlouho této
maximální výšky dosáhne ? Pro jednoduchost uvažujte hodnotu gravitačního zrychlení
g = 10 m s−2.
80 m, 4 s
1.14 Jakou počáteční rychlostí musí být vystřelená stejná světlice, pokud má dosáhnout stejné
výšky jako v příkladu 1.13 při elevačním úhlu výstřelu α = 45◦ ? Za jak dlouho dosáhne
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 5
maximální výšky v tomto případě? Jak daleko od místa výstřelu světlice dopadne na zem?
Uvažujte vodorovný terén a hodnotu gravitačního zrychlení g = 10 m s−2.
v0 ≈ 57 m s−1, 4 s, cca 325 m
1.15 Určete rozměry bazénu s požadovaným objemem 972 m3 a s požadovaným poměrem délek
stran a : b = 1 : 2 (jeho hloubku označíme h), pokud chceme minimalizovat plochu obkladu
jeho stěn a dna.
a = 9 m, b = 18 m, h = 6 m
1.16 Ocelová válcová nádrž má objem 64 m3. Nalezněte její rozměry (poloměr podstavy R a
výšku H), při nichž bude spotřeba oceli na její výrobu minimální.
R =
4
3
√
2π
m, H =
8
3
√
2π
m
1.17 Farmář chce oplotit svoje obdélníkové pole tak, že je oplotí po obvodu a ještě je plotem,
vedoucím rovnoběžně s jednou stranou, rozdělí na dvě poloviny. Jakou maximální plochu
takto oplotí, pokud má k dispozici 1200 m plotového drátěného pletiva?
300 m × 200 m = 60 000 m2.
1.18 Při silném kašli se profil průdušnice zúží, aby se docílilo vyšší rychlosti exhalovaného
vzduchu. Jaké je optimální zmenšení poloměru průdušnice, aby rychlost byla maximální?
Vzorec, udávající vztah mezi rychlostí exhalace v a momentálním poloměrem průdušnice
r, má tvar v = c(r0 − r)r2, kde c je kladná konstanta (související s délkou průdušnice) a
r0 je poloměr průdušnice v klidu.
r =
2
3
r0
1.19 Socha Svobody, stojící na Ostrově svobody u New Yorku v USA, je i s podstavcem vysoká
93 m, přičemž výška vlastní měděné sochy je 46 m. Z jaké vzdálenosti musím monument
fotografovat, pokud chci aby vlastní socha na fotografii zabírala maximální možný zorný
úhel (výšku lidského oka, resp. fotoaparátu nad zemí, případně nad mořskou hladinou,
zanedbejte) ? Jaký bude potom poměr úhlů φS, který bude na fotografii zabírat vlastní
socha a φM, který bude zabírat celý monument ?
ze vzdálenosti D ≈ 66 m, poměr φS/φM ≈ 0, 35 (poměr bude růst se vzdáleností)
1.20 Určete rozměry (poloměr podstavy R a výšku H) kužele s minimálním objemem, opsaného
kouli s daným poloměrem r.
R =
√
2r, H = 4r
1.21
1 + x − x2
1 − x + x2
2(1 − 2x)
(1 − x + x2)2
1.22
1
sin 2
ln
1 + x
1 − x
− ln
1 + x cos 2
1 − x cos 2
cotg 2
2 sin 2
(1 − x2) (1 − x2 cos2 2)
, x ∈ (−1, 1)
1.23
1
√
1 + x2 x +
√
1 + x2 −
1
(x2 + 1)3/2
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 6
1.24 sin cos2 x · cos sin2
x − sin 2x · cos (cos 2x)
1.25 x + x +
√
x
1 +
√
x 2 + 4 x +
√
x
8
√
x x +
√
x x + x +
√
x
, x > 0
1.26 x (sin ln x − cos ln x) 2 sin ln x, x > 0
1.27
√
1 + x2 − ln
1
x
+ 1 +
1
x2
√
x2 + 1
x
, x ̸= 0
1.28
arccos x
x
+
1
2
ln
1 −
√
1 − x2
1 +
√
1 − x2
−
arccos x
x2
, x ∈ ⟨−1, 1⟩, x ̸= 0
1.29 xxx
xxx
xx−1 + xx ln x (ln x + 1) , x > 0
1.30 x arcsin
x
1 + x
+ arccotg
√
x −
√
x arcsin
x
x + 1
−
1
√
x (x + 1)
, x > 0
1.31 xsin2 x xsin2 x sin2
x
x
+ 2 sin x cos x ln x , x > 0
1.32 x arcsin
x2 − 1
x2 + 1
arcsin
x2 − 1
x2 + 1
+
2x
x2 + 1
1.33 5x log10 x 5x log x ln 5 log x +
1
ln 10
, x > 0
1.34 log7
x2 − 1
x − 1
1
(x + 1) ln 7
, x > −1
1.35 x − ln
√
1 + e2x + e−x arctg ex
2 ex − 1 + e2x arctg ex
e3x + ex
1.36 xsin x + ln cos
√
ex + 1
xsin x cos x ln x +
sin x
x
−
ex tg
√
ex + 1
2
√
ex + 1
, x > 0
1.37 x ln2
(x +
√
1 + x2) − 2
√
1 + x2 ln(x +
√
1 + x2) + 2x
ln2
x +
√
1 + x2
1.38
1 + x2
3
√
x4 sin7
x
2
3 x2 − 2 sin x − 7x x2 + 1 cos x
3
√
x7 sin8
x
, x ̸= 0
1.39 f′(2π) funkce f(x) = x2(cos x)− sin x.
f′(2π) = (cos x)− sin x 2x + x2 sin2
x
cos x
− cos x ln(cos x)
2π
= 4π, x ∈ (4k−1, 4k+1)
π
2
,
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 7
k ∈ Z
1.40 xln(sin x) x
√
1 + x2
xln(sin x) ln(sin x) + x ln x cotg x
√
1 + x2
+
1
(1 + x2)3/2
, x > 0 ∧ x ∈ (2k, 2k + 1) π, k ∈ Z
1.41 xsin(ln x)
√
1 + x2
x
xsin(ln x) (x2 + 1) [sin(ln x) + ln x cos(ln x)] − 1
x2
√
1 + x2
, x > 0
1.42 eax cos x a sin bx − b cos bx
√
ax2 + b2
, kde a, b jsou kladné konstanty.
eax cos x a sin bx − b cos bx
√
ax2 + b2
a cos x − ax sin x −
ax
ax2 + b2
+
ab cos bx + b2 sin bx
√
ax2 + b2
1.43 xax sin x a sin
√
bx − b cos
√
bx
√
a2 + b2
, kde a, b jsou kladné konstanty.
√
b cos
√
bx
√
a2 + b2
xax sin x a sin x
√
b
(1 + ln x + x ln x cotg x) a tg
√
bx − b +
a + b tg
√
bx
2
√
x
,
x > 0. Proč není nutná podmínka x ̸= (2k + 1)
π
2
, k ∈ Z ?
1.44 (ax sin x)
b sin x
x , kde a, b jsou kladné konstanty.
b (ax sin x)
b sin x
x
sin x + x cos x
x2
+ ln(ax sin x)
cos x
x
−
sin x
x2
,
x > 0 ∧ x ∈ (2k, 2k + 1)π
x < 0 ∧ x ∈ (2k − 1, 2k)π
, k ∈ Z
1.45 (ax ex)
b ln x
x2 , kde a, b jsou kladné konstanty.
b
x3
(ax ex)
b ln x
x2 [(1 + x) ln x + ln(ax ex) (1 − 2 ln x)] , x > 0
1.46 (x ex)
a
x ln x , kde a je kladná konstanta.
−
a(x + ln2
x)
x2 ln2
x
e
a(x+ln x)
x ln x , x > 0, x ̸= 1.
1.2 Neurčité integrály funkcí jedné proměnné
• Neurčitým integrálem nazýváme nekonečně velkou množinu funkcí, tvořenou součtem libovolné
reálné konstanty C s tzv. primitivní funkcí F(x) k dané původní funkci f(x), pro
niž platí F′(x) = f(x). V případě funkce jedné proměnné lze psát
ˆ
f(x) dx = F(x) + C. (1.32)
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 8
Integrace je tedy inverzním procesem k derivování, neurčité integrály (anglicky také antiderivatives)
některých elementárních funkcí můžeme vyčíst přímo z rovnic (1.7) - (1.27).
• Následující výčet shrnuje neurčité integrály elementárních funkcí jedné proměnné2:
ˆ
C1xn
dx = C1
xn+1
n + 1
+ C2, C1, C2 ∈ R, n ∈ R \{−1}, jsou konstanty, (1.33)
ˆ
ex
dx = ex
+ C, C ∈ R je konstanta, (1.34)
ˆ
ax
dx =
ax
ln a
+ C, a > 0, a ̸= 1 je konstanta, (1.35)
ˆ
1
x
dx = ln |x| + C1 = ln(C2|x|), x ̸= 0, C2 > 0, C1 = ln C2, (1.36)
ˆ
sin x dx = − cos x + C, (1.37)
ˆ
cos x dx = sin x + C, (1.38)
ˆ
1
cos2 x
dx = tg x + C, x ̸= (2k + 1)
π
2
, k ∈ Z, (1.39)
ˆ
1
sin2
x
dx = − cotg x + C, x ̸= kπ, k ∈ Z, (1.40)
ˆ
1
√
1 − x2
dx = arcsin x + C1 = − arccos x + C2, −1 < x < 1, (1.41)
ˆ
1
1 + x2
dx = arctg x + C1 = − arccotg x + C2, (1.42)
ˆ
sinh x dx = cosh x + C, (1.43)
ˆ
cosh x dx = sinh x + C, (1.44)
ˆ
1
cosh2
x
dx = tanh x + C, (1.45)
ˆ
1
sinh2
x
dx = − coth x + C, x ̸= 0, (1.46)
ˆ
1
√
x2 + 1
dx = ln x + x2 + 1 + C = argsinh x + C, (1.47)
ˆ
1
√
x2 − 1
dx = ln x + x2 − 1 + C = argcosh x + C, x > 1, (1.48)
ˆ
1
1 − x2
dx =



1
2
ln
1 + x
1 − x
+ C = argtanh x + C, −1 < x < 1
1
2
ln
x + 1
x − 1
+ C = argcoth x + C, |x| > 1,
(1.49)
ˆ
1
x2 − 1
dx =
1
2
ln
x − 1
x + 1
+ C. (1.50)
• Součin dvou funkcí u(x) a v′(x) nezávisle proměnné x můžeme integrovat metodou per par-
2
neurčité integrály jsou vyčerpávajícím způsobem tabelovány například v Bartsch (2008), Rektorys (2009).
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 9
tes, která je integrálem rovnice (1.29):
uv =
ˆ
(uv)′
dx =
ˆ
u′
v + uv′
dx a tedy
ˆ
uv′
dx = uv −
ˆ
u′
v dx. (1.51)
• Substituční metodou můžeme integrovat složenou funkci (viz rovnice (1.31)), kdy vnitřní
funkci lze nahradit novou proměnnou, anebo můžeme integrovat jednoduchou funkci, kdy
nezávisle proměnnou nahrazujeme novou vnitřní funkcí:
– Substituční metodu 1. typu lze použít při integraci složené funkce f[ϕ(x)] nezávisle
proměnné x ve tvaru
ˆ
f[ϕ(x)]ϕ′
(x) dx =
ˆ
f(z) dz = F(z) + C = F[ϕ(x)] + C, (1.52)
kde můžeme nahradit (substituovat) vnitřní funkci novou proměnnou: ϕ(x) = z,
ϕ′(x) dx = dz. Substituční metodou 1. typu je i univerzální substituce tg (x/2) = z,
pomocí které lze libovolnou goniometrickou funkci převést na funkci racionální.
– Substituční metodu 2. typu lze použít při integraci jednoduché funkce f(x) nezávisle
proměnné x způsobem
ˆ
f(x) dx =
ˆ
f[ϕ(z)]ϕ′
(z) dz = F(z) + C = F[ϕ−1
(x)] + C, (1.53)
kde můžeme nahradit původní proměnnou novou vnitřní funkcí nové proměnné:
x = ϕ(z), dx = ϕ′(z) dz a kde výraz ϕ−1 znamená inverzní funkci k ϕ. Typickým
příkladem této metody je substituce x = sin z, pomocí níž lze iracionální funkce typu√
1 − x2 dx anebo dx/
√
1 − x2 v integrandu nahradit v prvním případě goniometrickou
funkcí cos2 z dz, ve druhém případě pouze dz.
• Racionální funkci ve tvaru
f(x) =
Pm(x)
Qn(x)
=
amxm + am−1xm−1 + · · · + a1x + a0
bnxn + bn−1xn−1 + · · · + b1x + b0
, (1.54)
kde Pm(x) a Qn(x) jsou polynomy stupně m a n (kdy m ≥ n), lze rozložit na součet
polynomu a ryze racionální funkce (kdy m < n). Racionální funkci lze vyjádřit buď jako
součet parciálních zlomků, nebo, v případě kdy např. f(x) = 1/Q2(x), kde Q2(x) je
polynom 2. stupně dále nerozložitelný v R, provedeme úpravu (tzv. doplnění na čtverec)
b2x2 +b1x+b0 =
√
b2x + b1/(2
√
b2)
2
+b0 −b2
1/(4b2), vedoucí na integrál ve tvaru rovnice
(1.42).
• Obdobným způsobem můžeme řešit integrály iracionálních funkcí typu f(x) = 1/ Q2(x),
kde Q2(x) je polynom 2. stupně, jehož doplnění na čtverec vede na integrály ve tvaru rovnic
(1.41), (1.47) nebo (1.48). Vyčerpávajícím způsobem jsou metody analytických výpočtů
neurčitých integrálů funkcí všech typů tabelovány např. ve sbornících: Bartsch (2008),
Rektorys (2009), atd.
• Příklady:
1.47
ˆ
4x3
− 6x2
+ 8x − 1 dx x x3 − 2x2 + 4x − 1 + C
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 10
1.48
ˆ
x−4
+ x−3
+ x−2
+ x−1
dx −
1
x
1
3x2
+
1
2x
+ 1 + ln |x| + C, x ̸= 0
1.49
ˆ
√
x − 1
2
− x
2
dx x 1 −
8
3
√
x + 2x + C, x ≥ 0
1.50
ˆ
(
√
x − 1)
3
x
dx
√
x
2
3
x − 3
√
x + 6 − ln |x| + C, x > 0
1.51
ˆ
sin2
x − 3 cos2
x dx − (x + sin 2x) + C
1.52
ˆ
42x
− e−x
dx
42x
4 ln 2
+ e−x + C
1.53
ˆ
x
x2 + 1
dx
1
2
ln x2 + 1 + C
1.54
ˆ
4x 7 − 2x2 dx −
2
3
7 − 2x2 3/2
+ C, |x| ≤
7
2
1.55
ˆ
dx
x ln x
ln | ln x| + C, x > 0, x ̸= 1
1.56
ˆ
1 − ln2
(ax)
3x
dx, kde a je kladná konstanta
ln(ax)
3
1 −
ln2
(ax)
3
+ C, x > 1
1.57
ˆ
( cotg x − tg x) dx ln
sin 2x
2
+ C, x ∈ k, k +
1
2
π, k ∈ Z
1.58
ˆ
1
x2
cos
1
x
dx − sin
1
x
+ C, x ̸= 0
1.59
ˆ
x2
sin x dx 2 − x2 cos x + 2x sin x + C
1.60
ˆ
x ln x dx
x2
4
(2 ln x − 1) + C, x > 0
1.61
ˆ
x3
+ 1 e−3x
dx −
e−3x
3
x3 + x2 +
2
3
x +
11
9
+ C
1.62
ˆ
e2x
sin x dx
e2x
5
(2 sin x − cos x) + C
1.63
ˆ
ln x
x2
dx −
1
x
(ln x + 1) + C, x > 0
1.64
ˆ
cos (ln x) dx
x
2
[ sin (ln x) + cos (ln x)] + C, x > 0
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 11
1.65
ˆ
x4
x2 − 3
dx
x3
3
+ 3x +
3
√
3
2
ln
x −
√
3
x +
√
3
+ C, x ̸= ±
√
3
1.66
ˆ
3x − 4
x2 − 4
dx ln (x + 2)5/2
√
x − 2 + C, x > 2
1.67
ˆ
x2
√
1 − x6
dx
1
3
arcsin x3 + C, x ∈ (−1, 1)
1.68
ˆ
dx
√
2 + 3x − 2x2
1
√
2
arcsin
4x − 3
5
+ C, x ∈ −
1
2
, 2
1.69
ˆ
dx
x2 + 3x + 3
2
√
3
arctg
2x + 3
√
3
+ C
1.70
ˆ
−x2
+ x e3x
dx −
x2
3
+
5x
9
−
5
27
e3x + C
1.71
ˆ
1 + x
√
1 + x2
dx
√
x2 + 1 + ln x +
√
x2 + 1 + C
1.72
ˆ
1
√
2 − x2
+
1
√
2 + x2
dx arcsin
x
√
2
+ argsinh
x
√
2
+ C, |x| <
√
2
1.73
ˆ
dx
sin x
ln tg
x
2
+ C, x ̸= kπ, k ∈ Z
1.74
ˆ
tg 3
x dx
1
2 cos2 x
+ ln | cos x| + C, x ̸= (2k + 1)
π
2
, k ∈ Z
1.75
ˆ
sin x
2 + sin x
dx x−
4
√
3
arctg
2 tg x
2 + 1
√
3
+C, x ̸= (2k+1)
π
2
, k ∈ Z
1.76
ˆ
1 + cos x
sin3
x
dx ln tg
x
2
−
1 + cos x
2 sin2
x
+ C, x ∈ (2k, 2k + 1)π, k ∈ Z
1.77
ˆ
dx
1 + sin x + cos x
ln 1 + tg
x
2
+ C, x ̸= (4k + 2, 4k + 3)
π
2
, k ∈ Z
1.78
ˆ
arctg
√
2x − 1 dx x arctg
√
2x − 1 −
√
2x − 1
2
+ C, x ≥
1
2
1.79
ˆ
dx
sin2
x cos2 x
−2 cotg (2x) + C, x ̸= k
π
2
, k ∈ Z
1.80
ˆ
dx
(4 − x2)3
x
4
√
4 − x2
+ C, |x| < 2
1.81
ˆ
ln x2
+ 1 dx x ln x2 + 1 + 2 arctg x − 2x + C
1.82
ˆ 3
1 + 4
√
x
√
x
dx
3
7
( 4
√
x + 1)
4/3
(4 4
√
x − 3) + C, x > 0
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 12
1.83
ˆ √
x − 1
x + 1
dx 2
√
x − 1 − 2
√
2 arctg
x − 1
2
+ C, x ≥ 1
1.84
ˆ 4
√
x − 1
x + 1
dx
4 4
√
x − 1 +
1
4
√
2
ln
2(x − 1) − 2 4
2(x − 1) + 2
2(x − 1) + 2 4
2(x − 1) + 2
+ 23/4 arctg [1 − 4
2(x − 1)] −
23/4 arctg [1 + 4
2(x − 1)] + C, x ≥ 1
1.85
ˆ
x
x3 − 1
dx
1
6
ln
(x − 1)2
x2 + x + 1
+
1
√
3
arctg
2x + 1
√
3
+ C, x ̸= 1
1.86 (a)
ˆ
dx
(x3 − 1)2 , (b)
ˆ
dx
sin4
x
, (c)
ˆ
dx
cos6 x
(a)
1
9
ln
x2 + x + 1
(x − 1)2
+
6
√
3
arctg
2x + 1
√
3
−
3x
x3 − 1
+ C, x ̸= 1
(b) −cotg x 1 +
cotg2 x
3
+ C, x ̸= kπ, k ∈ Z
(c) tg x +
2 tg3 x
3
+
tg5 x
5
+ C, x ̸= (2k + 1)
π
2
, k ∈ Z
1.3 Určité integrály funkcí jedné proměnné
Určitý integrál funkce f(x) spojité na intervalu a ≤ x ≤ b, je definován předpisem
ˆ b
a
f(x) dx = F(b) − F(a), (1.55)
kde F(a), F(b) jsou funkční hodnoty primitivní funkce F(x) v bodech x = a, x = b. Geometrický
význam určitého integrálu funkce jedné proměnné je dán velikostí celkové plochy v rovině
xy, kde y = f(x), která je ohraničená grafem funkce f(x), osou x a přímkami x = a, x = b.
Velikosti dílčích ploch nad osou x, tj. kde f(x) > 0, přispívají k velikosti celkové plochy, velikosti
dílčích ploch pod osou x, kde f(x) < 0, se od velikosti celkové plochy odečítají (viz obrázek
1.2).
Zvláštní případ představují tzv. nevlastní integrály, jejichž meze jsou buď tvořeny nevlastními
čísly (−∞ a/nebo +∞) nebo jsou to integrály funkcí, které jsou uvnitř intervalu x = a,
x = b, nespojité. V prvním případě platí následující vztahy,
ˆ ∞
a
f(x) dx = lim
b→∞
ˆ b
a
f(x) dx,
ˆ b
−∞
f(x) dx = lim
a→−∞
ˆ b
a
f(x) dx, (1.56)
případně jejich kombinace. Pokud uvedené limity existují, považujeme je za hodnoty nevlastního
integrálu. Pro funkci f(x) nespojitou například v bodě h ∈ (a, b), kdy limx→h f(x) = ±∞ (může
jít o limitu zprava, zleva, nebo oboustrannou), definujeme její integrál (kde číslo ϵ > 0) jako
ˆ b
a
f(x) dx = lim
ϵ→0+
ˆ h−ϵ
a
f(x) dx + lim
ϵ→0+
ˆ b
h+ϵ
f(x) dx, (1.57)
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 13
a b
f (x)
x
+ +
–
Obrázek 1.2: Schematické vyobrazení geometrického významu určitého integrálu funkce f(x) jedné proměnné,
ilustrující vzorec (1.55) a předchozí výklad. Graf funkce je vyobrazen červenou křivkou. Dílčí
plochy, které přispívají k velikosti celkové plochy (kde f(x) > 0), dané integrálem (1.55), jsou vyznačené
okrovou (hnědou) barvou, dílčí plocha, která se od velikosti celkové plochy odečte (kde f(x) < 0), je
vyznačená červeně.
opět s tím, že pokud uvedené limity existují, považujeme je za hodnoty integrálu nespojité funkce
(výpočtu integrálu podle vzorce (1.57) se také říká určení hlavní hodnoty integrálu, například
určitý integrál funkce f(x) = 1/x se singularitou v bodě x = 0, v mezích a = −1, b = 1, bude
takto roven nule).
• Příklady:
1.87
ˆ 3
−3
x2
+ x − 3 dx 0
1.88
ˆ π/2
0
sin x cos x dx
1
2
1.89 (a)
ˆ π/2
0
sin2
x dx, (b)
ˆ π/4
0
sin2
x dx (a)
π
4
, (b)
π − 2
8
1.90
ˆ 1
−1
1
√
1 − x2
dx π
1.91
ˆ ∞
−∞
1
1 + x2
dx π
1.92
ˆ ∞
−∞
x2
1 + x6
dx
π
3
1.93
ˆ 1
0
1 −
x2
4
dx
π
6
+
√
3
4
1.94 (a)
ˆ 2
1
x ln x dx, (b)
ˆ 1
0
x ln x dx (a) ln 4 −
3
4
, (b) −
1
4
1.95 (a)
ˆ 3
1
x2
ln x dx, (b)
ˆ 1
0
x2
ln x dx (a) 9 ln 3 −
26
9
, (b) −
1
9
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 14
1.96
ˆ ∞
−∞
e−|x|
dx 2
1.97 (a)
ˆ ∞
−∞
e−x2
dx ⋆
, (b)
ˆ ∞
0
e−x2
dx ⋆
(a)
√
π, (b)
√
π
2
1.98
ˆ π/3
π/6
x dx
sin2
x cos2 x
[x ( tg x − cotg x) + ln (sin x cos x)]
π
3
π
6
=
π
√
3
1.99
ˆ √
π
0
x sin
x2
4
cos
x2
4
dx sin2 x2
4
√
π
0
=
1
2
1.100
ˆ 3
2
2x − 1
x2 − 4x + 5
dx [ln(x2 − 4x + 5) + 3 arctg (x − 2)]3
2 = ln 2 +
3π
4
1.101
ˆ 1
−1
4x2 + 1 dx
ln(
√
4x2 + 1 + 2x)
4
+
x
√
4x2 + 1
2
1
−1
=
ln(
√
5 + 2)
2
+
√
5 ≈ 2.96
1.102
ˆ π
4
−π
4
[(x tg x+a) tg x+1] dx, a je konstanta. x tg x + (1 − a) ln(cos x) −
x2
2
+ x
π
4
−π
4
=
π
2
1.103
ˆ π/4
−π/4
(x + a)
sin x
cos x
2
dx, a je konstanta.
x tg x + ln(cos x) −
x2
2
+ a tg x − ax
π
4
−π
4
= 2a 1 −
π
4
1.104
ˆ π/6
0
x dx
cos2 x − sin2
x
2
x
2
tg (2x) + ln 4
cos(2x)
π
6
0
=
1
4
π
√
3
− ln 2
1.105
ˆ 1
0
x arctg (x2
+ 1) dx
x2 + 1
2
arctg (x2 + 1) − ln 4
√
x4 + 2x2 + 2
1
0
= arctg 2 −
π
8
+
1
4
ln
2
5
1.106
ˆ 1
0
x3
ln x2
+ 1 dx
(x4 − 1) ln(x2 + 1)
4
−
x4
8
+
x2
4
1
0
=
1
8
1.4 Jednoduché geometrické a fyzikální aplikace integrace funkce
jedné proměnné3
V následujících příkladech je vždy třeba sestavit určitý integrál funkce jedné proměnné. Pokud
je v příkladu zadána spojitě proměnná tzv. intenzivní fyzikální veličina (hustota, tlak, hustota
⋆
Integrály v příkladu (1.97) řešíme „doplněním na čtverec“ v kartézském souřadném systému, tj. jejich vynásobením
stejným integrálem podle proměnné y, následným převedením do polárních souřadnic a odmocněním.
3
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 15
náboje, atd.), pomocí níž se má na dané oblasti stanovit odpovídající extenzivní veličina (hmotnost,
tlaková síla, velikost náboje, ...), výpočet provádíme jako integrál intenzivní veličiny přes
tuto oblast. Například hmotnost m kruhové desky o poloměru R s plošnou hustotou σ = σ(r),
kde r je vzdálenost od středu desky, určíme pomocí integrálu
m =
ˆ
S
σ(r) dS =
ˆ R
0
σ(r) 2πr dr. (1.58)
• Příklady:
1.107 Spočítejte velikost plochy, ohraničené „zespoda“ parabolou y = x2 a „shora“ křivkou
y =
√
x.
1
3
1.108 Spočítejte velikost plochy, ohraničené „zespoda“ parabolou y = x2 a „shora“ přímkou
y = x/2 + 5.
243
16
1.109 Rychlost hmotného bodu v jednorozměrném případě je dána vztahem
v = 3t −
18
(t + 1)
.
Určete dráhu, kterou projde hmotný bod v časovém intervalu od t = 0 do zastavení. Bude
hmotný bod v tomto časovém intervalu zrychlovat nebo brzdit (tj. bude se zvyšovat nebo
snižovat velikost jeho rychlosti) ?
s = 6 (1 − 3 ln 3), hmotný bod bude brzdit, vektor zrychlení má opačný směr než vektor
rychlosti.
1.110 Přehradní hráz je tvořena svislou betonovou zdí tvaru obdélníku, jehož délka je L. Hloubka
vodní nádrže je v celé délce hráze přesně H. Jaká je celková tlaková síla, kterou voda působí
na hráz ?
Fp =
ρgH
2
+ p0 LH, kde p0 je atmosférický tlak na hladině.
1.111 Válcová nádoba o poloměru R a výšce H je zcela naplněna plynem, jehož hustota směrem
od osy válce klesá. Pokles hustoty je vyjádřen funkcí
ρ = ρ0 e−r2
10 ,
kde ρ0 je hustota plynu v ose válce, r je vzdálenost od osy válce.
(a) Vypočítejte hmotnost plynu v nádobě.
(b) Vypočítejte celkovou tlakovou sílu, kterou působí plyn na všechny stěny nádoby,
pokud tlak p = a2ρ, kde a je konstantní (izotermická) rychlost zvuku.
(c) Jaká bude celková hmotnost a celková tlaková síla, pokud by poloměr vzrostl „nade
všechny meze“ (R → ∞) ?
(a) m = 10πρ0H 1 − e−R2
10
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 16
(b) Fp = 2πa2ρ0 10 + e−R2
10 (RH − 10)
(c) m = 10πρ0H, Fp = 20πa2ρ0
1.112 Válcová nádoba o poloměru R a výšce H je zcela vyplněna plynem, jehož tlak směrem
vzhůru klesá. Pokles tlaku je vyjádřen funkcí
p = p0 e− h
20 ,
kde p0 je tlak plynu na dně válce, h je svislá vzdálenost ode dna válce. Vypočítejte celkovou
sílu, kterou plyn působí na všechny stěny nádoby.
Fp = 40p0πR 1 − e− H
20 + p0πR2 1 + e− H
20
1.113 Válcová nádoba o poloměru R a výšce H je zcela vyplněna plynem, jehož tlak směrem od
osy válce klesá. Pokles tlaku je vyjádřen funkcí
p =
p0
1 + r
10
2 ,
kde p0 je tlak plynu v ose válce, r je vzdálenost od osy válce. Vypočítejte celkovou sílu,
kterou plyn působí na všechny stěny nádoby.
Fp = 200πp0
RH
100 + R2
+ ln 1 +
R2
100
1.114 Nádoba ve tvaru kvádru o čtvercovém půdorysu s délkou strany A a výšce H je zcela
vyplněna plynem, jehož vertikální pokles tlaku je vyjádřen funkcí
p =
p0
h
10 + 1
,
kde p0 je tlak plynu na dně nádoby, h je svislá vzdálenost ode dna nádoby. Vypočítejte
celkovou sílu, kterou plyn působí na (všechny) stěny nádoby.
Fp = p0A 2A
H + 5
H + 10
+ 40 ln
H
10
+ 1
1.115 Kruhová deska o poloměru R je elektricky nabitá s plošnou hustotou náboje σ. Vypočítejte
celkový elektrický náboj Q desky (velikost náboje by v případě σ = konst. byla dána jejím
součinem s velikostí příslušné plochy, Q = σS), pokud
(a) σ = A eBr2
,
(b) σ = A ln(r2 + B),
(c) σ = A e−r2
3 + Br,
(d) σ = A ln 3r2 + B + Ar,
kde A, B jsou kladné konstanty a r je vzdálenost od středu desky.
(a) Q =
πA
B
eBR2
− 1
(b) Q = πA{(R2 + B)[ln(R2 + B) − 1] − B(ln B − 1)}
Kapitola 1. Diferenciální a integrální počet 17
(c) Q = 3πA 1 − e−R2
3 +
2
3
πBR3
(d) Q =
πA
3
3R2 + B ln(3R2 + B) − B ln B + 2R3 − 3R2
1.116 Tenká přímá tyč (zanedbatelného průřezu) o délce L je kladně nabitá s homogenní délkovou
nábojovou hustotou τ. Koncové body tyče se nacházejí v bodech [0, 0, 0], [L, 0, 0].
Určete elektrostatický potenciál ϕ buzený nábojem tyče a vektor intenzity elektrického
pole v bodě P = [−D, 0, 0], D > 0 (v případě bodového náboje Q je elektrostatický potenciál
ϕ = Q/(4πϵr) a velikost intenzity elektrického pole je určena jako E = Q/(4πϵr2),
kde konstanta ϵ je tzv. permitivita a r je vzdálenost náboje od daného bodu P). Výsledek
vyjádřete pomocí celkového náboje Q tyče.
ϕ =
Q
4πϵL
ln
L + D
D
, ⃗E = −
Q
4πϵD(L + D)
, 0, 0 .
1.117 Tenká přímá tyč (zanedbatelného průřezu) o délce L je kladně nabitá s homogenní délkovou
nábojovou hustotou τ. Koncové body tyče se nacházejí v bodech [0, 0, 0], [L, 0, 0].
Určete elektrostatický potenciál ϕ buzený nábojem tyče v bodě P = [0, D, 0], D > 0.
ϕ =
Q
4πϵL
ln
L +
√
L2 + D2
D
1.118 Pro stejný případ tyče z příkladu 1.117 určete složky Ex a Ey vektoru intenzity elektrického
pole v bodě P = [0, D, 0], D > 0.
Ex =
Q
4πϵL
1
√
L2 + D2
−
1
D
, Ey =
Q
4πϵD
√
L2 + D2
.
1.119 Pro stejný případ tyče z příkladu 1.117 určete elektrostatický potenciál ϕ a složky Ex a
Ey vektoru intenzity elektrického pole v bodě P = [L/2, D, 0], D > 0.
ϕ =
Q
2πϵL
ln
L +
√
L2 + 4D2
2D
, Ex = 0, Ey =
Q
2πϵD
√
L2 + 4D2
.
1.120 Tenká oblouková tyč zanedbatelného průřezu s konstantním poloměrem R je kladně nabitá
s homogenní délkovou nábojovou hustotou τ. Koncové body tyče se nacházejí (v polárních
souřadnicích) v bodech [R, 4π/3, 0], [R, 5π/3, 0]. Určete elektrostatický potenciál ϕ a
složky Ex a Ey vektoru intenzity elektrického pole buzené nábojem tyče v bodě P =
[0, 0, 0]. Výsledek vyjádřete pomocí délkové hustoty τ i pomocí celkového náboje Q tyče.
ϕ =
τ
12ϵ
=
Q
4πϵR
, Ex = 0, Ey =
τ
4πϵR
=
3Q
4π2ϵR2
.
1.121 Předpokládejme hypotetické homogenní (ρ = konst.) kulové astronomické těleso o poloměru
R. Gravitační potenciální energie libovolné vnitřní kulové slupky o poloměru
r ∈ (0, R) je mgr, kde m je hmotnost kulové slupky a g = GMr/r2 je velikost gravitačního
zrychlení v místě slupky (G ≈ 6, 67 × 10−11 m3 kg−1
s−2 je gravitační konstanta).
Veličina Mr značí hmotnost koule o poloměru r. Jak velká bude celková gravitační potenciální
energie homogenní koule o poloměru R ? Výsledek vyjádřete pomocí hmotnosti
celé koule M a jejího poloměru R.
Ep =
3
5
G
M2
R
Kapitola 2
Základy vektorové a tenzorové algebry1
2.1 Vektory a matice
• Vektorový počet:
Základní operace s vektory lze (v ortonormálních bázích - viz odstavec 2.2) stručně zapsat
následujícím způsobem:
• Norma (velikost) vektoru ⃗a je definovaná (v R3) jako
∥⃗a∥ = a2
1 + a2
2 + a2
3
1/2
=
i
a2
i
1/2
, (2.1)
kde poslední forma zápisu předpokládá, že index i postupně „běží“ přes všechny složky
1, 2, 3, respektive x, y, z vektoru ⃗a. Tato konvence pro tzv. volné indexy umožňuje podstatně
stručnější zápis operací s vektory a maticemi (v této kapitole zatím pro jednoduchost
nezavádíme tzv. kovariantní formu zápisu s horními a dolními indexy).
• Vektorový součet dvou vektorů ⃗a a ⃗b, jehož explicitní forma zápisu (v R3) je
⃗c = ⃗a +⃗b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) = (c1, c2, c3), (2.2)
lze pomocí uvedené konvence s použitím volného indexu i zapsat jako
⃗c = ⃗a +⃗b = ai⃗ei + bi⃗ei = ci⃗ei, se složkami ai + bi = ci (vektor), (2.3)
kde ⃗ei jsou vektory báze (podrobněji viz odstavec 2.2).
• Skalární součin dvou vektorů ⃗a a ⃗b má tvar
⃗a ·⃗b = aibjδij = aibi = α (skalár), (2.4)
kde indexy i, j opět „běží“ přes všechny složky obou vektorů a kde symbol δij (tzv. Kroneckerovo
delta - podrobněji viz odstavec 2.3) nabývá hodnot δij = 1 pro i = j a δij = 0
pro i ̸= j. Navíc je zde zavedena tzv. Einsteinova sčítací (sumační) konvence, která říká,
že pokud se některý index v některém členu vektorové rovnice opakuje dvakrát (tzv. sčítací
index), členy s tímto indexem sčítáme a sumační symbol je tak možné vynechat.
Geometrický význam skalárního součinu lze zapsat jako
⃗a ·⃗b = ∥⃗a∥∥⃗b∥ cos φ, (2.5)
kde φ je úhel svíraný oběma vektory (0 ≤ φ ≤ π).
1
Doporučená literatura k této kapitole: Proskuryakov (1978), Young (1993), Kvasnica (2004), Arfken & Weber
(2005), Musilová & Musilová (2006).
19
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 20
· ϕ
a b sin ϕ
c = a × b
b
a
·ϕ
α
h
a
c
b
Obrázek 2.1: Levý obrázek: Schematické vyobrazení geometrického významu vektorového součinu, ilustrující
vzorce (2.6) - (2.7). Vektor ⃗c, který je vektorovým součinem vektorů ⃗a a ⃗b, je kolmý na rovinu
jimi vymezenou a jeho orientace je dána pravidlem pravé ruky. Barevně zvýrazněná plocha vyznačuje
rovnoběžník, definovaný vektory ⃗a a ⃗b, jehož velikost je rovna velikosti vektoru ⃗c. Pravý obrázek: Schematické
vyobrazení geometrického významu smíšeného součinu. Vektory ⃗a, ⃗b, ⃗c zde tvoří pravotočivou
bázi, jejich smíšený součin podle vzorce (2.8) udává kladný objem rovnoběžnostěnu, jimi definovaného.
Stejný objem je dán součinem velikosti barevně zvýrazněné plochy (základny) a výšky h. Vektor ⃗b × ⃗c
je na tuto základnu kolmý a je orientován směrem vzhůru, jeho velikost ∥⃗b × ⃗c∥ odpovídá velikosti základny.
Skalární součin vektoru ⃗a s vektorem ⃗b × ⃗c je podle vzorce (2.5) roven ∥⃗a∥∥⃗b × ⃗c∥ cos α, kde
ovšem ∥⃗a∥ cos α = h a tedy ⃗a · (⃗b × ⃗c) = ∥⃗b × ⃗c∥h.
• Vektorový součin dvou vektorů ⃗a a ⃗b je definován jako
⃗c = ⃗a ×⃗b = εijkajbk⃗ei = ci⃗ei (vektor), (2.6)
kde indexy i, j, k označují jednotlivé složky vektorů ⃗a, ⃗b, ⃗c. Symbol εijk (tzv. Levi-Civitův
symbol - podrobněji viz odstavec 2.3) nabývá hodnot εijk = +1 pro sudé permutace indexů
(tj. 123, 231, 312), εijk = −1 pro liché permutace indexů (tj. 132, 213, 321) a εijk = 0
pokud trojice indexů ijk není permutací 123 (tj. pokud se některý z indexů opakuje).
Geometrický význam vektorového součinu (viz levý panel v obrázku 2.1) lze zapsat jako
⃗a ×⃗b = ⃗n ∥⃗a∥∥⃗b∥ sin φ, (2.7)
kde φ je úhel svíraný vektory ⃗a, ⃗b (0 ≤ φ ≤ π) a ⃗n je jednotkový vektor (∥⃗n∥ = 1) kolmý
k rovině, vymezené vektory ⃗a, ⃗b (jehož orientace je v pravotočivé bázi daná pravidlem
pravé ruky). Velikost vektorového součinu ∥⃗a ×⃗b∥ = ∥⃗a∥∥⃗b∥ sin φ tedy vyjadřuje velikost
plochy rovnoběžníka, přirozeně určeného danými vektory ⃗a, ⃗b.
• Smíšený součin tří vektorů ⃗a, ⃗b a ⃗c má (analogicky k rovnicím (2.4) a (2.6)) tvar
⃗a · (⃗b × ⃗c) = εijkaibjck = α (skalár), (2.8)
kde indexy i, j, k označují jednotlivé složky vektorů ⃗a, ⃗b, ⃗c. Jeho hodnota vyjadřuje orientovaný
objem rovnoběžnostěnu (viz pravý panel v obrázku 2.1), definovaného danými
třemi vektory, tj. objem je kladný, tvoří-li vektory ⃗a, ⃗b, ⃗c v daném pořadí pravotočivou
bázi, netvoří-li bázi je nulový, pro levotočivou bázi ⃗a, ⃗b, ⃗c je záporný.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 21
• Maticový počet:
Základní pojmy maticového počtu a základní operace s maticemi lze stručně zapsat následujícím
způsobem:
• Násobení matice číslem: Vynásobíme-li matici A typu m×n (m řádků a n sloupců) číslem
λ ∈ C, výsledkem bude matice B = λA typu m × n, kdy pro každý prvek bij matice B
(prvek na i-tém řádku a j-tém sloupci) platí
bij = λ aij. (2.9)
• Součet matic: Součtem dvou matic A typu m × n a B typu m × n bude matice C typu
m × n, kdy pro každý prvek cij matice C platí
cij = aij + bij. (2.10)
• Násobení matic: Součinem dvou matic A typu m×ℓ a B typu ℓ×n bude matice C = AB
typu m × n, kdy pro každý prvek cij matice C platí
cij =
ℓ
k=1
aikbkj = aikbkj, (2.11)
kde poslední výraz je zapsán pomocí Einsteinovy sumační konvence. Rozepíšeme-li vzorec
(2.11) explicitně, dostáváme c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31, c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32,
atd. Násobení matic není komutativní, obecně tedy platí AB ̸= BA. Maticové násobení
v obou směrech lze navíc provést pouze tehdy, pokud matice A je typu m × n a matice B
je typu n × m, výsledné matice budou tedy typu m × m pro součin AB, respektive n × n
pro součin BA.
• Hodnost matice lze definovat jako počet lineárně nezávislých řádků, tj. počet nenulových
řádků po provedení tzv. Gaussovy eliminace (úpravě na schodovitý tvar). Je-li hodnost h
čtvercové matice A (typu n × n) h(A) < n, jde o matici singulární, pokud h(A) = n, jde
o matici regulární.
• Stopu čtvercové matice A lze definovat jako součet prvků na hlavní diagonále matice, tj.
pro každý prvek aij matice A platí
tr(A) =
i,j
aijδij =
i
aii = aii, (2.12)
kde poslední výraz je zapsán pomocí Einsteinovy sumační konvence. Platí-li navíc A =
(aij) = 0 pro všechna i ̸= j, jde o tzv. diagonální matici, platí-li A = (aij) = δij, jedná se
o jednotkovou matici (značíme ji E nebo 1).
• Transponovaná matice AT
vznikne z matice A vzájemnou výměnou řádků a sloupců, pro
jednotlivé prvky transponované matice platí aT
ij = aji. Pokud platí AT
= A, pak matici A
označujeme jako symetrickou, kde pro každý prvek platí aij = aji. Matici A označujeme
jako antisymetrickou, pokud pro každý její prvek platí aij = −aji, všechny prvky na hlavní
diagonále budou proto nulové a tedy také tr(A) = 0.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 22
• Determinantem čtvercové matice A typu n × n bude skalár det A, který lze obecně určit
např. pomocí Levi-Civitova symbolu:
det A =
j1, j2, ..., jn
εj1j2···jn aj11aj22 · · · ajnn. (2.13)
Dostáváme tedy det A = a11 pro n = 1, pro n = 2 bude det A = a11a22 − a21a12, pro
n = 3 bude det A = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a11a32a23 − a21a12a33 − a31a22a13
(tzv. Sarrusovo pravidlo). Levi-Civitův symbol můžeme definovat i pro obecně n-rozměrný
prostor, v tom případě bude obsahovat n různých indexů, přičemž sudé permutace budou
vytvářeny sudým počtem číselných záměn, liché permutace lichým počtem číselných
záměn, celkový počet permutací bez opakování je n! (viz kapitola 12.1). Například sudé
permutace symbolu εijkl ve čtyřrozměrném prostoročase budou ε0123, ε0231, ε0312, ε1032,
ε1320, ε1203, ε2130, ε2301, ε2013, ε3210, ε3102, ε3021. Ostatních 12 permutací (bez opakování)
bude lichých. Determinant singulární matice det A = 0, determinant regulární matice
det A ̸= 0.
• Inverzní maticí k regulární čtvercové matici A bude matice B = A−1
, pokud platí
AB = BA = E. (2.14)
• Hermiteovsky sdružená matice (značená obvykle AH
v lineární algebře, A†
případně A+
v kvantové mechanice) je označení pro matici komplexně sdruženou a transponovanou,
AH
= (A∗
)T
. (2.15)
Pokud AH
= AT
, jedná se o matici reálnou. Pokud AH
= A, mluvíme o tzv. Hermiteovské
matici.
• Unitární matice U je regulární čtvercová matice, jejíž hermiteovsky sdružená matice je
současně maticí inverzní, tj. UH
= U−1
a tedy
UH
U = UUH
= E. (2.16)
Reálná unitární matice UH
= UT
je tzv. maticí ortogonální, kdy její řádky, respektive
sloupce, tvoří ortonormální soustavu vektorů (viz kapitola 2.2).
• Číslo λ nazýváme vlastní hodnotou (vlastním číslem) a nenulový vektor ⃗v nazýváme (pravým)
vlastním vektorem čtvercové matice A typu n × n, pokud je splněna podmínka
A⃗v = λ⃗v, (2.17)
matice A tedy působí na vlastní vektor jako skalár, tj. nemění jeho směr (v případě tzv.
levých vlastních vektorů bude mít podmínka (2.17) podobu ⃗vA = λ⃗v). Z rovnice (2.17)
přímo vyplývá relace pro určení vlastních hodnot matice A, kdy soustava n lineárních
rovnic
(A − λE)⃗v = ⃗0 ∧ ⃗v ̸= ⃗0, tedy
n
j=1
(aij − λδij)vj = 0 pro i = 1, 2, . . . , n
(2.18)
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 23
má nenulové řešení právě tehdy, pokud je matice této soustavy singulární, tj. pokud
det (A − λE) = 0. (2.19)
Vlastní vektory příslušné jednotlivým vlastním hodnotám potom určíme z rovnice (2.18).
Pravé vlastní vektory budou mít tvar cr(v1r, v2r, · · · , vnr)T , levé vlastní vektory budou
cl(v1ℓ, v2ℓ, · · · , vnℓ), kde cr a cℓ jsou libovolné konstanty.
• Submatici matice A obdržíme vynecháním vybraných řádků a/nebo sloupců v matici A.
Determinant regulární čtvercové submatice se nazývá subdeterminant nebo také minor.
• Pro podrobnější studium problematiky počítání s vektory a maticemi doporučuji například
sbírku Proskuryakov (1978); Young (1993); Kvasnica (2004).
• Příklady:
2.1 Jsou dány vektory ⃗a = (0, 2, 4), ⃗b = (1, 3, 5) a ⃗c = (6, 1, 3). Vypočítejte |⃗a|, |⃗b|, |⃗c|,
⃗a × (⃗b × ⃗c), (⃗a ×⃗b) × ⃗c, (⃗a +⃗b) · (⃗c − ⃗a), (⃗b + ⃗c) × (⃗a −⃗b), (⃗a ·⃗b)2 + (⃗c × ⃗a)2.
√
20,
√
35,
√
46, (−142, 16, −8), (14, −6, −26), −8, (4, −1, −3), 1400
2.2 Vypočítejte obsah rovnoběžníku, jehož vrcholy tvoří body A = [0, 0, 0], B = [1, 2, 3], C a
D = [3, 2, 1]. Dopočítejte souřadnice bodu C.
4
√
6, C = [4, 4, 4]
2.3 Body A = [2, 1, 0], B = [2, 2, 3], C = [0, 1 +
√
40, 0] tvoří vrcholy trojúhelníku. Pomocí
vektorového součinu najděte jeho obsah.
10
2.4 Body A = [4, 1, 0], B = [4, −2, −3], C = [1, −5, −3] tvoří vrcholy trojúhelníku. Určete
velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku a pomocí vektorového součinu vypočítejte jeho obsah.
π
6
,
2π
3
,
π
6
,
9
√
3
2
2.5 Body A = [2, −4, 9], B = [−1, −4, 5], C = [6, −4, 6] tvoří vrcholy trojúhelníku. Pomocí
vektorového součinu vypočítejte jeho obsah a určete velikost úhlu α.
25
2
,
π
4
2.6 Jsou dány matice A =
3 −5 7
−2 9 4
, B =


−2 5
4 −3
2 1

. Vypočítejte AB, BA.
AB =
−12 37
48 −33
, BA =


−16 55 6
18 −47 16
4 −1 18


2.7 Jsou dány matice A =
2 1 3
0 1 −7
, B =


3 2 0
−2 1 2
4 −2 1

, C =
2 1
−1 3
. Vypočítejte
všechny součiny různých matic (v libovolném pořadí a počtu) a také všechny determinanty
a inverzní matice.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 24
AB =
16 −1 5
−30 15 −5
, CA =
4 3 −1
−2 2 −24
, CAB =
2 13 5
−106 46 −20
,
det B = 35, det C = 7, B−1
=
1
35


5 −2 4
10 3 −6
0 14 7

, C−1
=
1
7
3 −1
1 2
2.8 Vypočítejte inverzní matici k matici A =


1 0 −2
−2 1 3
0 1 −2

. A−1
=


5 2 −2
4 2 −1
2 1 −1


2.9 Jsou dány matice A =


3 1 2
0 2 1
−1 3 3

, B =
0 1 1
−1 0 2
. Vypočítejte inverzní matici A−1
a matici D = BA−1
.
A−1
=
1
12


3 3 −3
−1 11 −3
2 −10 6

, D =
1
12
1 1 3
1 −23 15
2.10 Vypočítejte determinant matice A =




2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 −1



. det A = 2
2.11 Vypočítejte determinant matice A =




2 0 −3 3
1 4 3 −1
1 −4 8 0
0 3 −1 2



. det A = 294
2.12 Vypočítejte determinant matice A =






2 2 1 1 1
5 6 3 4 5
7 5 3 5 7
13 10 3 8 13
7 2 1 1 6






. det A = 120
2.13 Vypočítejte hodnost matice A =


1 2 1
0 5 −1
2 −1 3

. h(A) = 2
2.14 Vypočítejte hodnost matice A =


−1 1 2 4
0 1 −1 2
2 −1 0 3

. h(A) = 3
2.15 Jsou dány matice A =


1 −1 1
0 5 2
1 −4 0

, B =


0 1 2
−2 9 3
10 6 0

, C =


1 2 3
1 4 9
1 2 4

. Vypočítejte
matice P = A − BT
− 3C, Q = (3AT
+ B)C, R = C2
B, S = CBC a determinanty matic
A, B a C.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 25
P =


−2 −5 −18
−4 −16 −31
−4 −13 −12

, Q =


9 20 38
10 68 165
25 74 147

, R =


298 348 60
678 788 136
334 391 68

,
S =


71 216 443
187 556 1121
87 260 527

, det A = 1, det B = −174, det C = 2
2.16 Vypočítejte minor submatice B matice A z příkladu 2.14, jestliže submatice B je tvořena:
(a) 1. a 3. řádkem a 1. a 2. sloupcem matice A,
(b) 2. a 3. řádkem a 2. a 4. sloupcem matice A,
(c) 1. a 3. řádkem a 2. a 4. sloupcem matice A,
(d) všemi řádky a 1., 3. a 4. sloupcem matice A.
(a) M = −1, (b) M = 5, (c) M = 7, (d) M = 19
2.2 Báze a jejich transformace
Bázi vektorového prostoru V dimenze n můžeme definovat jako uspořádanou n-tici lineárně
nezávislých vektorů, které tzv. generují vektorový prostor V , tj. kdy každý vektor z vektorového
prostoru V lze vyjádřit jako lineární kombinaci těchto (bázových) vektorů. Významnou
roli při praktických výpočtech hrají báze ortogonální, resp. ortonormální. Ortogonální báze je
speciálním případem obecné báze, kdy různé bázové vektory jsou na sebe kolmé. Pro bázové
vektory ⃗xi, ⃗xj, i ̸= j tedy platí
⃗xi · ⃗xj = 0, případně v algebraické notaci, (⃗xi, ⃗xj) = 0. (2.20)
Ortonormální báze je speciálním případem ortogonální báze, kdy všechny bázové vektory (značíme
je v tomto případě ⃗ei, často se také používá ^xi ) mají navíc jednotkovou velikost,
⃗ei · ⃗ej = δij, případně, (⃗ei,⃗ej) = δij. (2.21)
Na příkladu obrázku 2.2 zkonstruujeme matice přechodu mezi bázemi a ukážeme princip reprezentace
vektoru v různých bázích v R2 (v případě vyšší dimenze vektorového prostoru bude
postup zcela analogický). Jsou zavedeny dvě báze E a F, černá a červená, s bázovými vektory
⃗e1, ⃗e2 a ⃗f1, ⃗f2, kdy černá báze je ortonormální, červená báze je zcela obecná. Přechod z červené
báze F do černé báze E je zde dán vztahy (popisujícími vektorový součet)
⃗f1 = 2,5⃗e1 + 0,5⃗e2,
⃗f2 = 0,3⃗e1 + ⃗e2.
(2.22)
Můžeme tedy ihned napsat matici přechodu S z báze F do báze E:
S (F → E) =



5
2
1
2
3
10
1


 . (2.23)
Matici přechodu ((2.23), i všechny další) lze zapsat také pomocí sloupcového formalismu, tj.
vektory ⃗f1, ⃗f2 budou zapsány jako sloupcové. V takovém případě bude „sloupcově“ zapsaná matice
přechodu násobit libovolný, rovněž sloupcový vektor (viz rovnice (2.29) v dalším výkladu),
zapsaný za maticí. Ostatní dále popsané principy zůstanou nezměněné.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 26
e1
e2
f1
f2
Obrázek 2.2: Schéma reprezentace vektoru ⃗v, vyznačeného zelenou barvou, ve dvou různých bázích
v R2
, v černě vyznačené ortonormální bázi s bázovými vektory ⃗e1, ⃗e2 a v červeně vyznačené obecné
bázi s bázovými vektory ⃗f1, ⃗f2. Přechod z červené do černé báze je dán vztahy: ⃗f1 = 2,5⃗e1 + 0,5⃗e2,
⃗f2 = 0,3⃗e1 + ⃗e2. V černě vyznačené bázi má vektor ⃗v složky o velikosti (2, 2), velikost složek je zde
znázorněna průmětem vektoru ⃗v do směrů jednotlivých vektorů báze, zvýrazněným černými čárkovanými
čarami a znamená poměr velikosti těchto průmětů ku velikosti příslušných bázových vektorů. Totéž
platí v červeně vyznačené bázi, kde velikost složek je dána průmětem vektoru ⃗v do směrů jednotlivých
bázových vektorů, zvýrazněným červenými čárkovanými čarami. Velikost složek vektoru ⃗v v červené
bázi bude
28
47
,
80
47
≈ (0,6; 1,7).
Z rovnic (2.22) snadno odvodíme rovnice pro ⃗e1, ⃗e2, tedy rovnice opačného přechodu z černé
báze E do červené báze F:
⃗e1 =
20
47
⃗f1 −
10
47
⃗f2,
⃗e2 = −
6
47
⃗f1 +
50
47
⃗f2.
(2.24)
V maticovém zápisu půjde o zpětnou matici přechodu T, která je inverzní vůči matici S, tedy
T = S−1
:
T (E → F) =



20
47
−
10
47
−
6
47
50
47


 . (2.25)
Daný (zelený) vektor ⃗v má vodorovnou a svislou složku v černé bázi E znázorněnou průmětem
vektoru do vodorovné a svislé osy, tj. do směrů, které odpovídají bázovým vektorům ⃗e1, ⃗e2.
Velikosti těchto složek budou odpovídat poměru délek těchto průmětů (vyznačených čárkovaně
černě) a příslušných bázových vektorů, můžeme tedy vektor ⃗v zapsat jako vektorový součet
(v tomto případě předem zvolených) násobků vektorů báze E, nebo pouze pomocí složek:
⃗v = 2⃗e1 + 2⃗e2, nebo ⃗v = (2, 2), (2.26)
kdy ve druhém případě implicitně předpokládáme, že se „pohybujeme“ v bázi E. Určení složek
vektoru ⃗v v červené bázi F bude zcela obdobné. Průměty vektoru ⃗v do směrů bázových vektorů
⃗f1, ⃗f2 jsou znázorněné čárkovaně červeně, velikosti složek budou opět odpovídat poměru délek
těchto průmětů a příslušných bázových vektorů. Uvědomíme-li si, že vektor ⃗v je jen jeden a
tedy vektorový součet jeho složek musí být stejný bez ohledu na to ze které báze se na něj
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 27
„díváme“, můžeme pro stanovení jeho složek v bázi F například nejprve analogicky k rovnici
(2.26) obecně napsat
⃗v = a⃗f1 + b⃗f2 = 2⃗e1 + 2⃗e2. (2.27)
Dosazením za vektory ⃗e1, ⃗e2 z rovnice (2.24) dopočítáme velikosti složek a, b:
⃗v =
28
47
⃗f1 +
80
47
⃗f2, nebo ⃗v =
28
47
,
80
47
, (2.28)
kdy ve druhém případě opět implicitně předpokládáme, že se „pohybujeme“ v bázi F. Stejný
výsledek dostaneme, vynásobíme-li vektor ⃗v, zapsaný pomocí jeho složek v černé bázi E, maticí
T přechodu z černé báze E do červené báze F:
(a, b) = (2, 2)



20
47
−
10
47
−
6
47
50
47


 =
28
47
,
80
47
. (2.29)
Zpětnou transformaci můžeme ověřit vynásobením takto získaných složek (a, b) vektoru ⃗v v bázi
F maticí S přechodu z červené báze F do černé báze E, výsledkem musí být původní složky
vektoru ⃗v v bázi E:
28
47
,
80
47



5
2
1
2
3
10
1


 = (2, 2). (2.30)
Obdobným postupem bychom zjistili, že v jiné „červené bázi“ F, dané transformací
⃗f1 = 2⃗e1 + 0,5⃗e2,
⃗f2 = ⃗e1 + ⃗e2,
(2.31)
(kde báze E je opět ortonormální) bude reprezentace obecného vektoru ⃗a = 3⃗e1 +1,5⃗e2 = 3, 3
2
mít podobu (zkuste sami načrtnout příslušný obrázek)
⃗a = ⃗f1 + ⃗f2 = (1, 1) . (2.32)
V případě ortonormálních bází budou matice přechodu mezi nimi maticemi pouze rotačními,
tedy ortogonálními. Musí tedy platit: T−1
= TT
a zároveň: det T = det T−1
= ±1 (pokud
det T = det T−1
= −1, jedná se o tzv. nepravou (nevlastní) rotaci, tedy rotaci spojenou se
zrcadlením v rovině kolmé k ose rotace). Další podrobnosti, týkající se vektorového a maticového
počtu včetně počítání s bázemi - viz příslušné kursy lineární algebry.
• Příklady:
2.17 Ve vektorovém prostoru R3 jsou dány vektory ⃗v1 = (1, 2, 1), ⃗v2 = (−1, 1, 1), ⃗v3 = (2, 1, 0).
Tvoří tyto vektory bázi tohoto vektorového prostoru ? ne
2.18 Nechť vektory ⃗e1, ⃗e2, ⃗e3, ⃗e4 tvoří ortonormální bázi vektorového prostoru R4. Rozhodněte,
jestli vektory ⃗u = 2⃗e1 +⃗e2 +⃗e3 −⃗e4, ⃗v = ⃗e1 −⃗e2 +⃗e3 +⃗e4, ⃗w = ⃗e2 −⃗e3 −⃗e4, ⃗z = ⃗e1 +⃗e2 +⃗e3,
tvoří také bázi tohoto vektorového prostoru. ano
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 28
2.19 Nalezněte matice přechodu mezi standardní ortonormální bází (kartézské soustavy) a
ortonormální bází cylindrické soustavy (transformační rovnice viz odstavec 4.2).


⃗er
⃗eϕ
⃗ez

 =


cos ϕ sin ϕ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1




⃗ex
⃗ey
⃗ez

,


⃗ex
⃗ey
⃗ez

 =


cos ϕ − sin ϕ 0
sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1




⃗er
⃗eϕ
⃗ez


2.20 Nalezněte matice přechodu mezi standardní ortonormální bází (kartézské soustavy) a
ortonormální bází sférické soustavy (transformační rovnice viz odstavec 4.3).


⃗er
⃗eθ
⃗eϕ

 =


sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ
cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ
− sin ϕ cos ϕ 0




⃗ex
⃗ey
⃗ez

,


⃗ex
⃗ey
⃗ez

 =


sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ
sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ
cos θ − sin θ 0




⃗er
⃗eθ
⃗eϕ


2.21 Nalezněte matici přechodu pro složky polohového vektoru pevného bodu při otočení kartézké
souřadnicové soustavy o úhel α okolo osy z (tzv. matici rotace). Polohový vektor
obecného bodu v otočené soustavě označíme ⃗r ′ = (x′, y′, z′), polohový vektor stejného
bodu v původní soustavě bude ⃗r = (x, y, z).


x′
y′
z′

 =


cos α sin α 0
− sin α cos α 0
0 0 1




x
y
z


2.22 Nalezněte matici G Galileovy transformace časoprostoru. Galileova časoprostorová transformace
je daná přiřazením (t′, x′, y′, z′)T → (t, x, y, z)T , kde t′ = t, x′ = x − vxt,
y′ = y − vyt a z′ = z − vzt, přičemž vektor ⃗v = (vx, vy, vz) interpretujeme jako rychlost
a ⃗u je obdobný vektor rychlosti v čárkované soustavě. Vynásobením matic dokažte vztah
G⃗uG⃗v = G⃗u+⃗v a vysvětlete proč se tento vztah nazývá klasickým pravidlem skládání
rychlostí.




1 0 0 0
−vx 1 0 0
−vy 0 1 0
−vz 0 0 1



,




1 0 0 0
−vx − ux 1 0 0
−vy − uy 0 1 0
−vz − uz 0 0 1




2.23 Vektor ⃗a má v ortonormální bázi B v R2 složky (11/2, −1). Přechod mezi bázemi B a B′
je dán vztahy
⃗e ′
1 = 4⃗e1 + ⃗e2,
⃗e ′
2 =
3
2
⃗e1 − 2⃗e2.
Určete matici T přechodu z báze B do báze B′, matici S přechodu z báze B′ do báze B a
složky vektoru ⃗a v bázi B′. Je báze B′ ortonormální (uveďte důvod) ? Nakreslete obrázek,
znázorňující velikost a směr všech uvedených vektorů, tj. vektorů obou bází i vektoru ⃗a.
T =



4
19
2
19
3
19
−
8
19


, S =
4 1
3
2
−2
, ⃗a(B′) = (1, 1), báze B′ není ortonormální.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 29
2.24 Vektor ⃗a má v ortonormální bázi B složky (1, 0, −2). Přechod mezi bázemi B a B′ je dán
vztahy
⃗e1 = −⃗e ′
1 + ⃗e ′
2 − ⃗e ′
3 ,
⃗e2 = ⃗e ′
1 + 2⃗e ′
3 ,
⃗e3 = ⃗e ′
1 + ⃗e ′
2 + 2⃗e ′
3 .
Určete matici T přechodu z báze B do báze B′, matici S přechodu z báze B′ do báze B a
složky vektoru ⃗a v bázi B′. Je báze B′ ortonormální (uveďte důvod) ?
T =


−1 1 −1
1 0 2
1 1 2

, S =


−2 −3 2
0 −1 1
1 2 −1

, ⃗a(B′) = (−3, −1, −5), báze B′ není ortonor-
mální.
2.25 Vektor ⃗a má v ortonormální bázi B′ složky (1, 2, −1). Přechod mezi bázemi B a B′ je dán
vztahy
⃗e1 = ⃗e ′
2 − ⃗e ′
3 ,
⃗e2 = ⃗e ′
1 + 2⃗e ′
3 ,
⃗e3 = ⃗e ′
1 + ⃗e ′
2 + 2⃗e ′
3 .
Určete matici T přechodu z báze B do báze B′, matici S přechodu z báze B′ do báze B a
složky vektoru ⃗a v bázi B. Je báze B ortonormální (uveďte důvod) ?
T =


0 1 −1
1 0 2
1 1 2

, S =


2 3 −2
0 −1 1
−1 −1 1

, ⃗a(B) = (3, 2, −1), báze B není ortonormální.
2.26 Vektor ⃗a má v ortonormální bázi B′ složky (1, 1, 1). Přechod mezi bázemi B a B′ je dán
vztahy
⃗e1 = ⃗e ′
1 − 2⃗e ′
2 − 3⃗e ′
3 ,
⃗e2 = 2⃗e ′
1 − ⃗e ′
2 − ⃗e ′
3 ,
⃗e3 = −⃗e ′
1 + ⃗e ′
2 + ⃗e ′
3 .
Určete matici T přechodu z báze B do báze B′, matici S přechodu z báze B′ do báze B a
složky vektoru ⃗a v bázi B. Je báze B ortonormální (uveďte důvod) ?
T =


1 −2 −3
2 −1 −1
−1 1 1

, S =


0 1 1
1 2 5
−1 −1 −3

, ⃗a(B) = (0, 2, 3), báze B není ortonormální.
2.27 Vektor ⃗a má ve standardní kartézské bázi E složky (1, −
√
3, 1). Dále jsou zadány dvě báze
B a B′, přičemž matice R−1
přechodu z báze B′ do báze E má tvar
R−1
(B′
−→ E) =



√
3
2
1
2 0
−1
2
√
3
2 0
0 0 1


 .
Přechod mezi bázemi B a B′ je dán vztahy
⃗e1 = ⃗e ′
1 − ⃗e ′
2 − 2⃗e ′
3 ,
⃗e2 = 2⃗e ′
1 − ⃗e ′
2 + ⃗e ′
3 ,
⃗e3 = −⃗e ′
1 + ⃗e ′
2 + 3⃗e ′
3 .
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 30
Určete matici T přechodu z báze B do báze B′, matici S přechodu z báze B′ do báze B a
složky vektoru ⃗a v bázích B a B′. Jsou báze B a B′ ortonormální (uveďte důvod) ?
T =


1 −1 −2
2 −1 1
−1 1 3

, S =


−4 1 −3
−7 1 −5
1 0 1

, ⃗a(B′) = (0, −2, 1), ⃗a(B) = (15, −2, 11),
B′ ano, B ne.
2.28 Vektor ⃗a má ve standardní kartézské bázi E složky (1, 1, 1). Dále jsou zadány dvě báze B
a B′, přičemž matice R−1
přechodu z báze B′ do báze E má tvar
R−1
(B′
−→ E) =


1
2 0 1
2
0 1 0
−1 0 1

 . R =


1 0 −1
2
0 1 0
1 0 1
2


Přechod mezi bázemi B a B′ je dán vztahy
⃗e1 = ⃗e ′
2 + ⃗e ′
3 ,
⃗e2 = 2⃗e ′
1 + ⃗e ′
3 ,
⃗e3 = −⃗e ′
1 + ⃗e ′
2 .
Určete matici R přechodu z báze E do báze B′, matici T přechodu z báze E do báze B,
matici S přechodu z báze B do báze E a složky vektoru ⃗a v bázích B a B′. Jsou báze B a
B′ ortonormální (uveďte důvod) ?
T =


−2 3
2 2
−1 1 2
0 1
2 0

, S =


−1 1 1
0 0 2
−1
2 1 −1
2

, ⃗a(B′) = (2, 1, 0),⃗a(B) = (−3, 3, 4),
B′ ne, B ne.
2.29 Vektor ⃗a má ve standardní kartézské bázi E složky (1, 1, 1). Dále jsou zadány dvě báze B
a B′, přičemž matice R−1
přechodu z báze B′ do báze E má tvar
R−1
(B′
−→ E) =


0 −1 0
1 0 0
0 0 −1

 .
Přechod mezi bázemi B a B′ je dán vztahy
⃗e1 = ⃗e ′
2 + ⃗e ′
3 ,
⃗e2 = 2⃗e ′
1 + ⃗e ′
3 ,
⃗e3 = −⃗e ′
1 + ⃗e ′
2 .
Určete matici T přechodu z báze E do báze B, matici S přechodu z báze B do báze E a
složky vektoru ⃗a v bázích B a B′. Jsou báze B a B′ ortonormální (uveďte důvod) ?
T =


−1 1 2
1 −1 −1
−2 1 2

, S =


1 0 −1
0 −2 −1
1 1 0

, ⃗a(B′) = (−1, 1, −1), ⃗a(B) = (−2, 1, 3),
B′ ano, B ne.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 31
2.30 Vektor ⃗a má ve standardní kartézské bázi E složky (1, 1, 2). Dále jsou zadány dvě báze B
a B′, přičemž matice R−1
přechodu z báze B′ do báze E má tvar
R−1
(B′
−→ E) =


1 1 0
−1 1 0
0 0 1

 .
Přechod mezi bázemi B a B′ je dán vztahy
⃗e1 = −⃗e ′
2 − 2⃗e ′
3 ,
⃗e2 =
1
2
⃗e ′
1 −
3
2
⃗e ′
2 + ⃗e ′
3 ,
⃗e3 = ⃗e ′
2 + 3⃗e ′
3 .
Určete matici T přechodu z báze E do báze B, matici S přechodu z báze B do báze E a
složky vektoru ⃗a v bázích B a B′. Jsou báze B a B′ ortonormální (uveďte důvod)? Je báze
B′ ortogonální (prokažte) ?
T =


−4 1 −3
−7 1 −5
1 0 1

, S =


1 −1 −2
2 −1 1
−1 1 3

, ⃗a(B) = (−9, 2, −6), ⃗a(B′) = (1, 0, 2),
B′ ne, B ne. Ano.
2.3 Úvod do tenzorového počtu
Kromě skalárů a vektorů (tj. tenzorů nultého a prvního řádu) existují složitější algebraické struktury,
tedy tenzory vyšších řádů. Z nich nejběžnější a nejjednodušší jsou tzv. tenzory druhého
řádu, které obvykle popisují fyzikální pole s tzv. smykovými účinky (reprezentovanými nediagonálními
prvky v příslušném tenzoru) v mechanice kontinua, například tenzor deformace, tenzor
napětí, atd. Kartézským tenzorem druhého řádu nazveme matici T = (Tij), i, j = 1, 2, . . . , n,
transformují-li se její prvky Tij při ortogonální transformaci souřadnic (rotaci v n-rozměrném
„prostoru“) x′
i = aijxj (viz příklad 2.21, aij jsou prvky ortogonální matice) podle vztahu
T′
ij = aikajlTkl. (2.33)
Tak jako každý obecný vektor ⃗v je tvořen n skalárními složkami (v1, v2, . . . , vn), je obecný tenzor
druhého řádu T tvořen n „vektorovými“ složkami (⃗T1, ⃗T2, . . . , ⃗Tn), které lze obecně zapsat,
⃗Tj =





T1j
T2j
...
Tnj





, (2.34)
kde každý z vektorů ⃗Tj je zapsán pomocí n složek. Zapíšeme-li obecně n-rozměrný tenzor druhého
řádu formou explicitního maticového zápisu, bude obsahovat n2 prvků,
T = (Tij) =





T11 T12 · · · T1n
T21 T22 · · · T2n
...
...
...
...
Tn1 Tn2 · · · Tnn





, (2.35)
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 32
Zapíšeme-li tedy 3-rozměrný (nejběžnější) tenzor druhého řádu formou explicitního maticového
zápisu,
T = (Tij) =


T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33

 , (2.36)
je každý ze tří vektorů ⃗Tj reprezentován jedním sloupcem matice (2.36). V tomto odstavci opět
pro jednoduchost zatím nezavádíme počítání s horními a dolními indexy a dále se zde také
budeme „pohybovat“ pouze v kartézské ortonormální bázi.
Geometrický význam tenzoru druhého řádu z rovnice (2.36) si můžeme přiblížit na příkladu
tenzoru napětí. Na těleso konečných rozměrů může, na rozdíl od hmotného bodu, působit síla
(síly) takovým způsobem, že v různých bodech tohoto tělesa má vektor síly (výslednice sil) různou
velikost a směr. Představme si, že toto těleso se skládá z jednotlivých malých objemových
elementů, ohraničených plošnými elementy (pro jednoduchost si představujme malé krychličky
s hranami rovnoběžnými s jednotlivými kartézskými osami). Působení síly na každou takovou
plošku vybrané krychličky můžeme rozložit na tři nezávislé směry: kolmo (normálově) a rovnoběžně
(tangeciálně) ve směru dvou zbývajících os. Protože plošky jsou orientovány také ve třech
různých směrech, označíme vždy prvním indexem orientaci každé plošky podle směru její normály
a druhým indexem vždy jeden ze tří jednotlivých směrů rozložené síly působící na plošku.
Potřebujeme tedy obecně celkem 9 složek.
• Symetrické a antisymetrické tenzory:
Tenzory druhého řádu (analogicky k symetrickým, respektive antisymetrickým maticím) lze
rozložit na součet symetrického a antisymetrického tenzoru druhého řádu. Pro každý prvek
Tij, i, j = 1, . . . , n platí
Tij =
1
2
(Tij + Tji) +
1
2
(Tij − Tji) = Sij + Qij, (2.37)
kde (Sij) je n-rozměrný symetrický tenzor druhého řádu, určený n(n + 1)/2 prvky, (Qij) je
n-rozměrný antisymetrický tenzor druhého řádu, určený n(n − 1)/2 prvky. U tenzorů vyšších
řádů se symetrie nebo antisymetrie vztahuje vždy pouze k určité vybrané dvojici indexů.
• Sčítání tenzorů:
V následujících pojednáních implicitně předpokládáme, že se jedná vždy o tenzory v „prostoru“
stejné dimenze n. Sčítáme (analogicky ke sčítání matic) jednotlivé prvky se stejnými indexy
(záleží na jejich pořadí), sčítat tedy můžeme pouze tenzory stejného řádu, například
Rijk = αPijk + βQijk, (2.38)
kde α a β jsou skaláry.
• Kontrakce tenzorů:
Kontrakcí (úžením) tenzorů rozumíme součet přes každou dvojici dvou stejných indexů v tenzoru
Tijk... (kdy nyní budeme samotné tenzory v souladu s obvyklou konvencí zapisovat bez závorky,
tedy pomocí jeho prvků). Kontrakcí tenzoru druhého řádu Tij, kdy položíme i = j, tak bude
(Einsteinova sumační konvence) Tii = T11 + T22 + T33 = tr(T) = α, tedy skalár (stopa tenzoru
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 33
druhého řádu). Kontrakcí tenzoru třetího řádu Tijk, kdy položíme například j = k, bude Tijj =
Ti11 + Ti22 + Ti33 = βTi, tedy vektor, kontrakcí tenzoru čtvrtého řádu Tijkl, kdy položíme
například k = l, bude Tijkk = Tij11 +Tij22 +Tij33 = γTij, tedy tenzor druhého řádu, atd. Každá
kontrakce (úžení) tenzoru Tijkl... libovolného řádu (nejméně ovšem druhého řádu se dvěma
indexy) snižuje řád tohoto tenzoru o dva.
• Násobení tenzorů:
Analogicky ke způsobu zápisu vektoru pomocí složky a jednotkového bázového vektoru (v Einsteinově
notaci) ⃗v = vi⃗ei můžeme tenzor druhého řádu zapsat jako
T = Tij⃗ei⃗ej nebo T = Tij⃗ei ⊗ ⃗ej. (2.39)
Rovnice (2.39) vyjadřuje tzv. tenzorový součin kartézských bázových vektorů, tedy tenzorový
součin dvou vektorů stejné dimenze, kdy první z nich je sloupcový a druhý řádkový. Tento
speciální případ tenzorového součinu se také nazývá dyadický součin (dyadic product). Jedná
se tedy o součin matic typu n×1 a 1×n s výslednou maticí typu n×n, na rozdíl od skalárního
součinu, který můžeme obdobně vyjádřit jako součin řádkové a sloupcové matice typu 1 × n
a n × 1 s výslednou maticí typu 1 × 1, tedy skalárem. Jednotlivé tzv. bázové tenzory druhého
řádu (dyády) ⃗ei⃗ej v rovnici (2.39) můžeme v kartézské soustavě (kdy n = 3) explicitně vyjádřit
následujícím maticovým zápisem,
⃗e1⃗e1 =


1 0 0
0 0 0
0 0 0

 , ⃗e1⃗e2 =


0 1 0
0 0 0
0 0 0

 , ⃗e1⃗e3 =


0 0 1
0 0 0
0 0 0

 ,
⃗e2⃗e1 =


0 0 0
1 0 0
0 0 0

 , ⃗e2⃗e2 =


0 0 0
0 1 0
0 0 0

 , ⃗e2⃗e3 =


0 0 0
0 0 1
0 0 0

 , (2.40)
⃗e3⃗e1 =


0 0 0
0 0 0
1 0 0

 , ⃗e3⃗e2 =


0 0 0
0 0 0
0 1 0

 , ⃗e3⃗e3 =


0 0 0
0 0 0
0 0 1

 .
Z rovnice (2.39) zároveň vyplývá, že každý prvek Tij tenzoru druhého řádu můžeme určit (obdobně
jako složku vi vektoru ⃗v lze určit skalárním součinem, vi = ⃗v · ⃗ei) pomocí dvojitého
součinu
Tij = ⃗ei · T · ⃗ej, (2.41)
kde jednotlivé skalární součiny reprezentují v tomto případě maticové násobení, tj, vektor ⃗ei
bude řádkový a vektor ⃗ej bude sloupcový. Tenzorovým součinem dvou vektorů ⃗v a ⃗w je tedy
tenzor druhého řádu, pro jehož každý prvek Tij platí
Tij = viwj. (2.42)
Pro dyadický součin také platí následující identity,
(⃗u ⊗ ⃗v) · ⃗w = (⃗v · ⃗w) ⃗u, ⃗u · (⃗v ⊗ ⃗w) = (⃗u · ⃗v) ⃗w, (2.43)
kdy skalární součin opět reprezentuje maticové násobení.
Výsledkem tenzorového součinu tenzorů obecných řádů bude vždy tenzor řádu, odpovídajícího
součtu řádů původních tenzorů (jehož dimenze bude odpovídat jejich součinu). Například
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 34
tenzorovým součinem tenzoru druhého řádu P s prvky Pij a tenzoru prvního řádu (vektoru) ⃗q
se složkami qk bude tenzor třetího řádu R s prvky Rijk, tenzorovým součinem tenzoru druhého
řádu P s prvky Pij a tenzoru druhého řádu Q s prvky Qkl bude tenzor čtvrtého řádu R s prvky
Rijkl, atd. Tenzorový součin obecných tenzorů P, Q, R (libovolného řádu) má následující vlast-
nosti:
• P ⊗ Q ̸= Q ⊗ P, (2.44)
• P ⊗ (Q ⊗ R) = (P ⊗ Q) ⊗ R, (2.45)
• P ⊗ (αQ + βR) = αP ⊗ Q + βP ⊗ R, (αP + βQ) ⊗ R = αP ⊗ R + βQ ⊗ R, (2.46)
kdy rovnice (2.44) vyjadřuje obecnou nekomutativitu tenzorového součinu (ve speciálních případech,
například pro tenzory nultého řádu nebo pokud P ≡ Q platit nemusí) a kde rovnice
(2.45) a (2.46) vyjadřují asociativitu a linearitu tenzorového součinu.
• Kroneckerovo delta:
Tzv. Kroneckerovo delta je matematická funkce, značená symbolem δij, určená následujícím
způsobem:
δij =
1, pokud i = j,
0, pokud i ̸= j.
(2.47)
Některé důležité vlastnosti funkce Kroneckerovo delta:
• Ortonormalitu vektorů ⃗ei,⃗ej můžeme vyjádřit jako eiejδij.
• δii = 3.
• Kroneckerovo delta δij zaměňuje indexy složek vektorů nebo prvků tenzorů, například
viδij = vj, nebo obecně Tij ... k ... zδkl = Tij ... l ... z. (2.48)
• Kontrakce (úžení) součinu dvou funkcí δijδjk s jedním společným indexem j na výslednou
funkci δik, úžení součinu dvou funkcí se dvěma společnými indexy i, j na výslednou funkci
δijδij = δii = 3.
• Kroneckerovo delta δij redukuje sumaci (tj. odstraňuje jednu sumu), kdy například
i j
Aijδij =
i
Aii,
j k
Ajkδjkδij =
j
Ajjδij = Aij. (2.49)
• Antisymetrický (permutační nebo také Levi-Civitův) symbol:
Tzv. antisymetrický (nebo také Levi-Civitův - viz oddíl 2.1) symbol, značený εijk, je definován
v R3 způsobem
εijk =



+1, pokud ijk jsou sudé permutace, tedy ijk = 123, 231, 312,
−1, pokud ijk jsou liché permutace, tedy ijk = 132, 213, 321,
0, pokud se některé dva indexy opakují, tedy pokud i = j ∨ j = k ∨ k = i.
(2.50)
Některé důležité vlastnosti Levi-Civitova symbolu εijk:
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 35
• Umožňuje stanovit výraz pro determinant obecné čtvercové regulární matice A libovolné
dimenze (je popsán v rovnici (2.13)). Například pro matici A dimenze 3 × 3 potom dostá-
váme
det A =
i,j,k
εijk Ai1 Aj2 Ak3. (2.51)
• Velmi užitečná při výpočtech (například vektorových identit nebo působení diferenciálních
operátorů) je také souvislost mezi Levi-Civitovým symbolem εijk a Kroneckerovou funkcí
δij. Z definice Levi-Civitova symbolu (2.50) jasně vyplývá, že společným působením dvou
symbolů εijk a εlmn dostáváme identitu
εijkεlmn = δilδjmδkn + δimδjnδkl + δinδjlδkm − δilδjnδkm − δimδjlδkn − δinδjmδkl, (2.52)
kterou můžeme kompaktním způsobem zapsat pomocí maticového formalismu ve tvaru
εijkεlmn = det


δil δim δin
δjl δjm δjn
δkl δkm δkn

 . (2.53)
• Z rovnice (2.53) a ze zúžení součinu Kroneckerových funkcí delta se společnými indexy
dále vyplývá, že působení dvou Levi-Civitových symbolů εijkεklm s jedním společným
indexem k zjednoduší rovnici (2.52) do podoby
εijkεklm = δilδjm − δimδjl, (2.54)
• V případě dvou, případně všech tří společných indexů dostaneme
εijkεjkl = 2δil, εijkεijk = 6. (2.55)
• Levi-Civitův symbol můžeme definovat i v Rn (popsáno také v kapitole 2.1), sudé permutace
budou vytvářeny sudým počtem číselných záměn pro n různých indexů, liché
permutace lichým počtem číselných záměn. Například sudé permutace symbolu ε1234 budou
ε0123, ε0231, ε0312, ε1032, ε1320, ε1203, ε2130, ε2301, ε2013, ε3210, ε3102, ε3021. Ostatních
12 permutací (bez opakování) bude lichých.
• Gradient a divergence tenzoru:
• Derivování skalárních funkcí popisuje kapitola 1.1. Význam operátorů gradientu, divergence
a rotace a jejich některá působení na tenzory nultého a prvního řádu je podrobně
vysvětlen v kapitole 5.3.
• Gradient (viz odstavec 5.3) tenzoru zvyšuje tzv. řád tenzoru o jedničku, tj. například
z vektoru (tenzoru prvního řádu) vytvoří tenzor druhého řádu, z tenzoru druhého řádu
tenzor třetího řádu, atd. Například gradient tenzoru T druhého řádu můžeme v kartézské
souřadné soustavě obecně zapsat,
⃗∇T =
∂Tjk
∂xi
= Rijk, (2.56)
s odpovídající reprezentací pomocí matice s 27 prvky. Ve výsledném tenzoru (třetího řádu,
týká se ale obecně jakéhokoli řádu) v rovnici (2.56) upozorňujeme na pořadí indexů, kdy
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 36
první index označuje proměnnou, podle níž se derivuje, další indexy označují příslušný
prvek tenzoru.
Napíšeme-li tedy explicitně gradient vektoru (v kartézské souřadné soustavě v R3), dostá-
váme
⃗∇ ⃗A =
∂Aj
∂xi
= Tij, kde Tij =







∂Ax
∂x
∂Ay
∂x
∂Az
∂x
∂Ax
∂y
∂Ay
∂y
∂Az
∂y
∂Ax
∂z
∂Ay
∂z
∂Az
∂z







. (2.57)
• Divergenci tenzoru můžeme chápat jako kontrakci gradientu, kdy například v rovnici
(2.56) položíme i = k, dostaneme tak namísto tenzoru třetího řádu tenzor prvního řádu
(vektor) se složkami Aj = ∂Tjk/∂xk. Divergence (viz také odstavec 5.3) tenzoru tedy
snižuje řád tenzoru, tj. například z tenzoru druhého řádu vytvoří vektor, z vektoru skalár,
atd. Divergenci tenzoru T druhého řádu můžeme v kartézské souřadné soustavě v R3
obecně zapsat,
⃗∇ · T =
∂Tij
∂xj
⃗ei = ⃗A. (2.58)
Explicitně rozepsaný výsledný vektor bude mít tvar
⃗A =
∂Txx
∂x
+
∂Txy
∂y
+
∂Txz
∂z
,
∂Tyx
∂x
+
∂Tyy
∂y
+
∂Tyz
∂z
,
∂Tzx
∂x
+
∂Tzy
∂y
+
∂Tzz
∂z
. (2.59)
Rovnici (2.58) můžeme také zapsat formou maticového násobení vektoru gradientu s tenzorem
T,
⃗∇ · T =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z


Txx Txy Txz
Tyx Tyy Tyz
Tzx Tzy Tzz


T
. (2.60)
kde výsledný vektor je dán rovnicí (2.59).
• Příklady (uvažujeme vždy kartézskou ortonormální bázi daného vektorového prostoru) :
2.31 Napište explicitní podobu skalárního součinu ⃗u · ⃗v s obecným parametrem a a potom
tenzorový (dyadický) součin ⃗u ⊗ ⃗v a ⃗v ⊗ ⃗u vektorů ⃗u = (1, 5, −5, 2) a ⃗v = (2, −1, a, 4)
v R4, kdy oba vektory budou vzájemně kolmé. Proveďte kontrakci výsledných tenzorů
druhého řádu.
⃗u · ⃗v = 5(1 − a), ⃗u ⊗ ⃗v =




2 −1 1 4
10 −5 5 20
−10 5 −5 −20
4 −2 2 8



, ⃗v ⊗ ⃗u =




2 10 −10 4
−1 −5 5 −2
1 5 −5 2
4 20 −20 8




Kontrakcí obou tenzorů druhého řádu získáme (shodný) skalární součin obou vektorů,
pokud ⃗u ⊥ ⃗v, potom ⃗u · ⃗v = 0
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 37
2.32 Napište explicitní podobu tenzorového součinu tenzoru druhého řádu T a vektoru ⃗v v R3,
Tij =


1 1 −1
2 1 2
3 1 1

 , ⃗v = (4, 2, 2),
a poté proveďte jeho kontrakci položením indexu, označujícího složky vektoru, rovným j.
Tij ⊗ vk = Sijk =


R111 R112 R113 R121 R122 R123 R131 R132 R133
R211 R212 R213 R221 R222 R223 R231 R232 R233
R311 R312 R313 R321 R322 R323 R331 R332 R333

 =
=


4 2 2 4 2 2 −4 −2 −2
8 4 4 4 2 2 8 4 4
12 6 6 4 2 2 4 2 2

 , Si = (4, 14, 16)
2.33 Napište explicitní podobu tenzorového součinu dvou tenzorů druhého řádu P a Q v R2,
Pij =
2 2
1 3
, Qkl =
1 −1
1 2
, a poté proveďte jeho kontrakci pomocí l = k.
Pij⊗Qkl = Rijkl =




R1111 R1112 R1211 R1212
R1121 R1122 R1221 R1222
R2111 R2112 R2211 R2212
R2121 R2122 R2221 R2222



 =




2 −2 2 −2
2 4 2 4
1 −1 3 −3
1 2 3 6



 , Rij =
6 6
3 9
2.34 Složky yi vektoru ⃗y jsou dány rovnicí yi = bijzj, kde složky zi vektoru ⃗z jsou dány rovnicí
zi = aijxj, i, j = 1, 2, 3. Napište explicitně i pomocí Einsteinovy notace transformační
rovnice složek vektoru ⃗y přímo pomocí složek vektoru ⃗x.
y1 = (b11a11 +b12a21 +b13a31)z1 +(b11a12 +b12a22 +b13a32)z2 +(b11a13 +b12a23 +b13a33)z3,
y2 = (b21a11 +b22a21 +b23a31)z1 +(b21a12 +b22a22 +b23a32)z2 +(b21a13 +b22a23 +b23a33)z3,
y3 = (b31a11 +b32a21 +b33a31)z1 +(b31a12 +b32a22 +b33a32)z2 +(b31a13 +b32a23 +b33a33)z3
yi = bimamjzj
2.35 Upravte následující výrazy (i, j, . . . = 1, 2, 3):
(a) δiiδkk, (b) δijδikδjl, (c) δilδjlδmmδqjδqk, (d) δi1δj2δk3, (e) δilδjjδkk − δkjδjkδil
(a) 9, (b) δkl, (c) 3δik, (d) 1, (e) 6δil
2.36 Dokažte, že:
(a) εij εij = 2!
(b) εijk εijk = 3!
(c) εijkl εijkl = 4!
(d) Odhadněte výsledek εi1 i2 i3 ... in εi1 i2 i3 ... in
(e) Napište úplnou podobu tzv. Levi-Civitova tenzoru (daného rovnicí (2.50)).
(a)-(d) pomocí rovnic (2.52) a (2.53), (e) εijk =


0 0 0 0 0 1 0 −1 0
0 0 −1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 −1 0 0 0 0 0


Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 38
2.37 Pomocí Kroneckerova delta a Levi-Civitova symbolu v Einsteinově notaci ověřte vektorovou
identitu ⃗A × ⃗B = − ⃗B × ⃗A.
Pomocí identit εijkAjBk⃗ei = −εikjAjBk⃗ei = −εikjBkAj⃗ei = −εijkBjAk⃗ei, při přechodu
ze třetího ke čtvrtému členu zaměníme indexy j a k.
2.38 Pomocí Kroneckerova delta a Levi-Civitova symbolu v Einsteinově notaci ověřte identitu
pro smíšený součin ⃗A · ( ⃗B × ⃗C) = ⃗B · (⃗C × ⃗A) = ⃗C · ( ⃗A × ⃗B).
Pomocí úpravy výrazu (Ai⃗ei) · (εijkBjCk⃗ei) a následných sudých permutací.
2.39 Pomocí Kroneckerova delta a Levi-Civitova symbolu v Einsteinově notaci ověřte identitu
pro smíšený součin ⃗A · ( ⃗B × ⃗A) = 0.
Analogicky k příkladu 2.38 dostáváme AiεijkBjAk = BiεijkAjAk = ⃗B · ( ⃗A × ⃗A) = 0.
2.40 Pomocí Kroneckerova delta a Levi-Civitova symbolu v Einsteinově notaci ověřte vektorovou
identitu ⃗A × ( ⃗B × ⃗C) = ( ⃗A · ⃗C) ⃗B − ( ⃗A · ⃗B) ⃗C.
Pomocí výrazu (Aj⃗ej)×(εklmBlCm⃗ek) = εijkAjεklmBlCm⃗ei a dále pomocí rovnice (2.54).
2.41 Pomocí Kroneckerova delta a Levi-Civitova symbolu v Einsteinově notaci ověřte vektorovou
identitu ( ⃗A × ⃗B) · (⃗C × ⃗D) = ( ⃗A · ⃗C)( ⃗B · ⃗D) − ( ⃗A · ⃗D)( ⃗B · ⃗C).
Pomocí výrazu (εijkAjBk⃗ei) · (εilmClDm⃗ei) a dále pomocí rovnice (2.54).
2.42 Pomocí Kroneckerova delta a Levi-Civitova symbolu v Einsteinově notaci ověřte vektorovou
identitu ( ⃗A × ⃗B) × (⃗C × ⃗D) = ⃗C [ ⃗D · ( ⃗A × ⃗B)] − ⃗D [⃗C · ( ⃗A × ⃗B)].
Pomocí dalších úprav výrazu εijk( ⃗A × ⃗B)j(⃗C × ⃗D)k⃗ei s použitím rovnic (2.6) a (2.54).
2.43 Pomocí Einsteinovy a vektorové symboliky rozepište vektorovou identitu ⃗∇ · ⃗A · ⃗∇ ⃗B.
Aj
∂
∂xj
∂Bi
∂xi
+
∂Aj
∂xi
∂Bi
∂xj
= ⃗A · ⃗∇ ⃗∇ · ⃗B + tr ⃗∇ ⃗A · ⃗∇ ⃗B
2.44 Jednotlivé členy tzv. Cauchyho tenzoru deformace Eij (popisujícího malé deformace) lze
pomocí indexů zapsat jako
Eij =
1
2
∂vi
∂xj
+
∂vj
∂xi
,
kde i, j = 1, 2, 3 a vi, vj jsou složky vektoru rychlosti. V Einsteinově notaci napište výraz
pro divergenci tohoto tenzoru, napište také explicitní výraz pro první vektorovou složku
této divergence.
∂Eij
∂xj
=
1
2
∂2vi
∂x2
j
+
∂2vj
∂xi∂xj
,
∂Exx
∂x
+
∂Exy
∂y
+
∂Exz
∂z
=
1
2
∆vx +
∂
∂x
⃗∇ · ⃗v
2.45 Jednotlivé členy tzv. Greenova-Lagrangeova tenzoru deformace Eij (popisujícího libovolně
velké deformace) lze pomocí indexů zapsat jako
Eij =
1
2
∂vi
∂xj
+
∂vj
∂xi
+
∂vk
∂xj
∂vk
∂xi
,
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 39
kde i, j, k = 1, 2, 3 a vi, vj, vk jsou složky vektoru rychlosti. V Einsteinově notaci napište
výraz pro divergenci tohoto tenzoru.
∂Eij
∂xj
=
1
2
∂2vi
∂x2
j
+
∂2vj
∂xi∂xj
+
∂vk
∂xj
∂2vk
∂xi∂xj
+
∂vk
∂xi
∂2vk
∂x2
j
2.46 Tzv. tenzor napětí Tij lze zapsat například formou
Tij = −p δij + η
∂vi
∂xj
+
∂vj
∂xi
,
kde i, j = 1, 2, 3 a vi, vj jsou složky vektoru rychlosti, p je skalární veličina (skalární
tlak) a η je konstanta (koeficient dynamické viskozity). Pomocí Einsteinovy a vektorové
symboliky napište výraz pro divergenci tohoto tenzoru.
∂Tij
∂xj
= −
∂p
∂xi
+ η
∂2vi
∂x2
j
+
∂2vj
∂xi∂xj
= −⃗∇p + η ∆⃗v + ⃗∇ ⃗∇ · ⃗v
2.47 Tzv. tenzor viskózního (střihového) napětí σij lze zapsat například formou
σij = η
∂vi
∂xj
+
∂vj
∂xi
+ λ
∂vk
∂xk
δij,
kde i, j, k = 1, 2, 3, vi, vj, vk jsou složky vektoru rychlosti a η i λ jsou konstanty (koeficient
dynamické viskozity, koeficient dilatační viskozity). Pomocí Einsteinovy a vektorové
symboliky napište výraz pro divergenci tohoto tenzoru.
∂σij
∂xj
= η
∂2vi
∂x2
j
+
∂2vj
∂xi∂xj
+ λ
∂2vk
∂xi∂xk
= η∆⃗v + (η + λ) ⃗∇ ⃗∇ · ⃗v
2.4 Kovariantní a kontravariantní transformace: ⋆
Působením metrického tenzoru dané soustavy (viz například rovnice (B.4), (B.3), (B.36) a
(B.63) v příloze B) transformujeme složky vektorových a tenzorových veličin mezi tzv. kovariantní
a kontravariantní bází, které rozlišují kvantitativní chování dané geometrické nebo
fyzikální entity při změně báze. Abychom zachovali velikost vektoru jako takovou, musí být
složky vektorů (například polohy nebo rychlosti), jejichž rozměr je přímo úměrný měřítku báze,
kontra-variantní vůči bázovým vektorům, zapisujeme je ⃗V = V i ⃗ei. Naopak, složky tzv. duálních
vektorů, nazývaných také kovektory (například vektor gradientu, který má rozměr převrácené
hodnoty vzdálenosti), musí být ko-variantní vůči změně báze, zapisujeme je ⃗V = Vi ⃗e i. V zápisu
se tedy formálně odlišují spodní nebo horní polohou indexů. V ortogonálních souřadných
soustavách má tzv. kovariantní metrický tenzor η prvky gij pouze na hlavní diagonále (viz
tzv. Laméovy koeficienty, rovnice (B.11)). Pro tzv. kontravariantní metrický tenzor η′ s prvky
gij vždy platí ηη′ = E, tedy η′ = η−1, pro jejich prvky vždy platí (Einsteinova sumační konvence)
gijgij = dim V , tedy dimenze příslušného vektorového prostoru V . Metrický tenzor je
vždy symetrický, platí tedy gij = gji, gij = gji. Obecné a explicitní vyjádření transformace
vektoru Vi z kovariantní do kontravariantní báze lze tedy zapsat způsobem (viz Einsteinova
sumační konvence):
V j
= gji
Vi = gj1
V1 + gj2
V2 + gj3
V3. (2.61)
⋆ jsou označeny odstavce a příklady, určené primárně studentům vyšších ročníků bakalářského studia
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 40
Transformaci kovariantního tenzoru druhého řádu Tij do kontravariantní báze zapíšeme násle-
dovně:
Tj
i = gjk
Tki = gj1
T1i + gj2
T2i + gj3
T3i (smíšený ko- a kontravariantní tenzor), (2.62)
Tij
= gim
gjn
Tmn = gi1
gj1
T11 + gi1
gj2
T12 + gi1
gj3
T13 + gi2
gj1
T21 + . . . + gi3
gj3
T33. (2.63)
Analogickým způsobem proběhne transformace tenzorů libovolného vyššího řádu. Smíšený metrický
tenzor s prvky gj
i = gi
j je vždy reprezentován jednotkovou maticí.
V trojrozměrném prostoru jsou rozlišovány tzv. axiální vektory (pseudovektory), které se
nezrcadlí spolu se souřadnou soustavou (na rozdíl od tzv. polárních neboli pravých vektorů,
které se zrcadlí) a které můžeme definovat jako pseudotenzor Vi duální k antisymetrickému
tenzoru Tjk,
Vi =
1
2
εijkTjk, tedy Vi =
1
2
(Tjk − Tkj) = Tjk (kde i ̸= j ̸= k), (2.64)
kde jednotlivé prvky tenzoru Tjk jsou definovány jako Tjk = AjBk −AkBj, v R3 je tedy můžeme
považovat za odpovídající složky vektorového součinu ⃗A × ⃗B. Obdobným způsobem definujeme
v plochém čtyřrozměrném prostoročase, jehož metrický (Minkowskiho) tenzor má tvar
gµν = gµν
=




1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1



 , (2.65)
antisymetrický pseudotenzor druhého řádu (tzv. Hodgeova dualita, značíme ⋆T), který je duální
s antisymetrickým tenzorem druhého řádu a antisymetrický pseudotenzor třetího řádu, který
je duální s vektorem
⋆
Tµν
=
1
2
εµνρσ
Tρσ, ⋆
Tµνρ
= εµνρσ
Vσ. (2.66)
Pro výchozí permutaci Levi-Civitova symbolu v kovariantní bázi (v rámci zde zavedené konvence,
srovnej také například Lenc (2001)) platí ε0123 = 1. Pro výchozí permutaci v kontravariantní
bázi pak musí platit ε0123 = g00g11g22g33ε0123, kde gµν jsou nenulové prvky Minkowskiho
metrického tenzoru z rovnice (2.65), a tedy ε0123 = −1 (stejným způsobem lze s použitím
rovnice (B.4) ovodit, že v plochém trojrozměrném prostoru platí ε123 = ε123 = 1). Pro podrobnější
studium tenzorové algebry doporučuji například Young (1993); Kvasnica (2004); Arfken
& Weber (2005).
• Příklady (uvažujeme vždy kartézskou ortonormální bázi daného vektorového prostoru) :
2.48 ⋆ Kovariantní metrický tenzor gij válcové souřadné soustavy v pořadí souřadnicových
směrů r, ϕ, z, je vyjádřen maticí (viz rovnice (B.36))
gij =


1 0 0
0 r2 0
0 0 1

 .
Obdobný kovariantní metrický tenzor kulové souřadné soustavy v pořadí souřadnicových
směrů r, θ, ϕ, je vyjádřen maticí (viz rovnice (B.63))
gij =


1 0 0
0 r2 0
0 0 r2 sin2
θ

 .
Určete:
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 41
(a) všechny nenulové tzv. Christoffelovy symboly Γρ
µν válcové soustavy (určující křivost
dané metriky), které jsou obecně definovány předpisem (na rozdíl od rovnice (B.12)
musíme v časoprostoru rozlišovat kovariantní a kontravariantní báze polohového vektoru,
xµ = (ct, −⃗r) a xµ = (ct,⃗r))
Γρ
µν =
1
2
gρλ ∂gνλ
∂xµ
+
∂gµλ
∂xν
−
∂gµν
∂xλ
,
(b) všechny nenulové Christoffelovy symboly kulové soustavy, definované rovněž předpisem
(B.12),
(c) explicitní tvar vektoru rotace vektoru ⃗A ve válcové soustavě, obecně daný předpisem
(viz také rovnice (B.20))
⃗∇ × ⃗A = ϵijk
1
hjhk
∂
∂xj
(hkAk) ⃗ei,
(d) explicitní tvar vektoru rotace vektoru ⃗A v kulové soustavě, obecně daný stejným
předpisem.
(a) Γr
ϕϕ = −r, Γϕ
ϕr = Γϕ
rϕ =
1
r
,
(b) Γr
θθ = −r, Γθ
θr = Γθ
rθ = Γϕ
ϕr = Γϕ
rϕ =
1
r
, Γr
ϕϕ = −r sin2
θ, Γθ
ϕϕ = − sin θ cos θ, Γϕ
ϕθ =
Γϕ
θϕ = cotg θ,
(c) viz relace (B.45) v příloze B,
(d) viz relace (B.71) v příloze B.
2.49 ⋆ Jsou zadány kovariantní tenzor Aij a kovariantní metrický tenzor gij dané souřadné
soustavy, v pořadí souřadnicových směrů r, θ, ϕ, ve tvaru
Aij =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 , gij =


1 0 0
0 r2 0
0 0 r2 sin2
θ

 .
Určete:
(a) smíšený metrický tenzor gi
j a smíšený tenzor Ai
j,
(b) kontravariantní tenzor Aij.
(a) gi
j =




1 0 0
0 1 0
0 0 1



 = δi
j, Ai
j =






a11 a12 a13
a21
r2
a22
r2
a23
r2
a31
r2 sin2
θ
a32
r2 sin2
θ
a33
r2 sin2
θ






,
(b) Aij =






a11
a12
r2
a13
r2 sin2
θ
a21
r2
a22
r4
a23
r4 sin2
θ
a31
r2 sin2
θ
a32
r4 sin2
θ
a33
r4 sin4
θ






.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 42
2.50 ⋆ Ve čtyřrozměrném prostoru (prostoročase) jsou zadány kovariantní tenzor Aµν a kovariantní
metrický tenzor gαβ dané souřadné soustavy, v pořadí souřadnicových směrů
t, u, v, w, ve tvaru
Aµν =




a00 a01 a02 a03
a10 a11 a12 a13
a20 a21 a22 a23
a30 a31 a32 a33



 , gαβ =




−1 0 0 0
0 1 0 w
0 0 u2 0
0 w 0 u2



 .
Určete:
(a) kontravariantní metrický tenzor gαβ a smíšený metrický tenzor gα
β ,
(b) smíšený tenzor Aµ
ν ,
(c) kontravariantní tenzor Aµν.
(a) gαβ =










−1 0 0 0
0
u2
u2 − w2
0
w
w2 − u2
0 0
1
u2
0
0
w
w2 − u2
0
1
u2 − w2










, gα
β =







1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1







= E = δα
β,
(b) Aµ
ν =











−a00 −a01 −a02 −a03
u2 a10 − w a30
u2 − w2
u2 a11 − w a31
u2 − w2
u2 a12 − w a32
u2 − w2
u2 a13 − w a33
u2 − w2
a20
u2
a21
u2
a22
u2
a23
u2
w a10 − a30
w2 − u2
w a11 − a31
w2 − u2
w a12 − a32
w2 − u2
w a13 − a33
w2 − u2











,
(c) Aµν =













a00
u2a10 − w a30
w2 − u2
−
a20
u2
w a10 − a30
u2 − w2
u2a01 − w a03
w2 − u2
u4a11 + w2a33 − u2w S
(w2 − u2)2
u2a21 − w a23
u2(u2 − w2)
u2a31 + w2a13 − w T
(u2 − w2)2
−
a02
u2
u2a12 − w a32
u2(u2 − w2)
a22
u4
a32 − w a12
u2(u2 − w2)
w a01 − a03
u2 − w2
u2a13 + w2a31 − w T
(u2 − w2)2
a23 − w a21
u2(u2 − w2)
a33 + w2a11 − w S
(w2 − u2)2













,
kde T = u2a11 + a33 a S = a13 + a31.
2.51 ⋆ Kovariantní tenzor elektromagnetického pole Fµν je definován,
Fµν =
∂Aν
∂xµ
−
∂Aµ
∂xν
,
kde tzv. čtyřpotenciál (čtyřvektor elektromagnetického potenciálu) Aµ =
ϕ
c
, − ⃗A .
Složka A0 =
ϕ
c
vyjadřuje škálovaný skalární potenciál elektrického pole a složky A1, A2, A3
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 43
tvoří tzv. vektorový (magnetický) potenciál. Kovariantní čtyřvektor souřadnic události
zapíšeme jako xµ = (ct, −⃗r). Metrický tenzor (Minkowskiho) plochého čtyřprostoru (prostoročasu)
je dán rovnicí (2.65) a formalismus Levi-Civitova symbolu ϵ je popsán ve
vysvětlujícím textu této podkapitoly. Vektory elektrické intenzity a magnetické indukce
jsou definovány jako
⃗E = −⃗∇ϕ −
∂ ⃗A
∂t
, ⃗B = ⃗∇ × ⃗A.
Napište:
(a) explicitní podobu tenzoru Fµν a tenzoru Fµν,
(b) duální tenzor ⋆Fµν a duální tenzor ⋆Fµν,
(c) tzv. invarianty elektromagnetického pole FµνFµν a Fµν
⋆Fµν,
(d) pomocí „čtyřrozměrné“ divergence
εµνρσ ∂Fρσ
∂xν
=
∂ ⋆Fµν
∂xν
= 0
odvoďte první pár Maxwellových rovnic,
(e) pomocí „čtyřrozměrné“ divergence
∂Fµν
∂xν
= −µ0 jµ
,
kde jµ je kontravariantní čtyřvektor proudové hustoty jµ = (cρ,⃗j), odvoďte druhý
pár Maxwellových rovnic.
(a) Fµν =











0
Ex
c
Ey
c
Ez
c
−
Ex
c
0 −Bz By
−
Ey
c
Bz 0 −Bx
−
Ez
c
−By Bx 0











, Fµν =











0 −
Ex
c
−
Ey
c
−
Ez
c
Ex
c
0 −Bz By
Ey
c
Bz 0 −Bx
Ez
c
−By Bx 0











,
(b) ⋆Fµν =










0 −Bx −By −Bz
Bx 0 −
Ez
c
Ey
c
By
Ez
c
0 −
Ex
c
Bz −
Ey
c
Ex
c
0










, ⋆Fµν =










0 Bx By Bz
−Bx 0 −
Ez
c
Ey
c
−By
Ez
c
0 −
Ex
c
−Bz −
Ey
c
Ex
c
0










,
(c) FµνFµν = −2
E2
c2
− B2 , Fµν
⋆Fµν = 4
⃗E · ⃗B
c
,
(d)
∂ ⋆F0ν
∂xν
= ⃗∇ · ⃗B = 0,
∂ ⋆Fiν
∂xν
= −⃗∇ × ⃗E −
∂ ⃗B
∂t
= ⃗0, i = 1, 2, 3,
(e)
∂F0ν
∂xν
= −⃗∇· ⃗E = −
ρ
ϵ0
,
∂Fiν
∂xν
= µ0ϵ0
∂ ⃗E
∂t
−⃗∇× ⃗B = −µ0
⃗j, i = 1, 2, 3, c = (µ0ϵ0)−1/2.
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 44
2.52 ⋆ Kontravariantní tenzor energie-hybnosti Tαβ pro makroskopickou ideální tekutinu je
definován
Tαβ
= (ε + p) uα
uβ
− p gαβ
,
kde ε = ρc2 je hustota energie (ρ je hustota hmoty), p je skalární tlak a uµ je tzv. čtyřrychlost
(čtyřvektor rychlosti), definovaná zde jako tečna k tzv. světočáře s, tedy uµ = dxµ/ds,
kde s = c τ. Tzv. vlastní čas τ v soustavě spojené s pohybujícím se tělesem je pomocí
tzv. souřadnicového času t (tj. „normálního“ času pozorovatele) definován jako t = γτ,
kde tzv. Lorentzův faktor γ = (1 − v2/c2)−1/2 (viz také příklad 9.8). Čtyřvektor události
xµ a metrický tenzor Minkowskiho prostoročasu gµν lze odvodit pomocí jejich definice v
příkladu 2.51 a v rovnici (2.65). Napište:
(a) explicitní podobu tenzoru Tαβ a tenzoru Tαβ,
(b) explicitní podobu těchto tenzorů v soustavě (0), spojené s pohybující se tekutinou.
(c) pomocí „čtyřrozměrné“ divergence tenzoru energie-hybnosti Tαβ pro „prach“, tj. soubor
částic, které na sebe vzájemně nepůsobí,
∂Tαβ
∂xβ
= 0,
odvoďte rovnice kontinuity a hybnosti „bezsrážkové“ tekutiny.
Pomocí výrazů: W = γ2 ε +
v2
c2
p , Si = γ2 (ε + p) vi, σij =
γ2
c2
(ε + p) vivj + p δij,
σij =
γ2
c2
(ε + p) vivj + p δij, můžeme zapsat,
(a) Tαβ =











W −
Sx
c
−
Sy
c
−
Sz
c
−
Sx
c
σxx σxy σxz
−
Sy
c
σyx σyy σyz
−
Sz
c
σzx σzy σzz











, Tαβ =











W
Sx
c
Sy
c
Sz
c
Sx
c
σxx σxy σxz
Sy
c
σyx σyy σyz
Sz
c
σzx σzy σzz











,
kde Si = −Si a σij = σij pro i, j = 1, 2, 3,
(b) Tαβ(0) = Tαβ(0) =







ε 0 0 0
0 p 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p







,
(c)
∂T0β
∂xβ
=
∂˜ρ
∂t
+ ⃗∇ · (˜ρ⃗v) = 0,
∂Tiβ
∂xβ
i=1,2,3
=
∂˜ρ⃗v
∂t
+ ⃗∇ · (˜ρ⃗v ⊗ ⃗v) = 0,
kde „bezsrážkovost“ předpokládá p = 0, hustota ˜ρ = γ2ρ, odpovídající soustavě kde
⃗v ̸= 0, je daná podílem hmotnosti ˜m = γm (srovnej příklad 9.8) a objemu ˜V = V/γ
(veličiny ρ, m a V odpovídají soustavě, kde ⃗v = 0).
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 45
• Tenzory v zakřiveném prostoročase
V obecné relativitě (GR) zavádíme a používáme metrické tenzory zakřiveného prostoročasu.
Známá Schwarzschildova metrika popisuje geometrii prostoročasu ve velmi silném gravitačním
poli, například v blízkosti (sféricky symetrické, nerotující) černé díry. V souladu s již dříve
zvolenou konvencí + − −−, metrický tenzor Schwarzschildovy metriky (v pořadí souřadnic
t, r, θ, ϕ) má kanonický tvar
gµν =




1 − 2GM•
c2r
0 0 0
0 − 1 − 2GM•
c2r
−1
0 0
0 0 −r2 0
0 0 0 −r2 sin2
θ



 , (2.67)
kde M• je hmotnost sférického gravitujícího objektu (zdroje gravitace), G je gravitační konstanta
a c je rychlost světla (často používané výrazy 1− 2M•
r v takzvaném “systému přirozených
jednotek” pokládají hodnoty konstant G a c rovny jedné). Kontravariantní tvar metrického
tenzoru gµν bude vyjádřen pomocí převrácených hodnot výrazů na hlavní diagonále.
Christoffelovy symboly Γρ
µν Schwarzschildovy metriky (popisující křivost prostoročasu),
které jsou obecně vyjádřeny jako (viz také rovnice (B.12), zde ovšem rozlišíme kovariantní
a kontravariantní čtyřvektory polohy xµ = (ct, −⃗r) a xµ = (ct,⃗r))
Γρ
µν =
1
2
gρλ ∂gνλ
∂xµ
+
∂gµλ
∂xν
−
∂gµν
∂xλ
, (2.68)
budou (zapíšeme pouze nenulové členy)
Γt
tr = Γt
rt =
GM•
r (c2r − 2GM•)
, Γr
tt =
GM• c2r − 2GM•
c4r3
, Γr
rr = −
GM•
r (c2r − 2GM•)
,
Γr
θθ = − r −
2GM•
c2
, Γr
ϕϕ = −
c2r − 2GM• sin2
θ
c2
, Γθ
θr = Γθ
rθ = Γϕ
ϕr = Γϕ
rϕ =
1
r
,
Γθ
ϕϕ = − sin θ cos θ, Γϕ
ϕθ = Γϕ
θϕ = cotg θ. (2.69)
Můžeme rovněž zkonstruovat Christoffelovy symboly se spodními indexy (někdy v literatuře
nazývané Christoffelovy symboly prvního typu, zatímco výše uvedené se nazývají Christoffelovy
symboly druhého typu), kdy snížení indexů provedeme pomocí Γρµν = gρλΓλ
µν,
Γttr = Γtrt =
GM•
c2r2
, Γrtt = −
GM•
c2r2
, Γrrr = −
GM•c2
(c2r − 2GM•)2 , Γrθθ = r, Γrϕϕ = r sin2
θ,
Γθθr = Γθrθ = −r, Γϕϕr = Γϕrϕ = −r sin2
θ, Γθϕϕ = r2
sin θ cos θ,
Γϕϕθ = Γϕθϕ = −r2
sin θ cos θ. (2.70)
Pomocí Christoffelových indexů můžeme zkonstruovat Riemannův (křivostní) tenzor čtvrtého
řádu Rα
µβν jako zásadní matematický nástroj v GR teorii, který reprezentuje slapové síly, které
„pociťuje“ částice (těleso), pohybující se po geodetice (nejkratší spojnici dvou bodů v libovolně
zakřiveném prostoru). Jeho obecný výraz je Rα
µβν = ∂βΓα
µν − ∂νΓα
µβ + Γα
βλΓλ
µν − Γα
νλΓλ
µβ, (kde
zjednodušený výraz ∂α nadále znamená ∂
∂α ) zahrnující první dva lineární členy (parciální derivace)
a poslední dva členy jako nelineární součiny Christoffelových symbolů. Pomocí substituce
2GM•
c2 = rs (takzvaný Schwarzschildův poloměr nebo také poloměr horizontu událostí), nenulové
Kapitola 2. Základy vektorové a tenzorové algebry 46
členy Riemannova tenzoru Schwarzschildovy metriky budou
Rt
rtr = 2Rθ
rrθ = 2Rϕ
rrϕ = −Rt
rrt = −2Rθ
rθr = −2Rϕ
rϕr =
rs
r2 (r − rs)
,
2Rt
θθt = 2Rr
θθr = Rϕ
θϕθ = −2Rt
θtθ = −2Rr
θrθ = −Rϕ
θθϕ =
rs
r
,
2Rt
ϕϕt = 2Rr
ϕϕr = Rθ
ϕθϕ = −2Rt
ϕtϕ = −2Rr
ϕrϕ = −Rθ
ϕϕθ =
rs sin2
θ
r
,
Rr
ttr = 2Rθ
tθt = 2Rϕ
tϕt = −Rr
trt = −2Rθ
ttθ = −2Rϕ
ttϕ = c2 rs (r − rs)
r4
. (2.71)
Pomocí kontrakce Rα
µαν Riemannova tenzoru zkonstruujeme symetrický Ricciho (křivostní)
tenzor Rµν = Rνµ, který odráží míru lokální deformace daného metrického tenzoru ve srovnání
s Eukleidovským (nebo pseudo-Eukleidovským) prostorem. Z definice tenzorové kontrakce
můžeme zkonstruovat Ricciho tenzor přímo použitím Christoffelových symbolů jako Rµν =
∂ρΓρ
µν − ∂νΓρ
µρ + Γρ
ρλΓλ
µν − Γρ
µλΓλ
νρ. V případě Schwarzchildovy metriky bude Ricciho tenzor
Rµν = 0.
Každému bodu Riemannovské variety (libovolně zakřiveného topologického prostoru, na
kterém je možné měřit vzdálenosti bodů a úhly tečných vektorů) můžeme přiřadit jedno reálné
číslo, dané geometrií metriky v okolí tohoto bodu, takzvaný Ricciho skalár R, definovaný jako
R = gµνRµν. Výše popsaný matematický formalismus nám nyní umožní sestavit kompletní
Einsteinovy rovnice pole (pro jednoduchost zde vynecháme kosmologickou konstantu Λ)
Rµν −
1
2
gµνR =
8πG
c4
Tµν, (2.72)
kde celá levá strana je často označována jako Einsteinův tenzor Gµν a kde Tµν je tenzor energiehybnosti
(viz příklad 2.52). „Ruční“ počítání takto rozsáhlých tenzorů bývá velmi pracné a náchylné
k chybám či opomenutím, v současnosti existuje řada programů, umožňujících analytické
i numerické počitání s tenzory v libovolné metrice (například MATHEMATICA, Pythonovské
aplikace a podobně).
Kapitola 3
Obyčejné diferenciální rovnice1
3.1 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu
Obyčejné diferenciální rovnice obsahují derivace funkce jedné nezávislé proměnné (zpravidla
značíme x, závisle proměnnou obvykle značíme y(x)). Obyčejnou diferenciální rovnici n-tého
řádu můžeme obecně zapsat ve tvaru
f(y(n)
, . . . , y′′
, y′
, y, x) = 0, (3.1)
kde y(k) značí k-tou derivaci funkce y(x). Obyčejnými lineárními diferenciálními rovnicemi
nazýváme rovnice v obecném tvaru
y(n)
+ an−1(x)y(n−1)
+ . . . + a1(x)y′
+ a0(x)y = f(x). (3.2)
Pokud obyčejnou diferenciální rovnici nelze zapsat ve tvaru (3.2), jedná se o nelineární obyčejnou
diferenciální rovnici. Členy ak(x) v rovnici (3.2) jsou koeficienty, které mohou být funkcemi
proměnné x, pokud jsou konstantní, mluvíme o diferenciální rovnici s konstantními koeficienty,
a funkce f(x) představuje pravou stranu diferenciální rovnice. Pokud f(x) = 0, potom se jedná
o homogenní diferenciální rovnici (rovnici bez pravé strany). Diferenciální rovnice s derivacemi
funkcí více nezávislých proměnných nazýváme parciální diferenciální rovnice. Řád diferenciální
rovnice je dán nejvyšším řádem derivace závisle proměnné y(x), který se v rovnici vyskytuje,
v případě rovnic 1. řádu půjde o 1. derivaci y′ = dy/dx.
3.1.1 Rovnice separovatelné a homogenní
Pokud lze diferenciální rovnici 1. řádu vyjádřit v jednoduchém tvaru y′ = f(x), řešíme ji přímou
integrací, tj.
y =
ˆ
f(x) dx. (3.3)
Pokud lze diferenciální rovnici 1. řádu vyjádřit ve tvaru y′ = f(x)g(y), kde g(y) ̸= 0, řešíme ji
rozdělením funkcí s nezávisle proměnnou x a se závisle proměnnou y na různé strany rovnice
(separací proměnných), tedy
ˆ
dy
g(y)
=
ˆ
f(x) dx. (3.4)
1
Návody k řešení různých typů diferenciálních rovnic je možné nalézt v literatuře, např. v publikacích: Tenenbaum
& Pollard (1985), Ráb (1989), Plch (2002), Bartsch (2008), Rektorys (2009).
47
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 48
Funkci f(x, y) nazýváme homogenní, n-tého stupně, pokud pro všechna x, y a pro všechna z > 0,
kde z je libovolný parametr, platí f(zx, zy) = znf(x, y). Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (3.5)
je homogenní, pokud M(x, y) a N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně. Pokud je homogenní
rovnice zapsána v obecném tvaru (3.5), resp. ve tvaru
y′
= f
y
x
, (3.6)
řešíme ji vhodnou substitucí, například y = zx a převedeme na separovatelnou rovnici. Obdobně
rovnici ve tvaru
y′
= f (ax + by + c) , (3.7)
kde a, b, c, jsou konstanty, převedeme na rovnici se separovatelnými proměnnými pomocí substituce
z = ax+by+c. Rovnice ve tvaru racionální funkce (kde A, B, C, jsou rovněž konstanty),
y′
=
ax + by + c
Ax + By + C
, (3.8)
pokud výrazy ax + by, Ax + By nejsou lineárně závislé, řešíme eliminací absolutních členů c, C
pomocí substituce u = x−x0, v = y−y0, kde x0, y0 jsou kořeny soustavy rovnic ax+by+c = 0,
Ax+By+C = 0 a následným převedením na tvar rovnice (3.6). Pokud výrazy ax+by, Ax+By
jsou lineárně závislé (soustava nemá řešení), soustavu řešíme pomocí substituce ax + by = z
(nebo Ax + By = z), která umožní její následné převedení na tvar rovnice (3.6).
Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu obsahují vždy jednu nezávislou (integrační) konstantu.
Její hodnotu získáme z tzv. počáteční (Cauchyho) podmínky, kdy y(xp) = yp.
• Příklady:
3.1 y′ + 2y = 0 y = C e−2x, y = 0
3.2 y′ + 3y − 7 = 0 y = C e−3x +
7
3
3.3 y′ + y + xy = 0 y = C e−x(1+x/2), y = 0
3.4 y′xy2 = ln x y3 =
3
2
ln2
x + C, x > 0
3.5 y′ = y2 + 1, y(0) = 1 y = tg x +
π
4
, x ̸= k +
1
4
π, k ∈ Z
3.6 y′ = y e3x, y(0) = 1 y = e(e3x−1)/3
3.7 y′ =
y + 1
x3/2
y = C e−2/
√
x − 1, x > 0
3.8 y′ = y2 − 1 x, y(0) = 0 y =
1 − ex2
1 + ex2
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 49
3.9 y′ = 2
y
x
, y(1) = 2 y = 2x2, y = 0, x ̸= 0
3.10 y′ =
y
x
+ x, y(1) = 0 y = x2 − x, x ̸= 0
3.11 Množství bakterií n v bakteriálním kmeni roste s časem přímo úměrně jejich celkovému
počtu (∆n/∆t ∝ n). Pokud je v některém okamžiku jejich počet n = 106 a o dvě hodiny
později n = 4 × 106, najděte funkci popisující závislost počtu baktérií na čase.
n = 106 et ln 2, kde t je čas v hodinách
3.12 Radioaktivní prvek se rozpadá s poločasem rozpadu 100 let. Pokud je v některém okamžiku
hmotnost tohoto prvku ve vzorku látky m = 2 kg, najděte funkci popisující závislost
hmotnosti tohoto prvku ve vzorku látky na čase. Za jak dlouho od výchozího okamžiku
bude ve vzorku zbývat pouze 0,1 kg tohoto radioaktivního prvku?
m = 2 e−t (ln 2)/100 kg, kde t je čas v letech; po cca 432 letech
3.13 Rovnice hydrostatické rovnováhy pro tekutinu (kapalinu, plyn) v homogenním gravitačním
poli má tvar dP(z)/dz = −ρ(z)g, kde P(z) je tlak, z je výška nad nějakou pevně zvolenou
referenční úrovní z0, ρ(z) je hustota a g je konstantní gravitační zrychlení. V případě
ideálního plynu je jeho stavová rovnice P = ρRT/M, kde R je molární plynová konstanta,
T je teplota a M je konstantní tzv. molární hmotnost daného plynu. Najděte funkce
popisující závislost tlaku a hustoty ideálního plynu na výšce, budeme-li pro jednoduchost
uvažovat konstantní teplotu a označíme-li P(z0) = P0 a ρ(z0) = ρ0 (tzv. barometrickou
rovnici).
P = P0 e−Mgz/(RT), ρ = ρ0 e−Mgz/(RT)
3.14 Těleso o hmotnosti 5 kg padá z klidu volným pádem, přičemž síla vyvolaná odporem
vzduchu je přímo úměrná okamžité rychlosti pádu. Určete konstantu úměrnosti b odporové
síly, pokud byla naměřena konečná rychlost pádu v∞ = 100 m s−1. Pro jednoduchost
uvažujte velikost gravitačního zrychlení g = 10 m s−2.
b = 0,5 kg s−1
3.15 Těleso o libovolné hmotnosti padá z klidu volným pádem, přičemž síla vyvolaná odporem
vzduchu je
(a) přímo úměrná okamžité rychlosti pádu,
(b) přímo úměrná druhé mocnině okamžité rychlosti pádu.
V obou případech byla naměřena konečná rychlost pádu v∞ o velikosti 100 m s−1. Za
jak dlouho dosáhne toto těleso okamžité rychlosti rovné polovině konečné rychlosti v∞ ?
Pro jednoduchost uvažujte velikost gravitačního zrychlení g = 10 m s−2. Za jak dlouho
dosáhne toto těleso okamžité rychlosti rovné 90% konečné rychlosti v∞ ? Pro porovnání
ještě stanovte časy, za které by těleso dosáhlo stejných rychlostí ve vakuu.
(a) 0,5 v∞ dosáhne za 10 ln 2 s ≈ 6, 93 s, 0,9 v∞ dosáhne za 10 ln 10 s ≈ 23 s
(b) 0,5 v∞ dosáhne za 5 ln 3 s ≈ 5, 49 s, 0,9 v∞ dosáhne za 5 ln 19 s ≈ 14, 72 s
Jak to, že při tomto zadání jsou časy dosažené v případě (b) kratší než v případě (a), když
odporová síla by měla být větší (je přímo uměrná druhé mocnině okamžité rychlosti) ?
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 50
3.16
yy′
1 + y2
+
x
√
1 + x2
= 0 1 + y2 = C −
√
1 + x2
3.17 (x2 − 1)y3 − exy′ = 0 y = 0 ∨
1
2y2
− (x + 1)2 e−x = C, y ̸= 0
3.18 y′ = 33x+2y, y(0) = 1 y = −
log3
7
9 − 2
3 · 33x
2
, x <
1
3
log3
7
6
3.19 x2(y3 + 5) dx + (x3 + 5)y2 dy = 0, y(0) = 1 (y3 + 5)(x3 + 5) = 30
3.20 y′ = cos(x − y), y(0) =
π
2
y = x + 2 arccotg (x + 1)
3.21 x2 y′ −
1
ln x
= xy y = x ln(C| ln x|), x > 0, C > 0, x ̸= 1
3.22 y′ =
√
2x + y − 3, y(0) = 3
2(
√
2x + y − 3 + 2) − 4 ln(
√
2x + y − 3 + 2) = x − (4 ln 2 − 4), 2x + y − 3 ≥ 0
3.23 (x + y)2y′ = 4, y(0) = 2 y = 2 arctg
x + y
2
−
π
2
+ 2
3.24 y′ =
y
x
1 + ln
y
x
y = x eCx,
y
x
> 0
3.25 y′ =
y
x
+ tg
y
x
y = 0 ∨ sin
y
x
= Cx, x ̸= 0, y ̸= (2k + 1)
π
2
x, k ∈ Z
3.26 x2y′ = xy + ln x y = −
2 ln x + 1
4x
+ Cx, x > 0
3.27 xy′ = y +
y
x
y = Cx e−1/x ∨ y = 0, x ̸= 0
3.28 x3y′ = x2[y + ln(x2)] y = −2 (ln |x| + 1) + Cx, x ̸= 0
3.29 y′ = 1 + (x − y)2 y = x −
1
x + C
, x ̸= −C
3.30 y′ = (y + x) ln(y + x) − 1 y = eC ex
− x, x ∈ R
3.31 y′ =
e(x+y)2
x + y
− 1 y = ± ln
1
C − 2x
−x, x ∈ (−∞, C/2).
3.32 y′ = ey+x2
− 2x y = ln (C − x)−1 − x2, x ∈ (−∞, C).
3.33 y′ =
x + 2y − 7
x − 3
x + y − 5 = C(x − 3)2, x ̸= 3
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 51
3.34 y′ =
1 + 9x − 3y
3x − y
(3x − y)2 + 2x = C, y ̸= 3x
3.35 y′ =
2x − y + 3
x − 2y + 3
x2 + y2 − xy + 3x − 3y = C, 2y ̸= x + 3
3.36 y′ =
x − y
x + y
y = ±
√
C + 2x2 − x, 2x2 + C ≥ 0
3.1.2 Lineární nehomogenní rovnice
Nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu (nazývanou také „rovnice s pravou stranou“),
zapsanou v obecném tvaru
y′
+ P(x)y = Q(x), (3.9)
kde Q(x) ̸= 0, řešíme metodou variace konstanty nebo metodou integračního faktoru. V prvním
případě (variace konstanty) nejprve řešíme homogenní rovnici ve tvaru y′ + P(x)y = 0, kdy její
integrační konstantou C bude obecná funkce nezávisle proměnné C(x), obecné řešení tedy bude
y = C(x) e−
´
P(x) dx
. (3.10)
Funkci C(x) nalezneme dosazením rovnice (3.10) do rovnice (3.9)), její tvar bude
C(x) =
ˆ
Q(x) e
´
P(x) dx
dx + K, (3.11)
kde K je konstanta. Takto získaný výraz pro funkci C(x) dosadíme do rovnice (3.10), výsledné
partikulární řešení bude
y =
ˆ
Q(x) e
´
P(x) dx
dx + K e−
´
P(x) dx
. (3.12)
Metodou integračního faktoru nazýváme vynásobení celé rovnice výrazem e
´
P(x) dx, rovnice
(3.9) tedy přejde do tvaru
y′
e
´
P(x) dx
+ P(x)y e
´
P(x) dx
= Q(x) e
´
P(x) dx
. (3.13)
Levá strana rovnice (3.13) ovšem představuje derivaci součinu, celou rovnici tedy můžeme přepsat
do tvaru
y e
´
P(x) dx
′
= Q(x) e
´
P(x) dx
, (3.14)
jejíž přímou integrací opět získáváme řešení ve tvaru rovnice (3.12).
• Příklady:
3.37 y′ + 2xy = x e−x2
sin x, y(0) = 1 y = (sin x − x cos x + 1) e−x2
3.38 y′ + y cos x = cos x y = C e− sin x + 1
3.39 (1 + x2)y′ − 2xy = (1 + x2)2 y = (x + C)(1 + x2)
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 52
3.40 y′ − 6xy = 4x e3x2
, y(0) = 1 y = 2x2 + 1 e3x2
3.41 y′ + 3x e3x = −y + 7, y(0) = 7 y = 7 +
3
16
−
3
4
x e3x −
3
16
e−x
3.42 xy′ + y = x sin x, y π
2 = 0 y =
sin x − 1
x
− cos x, x ̸= 0
3.43 y′ = 2x + 3y + 2, y(0) = 0 y =
8
9
e3x − 1 −
2x
3
3.44 y′ = 4x2 + 3y − 1, y(0) = 0 y =
1
27
1 − e3x −
4
3
x2 −
8
9
x
3.45 y′ = 2x2 − y + 1, y(0) = 0 y = 2x2 − 4x + 5 (1 − e−x)
3.46 y′ = 2x3 − y + 1, y′(0) = 0 y = 2x3 − 6x2 − 11 + 12(x + e−x)
3.47 y′ = −
4x
x2 + 1
y +
1
x2 + 1
, y(0) = 1 y =
1
3
x3 + 3x + 3 x2 + 1
−2
3.48 Kovová mince je zahřátá na teplotu 1200◦ C, poté volně chladne. Po 2 minutách její teplota
klesne na 900◦ C, přičemž stálá teplota okolního prostředí je 20◦ C. Za jakou dobu bude
možné minci vzít do ruky (tj. kdy její teplota klesne pod 50◦ C) ? Uvažujte časovou změnu
teploty mince jako přímo úměrnou rozdílu její teploty a stálé teploty okolního prostředí.
za cca 25 minut
3.49 Těsto má teplotu okolního prostředí 20◦ C a je vloženo do pečící trouby, kde je vnitřní
teplota 200◦ C. Po dvou hodinách, kdy je jeho teplota 90◦ C, je vytaženo a nechá se 30
minut volně chladnout. Jakou bude mít výslednou teplotu ? Uvažujte stejný koeficient
tepelné vodivosti a další fyzikální parametry uvnitř i vně trouby. Postupujte obdobně
jako v příkladu 3.48.
cca 82◦ C
3.1.3 Bernoulliova rovnice
Bernoulliovou rovnicí nazýváme diferenciální rovnici 1. řádu s n-tou mocninou závisle proměnné
y(x) ve tvaru
y′
+ p(x) y + q(x) yn
= 0, kde n ∈ R, (3.15)
která má i přes svoji nelinearitu analytické řešení. Pokud n = 0, přejde Bernoulliova rovnice
na nehomogenní lineární rovnici (3.9), pro n = 1 přejde na jednoduše separovatelnou homogenní
lineární rovnici (3.4). Pomocí substituce
z = y1−n
pro n ̸= 0, 1 (3.16)
dostaneme nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu typu (3.9) ve tvaru
z′
+ (1 − n) p(x)z + (1 − n) q(x) = 0. (3.17)
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 53
• Příklady:
3.50 y′ = 6x2y3 y2 =
1
C − 4x3
, y = 0, 4x3 < C
3.51 xy′ − y = −xy2 y =
2x
x2 + C
, y = 0, x2 ̸= −C
3.52 y′ +
4
x
y = x3y2 y =
1
x4 (C − ln |x|)
, y = 0, x ̸= 0
3.53 y′ +
y
x
−
√
y = 0 y =
x
3
+
C
√
x
2
, y = 0, x > 0, x
3
2 ≥ −3C
3.54 y′ + xy = xy3, y2(0) =
1
2
y2 = ex2
+ 1
−1
, y = 0
3.55 xy′ + y = y2 ln x, y(1) = −1 y =
1
1 + ln x − 2x
, y = 0, x > 0
3.56 2xyy′ − y2 = x2, y(1) = 0 y2 − x2 = x
3.57 x2y2y′ + xy3 = 1, y(−2) = −1 y3 =
2
x3
+
3
2x
, x ̸= 0
3.1.4 Diferenciální rovnice exaktní
Rovnici ve tvaru (3.5) nazýváme exaktní, pokud výraz na její levé straně je totálním diferenciálem
nějaké skalární (tzv. kmenové) funkce F(x, y), tedy (podrobněji v kapitole 5.2)
dF(x, y) =
∂F(x, y)
∂x
dx +
∂F(x, y)
∂y
dy. (3.18)
Funkce M(x, y), N(x, y) z rovnice (3.5) odpovídají jednotlivým parciálním derivacím (tj. složkám
gradientu - viz kapitola 5.1) skalární funkce funkce F(x, y) v pořadí podle rovnice (3.18).
Pokud jsou obě funkce M(x, y), N(x, y) spojitě diferencovatelné, musí podle Schwarzovy věty
o rovnosti smíšených derivací platit,
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
. (3.19)
K vyřešení rovnice (3.5) je třeba najít kmenovou funkci F(x, y), jejíž obecné řešení zpravidla
zapíšeme ve tvaru F(x, y) = C. Pokud rovnice (3.19) neplatí, rovnice (3.5) není rovnicí exaktní.
Pokud však nalezneme funkci R(x, y) (tzv. integrační faktor) takovou, že platí
R(x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0,
∂
∂y
[R(x, y)M(x, y)] =
∂
∂x
[R(x, y)N(x, y)] , (3.20)
rovnice (3.20) bude rovnicí exaktní. Pro spojitě diferencovatelné funkce M(x, y) ̸= 0, N(x, y) ̸=
0 takový integrační faktor R(x, y) existuje.
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 54
• Příklady:
3.58 2xy − 9x2 + 2y + x2 + 1 y′ = 0 y2 + x2 + 1 y − 3x3 = C
3.59 (2xy + 6x) dx + (x2 + 4y3) dy = 0 x2y + 3x2 + y4 = C
3.60 8y − x2y y′ + x − xy2 = 0
1
2
x2 1 − y2 + 4y2 = C
3.61 e4x + 2xy2 dx + cos y + 2x2y dy = 0
1
4
e4x + x2y2 + sin y = C
3.62 3x2 + y cos x dx + sin x − 4y3 dy = 0 x3 + y sin x − y4 = C
3.63 x arctg y dx +
x2
2(1 + y2)
dy = 0
x2
2
arctg y = C
3.64 2x + x2y3 dx + x3y2 + 4y3 dy = 0 x2 +
x3y3
3
+ y4 = C
3.65 2x3 − 3x2y + y3 y′ = 2x3 − 6x2y + 3xy2 x4
2
− 2x3y +
3
2
x2y2 −
y4
4
= C
3.66 y2 cos x − sin x dx + (2y sin x + 2) dy = 0 y2 sin x + cos x + 2y = C
3.67 2xy2 dx + 3x2y + 4 dy = 0 x2y3 + 2y2 = C
3.68 2y + 4x2y2 dx + x + 2yx3 dy = 0 x2y + x4y2 = C
3.69 2xy dx + y2 − 3x2 dy = 0
x2
y3
−
1
y
= C
3.1.5 Riccatiova (Riccatiho) rovnice ⋆
I když se jedná o rovnici 1. řádu, v obecném případě ke svému řešení vyžaduje znalost postupů,
uvedených v odstavci 3.2.2. Nelineární diferenciální rovnici 1. řádu ve tvaru
y′
= a0(x) + a1(x)y + a2(x)y2
, (3.21)
kde a0(x) ̸= 0 a a2(x) ̸= 0, která obsahuje kvadratickou funkci závisle proměnné y(x), nazýváme
Riccattiho rovnicí (tento pojem má i širší význam, který zde dále neuvádím). Pokud a0(x) = 0,
rovnice přejde na Bernoulliovu diferenciální rovnici (odstavec 3.1.3), pokud a2(x) = 0, rovnice
se stává obyčejnou lineární diferenciální rovnicí 1. řádu (viz odstavec 3.1.2).
Rovnici (3.21) řešíme pomocí substituce u = a2(x)y. V tom případě u′ = a′
2y+a2y′ a rovnice
(3.21) přejde do tvaru
u′
= a0a2 + a1 +
a′
2
a2
u + u2
. (3.22)
Pomocí další substituce u = −v′/v dostáváme u′ = −v′′/v + (v′/v)2, rovnice (3.22) tak přejde
do tvaru homogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu (s nekonstantními koeficienty),
v′′
− a1 +
a′
2
a2
v′
+ a0a2v = 0. (3.23)
⋆ jsou označeny odstavce a příklady, určené primárně studentům vyšších ročníků bakalářského studia
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 55
Rovnici dále řešíme pomocí principů, uvedených v odstavci 3.2.2, původně hledanou funkci y
potom nalezneme jako y = −v′/(a2v).
Pokud ovšem známe nebo nějakým způsobem uhodneme jedno řešení původní rovnice (3.21)
(označíme je například y1), potom pomocí substituce y = y1 + u přejde Riccatiova rovnice na
rovnici Bernoulliovu. Dosazením uvedené substituce do rovnice (3.21) dostáváme
y′
1 + u′
= a0 + a1y1 + a2y2
1 + a1u + a2 2y1u + u2
. (3.24)
Protože y1 je také řešením rovnice (3.21), platí y′
1 = a0 + a1y1 + a2y2
1, a tedy
u′
= (a1 + 2a2y1) u + a2u2
, (3.25)
což už je ale Bernoulliova rovnice pro n = 2 s neznámou funkcí u.
3.2 Lineární obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu
3.2.1 Rovnice s konstantními koeficienty
Lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu (tj. obsahující 2. derivaci závisle proměnné
y(x)) s konstantními koeficienty p, q řešíme v prvním kroku jako rovnici homogenní, kdy rovnici
ve tvaru
y′′
+ py′
+ qy = 0, (3.26)
řešíme pomocí tzv. charakteristické rovnice λ2 +pλ+q = 0. Pro kořeny charakteristické rovnice
λ1, λ2 ∈ R bude mít rovnice (3.26) řešení ve tvaru
y = C1 eλ1x
+ C2 eλ2x
pro λ1 ̸= λ2, (3.27)
y = C1 eλ1x
+ C2 x eλ2x
pro λ1 = λ2. (3.28)
Pro kořeny charakteristické rovnice λ1, λ2 = α±β i ∈ C bude mít rovnice (3.26) řešení ve tvaru
y = C1 e(α−βi) x
+ C2 e(α+βi) x
= A eαx
cos βx + B eαx
sin βx. (3.29)
Uvedené řešení lze zobecnit i pro diferenciální rovnice vyšších řádů: pro každý kořen charakteristické
rovnice n-tého řádu λ1, λ2, . . . , λn ∈ R s násobností Π bude mít rovnice (3.26) Π řešení
ve tvaru
y = C1 eλ1x
+ C2 x eλ2x
+ · · · + CΠ xΠ−1
eλΠx
(3.30)
a pro každou dvojici kořenů charakteristické rovnice n-tého řádu λ1, λ2 = α ± β i ∈ C s násobností
Π bude mít rovnice (3.26) Π řešení ve tvaru
y = eαx
cos βx A1 + A2x + · · · + AΠxΠ−1
+ eαx
sin βx B1 + B2x + · · · + BΠxΠ−1
. (3.31)
Posloupnost lineárně nezávislých členů y1(x), . . . , yn(x) v řešení homogenní rovnice představuje
tzv. fundamentální systém.
Analogicky ke způsobu, popsanému v odstavci 3.1.2, můžeme hledat partikulární řešení
nehomogenní rovnice (rovnice s pravou stranou) ve tvaru
y′′
+ py′
+ qy = R(x) (3.32)
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 56
metodou variace konstant, kdy rovnice (3.27), (3.28), resp. (3.29) napíšeme jako obecné řešení
diferenciální rovnice, tedy
y = C1(x) eλ1x
+ C2(x) eλ2x
= C1u1 + C2u2. (3.33)
Funkce C1(x), C2(x), eλ1x, eλ2x, které pro jednoduchost budeme dále psát jako C1, C2, u1, u2,
opět nalezneme dosazením rovnice (3.33) do rovnice (3.32). Dostaneme tak jednu rovnici pro
dvě neznámé funkce C1, C2,
R(x) = (C1u1 + C2u2)′′
+ p (C1u1 + C2u2)′
+ q (C1u1 + C2u2) (3.34)
= C1 u′′
1 + pu′
1 + qu1 + C2 u′′
2 + pu′
2 + qu2 + C′′
1 u1 + 2C′
1u′
1 + C′′
2 u2 + 2C′
2u′
2
+ p C′
1u1 + C′
2u2 ,
kde první dva závorkované členy (násobené nederivovanými funkcemi C1, C2) představují homogenní
rovnice (3.26), rovnají se tedy souhrnně nule. Dostáváme tedy jednu rovnici pro dvě
neznámé funkce C′
1 a C′
2, kdy třetí závorka plus čtvrtá závorka (násobená koeficientem p) z
rovnice (3.34) se rovnají pravé straně R(x). Položíme-li výraz ve čtvrté závorce, C′
1u1 + C′
2u2,
roven zcela libovolné funkci f(x), kterou můžeme vždy chápat jako obecnou podmnožinu celkového
řešení pravé strany, potom C′′
1 u1 + C′
1u′
1 + C′′
2 u2 + C′
2u′
2 = f′(x) a rovnici (3.34) lze zapsat
jako C′
1u′
1 +C′
2u′
2 +p·f(x)+f′(x) = R(x). Jestliže ovšem funkci f(x) lze zvolit zcela libovolně,
potom její nejjednodušší volba bude f(x) = 0 a tedy:
C′
1u1 + C′
2u2 = 0. (3.35)
Protože funkce f′(x) musí být také nulová, dosazením do rovnice (3.34) dostáváme výsledný
systém dvou rovnic pro dvě neznámé funkce C′
1, C′
2,
C′
1u1 + C′
2u2 = 0,
C′
1u′
1 + C′
2u′
2 = R(x). (3.36)
Zapíšeme-li systém rovnic (3.36) pomocí tzv. Wronského matice, tj. ve tvaru
u1 u2
u′
1 u′
2
C′
1
C′
2
=
0
R(x)
, (3.37)
jejíž determinant u1u′
2 − u2u′
1 (tzv. wronskián) značíme W, snadno nalezneme řešení systému
rovnic (3.36), zapsané například jako
C1 = −
ˆ
u2R(x)
W
dx, C2 =
ˆ
u1R(x)
W
dx. (3.38)
Dosazením rovnice (3.38) do obecného řešení (3.33) dostaneme partikulární řešení obyčejné
diferenciální rovnice 2. řádu. V případě obyčejné diferenciální rovnice obecného (n-tého) řádu
přejde rovnice (3.37) do podoby:







u1 u2 · · · un
u′
1 u′
2 · · · u′
n
...
...
...
u
(n−1)
1 u
(n−1)
2 · · · u
(n−1)
n













C′
1
C′
2
...
C′
n






=






0
0
...
R(x)






. (3.39)
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 57
V případě, že pravá strana R(x) nehomogenní rovnice bude mít formu (tzv. speciální pravá
strana) obecně zapsanou jako
R(x) = [Pn(x) cos βx + Qn(x) sin βx] eαx
, (3.40)
kde Pn a Qn jsou polynomy nejvýše n-tého stupně (n je rovno vyššímu stupni obou polynomů
P, Q), bývá často jednodušší nalézt řešení diferenciální rovnice tzv. metodou neurčitých koeficientů.
Při hledání partikulárního řešení vyjdeme (bez ohledu na hodnoty koeficientů α a β,
které mohou být i nulové, případně bez ohledu na to, jestli jeden z polynomů Pn, Qn je nulový)
z rovnice
y = (Apxn
+ Bpxn−1
+ . . . + Cp) cos βx + (Aqxn
+ Bqxn−1
+ . . . + Cq) sin βx xΠ
eαx
, (3.41)
kde Π je násobnost kořene λ = α + β i charakteristické rovnice (kde opět α, β mohou být
nulové). Rovnici (3.40) dosadíme do rovnice (3.32) a obecné koeficienty Ap, . . . , Cp, Aq, . . . , Cq
porovnáme s koeficienty funkce R(x), danými rovnicí (3.40).
Obecná řešení diferenciálních rovnic 2. řádu obsahují vždy dvě nezávislé konstanty. Jejich
hodnoty získáme řešením tzv. okrajové úlohy, zadané formou okrajových podmínek, kdy pro dvě
různá x1, x2 platí y(x1) = y1, y(x2) = y2 (Dirichletovy okrajové podmínky) nebo y′(x1) =
y1, y′(x2) = y2 (Neumannovy okrajové podmínky), případně jejich různé kombinace, například
y(x1) = y1, y′(x1) = αy1 nebo y(x1) = y1, y′(x2) = y2, kde α ̸= 0 je konstanta, atd. Podrobný
výčet typů okrajových podmínek a jejich klasifikaci uvádí například (Arfken & Weber, 2005;
Franců, 2011; Pospíšíl, 2006).
• Příklady:
3.70 y′′ − 2y′ + y =
ex
x
, y(1) = 0, y′(1) = 0 y = ex + x ex (ln |x| − 1) , x ̸= 0
3.71 y′′ − 7y′ + 12y = 5 y = C1 e3x + C2 e4x +
5
12
3.72 y′′ − 3y′ + 2y =
e3x
1 + e2x
y = C1 ex + C2 e2x −
1
2
ex ln 1 + e2x + e2x arctg (ex)
3.73 y′′ + y =
1
sin x
, y π
2 = 1, y′ π
2 = 0
y =
π
2
− x cos x + sin x (1 + ln | sin x|) , x ̸= kπ, k ∈ Z
3.74 y′′ − 2y′ = x2 − x y = C1 + C2 e2x −
x3
6
3.75 y′′ + y′ =
1
1 + ex
, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = 1 + x + (1 + e−x) ln
2
1 + ex
3.76 y′′ + y = cos x, y(0) = 1, y π
2 = 1 +
π
4
y = cos x + sin x 1 +
x
2
3.77 y′′ − 2y′ + 5y = ex cos x, y(0) =
4
3
, y′(0) =
10
3
y = cos 2x + sin 2x +
1
3
cos x ex
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 58
3.78 y′′ − 6y′ + 9y = 4x e3x cos x, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = (1 − 7x + 8 sin x − 4x cos x) e3x
3.79 y′′ + y′ − 6y = 12x2 + 2x + 1 y = C1 e−3x + C2 e2x − 2x2 − x − 1
3.80 y′′ + y′ − 6y = 12x2 − 2x + 1, y(0) = 1, y′(0) = 0 y =
31
45
e−3x +
6
5
e2x − 2x2 −
x
3
−
8
9
3.81 y′′ + 4y′ + 4y = e−2x ln x
y = C1 e−2x + C2x e−2x +
x2
4
e−2x(2 ln x − 3), x > 0
3.82 y′′ + 4y′ + 4y = e−2x ln2
x
y = C1 e−2x + C2x e−2x +
x2
2
e−2x ln2
x − 3 ln x +
7
2
, x > 0
3.83 y′′ − 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = e2x (cos x − 2 sin x)
3.84 y′′ − 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = ex cos 2x −
1
2
sin 2x
3.85 y′′ − 8y′ + 32y = 0, y π
2 = 1, y′ π
2 = 0 y = e4x−2π (cos 4x − sin 4x)
3.86 y′′ − 3y′ + 2y = (x4 + 1) ex
y = C1 −
x5
5
− x4 − 4x3 − 12x2 − 25x ex + C2 e2x
3.87 y′′ − 4y′ + 5y = (x2 + 2x) e2x cos x
y = e2x C1 +
x2
4
+
x
2
cos x + C2 +
x3
6
+
x2
2
−
x
4
sin x
3.88 y′′ − 3y′ + 2y = (1 − 2x) ex, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = 3 ex − 2 e2x + (x2 + x) ex
3.89 y′′ − 2y′ + y = (x + 1) ex, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = ex x3
6
+
x2
2
− x + 1
3.90 y′′ + 4y′ + 4y = (6x + 2) e−2x, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = e−2x x3 + x2 + 2x + 1
3.91 y′′ + 4y′ + 4y = e−2x sin x, y(0) = 1, y′(0) = 0 y = e−2x(3x − sin x + 1)
3.92 y′′ − 2y′ + 2y = ex sin x, y(0) = 1, y′(0) = 0 y =
ex
2
[(2 − x) cos x − sin x]
3.93 y′′ − 2y′ + 2y = x2 + x + ex sin x, y(0) = 2, y′(0) = 3
y = ex 1 −
x
2
cos x + sin x +
x2
2
+
3x
2
+ 1
3.94 Na nehmotné pružině je zavěšeno těleso o hmotnosti 3 kg. Působení síly 5,4 N na těleso
prodlouží pružinu o 0,2 m. Poté je pružina i s tělesem uvolněna a ponechána volnému
kmitání s nulovou počáteční rychlostí. Najděte (jednorozměrné) rovnice závislosti polohy
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 59
a rychlosti kmitajícího tělesa na čase, kdy souřadnici rovnovážné polohy označíme jako
x0 = 0 (vyjdeme z Hookova zákona ⃗F = −k⃗x, kde F = ma = m¨x, rychlost kmitání ⃗v
můžeme vyjádřit jako v = ˙x).
x(t) =
1
5
cos 3t, v(t) = −
3
5
sin 3t
3.95 Pohybová rovnice matematického kyvadla má nelineární tvar
d2
θ
dt2
+
g
L
sin θ = 0,
kde θ je úhel jeho výchylky z rovnovážné (svislé) polohy, L je jeho délka (délka závěsu) a g
je velikost gravitačního zrychlení. Pro malé výchylky můžeme použít lineární aproximaci
sin θ ≈ θ a diferenciální rovnice tak bude lineární. Uvažujte matematické kyvadlo s délkou
závěsu 2,5 m, které je v čase t = 0 vychýleno o (rostoucí) úhel θ = 0,1 rad a velikost jeho
počáteční úhlové rychlosti je ˙θ = 0,25 rad s−1
(uvažujte pro jednoduchost g = 10 m s−2) :
(a) Najděte rovnice závislosti polohy θ a úhlové rychlosti ω kyvadla na čase, kdy souřadnici
rovnovážné polohy označíme jako θ0 = 0.
(b) Jaká bude velikost maximální výchylky kyvadla ?
(c) V jakém čase dospěje poprvé kyvadlo do rovnovážné polohy a jaká zde bude velikost
jeho obvodové rychlosti ?
(a) θ(t) =
1
10
cos 2t +
1
8
sin 2t, ω(t) = −
1
5
sin 2t +
1
4
cos 2t
(b) θmax ≈ 0,160 rad
(c) t(θ0) ≈ 1,233 s, v(θ0) ≈ 0,8 m s−1
3.96 Předpokládejme, že kmity pružiny z příkladu 3.94 jsou tlumené, kdy tlumící síla je přímo
úměrná rychlosti (velikost) a působí proti směru pohybu, s konstantou úměrnosti c =
1 kg s−1 (dostáváme tak rovnici m¨x+c ˙x+kx = 0). Najděte rovnici závislosti polohy x(t)
na čase v tomto případě. Jaké omezení platí pro konstantu úměrnosti c útlumu, aby se
vůbec jednalo o kmitání (viz obrázek 3.1) ?
x(t) = e−1
6
t 1
5
cos
√
323
6
t +
1
5
√
323
sin
√
323
6
t , c < 18
3.97 Předpokládejme, že netlumené kmity pružiny s parametry z příkladu 3.94 jsou buzené
harmonickou budící silou Fb = F0 sin(2t), kde amplituda budící síly F0 = 21 N. Dostáváme
tak rovnici m¨x+kx = F0 sin(2t). Najděte rovnice závislosti polohy a rychlosti kmitajícího
tělesa na čase v tomto případě.
x(t) =
21 sin 2t − 14 sin 3t + 3 cos 3t
15
, v(t) =
14 (cos 2t − cos 3t) − 3 sin 3t
5
3.98 Předpokládejme, že tlumené kmity pružiny s tuhostí k, se zavěšeným tělesem o hmotnosti
m a s konstantou útlumu c, jsou buzené harmonickou budící silou Fb = F0 sin(2t). Najděte
obecnou rovnici závislosti polohy kmitajícího tělesa na čase s podmínkou pro konstantu
úměrnosti útlumu.
x(t) =
F0 [(k − 4m) sin 2t − 2c cos 2t]
4c2 + (k − 4m)2
+e− c
2m
t
C1 e
√
c2−4km
2m
t
+ C2 e−
√
c2−4km
2m
t
, c2 < 4km
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 60
t
x
2010
−0.2
0.2
c=1
t
x
1 2
−0.2
0.2
c=1
c=18
c=30
Obrázek 3.1: Levý obrázek: Graf tlumených kmitů podle výsledku příkladu 3.96 s konstantou úměrnosti
tlumící síly c = 1 (podkritické tlumení, c2
< 4km), vykreslený v časovém intervalu od t = 0 do
t = 20. Přerušovaná čára, obalující graf tlumených kmitů (vyznačený silnou zelenou čarou), představuje
funkci x(t) = 1
5 e−ct/2m
= 1
5 e−t/6
. Pravý obrázek: Výseč stejného grafu podle příkladu 3.96, vykreslená
v časovém intervalu od t = 0 do t = 2. Modrá čára zobrazuje tzv. kritické tlumení (c2
= 4km), dané
v tomto případě funkcí x(t) = 1
5 e−3t
, kdy oscilátor již nevykonává kmity, nýbrž se za nejkratší možnou
dobu ustálí v rovnovážné poloze. Červená čára zobrazuje tzv. nadkritické tlumení (c2
> 4km), dané
v tomto případě funkcí x(t) = e−t
(9 − e−8t
)/40, kdy se opět jedná o neperiodický pohyb, při kterém
se oscilátor vrací do své rovnovážné polohy pomaleji.
3.2.2 Rovnice s nekonstantními koeficienty ⋆
Obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu typu rovnice (3.32), kde koeficient p = p(x) a kde koeficient
q = q(x) = 0, můžeme řešit jejich převedením na rovnice 1. řádu závisle proměnné z = y′.
Rovnice typu
y′′
+ p(x)y′
+ q(x)y = R(x), (3.42)
řešíme tak, že hledáme nějakou funkci I(x) (integrační faktor) takovou, že pro z = I(x)y rovnice
(3.42) přejde do podoby rovnice s konstantními koeficienty
z′′
+ pz′
+ qz = R(x). (3.43)
Obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu typu
y′′
+ p(y′
)m
yn
+ qyr
= R(x)ys
, (3.44)
kde m, n, r, s jsou konstanty, lze řešit nalezením takového z = f(y), pro které opět platí rovnice
(3.43).
• Příklady: ⋆
3.99 y′′ −
2y′
x
= x2 + 1, y(1) = −
11
12
, y′(1) = 1 y =
x4
4
+
x3
3
−
x2
2
− 1, x ̸= 0
3.100 xy′′ + (x + 2)y′ + y = 0 y =
1
x
(C1 + C2 e−x) , y = 0, x ̸= 0
3.101 xy′′ − (3x − 2)y′ + (2x − 3)y = 0 y =
1
x
C1 ex + C2 e2x , y = 0, x ̸= 0
⋆ jsou označeny odstavce a příklady, určené primárně studentům vyšších ročníků bakalářského studia
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 61
3.102 x2y′′ − 2x(x + 2)y′ + (x2 + 4x + 6)y = 0 y = ex C1x2 + C2x3 , y = 0
3.103 x2y′′ + x(x + 4)y′ + (x2 + 2x + 2)y = 0 y =
e−x
2
x2
C1 cos
√
3
2
x + C2 sin
√
3
2
x , y = 0
3.104 x2y′′ − 4xy′ + 4y = x + 1 y = C1x + C2x4 −
x ln x
3
+
1
4
, x > 0
3.105 x2y′′ − xy′ + y = 2x − 4 y = C1x + C2x ln x + x ln2
x − 4, x > 0
3.106 y′′ −
3
√
x
−
1
2x
y′ +
2
x
y = 2
√
x
y = C1 e2
√
x + C2 e4
√
x + x
3
2 +
9x
4
+
21
√
x
8
+
45
32
, x > 0
3.107 y′′ +
2x − 6
x2
y′ +
8
x4
y = 0 y = C1 e−2/x + C2 e−4/x, y = 0, x ̸= 0
3.108
1
16x2
y′′ −
1
16x3
+
1
x
y′ + 4y = 4x4 + 1 y = C1 e4x2
+ C2x2 e4x2
+ x4 + x2 +
5
8
, x ̸= 0
3.109 y′′ −
2
2x − 1
y′ = 2x(2x − 1)2 y = C1 +C2(x2 −x)+
8
15
x5 −
5
6
x4 +
x3
3
, x ̸=
1
2
3.110 2yy′′ + 2y′(y′ − 4y) + 4y2 = x
y = ±
1
2
√
C1 e2x + C2x e2x + x + 1 =
√
D, D ≥ 0
3.111
y′′
2y
−
y′
y
3y′
4y
+ 1 = 2 − ex√
y y = e−2x (C1 cos x + C2 sin x + 1)−2
, y ≥ 0
3.3 Řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého
a vyšších řádů převodem na soustavu lineárních obyčejných
diferenciálních rovnic prvního řádu
Podobně jako „běžné“ rovnice, mohou i obyčejné (lineární) diferenciální rovnice tvořit soustavu.
Uvažujme systém lineárních diferenciálních rovnic pouze 1. řádu (rovnice vyššího řádu lze na
takový systém vždy jednoduše převést, například rovnici 2. řádu y′′ + a1y′ + a0y = f zapíšeme
jako dvě rovnice 1. řádu: y′ = z, z′ = −a1z − a0y + f)
y′
1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · · + a1n(x)yn + f1(x),
y′
2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · · + a2n(x)yn + f2(x), (3.45)
· · ·
y′
n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · · + ann(x)yn + fn(x).
Systém rovnic (3.45) zapíšeme vektorově jako
⃗y ′
= A⃗y + ⃗f (nebo, pokud ⃗f(x) = 0, jako homogenní systém ⃗y ′
= A⃗y), (3.46)
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 62
kde matice
A(x) =





a11(x) a12(x) · · · a1n(x)
a21(x) a22(x) · · · a2n(x)
...
...
...
...
an1(x) an2(x) · · · ann(x)





(3.47)
a kde ⃗y ′, ⃗y a ⃗f jsou sloupcové vektory. Řešení soustav rovnic s nekonstantními koeficienty A(x)
může být v praxi značně komplikované a představuje samostatnou disciplínu, vymykající se
rozsahu těchto skript, v následujících odstavcích se proto zaměříme pouze na systémy rovnic
s konstantními koeficienty A(x) = A.
3.3.1 Homogenní soustavy s konstantními koeficienty
V případě homogenního systému dle rovnice (3.46) s konstantními koeficienty aij, kdy matice
A (typu n × n) má n různých reálných vlastních hodnot λi, i = 1 . . . n (viz rovnice (2.17)),
můžeme zapsat řešení v obecném vektorovém tvaru
⃗y(x) = C1 eλ1x
⃗v1 + C2 eλ2x
⃗v2 + · · · + Cn eλnx
⃗vn, (3.48)
kde vi jsou jednotlivé vlastní vektory dle rovnic (2.17) a (2.18), příslušející vlastním hodnotám
λi (k rovnici (3.48) bychom dospěli i například postupným dosazováním, tedy náhradou n rovnic
1. řádu jednou rovnicí n-tého řádu, zejména v případě vyššího n je to ovšem způsob značně
obtížný a pracný). Jako jednoduchý příklad uvedeme systém dvou homogenních rovnic
y′
1
y′
2
=
1 6
1 2
y1
y2
. (3.49)
Vlastní hodnoty matice A budou λ1, λ2 = −1, 4, příslušné vlastní vektory budou ⃗v1 = (−3, 1)T
a ⃗v2 = (2, 1)T . Z kapitoly 2.1 je zřejmé, že vlastními vektory jsou i všechny vektory ⃗v1, ⃗v2,
násobené libovolnou konstantou (v následujícím textu budeme uvádět pouze jeho základní tvar).
Výsledné řešení systému rovnic, v případě že nejsou zadány další podmínky, můžeme zapsat
jako
⃗y(x) = C1
−3
1
e−x
+ C2
2
1
e4x
. (3.50)
Pokud jsou vlastní hodnoty matice A reprezentovány také dvojicemi (komplexně sdružených)
komplexních čísel, budeme řešení hledat obdobným způsobem jako v případě reálných vlastních
hodnot. Jako jednoduchý příklad uvedeme systém dvou homogenních rovnic
y′
1
y′
2
=
2 −5
1 −2
y1
y2
. (3.51)
Vlastní hodnoty matice A v tomto případě budou λ1, λ2 = ±i, příslušné vlastní vektory budou
⃗v1 = (2 − i, 1)T a ⃗v2 = (2 + i, 1)T . Výsledné řešení systému rovnic bude
⃗y(x) = C1
5
2 − i
eix
+ C2
5
2 + i
e−ix
= A
5 cos x
2 cos x + sin x
+ B
5 sin x
2 sin x − cos x
, (3.52)
kde vztah mezi exponenciální a goniometrickou formou rovnice (3.52) je dán Eulerovou identitou
e±ix = cos x ± i sin x a kde koeficienty A = C1 + C2, B = i (C2 − C1).
Pokud je některá reálná vlastní hodnota matice A vícenásobná, způsob řešení bude dále
záležet na počtu jí odpovídajících vlastních vektorů, kdy existují v zásadě 2 možnosti:
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 63
(a) Vícenásobné (k-násobné) vlastní hodnotě ρ odpovídá k lineárně nezávislých vlastních
vektorů, potom část obecného řešení, týkající se této vlastní hodnoty, bude mít tvar
⃗yρ(x) = C1eρx
⃗v1 + C2eρx
⃗v2 + · · · + Ckeρx
⃗vk. (3.53)
Jednoduchým příkladem může být například následující systém,
y′
1
y′
2
=
3 0
0 3
y1
y2
(3.54)
s dvojnásobnou vlastní hodnotou ρ = 3 a se dvěma lineárně nezávislými vlastními vektory
⃗v1 = (1, 0)T a ⃗v2 = (0, 1)T . Výsledné řešení systému ve smyslu rovnice (3.53) bude
⃗yρ(x) = C1
1
0
e3x
+ C2
0
1
e3x
. (3.55)
(b) Vícenásobné (k-násobné) vlastní hodnotě ρ odpovídá j lineárně nezávislých vlastních vektorů,
kdy 1 ≤ j < k, tedy s = k + 1 − j vlastním hodnotám ρ odpovídá jediný lineárně
nezávislý vlastní vektor ⃗u. Taková matice se nazývá defektní a není diagonalizovatelná,
tj. převoditelná na diagonální matici po vynásobení zleva maticí řádkových levých vlastních
vektorů a zprava maticí sloupcových pravých vlastních vektorů. Potom část obecného
řešení, týkající se tohoto vlastního vektoru ⃗u, bude mít tvar
⃗yρ(x) = C1⃗u eρx
+ C2 (⃗w1 + x⃗u) eρx
+ · · · (3.56)
· · · + Cs ⃗ws−1 + x⃗ws−2 +
x2
2!
⃗ws−3 + · · · +
xs−2
(s − 2)!
⃗w1 +
xs−1
(s − 1)!
⃗u eρx
, (3.57)
kde vektor ⃗wi odpovídá libovolnému řešení algebraických rovnic
(A − ρE) ⃗wi = ⃗wi−1, . . . (A − ρE) ⃗w1 = ⃗u. (3.58)
Následující příklad ilustruje popsaný princip řešení: uvažujme systém
y′
1
y′
2
=
3 −1
1 1
y1
y2
(3.59)
s dvojnásobnou vlastní hodnotou ρ = 2, které ovšem odpovídá pouze jeden lineárně
nezávislý vlastní vektor ⃗u = (1, 1)T . Vektor ⃗w určíme z rovnice (3.58),
1 −1
1 −1
w1
w2
=
1
1
, tedy
w1
w2
=
1
0
(3.60)
Výsledné řešení systému ve smyslu rovnice (3.56) bude
⃗yρ(x) = C1
1
1
e2x
+ C2
1
0
+ x
1
1
e2x
. (3.61)
Řešení systémů s více než dvěma lineárními rovnicemi 1. řádu je analogické k uvedeným jednoduchým
příkladům se dvěma rovnicemi, některé principy více ozřejmí následující příklady,
zahrnující i systémy tří rovnic.
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 64
• Příklady:
3.112 ⃗y ′ =
4 10
1 1
⃗y ⃗y = C1
5
1
e6x + C2
2
−1
e−x
3.113 ⃗y ′ =
7 13
−1 1
⃗y
⃗y = C1
13
−3 + 2i
e(4+2i)x + C2
13
−3 − 2i
e(4−2i)x =
= A
13 cos 2x
−3 cos 2x − 2 sin 2x
+ B
13 sin 2x
2 cos 2x − 3 sin 2x
e4x
3.114 ⃗y ′ =


1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1

 ⃗y ⃗y = C1


1
1
1

 + C2


1
0
−1

 ex + C3


1
−2
1

 e3x
3.115 ⃗y ′ =


5 8 16
4 1 8
−4 −4 −11

 ⃗y ⃗y = C1


−2
−1
1

 ex +

C2


−1
1
0

 + C3


−2
0
1



 e−3x
3.116 ⃗y ′ =


−2 0 0
1 −3 −1
−1 1 −1

 ⃗y
⃗y =



C1


0
2
−2

 + C2


2
0
2

 + C3




0
−1
−1

 + x


0
2
−2







e−2x
3.117 ⃗y ′ =


1 0 0
0 3 2
2 −2 −1

 ⃗y
⃗y =



C1


0
4
−4

 + C2




0
0
2

 + x


0
4
−4



 + C3




1
4
−4

 + x


0
0
2

 +
x2
2


0
4
−4







ex
3.118 ⃗y ′ =


−1 1 0
−2 −3 1
1 1 −2

 ⃗y
⃗y =



C1


1
−1
1

 + C2




1
0
1

 + x


1
−1
1



 + C3




0
1
1

 + x


1
0
1

 +
x2
2


1
−1
1







e−2x
3.3.2 Nehomogenní soustavy s konstantními koeficienty
Řešení lineárních soustav s pravou stranou bude v principu analogické metodám řešení obyčejných
diferenciálních rovnic 2. řádu (viz odstavec 3.2.1), tj. metodám variace konstant a neur-
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 65
čitých koeficientů. Metodu variace konstant můžeme aplikovat následujícím způsobem: předpokládejme
partikulární řešení nehomogenní rovnice (3.46), ve tvaru
⃗yp = Y (x)⃗t(x), (3.62)
kde Y (x) je matice, jejíž sloupce tvoří jednotlivá lineárně nezávislá řešení příslušné homogenní
rovnice (3.46), přepsané nyní do tvaru Y ′
= AY , ⃗t(x) je hledaný, obecně zapsaný sloupcový
vektor. Protože rovnice (3.46) musí platit také pro partikulární řešení, tedy ⃗y ′
p = A⃗yp + ⃗f, první
derivace partikulárního řešení v takovém případě bude
⃗y ′
p = Y ′⃗t + Y⃗t ′
= AY⃗t + ⃗f = Y ′⃗t + ⃗f, tedy Y⃗t ′
= ⃗f. (3.63)
Hledaný vektor ⃗t získáme integrací rovnice (3.63),
⃗t =
ˆ
Y −1 ⃗f dx, ⃗yp = Y
ˆ
Y −1 ⃗f dx. (3.64)
Uvedenou metodu ilustruje následující řešený příklad: použijeme homogenní systém z řešeného
příkladu (viz rovnice (3.49)) s přidanou pravou stranou,
y′
1
y′
2
=
1 6
1 2
y1
y2
+
3
1
x. (3.65)
Z rovnice (3.50) ihned vidíme, že matice Y (x) bude
Y =
−3e−x 2e4x
e−x e4x , z toho Y −1
=
1
5
−ex 2ex
e−4x 3e−4x . (3.66)
Podle rovnice (3.64) tak dostáváme partikulární řešení pomocí integrace (kdy každou složku
vektoru ⃗yp integrujeme zvlášť)
⃗yp =
1
5
−3e−x 2e4x
e−x e4x
ˆ
−ex 2ex
e−4x 3e−4x
3x
x
dx =
−3/4
(1 − 4x)/8
. (3.67)
Úplné řešení tedy bude součtem rovnic (3.50) a (3.67). Ve výsledku rovnice (3.67) neuvádíme
integrační konstantu, předpokládáme, že je již „skrytá“ v konstantách homogenního řešení v rovnici
(3.50).
Metoda neurčitých koeficientů pro systém rovnic je zcela analogická již uvedenému řešení pro
rovnice 2. řádu, jediný rozdíl spočívá v tom, že koeficienty nyní budou vektory. Pokud například
v odstavci 3.2.1 byla pravá strana rovnice polynomem 1. stupně, obecný zápis partikulárního
řešení měl tvar yp = Ax + B, nyní to bude ⃗yp = ⃗Ax + ⃗B. Metodu ukážeme na stejném řešeném
příkladě: předpokládejme uvedenou obecnou formu partikulárního řešení, tedy
⃗yp =
A1
A2
x +
B1
B2
, což dává ⃗y ′
p = ⃗A =
A1
A2
. (3.68)
Rovnice (3.46) musí opět platit i pro partikulární řešení, ⃗y ′
p = A⃗yp + ⃗f, tedy ⃗A = A( ⃗Ax+ ⃗B)+ ⃗f.
Přepíšeme-li (vektorový) polynom 1. stupně do následujícího explicitního tvaru
A
A1
A2
+
3
1
x + A
B1
B2
−
A1
A2
= ⃗0, (3.69)
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 66
dostáváme pro lineární i absolutní člen (oba musí být nulové) následující rovnice:
1 6
1 2
A1
A2
= −
3
1
,
1 6
1 2
B1
B2
=
A1
A2
. (3.70)
Nyní již snadno dopočítáme jednotlivé neurčité koeficienty, dostáváme A1 = 0, A2 = −1/2,
B1 = −3/4, B2 = 1/8, což po dosazení a úpravě dává shodný výsledek s rovnicí (3.67).
Poněkud složitější je případ, kdy se součet koeficientů α + βi na pravé straně rovnice (viz
podobnost s rovnicí (3.41)) rovná některému z vlastních hodnot soustavy rovnic. V tom případě
opět násobíme obecný vektor pravé strany faktorem xρ, kde ρ je stupeň degenerace vlastní
hodnoty (analogie k násobnosti kořene charakteristické rovnice), musíme ovšem obecný vektor
“prodloužit” i o nižší mocniny obecného polynomu (abychom zahrnuli i jeho případné nenulové
členy ve vyšších derivacích), zpravidla až po absolutní člen. Tento postup si ukážeme na
následujícím příkladě (který zahrnuje více takových eventualit z předchozího výkladu):
y ′′′′
+ 3y ′′′
= x2
+ x + 1. (3.71)
Rovnici čtvrtého řádu můžeme pojmout jako soustavu čtyř rovnic prvního řádu čtyř proměnných,
kdy v homogenní rovnici y′
1 = y2, y′
2 = y3, y′
3 = y4 a y′
4 = −3y4. Explicitní maticový
zápis homogenní soustavy bude mít podobu
⃗y ′
≡




y′
4
y′
3
y′
2
y′
1



 =




−3 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0








y4
y3
y2
y1



 ≡ A⃗y (3.72)
a její řešení bude




y4
y3
y2
y1



 = C1




−27
9
−3
1



e−3x
+ C2




0
0
0
1



 + C3








0
0
1
1



 + x




0
0
0
1







 + C4








0
1
1
1



 + x




0
0
1
1



 +
x2
2




0
0
0
1







 . (3.73)
Protože vlastní hodnota λ2,3,4 = 0 je trojnásobná a odpovídá parametru α pravé strany zadané
rovnice, je třeba obecnou rovnici pravé strany násobit x3. Tato obecná rovnice, vzhledem k výše
řečenému, v tomto případě bude
⃗yp = ⃗Ax5
+ ⃗Bx4
+ ⃗Cx3
+ ⃗Dx2
+ ⃗Ex + ⃗F (3.74)
a celý maticový zápis obecného řešení pravé strany bude
⃗yp
′
= A ⃗yp +




1
0
0
0



 x2
+ x + 1 . (3.75)
Z obecného řešení pravé strany vyplývá (viz rovnice (3.41)), že rovnice pro yp1 bude obsahovat
pouze koeficienty A1, B1 a C1, tedy D1 = 0, E1 = 0, F1 = 0 (číslováno „odspoda nahoru“,
souhlasně s homogenním systémem). Dále, z vyjádření vektorové rovnice pro koeficienty páté
mocniny proměnné x vyplývá A2 = 0, A3 = 0, A4 = 0, A1 = A1. Porovnáním všech ostatních
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 67
koeficientů u shodných mocnin dostáváme jednoznačné řešení pravé strany,
⃗yp =






0
0
0
1
180






x5
+








0
0
1
36
1
216








x4
+










0
1
9
1
54
4
81










x3
+










1
3
1
18
4
27
0










x2
+








1
9
8
27
0
0








x +






8
27
0
0
0






. (3.76)
Toto lze snadno ověřit tak, že spodní řádek nastavíme jako řešení dané rovnice (3.71), kde
ztotožníme yp1 s původním y (totéž platí pro homogenní řešení). Vyšší řádky pak postupně
odpovídají první, druhé a třetí derivaci y.
• Příklady:
3.119 ⃗y ′ =
1 3
1 −1
⃗y +
2
1
e−5x ⃗y = C1
3
1
e2x + C2
−1
1
e−2x −
5/21
4/21
e−5x
3.120 ⃗y ′ =
3 −1
1 1
⃗y +
1
1
⃗y = C1
1
1
e2x + C2
1
0
+ x
1
1
e2x −
1/2
1/2
3.121 ⃗y ′ =


2 −1 −1
0 −1 0
0 2 1

 ⃗y +


2
1
1

 x2
⃗y = C1


0
1
−1

 e−x + C2


1
0
1

 ex + C3


1
0
0

 e2x +


−2
1
−3

 x2 −


4
2
2

 x +


−4
2
−6


3.122 ⃗y ′ =


1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4

 ⃗y +


1
0
−1

 (x + 1) e2x
⃗y = C1


1
1
0

 e−2x + C2


1
0
−1

 e−2x + C3


1
1
2

 e4x +




1/4
0
−1/4

 x +


3/16
0
−3/16



 e2x
3.123 ⃗y ′ =


1 3 1
0 0 1
0 1 0

 ⃗y +


1
0
−1

 x2
⃗y = C1


1
−1
1

 e−x + C2


1
0
0

 ex + C3




1
1/4
1/4

 + x


1
0
0



 ex +


−4
1
0

 x2 −


10
0
−2

 x −


16
−2
0


3.124 Nalezněte řešení obyčejné diferenciální rovnice 3. řádu
y ′′′
+ y ′′
− y ′
− y = x2
+ 1 (3.77)
pomocí její transformace na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu. Výsledek
ověřte pomocí některé z metod, uvedených v odstavci 3.2.1.
y = C1e−x + C2x e−x + C3 ex − x2 + 2x − 5
Kapitola 3. Obyčejné diferenciální rovnice 68
3.125 Nalezněte řešení obyčejné diferenciální rovnice 3. řádu
y ′′′
+ 3y ′′
− 7y ′
− 9y = sin x (3.78)
pomocí její transformace na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu. Výsledek
ověřte pomocí některé z metod, uvedených v odstavci 3.2.1.
y = C1e−x + C2 e(−1+
√
10)x
+ C3 e−(1+
√
10)x
+
1
26
cos x −
3
52
sin x
3.126 Nalezněte řešení obyčejné diferenciální rovnice 4. řádu
y ′′′′
− 4y ′′′
+ 3y ′′
+ 4y ′
− 4y = x4
+ cos x (3.79)
pomocí její transformace na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu. Výsledek
ověřte pomocí některé z metod, uvedených v odstavci 3.2.1.
y = C1e2x+C2x e2x+C3 ex+C4 e−x−
1
8
2x4 + 8x3 + 42x2 + 72x + 99 −
3
50
cos x+
2
25
sin x
3.127 Nalezněte řešení obyčejné diferenciální rovnice 3. řádu
y ′′′
+ y ′′
+ y ′
+ y = (x2
+ 1) e−x
(3.80)
pomocí její transformace na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu. Výsledek
ověřte pomocí některé z metod, uvedených v odstavci 3.2.1.
y = C1 cos x + C2 sin x +
x3
6
+
x2
2
+ x + C3 e−x
Kapitola 4
Úvod do křivočarých souřadnic1
Většina jevů v přírodě (a tedy i fyzikálních dějů) neprobíhá přísně pravoúhle a není vhodné
a často ani schůdné je jednoduše popisovat pomocí kartézských souřadnic. V tom případě je
výhodné zvolit takovou souřadnou soustavu (zpravidla křivočarou), která co nejlépe odpovídá
geometrii popisovaného děje. Nejčastěji používanými křivočarými souřadnými soustavami jsou
soustava válcová (cylindrická) a soustava kulová (sférická). Dále existuje řada speciálních křivočarých
souřadných soustav, např. eliptická, parabolická, kónická, atd.
4.1 Kartézské souřadnice
I když kartézská soustava nepatří mezi křivočaré soustavy, uvádíme ji zde jako nejjednodušší
ortogonální souřadnou soustavu, v níž zavedeme základní pojmy, které v rámci křivočarých
souřadných soustav analogicky upřesníme a aplikujeme (v celé kapitole nadále implicitně předpokládáme,
že se „pohybujeme“ v R3). Vektory ortonormální kartézské báze, ⃗ex = (1, 0, 0), ⃗ey =
(0, 1, 0), ⃗ez = (0, 0, 1), jsou konstantní (mají stále stejnou velikost a stále stejný směr), derivace
těchto bázových vektorů jsou tedy nulové.
Pokud při pohledu z libovolného bodu kladné poloosy +z přejde kladná poloosa +x pootočením
o úhel π/2 v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček) v kladnou poloosu +y,
jedná se o soustavu pravotočivou (kladně orientovanou), v opačném případě se jedná o soustavu
levotočivou (záporně orientovanou). Křivky (v tomto případě přímky) vytvořené body, jejichž
dvě souřadnice jsou konstantní a pouze jedna se spojitě mění, jsou tzv. souřadnicové křivky.
Plochy vytvořené body, jejichž jedna souřadnice je konstantní, jsou tzv. souřadnicové plochy.
Pro druhou mocninu vzdálenosti dvou bodů v kartézské soustavě platí (Pythagorova věta
v diferenciálním tvaru, na kterou se lze také dívat jako na druhou mocninu délky tělesové
úhlopříčky elementárního „kvádru“ o hranách dx, dy, dz)
ds2
= dx2
+ dy2
+ dz2
, (4.1)
zároveň samozřejmě platí, že vzdálenost ds musí být pro všechny souřadnicové soustavy stejná.
Faktory, které škálují délky jednotlivých hran elementárního kvádru (délky, nikoli jejich druhé
mocniny) se nazývají Laméovy koeficienty, značí se hi. V kartézské soustavě budou tedy Laméovy
koeficienty (nezaměňovat se stejnojmennými koeficienty, používanými v mechanice kontinua)
hx = 1, hy = 1, hz = 1. Z definice kartézského systému vyplývá, že tzv. plošné elementy (kde
dolní index znamená konstantní souřadnici) dSx = dy dz, dSy = dz dx, dSz = dx dy a objemový
element dV = dx dy dz, mají konstantní velikost.
1
Doporučená literatura k této kapitole: Kvasnica (2004), Arfken & Weber (2005).
69
Kapitola 4. Úvod do křivočarých souřadnic 70
• Příklady:
4.1 Určete velikost ∥⃗u∥ = u vektoru ⃗u = 12⃗ex − 3⃗ey + 7⃗ez a dále vektor ⃗ux, jednotkový vektor
⃗v ve směru ⃗u a vektor ⃗w o velikosti 7 ve směru −⃗u.
u =
√
202, ⃗ux = 12⃗ex, ⃗v =
1
√
202
(12⃗ex − 3⃗ey + 7⃗ez), ⃗w = −
7
√
202
(12⃗ex − 3⃗ey + 7⃗ez)
4.2 Jsou dány 3 body v prostoru, A = [12, 1, −3], B = [7, −5, 8] a C = [4, 11, −2]. Napište
vektorový součet vektorů ⃗u =
−−→
AB, ⃗v =
−→
AC, ⃗w =
−−→
CB a určete jeho velikost. Prověřte
jestli dané 3 body neleží v jedné přímce a pokud ne, napište obecnou rovnici jimi určené
roviny σ.
⃗u+⃗v+ ⃗w = −10⃗ex −12⃗ey +22⃗ez, ∥⃗u+⃗v+ ⃗w∥ = 2
√
182, σ : 116x+83y+98z−1181 = 0
4.3 Určete vzdálenost d počátku souřadnicového systému, tj. bodu O = [0, 0, 0], od roviny σ,
dané předchozím příkladem 4.2.
d ≈ 6,82
4.4 Napište kartézskou rovnici kulové plochy se středem v bodě x, y, z = [2, 1, 7] a s poloměrem
r = 3, jako funkci z = f(x, y). Určete souřadnice průsečíků P1 a P2 této plochy s přímkou,
procházející bodem x, y, z = [1, 1, 1], jejíž směrový vektor ⃗u = (0, 0, 1).
z = 7 ± 4 − x(x − 4) − y(y − 2), P1 = [1, 1, 7 + 2
√
2], P2 = [1, 1, 7 − 2
√
2]
4.5 V kartézské soustavě má polohový vektor podobu ⃗r = (x, y, z). Uvažujme zcela obecnou
neortogonální souřadnou soustavu se souřadnicemi α, β, γ, s konstantními vektory báze
(srovnej s obrázkem 2.2 a jeho doprovodným výkladem), v níž by stejný polohový vektor
(„viděno“ z kartézské soustavy) měl podobu ⃗r = (α, α + 3β, γ − α − 2β). Jak by potom
vypadaly bázové vektory ⃗eα,⃗eβ,⃗eγ, „viděno“ z kartézské soustavy ? (podobu bázových
vektorů ortogonálních soustav můžeme získat pomocí vztahu hi⃗ei = ∂xj/∂qi, kde qi jsou
nové souřadnice).
⃗eα = (1, 1, −1), ⃗eβ = (0, 3, −2), ⃗eγ = (0, 0, 1)
4.2 Válcové (cylindrické) souřadnice
Válcová soustava je vhodná pro popis osově symetrických (rotačních) jevů. Souřadnicové směry
eφ
eρ
ex
ey
φ
Obrázek 4.1: Schéma vzájemné transformace jednotkových bázových vektorů kartézské a válcové souřadné
soustavy (viz rovnice (4.4)). Osa z je pro obě soustavy shodná a míří z počátku směrem k nám.
jsou: ρ - vzdálenost od osy válcové symetrie, ϕ - azimutální úhel, z - výška (pokud bychom
uvažovali pouze soustavu v R2, kde z = 0, potom se jedná o soustavu, běžně nazývanou jako
Kapitola 4. Úvod do křivočarých souřadnic 71
polární), kde ρ ∈ ⟨0, ∞), ϕ ∈ ⟨0, 2π), z ∈ (−∞, ∞). Válcová soustava je tedy ortogonální.
Převod mezi válcovou a kartézskou soustavou je dán vztahy2
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z. (4.2)
Pro zpětnou transformaci platí
ρ = x2 + y2, ϕ = arccos
x
x2 + y2
, ϕ = arcsin
y
x2 + y2
, ϕ = arctg
y
x
. (4.3)
Jednotkové vektory válcové báze budou mít v kartézské soustavě tvar (viz obrázek 4.1)
⃗eρ = ⃗ex cos ϕ + ⃗ey sin ϕ, ⃗eϕ = −⃗ex sin ϕ + ⃗ey cos ϕ, ⃗ez = ⃗ez. (4.4)
Jediným konstantním bázovým vektorem bude vektor ⃗ez, ostatní bázové vektory mění směr
v závislosti na úhlu ϕ.
Souřadnicovými křivkami ve válcové soustavě budou:
• polopřímky sρ s počátkem na ose z, ležící v rovině kolmé k ose z (ϕ = konst., z = konst.),
• kružnice sϕ se středem na ose z, ležící v rovině kolmé k ose z (ρ = konst., z = konst., ρ =
0 dává bod na ose z),
• přímky sz rovnoběžné s osou z (ρ = konst., ϕ = konst., ρ = 0 dává osu z).
Souřadnicovými plochami ve válcové soustavě budou:
• rotační válcové plochy Sρ s osou rotace v ose z (ρ = konst.; ρ = 0 dává osu z),
• poloroviny Sϕ procházející osou z (ϕ = konst.),
• roviny Sz rovnoběžné s rovinou ρ-ϕ (z = konst.).
Pro druhou mocninu vzdálenosti dvou bodů v diferenciálním tvaru (dosazením rovnice (4.2)
do rovnice (4.1)) ve válcové soustavě platí
ds2
= dρ2
+ ρ2
dϕ2
+ dz2
, (4.5)
což můžeme opět považovat za druhou mocninu délky tělesové úhlopříčky elementárního „kvádru“,
respektive „klínku“ o hranách dsρ = dρ, dsϕ = ρ dϕ, dsz = dz. Ve válcové soustavě dostáváme
tedy Laméovy koeficienty hρ = 1, hϕ = ρ, hz = 1. Z infinitesimálních, vzájemně kolmých hranových
úseček respektive obloučků, zkonstruujeme plošné elementy
dSρ = dsϕ dsz = ρ dϕ dz, dSϕ = dsz dsρ = dz dρ, dSz = dsρ dsϕ = ρ dρ dϕ (4.6)
a také objemový element válcové soustavy
dV = dsρ dsϕ dsz = ρ dρ dϕ dz. (4.7)
Na rozdíl od kartézské soustavy nejsou všechny tyto elementy konstantní, jejich velikost (s výjimkou
plošného elementu dSϕ) evidentně roste přímo úměrně vzdálenosti ρ od osy z.
Podrobný popis válcového souřadnicového systému je rozveden v odstavci B.2 v příloze B.
2
V dalším popisu budeme rozlišovat ρ pro radiální válcovou souřadnici, r pro radiální kulovou souřadnici.
V případě jednotkových bázových vektorů budeme rozlišovat ⃗eρ pro válcovou a ⃗er pro kulovou soustavu.
Kapitola 4. Úvod do křivočarých souřadnic 72
• Příklady:
4.6 Napište válcové souřadnice bodu A, jehož kartézské souřadnice jsou x, y, z = [6, −2
√
3, 3].
A : ρ, ϕ, z = 4
√
3,
11π
6
, 3
4.7 Napište kartézské souřadnice bodu B, jehož válcové souřadnice jsou ρ, ϕ, z = 4,
5π
3
, −2 .
B : x, y, z = 2, −2
√
3, −2
4.8 Napište rovnici plochy z = 5 − 2 x2 + y2, z ≥ 0, ve válcových souřadnicích. Nakreslete
uvedenou plochu.
z = 5 − 2ρ, z ∈ ⟨0, 5⟩; část rotační kuželové plochy, jejíž osu rotace tvoří osa z společná
oběma systémům, s poloměrem ρ = 5/2 v rovině z = 0 a s vrcholem v bodě [0,0,5].
4.9 Napište rovnici plochy z − x2 + y2 − 4x − 2y + 5 = 0, z ≤ 4, ve válcových souřadnicích.
Nakreslete uvedenou plochu.
z = ρ, z ∈ ⟨0, 4⟩; část rotační kuželové plochy s osou rotace procházející počátkem válcového
systému v bodě O : x, y, z = [2, 1, 0] se směrovým vektorem ⃗z = (0, 0, 1), s poloměrem
ρ = 4 v rovině z = 4 a s vrcholem v bodě O.
4.10 Napište rovnici plochy 2z − x2 − y2 = 0, z ≤ 8, ve válcových souřadnicích. Nakreslete
uvedenou plochu.
z = ρ2/2, z ∈ ⟨0, 8⟩; část rotačního paraboloidu, jehož osu rotace tvoří osa z společná
oběma systémům, s poloměrem ρ = 4 v rovině z = 8 a s vrcholem ve společném počátku.
4.11 Napište rovnici plochy x − y2 − z2 + 8y + 2z − 17 = 0, x ≤ 4, ve válcových souřadnicích.
Nakreslete uvedenou plochu.
x = ρ2, x ∈ ⟨0, 4⟩; část rotačního paraboloidu s osou rotace procházející počátkem válcového
systému v bodě O : x, y, z = [0, 4, 1] se směrovým vektorem ⃗x = (1, 0, 0), s poloměrem
ρ = 2 v rovině x = 4 a s vrcholem v bodě O.
4.3 Kulové (sférické) souřadnice
Kulová soustava je vhodná pro popis bodově (centrálně) symetrických jevů. Souřadnicové směry
jsou: r - vzdálenost od centrálního bodu - počátku soustavy, θ - polární úhel, ϕ - azimutální
úhel (v tomto pořadí souřadnicových směrů je soustava pravotočivá - znázornění jednotlivých
směrů a bázových vektorů je na obrázku 4.2), kde r ∈ ⟨0, ∞), θ ∈ ⟨0, π⟩, ϕ ∈ ⟨0, 2π). Kulová
soustava je tedy opět ortogonální. Převod mezi kulovou a kartézskou soustavou je dán vztahy
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. (4.8)
Pro zpětnou transformaci dostáváme
r = x2 + y2 + z2,
θ = arccos
z
x2 + y2 + z2
, (4.9)
ϕ = arccos
x
x2 + y2
, ϕ = arcsin
y
x2 + y2
, ϕ = arctg
y
x
.
Kapitola 4. Úvod do křivočarých souřadnic 73
ex
ey
ez
er
eθ
eφ
φ
θ
r
P
x
y
z
Obrázek 4.2: Schéma vzájemné transformace jednotkových bázových vektorů kartézské a kulové souřadné
soustavy (viz rovnice (4.8)). Bázové vektory ortonormální kartézské báze jsou vyznačeny silně černě,
bázové vektory ortonormální kulové báze jsou vyznačeny silně červeně. Obecný bod P je určen svým
polohovým vektorem ⃗r, směr bázového vektoru ⃗er je totožný se směrem vektoru ⃗r. Čárkovaně červeně
je znázorněna část poloroviny Sϕ procházející osou z s konstantní souřadnicí ϕ (rostoucí od osy x
k polorovině Sϕ), bázový vektor ⃗eϕ je k této polorovině kolmý a je (v pravotočivé soustavě) vůči ní
kladně orientován. Bázový vektor ⃗eθ je k oběma předchozím bázovým vektorům rovněž kolmý a je
orientován ve směru narůstu souřadnice θ (rostoucí od osy z k vektoru ⃗r), tedy tak aby bázové vektory
kulové soustavy v pořadí podle rovnice (4.10) tvořily pravotočivou soustavu.
Jednotkové vektory kulové báze budou mít v kartézské soustavě tvar (viz obrázek 4.2)
⃗er = ⃗ex sin θ cos ϕ + ⃗ey sin θ sin ϕ + ⃗ez cos θ,
⃗eθ = ⃗ex cos θ cos ϕ + ⃗ey cos θ sin ϕ − ⃗ez sin θ, (4.10)
⃗eϕ = −⃗ex sin ϕ + ⃗ey cos ϕ.
V kulové soustavě není tedy žádný z bázových vektorů konstantní.
Souřadnicovými křivkami v kulové soustavě budou:
• polopřímky sr vycházející libovolným směrem z počátku soustavy (θ = konst., ϕ =
konst.),
• polokružnice sθ se středem v počátku soustavy, ležící v polorovině procházející osou z
(r = konst., ϕ = konst., obdoba geografických poledníků),
• kružnice sϕ se středem na ose z, ležící v rovině kolmé k ose z (r = konst., θ = konst.,
obdoba geografických rovnoběžek).
Souřadnicovými plochami v kulové soustavě budou:
• kulové plochy Sr se středem v počátku soustavy (r = konst.),
• rotační kuželové (respektive polokuželové) plochy Sθ s vrcholem v počátku soustavy a s
osou rotace v ose z (θ = konst.),
• poloroviny Sϕ procházející osou z (ϕ = konst.).
Pro druhou mocninu vzdálenosti dvou bodů v diferenciálním tvaru (dosazením rovnice (4.8)
do rovnice (4.1)) v kulové soustavě platí
ds2
= dr2
+ r2
dθ2
+ r2
sin2
θ dϕ2
, (4.11)
Kapitola 4. Úvod do křivočarých souřadnic 74
což můžeme opět považovat za druhou mocninu délky tělesové úhlopříčky elementárního „kvádru“,
respektive „sférického klínku“ o hranách dsr = dr, dsθ = r dθ, dsϕ = r sin θ dϕ. V kulové soustavě
tak dostáváme Laméovy koeficienty hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ. Z infinitesimálních,
vzájemně kolmých hranových úseček respektive obloučků, zkonstruujeme plošné elementy
dSr = dsθ dsϕ = r2
sin θ dθ dϕ, dSθ = dsϕ dsr = r sin θ dϕ dr, dSϕ = dsr dsθ = r dr dθ (4.12)
a také objemový element kulové soustavy
dV = dsr dsθ dsϕ = r2
sin θ dr dθ dϕ. (4.13)
Žádný z těchto elementů není konstantní, jejich velikost roste přímo úměrně druhé (dSr, dV )
anebo první (dSθ, dSϕ) mocnině vzdálenosti r od počátku soustavy a také (s výjimkou plošného
elementu dSϕ) přímo úměrně sinu polárního úhlu θ.
Podrobný popis kulového souřadnicového systému je rozveden v odstavci B.3 v příloze B.
• Příklady:
4.12 Napište sférické souřadnice bodu A, jehož kartézské souřadnice jsou x, y, z = [1, 1, 1].
A : r, θ, ϕ =
√
3, arccos
1
√
3
,
π
4
4.13 Napište kartézské souřadnice bodu B, jehož sférické souřadnice jsou r, θ, ϕ = 12,
π
3
, −
π
6
.
B : x, y, z = 9, −3
√
3, 6
4.14 Napište rovnici plochy z = ± 25 − x2 − y2 ve sférických souřadnicích. Nakreslete uvedenou
plochu.
r = 5; kulová plocha se středem ve společném počátku obou systémů
4.15 Napište rovnici plochy x2 + y2 + z2 − 14x − 6y − 10z = 61 ve sférických souřadnicích.
Nakreslete uvedenou plochu.
r = 12; kulová plocha se středem v počátku sférického systému, který se nachází v bodě
[7, 3, 5] kartézského systému
4.16 Napište vektor ⃗u, zadaný v kartézské ortonormální bázi ve tvaru ⃗u = 2⃗ex +⃗ey +⃗ez, pomocí
bázových vektorů ortonormální kulové báze.
⃗u = (2 sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ)⃗er + (2 cos θ cos ϕ + cos θ sin ϕ − sin θ)⃗eθ + (cos ϕ −
2 sin ϕ)⃗eϕ
4.17 Složky vektoru ⃗u (výrazy v závorkách) ve výsledku předchozího příkladu 4.16 napište
pomocí kartézských souřadnic.
⃗u =
2x + y + z
x2 + y2 + z2
⃗er +
z(2x + y) − x2 − y2
x2 + y2 x2 + y2 + z2
⃗eθ +
x − 2y
x2 + y2
⃗eϕ
4.18 Podle rovnice (4.13) odvoďte vzorec pro výpočet objemu V koule o poloměru R.
V =
4
3
πR3
Kapitola 5
Skalární a vektorové funkce více
proměnných1 2
5.1 Parciální a směrové derivace, úplný diferenciál
Parciální derivace funkce dvou a více nezávislých proměnných f(x1, x2, . . . , xn) je derivace této
funkce podle jedné z těchto proměnných, tj. danou funkci derivujeme jako funkci pouze jediné
proměnné, vzhledem ke které počítáme derivaci. Ostatní nezávisle proměnné mají konstantní
hodnotu (chovají se jako konstanty). Prostorovou představu (viz obrázek 5.1) si můžeme udělat
na příkladu funkce dvou proměnných f(x, y), jejíž geometrický význam můžeme popsat jako
plochu, danou předpisem z = f(x, y). Parciální derivace této funkce například podle proměnné
x, kterou zapisujeme
∂f(x, y)
∂x
nebo pouze
∂f
∂x
nebo také fx , (5.1)
vyjadřuje směrnici tečny této plochy, která leží v rovině rovnoběžné s rovinou xz a která je
orientována v kladném smyslu osy x. Hodnota druhé nezávisle proměnné y je tedy pro celou
tuto tečnu konstantní. Zcela obdobně to platí i pro parciální derivace podle ostatních nezávislých
proměnných.
Parciální derivace můžeme samozřejmě zobecnit pro zcela libovolný směr, ne pouze pro
směry souřadnicových os, které reprezentují směr nárůstu vždy jen jedné určité nezávisle proměnné.
V tom případě je nazýváme směrové derivace (nebo derivace v daném směru). Zvolený
směr může být definovaný například vektorem ⃗u = (u1, u2, . . . , un), jehož velikost označme
∥⃗u∥ = u. Směrová derivace potom v případě funkce dvou proměnných, analogicky k příkladu
popsanému v předchozím odstavci, vyjadřuje směrnici tečny této plochy, která leží v rovině
rovnoběžné s rovinou vymezenou tímto vektorem a osou z a která je orientována ve směru zvoleného
vektoru. Směrovou derivaci spojitě diferencovatelné skalární funkce ve směru vektoru ⃗u
můžeme obecně definovat jako
df(x1, x2, . . . , xn)
du
= ⃗∇f(x1, x2, . . . , xn) ·
⃗u
u
, (5.2)
kde symbol (tzv. Nabla operátor) ⃗∇ = ∂
∂x1
, ∂
∂x2
, . . . , ∂
∂xn
značí v tomto případě vektor parciálních
derivací podle všech nezávisle proměnných. Rovnici (5.2) lze tedy explicitně rozepsat,
df(x1, x2, . . . , xn)
du
=
∂f
∂x1
u1
u
+
∂f
∂x2
u2
u
+ . . . +
∂f
∂xn
un
u
. (5.3)
1
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
2
Doporučená literatura k této kapitole: Děmidovič (2003), Kvasnica (2004), Bartsch (2008), Rektorys (2009).
75
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 76
x
y
z
ϕ
[x0, y0]
Obrázek 5.1: Geometrický význam parciální derivace funkce dvou proměnných z = f(x, y) v bodě
[x0, y0]. Výsek funkce f(x, y) je na obrázku zvýrazněn barevnou plochou. Parciální derivace (v tomto
případě podle x) funkce dvou proměnných f(x, y) udává směrnici tečny ke křivce, která odpovídá řezu
grafem (plochou) funkce f(x, y) rovinou rovnoběžnou s příslušnou osou, v tomto případě rovinou rovnoběžnou
s rovinou xz, procházející bodem [x0, y0]. Křivka řezu příslušnou rovinou je na obrázku znázorněna
silnou černou čárou, procházející barevnou plochou, její tečna v bodě [x0, y0] je znázorněna
červeně. Parciální derivace ∂f/∂x bude v tomto případě odpovídat tg φ, kde φ = −φ′
. Geometrický
význam parciálních derivací podle jiných proměnných, případně směrových derivací, je analogický.
Úplným (totálním) diferenciálem obecné skalární funkce f(⃗x) = f(x1, x2, . . . , xn) více nezávislých
proměnných nazýváme funkci
df =
∂f
∂x1
dx1 +
∂f
∂x2
dx2 + . . . +
∂f
∂xn
dxn = ⃗∇f(⃗x) · d⃗x. (5.4)
Pokud totální diferenciál funkce f(⃗x) existuje v určitém daném bodě, říkáme, že funkce f(⃗x) je
v tomto bodě diferencovatelná. Pokud totální diferenciál funkce f(⃗x) existuje ve všech bodech
této funkce, říkáme, že funkce f(⃗x) je spojitě diferencovatelná (hladká). Pokud totální diferenciál
funkce f(⃗x) existuje v určitých oblastech této funkce, říkáme, že funkce f(⃗x) je po částech
diferencovatelná.
Totálním diferenciálem vyššího (n-tého) řádu funkce f(x, y) dvou nezávislých proměnných
x, y bude funkce, daná obecným předpisem
dn
f(x, y) =
n
k=0
n
k
∂nf
∂xk ∂yn−k
dxk
dyn−k
, (5.5)
kde výraz v závorce za sumou je tzv. kombinační číslo (viz rovnice (12.1)). Totálním diferenciálem
vyššího (n-tého) řádu funkce f(x1, x2, x3, ..., xm−1, xm) obecného počtu m nezávislých
proměnných x1, x2, ..., xm bude funkce, daná předpisem
dn
f(x1, x2, ..., xm) =
k1+k2+...+km=n
n
k1, k2, ..., km
∂nf
∂xk1
1 ∂xk2
2 ...∂xkm
m
dxk1
1 dxk2
2 ... dxkm
m , (5.6)
kde výraz v závorce za sumou je tzv. multinomický koeficient (viz rovnice (12.6)) a kde smysl
a užití všech ostatních výrazů a symbolů odpovídá tzv. multinomické větě (12.7).
• Příklady:
5.1 Vypočítejte parciální derivace
∂f
∂x
,
∂f
∂y
skalární funkce f(x, y) = x2 + x − y.
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 77
2x + 1, −1
5.2 Vypočítejte parciální derivace
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
skalární funkce f(x, y) = x ln y + xy.
y2 − y xy−2, −
x
y2
+ xy ln2
x
5.3 Vypočítejte smíšenou parciální derivaci
∂3f
∂x ∂y ∂z
skalární funkce f(x, y, z) = xyz+x2 sin(xy)+
yz.
1
5.4 Vypočítejte smíšenou parciální derivaci
∂4f
∂x ∂y ∂z2
skalární funkce f(x, y, z) = xy2z3 +
x2 sin2
(xz) + yz + x + y + z.
12yz
5.5 Dokažte, že ze stavové rovnice ideálního plynu pV = nRT, kde p je tlak, V je objem, T je
termodynamická teplota, n je látkové množství, R je molární plynová konstanta, vyplývá:
∂p
∂V
∂V
∂T
∂T
∂p
= −1.
5.6 Ukažte, že funkce u =
1
2a
√
πt
e−
(x−b)2
4a2t , kde a, b jsou konstanty, vyhovuje rovnici vedení
tepla
∂u
∂t
= a2 ∂2u
∂x2
.
5.7 Ukažte, že funkce u =
1
r
, kde r = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2, kde a, b, c jsou konstanty,
vyhovuje Laplaceově rovnici ∆u = 0 pro r ̸= 0.
Příklady 5.5, 5.6, 5.7 - pomocí parciálních derivací funkcí.
5.8 Vypočítejte derivaci funkce f(x, y) =
x
y
v bodě [4, −1] ve směru vektoru ⃗u = (−2, 3).
−
10
√
13
5.9 Vypočítejte derivaci funkce f(x, y, z) = cos(xy) + ln z2 v bodě [π, 1, 1] ve směru vektoru
⃗u = (1, 1, 1).
2
√
3
5.10 Vypočítejte derivaci funkce f(x, y) = x2 − y2 v bodě [1, 1] ve směru vektoru ⃗u = (1, −1).
2
√
2
5.11 Vypočítejte derivaci funkce f(x, y) = x + 2y v bodě [2, 1] ve směru vektoru ⃗u = (1, 2).
√
5
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 78
5.12 Vypočítejte derivaci funkce f(x, y, z) = x + y2 + z3 v bodě [0, 1, 2] ve směru vektoru
⃗u = (1, 0, 1).
13
√
2
5.13 Vypočítejte derivaci funkce f(x, y) = x3 − y2 + 2xy v bodě [2, 3] ve směru vektoru ⃗u =
(−3, 2).
−
58
√
13
5.14 Nalezněte hodnotu derivace funkce f(x, y) = x2−xy−y2 ve směru největšího růstu v bodě
[1, −3].
5
√
2
5.15 Nalezněte první a druhý diferenciál funkce f(x) = x cos x, vyčíslete v bodě π/4.
1
√
2
1 −
π
4
dx, −
1
√
2
2 +
π
4
dx2
5.16 Nalezněte první a druhý diferenciál funkce f(x, y) = x + y3 2
, vyčíslete v bodě [2, 3].
58 dx + 1566 dy, 2 dx2 + 108 dx dy + 2502 dy2
5.17 Nalezněte první a druhý diferenciál funkce f(x, y) = xy + x cos y + yx, vyčíslete v bodě
[1, e].
(2e + cos e) dx + (2 − sin e) dy, e dx2 + (6 − 2 sin e) dx dy − (cos e) dy2
5.18 Nalezněte první a druhý diferenciál funkce f(x, y) = ln x + y2 , vyčíslete v bodě [1, 1].
1
2
dx + dy, −
1
4
dx2 − dx dy
5.19 Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla 1, 03 × 1, 98 a porovnejte
s hodnotou určenou kalkulačkou.
2, 04 (kalkulačkou 2, 0394)
5.20 Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla
3, 96
2, 01
3
a porovnejte
s hodnotou určenou kalkulačkou.
7, 64 (kalkulačkou 7, 64711...)
5.21 Užitím prvního diferenciálu přibližně vypočítejte hodnotu čísla arctg
1, 01
0, 98
a porovnejte
s hodnotou určenou kalkulačkou.
π
4
+ 0, 015 ≈ 0, 8004 (kalkulačkou 0, 80047...)
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 79
5.2 Kmenová funkce
S kmenovou funkcí jsme se již de facto setkali v souvislosti s diferenciálními rovnicemi exaktními
v oddíle 3.1.4. Pojem kmenová funkce úzce souvisí s pojmy totálního diferenciálu a konzervativního
vektorového pole. O obecném vektorovém poli ⃗A(⃗x) říkáme že je konzervativní, pokud
existuje taková skalární funkce φ(⃗x), že platí
⃗A(⃗x) = ⃗∇φ(⃗x), resp. dφ(⃗x) = ⃗A(⃗x) · d⃗x. (5.7)
Výraz (uvažujeme trojrozměrný případ) ⃗∇φ = ∂φ
∂x , ∂φ
∂y , ∂φ
∂z v levé části rovnice (5.7) znamená
gradient funkce φ (viz také oddíl 5.3), výraz dφ v pravé části rovnice (5.7) je totálním diferenciálem
funkce φ. Pokud rovnice (5.7) platí, funkci φ nazýváme kmenovou funkcí (záporným
skalárním potenciálem, kdy skalární potenciál ϕ = −φ) konzervativního vektorového pole ⃗A.
Intenzita ⃗E obecného konzervativního pole potom bude ⃗E = −⃗∇ϕ a odpovídající silové pole
⃗F = −⃗∇Ep, kde Ep je potenciální energie. O tom, jestli zadané vektorové pole je konzervativní,
se přesvědčíme na základě Schwarzovy věty, tedy postupem uvedeným v rovnici (3.19). Postup
můžeme zobecnit na libovolný počet proměnných, tedy
∂Aj(x1, x2, . . . , xj, . . . , xk, . . . , xn)
∂xk
=
∂Ak(x1, x2, . . . , xj, . . . , xk, . . . , xn)
∂xj
, (5.8)
kde Aj, Ak značí j−tou a k−tou složku vektoru ⃗A, volné indexy j, k nabývají postupně všech
hodnot od 1 do n. Kmenovou funkci potom najdeme (například ve trojrozměrném případě)
pomocí integrálu
φ(x, y, z) =
ˆ x
x0
Ax(t, y, z) dt +
ˆ y
y0
Ay(x0, t, z) dt +
ˆ z
z0
Az(x0, y0, t) dt. (5.9)
V případě jiného počtu dimenzí bude předpis (5.9) analogickým způsobem zkrácen nebo rozší-
řen.
• Příklady:
Rozhodněte, zda daný výraz je totálním diferenciálem, v kladném případě určete odpovídající
kmenovou funkci:
5.22 (sin x + y) dx + x2 + cos y dy Výraz není totálním diferenciálem.
5.23 x2 + y dx + x + y2 dy
x3
3
+ xy +
y3
3
−
x3
0
3
+ x0 y0 +
y3
0
3
5.24 xy2 dx + y2 + x2y + 4 dy
x2y2
2
+
y3
3
+4y−
x2
0 y2
0
2
+
y3
0
3
+ 4y0
5.25 (x + 2xy) dx + cos y + x2 dy
x2
2
+x2y+sin y−
x2
0
2
+ x2
0 y0 + sin y0
5.26 y′ ln x
y2
− y =
1
xy
, y(1) = 2 2 −
ln x
y
−
y2
2
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 80
5.27 3x2 − 2xy +
1
y
− x2 +
x
y2
+
2
y3
y′, y(0) = 1 x3 − x2y +
x
y
+
1
y2
− 1
5.28 6x3y2 + 3x2 dx + 3x4y + cos y dy, y(1) =
π
2
3
2
x4y2 + x3 + sin y −
3π2
8
− 2
5.29 −
2x
x2 + y2
dx −
2y
x2 + y2
dy, y(1) = 1 ln 2 − ln x2 + y2
5.30
1
y2
dx + −
2x
y3
+ ey dy, y(0) = 1
x
y2
+ e ey−1 − 1
5.31
3x2
2 x3 + y3
dx +
3y2
2 x3 + y3
dy, y(1) = 2 x3 + y3 ± 3
Dokažte, že dané silové pole je konzervativní, a určete odpovídající potenciální energii V (k je
konstanta, Q1 a Q2 jsou konstantní elektrické náboje):
5.32 ⃗F = −k⃗r (pružná síla) V =
kr2
2
=
k
2
x2 + y2 + z2
5.33 ⃗F = k
Q1Q2
r3
⃗r (elektrostatická síla) V = k
Q1Q2
r
= k
Q1Q2
x2 + y2 + z2
5.34 Nalezněte potenciál vektorového pole ⃗A = 2xy, x2 . Je tento potenciál určený jednoznačně
?
ϕ = −x2y + C
5.35 Intenzita fyzikálního pole je určena vektorem ⃗A = ln(x − y) +
x
x − y
, −
x
x − y
, 0 . Lze pro
toto pole stanovit příslušný potenciál ? Pokud ano, nalezněte jej. Bude tento potenciál
určen jednoznačně ?
ϕ = −x ln(x − y) + C
5.36 Dokažte, že dané centrální silové pole ⃗F = −k ⃗r r je konzervativní a určete odpovídající
potenciální energii V v bodě x, y, z = [X0, Y0, Z0], pokud její hodnota v bodě x, y, z =
[0, 0, 0] je rovna V0. Veličina k je konstanta, ⃗r je polohový vektor, r je jeho velikost.
V (X0, Y0, Z0) =
k
3
X2
0 + Y 2
0 + Z2
0
3/2
+ V0
5.37 Dokažte, že dané centrální silové pole ⃗F = −
k ⃗r
r
, definované pro r ≥ 1, je konzervativní a
určete odpovídající potenciální energii V v bodě x, y, z = [X0, Y0, Z0], pokud její hodnota
v minimální definované vzdálenosti od bodu x, y, z = [0, 0, 0] je rovna V0. Veličina k je
konstanta, ⃗r je polohový vektor, r je jeho velikost.
V (X0, Y0, Z0) = k X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 − 1 + V0
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 81
5.38 Dokažte, že dané silové pole ⃗F = −k
⃗r
r3
, definované pro r ≥ 1, je konzervativní a určete
odpovídající potenciální energii V v bodě x, y, z = [2, 2, 1], pokud hodnotu potenciální
energie ve vzdálenosti r = 1 od bodu x, y, z = [0, 0, 0] stanovíme jako E0 = 0. Veličina
k = 1,5 je obecná konstanta, r je velikost polohového vektoru ⃗r = (x, y, z).
V (2, 2, 1) = k 1 −
1
X2
0 + Y 2
0 + Z2
0
+ E0 = 1
5.39 Dokažte, že centrální silové pole ⃗F, definované pro r ≥ 1, je konzervativní a určete potenciální
energii V pole v bodě x, y, z = [X0, Y0, Z0], pokud stanovíme její hodnotu v minimální
definované vzdálenosti od bodu x, y, z = [0, 0, 0] je jako nulovou:
(a) ⃗F = −k ⃗r ln r,
(b) ⃗F = −k ⃗r ln r2,
(c) ⃗F = −k ⃗r ln r3.
Veličina k je konstanta, ⃗r je polohový vektor, r je jeho velikost.
(a) V (X0, Y0, Z0) =
k
2
X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 ln X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 −
1
2
+
1
2
(b) V (X0, Y0, Z0) =
k
2
X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 ln X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 − 1 + 1
(c) V (X0, Y0, Z0) =
k
2
X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 ln X2
0 + Y 2
0 + Z2
0
3
2
−
3
2
+
3
2
5.40 Dokažte, že dané silové pole ⃗F = −k (x, y, z) ln r−2, definované pro r ≥ 1, je konzervativní
a určete odpovídající potenciální energii V v bodě x, y, z = [X0, Y0, Z0], pokud potenciální
energie ve vzdálenosti r = 1 od bodu x, y, z = [0, 0, 0] je rovna E0. Veličina k je konstanta,
r je velikost polohového vektoru ⃗r = (x, y, z).
V (X0, Y0, Z0) = −
k
2
X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 ln X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 − 1 + 1 + E0
5.41 Dokažte, že dané centrální silové pole ⃗F = −k ⃗r er je konzervativní a určete odpovídající
potenciální energii V v bodě x, y, z = [X0, Y0, Z0], pokud hodnota potenciální energie
v bodě x, y, z = [0, 0, 0] je rovna −V0 = −k. Veličina k je konstanta, ⃗r je polohový vektor,
r je jeho velikost.
V (X0, Y0, Z0) = V0 e
√
X2
0 +Y 2
0 +Z2
0 X2
0 + Y 2
0 + Z2
0 − 1
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 82
5.3 Diferenciální operátory
Diferenciální operátory určují působení operátoru nabla (viz také oddíly 5.1 a 5.2) na skalární
nebo vektorové pole některým z následujících způsobů:
• gradient skalární funkce f: grad f = ⃗∇f, výsledkem je vektor (5.10)
• divergence vektorového pole ⃗A: div ⃗A = ⃗∇ · ⃗A, výsledkem je skalár (5.11)
• rotace vektorového pole ⃗A (pouze v R3
): rot ⃗A = ⃗∇ × ⃗A, výsledkem je vektor (5.12)
• Laplaceův operátor (Laplacián): ∆ = ⃗∇ · ⃗∇, nemění původní pole (5.13)
Laplaceův operátor tzv. nemění řád tenzoru, tj. pokud působí na skalár, výsledkem je skalár,
pokud působí na vektor, výsledkem zůstává vektor, atd. (viz příloha B). Variantní forma zápisu
diferenciálních operátorů pomocí volných indexů (v Einsteinově konvenci) může v kartézském
souřadnicovém systému vypadat následovně (význam symbolů δij a εijk je vysvětlen v odstavci
2.3):
• gradient skalární funkce f: grad f = ⃗ei
∂f
∂xi
, (5.14)
• divergence vektorového pole ⃗A: div ⃗A =
∂
∂xi
Aj δij =
∂
∂xi
Ai, (5.15)
• rotace vektorového pole ⃗A: rot ⃗A = εijk ⃗ei
∂
∂xj
Ak, (5.16)
• Laplaceův operátor (Laplacián): ∆f =
∂
∂xi
∂
∂xi
f, ∆ ⃗A = ⃗ei
∂
∂xj
∂
∂xj
Ai. (5.17)
Gradient skalární funkce reprezentuje vektorové pole, udávající velikost a směr největšího nárůstu
dané skalární funkce. Divergenci vektoru můžeme interpretovat například jako „míru expanze“
(„intenzitu vytékání“) dané vektorové veličiny, případně jako její „zřídlovost“, tj. míru
toho, jak mnoho se dané vektorové pole chová jako „vycházející ze zdroje“. Například, pokud
vektorové pole zároveň „vzniká“ (zdroj) i „zaniká“ (propad), je jeho divergence nulová (případ
magnetické indukce), rovněž homogenní vektorové pole (konstantní vektor) musí mít z definice
nulovou divergenci, atd. Rotace vektorového pole (jak vyplývá z názvu) popisuje infinitesimální
rotaci daného pole v obecném bodě v prostoru; pokud je rotace nulová, mluvíme o „nevírovém“
toku dané vektorové veličiny. Rotace vektorového pole je definována pouze ve trojrozměrném
případě.
Podrobný popis odvození jednotlivých diferenciálních operátorů v hlavních souřadnicových
soustavách včetně související matematiky je uveden v příloze B. Zde je uveden pouze základní
přehled explicitních tvarů diferenciálních operátorů v kartézské, válcové a kulové soustavě v R3
(ve válcové soustavě opět zavádíme pro odlišení ρ namísto r), kdy operátor Laplaciánu může
působit buď na skalární funkci, anebo na jednotlivé složky vektoru:
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 83
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
x
y
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
x
y
Obrázek 5.2: Levý obrázek: Dvourozměrné znázornění vektorového pole ⃗F(x, y, z) = a(x, y, 0), kde je
zavedena škálovací konstanta a = 1/6 kvůli grafické přehlednosti. Divergence tohoto pole, div ⃗F = 2a,
rotace tohoto pole je nulová. V tomto případě (divergence je konstantní) vidíme, že velikost vektoru
(délka šipek) se zvětšuje přímo úměrně se vzdáleností od počátku avšak vektor se vzdáleností nemění
směr. Pokud by divergence byla funkcí některé ze souřadnic, měnil by se nějakým způsobem v závislosti
na vzdálenosti od počátku i směr vektoru. Pravý obrázek: Dvourozměrné znázornění vektorového pole
⃗F(x, y, z) = a(x − y, x + y, 0), kde je zavedena stejná škálovací konstanta a = 1/6. Divergence tohoto
pole je opět 2a, ovšem rotace tohoto pole je nyní také nenulová, ∥rot ⃗F∥ = 2a.
• Kartézská souřadná soustava (x1, x2, x3 = x, y, z):
grad f =
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
, (5.18)
div ⃗A =
∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
, (5.19)
rot ⃗A =
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
,
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
,
∂Ay
∂x
−
∂Ax
∂y
, (5.20)
∆f =
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
, (5.21)
∆ ⃗A =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
(Ax, Ay, Az) = (5.22)
=
∂2Ax
∂x2
+
∂2Ax
∂y2
+
∂2Ax
∂z2
,
∂2Ay
∂x2
+
∂2Ay
∂y2
+
∂2Ay
∂z2
,
∂2Az
∂x2
+
∂2Az
∂y2
+
∂2Az
∂z2
.
(5.23)
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 84
• Válcová souřadná soustava (x1, x2, x3 = ρ, ϕ, z):
grad f =
∂f
∂ρ
,
1
ρ
∂f
∂ϕ
,
∂f
∂z
, (5.24)
div ⃗A =
1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) +
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
∂Az
∂z
, (5.25)
rot ⃗A =
1
ρ
∂Az
∂ϕ
−
∂Aϕ
∂z
,
∂Aρ
∂z
−
∂Az
∂ρ
,
1
ρ
∂
∂ρ
(ρAϕ) −
∂Aρ
∂ϕ
, (5.26)
∆f =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂f
∂ρ
+
1
ρ2
∂2f
∂ϕ2
+
∂2f
∂z2
, (5.27)
∆ ⃗A =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
∂ϕ2
+
∂2
∂z2
(Aρ, Aϕ, Az) . (5.28)
• Kulová souřadná soustava (x1, x2, x3 = r, θ, ϕ):
grad f =
∂f
∂r
,
1
r
∂f
∂θ
,
1
r sin θ
∂f
∂ϕ
, (5.29)
div ⃗A =
1
r2
∂
∂r
r2
Ar +
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θAθ) +
1
r sin θ
∂Aϕ
∂ϕ
, (5.30)
rot ⃗A =
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θ Aϕ)−
∂Aθ
∂ϕ
,
1
r
1
sin θ
∂Ar
∂ϕ
−
∂
∂r
(rAϕ] ,
1
r
∂
∂r
(rAθ)−
∂Ar
∂θ
,
(5.31)
∆f =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂f
∂r
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂f
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂2f
∂ϕ2
, (5.32)
∆ ⃗A =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂2
∂ϕ2
(Ar, Aθ, Aϕ) . (5.33)
• Příklady:
5.42 Dokažte následující vztahy (všechny příklady v tomto odstavci uvažujeme v R3), kde ⃗r je
polohový vektor, r=∥⃗r∥ je jeho velikost, ⃗A je konstantní vektor, ⃗B je libovolný vektor, E
je jednotková matice a n ∈ R je konstanta :
(a) div⃗r = 3,
(b) rot⃗r = ⃗0,
(c) ∆⃗r = ⃗0,
(d) grad r =
⃗r
r
,
(e) grad ( ⃗A · ⃗r) = ⃗A,
(f) grad (rn) = nrn−2 ⃗r,
(g) grad⃗r = E v kartézské soustavě,
(h) grad ( ⃗B · ⃗r) = ⃗B + (⃗∇ ⃗B) · ⃗r,
Pomocí vektorových identit v kartézských souřadnicích.
5.43 Spočítejte: div rot ⃗F, ⃗F = xyz, y x2 − z2 , xy + zx + yz . 0
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 85
5.44 Spočítejte: div rot ⃗F, ⃗F = x2y, y2, z2x . 0
5.45 Spočítejte: grad f, f(x, y, z) = 2xyz + x2y + y2z + z2x.
grad f = (2yz + 2xy + z2, 2xz + x2 + 2yz, 2xy + y2 + 2xz)
5.46 Spočítejte: grad f, f(x, y, z) = x2y + x cosh(yz).
grad f = 2xy + cosh(yz), x2 + xz sinh(yz), xy sinh(yz)
5.47 Ukažte, že div ⃗F = (x − y2, y5z2, 3 ey2z) je kladná. div ⃗F = 1 + 5y4z2 + 3y2 ey2z
Pro skalární funkce f, g a vektory ⃗A, ⃗B dokažte :
5.48 ⃗∇(fg) = (⃗∇f)g + f ⃗∇g
5.49 ⃗∇ × ⃗∇f = ⃗0
5.50 ⃗∇ · ⃗∇ × ⃗A = 0
5.51 ⃗∇ · f ⃗A = ⃗A · ⃗∇f + f ⃗∇ · ⃗A
5.52 ⃗∇ · ⃗A × ⃗B = ⃗B · ⃗∇ × ⃗A − ⃗A · ⃗∇ × ⃗B
5.53 ⃗∇ × ⃗A × ⃗B = ⃗A ⃗∇ · ⃗B − ⃗B ⃗∇ · ⃗A + ⃗B · ⃗∇ ⃗A − ⃗A · ⃗∇ ⃗B
5.54 ⃗∇ × f ⃗A = (⃗∇f) × ⃗A + f ⃗∇ × ⃗A
5.55 Dokažte platnost vektorové identity ⃗∇ × ⃗∇ × ⃗A = ⃗∇ ⃗∇ · ⃗A − ∆ ⃗A.
5.56 Dokažte platnost vektorové identity ⃗A × ⃗∇ × ⃗A =
1
2
⃗∇A2 − ⃗A · ⃗∇ ⃗A.
Příklady 5.48 - 5.56 - pomocí vektorových identit v kartézských souřadnicích.
5.57 Středově symetrické (izotropní) fyzikální pole je určeno vektorem ⃗A =
⃗r
r
, kde ⃗r je polohový
vektor, r je jeho velikost. Dokažte, že divergence tohoto pole, tedy ⃗∇ · ⃗A =
2
r
.
⃗A =
⃗r
r
=
(x, y, z)
x2 + y2 + z2
, ⃗∇ · ⃗A =
2
x2 + y2 + z2
=
2
r
5.58 Hypotetické centrální fyzikální pole je určeno potenciálem ϕ = ln
A
r
+ B, kde A je
kladná konstanta, r je velikost polohového vektoru ⃗r. Konstanta B nastavuje hodnotu
potenciálu ϕ ve vzdálenosti A od bodu x, y, z = [0, 0, 0]. Určete vektor intenzity ⃗E tohoto
pole a dokažte, že divergence tohoto pole, tedy ⃗∇ · ⃗E =
1
r2
.
⃗E =
⃗r
r2
=
(x, y, z)
x2 + y2 + z2
, ⃗∇ · ⃗E =
1
r2
=
1
x2 + y2 + z2
Kapitola 5. Skalární a vektorové funkce více proměnných 86
5.59 Hypotetické centrální fyzikální pole je určeno potenciálem ϕ = −Ar3 + B, kde konstanta
A škáluje velikost r polohového vektoru ⃗r, konstanta B nastavuje hodnotu potenciálu ϕ
v bodě x, y, z = [0, 0, 0]. Určete vektor intenzity ⃗E tohoto pole a dokažte, že divergence
tohoto pole, tedy ⃗∇ · ⃗E = 12A x2 + y2 + z2 = 12Ar.
⃗E = 3A⃗r r = 3A (x, y, z) x2 + y2 + z2, ⃗∇ · ⃗E = 12Ar = 12A x2 + y2 + z2
5.60 Hypotetické centrální fyzikální pole, definované pro vzdálenost r ≥ 1, je určeno potenciálem
ϕ = −Ar2 ln r2 + B, kde konstanta A škáluje velikost r polohového vektoru ⃗r,
konstanta B nastavuje hodnotu potenciálu ϕ v minimální definované vzdálenosti od bodu
x, y, z = [0, 0, 0]. Určete vektor intenzity ⃗E tohoto pole a dokažte, že divergence tohoto
pole, tedy ⃗∇ · ⃗E = A 6 ln r2 + 10 .
⃗E = 2A⃗r ln r2 + 1 = 2A (x, y, z) ln(x2 + y2 + z2) + 1 , ⃗∇ · ⃗E = A 6 ln r2 + 10
5.61 Hypotetické fyzikální pole je určeno nesymetrickým potenciálem ϕ =
Ax
r
, kde A je kladná
konstanta a r je velikost polohového vektoru ⃗r. Určete vektor intenzity ⃗E tohoto pole a
dokažte, že divergence tohoto pole, tedy ⃗∇ · ⃗E =
2ϕ
r2
.
⃗E =
−A (y2 + z2), Axy, Axz
r3
, ⃗∇ · ⃗E =
2Ax
(x2 + y2 + z2)3/2
=
2Ax
r3
5.62 Hypotetické centrální fyzikální pole je určeno potenciálem ϕ = A e−r, kde A je kladná
konstanta, r je velikost polohového vektoru ⃗r. Určete vektor intenzity ⃗E tohoto pole a
dokažte, že divergence tohoto pole, tedy ⃗∇ · ⃗E = A e−r 2
r
− 1 .
⃗E = Ae−r ⃗r
r
= A e−
√
x2+y2+z2 (x, y, z)
x2 + y2 + z2
, ⃗∇· ⃗E = Ae−
√
x2+y2+z2 2
x2 + y2 + z2
− 1
5.63 Hypotetické centrální fyzikální pole je určeno potenciálem ϕ = A−r, kde A je kladná
konstanta, r je velikost polohového vektoru ⃗r. Určete vektor intenzity ⃗E tohoto pole a
dokažte, že divergence tohoto pole, tedy ⃗∇ · ⃗E = A−r ln A
2
r
− ln A .
⃗E = A−r ln A
⃗r
r
, ⃗∇ · ⃗E = A−
√
x2+y2+z2
ln A
2
x2 + y2 + z2
− ln A
5.64 Pomocí Kroneckerova delta a Levi-Civitova symbolu ověřte vektorové identity z příkladů
(5.48)-(5.56) v Einsteinově notaci.
Pomocí rovnic (2.54) a (5.14)-(5.17).
Kapitola 6
Křivkový integrál1 2
6.1 Křivkový integrál 1. druhu
Křivkovým integrálem 1. druhu nazýváme integrál
ˆ
C
f ds, kde (v R3) f(x, y, z) je hladká (po
částech hladká3) skalární funkce podél křivky C a ds je délkový element křivky: ds2 = dx2+dy2+
dz2 (Pythagorova věta v diferenciálním tvaru). Je-li křivka C uzavřená, vyznačíme to kroužkem
přes integrační znak, tedy
¸
. Stanovíme-li například souřadnici x jako nezávisle proměnnou a
y(x), z(x) jako závisle proměnné, můžeme psát
ˆ
C
f ds =
ˆ x2
x1
f(x, y, z) 1 +
dy
dx
2
+
dz
dx
2
dx. (6.1)
Nalezneme-li vhodný parametr t, potom bude parametrizovaná rovnice (6.1) s funkcemi f(t) =
f [x(t), y(t), z(t)], s(t) = s [x(t), y(t), z(t)], mít tvar
ˆ
C
f(t)
ds(t)
dt
dt =
ˆ t2
t1
f(t)
dx
dt
2
+
dy
dt
2
+
dz
dt
2
dt. (6.2)
Pomocí křivkového integrálu 1. druhu lze určit některé geometrické a fyzikální charakteristiky
dané křivky. Položíme-li f = 1, výsledkem bude délka křivky C. Položíme-li f = τ (délková
hustota křivky), dostáváme τ ds = dm, tedy hmotnost elementu křivky, výsledkem integrace
bude hmotnost křivky C,
m =
ˆ
C
dm =
ˆ
C
τ ds. (6.3)
Pokud položíme například f = zτ, dostáváme tzv. statický moment Sz křivky vzhledem k ose z,
jeho vydělením hmotností dostáváme z-ovou souřadnici středu hmotnosti zT křivky C (obdobně
pro ostatní souřadnicové směry), tedy
xT =
1
m
ˆ
C
x dm =
1
m
ˆ
C
xτ ds, yT =
1
m
ˆ
C
y dm, zT =
1
m
ˆ
C
z dm. (6.4)
Položíme-li f = r2τ, kde r je vzdálenost obecného bodu křivky od zvolené přímky v prostoru
(osy o), dostáváme moment setrvačnosti Jo křivky C vzhledem k této ose. Momenty setrvačnosti
1
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
2
Doporučená literatura k této kapitole: Děmidovič (2003), Kvasnica (2004), Bartsch (2008), Rektorys (2009).
3
Po částech hladká křivka se skládá z konečného počtu hladkých křivek. Totéž platí pro plochy, funkce, atd.
87
Kapitola 6. Křivkový integrál 88
křivky C např. vzhledem k jednotlivým kartézským souřadnicovým osám potom budou
Jx =
ˆ
C
(y2
+ z2
) dm =
ˆ
C
(y2
+ z2
) τ ds, Jy =
ˆ
C
(z2
+ x2
) dm, Jz =
ˆ
C
(x2
+ y2
) dm.
(6.5)
• Příklady:
6.1 V kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte délku kružnice
s poloměrem R.
s = 2πR
6.2 Vypočítejte délku křivky s =
ˆ
C
x2
+ y2
ds, kde C je křivka s parametrizací x = a sin t,
y = a cos t, t ∈ ⟨0, π⟩.
s = πa3
6.3 Vypočítejte délku křivky s =
ˆ
C
x2
+ y2
ds, kde C je křivka s parametrizací x = a(cos t+
t sin t), y = a(sin t − t cos t), t ∈ ⟨0, 2π⟩.
s = a3 2π2 + 4π4
6.4 Vypočítejte délku jednoho oblouku cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ ⟨0, 2π⟩.
s = 8a
6.5 Vypočítejte délku úseku paraboly y = x2, ohraničeného body [−2, 4] a [2, 4].
s = 2
√
17 + ln 4 +
√
17 ≈ 9, 2936
6.6 Kolikrát delší bude skutečná trajektorie s šikmého vrhu (s počátečním a koncovým bodem
ve stejné výšce)
(a) s maximálním možným doletem D,
(b) pokud počáteční (elevační) úhel α = 30◦,
(c) pokud elevační úhel α = 60◦,
(d) pokud elevační úhel bude takový aby maximální výška trajektorie se rovnala doletu,
než příslušný dolet? Dokažte, že pro α =
π
2
,
s
D
→ ∞, a rovněž že pro α = 0,
s
D
→ 1.
s =
1
2
1
cos α
+ ln
1 + sin α
cos α
cotg α D
(a) s =
1
√
2
+ ln 1 +
√
2 D ≈ 1,15D, (b) s =
1
√
3
+
√
3 ln
√
3
2
D ≈ 1,05D,
(c) s = 1 +
ln 2 +
√
3
√
3
D ≈ 1,38D, (d) s =
√
17
2
+
ln 4 +
√
17
4
D ≈ 2,32D
Kapitola 6. Křivkový integrál 89
6.7 Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích a také pomocí vhodné parametrizace vypočítejte
hmotnost astroidy x2/3 + y2/3 = a2/3 s délkovou hustotou τ = x4/3 + y4/3 (viz
obrázek 6.1). Parametrizace astroidy může být například: x = a cos3 t, y = a sin3
t, kde t
neznačí čas, nýbrž úhlový parametr.
m = 4a7/3
a x
y
Obrázek 6.1: Astroida. Geometrický význam konstanty a je vyznačen zelenou barvou.
6.8 Pomocí parametrizace x = a cos t, y = a sin t, z = bt, vypočítejte hmotnost jednoho
„závitu“ válcové šroubovice s délkovou hustotou τ =
z2
x2 + y2
.
m =
8π3
3
b
a
2 √
a2 + b2
6.9 Pomocí vhodné parametrizace a s použitím obecných koeficientů vypočítejte hmotnost
jednoho „závitu“ válcové šroubovice s délkovou hustotou τ =
1
x2 + y2 + z2
.
m =
√
a2 + b2
ab
arctg
2πb
a
6.10 Pomocí parametrizace x = at cos t, y = at sin t, z = bt, vypočítejte hmotnost jednoho
„závitu“ kuželové šroubovice s délkovou hustotou τ = 2 x2 + y2 − z.
m =
2a − b
3a2
(a2 + b2 + 4π2a2)3
− (a2 + b2)3
6.11 Dokažte vztah s =
ˆ ϕ2
ϕ1
f2 + ˙f2 dϕ, kde s je délka hladké křivky, vyjádřené v polárních
souřadnicích r = f(ϕ), a kde ˙f = df/dϕ.
z transformačních vztahů pro polární souřadnice a z definice křivkového integrálu
6.12 Dokažte vztah s =
ˆ θ2
θ1
f2 + ˙g2 f2 sin2
θ + ˙f2 dθ, kde s je délka hladké křivky, vyjádřené
v kulových souřadnicích r = f(ϕ), ϕ = g(θ), a kde ˙f = df/dϕ, ˙g = dg/dθ.
z transformačních vztahů pro kulové souřadnice a z definice křivkového integrálu
Kapitola 6. Křivkový integrál 90
a x
y
Obrázek 6.2: Bernoulliova lemniskáta. Geometrický význam konstanty a je vyznačen zelenou barvou.
6.13 Pomocí vhodné transformace souřadnic vypočítejte hmotnost Bernoulliovy lemniskáty
(obrázek 6.2) s kartézskou rovnicí (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2), s délkovou hustotou τ =
|y|. Vyjděte z principu uvedeného v příkladu 6.11 nebo použijte transformační rovnice:
x = a cos t/(1 + sin2
t), y = a sin t cos t/(1 + sin2
t), kde t = arcsin(tg ϕ) je úhlový parametr
(rozvažte vždy správné integrační meze pro zvolený parametr v rámci příslušného
kvadrantu).
m = 2a2 2 −
√
2
6.14 Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích a také pomocí vhodné transformace souřadnic
vypočítejte hmotnost nehomogenní křivky s délkovou hustotou τ = x+y, která vznikne
průnikem ploch x2 + y2 + z2 = a2, x = y, v 1. oktantu.
m =
√
2a2
6.15 Vypočítejte hmotnost oblouku elipsy
x2
9
+
y2
4
= 1 v 1. kvadrantu. Délková hustota τ = xy.
m =
38
5
a x
y
Obrázek 6.3: Kardioida. Geometrický význam konstanty a je vyznačen zelenou barvou.
6.16 Vypočítejte celkovou délku s a hmotnost m kardioidy (obrázek 6.3) s polární rovnicí
r = a (1 − sin ϕ), s délkovou hustotou τ = |x|.
s = 8a, m =
32 a2
5
Kapitola 6. Křivkový integrál 91
6.17 Určete souřadnice těžiště T půlkružnice (procházející 1. a 2. kvadrantem) a čtvrtkružnice
(procházející 1. kvadrantem), obojí s délkovou hustotou τ = y. Určete jejich momenty
setrvačnosti, pokud se budou otáčet okolo svých geometrických os.
T = 0,
πa
4
, T =
a
2
,
πa
4
, J = 2a4, J = a4
6.18 Určete souřadnice těžiště T jednoho oblouku cykloidy z příkladu 6.4 s homogenní délkovou
hustotou τ(x, y) = 1.
T = πa,
4a
3
6.19 Drát má tvar kružnice x2 + y2 = a2. Vypočítejte jeho moment setrvačnosti J, pokud se
drát otáčí okolo svého průměru. Jeho délková hustota τ = |x| + |y|.
J = 4a4
x
y
x
y
Obrázek 6.4: „Dva závity“ spirály s polárním úhlem ϕ ∈ ⟨0, 4π⟩. Vlevo: Archimedova spirála, vpravo:
logaritmická spirála.
6.20 Vypočítejte délku ℓ „dvou závitů“ (viz obrázek 6.4) a moment setrvačnosti J následujících
křivek s konstantní délkovou hustotou τ, rotujících okolo osy z (procházející počátkem,
kolmo k vyobrazené rovině):
(a) Archimédovy spirály, dané v polárních souřadnicích předpisem r = αϕ, kde α je
kladná konstanta a polární úhel ϕ ∈ ⟨0, 4π⟩,
(b) logaritmické spirály, dané v polárních souřadnicích předpisem r = α eβϕ, kde α a β
jsou kladné konstanty a kde polární úhel ϕ ∈ ⟨0, 4π⟩.
(c) jak se změní úloha (b), pokud počátek spirály bude v bodě [0, 0]?
Výsledek také vyjádřete jako funkci hmotnosti křivky m = τℓ a největší vzdálenosti křivky
od osy rotace R = rmax.
(a) ℓ =
α
2
4π
√
16π2 + 1 + ln 4π +
√
16π2 + 1 ,
J =
τα3
8
4π 32π2 + 1
√
16π2 + 1 − ln 4π +
√
16π2 + 1 ≈ 0, 492 mR2,
(b) ℓ =
α
β
β2 + 1 e4πβ − 1 , J =
τα3
3β
β2 + 1 e12πβ − 1 = 1 + e−4πβ + e−8πβ mR2
3
,
Kapitola 6. Křivkový integrál 92
(c) ℓ =
α
β
β2 + 1 e4πβ, J =
τα3
3β
β2 + 1 e12πβ =
mR2
3
6.2 Křivkový integrál 2. druhu
Křivkovým integrálem 2. druhu nazýváme integrál
ˆ
C
⃗F · d⃗s obecného vektorového pole ⃗F(x, y, z)
podél křivky C, kde d⃗s je tečný vektor elementu ds dané křivky (viz odstavec 6.1). Explicitní
zápis integrálu 2. druhu v kartézské souřadné soustavě (v R3) bude mít tvar
ˆ x2
x1
Fx dx +
ˆ y2
y1
Fy dy +
ˆ z2
z1
Fz dz, (6.6)
kde Fx, Fy, Fz jsou jednotlivé složky vektoru ⃗F. Analogicky k rovnici (6.2) bude mít parametrizovaný
křivkový integrál 2. druhu tvar
ˆ t2
t1
Fx(t)
dx(t)
dt
+ Fy(t)
dy(t)
dt
+ Fz(t)
dz(t)
dt
dt. (6.7)
Typickým příkladem integrálu 2. druhu je výpočet vykonané práce jako integrálu vektoru síly
⃗F podél orientované křivky C.
• Příklady:
6.21 Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte
křivkový integrál druhého druhu
˛
C
x dx + y dy, kde C je kladně orientovaná kružnice
s poloměrem a.
0
6.22 Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte
křivkový integrál druhého druhu
ˆ
C
x2
dx + y2
dy, kde křivka C je kladně orientovaná
půlkružnice s poloměrem a v 1. a 2. kvadrantu.
−
2a3
3
6.23 Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte
křivkový integrál druhého druhu
ˆ
C
(x + 1) dy + y dx, kde křivka C je kladně orientovaná
čtvrtkružnice s poloměrem a v 1. kvadrantu.
a
6.24 Vypočítejte křivkový integrál druhého druhu
ˆ
C
x dx + y dy + (xz − y) dz, kde křivka C je
daná parametricky x = t2, y = 2t, z = 4t3, t ∈ ⟨0, 1⟩.
5
2
Kapitola 6. Křivkový integrál 93
6.25 Vypočítejte křivkový integrál druhého druhu
˛
C
(2 − y) dx + (1 + x) dy, kde křivka C je
obvod trojúhelníka ve směru vrcholů A = [0, 0], B = [1, 1], C = [0, 2].
2
6.26 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = (y, z, x), působící po kladně orientované uzavřené
křivce, která je daná průnikem ploch z = xy a x2 + y2 = 1.
W = −π
6.27 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F =
y
x
, x , působící po křivce xy = 1 od bodu
3, 1
3 do bodu 1
2, 2 .
W = ln 6 −
5
3
6.28 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = (x − y, x + y), působící po dráze y = x2,
x ∈ ⟨0, 2⟩.
W =
38
3
6.29 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = (y, −x, z), působící po obvodě trojúhelníka,
jehož vrcholy jsou tvořeny průsečíky roviny 3x + 2y + 6z = 6 se souřadnicovými osami
v pořadí x, y, z.
W = −6
6.30 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = (yz, xy, yz), působící po obvodě trojúhelníka,
jehož vrcholy jsou tvořeny průsečíky roviny 2x + 3y + 4z = 12 se souřadnicovými osami
v pořadí x, y, z.
W = 22
6.31 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = (x2 +y, 3y2, 0), která působí po uzavřené křivce,
sestávající z kladně orientované půlkružnice o poloměru a v 1. a 2. kvadrantu a úsečky
(průměru).
W = −
πa2
2
6.32 Vypočítejte práci, kterou by vykonalo tíhové pole při jízdě tobogánem s přesně třemi
otáčkami, pokud by tíhové pole vypadalo ⃗Fg = −mg(0, 0, z). Tobogán si lze představit
jako válcovou šroubovici, použijte obecné koeficienty.
W = 18π2b2mg
6.33 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = x2 + y, 3y2, 0 , která působí v matematicky
kladném směru po půlkružnici o poloměru a. Půlkružnice má střed v počátku souřadného
systému a prochází 2. a 3. kvadrantem roviny xy kartézské souřadné soustavy. Je toto
silové pole konzervativní ?
W = −
πa2
2
− 2a3, pole není konzervativní.
Kapitola 6. Křivkový integrál 94
6.34 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = x2, −y, z působící v matematicky kladném
směru po křivce dané předpisem (x − 1)2 + y2 = 1, z = 2, z počátečního bodu [1, −1, 2]
do koncového bodu [0, 0, 2]. Je toto silové pole konzervativní ?
W =
1
6
, pole je konzervativní.
6.35 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = 2x2 − y, x, z , která působí v matematicky
záporném směru po polovině závitu válcové šroubovice o poloměru R s osou (0, 0, z),
procházející počátkem souřadnicového systému. Počáteční bod dráhy působící síly má
souřadnice 0, R, πb
2 , koncový bod má souřadnice 0, −R, −πb
2 . Je toto silové pole konzervativní
?
W = −πR2, pole není konzervativní.
6.36 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = (3x − y, x, z), která působí v matematicky
kladném směru po dráze jednoho závitu válcové šroubovice o poloměru R s osou (0, 0, z),
procházející počátkem souřadnicového systému. Počáteční bod dráhy působící síly má
souřadnice 0, −R, −πb
2 , koncový bod má souřadnice 0, −R, 3πb
2 , transformační rovnice
šroubovice jsou: x = R cos t, y = R sin t, z = bt. Je toto silové pole konzervativní ?
W = π 2R2 + πb2 , pole není konzervativní.
6.37 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F = x3, y, z3 , která působí nejprve v matematicky
kladném směru po křivce, dané předpisem x2 +(y −3)2 = 4, z = 5, z bodu [0,1,5] do bodu
[2,3,5] a potom po úsečce do bodu [3,1,5]. Je toto silové pole konzervativní ?
W =
81
4
, pole je konzervativní.
6.38 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F(x, y) = (x − y, x), která působí po následující
uzavřené křivce: nejprve po úsečce z bodu [1, 1] do bodu [1, 2], dále po čtvrtkružnici se
středem v bodě [1, 1] v matematicky záporném směru do bodu [2, 1] a nakonec po úsečce
zpět do výchozího bodu. Je toto silové pole konzervativní ?
W = −
π
2
, pole není konzervativní.
6.39 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F(x, y) = (−y, x), která působí po následující uzavřené
křivce: nejprve po úsečce z bodu [0, 0] do bodu [2, 1], dále po úsečce do bodu [2, 2]
a nakonec po čtvrtkružnici se středem v bodě [2, 0] v matematicky kladném směru zpět
do výchozího bodu. Jak se vykonaná práce změní, pokud působící síla ⃗F(x, y) = (y, x) ?
W = 2(π − 1), práce konzervativní síly po uzavřené křivce by byla nulová.
6.40 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla ⃗F(x, y) = (−y, x), která působí po následující uzavřené
křivce: nejprve po úsečce z bodu [0, 0] do bodu [1, 0], dále po úsečce do bodu [1, 1]
a nakonec po čtvrtkružnici se středem v bodě [1, 0] v matematicky kladném směru zpět
do výchozího bodu. Jak se vykonaná práce změní, pokud působící síla ⃗F(x, y) = (y, x) ?
W =
π
2
, konzervativní síla - práce by byla nulová.
Kapitola 7
Dvojný a trojný integrál1 2
Na integrál funkce f(x, y) dvou proměnných x, y (dvojný integrál), která je spojitá na dvourozměrné
oblasti S = (a, b) × (c, d), kde a ≤ x ≤ b a c ≤ y ≤ d, je možné aplikovat tzv. Fubiniho
(Fubiniovu) větu o výpočtu n-rozměrných integrálů pomocí n výpočtů jednoduchých integrálů,
¨
S
f(x, y) dx dy =
ˆ b
a
ˆ d
c
f(x, y) dy dx =
ˆ d
c
ˆ b
a
f(x, y) dx dy.3 (7.1)
Platí-li v tomto případě f(x, y) = g(x) · h(y), zjednoduší se rovnice (7.1) do výrazu
¨
S
f(x, y) dx dy =
ˆ b
a
g(x) dx ·
ˆ d
c
h(y) dy. (7.2)
Definujme nyní jinou oblast S, která již není obdélníkem a je ohraničená přímkami x = a, x = b,
kde a ≤ x ≤ b, a grafy funkcí ϕ1(x), ϕ2(x), spojitých na intervalu ⟨a, b⟩, tedy S = (a, b) ×
[ϕ1(x), ϕ2(x)]. Integrál funkce f(x, y), spojité na oblasti S, je potom definován jako
¨
S
f(x, y) dx dy =
ˆ b
a
ˆ ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y) dy dx. (7.3)
Pokud v případě (7.3) na intervalu ⟨a, b⟩, nebo na jeho části, platí ϕ1(x) < y < ϕ2(x), potom
tato oblast příspívá kladně k celkovému integrálu, v opačném případě [ϕ2(x) < y < ϕ1(x)]
se jedná o záporný příspěvek k celkovému integrálu (viz obrázek 7.1). Toto můžeme porovnat
také s integrálem funkce jedné proměnné na obrázku 1.2, který lze takto pojmout jako dvojný
integrál kartézského plošného elementu dx dy na oblasti S = (a, b) × [0, f(x)].
Zcela obdobné zásady platí i na třírozměrné oblasti V = (a, b)×(a, b)×(e, f), kde a ≤ x ≤ b,
c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f. Zde je integrál spojité funkce f(x, y, z) tří proměnných (trojný integrál)
definován jako
˚
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ˆ b
a
ˆ d
c
ˆ f
e
f(x, y, z) dz dy dx, (7.4)
1
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
2
Doporučená literatura k této kapitole: Děmidovič (2003), Kvasnica (2004), Bartsch (2008), Rektorys (2009),
Plch et al. (2012).
3
Rovnice (7.1) neplatí v případě, kdy integrál absolutní hodnoty funkce v integrandu diverguje, tj.˜
S
|f(x, y)| dx dy → ±∞. Podrobnosti o takových případech jdou nad rámec těchto skript, zájemcům doporučuji
uvedenou literaturu.
95
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 96
kde lze opět pořadí integrování zaměnit analogicky k rovnici (7.1). Platí-li v tomto případě
f(x, y, z) = g(x) · h(y) · k(z), zjednoduší se rovnice (7.4) do součinu
˚
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ˆ b
a
g(x) dx ·
ˆ d
c
h(y) dy ·
ˆ f
e
k(z) dz. (7.5)
Obdobně jako v rovnici (7.3) je na třírozměrné oblasti V, která není pravoúhlým kvádrem a je
tedy ohraničená způsobem V = (a, b) × [ϕ1(x), ϕ2(x)] × [ψ1(x, y), ψ2(x, y)], kde a ≤ x ≤ b a
kde funkce ϕ1(x), ϕ2(x) jsou spojité na intervalu ⟨a, b⟩ a funkce ψ1(x, y), ψ2(x, y) jsou spojité
na oblasti S = (a, b) × [ϕ1(x), ϕ2(x)], integrál funkce f(x, y, z) spojité na oblasti V definován
jako
˚
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ˆ b
a
ˆ ϕ2(x)
ϕ1(x)
ˆ ψ2(x,y)
ψ1(x,y)
f(x, y, z) dz dy dx. (7.6)
a b
y
f (x, y)
φ1(x)
φ2(x)
x
+–
Obrázek 7.1: Grafické znázornění oblasti integrace S = (a, b) × [ϕ1(x), ϕ2(x)] spojité funkce f(x, y),
ilustrující vzorec (7.3). Graf funkce ϕ1(x) je vyobrazen červenou křivkou, graf funkce ϕ2(x) je vyobrazen
zelenou křivkou. Dílčí oblast, která kladně přispívá k velikosti celkového integrálu (kde ϕ2(x) > ϕ1(x)), je
vyznačena okrovou (hnědou) barvou, dílčí oblast, která přispívá k velikosti celkového integrálu záporně
(kde ϕ2(x) < ϕ1(x)), je vyznačená červeně.
Transformaci souřadnic dvojného integrálu lze definovat (viz obrázek 7.2) pomocí vzájemně
jednoznačného zobrazení Φ, zadaného transformačními rovnicemi x = ξ(u, v), y = η(u, v).
Pokud A ⊂ R2(x, y) a B ⊂ R2(u, v) jsou uzavřené oblasti (vyznačené v obrázku 7.2 barevnými
plochami) a funkce f(x, y) je spojitá na oblasti A = Φ(B), potom platí
¨
A
f(x, y) dx dy =
¨
B
f [ξ(u, v), η(u, v)] J(u, v) du dv. (7.7)
Výraz
J(u, v) = |det|



∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v


 , (7.8)
v rovnici (7.7) je Jakobián dvourozměrné souřadnicové transformace. Trojný integrál funkce
f(x, y, z) lze transformovat pomocí vzájemně jednoznačného zobrazení Ψ s transformačními
rovnicemi x = ξ(u, v, w), y = η(u, v, w), z = ζ(u, v, w) s obdobně uzavřenými oblastmi A ⊂
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 97
R3(x, y, z), B ⊂ R3(u, v, w), kdy funkce f(x, y, z) je spojitá na oblasti A = Φ(B). Potom
analogicky k rovnici (7.7) platí,
˚
A
f(x, y, z) dx dy dz =
˚
B
f [ξ(u, v, w), η(u, v, w), ζ(u, v, w)] J(u, v, w) du dv dw. (7.9)
Výraz
J(u, v, w) = |det|







∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w







(7.10)
v rovnici (7.9) je Jakobián trojrozměrné souřadnicové transformace. Významné a často používané
jsou Jakobiány souřadnicových transformací z kartézské do válcové souřadné soustavy, kdy
(u, v, w) = (ρ, ϕ, z), s transformačními rovnicemi x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, kde J = ρ, a
z kartézské do kulové souřadné soustavy, kdy (u, v, w) = (r, θ, ϕ), s transformačními rovnicemi
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, kde J = r2 sin θ (srovnej s plošnými a objemovými
elementy jednotlivých souřadnicových soustav, odvozenými v kapitole 4).
7.1 Plošný integrál 1. druhu
Plošným integrálem 1. druhu (analogicky ke křivkovému integrálu 1. druhu v odstavci 6.1) nazýváme
integrál skalární funkce
¨
S
f(x, y, z) dS, která je spojitá na hladké (po částech hladké)
ploše S, kde dS je plošný element plochy S. Stanovíme-li například souřadnice x a y jako nezávisle
proměnné a souřadnici z = φ(x, y) jako závisle proměnnou, můžeme tečné vektory ⃗tx,⃗ty
k ploše S ve směrech souřadnicových os x, y určit jako parciální derivace všech proměnných (viz
odstavec 5.1) podle příslušných nezávislých proměnných, tedy
⃗tx =
∂x
∂x
,
∂y
∂x
,
∂φ(x, y)
∂x
= 1, 0,
∂φ
∂x
, ⃗ty =
∂x
∂y
,
∂y
∂y
,
∂φ(x, y)
∂y
= 0, 1,
∂φ
∂y
. (7.11)
Vektor ⃗ν normály plochy S (tj. vektor kolmý k ploše S) určíme jako vektorový součin tečných
vektorů ⃗tx ×⃗ty (jejichž pořadí ve vektorovém součinu závisí na požadované orientaci normály),
jehož velikost (viz rovnice (2.1)) bude ∥⃗ν∥ = ∥⃗tx × ⃗ty∥, tedy
⃗ν = ⃗tx × ⃗ty = −
∂φ
∂x
, −
∂φ
∂y
, 1 , ∥⃗ν∥ = ∥⃗tx × ⃗ty∥ = 1 +
∂φ
∂x
2
+
∂φ
∂y
2
. (7.12)
Samotný plošný element je vektorem, orientovaným ve směru normálového vektoru ⃗ν, kde velikost
plošného elementu je určena maximální možnou velikostí normálového vektoru ∥⃗ν∥max, to
znamená takového, který je zkonstruován jako vektorový součin dvou vzájemně kolmých tečných
vektorů (v ortogonálních souřadnicových systémech toto splňují parciální derivace podle
dvou vybraných souřadnicových směrů). Ve zvolené kartézské parametrizaci tedy můžeme psát
d⃗S = ⃗ν dx dy = −
∂φ
∂x
, −
∂φ
∂y
, 1 dx dy, dS = ∥⃗ν∥ dx dy = 1 +
∂φ
∂x
2
+
∂φ
∂y
2
dx dy.
(7.13)
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 98
x
y
C1(u,v0)
C2(u0,v)
tu
tv
u
v
C1
C2
Φ
Obrázek 7.2: Schéma transformace obecných souřadnic v R2
, popsané rovnicí (7.7), kde Φ symbolizuje
vzájemně jednoznačné zobrazení. C1, C2 jsou souřadnicové křivky, pro které platí C1 : x = x(u, v0), y =
y(u, v0), C2 : x = x(u0, v), y = y(u0, v), čárkované čáry, ohraničující zvýrazněnou plochu, můžeme označit
jako: C+
1 (u, v0 + ∆v), C−
1 (u, v0 − ∆v), C+
2 (u0 + ∆u, v), C−
2 (u0 − ∆u, v). Tečné vektory k souřadnicovým
křivkám C1, C2 v bodě [u0, v0] můžeme stanovit jako ⃗tu u0,v0
= ∂x
∂u , ∂y
∂u
u0,v0
, ⃗tv u0,v0
= ∂x
∂v , ∂y
∂v
u0,v0
.
Zjevně tedy platí d⃗S =
⃗ν
∥⃗ν∥
dS = ⃗n dS, kde ⃗n je jednotkový normálový vektor. Explicitní zápis
plošného integrálu 1. druhu v ortonormální kartézské bázi na oblasti S = (a, b) × [ϕ1(x), ϕ2(x)]
a z = φ(x, y), tedy bude (srovnej rovnice (7.1), (7.3)) :
¨
S
f(x, y, φ) dS =
ˆ b
a
ˆ ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y, φ) 1 +
∂φ
∂x
2
+
∂φ
∂y
2
dx dy. (7.14)
Nalezneme-li vhodné parametry u, v (např. θ, ϕ na kulové ploše), můžeme funkci f i plochu
S parametrizovat pomocí transformačních rovnic x = ξ(u, v), y = η(u, v), z = ζ(u, v) (viz
rovnice (7.9)). Tečné vektory ⃗tu, ⃗tv k dané ploše S v souřadnicových směrech u, v (viz obrázek
5.1) stanovíme jako parciální derivace funkce dané plochy (viz odstavec 5.1) podle příslušných
směrů, tedy
⃗tu =
∂ξ
∂u
,
∂η
∂u
,
∂ζ
∂u
, ⃗tv =
∂ξ
∂v
,
∂η
∂v
,
∂ζ
∂v
. (7.15)
Normálový vektor ⃗ν ′ (který nebude totožný s vektorem ⃗ν z rovnice (7.12), bude mít sice stejný
směr ale různou délku) určíme opět jako vektorový součin tečných vektorů ⃗ν ′ = ⃗tu × ⃗tv, jeho
velikost ∥⃗ν ′∥ = ∥⃗tu × ⃗tv∥. Analogicky k rovnici (7.13) dostáváme:
d⃗S = ⃗ν ′
du dv, dS = ∥⃗ν ′
∥ du dv = ∥⃗tu × ⃗tv∥ du dv. (7.16)
Plošný integrál 1. druhu v parametrickém vyjádření bude mít explicitní tvar
ˆ u2
u1
ˆ v2
v1
f (ξ, η, ζ)
∂ξ
∂u
,
∂η
∂u
,
∂ζ
∂u
×
∂ξ
∂v
,
∂η
∂v
,
∂ζ
∂v
du dv. (7.17)
Vzájemná souvislost mezi rovnicemi (7.13) a (7.16) je dána rovnicí (7.7), z níž vyplývá: ⃗ν dx dy =
⃗ν ′J(u, v) du dv a zároveň ∥⃗ν∥ dx dy = ∥⃗ν ′∥J(u, v) du dv, kde J(u, v) je Jakobián souřadnicové
transformace, daný rovnicí (7.8).
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 99
Například pro kulovou plochu o poloměru R se středem v počátku souřadnic, s kartézskou
rovnicí z(x, y) = R2 − x2 − y2, s vnější normálou, bude mít rovnice (7.13) podobu
d⃗S =
x
R2 − x2 − y2
,
y
R2 − x2 − y2
, 1 dx dy, dS =
R dx dy
R2 − x2 − y2
, (7.18)
jejím zintegrováním v mezích x ∈ ⟨−R, R⟩, y ∈ −
√
R2 − x2,
√
R2 − x2 dostáváme S = 2πR2,
což je obsah části kulové plochy nad rovinou z = 0. Parametrizovaná rovnice (7.16) bude mít
podobu
d⃗S = R2
sin2
θ cos ϕ, R2
sin2
θ sin ϕ, R2
sin θ cos θ dθ dϕ, dS = R2
sin θ dθ dϕ, (7.19)
její integrací podle proměnných θ ∈ ⟨0, π⟩ a ϕ ∈ ⟨0, 2π) dostáváme S = 4πR2. Vzhledem k tomu,
že Jakobián, odpovídající rovnici (7.8) bude v tomto případě R2 sin θ cos θ, snadno se z rovnic
(7.18), (7.19) přesvědčíme o platnosti vztahu ∥⃗ν∥ dx dy = ∥⃗ν ′∥J(θ, ϕ) dθ dϕ.
Pomocí plošného integrálu 1. druhu lze určit některé geometrické a fyzikální charakteristiky
dané plochy: Položíme-li f = 1, výsledkem bude celková velikost plochy S. Položíme-li f = σ
(plošná hustota), dostáváme σ dS = dm, tedy hmotnost elementu plochy S, výsledkem integrace
bude celková hmotnost m dané plochy,
m =
¨
S
dm =
¨
S
σ dS. (7.20)
Pokud položíme například f = zσ, dostáváme tzv. statický moment Sz dané plochy vzhledem
k ose z, jeho vydělením hmotností dostáváme z-ovou souřadnici středu hmotnosti zT plochy
(obdobně pro ostatní souřadnicové směry), tedy
xT =
1
m
¨
S
x dm =
1
m
¨
S
xσ dS, yT =
1
m
¨
S
y dm, zT =
1
m
¨
S
z dm. (7.21)
Položíme-li f = r2σ, kde r je vzdálenost obecného bodu plochy od zvolené přímky v prostoru
(osy o), dostáváme moment setrvačnosti Jo dané plochy vzhledem k této ose. Momenty
setrvačnosti plochy S např. vzhledem k jednotlivým kartézským souřadnicovým osám potom
budou
Jx =
¨
S
(y2
+ z2
) dm =
¨
S
(y2
+ z2
) σ dS, Jy =
¨
S
(z2
+ x2
) dm, Jz =
¨
S
(x2
+ y2
) dm.
(7.22)
• Příklady:
V kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte obsah plochy S ∈ R2,
ohraničené následujícími křivkami:
7.1 y = x2, y = ex2, y =
1
x
, y =
4
x
1
7.2 y = x2, y = 16 x2, y =
2 3
√
2
x2
, y =
16
x2
8
7.3 y = x3, y =
x3
3
, y =
1
x
, y =
e
x
(e − 1) ln 3
4
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 100
7.4 y = 1, y = e, y = e0,2x, y = e0,4x 2,5
7.5 Vypočítejte plošný integrál 1. druhu
¨
S
xyz dS, kde S je kartézská souřadnicová plocha
Sz (viz kapitola 4), z = 3, x ∈ ⟨0, 1⟩, y ∈ ⟨2, 3⟩.
15
4
7.6 Vypočítejte plošný integrál 1. druhu
¨
S
dS, kde S je válcová souřadnicová plocha Sρ,
ρ = 2, z ∈ ⟨0, 5⟩.
20π
7.7 Vypočítejte plošný integrál 1. druhu
¨
S
(x − y) dS, kde S je kulová souřadnicová plocha
Sϕ, ϕ =
π
4
, r ≤ 2.
0
V kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte plošné integrály 1. druhu:
7.8
¨
S
x2
z dS, kde S = x2
+ y2
+ z2
= R2
, z ≥ 0 .
πR5
4
7.9
¨
S
√
2 x2
z dS, kde S = x2
+ y2
− z2
= 0, z ∈ ⟨0, H⟩ .
2πR5
5
, R = H
7.10
¨
S
x2
+ y2
dS, kde S = x2
+ y2
+ z2
= R2
, z ≥ 0 .
4
3
πR4
7.11
¨
S
x2
y2
dS, kde S = x2
+ y2
+ z2
= R2
, z ≥ 0 .
2
15
πR6
7.12
¨
S
x2
z2
dS, kde S = x2
+ y2
+ z2
= R2
, z ≥ 0 .
2
15
πR6
7.13
¨
S
y2
dS, kde S = z = H −
H
R
x2 + y2, z ∈ ⟨0, H⟩ .
πR3
4
√
R2 + H2
7.14
¨
S
z dS, kde S = {x + y + z = 1, x ∈ ⟨0, 1⟩, y ∈ ⟨0, 1 − x⟩}.
1
2
√
3
7.15
¨
S
1
x2 + y2 + z
dS, kde S = x2
+ y2
+ z = H, z ≥ 0 .
π
6H
(1 + 4H)
3
2 − 1
Pomocí vhodné parametrizace, případně v kartézských souřadnicích, vypočítejte obsah plochy
S ∈ R3:
7.16 S = x2+y2+z2 =R2, x2+y2 ≤ a2, z ≥ 0, a ≤ R (kulový vrchlík) 2πR R −
√
R2 − a2
7.17 S = x2 + z2 = a2, z ≥ 0
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 101
(a) |x| ≤ |y| ≤ a 2a2(π − 2)
(b) |x| > |y| 4a2
7.18 S = x2 + z2 = a2, x2 + y2 ≤ a2, z ≥ 0 4a2
7.19 Prostorová křivka, daná průnikem kulové plochy S = x2 + y2 + z2 = R2 a válcové
plochy S′ = (x − a)2 + y2 = a2 , kde a = R/2, vymezuje na povrchu kulové plochy
uzavřenou plochu (tzv. Vivianiho okno). Vypočítejte obsah této plochy.
2R2 (π − 2)
7.20 Vypočítejte obsah části zemského povrchu, ohraničeného v jednom směru dvěma sousedními
poledníky (například 15. a 16.) a ve druhém směru dvěma sousedními rovnoběžkami:
(a) 0. (rovníkem) a 1.,
(b) 49. a 50.,
(c) 89. a 90. (pólem).
Obsahy jednotlivých ploch udejte v km2
. Poloměr Země, R = 6371 km, považujte za
konstantu.
(a) cca 12 364 km2
(b) cca 8 030 km2
(c) cca 108 km2
7.21 Vypočítejte hmotnost kulového vrchlíku S = x2 + y2 + z2 = R2, x2 + y2 ≤
R2
4
, z ≥ 0
s plošnou hustotou σ(x, y, z) = |x| + |y| + |z|.
R3 11
12
π +
√
3
7.22 Vypočítejte polohu středu hmotnosti plochy S = x2 + y2 + z2 = R2, z ≥ 0 , jejíž plošná
hustota σ je dána funkcí σ = x2 + z2.
xT = 0, yT = 0, zT =
9R
16
7.23 Vypočítejte polohu středu hmotnosti plochy S = x2 + y2 − z2 = 0, z ∈ ⟨0, H⟩ , jejíž
plošná hustota σ je dána funkcí σ = x2 + z2.
xT = 0, yT = 0, zT =
4H
5
7.24 Spirálová plocha s konstantní plošnou hustotou σ je zadaná parametricky ve tvaru x =
u cos v, y = u sin v, z = v, u ∈ ⟨0, a⟩, v ∈ ⟨0, 2π⟩. Vypočítejte:
(a) hmotnost této plochy,
(b) polohu jejího těžiště,
(c) moment setrvačnosti vzhledem k její geometrické ose.
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 102
(a) πσ a
√
1 + a2 + ln a +
√
1 + a2
(b) (0, 0, π)
(c)
πσ
4
2a3 + a
√
1 + a2 − ln a +
√
1 + a2
7.25 Vypočítejte následující parametry plochy z příkladu 7.13, pokud její plošná hustota bude
σ = x2z :
(a) hmotnost této plochy,
(b) polohu jejího těžiště,
(c) moment setrvačnosti vzhledem k její geometrické ose.
(a)
π
20
HR3
√
R2 + H2
(b) zT =
H
3
(c)
π
42
HR5
√
R2 + H2
7.26 Vypočítejte následující parametry plochy z příkladu 7.14, pokud její plošná hustota bude
σ = x2 + y2 :
(a) hmotnost této plochy,
(b) polohu jejího těžiště.
(a)
1
2
√
3
(b)
2
5
,
2
5
,
1
5
7.27 Vypočítejte hmotnost plochy z příkladu 7.15, pokud její plošná hustota bude σ = x2 :
π
16
4R2 + 1
3
2
4
5
R2 −
2
15
+
2
15
7.28 Vypočítejte celkovou tlakovou sílu, kterou působí kapalina o konstantní hustotě ρ na všechny
stěny uzavřené nádoby, tvořené plochou z příkladu 7.13 a odpovídající podstavou
(atmosférický tlak zanedbejte).
πρgH
2
3
R
√
R2 + H2 + R2
7.29 Vypočítejte celkovou tlakovou sílu, kterou působí kapalina o konstantní hustotě ρ na všechny
stěny uzavřené nádoby, tvořené plochou z příkladu 7.15 a odpovídající podstavou
(atmosférický tlak zanedbejte).
π
8
ρg 4R2 + 1
3
2
4
5
R2 −
2
15
+
2
15
+ πρgR4
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 103
7.30 Plášť vodojemu ve tvaru kužele, stojícího „špičkou“ dolů, o poloměru horní vodorovné
plochy R = 3 m a výšce H = 4 m je dimenzován tak, aby odolal celkové tlakové síle 106 N.
Je dimenzován dostatečně, nedostatečně, nebo je přibližně na hranici konstrukční odolnosti
? Uvažujte hodnoty konstant ρ = 1000 kg m−3, g = 9, 81 m s−2. Vliv atmosférického
tlaku zanedbejte.
Fp ≈ 6, 3 × 105 N. Plášť vodojemu je dimenzován dostatečně.
7.31 Nádoba ve tvaru kužele stojícího „špičkou“ dolů je naplněna speciální kapalinou, v níž
tlak roste s hloubkou jako p = ρ0gh2, kde ρ0 je hustota kapaliny na hladině a h je
hloubka daného místa v nádobě. Poloměr horní vodorovné plochy nádoby R = 0,5 m a
výška nádoby H = 1 m. Určete tlakovou sílu, které musí nádoba odolat. Uvažujte hodnoty
konstant ρ0 = 1000 kg m−3, g = 9, 81 m s−2. Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.
Fp ≈ 3000 N.
7.32 Plášť kulového vodojemu o poloměru R = 2 m je dimenzován tak, aby odolal celkové
tlakové síle 106 N. Je dimenzován dostatečně, nedostatečně, nebo je zhruba na hranici
konstrukční odolnosti ? Uvažujte hodnoty konstant ρ = 1000 kg m−3, g = 9, 81 m s−2.
Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.
Fp ≈ 106 N. Plášť vodojemu je dimenzován zhruba na hranici konstrukční odolnosti.
7.33 Mísa ve tvaru polokoule o poloměru R = 1 m je naplněna speciální kapalinou, v níž tlak
roste s hloubkou jako p = ρ0gh
3
2 , kde ρ0 je hustota kapaliny na hladině a h je hloubka
daného místa v nádobě. Určete tlakovou sílu, které musí nádoba odolat. Uvažujte hodnoty
konstant ρ0 = 1000 kg m−3, g = 9, 81 m s−2. Vliv atmosférického tlaku zanedbejte.
Fp ≈ 25 000 N.
7.2 Plošný integrál 2. druhu
Plošným integrálem 2. druhu nazýváme integrál
¨
S
⃗F · d⃗S =
¨
S
⃗F ·⃗n dS obecného vektorového
pole ⃗F(x, y, z), definovaného na po částech hladké ploše S, jejíž orientace je určena jednotkovým
normálovým vektorem ⃗n = (nx, ny, nz). Explicitní zápis plošného integrálu 2. druhu na po
částech hladké ploše, tvořené souřadnicovými plochami kartézské soustavy, bude mít tvar
ˆ
y
ˆ
z
Fx dy dz
x=konst.
+
ˆ
z
ˆ
x
Fy dz dx
y=konst.
+
ˆ
x
ˆ
y
Fz dx dy
z=konst.
, (7.23)
kde Fx, Fy, Fz jsou jednotlivé složky vektoru ⃗F. Analogicky k rovnici (7.17) bude parametrizovaný
plošný integrál 2. druhu, kde x = ξ(u, v), y = η(u, v), z = ζ(u, v), mít tvar
ˆ u2
u1
ˆ v2
v1


Fx(ξ, η, ζ) det



∂η
∂u
∂ζ
∂u
∂η
∂v
∂ζ
∂v


 + Fy(ξ, η, ζ) det



∂ζ
∂u
∂ξ
∂u
∂ζ
∂v
∂ξ
∂v


 +
+ Fz(ξ, η, ζ) det



∂ξ
∂u
∂η
∂u
∂ξ
∂v
∂η
∂v





 du dv . (7.24)
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 104
Pořadí parametrů u a v ve vektorových součinech je dáno požadovanou orientací normály plochy.
Typickou fyzikální aplikací plošného integrálu 2. druhu je výpočet toku Φ vektorového pole ⃗F
danou plochou ⃗S.
• Příklady:
7.34 Určete tok vektorového pole ⃗F = (1, 1, 1) kartézskou souřadnicovou plochou Sz (viz kapitola
4), kde z = 3, x ∈ ⟨0, 1⟩, y ∈ ⟨2, 3⟩, ve směru kladné normály této plochy.
ΦF = 1
7.35 Určete tok vektorového pole ⃗F = (x, xy, xz) kartézskou souřadnicovou plochou Sx, kde
x = 5, y ∈ ⟨0, 5⟩, z ∈ ⟨0, 5⟩, ve směru záporné normály této plochy.
ΦF = 125
7.36 Určete tok vektorového pole ⃗F = (x, 2, 3) válcovou souřadnicovou plochou Sρ, kde ρ = 2,
z ∈ ⟨0, 5⟩, ve směru vnější normály této plochy.
ΦF = 20π
7.37 Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole ⃗F = x2, y2, z2 uzavřenou
plochou S = {(x, y, z) | x ∈ ⟨A, 2A⟩, y ∈ ⟨B, 2B⟩, z ∈ ⟨C, 2C⟩}.
ΦF = 3ABC(A + B + C)
7.38 Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole ⃗F = x2, y2, z2 uzavřenou
plochou S = (x, y, z) | x2 + y2 = R2, z ∈ ⟨0, H⟩ .
ΦF = πR2H2
7.39 Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole ⃗F = (x3, y3, z3) plochou,
danou předpisem S = (x, y, z) | x2 + y2 + z2 = R2 .
ΦF =
12
5
πR5
7.40 Je dáno silové pole ⃗F = (x3 − x2, y3 − y2, z3 − z2). Pomocí plošného integrálu 2. druhu
vypočítejte jeho tok povrchem tělesa V = (x, y, z) | x, y, z ∈ ⟨0, R⟩, x2 + y2 + z2 ≤ R2 .
ΦF =
3πR4
40
(4R − 5)
7.41 Vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (z2, x2, y2) kruhovou plochou o poloměru R se
středem v bodě x, y, z = [A, B, C], ležící v rovině z = C, ve směru její kladné normály.
πR4
4
+ πB2R2
7.42 Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole ⃗F = x2, y2, z2 uzavřenou
plochou, tvořenou povrchem tělesa z příkladu 7.15.
ΦF =
πR2H2
3
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 105
7.43 Pomocí plošného integrálu 2. druhu určete tok vektorového pole ⃗F = x3 − y3, x3 + y3, z
povrchem tělesa V = (x, y, z) | z ∈ ⟨0, H⟩, x2 + y2 ≤
R2
H2
(H − z)2 .
ΦF =
πR2H
30
9R2 + 10
7.44 Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (x, y, z) povrchem
tělesa z příkladu 8.42. Proč je výsledná hodnota trojnásobkem výsledné hodnoty
z uvedeného příkladu ?
ΦF =
3π2a3
4
7.45 Pomocí plošného integrálu 2. druhu vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (x3, y3, z3)
uzavřenou plochou, tvořenou povrchem tělesa z příkladu 8.42.
ΦF =
27
64
π2a5 =
3
4
3
π2a5
7.46 Vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (y, z, x) rovinnou plochou ve tvaru obdélníka s vrcholy
v bodech [1, 0, 0], [3, 0, 1], [3, 2, 1], [1, 2, 0], ve směru normály ⃗ν této plochy jejíž
složka νx je kladně orientovaná.
−6
7.47 Vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (3, z, y) rovinnou plochou ve tvaru obdélníka s vrcholy
v bodech [0, 0, 1], [0, 1, 3], [2, 1, 3], [2, 0, 1], ve směru normály ⃗ν této plochy jejíž
složka νy je kladně orientovaná.
7
7.48 Vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (3, z, y), rovinnou plochou ve tvaru obdélníka
s vrcholy v bodech [0, 0, 1], [0, 2, 2], [5, 2, 2], [5, 0, 1], ve směru normály ⃗ν této plochy
jejíž složka νy je kladně orientovaná.
−
5
2
7.49 Vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (y, z, x) rovinnou plochou ve tvaru lichoběžníka
s vrcholy v bodech [1, 1, 1], [1, 3, 3], [2, 4, 5], [2, 1, 2], ve směru normály ⃗ν této plochy jejíž
složka νy je kladně orientovaná.
53
6
7.50 Vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (x, z, y) rovinnou plochou ve tvaru trojúhelníka
s vrcholy v bodech [3, 0, 2], [1, 2, 0], [0, 0, 7], ve směru normály ⃗ν této plochy jejíž složka
νy je kladně orientovaná.
98
3
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 106
7.3 Objemový integrál
Objemovým integrálem označujeme trojný integrál skalární funkce f(x, y, z) přes oblast (těleso)
T ∈ R3 s objemem V :
˚
V
f(x, y, z) dV =
˚
V
f(x, y, z) dx dy dz. (7.25)
Pomocí objemového integrálu lze určit některé geometrické a fyzikální charakteristiky těles:
Položíme-li f = 1, výsledkem bude velikost objemu V tělesa T . Položíme-li f = ρ (objemová
hustota hmoty), dostáváme ρ dV = dm, tedy hmotnost elementu tělesa T , výsledkem integrace
bude celková hmotnost M tělesa,
M =
˚
T
dm =
˚
V
ρ dV. (7.26)
Pokud položíme například f = zρ, dostáváme tzv. statický moment Sz tělesa vzhledem k ose
z, jeho vydělením hmotností dostáváme z-ovou souřadnici středu hmotnosti zT tělesa (obdobně
pro ostatní souřadnicové směry), tedy
xT =
1
M
˚
T
x dm =
1
M
˚
V
xρ dV, yT =
1
M
˚
T
y dm, zT =
1
M
˚
T
z dm. (7.27)
Položíme-li f = r2ρ, kde r je vzdálenost obecného bodu tělesa od zvolené přímky v prostoru
(osy o), dostáváme moment setrvačnosti Jo tělesa T vzhledem k této ose. Momenty setrvačnosti
tělesa T např. vzhledem k jednotlivým kartézským souřadnicovým osám potom budou
Jx =
˚
T
(y2
+ z2
) dm =
˚
V
(y2
+ z2
) ρ dV, Jy =
˚
T
(z2
+ x2
) dm, Jz =
˚
T
(x2
+ y2
) dm.
(7.28)
Příklady k problematice objemového integrálu jsou součástí následujícího odstavce 7.4.
7.4 Geometrické a fyzikální charakteristiky útvarů
• Vypočítejte objem:
7.51 elipsoidu o poloosách a, b, c, V =
4
3
πabc
7.52 kužele o poloměru podstavy R a výšce H, V =
πR2H
3
7.53 tělesa A = {(x, y, z) | z ∈ ⟨0, H − x2 − y2⟩}, kde H = R2, V =
πR2H
2
7.54 tělesa A = {(x, y, z) | z ∈ ⟨0, H −x2 −y2⟩}, x2 + y2 ≤ R2, H > R2, V = πR2 H −
R2
2
7.55 anuloidu (toroidu) o poloměru osy toru R a poloměru trubice a,1 V = 2π2Ra2
1
Podrobný popis anuloidu - viz odstavec B.6 v příloze B.
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 107
7.56 tělesa A = (x, y, z) | z ∈
x2 + y2
3
, R2 − x2 − y2 , V =
πR3
3
7.57 tělesa A = (x, y, z) | z ∈
R
2
, R2 − x2 − y2 , V =
5
24
πR3
7.58 tělesa A, jehož povrch vznikne rotací asteroidy z příkladu 6.7 okolo osy y,
V =
32
105
πa3
7.59 tělesa A, jehož povrch vznikne rotací kardioidy z příkladu 6.16 okolo osy y.
V =
8
3
πa3
• Vypočítejte velikost plochy:
7.60 kulové slupky o poloměru R, S = 4πR2
7.61 pláště kužele o poloměru podstavy R a výšce H, S = πR
√
R2 + H2
7.62 pláště tělesa z příkladu 7.53, S =
π
6
(1 + 4R2)
3
2 − 1
7.63 celého povrchu tělesa z příkladu 7.54,
S =
π
6
(1 + 4R2)
3
2 − 1 + 2πR(H − R2) + πR2
7.64 pláště tělesa z příkladu 7.56, S =
√
3
2
+ 1 πR2
7.65 celého povrchu tělesa z příkladu 7.57, S =
7
4
πR2
7.66 pláště anuloidu (toroidu) o poloměru osy toru R a poloměru trubice a,1
S = 4π2Ra
7.67 ohraničené asteroidou z příkladu 6.7, S =
3
8
πa2
7.68 která vznikne rotací asteroidy z příkladu 6.7 okolo osy y, S =
12
5
πa2
7.69 ohraničené kardioidou z příkladu 6.16, S =
3
2
πa2
7.70 která vznikne rotací kardioidy z příkladu 6.16 okolo osy y, S =
32
5
πa2
7.71 hyperbolického paraboloidu, daného předpisem z = x2 − y2, x2 + y2 ≤ 4,
S =
π
6
17
3
2 − 1 ≈ 36,18
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 108
7.72 hyperbolického paraboloidu, daného předpisem z = xy, x2 + y2 ≤ 4. Jaký by musel být
poloměr ρ válce, jehož pláštěm je hyperbolický paraboloid ohraničen, aby jeho plocha byla
stejná jako v příkladu 7.71 ?
S =
2π
3
5
3
2 − 1 ≈ 21,32, ρ =

 17
3
2 + 3
4
2
3
− 1


1
2
≈ 2,44
• Ve vhodně zvolené soustavě souřadnic vypočítejte polohu středu hmotnosti:
7.73 homogenní polokoule o poloměru R, zT =
3
8
R
7.74 homogenního kužele o poloměru podstavy R a výšce H, zT =
H
4
7.75 homogenního symetrického jehlanu o hraně podstavy A a výšce H,
zT =
H
4
7.76 homogenního tělesa z příkladu 7.53, zT =
H
3
7.77 homogenního tělesa z příkladu 7.54, zT =
3H2 − 3HR2 + R4
3 (2H − R2)
7.78 homogenního tělesa z příkladu 7.56, zT =
9
16
R
7.79 homogenní plochy z příkladu 7.70 a homogenního tělesa z příkladu 7.59,
yT = −
25
32
a, yT = −
4
5
a
7.80 homogenního tělesa, ohraničeného „seshora“ plochou x2 + y2 + z2 = R2 a „zespoda“
plochou z = x2 + y2,
zT =
3R
8 2 −
√
2
≈ 0,64 R
7.81 tělesa z příkladu 7.57, zT =
27
40
R
7.82 poloviny homogenního elipsoidu o poloosách a, b, c, s rovinou podstavy, vymezenou poloosami
a, b.
zT =
3
8
c
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 109
• Vypočítejte moment setrvačnosti vzhledem k ose symetrie:
7.83 homogenní koule o hmotnosti M a poloměru R, J =
2
5
MR2
7.84 homogenního válce o hmotnosti M a poloměru R, J =
MR2
2
7.85 homogenního kužele o hmotnosti M, poloměru podstavy R a výšce H,
J =
3
10
MR2
7.86 homogenního tělesa z příkladu 7.53, J =
MR2
3
7.87 homogenního tělesa z příkladu 7.54, J =
3H − 2R2
6H − 3R2
MR2
7.88 homogenního tělesa z příkladu 7.56. J =
MR2
4
7.89 tělesa z příkladu 7.57, J =
53
200
MR2
7.90 homogenního elipsoidu o hmotnosti M a poloosách a, b, c, rotujícího okolo poloosy c,
J =
M
5
(a2 + b2)
7.91 homogenního tělesa, jehož povrch vznikne rotací asteroidy z příkladu 6.7 okolo osy y,
J =
64
143
Ma2
7.92 homogenního tělesa, jehož povrch vznikne rotací kardioidy z příkladu 6.16 okolo osy y,
J =
24
35
Ma2
7.93 homogenního tělesa, ohraničeného seshora plochou z = H −2 x2 + y2 a zespoda plochou
z = 0. Výsledek vyjádřete jako funkci hmotnosti daného tělesa a délky R = x2 + y2 =
H/2 v rovině z = 0,
J =
MR2
3
7.94 prázdné uzavřené válcové nádoby, tj. sestávající z pláště a obou podstav, vytvořené z
materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou σ, s poloměrem R a výškou
H = R. Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby M a poloměru R,
J =
3
4
MR2
7.95 prázdné uzavřené kuželové nádoby, tj. sestávající z pláště a podstavy, vytvořené z materiálu
zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou σ, s poloměrem R a výškou H.
Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby M a poloměru R,
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 110
J =
MR2
2
7.96 prázdné uzavřené nádoby, tvořené celým pláštěm tělesa (tj. sestávající z vlastního pláště
i podstavy) z příkladu 7.53, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní
plošnou hustotou σ. Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby M a
poloměru podstavy R,
J = M
1 + 4R2 3/2 3
5
R2 −
1
10
+
1
10
+ 3R4
(1 + 4R2)3/2
− 1 + 6R2
7.97 prázdné uzavřené nádoby, tvořené celým pláštěm tělesa (tj. sestávající z vlastního pláště
i podstavy) z příkladu 7.56, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní
plošnou hustotou σ. Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby M a
poloměru podstavy R.
J =
9
√
3 + 20 MR2
√
3 + 2 24
7.98 Odvoďte moment setrvačnosti homogenní polokruhové desky zanedbatelné tloušťky s poloměrem
R, rotující
(a) okolo osy, procházející jejím středem, kolmé k rovině desky,
(b) okolo osy, ležící v rovině desky, procházející její základnou (průměrem),
(c) okolo osy, ležící v rovině desky, procházející jejím středem hmotnosti rovnoběžně
s její základnou.
Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti desky M a poloměru R.
(a) J =
MR2
2
(b) J =
MR2
4
(c) pomocí Steinerovy věty: zT =
4
3π
R, J =
MR2
4
−
4
3π
2
MR2 ≈
7
100
MR2
7.99 Odvoďte moment setrvačnosti homogenní desky zanedbatelné tloušťky, jejíž okraj má tvar
asteroidy z příkladu 6.7, rotující okolo osy procházející jejím středem kolmo k její rovině.
Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti desky M a délky poloosy a.
J =
7
32
Ma2
7.100 Odvoďte moment setrvačnosti Jk duté koule o poloměru R s kulovou koncentrickou dutinou
o poloměru H, s konstantní hustotou ρ. Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti
M duté koule, jejího poloměru R a poloměru dutiny H. Pomocí limitního přechodu
(případně jiným způsobem) následně odvoďte moment setrvačnosti Js homogenní kulové
slupky s poloměrem R.
Jk =
2
5
M
R5 − H5
R3 − H3
, Js =
2
3
MR2
Kapitola 7. Dvojný a trojný integrál 111
7.101 Odvoďte moment setrvačnosti homogenní krychle o hraně A, rotující
(a) okolo osy, procházející jejím středem a středy dvou protilehlých stran,
(b) okolo osy, procházející jejím středem a středy dvou protilehlých hran,
(c) okolo osy, procházející hranou krychle (vypočítejte přímou integrací a ověřte pomocí
Steinerovy věty).
Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti M krychle a délky její hrany A.
(a) J =
MA2
6
(b) J =
MA2
6
(c) J =
2
3
MA2
Kapitola 8
Integrální věty1 2
8.1 Greenova věta
Věta, nazvaná podle matematika a fyzika George Greena (1793 - 1841), dává do souvislosti
integrál přes oblast D ∈ R2 a integrál po uzavřené křivce C, ohraničující oblast D. Pro vektorové
pole ⃗F = [F1(x, y), F2(x, y)], spojitě diferencovatelné v D(x, y), platí následující formulace
Greenovy věty:
¨
D
∂F2
∂x
−
∂F1
∂y
dx dy =
˛
∂ ⃗D
(F1 dx + F2 dy) , (8.1)
kde ∂ ⃗D značí matematicky kladně orientovanou uzavřenou hranici oblasti D (křivku C). Stokesova
věta (viz odstavec 8.2) je zobecněním Greenovy věty pro R3.
• Příklady:
8.1 Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál
˛
C
ex
[(1 − cos y) dx − (y − sin y) dy],
kde C je kladně orientovaná uzavřená křivka ohraničující oblast D: 0 < x < π, 0 < y <
sin x.
1
5
(1 − eπ)
8.2 Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál
˛
C
y2
dx + x2
dy, kde C je kladně
orientovaná uzavřená křivka ohraničující oblast D: 0 < x < 3, 0 < y < 2 −
2
3
x.
2
8.3 Pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah kruhu o poloměru R.
Pomocí identity S =
¨
S
∂F2
∂x
−
∂F1
∂y
dS =
∂F2
∂x
−
∂F1
∂y
= 1 =
˛
∂ ⃗S
⃗F · d⃗s, S = πR2
8.4 Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah elipsy s poloosami
a, b.
1
Ve výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.
2
Doporučená literatura k této kapitole: Děmidovič (2003), Kvasnica (2004), Arfken & Weber (2005), Bartsch
(2008), Rektorys (2009).
113
Kapitola 8. Integrální věty 114
Stejným způsobem jako v předešlém příkladě, S = πab
8.5 Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah trojúhelníka s vrcholy
v bodech [0, 0], [2, 1], [1, 2].
S =
3
2
a x
y
Obrázek 8.1: Geronova (Huygensova) lemniskáta, geometrický význam konstanty a je vyznačen zelenou
barvou.
8.6 Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené
křivkou, danou obecnou rovnicí x4 − a2 x2 − y2 = 0, kde a je konstanta, tzv. Geronovy
(Huygensovy) lemniskáty (viz obrázek 8.1, viz také příklad 8.42).
S =
4a2
3
8.7 Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené
astroidou z příkladu 6.7.
S =
3π
8
a2
x
y
Obrázek 8.2: Descartův list. Geometrický význam konstanty a je vyznačen zelenou barvou.
8.8 Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené
smyčkou křivky, dané obecnou rovnicí x3 + y3 = 3 axy (tzv. Descartova listu, viz obrázek
8.2). Vhodnou parametrizací je například: x = x(t), y = tx(t), kde t = tg ϕ.
S =
3
2
a2
Kapitola 8. Integrální věty 115
8.2 Stokesova věta (Stokesův-Kelvinův teorém)
Stokesova věta srovnává tok rotace vektorového pole ⃗F plochou S, definovanou v R3 a integrál
tohoto pole po uzavřené křivce s, ohraničující tuto plochu. Matematický zápis Stokesovy věty
má tvar
¨
S
⃗∇ × ⃗F · ⃗n dS =
˛
∂ ⃗S
⃗F · d⃗s, (8.2)
kde ⃗F je dané vektorové pole, ⃗n je jednotkový normálový vektor plochy S, ∂⃗S je uzavřená hranice
plochy S (hladká nebo po částech hladká hraniční křivka s, orientovaná tečným vektorem d⃗s
jejího délkového elementu ds).
• Příklady:
8.9 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (x2 −
y, x, 0) která působí po celé kružnici o poloměru R se středem v bodě [0, 0, 0] v matematicky
kladném směru a jejíž začátek i konec jsou v bodě [R, 0, 0]. Změní se velikost práce,
pokud síla bude působit v matematicky záporném směru ?
W = 2πR2, změní: W = −2πR2
8.10 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (x2 −
y, x, 0) která působí po obvodu čtverce postupně z bodu [0, 0, 3] do bodů [1, 0, 3], [1, 1, 3],
[0, 1, 3] a zpět do počátečního bodu. Změní se velikost práce, pokud síla bude působit
v opačném směru ?
W = 2, změní: W = −2
8.11 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (x3 −
x2, x−1, 0) která působí po obvodu trojúhelníka postupně z bodu [0, 0, 1] do bodů [2, 0, 1],
[0, 1, 1] a zpět do počátečního bodu. Změní se velikost práce, pokud síla bude působit
v opačném směru ?
W = 1, změní: W = −1
8.12 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (x3 −
x2, x−1, 0) která působí po obvodu trojúhelníka postupně z bodu [0, 0, 0] do bodů [2, 0, 0],
[0, 1, 0] a zpět do počátečního bodu. Změní se velikost práce, pokud síla bude působit
v opačném směru ?
W = 1, změní: W = −1
8.13 Pomocí Stokesovy věty ověřte výpočet práce síly z příkladu 6.38.
W =
˛
∂V
rot ⃗F · ⃗n dS, rot ⃗F = (0, 0, 2), ⃗n = (0, 0, −1), S =
π
4
, W = −
π
2
8.14 Pomocí Stokesovy věty ověřte výpočet práce síly z příkladu 6.39.
W =
˛
∂V
rot ⃗F · ⃗n dS, rot ⃗F = (0, 0, 2), ⃗n = (0, 0, 1), S = π − 1, W = 2(π − 1)
Kapitola 8. Integrální věty 116
8.15 Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) =
[y2, (x+y)2, 0], působící po obvodě trojúhelníka ve směru vrcholů v bodech [3, 0, 0], [0, 3, 0],
[3, 3, 0].
W = −18
8.16 Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) =
[y, (x + y)2, 0], působící v matematicky záporném směru po křivce x2 + y2 = 1, z = 0.
W = π
8.17 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (y, −x, z),
působící nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [R, 0, 0] do bodu [0, R, 0], dále po křivce
z2 = R2 − y2 z bodu [0, R, 0] do bodu [0, 0, R] a nakonec po křivce x2 = R2 − z2 z bodu
[0, 0, R] zpět do výchozího bodu.
W = −
πR2
2
8.18 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (y2, z2, x2),
působící nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [R, 0, 0] do bodu [0, R, 0], dále po křivce
z2 = R2 − y2 z bodu [0, R, 0] do bodu [0, 0, R] a nakonec po křivce x2 = R2 − z2 z bodu
[0, 0, R] zpět do výchozího bodu.
W = −2R3
8.19 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (y, z, x),
působící po povrchu tělesa z příkladu 7.53
(a) nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [0, −R, 0] v matematicky kladném směru
do bodu [R, 0, 0], dále po křivce z = H − x2 z bodu [R, 0, 0] do bodu [0, 0, H] a
nakonec po křivce z = H − y2 z bodu [0, 0, H] zpět do výchozího bodu,
(b) nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [R, 0, 0] v matematicky kladném směru
do bodu [0, R, 0], dále po křivce z = H − y2 z bodu [0, R, 0] do bodu [0, 0, H] a
nakonec po křivce z = H − x2 z bodu [0, 0, H] zpět do výchozího bodu,
(c) nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [0, −R, 0] v matematicky kladném směru do
bodu [0, R, 0], dále po křivce z = H − y2 z bodu [0, R, 0] do bodu [0, 0, H] a nakonec
po křivce z = H − y2 z bodu [0, 0, H] zpět do výchozího bodu.
(a) W = −
πR2
4
(b) W = −
πR2
4
−
4
3
R3
(c) W = −
πR2
2
−
4
3
R3
8.20 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (y2, z2, x2),
působící po povrchu tělesa z příkladu 7.13
Kapitola 8. Integrální věty 117
(a) nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [R, 0, 0] v matematicky kladném směru
do bodu [0, R, 0], dále nejkratším možným způsobem z bodu [0, R, 0] do bodu [0, 0, H]
a nakonec opět nejkratším možným způsobem z bodu [0, 0, H] zpět do výchozího
bodu,
(b) nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [0, −R, 0] v matematicky kladném směru
do bodu [0, R, 0], dále nejkratším možným způsobem z bodu [0, R, 0] do bodu [0, 0, H]
a nakonec opět nejkratším možným způsobem z bodu [0, 0, H] zpět do výchozího
bodu.
(a) W = −
R
3
2R2 + HR + H2
(b) W = −
2
3
H2R
8.21 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (y2, −z2, x2),
působící po povrchu tělesa z příkladu 7.53
(a) nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [0, −R, 0] v matematicky kladném směru
do bodu [R, 0, 0], dále po křivce z = H − x2 z bodu [R, 0, 0] do bodu [0, 0, H] a
nakonec po křivce z = H − y2 z bodu [0, 0, H] zpět do výchozího bodu,
(b) nejprve po křivce y2 = R2 − x2 z bodu [R, 0, 0] v matematicky kladném směru
do bodu [0, R, 0], dále po křivce z = H − y2 z bodu [0, R, 0] do bodu [0, 0, H] a
nakonec po křivce z = H − x2 z bodu [0, 0, H] zpět do výchozího bodu.
(a) W =
2
3
R3(2H + 1) +
R4
2
−
4
5
R5 =
8
15
R5 +
R4
2
+
2
3
R3
(b) W =
2
3
R3(2H − 1) −
R4
2
−
4
5
R5 =
8
15
R5 −
R4
2
−
2
3
R3
8.22 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty dokažte, že práce síly ⃗F(x, y, z) =
(z2, x2, y2) působící v matematicky kladném směru po křivce dané průnikem ploch S1 =
{x2 + y2 + z2 = R2} a S2 = {x − z = 0}, je nulová.
Úlohu lze řešit jak v kulovém tak v pootočeném válcovém souřadném systému (transformace
bází).
8.23 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (z3, x2, y)
působící po obvodu rovnoběžníka z výchozího bodu [0, 0, 0] ve směru bodů [A, 0, A],
[A, A, A], [0, A, 0] a zpět do výchozího bodu.
W = A3 − A2
8.24 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (z3, x2, y)
působící po obvodu trojúhelníka z výchozího bodu [0, 0, 0] ve směru bodů [A, 0, 0], [0, B, C]
a zpět do výchozího bodu.
W =
A2B
3
−
AC3
4
Kapitola 8. Integrální věty 118
8.25 Pomocí křivkového integrálu i Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (y2, xz, y2)
působící po obvodu plochy dané předpisem S = (x, y, z) x2 + y2 ≤ R2, z = 6 , po
vykonání 1 okruhu z bodu [R, 0, 6] do stejného bodu, v matematicky záporném směru.
−6πR2
8.26 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (z2, x2, y2)
působící po obvodu plochy dané předpisem S = (x, y, z) x2 +y2 +(z−R)2 = R2, x, y, z ∈
⟨0, R⟩ , ve směru bodů [0, 0, 0], [R, 0, R], [0, R, R] a zpět do bodu [0, 0, 0].
W = 2R3 1
3
−
π
4
8.27 Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) = (z2, x2, y2)
působící po obvodu plochy dané předpisem S = (x, y, z) x2 + (y − R)2 + z2 = R2, x ∈
⟨−R, 0⟩, y, z ∈ ⟨0, R⟩ , ve směru bodů [−R, R, 0], [0, R, R], [0, 0, 0] a zpět do bodu
[−R, R, 0].
W = 2R3 1
3
+
π
4
8.28 Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) =
(z2, x2, y2) působící po obvodu plochy dané předpisem: S = (x, y, z) x2 +(y+R)2 +z2 =
R2, x ∈ ⟨−R, 0⟩, y ∈ ⟨−R, 0⟩, z ∈ ⟨0, R⟩ , ve směru bodů [−R, −R, 0], [0, −R, R], [0, 0, 0]
a zpět do bodu [−R, −R, 0].
W = 2R3 π
4
−
1
3
8.29 Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) =
(xz, −yz, 0) působící po plášti válce o poloměru R, jehož osa prochází bodem [−R, 0, 0] a
splývá s vektorem (0, 0, z). Síla působí po uzavřené trajektorii z počátečního bodu [0, 0, 0]
ve směru bodů [−R, R, 0], [−R, R, H], [0, 0, H] a zpět do bodu [0, 0, 0].
W = 0
8.30 Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly ⃗F(x, y, z) =
(xz2, xz2, yz2) působící po povrchu válce o poloměru R, jehož osa prochází bodem [R, 0, 0]
a splývá s vektorem (0, 0, z), z ∈ ⟨0, H⟩. Síla působí po uzavřené trajektorii z počátečního
bodu [R, R, H] po hraně pláště válce do bodu [0, 0, H], dále po úsečce do bodu [2R, 0, H],
a opět po hraně pláště válce zpět do bodu [R, R, H].
W =
πR2H2
2
8.3 Gaussova (Gaussova-Ostrogradského) věta1
Gaussova věta, nazývaná také Gaussův teorém nebo teorém divergence, říká, že tok vektorového
pole uzavřenou plochou S se rovná integrálu divergence tohoto pole přes objem V , ohraničený
1
Pokud není uvedeno jinak, myslí se vždy tok ve směru vnější normály uvedené uzavřené plochy.
Kapitola 8. Integrální věty 119
touto plochou, definovanou v R3 (obecně v Rn). Matematický zápis Gaussovy věty má tvar
˚
V
⃗∇ · ⃗F dV =
‹
∂V
⃗F · ⃗n dS, (8.3)
kde ⃗F je obecné vektorové pole, ⃗n je jednotkový vektor vnější normály plochy S, ∂V značí
hraniční oblast objemu V (hraniční plochu S).
• Příklady:
8.31 Pomocí Gaussovy věty odvoďte vztah pro výpočet objemu válce o poloměru R a výšce
H.
Pomocí identity V =
ˆ
V
div ⃗F dV (div ⃗F = 1) =
˛
∂V
⃗F · ⃗n dS, V = πR2H
8.32 Pomocí Gaussovy věty odvoďte vztah pro výpočet objemu koule o poloměru R.
Stejným způsobem jako v předešlém příkladě, V =
4
3
πR3
8.33 Pomocí Gaussovy věty odvoďte vztah pro výpočet objemu kužele o poloměru R a výšce
H.
V =
πR2H
3
8.34 Pomocí Gaussovy věty odvoďte vztah pro výpočet objemu anuloidu (toroidu) o poloměru
osy toru R a poloměru trubice a (viz příklad 7.55).
V = 2π2Ra2
8.35 Pomocí Gaussovy věty určete tok vektorového pole ⃗F = x2, y2, z2 uzavřenou plochou,
určenou předpisem S = {(x, y, z) | x ∈ ⟨A, 2A⟩, y ∈ ⟨B, 2B⟩, z ∈ ⟨C, 2C⟩}.
ΦF = 3ABC(A + B + C)
8.36 Pomocí Gaussovy věty určete tok vektorového pole ⃗F = x2, y2, z2 uzavřenou plochou,
určenou předpisem S = (x, y, z) | x2 + y2 = R2, z ∈ ⟨0, H⟩ .
ΦF = πR2H2
8.37 Pomocí Gaussovy věty určete tok vektorového pole ⃗F = (x − 1)2, (y − 1)2, z2 povrchem
tělesa, určeného předpisem V = (x, y, z) | x2 + y2 ≤ R2, y ≥ 0, z ∈ ⟨0, H⟩ .
4
3
R3H +
πR2H2
2
− 2πR2H
8.38 Pomocí Gaussovy věty určete tok vektorového pole ⃗F = x2, y2, z2 uzavřenou plochou,
tvořenou povrchem tělesa z příkladu 7.53.
ΦF =
πR2H2
3
Kapitola 8. Integrální věty 120
8.39 Pomocí Gaussovy věty určete tok vektorového pole ⃗F = x3 − y3, x3 + y3, z uzavřenou
plochou, tvořenou povrchem tělesa V = (x, y, z) | z ∈ ⟨0, H⟩, x2 + y2 ≤
R2
H2
(H − z)2 .
ΦF =
πR2H
30
9R2 + 10
8.40 Pomocí Gaussovy věty určete tok vektorového pole ⃗F = (x3, y3, z3) plochou, určenou
předpisem S = (x, y, z) | x2 + y2 + z2 = R2 .
ΦF =
12
5
πR5
8.41 Je dáno silové pole ⃗F = (x3 −x2, y3 −y2, z3 −z2). Pomocí Gaussovy věty určete jeho tok
povrchem tělesa, určeného předpisem V = (x, y, z) | x, y, z ∈ ⟨0, R⟩, x2 + y2 + z2 ≤ R2 .
ΦF =
3πR4
40
(4R − 5)
8.42 Pomocí Gaussovy věty odvoďte vztah pro výpočet objemu osově symetrického tělesa M
s osou (0, 0, z): M = {(x, y, z) | x2 + y2 ≤ a sin θ, z ≤ a sin θ cos θ, θ ∈ ⟨0, π⟩}. Povrch
tělesa je vytvořen rotací rovinné křivky, tzv. Geronovy (Huygensovy) lemniskáty, okolo
osy ležící v rovině křivky a procházející jejím středem - viz obrázek 8.1 (kde osa y bude
nyní osou z), viz také příklad 8.6.
V =
π2a3
4
8.43 Pomocí Gaussovy věty ověřte výpočet objemu tělesa z příkladu 7.58.
V =
32
105
πa3
8.44 Pomocí Gaussovy věty odvoďte vztah pro výpočet objemu osově symetrického tělesa M
vytvořeného rotací uzavřené smyčky Descartova listu z příkladu 8.8 okolo osy y, vyznačené
v obrázku 8.2. Určete rovněž maximální délku L smyčky, tj. délku podél přímky, půlící
1. kvadrant v uvedeném obrázku a souřadnice horizontálního i vertikálního maxima, vše
jako funkci konstanty a.
V =
4π2a3
3
√
3
, L =
3
√
2
a, (2
2
3 a, 2
1
3 a), (2
1
3 a, 2
2
3 a)
8.45 Pomocí Gaussovy věty určete polohu středu hmotnosti homogenního tělesa z příkladu
8.44 ve směru svislé osy, vyznačené v obrázku 8.2.
zT =
27
√
3
16π
a
8.46 Pomocí Gaussovy věty odvoďte moment setrvačnosti homogenního tělesa M z příkladu
8.42, rotujícího okolo osy (0, 0, z). Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti tělesa M a
poloměru a.
J =
Ma2
2
Kapitola 8. Integrální věty 121
8.47 Pomocí Gaussovy věty odvoďte moment setrvačnosti homogenního tělesa A z příkladu
7.58, rotujícího okolo stejné osy y. Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti tělesa M
a poloosy a.
J =
32
143
Ma2
8.48 Pomocí Gaussovy věty určete moment setrvačnosti homogenního tělesa z příkladu 8.44,
rotujícího okolo svislé osy, vyznačené v obrázku 8.2. Výsledek vyjádřete v jednotkách
hmotnosti tělesa M a maximálního rozměru R smyčky v horizontálním směru.
J =
81
√
3
40π
MR2
24/3
8.49 Pomocí Gaussovy věty vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (x, y, z) uzavřenou plochou,
tvořenou povrchem tělesa z příkladu 8.42. Proč je výsledná hodnota trojnásobkem
výsledné hodnoty z uvedeného příkladu ?
ΦF =
3π2a3
4
8.50 Pomocí Gaussovy věty vypočítejte tok vektorového pole ⃗F = (x3, y3, z3) uzavřenou plochou,
tvořenou povrchem tělesa z příkladu 8.42.
ΦF =
27
64
π2a5 =
3
4
3
π2a5
8.51 Pomocí Gaussovy věty vypočítejte tok Φ vektorového pole ⃗F(x, y, z) = (0, 0, z2) uzavřenou
plochou, tvořící povrch tělesa: V = (x, y, z) x2 + y2 ≤ 4, x ≤ 0, y ≥ 0, z ∈ ⟨0, |x|⟩ .
ΦF = π
8.52 Pomocí Gaussovy věty vypočítejte tok Φ vektorového pole ⃗F(x, y, z) = (0, 0, z2) uzavřenou
plochou, tvořící povrch tělesa: V = (x, y, z) x2 + y2 + z2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0, z ≥ 0,
z2
x2 + y2 + z2
≤
1
2
.
ΦF = π
8.53 Pomocí plošného integrálu 2. druhu i pomocí Gaussovy věty vypočítejte tok Φ vektorového
pole ⃗F(x, y, z) = (0, 0, z2) uzavřenou plochou, tvořící povrch tělesa:
V = (x, y, z) x2 + y2 + z ≤ 9 ∧ z − 3x2 − 3y2 ≥ 0 .
ΦF = 21π
9
4
2
8.54 Pomocí plošného integrálu 2. druhu i pomocí Gaussovy věty vypočítejte tok Φ vektorového
pole ⃗F(x, y, z) = (x2, 0, 0) uzavřenou plochou, tvořící povrch tělesa:
V = (x, y, z) x2 + y2 + z ≤ 5, x ≥ 0, y ≤ 0, z ≥ 1 .
ΦF =
128
15
Kapitola 8. Integrální věty 122
8.55 Určete kapacitu válcového kondenzátoru, který tvoří dvě souosé vodivé válcové slupky
(elektrody) s poloměry R1 a R2 a délkou H, kde R1 < R2. Na vnitřní elektrodu je přiveden
náboj +Q, na vnější elektrodu náboj −Q. Zanedbejte nepravidelnosti elektrického pole
na obou koncích elektrod.
C =
2πϵ0H
ln(R2/R1)
8.56 Určete kapacitu kulového kondenzátoru, který tvoří dvě soustředné vodivé kulové slupky
(elektrody) s poloměry R1 a R2, kde R1 < R2. Na vnitřní elektrodu je přiveden náboj
+Q, na vnější elektrodu náboj −Q.
C = 4πϵ0
R1R2
R2 − R1
Kapitola 9
Taylorův rozvoj1
Možnost nahrazení libovolné matematické funkce polynomem byla formulována počátkem 18.
století matematiky Jamesem Gregorym a Brookem Taylorem. V případě nekonečněkrát diferencovatelné
funkce půjde za určitých, přesně definovaných podmínek o nekonečnou mocninnou
řadu. Rozvoj funkce do řady je jedním z nejpoužívanějších nástrojů pro vyjádření přibližné
hodnoty funkcí, který tvoří základ mnoha principů numerické matematiky, atd.
9.1 Rozvoj funkce jedné proměnné
Obecný zápis Taylorova rozvoje nekonečněkrát diferencovatelné funkce jedné proměnné, jejíž
všechny derivace v obecném bodě x0 jsou konečné a spojité, lze vyjádřit pomocí nekonečné řady
f(x) = f(x0) +
∂f
∂x x0
(x − x0) +
1
2!
∂2f
∂x2
x0
(x − x0)2
+
1
3!
∂3f
∂x3
x0
(x − x0)3
+
1
4!
∂4f
∂x4
x0
(x − x0)4
+ . . . =
∞
n=0
1
n!
∂nf
∂xn
x0
(x − x0)n
, (9.1)
kde řád derivace charakterizuje řád Taylorova rozvoje, stupeň mocniny určuje stupeň členu
Taylorova polynomu (v případě funkce jedné proměnné se obojí shoduje). Položíme-li x0 = 0,
dostáváme tzv. Maclaurinovu řadu (rozvoj) jako speciální případ Taylorova rozvoje.
• Příklady:
9.1 Napište Taylorův rozvoj následujících funkcí v uvedených bodech x0:
(a) f(x) = ex, x0 = 0, 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+
x5
120
+ . . .
(b) f(x) = ex, x0 = 1, e + e(x − 1) +
1
2
e(x − 1)2 +
1
6
e(x − 1)3 + . . .
(c) f(x) = sin x, x0 = 0, x −
x3
6
+
x5
120
−
x7
5040
+ . . .
(d) f(x) = cos x, x0 = 0, 1 −
x2
2
+
x4
24
−
x6
720
+ . . .
1
Doporučená literatura k této kapitole: Děmidovič (2003), Kvasnica (2004), Rektorys (2009), Zemánek &
Hasil (2012).
123
Kapitola 9. Taylorův rozvoj 124
(e) f(x) = ln x, x0 = 1, x − 1 −
1
2
(x − 1)2 +
1
3
(x − 1)3 −
1
4
(x − 1)4 + . . .
(f) f(x) = sin x cos x, x0 = 0, x −
2x3
3
+
2x5
15
−
4x7
315
+ . . .
(g) f(x) = tg x, x0 = 0, x +
x3
3
+
2x5
15
+
17x7
315
+ . . .
(h) f(x) = tg 2x, x0 =
π
4
, 1+4 x −
π
4
+8 x −
π
4
2
+
40
3
x −
π
4
3
+. . .
9.2 Napište Taylorův rozvoj následujících funkcí v uvedených bodech x0:
(a) f(x) =
1
x
, x0 = 1, 1 − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 + (x − 1)4 + . . .
(b) f(x) =
1
x2
, x0 = 1, 1−2(x−1)+3(x−1)2−4(x−1)3+5(x−1)4+. . .
(c) f(x) = e−x2
, x0 = 0, 1 − x2 +
x4
2
−
x6
6
+
x8
24
−
x10
120
+ . . .
(d) f(x) = ex sin x, x0 = 0, x + x2 +
x3
3
−
x5
30
−
x6
90
−
x7
630
+ . . .
(e) f(x) = sin2
x cos2 x, x0 =
π
2
, x −
π
2
2
−
4
3
x −
π
2
4
+
32
45
x −
π
2
6
+ . . .
9.3 Napište rozvoj následujících funkcí do 4. stupně v bodě x0 = 0 (Maclaurinův rozvoj):
(a) f(x) = e3x, 1 + 3x +
9
2
(x2 + x3) +
27
8
x4 + . . .
(b) f(x) =
x2 − x + 1
2x + 1
, 1 − 3x + 7x2 − 14x3 + 28x4 + . . .
(c) f(x) = ln 1 − sin2
x , −x2 −
x4
6
+ . . .
(d) f(x) =
e−x3
(x − 1)3
, −1 − 3x − 6x2 − 9x3 − 12x4 + . . .
(e) f(x) =
sinh x2 + 2 sin4
x
1 + x10
, x2 + 2x4 + . . .
(f) f(x) = cos (3x + x3). 1 −
9
4
x2 −
75
32
x4 + . . .
9.4 Řešte následující neurčité integrály pomocí vhodného rozvoje integrandu do Taylorovy
řady v bodě x0 = 0 (Maclaurinova rozvoje)
(a)
ˆ
ex2
x
dx, ln x +
∞
k=1
x2k
k! 2k
+ C
(b)
ˆ
sin x
x
dx,
∞
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)! (2k + 1)
+ C
(c)
ˆ
cos x
x
dx, ln x +
∞
k=1
(−1)k x2k
(2k)! 2k
+ C
Kapitola 9. Taylorův rozvoj 125
(d)
ˆ
sin x cos x
x
dx.
∞
k=0
(−1)k x2k+1
2k + 1
k
m=0
1
m! (2k − m + 1)!
+ C
9.5 Pomocí Taylorova rozvoje určete hodnoty uvedených limit následujících funkcí:
(a) lim
x→0
ex − 1 − x
x2
,
1
2
(b) lim
x→0
ex − sin x − cos x
ex2
− ex3 , 1
(c) lim
x→0
1 − ex
ln (x + 1)
, i
(d) lim
x→0
5
√
1 − 5x2 + x4 − 1 + x2
x4
, −
9
5
(e) lim
x→0
sin
3
√
x2 −
3
√
x2 − ln cos x
x sin x
,
1
3
(f) lim
x→0
ln (1 + x arctg x) + 1 − ex2
√
1 + 2x4 − 1
, −
4
3
(g) lim
x→0
cos x − 1 +
1
2
x sin x
[ln (1 + x)]4 , −
1
24
(h) lim
x→0
1
ln (1 + x)
−
1
tg x
,
1
2
(i) lim
x→0
1
sin x
3 1 −
x
tg x
. lim
x→0+
= 1, lim
x→0−
= −1
9.6 Vypočítejte přibližnou hodnotu následujících integrálů s chybou nepřevyšující 10−3
(a) tzv. chybové funkce erf x =
2
√
π
ˆ x
0
e−t2
dt pro horní mez x = 1, 0,842 714 222
(b) tzv. integrálního sinu Si x =
ˆ x
0
sin t
t
dt pro horní mez x = 1, 0,946 082 766
(c) tzv. integrálního kosinu Ci x = −
ˆ ∞
x
cos t
t
dt (x > 0) pro spodní mez x = 1. Tento
integrál lze přepsat do tvaru Ci x = γ + ln x +
ˆ x
0
cos t − 1
t
dt, kde tzv. Eulerova
(Eulerova-Mascheroniho) konstanta γ = lim
n→∞
n
k=1
1
k
− ln n ≈ 0,577 215 665,
0,337 400 849
(d) tzv. exponenciálního integrálu Ei x = −
ˆ ∞
−x
e−t
t
dt =
ˆ x
−∞
et
t
dt pro x = −1. Tento
integrál lze přepsat do tvaru Ei x = γ + ln |x| +
ˆ −x
0
e−t − 1
t
dt, kde γ je stejná
Eulerova konstanta jako v příkladu 9.6c,
Kapitola 9. Taylorův rozvoj 126
−0,219 386 753
(e) exponenciálního integrálu Ei x popsaného v příkladě 9.6d, kde hodnota horní meze
x = 1 (tento případ má konečné řešení, protože integrování funkce se singularitou
lze za určitých podmínek provést přiřazením tzv. hlavní hodnoty určitého integrálu
- viz odstavec 1.3),
1,894 854 554
(f) tzv. integrálního logaritmu li x =
ˆ x2
x1
dt
ln t
pro x1 = 2 a x2 = 10 (integrovanou funkci
lze rozvinout do vhodné řady pomocí substituce t = eu).
5,073 622 569
9.7 Pomocí Taylorova rozvoje dokažte Eulerovu identitu pro y(x): C1 eix +C2 e−ix = A cos x+
B sin x. Jaký je vztah mezi jednotlivými koeficienty a čemu se budou rovnat, pokud y(0) =
1, y′(0) = 1 ?
A = C1 + C2, B = i(C1 − C2), C1 =
1 − i
2
, C2 =
1 + i
2
, A = 1, B = 1
9.8 Ověřte platnost klasického vztahu pro kinetickou energii T = 1
2mv2 pro malé rychlosti,
v ≪ c. Úplné relativistické vyjádření kinetické energie má tvar T = E − E0, kde E
představuje celkovou energii E = mc2, E0 je tzv. klidová energie, E0 = m0c2. Veličiny m
a m0, tedy relativistická a klidová hmotnost, jsou svázány vztahem m = γ m0, kde tzv.
Lorentzův faktor γ = (1 − v2/c2)−1/2.
Pomocí Taylorova rozvoje relativistického vyjádření do druhého řádu.
9.9 Napište Taylorův rozvoj funkce f(x) =
Ax
(B + x2)3/2
, kde A, B jsou konstanty, do třetího
řádu. Dále napište:
(a) Taylorův polynom třetího stupně funkce f(x) v okolí bodu x0 = 0,
(b) Třetí stupeň tohoto polynomu v okolí bodu x0 = 1.
(a) T3(x)|x0=0 =
A
B
3
2
x −
3A
2B
5
2
x3
(b) TIII
3 (x) x0=1
= −
A 3B2 − 24B + 8
2 (B + 1)
9
2
(x − 1)3
9.10 Ukažte, že
(a) Planckův zákon Bν(T) pro malé frekvence ν přejde na Rayleighův-Jeansův zákon,
známý v radiové fyzice,
(b) Převeďte Planckův zákon ve formě Bν(T) na tvar Bλ(T) a dokažte přechod na
Rayleighův-Jeansův zákon pro velké vlnové délky λ.
(a) Bν(T) =
2hν3
c2
1
e
hν
kT − 1
→
2ν2
c2
kT
Kapitola 9. Taylorův rozvoj 127
(b) Bλ(T) =
2hc2
λ5
1
e
hc
λkT − 1
→
2c
λ4
kT
9.2 Rozvoj funkce více proměnných
V případě nekonečněkrát diferencovatelné funkce dvou proměnných x, y, splňující v obecném
bodě [x0, y0] podmínku konečnosti a spojitosti všech derivací podle obou proměnných, lze
obecný tvar Taylorova rozvoje zapsat jako
f(x, y) = f(x0, y0) +
∂f
∂x x0,y0
(x − x0) +
∂f
∂y x0,y0
(y − y0)
+
1
2!
∂2f
∂x2
x0,y0
(x − x0)2
+
2 ∂2f
∂x ∂y x0,y0
(x − x0)(y − y0) +
∂2f
∂y2
x0,y0
(y − y0)2
+
1
3!
∂3f
∂x3
x0,y0
(x − x0)3
+
3 ∂3f
∂x2 ∂y x0,y0
(x − x0)2
(y − y0)
+
3 ∂3f
∂x ∂y2
x0,y0
(x − x0)(y − y0)2
+
∂3f
∂y3
x0,y0
(y − y0)3
+ . . . , (9.2)
kde řád derivace opět charakterizuje řád Taylorova rozvoje, stupeň mocniny určuje stupeň členu
Taylorova polynomu. Obecně lze tedy Taylorův rozvoj funkce více proměnných zapsat:
f(x1, . . . , xk) =
∞
n1=0
∞
n2=0
· · ·
∞
nk=0
∂n1+ ··· +nk f
∂xn1
1 · · · ∂xnk
k x01,...,x0k
(x1 − x01)n1 · · · (xk − x0k)nk
n1! · · · nk!
.
(9.3)
• Příklady:
9.11 Spočítejte všechny nenulové členy Taylorova rozvoje funkce f(x, y) = x2y a pro jednotlivé
řády rozvoje vyčíslete vždy hodnotu f (2,1; 2,9). Výsledky porovnejte s hodnotou, udanou
kalkulačkou.
T0 = 12, T1 = 12,8, T2 = 12,79, T3 = 12,789 (kalkulačkou 12,789)
9.12 Pomocí Taylorova rozvoje funkce f(x, y) = 1 + 4x2 + y2 do prvního, druhého a třetího
řádu vyčíslete vždy přibližnou hodnotu f (1,1; 2,05). Výsledky porovnejte s hodnotou,
udanou kalkulačkou.
T1 = 3,166, T2 = 3,169 120, T3 = 3,168 984 (kalkulačkou 3,168 990...)
9.13 Spočítejte všechny nenulové členy Taylorova rozvoje funkce f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 −
3 xyz a pro jednotlivé řády rozvoje vyčíslete vždy hodnotu f (0,95; 1,05; 1,1). Výsledky
porovnejte s hodnotou, udanou kalkulačkou.
T0 = 0, T1 = 0, T2 = 0,0525, T3 = 0,054 25 (kalkulačkou 0,054 25)
9.14 Pomocí Taylorova rozvoje funkce f(x, y, z) =
1
xyz
do prvního, druhého, třetího a čtvrtého
řádu vyčíslete vždy přibližnou hodnotu f (0,9; 2,1; 3,1). Výsledky porovnejte s hodnotou,
udanou kalkulačkou.
Kapitola 9. Taylorův rozvoj 128
T1 = 0,169 444, T2 = 0,170 602..., T3 = 0,170 634..., T4 = 0,170 648..., (kalkulačkou
0,170 678...)
9.15 Vypočítejte Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x, y) = e−(x2+y2) v bodech
(a) P1 = [0, 0],
(b) P2 = [1, 2].
(a) T1(0, 0) = 1 − x2 − y2
(b) T2(1, 2) = e−5 [x(x + 8y − 20) + y(7y − 40) + 56]
9.16 Vypočítejte Taylorův polynom funkce z příkladu 9.12
(a) třetího stupně v bodě [0, 0],
(b) druhého stupně v bodě [1, 2].
(a) T3(0, 0) = 1 + 2x2 +
y2
2
(b) T2(1, 2) =
1
3
[4x + y − 8(x − 1)(y − 2) − 5] +
5
27
2(x − 1)2 +
1
2
(y − 2)2
9.17 Vypočítejte Taylorův polynom třetího stupně funkce z příkladu 9.14 v bodě [1, 1, 1].
T3(1, 1, 1) = −x3 − y3 − z3 − x2y − x2z − xy2 − xz2 − y2z − yz2 − xyz + 6(x2 + y2 + z2 +
xy + xz + yz) − 15(x + y + z) + 20
9.18 Napište Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x, y) = x2 − y2 − 2 v bodě [2, 1].
2x − y − 2 +
1
2
−3(x − 2)2 + 4(x − 2)(y − 1) − 2(y − 1)2
9.19 Napište Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x, y) = e2x − y2 + 1 v bodě [0, 1].
2 + x − y +
1
2
x2 + 2x(y − 1) − 2(y − 1)2
9.20 Napište Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x, y) =
x
y
− 1 v bodě [2, 1].
1 +
x
2
− y +
1
2
−
1
4
(x − 2)2 + (y − 1)2
9.21 Napište Taylorův polynom 2. stupně funkce f(x, y) =
y2
√
x2 + 1
v bodě [0, 1].
1 + 2(y − 1) +
1
2
−x2 + 2(y − 1)2
Kapitola 9. Taylorův rozvoj 129
9.22 Napište Taylorův polynom třetího stupně funkce f(x, y, z) =
1
x2yz
v bodě [1, 1, 1].
T3(1, 1, 1) = −4x3 − y3 − z3 − 3x2y − 3x2z − 2xy2 − 2xz2 − 2y2z − yz2 − 2xyz + 7(3x2 +
z2 + 2xy + 2xz) + 8y2 + 9yz − 2(21x + 11z) − 23y + 36
Kapitola 10
Fourierovy řady1
Metoda rozkladu obecných periodických funkcí na součet nekonečného počtu sinových a kosinových
vln byla pojmenována po francouzském matematiku Jean-Baptiste Josephu Fourierovi
(1768–1830). Fourierovy řady jsou v různé míře aplikovány ve většině fyzikálních oborů, např.
v akustice, optice, kvantové fyzice, atd. Princip formulovaný nejprve pro Fourierovy řady byl
později zobecněn v tzv. Fourierově analýze. Libovolná periodická funkce f(x) s periodou T,
integrovatelná v intervalu ⟨x0, x0 + T), může být vyjádřena jako následující nekonečná suma
(Fourierova řada):
f(x) =
a0
2
+
∞
k=1
ak cos(kωx) + bk sin(kωx), (10.1)
kde ω = 2π/T. Fourierovy koeficienty ak, bk lze stanovit následujícím způsobem:
a0 =
2
T
ˆ x0+T
x0
f(x) dx, (10.2)
ak =
2
T
ˆ x0+T
x0
f(x) cos(kωx) dx, (10.3)
bk =
2
T
ˆ x0+T
x0
f(x) sin(kωx) dx. (10.4)
V principu je možné rozepsat jako Fourierovu řadu i funkci, která uvnitř periody T obsahuje
singularitu (například funkce 1/x, x ∈ ⟨−1, 1)), s použitím rovnice (1.57) v kapitole 1.3. Takové
funkce ale zpravidla vedou na integrály typu Si x, Ci x, Ei x a podobně (viz příklad 9.6 v kapitole
9.1), řešitelné pouze numericky, samotná Fourierova řada potom obsahuje v singulárním bodě
rovněž singularitu, Fourierovy koeficienty mohou být komplexní výrazy a navíc odpovídající
rozvoj takové funkce v zásadě nemá fyzikální význam.
Pro větší názornost, obrázek 10.1 ukazuje složené grafy Fourierových řad liché funkce f(x) =
x − 1 pro x ∈ ⟨−1, 0), f(x) = x + 1 pro x ∈ ⟨0, 1) (horní graf), sudé funkce f(x) = 0 pro x ∈
⟨−1, −1
2)∪⟨1
2, 1), f(x) = 1 pro x ∈ ⟨−1
2, 1
2) (prostřední graf) a obecné funkce f(x) = ex (spodní
graf), kdy u všech funkcí je základní interval x ∈ ⟨−1, 1), pro různá n, odlišená různými barvami.
Takto vyznačená n jsou tedy nejvyšší nmax, která tvoří horní mez sumace v rovnici (10.1),
namísto ideálního ∞. Jednotlivá n ovšem odpovídají pouze těm k v rovnici (10.1), pro které
jsou Fourierovy koeficienty ak a/nebo bk nenulové, tedy n = k v horním a spodním grafu na
obrázku 10.1, kdežto n = 2k −1 v prostředním grafu. Grafy názorně ilustrují, jak pro vyšší n se
Fourierovy řady více a více podobají původní funkci se zadanou periodicitou, kdy pro n ∼ 104
je už prakticky nelze odlišit.
1
Doporučená literatura k této kapitole: Děmidovič (2003), Kvasnica (2004), Arfken & Weber (2005).
131
Kapitola 10. Fourierovy řady 132
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
0
1
2
3
f(x) = ex
−2
−1
0
1
2
f(x) = x − 1 ∀ x ∈ ⟨ − 1, 0), f(x) = x ⟨ 1 ∀ x ∈ ⟨0, 1)
n = 10
n = 104
n = 1
n = 2
n = 3
n = 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
f(x)
f(x) = 0 ∀ x ∈ ⟨ − 1, − 1
2) ∪ ⟨1
2, 1), f(x) = 1 ∀ x ∈ ⟨ − 1
2, 1
2)
Obrázek 10.1: Grafy průběhu Fourierových řad funkcí f(x) = x−1 pro x ∈ ⟨−1, 0), f(x) = x+1 pro x ∈
⟨0, 1) (horní graf), f(x) = 0 pro x ∈ ⟨−1, −1
2 ) ∪ ⟨1
2 , 1), f(x) = 1 pro x ∈ ⟨−1
2 , 1
2 ) (prostřední graf) a
f(x) = ex
(spodní graf), kdy u všech funkcí je základní interval x ∈ ⟨−1, 1). Jednotlivé barvy (viz
legenda v horním grafu) vyznačují nejvyšší n, do něhož jsou jednotlivé řady počítány (vysvětlení indexu
n - viz popis v textu).
Fourierova transformace je zobecněním komplexních Fourierových řad. Nahradíme-li diskrétní
Fourierovy koeficienty ak, bk spojitou funkcí F(ξ) dξ, potom za předpokladu 1/T → ξ
(frekvence) přejde (záměnou sumy za integrál) diskrétní Fourierova řada do spojité podoby
F(ξ) =
ˆ ∞
−∞
f(x) e−2πiξx
dx, f(x) =
ˆ ∞
−∞
F(ξ) e2πiξx
dξ. (10.5)
Ve fyzice a v technických aplikacích se Fourierova transformace zapisuje častěji pomocí úhlové
frekvence ω = 2πξ. Fourierova transformace F(f) = f (kde f je tzv. Fourierův obraz funkce f,
tj. vzoru) a zpětná Fourierova transformace F−1(f) = f jsou potom (při jisté ztrátě symetrie)
definovány jako:
f(ω) =
ˆ ∞
−∞
f(x) e−iωx
dx, f(x) =
1
2π
ˆ ∞
−∞
f(ω) eiωx
dω. (10.6)
Kapitola 10. Fourierovy řady 133
Zavedeme dále pojem konvoluce dvou funkcí f(x), g(x) (viz obrázek 10.2), která je definována
jako:
(f ∗ g)(x) =
ˆ ∞
−∞
f(y) g(x − y) dy, (10.7)
kde ovšem x a y neznamenají dva různé souřadnicové směry, ale pouze dvě různé proměnné.
Fourierův obraz konvoluce funkcí f(x), g(x) potom bude:
(f ∗ g)(ω) =
ˆ ∞
−∞
(f ∗ g)(x) e−i ωx
dx =
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
f(y) g(x − y) e−i ωx
dx dy. (10.8)
Pomocí transformace
x − y = z
y = y
, jejíž Jakobián det
∂z
∂x
∂z
∂y
∂y
∂x
∂y
∂y
= det
1 −1
0 1
= 1, dostá-
váme
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
f(y) g(z) e−i ω(y+z)
dy dz =
ˆ ∞
−∞
f(y) e−i ωy
dy
ˆ ∞
−∞
g(z) e−i ωz
dz = f(ω) g(ω). (10.9)
Výsledný vztah můžeme tedy zapsat jednoduchým způsobem,
(f ∗ g) = f g, (10.10)
Fourierův obraz konvoluce dvou funkcí f(x), g(x) se rovná součinu jejich Fourierových obrazů.
Příklad konvoluce dvou funkcí f ∗ g, které jsou původně zadány například ve tvaru
f(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
3 e−x x ∈ ⟨0, ∞),
(10.11)
g(x) =



0 x ∈ (−∞, 0)
1 x ∈ ⟨0, 2⟩
0 x ∈ (2, ∞),
(10.12)
znázorňuje obrázek 10.2. Funkce f, g transformujeme podle rovnice (10.7) následujícím způso-
bem:
f(x) = 3 e−x
→ f(y) = 3 e−y
, (10.13)
g(x) → g (x − y) = g (z) , (10.14)
kde potom pro funkci g (z) (konvoluční jádro), platí g(z) = 1, pro z ∈ ⟨0, 2⟩ (a tedy y ∈ ⟨x, x−
2⟩) a g(z) = 0 pro z /∈ ⟨0, 2⟩ (a tedy y /∈ ⟨x, x − 2⟩), zároveň také platí dz = −dy. Protože
f(y) = 0 pro y < 0, dostáváme tak tři oblasti integrace rovnice (10.7):
x − 2 < 0 ∧ x < 0 (obrázek 10.2a), (10.15)
x − 2 < 0 ∧ x ≥ 0 (obrázek 10.2b), (10.16)
x − 2 ≥ 0 ∧ x > 0 (obrázek 10.2c). (10.17)
Integrace rovnice (10.7) bude mít pro tyto tři oblasti podobu:
(f ∗ g) (x) =



0 pro x ∈ (−∞, 0)
3
ˆ x
0
e−y
dy = 3 1 − e−x
pro x ∈ ⟨0, 2⟩,
3
ˆ x
x−2
e−y
dy = 3 e−x
e2
− 1 pro x ∈ (2, ∞).
(10.18)
Výsledkem konvoluce dvou funkcí f(x) a g(x) bude tedy funkce (f ∗ g) (x), jejíž hodnota se pro
každé x ∈ (−∞, ∞) bude rovnat velikosti zvýrazněné plochy na obrázku 10.2.
Kapitola 10. Fourierovy řady 134
f (y)
x, y
f , g
g(x − y)
xx − 2
f (y)
x, y
f , g
g(x − y)
f ∗g
xx − 2
f (y)
x, y
f , g
g(x − y)
xx − 2
f ∗g
Obrázek 10.2a Obrázek 10.2b Obrázek 10.2c
Obrázek 10.2: Schéma konvoluce f ∗ g funkcí f(x), g(x), původně popsaných rovnicemi (10.11) a (10.12).
V obrázku 10.2a platí, že v rovnicích (10.13), (10.14) je x ∈ (−∞, 0), v obrázku 10.2b je x ∈ ⟨0, 2⟩,
v obrázku 10.2c je x ∈ (2, ∞). Tvar výsledné funkce (f ∗ g) (x) je zakreslen modrou barvou, funkce je
popsána v rovnici (10.18), její hodnota se pro každé x bude rovnat velikosti zvýrazněné plochy.
10.1 Fourierovy řady
• Příklady:
Napište Fourierovu řadu pro následující periodické funkce s periodou T:
10.1 f(x) =
x2
π
, x ∈ ⟨−π, π), T = 2π
π
3
+
4
π
∞
k=1
(−1)k
k2
cos(kx)
10.2 f(x) =
x2
π
, x ∈ ⟨0, 2π), T = 2π
4π
3
+ 4
∞
k=1
1
k2π
cos(kx) −
1
k
sin(kx)
10.3 f(x) = |x|, x ∈ ⟨−π, π), T = 2π
π
2
+
2
π
∞
k=1
(−1)k − 1
k2
cos(kx)
10.4 f(x) = x|x|, x ∈ ⟨−L, L), T = 2L
2L2
π3
∞
k=1
(2 − π2k2)(−1)k − 2
k3
sin
kπ
L
x
10.5 f(x) =
|x3|
x
, x ∈ ⟨−1, 1), T = 2
2
π3
∞
k=1
(2 − π2k2)(−1)k − 2
k3
sin (kπx)
10.6 f(x) =
0 x ∈ ⟨0, 1)
x − 1 x ∈ ⟨1, 2)
, T = 2
1
4
+
∞
k=1
1 − (−1)k
k2π2
cos(kπx) −
1
kπ
sin(kπx)
10.7 f(x) = eax, x ∈ ⟨−π, π), konstanta a ̸= 0, T = 2π
2
π
sinh(aπ)
1
2a
+
∞
k=1
(−1)k
a2 + k2
[a cos(kx) − k sin(kx)]
10.8 f(x) = (x − 1)(x − 3), x ∈ ⟨1, 3), T = 2 −
2
3
+
4
π2
∞
k=1
(−1)k
k2
cos(kπx)
10.9 f(x) =
x
2L
, x ∈ ⟨0, 2L), T = 2L
1
2
−
1
π
∞
k=1
1
k
sin
kπ
L
x
Kapitola 10. Fourierovy řady 135
10.10 f(x) = x4, x ∈ ⟨−1, 1), T = 2
1
5
+
8
π4
∞
k=1
(−1)k k2π2 − 6
k4
cos (kπx)
10.11 f(x) = sgn sin
πx
L
, x ∈ ⟨0, 2L), T = 2L
4
π
∞
k=0
1
2k + 1
sin
(2k + 1)π
L
x
10.12 f(x) =
−x x ∈ ⟨−1, 0)
x x ∈ ⟨0, 1)
, T = 2
1
2
−
4
π2
∞
k=0
1
(2k + 1)2
cos [(2k + 1)πx]
10.13 f(x) =



1 x ∈ 0,
π
2
−1 x ∈ −
π
2
, 0 ,
0 |x| ∈
π
2
, π
T = 2π
2
π
∞
k=1
1
4k − 2
1 − cos (4k − 2)
π
2
sin [(4k − 2)x]
10.14 f(x) =



0 x ∈ −1, −
1
2
cos 3 πx x ∈ −
1
2
,
1
2
,
0 x ∈
1
2
, 1
T = 2
−
1
3π
+
6 cos(2πx)
5π
+
cos(3πx)
2
+
6
π
∞
k=4
1
k2 − 9
cos
kπ
2
cos(kπx), kde k = 2k − 4
10.15 f(x) =



1 x ∈ ⟨−1, 0)
1
2
x = 0
x x ∈ (0, 1)
, T = 2
3
4
+
∞
k=1
(−1)k − 1
k2π2
cos(kπx) −
1
kπ
sin(kπx)
10.16 f(x) =



4
π
x x ∈ 0,
π
2
−
4
π
x x ∈ −
π
2
, 0
, T = π 1 −
8
π2
∞
k=1
cos [2 (2k − 1) x]
(2k − 1)2
10.17 f(x) =
x (1 − x) x ∈ ⟨0, 1)
0 x ∈ ⟨−1, 0)
, T = 2
1
12
−
1
π2
∞
k=1
1
k2
1 + (−1)k cos(kπx) −
2
k3π
1 − (−1)k sin(kπx)
10.18 f(x) = |sin x|, x ∈ ⟨−π, π), T = 2π
2
π
−
4
π
∞
k=1
1
(4k2 − 1)
cos(2kx)
10.19 f(x) = |cos x|, x ∈ ⟨−π, π), T = 2π
2
π
−
4
π
∞
k=1
(−1)k
(4k2 − 1)
cos(2kx)
Kapitola 10. Fourierovy řady 136
10.20 f(x) = sin x cos x, x ∈ ⟨−1, 1) π sin(2)
∞
k=1
k(−1)k
4 − k2π2
sin(kπx)
10.21 f(x) = |x| + a, x ∈ ⟨−L, L), kde a je konstanta.
a +
L
2
−
4L
π2
∞
k=1
1
(2k − 1)2
cos
(2k − 1)π
L
x
10.22 f(x) =
x − a x ∈ ⟨−L, 0)
x + a x ∈ ⟨0, L)
, kde a je konstanta.
2
π
∞
k=1
a − (a + L)(−1)k
k
sin
kπ
L
x
10.23 (a) f(x) = x, x ∈ ⟨2, 3)
5
2
−
1
π
∞
k=1
1
k
sin (2kπx)
(b) f(x) =



x, x ∈ ⟨−3, −2)
0, x ∈ ⟨−2, 2)
x, x ∈ ⟨2, 3)
−
6
π
∞
k=1
(−1)k
k
−
2
3k
cos
2kπ
3
+
1
k2π
sin
2kπ
3
sin
kπ
3
x
10.2 Fourierova analýza ⋆
• Příklady: ⋆
Určete konvoluci funkcí (f ∗ g)(x):
10.24 f(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
2 x ∈ ⟨0, ∞)
g(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
1 x ∈ ⟨0, ∞)
f ∗ g =
0 x ∈ (−∞, 0)
2x x ∈ ⟨0, ∞)
10.25 f(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
e−2x x ∈ ⟨0, ∞)
g(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
e−x x ∈ ⟨0, ∞)
f ∗ g =
0 x ∈ (−∞, 0)
e−x (1 − e−x) x ∈ ⟨0, ∞)
10.26 f(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
e−x x ∈ ⟨0, ∞)
g(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
sin x x ∈ ⟨0, ∞)
f∗g =



0 x ∈ (−∞, 0)
1
2
(e−x + sin x − cos x) x ∈ ⟨0, ∞)
⋆ jsou označeny odstavce a příklady, určené primárně studentům vyšších ročníků bakalářského studia
Kapitola 10. Fourierovy řady 137
10.27 f(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
sin x x ∈ ⟨0, ∞)
g(x) = 1
f ∗ g =
0 x ∈ (−∞, 0)
1 − cos x x ∈ ⟨0, ∞)
10.28 f(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
sin x x ∈ ⟨0, ∞)
g(x) =



0 x ∈ (−∞, 0)
1 x ∈ 0,
π
2
0 x ∈
π
2
, ∞
f ∗ g =



0 x ∈ (−∞, 0)
1 − cos x x ∈ 0,
π
2
sin x − cos x x ∈
π
2
, ∞
10.29 f(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
sin x x ∈ ⟨0, ∞)
g(x) = sin(ax), a > 0
f∗g =



0 x ∈ (−∞, 0)
1
a2 − 1
[a sin x − sin(ax)] x ∈ ⟨0, ∞)
10.30 f(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)
sin x x ∈ ⟨0, ∞)
g(x) =



0 x ∈ (−∞, 0)
1 −
2
π
x x ∈ 0,
π
2
0 x ∈
π
2
, ∞
f∗g =



0 x ∈ (−∞, 0)
1 −
2
π
x +
2
π
sin x − cos x x ∈ 0,
π
2
2
π
(sin x + cos x) − cos x x ∈
π
2
, ∞
10.31 Určete Fourierův obraz funkce:
(a) f(x) = 1 pro x ∈ −
1
2
,
1
2
, f(x) = 0 pro x /∈ −
1
2
,
1
2
,
(b) f(x) = e−bx pro x ∈ ⟨0, ∞), f(x) = 0 pro x ∈ (−∞, 0), b > 0 = konst.,
(c) f(x) = e−b|x| pro x ∈ (−∞, ∞),
(d) f(x) = e−bx2
pro x ∈ (−∞, ∞),
(e) f(x) = 1 + x pro x ∈ ⟨−1, 0), f(x) = 1 − x pro x ∈ ⟨0, 1), f(x) = 0 pro |x| > 1,
(f) f(x) = x2 pro x ∈ ⟨−1, 1⟩, f(x) = 0 pro |x| > 1.
(a) f(ω) =
2
ω
sin
ω
2
(b) f(ω) =
1
b + iω
(c) f(ω) =
2b
b2 + ω2
(d) f(ω) =
π
b
e−ω2
4b
(e) f(ω) =
2
ω2
(1 − cos ω)
Kapitola 10. Fourierovy řady 138
(f) f(ω) =
2
ω3
(ω2 − 2) sin ω + 2ω cos ω
10.32 Určete Fourierův obraz funkce:
(a) f(x) = sin x pro x ∈ ⟨0, 2π⟩, f(x) = 0 pro x /∈ ⟨0, 2π⟩, f(ω) =
iω 1 − e−2πiω
1 − ω2
(b) f(x) = cos x pro x ∈ ⟨0, 2π⟩, f(x) = 0 pro x /∈ ⟨0, 2π⟩, f(ω) = −
1 − e−2πiω
ω2 − 1
(c) f(x) = sin x cos x pro x ∈ ⟨0, 2π⟩, f(x) = 0 pro x /∈ ⟨0, 2π⟩, f(ω) = −
1 − e−2πiω
ω2 − 4
(d) f(x) = sin2
x cos2 x pro x ∈ ⟨0, 2π⟩, f(x) = 0 pro x /∈ ⟨0, 2π⟩, f(ω) = −
2i 1 − e−2πiω
ω (ω2 − 16)
(e) f(x) = ABx pro x ∈ ⟨0, 1⟩, f(x) = 0 pro x /∈ ⟨0, 1⟩. f(ω) =
1 − e−iωAB
iω − B ln A
10.33 Na příkladech 10.24, 10.25, 10.26 a 10.27 ověřte platnost rovnice (10.10):
(a) (10.24): f(ω) = −
2i
ω
, g(ω) = −
i
ω
, (f ∗ g)(ω) = −
2
ω2
(b) (10.25): f(ω) =
1
2 + iω
, g(ω) =
1
1 + iω
, (f ∗ g)(ω) =
1
2 − ω2 + 3iω
(c) (10.26): f(ω) =
1
1 + iω
, g(ω) =
1
1 − ω2
, (f ∗ g)(ω) =
1
(1 + iω)(1 − ω2)
(d) (10.27): f(ω) =
1
1 − ω2
, g(ω) =
1
iω
, (f ∗ g)(ω) =
1
iω(1 − ω2)
Kapitola 11
Úvod do komplexní analýzy1
11.1 Komplexní čísla
Algebraický zápis komplexního čísla (komplexní proměnné) z ∈ C má tvar
z = x + iy, (11.1)
kde x = Re z je reálná část komplexního čísla a y = Im z je imaginární část komplexního čísla.
Tzv. imaginární jednotka i je definována jako
i ≡
√
−1, (11.2)
pro libovolné k ∈ Z tedy platí následující periodicky se opakující identity,
i4k
= 1, i4k+1
= i, i4k+2
= −1, i4k+3
= −i. (11.3)
Číslo z∗ (značí se také ¯z) nazýváme číslem komplexně sdruženým k číslu z, kdy z∗ = x − iy.
Pro součet, součin a podíl dvou komplexních čísel z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, platí následující
(snadno odvoditelná) pravidla
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2), (11.4)
z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1), (11.5)
z1
z2
=
z1
z2
z∗
2
z∗
2
=
x1x2 + y1y2
x2
2 + y2
2
+ i
x2y1 − x1y2
x2
2 + y2
2
, (11.6)
kde vždy první závorka vyjadřuje reálnou část a druhá závorka vyjadřuje imaginární část výsledného
komplexního čísla. Ostatní operace (převrácená hodnota, mocniny, atd.) můžeme odvodit
analogickým způsobem.
Zápis komplexního čísla lze provést v goniometrickém, případně exponenciálním tvaru,
z = r(cos φ + i sin φ) = r eiφ
, (11.7)
kde r = |z| = x2 + y2 je absolutní hodnota komplexního čísla (norma, modul) a orientovaný
úhel φ = arccos(x/r) = arcsin(y/r) = arctg (y/x) je argument (fáze) komplexního čísla.
(jmenovatel rovnice (11.6) demonstruje důležitý vztah zz∗ = |z|2). Exponenciální, respektive
1
Doporučená literatura k této kapitole: Jefgafrov et al. (1976), Kvasnica (2004), Arfken & Weber (2005).
139
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 140
goniometrický tvar komplexního čísla umožňuje také snadné násobení, dělení a zejména umocňování
a odmocňování (viz Eulerova identita v příkladu 9.7). Napíšeme-li dvě různá komplexní
čísla jako z1 = r1 eiφ1 , z2 = r2 eiφ2 , budou jejich součin a podíl
z1z2 = r1r2 ei(φ1+φ2)
= r1r2 [cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)] , (11.8)
z1
z2
=
r1
r2
ei(φ1−φ2)
=
r1
r2
[cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2)] . (11.9)
Uvedená pravidla lze snadno zobecnit i na libovolný počet komplexních čísel. Pro libovolnou
racionální mocninu komplexního čísla zm/n, kde m ∈ Z, n ∈ N, n ̸= 0, tedy také platí (tzv. zobecněný
Moivreův vzorec)
(x + iy)m/n
= rm/n
ei(mφ+2kπ)/n
= (11.10)
= rm/n
cos
mφ + 2kπ
n
+ i sin
mφ + 2kπ
n
, (11.11)
kde k = 0, 1, . . . , n − 1.
• Příklady:
11.1 Zadaná komplexní čísla napište vždy v ostatních tvarech (algebraickém, goniometrickém
nebo exponenciálním):
(a) 5
√
3 + 5i 10 cos
π
6
+ i sin
π
6
10 e
πi
6
(b) 3
√
2 + 3
√
2i 6 cos
π
4
+ i sin
π
4
6 e
πi
4
(c) −12 1 −
i
√
3
8
√
3 cos
5π
6
+ i sin
5π
6
8
√
3 e
5πi
6
(d) −6 +
6 i
√
3
12
√
3
cos
5π
6
+ i sin
5π
6
12
√
3
e
5πi
6
(e) −2 1 +
√
3i 4 cos
4π
3
+ i sin
4π
3
4 e
4πi
3
(f) 3 cos
5π
4
+ i sin
5π
4
−
3
√
2
(1 + i) 3 e
5πi
4
(g) 12 cos
π
6
− i sin
π
6
6
√
3 − 6i 12 e−πi
6
(h) −2 cos
π
6
+ i sin
π
6
−
√
3 + i 2 e
7πi
6
(i) 3 cos
π
3
+ i cos
5π
6
3
2
1 −
√
3i 2 e
5πi
3
(j) 27/10 sin
3π
20
+ i cos
3π
20
(1 + i)7/5 27/10 e
7πi
20
(k) 3 e−2πi
3 −
3
2
1 +
√
3i 3 cos
4π
3
+ i sin
4π
3
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 141
(l)
√
2 e
7πi
12 (1 + i)7/3
√
2 cos
π
4
+ i sin
π
4
7/3
11.2 Napište součet, součin a podíl následujících komplexních čísel:
(a) z1 = 2 + 3i, z2 = 7 − i z1 + z2 = 9 + 2i z1z2 = 17 + 19i
z1
z2
=
11 + 23i
50
(b) z1 = 12 + i, z2 = 6 − 3i z1 + z2 = 18 − 2i z1z2 = 75 − 30i
z1
z2
=
23 + 14i
15
(c) z1 = 7 + 3i, z2 = 3 − 3i z1 + z2 = 10 z1z2 = 30 − 12i
z1
z2
=
2 + 5i
3
(d) z1 = 2 + 12i, z2 = 5 − i z1 + z2 = 7 + 11i z1z2 = 22 + 58i
z1
z2
=
−1 + 31i
13
(e) z1 = 1 − i, z∗
2 = 11 + 5i z1 + z2 = 12 − 6i z1z2 = 6 − 16i
z1
z2
=
8 − 3i
73
(f) z1 = 2 cos
π
3
+ i sin
π
3
, z2 = 3 cos
2π
3
+ i sin
2π
3
z1 + z2 =
−1 + 5
√
3i
2
z1z2 = −6
z1
z2
=
1 −
√
3i
3
(g) z1 = 3 cos
π
6
− i sin
π
6
, z2 = 2 cos
5π
3
− i sin
5π
3
z1 + z2 =
3
√
3
2
+ 1 +
√
3 −
3
2
i z1z2 = 3(
√
3 + i)
z1
z2
=
√
3 − (2 + 3
√
3)i
8
11.3 Napište následující mocniny (odmocniny) komplexních čísel:
(a) (1 + i)7 8(1 − i)
(b) (−
√
3 + i)8 128(−1 +
√
3i)
(c) 3
√
1 1, −
1
2
(1 ±
√
3i)
(d) 6
√
729 ±3, ±
3
2
(1 ±
√
3i)
(e)
√
−2 + 2i
4
√
8 cos
3π
8
+kπ +i sin
3π
8
+kπ , k = 0, 1
(f) 5
1 +
√
3i
5
√
2 cos
π
15
+
2
5
kπ +i sin
π
15
+
2
5
kπ , k = 0, 1, 2, 3, 4
(g) 3
5 −
15 i
√
3
3
√
10 cos
5π
9
+
2
3
kπ +i sin
5π
9
+
2
3
kπ , k = 0, 1, 2
(h) 3
−5 +
5 i
√
3
6 100
3
cos
5π
18
+
2
3
kπ +i sin
5π
18
+
2
3
kπ , k = 0, 1, 2
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 142
(i) −6 +
6 i
√
3
12
√
3
1/2
cos
5π
12
+kπ +i sin
5π
12
+kπ , k = 0, 1
11.2 Funkce komplexní proměnné
Předpokládejme funkci jedné komplexní proměnné f(z) = u(x, y) + iv(x, y) definovanou na
oblasti G : x1 ≤ x ≤ x2, y1 ≤ y ≤ y2, případně v polárních souřadnicích f(z) = u(r, φ) +
iv(r, φ), kdy G : r1 ≤ r ≤ r2, φ1 ≤ φ ≤ φ2. Derivaci funkce jedné komplexní proměnné f′(z)
definujeme potom na této oblasti jako limitu
f′
(z) =
df(z)
dz
= lim
∆z→0
f(z + ∆z) − f(z)
∆z
= lim
∆x→0
∆y→0
u(x + ∆x, y + ∆y) + iv(x + ∆x, y + ∆y) − u(x, y) − iv(x, y)
∆x + i∆y
. (11.12)
Rozvineme-li tento výraz zvlášť pro obě proměnné x, y (předpokládáme, že funkce f(z) je
diferencovatelná ve směrech obou os, reálné i imaginární, kde zvlášť položíme ∆y = 0 a ∆x = 0)
způsobem popsaným v rovnicích (1.1) a (5.4), dostáváme
df
dz
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
,
df
dz
= −i
∂u
∂y
+
∂v
∂y
. (11.13)
Porovnáním reálných a imaginárních částí obou rovnic dostáváme tzv. Cauchyho-Riemannovy
podmínky existence derivace komplexní funkce f(z),
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
. (11.14)
Funkce f(z) komplexní proměnné definovaná na oblasti G má tedy derivaci v bodě z = x + iy,
pokud pro reálně diferencovatelné funkce u(x, y) a v(x, y) platí podmínka (11.14). Takovou
funkci potom nazýváme regulární v bodě z. Funkci f(z) která má všude na oblasti G derivaci,
nazýváme analytickou neboli holomorfní na oblasti G. Body oblasti G, v nichž jednoznačná
funkce f(z) (tj. taková, kdy pro každé z ∈ Df bude množina f(z) jednoprvková) není regulární,
nazýváme singulárními body nebo singularitami funkce f(z). Provedeme-li také druhé derivace
rovnic (11.14), dostaneme pro obě funkce u, v tzv. Laplaceovu rovnici (viz rovnice (5.21) pro
dvě proměnné) ∆u = ∆v = 0.
Pomocí rovnic (11.13) a (11.14) lze odvodit tzv. Cauchyův teorém (důkaz a další podrobnosti
viz např. Kvasnica (2004)) pro libovolnou po částech hladkou uzavřenou křivku C a holomorfní
funkci f(z) na oblasti G,
˛
C
f(z) dz = 0 (11.15)
a také tzv. Cauchyovu formuli, opět pro libovolnou po částech hladkou uzavřenou křivku C a
holomorfní funkci f(z) uvnitř této křivky a na této křivce, kde ζ je libovolný bod uvnitř této
křivky,
f(ζ) =
1
2πi
˛
C
f(z) dz
z − ζ
. (11.16)
Cauchyova formule vyjadřuje tedy hodnotu funkce f(z) (holomorfní uvnitř i na uzavřené křivce
C) v libovolném bodě ζ uvnitř křivky C pomocí integrálu závislého pouze na hodnotách f(z)
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 143
v bodech ležících na křivce C. Lze prokázat, že derivace libovolného řádu funkce f(z) holomorfní
v oblasti G jsou také holomorfními funkcemi v této oblasti. Platí tedy, že má-li funkce komplexní
proměnné první derivaci ve všech bodech oblasti G, pak má tato funkce také všechny derivace
libovolného řádu ve všech bodech této oblasti - tato vlastnost nemá obdobu v případě funkcí
reálné proměnné (Kvasnica, 2004).
Funkce f(z) má v bodě z = ζ tzv. izolovanou singularitu (izolovaný pól), pokud platí že
funkce f(z) není holomorfní v bodě ζ a zároveň všude v „komplexním“ okolí bodu ζ (tj. ve všech
bodech komplexní roviny které „obklopují“ bod ζ) holomorfní je. Izolovaný pól je m-tého řádu
právě tehdy, pokud funkci f(z) v okolí bodu z = ζ můžeme vyjádřit ve tvaru
f(z) =
a−m
(z − ζ)m
+ . . . +
a−1
z − ζ
+ g(z), (11.17)
kde a−m, . . . , a−1 jsou koeficienty a g(z) je jednoznačná holomorfní funkce v okolí bodu z = ζ
i v bodě ζ. Koeficient a−1 ≡ Res je tzv. reziduum funkce f(z) v bodě z = ζ. Funkce f(z) může
mít různé izolované póly v bodech ζ1, ζ2, . . . , ζp, v tom případě můžeme funkci f(z) napsat
ve tvaru
f(z) = g(z) +
Res1
z − ζ1
+
Res2
z − ζ2
+ . . . +
Resp
z − ζp
+ . . . , (11.18)
kde Resi je reziduum funkce f(z) v bodě ζi a g(z) je jednoznačná holomorfní funkce uvnitř
uzavřené křivky C a na ní.
Z těchto vztahů vyplývá důležitá tzv. reziduová věta: máme-li uzavřenou křivku C v oblasti,
kde f(z) je jednoznačnou holomorfní funkcí s výjimkou izolovaných pólů této funkce, potom
integrál z funkce f(z) po takové křivce je roven
˛
C
f(z) dz = 2πi
i
Resi, (11.19)
hodnota integrálu je tedy zcela určena koeficienty u izolovaného pólu prvního řádu funkce f(z).
Výpočet rezidua pro izolovaný pól m-tého řádu v bodě z = ζ je dán vztahem
Res =
1
(m − 1)!
lim
z→ζ
dm−1
dzm−1
[(z − ζ)m
f(z)] . (11.20)
V případě že funkce f(z) je podílem dvou komplexních polynomů, f(z) = P(z)/Q(z), kdy P(z)
je všude uvnitř křivky C i na této křivce holomorfní funkcí a Q(z) má v bodě z = ζ jednoduchý
kořen, přejde vztah (11.20) do podstatně jednodušší podoby
Res =
P(ζ)
Q′(ζ)
. (11.21)
• Elementární použití reziduové věty si můžeme ukázat na jednoduchém příkladu,
˛
C
f(z) dz =
˛
C
sin z
z4
dz, (11.22)
kde C značí uzavřenou křivku, obsahující všechny singularity dané funkce f(z). Daná
funkce má ovšem jedinou singularitu v nulovém bodě komplexní roviny, o jejímž řádu (viz
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 144
rovnice (11.17)) se přesvědčíme rozvojem funkce f(z) do tzv. Laurentovy řady (rozšíření
Taylorova rozvoje pro komplexní čísla), jejíž obecný předpis má tvar
∞
n=−∞
an (z − z0)n
=
= . . . +
a−2
(z − z0)2 +
a−1
(z − z0)
+ a0 + a1 (z − z0) + a2 (z − z0)2
+ . . . , (11.23)
kde an, z0 ∈ C (oba koeficienty mohou tedy být i nulové!). Část Laurentovy řady, kde
n ≥ 0, odpovídá holomorfní (analytické) funkci g(z) v rovnici (11.17). Laurentův rozvoj
funkce f(z) bude
1
z4
0 + z + 0 −
z3
3!
+ 0 +
z5
5!
− . . . =
0
z4
+
1
z3
+
0
z2
−
1
6z
+ 0 +
z
120
− . . . , (11.24)
singularita dané funkce je tedy 4. řádu. Z uvedeného rozvoje lze rovnou vyčíst reziduum
funkce f(z) v bodě nula, dané koeficientem a−1 = −1/6.
Stejného výsledku bychom docílili pomocí vzorce (11.20), tedy
Res =
1
6
lim
z→0
d3
(sin z)
dz3
= −
1
6
, (11.25)
z rovnice (11.19) pak dostáváme
˛
C
sin z
z4
dz = −
πi
3
. (11.26)
• Jako další příklad aplikace reziduové věty lze uvést např. následující jednoduchý integrál
reálné funkce f(x), která nemá žádné singularity (izolované póly) na reálné ose:
ˆ ∞
−∞
dx
(1 + x2)3
−→
˛
C+
dz
(1 + z2)3
kde ζ1, ζ2 = ± i. (11.27)
Budeme-li integrovat podél uzavřené křivky C+ obsahující část reálné osy a např. kladný
izolovaný pól (v tomto případě díky jeho třetí mocnině jde o pól třetího řádu), bude podle
vztahu (11.20) jeho reziduum
Res =
1
2
lim
z→ i
d2
dz2
z − i
(z − i)(z + i)
3
=
1
2
lim
z→ i
12
(z + i)5
= −
3i
16
(11.28)
a dosazením do rovnice (11.19) dostáváme
ˆ ∞
−∞
dx
(1 + x2)3
=
3π
8
. (11.29)
⋆ Příklad výpočtu integrálu holomorfní (analytické) funkce komplexní proměnné
˛
C
z2 dz
ez − 1
= 0 (11.30)
po uzavřené, po částech hladké křivce C (tzv. Jordanova křivka), bez použití reziduové
věty (viz Cauchyův teorém, rovnice (11.15)), uvnitř uzavřené křivky se tedy nenacházejí
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 145
žádné singularity. Je zřejmé, že daná funkce bude mít singularity v bodech (x, y), kde
ez = ex+iy = 1, což splňují všechny body (0, 2kπ), kde k ∈ Z (viz Eulerova identita
v příkladu 9.7). Pro řešení tohoto integrálu uvažujme obdélník s vrcholy (zapsanými ve
tvaru komplexních čísel v algebraickém tvaru) 0, R, R + 2πi a 2πi. Protože v prvním
a posledním z těchto vrcholů se nacházejí singularity zadané funkce, musíme se těmto
bodům vyhnout pomocí „malých“ čtvrtkružnic s poloměrem ϵ (viz obrázek 11.1). Tento
poloměr ϵ můžeme považovat za absolutní hodnotu prvků komplexní funkce (čísel) na
těchto kružnicích (vzhledem ke středům těchto kružnic).
Komplexní funkce může být tedy v tomto případě zapsána jako z = x + iy na přímých
částech (úsečkách) a z = ϵ eiϕ + x0 + iy0 na čtvrtkružnicích (kde x0 + iy0 jsou středy
příslušných čtvrtkružnic), a tedy dz = dx + i dy, dz = iϵ eiϕ dϕ, můžeme tak celou rovnici
(11.30) pro uzavřenou křivku rozepsat jako
ˆ R
ϵ
x2
ex − 1
dx +
ˆ 2π
0
(R + iy)2
eR+iy − 1
i dy +
ˆ ϵ
R
(x + 2πi)2
ex+2πi − 1
dx+ (11.31)
+
ˆ −π/2
0
(ϵ eiϕ + 2πi)2
eϵ eiϕ+2πi − 1
iϵ eiϕ
dϕ +
ˆ ϵ
2π−ϵ
(iy)2
eiy − 1
i dy +
ˆ 0
π/2
(ϵ eiϕ)2
eϵ eiϕ
− 1
iϵ eiϕ
dϕ = 0.
Dále přejdeme v mezích R a ϵ k limitním hodnotám R → +∞ a ϵ → 0+, druhý a
poslední integrál v rovnici (11.31) tak budou rovny nule a čtvrtý integrál bude roven 2iπ3.
Dostáváme tak
ˆ ∞
0
x2
ex − 1
dx −
ˆ ∞
0
x2 + 4πix − 4π2
ex − 1
dx + 2iπ3
+
ˆ 2π
0
y2
eiy − 1
i dy = 0. (11.32)
Poslední integrál v rovnici (11.32) rozdělíme na reálnou a imaginární část pomocí jeho
převedení na goniometrický tvar a rozšíření výrazem, komplexně sdruženým k jeho jme-
novateli,
ˆ 2π
0
y2
eiy − 1
i dy =
1
2
ˆ 2π
0
y2 sin y
1 − cos y
dy −
i
2
ˆ 2π
0
y2
dy. (11.33)
Protože se vzájemně zruší i první integrál v rovnici (11.32) s prvním členem ve druhém
integrálu, můžeme rovnici (11.32) po dosazení rovnice (11.33) přepsat do tvaru
4π2
ˆ ∞
0
dx
ex − 1
+
1
2
ˆ 2π
0
y2 sin y
1 − cos y
dy+
+ i 2π3
− 4π
ˆ ∞
0
x
ex − 1
dx −
1
2
ˆ 2π
0
y2
dy = 0. (11.34)
Aby byla splněna rovnice (11.30), musí se rovnat nule jak její reálná, tak imaginární
část. Z této podmínky pro imaginární část rovnice (11.34) tak můžeme například snadno
vyjádřit hodnotu integrálu
ˆ ∞
0
x
ex − 1
dx =
π2
6
. (11.35)
Analogickým způsobem bychom například pomocí takto provedeného integrálu funkce
komplexní proměnné
˛
C
z4 dz
ez − 1
= 0, (11.36)
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 146
R0
2πi R + 2πi
x
y
Obrázek 11.1: Schéma průběhu křivky C pro řešení rovnice (11.30). První dvě singularity (k = 0, k = 1)
jsou vyznačené červenými body.
s využitím řešení integrálu v rovnici (11.35), získali hodnotu integrálu
ˆ ∞
0
x3
ex − 1
dx =
π4
15
. (11.37)
Integrály tohoto typu mají zvláštní význam v termodynamice a statistické fyzice, například
při řešení Planckovy funkce, výpočtech termodynamických potenciálů, atd.
Problematika funkce komplexní proměnné je samozřejmě oblastí nesmírně rozsáhlou, zde se
jedná pouze o její zcela elementární a maximálně stručný „nástin“. Pro další studium doporučuji
uvedenou literaturu a příslušné kurzy s tímto tématem související.
• Příklady:
11.4 Ověřte, jestli mohou být následující komplexní funkce f(z) = f(x+iy) holomorfní na otevřených
podmnožinách komplexní roviny:
(a) 3y − 3xi ano
(b) 3x2 + 3y + 6xyi ne
(c) z2 + ln z + 1 ano
(d) z3 + 5z − sin z ano
(e) |z2 + y| ne
(f)
z − 1
z + 1
ano
(g)
√
z + 1 + i ano
(h) exp − iz2 ano
(i) exp
(z + 1)2
i
ano
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 147
(j) ln
z + 1
i
ano
11.5 Nalezněte holomorfní funkce komplexní proměnné f(z), pokud je zadaná pouze Re f(z) =
u(x, y) nebo pouze Im f(z) = v(x, y):
(a) u = x e3y holomorfní funkce f(z) neexistuje
(b) u = x2 + 3x − y2 + 5y f(z) = z2 + 3z − 5iz + C
(c) u = ex(cos y + 2 sin y) f(z) = (1 − 2i) ez + C
(d) u = sin(2x) cosh(2y) f(z) = sin 2z + C
(e) u = x2 − y2 + sin(x) cosh(y) f(z) = z2 + sin z + C
(f) u = x3 − 3xy2 + ln |z| f(z) = z3 + ln z + C, z ̸= 0
(g) u = x −
x
x2 + y2 f(z) = z −
1
z
+ C, z ̸= 0
(h) v = y − sin(x) sinh(y) f(z) = z + cos z + C
(i) v = x + sinh(x) sin(y) f(z) = iz + cos(iz) + C
11.6 Pomocí reziduové věty vypočítejte následující integrály (kde C značí uzavřenou křivku
obsahující všechny singularity dané funkce f(z), C+ značí uzavřenou křivku obsahující
pouze jednu libovolnou singularitu dané funkce):
(a)
˛
C
z
z2 − 1
dz 2πi
(b)
˛
C+
z
z2 − 1
dz πi
(c)
˛
C
sin z
z2 + 5
dz 2πi
sinh
√
5
√
5
(d)
˛
C
ez
z2 + 1
dz 2πi sin(1)
(e)
ˆ ∞
−∞
dx
x2 + 1
π
(f)
ˆ ∞
−∞
sin x
x2 + 2x + 2
dx −
π
e
sin(1)
(g)
ˆ ∞
−∞
cos x
6x2 + 6x + 3
dx
π
3
√
e
cos
1
2
(h)
ˆ ∞
−∞
dx
x2 + 3x + 3
(viz příklad 1.69)
2π
√
3
Kapitola 11. Úvod do komplexní analýzy 148
(i)
ˆ ∞
−∞
4 dx
(x2 + 4)4
5π
512
11.7 ⋆ Pomocí reziduové věty nebo integrací po uzavřené křivce vypočítejte následující komplexní
nebo reálné integrály (C je jednotková kružnice se středem v bodě (0, 0) komplexní
roviny, orientovaná v matematicky kladném směru, C+ je jednotková půlkružnice v kladné
polorovině komplexní roviny, kde φ ∈ ⟨0, π⟩, rovněž se středem v bodě (0, 0) komplexní
roviny, orientovaná v matematicky kladném směru):
(a)
˛
C
z2
dz 0
(b)
˛
C
1
z
dz 2πi
(c)
˛
C
1
z5
dz 0
(d)
˛
C+
1
|z|
dz −2
(e)
˛
C+
z
z∗
dz −
2
3
(f)
˛
C
dz
2z2 − 7iz − 3
−
2π
5
(g)
ˆ 2π
0
dθ
a + cos θ
, a > 1 je konstanta
2π
√
a2 − 1
(h)
ˆ ∞
−∞
x2
x4 + 1
dx
π
√
2
(i)
ˆ ∞
−∞
cos (ax)
x2 + 1
dx, a ∈ R je konstanta π e−|a|
(j)
ˆ ∞
−∞
sin x
x
dx π
(k)
ˆ ∞
0
x2 cos x
(x2 + 9)2
dx −
π
6
e−3
Kapitola 12
Kombinatorika, počet
pravděpodobnosti a základy statistiky1
12.1 Kombinatorika
Kombinatorika je jednou z nejstarších matematických disciplín, která se zabývá vnitřní strukturou
tzv. konfigurací diskrétních prvků (například čísel nebo jiných objektů), jejich existencí,
hledáním počtu různých typů těchto prvků v závislosti na daných podmínkách, atd. Typickými
příklady takových konfigurací jsou kombinace, permutace a variace. Kombinatorické principy
tvoří matematický základ definice tzv. statistických rozdělení, používaných k popisu chování
fyzikálních systémů například v kvantové mechanice, statistické fyzice, atd.
• Kombinace bez opakování:
Počet k-členných kombinací (kombinací k-té třídy) bez opakování z n prvků (k, n ∈ N ∪ 0),
tj. každý prvek se v dané kombinaci může vyskytovat pouze jednou, je dán vztahem
C(k, n) =
n!
k! (n − k)!
=
n
k
, (12.1)
kdy poslední výraz v závorce, tzv. kombinační číslo, čteme „n nad k“. Kombinační číslo je také
určujícím faktorem v tzv. binomické větě,
(x + y)n
=
n
k=0
n
k
xn−k
yk
, (12.2)
pomocí níž lze n-tou mocninu dvojčlenu x + y rozložit na součet n + 1 členů.
Kombinace bez opakování je matematickým základem tzv. Fermiho-Diracovy statistiky, popisující
systémy složené z tzv. fermionů, tedy ze vzájemně nerozlišitelných kvantových částic
s antisymetrickou vlnovou funkcí a poločíselným spinem (například protonů, neutronů, elektronů,
neutrin, atd.). Typickým jednoduchým příkladem může být počet různých dvojic, které
lze vytvořit z celkového počtu 30 lidí, kde podmínka „bez opakování“ vyplývá z faktu, že každý
určitý jedinec se v každé dvojici může vyskytovat pouze jednou. Zároveň lze na kombinaci pohlížet
jako na variaci kdy tzv. nezáleží na pořadí prvků, tj. dvojice A-B je totožná s dvojicí
B-A. Výsledkem je číslo 435.
1
Doporučená literatura k této kapitole: Kvasnica (2004), Musilová & Musilová (2006).
149
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 150
• Kombinace s opakováním:
Počet k-členných kombinací s opakováním z n prvků, tj. daný prvek se v dané kombinaci může
vyskytovat vícekrát (přičemž opět nezáleží na pořadí prvků), je dán vztahem
C′
(k, n) =
(n + k − 1)!
k! (n − 1)!
=
n + k − 1
k
. (12.3)
Kombinace s opakováním je matematickým základem tzv. Boseho-Einsteinovy statistiky, popisující
systémy složené z tzv. bosonů, tedy ze vzájemně nerozlišitelných kvantových částic
se symetrickou vlnovou funkcí a celočíselným spinem (například fotonů, mezonů, gluonů, jader
4He, atd.).
Typickým příkladem může být počet různých způsobů, kterými lze koupit sadu osmi sazenic
salátu, pokud mají v obchodě (v dostatečném množství) 6 různých druhů sazenic (v každé sadě
se může kterýkoli z šesti druhů sazenic vyskytovat v libovolném počtu od 1 do 8). Výsledkem
je číslo 1287.
• Permutace bez opakování:
Obecně definujeme permutaci jako uspořádanou n-tici prvků, kdy celkový počet prvků výběrové
množiny je rovněž n. Pokud se tyto prvky v každé takové uspořádané n-tici nemohou opakovat,
počet různých takových n-tic (permutací bez opakování) je dán vztahem
P(n) = n! (12.4)
Příklad: kolik různých uspořádání, obsahujících vždy všechna písmena, existuje pro pětici písmen
a, b, c, d, e? Počet takových uspořádaných pětic (n = 5) bez opakování je dán vztahem
P(5) = 5!, celkový počet takových uspořádání (permutací) je tedy 120.
• Permutace s opakováním:
Pokud je mezi n prvky výběrové množiny k skupin, které mají postupně n1, n2, . . . , nk stejných
prvků, potom je počet tzv. permutací s opakováním dán vztahem
P ′
n1, n2, ..., nk
(n) =
n!
n1! · n2! · . . . · nk!
, kdy n =
k
i=1
ni. (12.5)
Příklad: kolik různých permutací existuje pro sedmiprvkovou množinu čtyř písmen s možným
opakováním a, a, a, b, b, c, d, kdy první písmeno se zde vyskytuje třikrát a druhé písmeno
dvakrát? Celkový počet takových permutací bude 7!/(3! · 2! · 1! · 1!) = 420.
Výraz (12.5) tvoří rovněž matematický základ zobecněné binomické věty (12.2) pro libovolný
počet členů x1 + x2 + ... + xm, kdy pro tzv. multinomický koeficient
n
k1, k2, ... , km
=
n!
k1! k2! ... km!
(12.6)
musí pro všechna m ∈ N a ki, n ∈ N ∪ 0 opět platit k1 + k2 + ... + km = n. Takto rozšířenou
binomickou větu (12.2) potom zapíšeme jako tzv. multinomickou větu ve formě
(x1 + x2 + ... + xm)n
=
k1+k2+...+km=n
n
k1, k2, ... , km
xk1
1 xk2
2 ... xkm
m , (12.7)
kde součin m prvků xk1
1 xk2
2 ... xkm
m lze zapsat pomocí symbolu pro násobení jako m
i=1 xki
i .
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 151
• Variace bez opakování:
Variaci definujeme obecně jako uspořádanou k-tici (tj. k-tici, ve které tzv. záleží na pořadí
prvků), vybranou ze sady, obsahující n prvků. Pokud se tyto prvky v každé takové uspořádané
k-tici nemohou opakovat, počet různých takových k-tic, k ≤ n (variací bez opakování), je dán
vztahem
V (k, n) =
n!
(n − k)!
. (12.8)
Typickým příkladem může být následující úloha: kolik barevných trikolór lze vytvořit z celkem
šesti barev? Variace bez opakování v tomto případě vyplývá z definice trikolóry (pokud by se některá
ze tří barev opakovala, nepůjde o trikolóru). Zároveň záleží na pořadí jednotlivých prvků,
tj. například trikolóra s pořadím barev červená-modrá-zelená je jiná trikolóra než trikolóra s
pořadím barev zelená-modrá-červená. Celkový počet trikolór tedy bude 6!/3! = 120.
• Variace s opakováním:
Počet uspořádaných k-tic (kdy opět záleží na pořadí prvků) s opakováním z n prvků, tj. kdy se
daný prvek v dané k-tici může vyskytovat vícekrát, je dán vztahem
V ′
(k, n) = nk
. (12.9)
Typický příklad: kolik dvojciferných čísel lze vytvořit z číslic 1, 2, 3, 4, 5? Opět zde záleží na
pořadí jednotlivých prvků, tj. například číslo 21 je jiné číslo než číslo 12, zároveň ovšem musíme
zahrnout i čísla 11, 22, atd., kde se číslice opakují. Celkový počet takových dvojciferných čísel
bude 52 = 25.
• Příklady:
12.1 Kolik kružnic je definováno 12 body, ležícími v jedné rovině, pokud žádné 3 body neleží
v jedné přímce?
220
12.2 Určete, kolika způsoby lze ze sedmi mužů a čtyř žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž
jsou právě dvě ženy.
210
12.3 V bedně je 54 výrobků, z nichž 21 je první jakosti, 27 je druhé jakosti a zbytek je vadných.
Kolika způsoby lze vybrat skupinu 6 výrobků tak, aby obsahovala 3 výrobky první jakosti,
2 druhé jakosti a jeden vadný výrobek?
147 420
12.4 Hokejové mužstvo má celkem 24 hráčů: 13 útočníků, 8 obránců a 3 brankáře. Kolik různých
sestav může trenér vytvořit, jestliže sestava má mít 3 útočníky, 2 obránce a 1 brankáře?
6 552
12.5 Kolik prvků budeme potřebovat, abychom vytvořili šestkrát více kombinací čtvrté třídy
(bez opakování prvků) než kombinací druhé třídy?
11
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 152
12.6 Trenér curlingu má k dispozici sedm hráčů: Aleše, Bedřicha, Cyrila, Davida, Emila, Filipa
a Gustava. Má sestavit čtyřčlenné družstvo.
(a) kolik družstev může sestavit,
(b) kolik družstev může sestavit, pokud z trojice Aleš, Bedřich a Cyril hraje jen jeden,
(c) kolik družstev může sestavit, pokud z trojice Aleš, Bedřich a Cyril hrají nejvýše dva
a z dvojice David a Emil jeden nehraje,
(d) kolik družstev může sestavit, pokud z trojice Aleš, Bedřich a Cyril hrají nejvýše dva
a nehraje současně Filip a Gustav.
(a) 35
(b) 12
(c) 18
(d) 21
12.7 Kolik existuje pěticiferných čísel?
90 000
12.8 Kolik čísel lze vytvořit ze sady neopakujících se číslic 7, 3, 5, 2, 4, 8, 1, 9 tak, aby čísla
obsahovala letopočet objevení Ameriky?
1 680
12.9 Na Kypru se poznávací značky na autech skládají z bloku 3 písmen, za kterým následuje
čtyřciferné číslo. První část se vybírá pouze ze čtrnácti písmen A, B, E, H, I, J, K, M, N,
P, T, X, Y, Z.
(a) Kolik existuje takových poznávacích značek?
(b) Kolik značek má každé písmeno jiné?
(c) V kolika značkách je na prvním místě samohláska?
(d) V kolika značkách je samohláska pouze na 1. a 3. pozici?
(a) 143 · 9 · 103 = 24 696 000
(b) 14 · 13 · 12 · 9 · 103 = 19 656 000
(c) 4 · 142 · 9 · 103 = 7 056 000
(d) 42 · 10 · 9 · 103 = 1 440 000
12.10 Kolika způsoby můžeme sestavit z patnácti lidí libovolně velkou pracovní skupinu? Ve skupině
může být 1 až 15 lidí.
32 767
12.11 V nádobě se nachází 105 částic ideálního plynu. Jaká je pravděpodobnost, že se všechny
zcela náhodně se pohybující částice ocitnou v levé polovině nádoby, pokud částicemi budou
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 153
(a) molekuly NH3?
(b) jádra 4He?
(a) 2−105
(b) (105 + 1)−1
12.12 Uvažujme k = 3 mince, kdy každá může nabývat dvou „hodnot“, tj. panna nebo orel.
Je zřejmé, že pokud hodíme všemi mincemi zároveň, může nastat celkem n = 8 možných
výsledků: PPP, PPO, POP, OPP, OOP, OPO, POO, OOO. Každý jednotlivý výsledek
nazveme mikrostavem, který zohledňuje stav každé mince (nebo částice, pokud
půjde o obecný fyzikální systém). Pokud budeme rozlišovat pouze počet hozených panen
nebo orlů, specifikujeme tzv. makrostav (označme ho například Ei), v tomto případě
tedy máme 4 možné makrostavy: 3P, 2P+1O, 1P+2O, 3O. Počet mikrostavů, tvořících
makrostav, nazýváme statistická váha (násobnost mikrostavu) W(Ei). Pro 4 makrostavy
dostáváme v našem případě W0 = 1, W1 = 3, W2 = 3, W3 = 1, kde pořadová čísla jednotlivých
makrostavů odpovídají počtu např. panen v daném makrostavu. Pravděpodobnost
výskytu určitého makrostavu P(Ei) je dána podílem jeho statistické váhy W(Ei) a celkového
počtu mikrostavů n. Entropie S určitého makrostavu Ei bude S = ln W. Vypište
počet možných mikrostavů a pravděpodobnosti jednotlivých makrostavů v případě, že
házíme
(a) čtyřmi mincemi
(b) dvaceti mincemi, který makrostav je nejpravděpodobnější?
(c) jaká je pravděpodobnost makrostavu s 12 pannami a 8 orly?
(d) sto mincemi, který makrostav je nejpravděpodobnější?
(e) napište entropii makrostavů E0, E1, Emax
(a) n = 16, P0 = 1/16, P1 = 1/4, P2 = 3/8, P3 = 1/4, P4 = 1/16
(b) n = 220, P0 = 1/220, P1 = 20/220, P2 = 190/220, . . ., P(Ei) =
20!
i!(20 − i)! 220
, . . .,
P20 = 1/220, Pmax = P10
(c) přibližně 0,12
(d) n = 2100, P0 = 1/2100, P1 = 100/2100, P2 = 4950/2100, . . ., P(Ei) =
100!
i!(100 − i)! 2100
,
. . ., P100 = 1/2100, Pmax = P50
(e) 0, ln 100 ≈ 4,6, ln 100! − 2 ln 50! ≈ 66,78 - nejpravděpodobnější makrostav má tedy
nejvyšší entropii, nejméně pravděpodobný nejnižší (nulovou)
12.13 Mějme 3 částice ideálního plynu a 5 „přihrádek“ - kvantových „krabic“, označme je například
a, b, c, d, e. Částice mohou být do jednotlivých přihrádek rozmístěny libovolným
způsobem, odpovídajícím ovšem jejich typu (například není možné aby více fermionů
bylo v jedné přihrádce). Každou jednotlivou variaci, případně kombinaci, systému částic
označme jako mikrostav. Jako „makrostav“ označme soubor mikrostavů, kdy jsou buď
všechny tři částice v jedné přihrádce (označme jej jako „makrostav“ „3“), nebo jsou dvě
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 154
částice v jedné přihrádce a třetí v jiné (označme jej jako „makrostav“ „2/1“), nebo je
každá částice v jedné samostatné přihrádce (označme jej jako „makrostav“ „1/1/1“). V
uvedeném systému se tedy mohou vyskytovat nejvýše 3 „makrostavy“.
(a) kolik mikrostavů může nastat postupně pro molekuly NH3, jádra 4He, protony?
(b) kolik „makrostavů“ může nastat postupně pro molekuly NH3, jádra 4He, protony?
(c) jaká je pravděpodobnost výskytu mikrostavu, kdy všechny tři částice budou v jedné
určité přihrádce (například a), postupně pro molekuly NH3, jádra 4He, protony?
(d) jaká je pravděpodobnost výskytu mikrostavu, kdy každá ze tří částic bude samostatně
v přihrádkách a, c, e, postupně pro molekuly NH3, jádra 4He, protony?
(e) jaká je pravděpodobnost výskytu jednotlivých „makrostavů“ postupně pro molekuly
NH3, jádra 4He, protony?
(a) 125, 35, 10
(b) 3, 3, 1
(c) 1/125, 1/35, 0
(d) 6/125, 1/35, 1/10
(e) „makrostav“ „3“: 1/25, 1/7, 0
„makrostav“ „2/1“: 12/25, 4/7, 0
„makrostav“ „1/1/1“: 12/25, 2/7, 1
12.2 Počet pravděpodobnosti a základy statistiky2
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X vyjadřuje tzv. pravděpodobnostní
funkce P(X) s hodnotami pravděpodobnosti p(xi) = pi, kde i pi = 1. Rozdělení pravděpodobnosti
spojité náhodné veličiny X udává funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti (hustoty
pravděpodobnosti) f(x), pro kterou platí
´
Ω f(x) dx = 1, kde Ω je definiční obor veličiny
X. Pro hodnoty x /∈ Ω platí f(x) = 0. Významná rozdělení pravděpodobnosti jsou:
• Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti diskrétní i spojité náhodné veličiny X, které přiřazuje
všem jejím hodnotám stejnou pravděpodobnost. Rovnoměrné rozdělení má ve všech
bodech daného intervalu ⟨a, b⟩, konstantní hustotu pravděpodobnosti
f(x) =
1
b−a pro x ∈ ⟨a, b⟩
0 pro x /∈ ⟨a, b⟩
. (12.10)
• Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X, které lze vyjádřit
pomocí zvoleného parametru λ > 0 jako
pi =
λxi
xi!
e−λ
. (12.11)
2
V této kapitole jsou použité příklady z knihy: Musilová & Musilová (2006).
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 155
• Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, které je
definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru tzv. Gaussovy funkce
f(x) =
1
σ
√
2π
e−
(x−µ)2
2σ2 , (12.12)
kde parametr µ znamená střední hodnotu veličiny X, parametr σ jeho směrodatnou odchylku
(viz dále).
Ve statistické fyzice se také střední počet rozlišitelných částic (např. molekul) ve stavu s energií
E určuje pomocí tzv. Maxwellovy-Boltzmannovy rozdělovací funkce. Pro nerozlišitelné částice
platí tzv. Fermiho-Diracovo rozdělení pro fermiony (elektrony, protony, neutrina, atd.) a BosehoEinsteinovo
rozdělení pro bosony (např. fotony). V matematické statistice se často používá tzv.
Studentovo rozdělení (viz např. Pánek, 2001), atd. V návaznosti na rozdělení pravděpodobnosti
můžeme určit celou řadu statistických nástrojů, pomocí nichž můžeme analyzovat náhodnou
veličinu X (reprezentující například soubor naměřených hodnot). Mezi nejdůležitější z nich
patří:
• Váha - v případě diskrétní náhodné veličiny X s jednotlivými hodnotami xi zavádíme
tzv. váhu wi, kterou můžeme zpravidla stanovit na základě tzv. vnitřních nejistot (chyb)
δxi hodnot xi (například chyby měření, atd.), tedy na základě relace
wi ∼
1
δxi
2
. (12.13)
Dále zavedeme tzv. sumu vah Sw a tzv. střední váhu ws,
Sw =
N
i=1
wi, ws =
1
N
N
i=1
wi =
Sw
N
, (12.14)
kde N je celkový počet diskrétních hodnot xi. Mezi váhami a hodnotami pravděpodobnosti
existuje tedy volná relace - pokud suma vah Sw = 1, potom wi = pi. Obdobným
způsobem můžeme v případě spojité náhodné veličiny zavést tzv. váhovou funkci w(x),
jejíž „suma“ bude dána jako
´
Ω w(x) dx. Je tedy opět zjevné, že pokud tento integrál
bude normován (bude roven jedné) bude platit w(x) = f(x), váhová funkce se takto stává
hustotou pravděpodobnosti.
• Střední hodnota (aritmetický průměr), která se obvykle značí ¯x, ⟨x⟩ nebo také µ. V případě
diskrétní náhodné veličiny X bude střední hodnota definována jako suma všech hodnot
xi veličiny X dělená jejich počtem nebo jako suma násobků všech hodnot veličiny X
s příslušnými hodnotami pravděpodobnostní funkce, tedy
⟨x⟩ =
1
N
N
i=1
xi =
N
i=1
xipi. (12.15)
V případě použití druhého vztahu mluvíme také o tzv. očekávané hodnotě, značené E(X),
resp. o váženém aritmetickém průměru. Jemný rozdíl mezi těmito pojmy závisí na definici
prvku xi veličiny X, případně na způsobu volby tzv. statistické váhy. Tzv. váhovanou
střední hodnotu (váhovaný aritmetický průměr) stanovíme jako
⟨x⟩ =
1
Sw
N
i=1
xiwi. (12.16)
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 156
Střední hodnotu (neváhovanou a váhovanou) spojité náhodné veličiny X stanovíme jako
⟨x⟩ = E(X) =
ˆ
Ω
x f(x) dx, ⟨x⟩ =
´
Ω x w(x) dx
´
Ω w(x) dx
. (12.17)
V případě dále uváděných statistických nástrojů je stanovení jejich váhovaných podob
zcela obdobné.
• Rozptyl a směrodatná odchylka jsou nejčastěji označované jako D(X), var(X), případně
σ2(X) (rozptyl) a σ(X) (směrodatná odchylka). Rozptyl (disperze) je definován jako
střední hodnota druhých mocnin odchylek od střední hodnoty (aritmetického průměru)
veličiny X, směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu. Pro diskrétní náhodnou veličinu
X se stejnou váhou (pravděpodobností) všech hodnot xi je rozptyl definován jako
D(X) =
1
N
N
i=1
(xi − ⟨x⟩)2
= ⟨x2
⟩ − ⟨x⟩2
. (12.18)
V případě různých pravděpodobností diskrétních hodnot náhodné veličiny X bude rozptyl
určen vztahem
D(X) =
N
i=1
pi · (xi − ⟨x⟩)2
= −⟨x⟩2
+
N
i=1
x2
i · pi. (12.19)
Pro spojitou náhodnou veličinu X je rozptyl definován vztahem
D(X) =
ˆ
Ω
(x − ⟨x⟩)2
f(x) dx = −⟨x⟩2
+
ˆ
Ω
x2
f(x) dx. (12.20)
Pro směrodatnou odchylku obecně platí σ(X) = D(X).
• Nejpravděpodobnější hodnotu Pmax(X) pro diskrétní náhodnou veličinu X stanovíme jako
hodnotu xi s nejvyšší hodnotou pravděpodobnostní funkce pi, tedy Pmax(X) = (xi, max (pi)).
V případě spojité náhodné veličiny X určíme nejpravděpodobnější hodnotu Pmax(X) jako
maximum funkce hustoty pravděpodobnosti f(x) v definičním oboru Ω veličiny X, tedy
Pmax(X) = max (f(x)) pro x ∈ Ω.
• Medián (˜x0,5) a čtvrtkvantily (˜x0,25, ˜x0,75, také nazývané dolní a horní kvartil) jsou hodnoty
xi, v nichž je monotónně uspořádaný statistický soubor rozdělen na příslušné množství
stejně početných částí. Medián tedy dělí statistický soubor na dvě stejně početné poloviny.
Výhodou mediánu oproti střední hodnotě je jeho neovlivnitelnost extrémně vychýlenými
hodnotami. Například u souboru {1, 2, 2, 3, 27} medián ˜x0,5 = 2, střední hodnota
⟨x⟩ = 7. V případě spojité náhodné veličiny X určíme medián a čtvrtkvantily (případně
jakkoli jinak definované kvantily) z integrálních rovnic
ˆ ˜x0,5
−∞
f(x) dx =
1
2
,
ˆ ˜x0,25
−∞
f(x) dx =
1
4
,
ˆ ˜x0,75
−∞
f(x) dx =
3
4
. (12.21)
• Distribuční funkce F(x) vyjadřuje pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny X s daným
rozdělením pravděpodobnosti bude menší nebo rovna x. V případě diskrétní náhodné
veličiny X bude distribuční funkce F(x) daná předpisem
F(x) = P(X ≤ x) =
xi≤x
pi , (12.22)
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 157
bude tedy v bodech xi nespojitá a mezi body xi konstantní. Pro spojitou náhodnou veličinu
X můžeme distribuční funkci F(x) zapsat jako integrál funkce hustoty pravděpodobnosti,
F(x) =
ˆ x
−∞
f(t) dt. (12.23)
Každá distribuční funkce F(x) je neklesající a zprava spojitá, její asymptotické vlastnosti
lze vyjádřit jako lim
x→+∞
F(x) = 1, lim
x→−∞
F(x) = 0, pro libovolnou dvojici x1, x2 platí
P(x1 < x ≤ x2) = F(x2) − F(x1).
⋆ Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí: Předpokládejme normální rozdělení rychlostí
vx ≡ v jednotlivých částic (molekul), ve smyslu rovnice (12.12), ve tvaru
f(v) = a e−bv2
, (12.24)
s prozatím neznámými konstantami a a b, kde ze symetrie Gaussovy funkce pro kladné a
záporné rychlosti můžeme předpokládat střední hodnotu rychlostí µ podle rovnice (12.12)
jako nulovou. V trojrozměrném případě musí tedy platit
ˆ
Ω
f(v) d3
v =
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
ˆ ∞
−∞
A e−Bv2
dvx dvy dvz = 1, (12.25)
kde v2 = v2
x + v2
y + v2
z. Protože rozdělení rychlostí (pokud je látka jako celek v klidu) je v
každém místě vektorového prostoru rychlostí izotropní (stejné v každém směru), můžeme
s výhodou přejít do sférického systému (sférického rychlostního prostoru), kde
dvx dvy dvz = v2
sin θ dv dθ dϕ (12.26)
(viz analogie s transformací souřadnic v kapitole 4). Rovnici (12.25) můžeme tedy přepsat
do jednorozměrného tvaru
P(v) =
ˆ
Ω
f(v) dv = 4πA
ˆ ∞
0
v2
e−Bv2
dv = 1, (12.27)
kde v je radiální složka vektoru rychlosti ve sférickém rychlostním prostoru, tedy vlastně
velikost rychlosti. Integraci rovnice (12.27) provedeme nejlépe pomocí substituce Bv2 = x,
1 =
4πA
2B3/2
ˆ ∞
0
e−x√
x dx. (12.28)
Samotný integrál v rovnici (12.28) je tzv. Gama funkce (zobecněný faktoriál, viz například
Arfken & Weber (2005)), definovaná jako
Γ(x) =
ˆ ∞
0
e−t
tx−1
dt, (12.29)
půjde zde tedy o funkcionál Γ(3
2) (funkcionál je v matematické analýze definován jako
zobrazení, které prvkům prostoru funkcí přiřazuje reálné nebo komplexní číslo). Pro funkci
Γ zjevně platí Γ(x+1) = x Γ(x), lze tedy stanovit Γ(3
2) = 1
2Γ(1
2) =
√
π/2, přičemž nalezení
hodnoty funkcionálu Γ(1
2) =
√
π lze provést obdobným způsobem jako nalezení hodnot
integrálů v příkladu 1.97. Z rovnice (12.28) tak dostáváme
A =
B
π
3/2
. (12.30)
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 158
Protože střední kinetická energie částice, pohybující se rychlostí v, je ⟨Ek⟩ = 1
2m⟨v2⟩ =
3
2kT (viz např. Halliday et al. (2001), kapitola 20.5), můžeme napsat rovnici
3
2
kT =
1
2
m
ˆ
Ω
v2
f(v) dv = 2πm
B
π
3/2 ˆ ∞
0
v4
e−Bv2
dv, (12.31)
jejímž řešením, obdobně jako pomocí rovnice (12.28) avšak s použitím funkcionálu Γ(5
2),
dostáváme konstantu B,
B =
m
2kT
. (12.32)
Explicitní tvar Maxwellova-Boltzmannova rozdělení rychlostí ve smyslu rovnice (12.27)
tedy bude
f(v) = 4π
m
2πkT
3/2
v2
e−
mv2
2kT . (12.33)
• Příklady:
12.14 Střelec provedl N = 150 výstřelů na terč, který je tvořen soustavou n = 5 mezikruží
MKi, i = 1, . . . , 5. Mezikruží MKi přitom zasáhl Ni-krát, kde N1 = 15, N2 = 20, N3 =
35, N4 = 45, N5 = 35. Za zásah mezikruží MKi získal i bodů. Náhodnou veličinu X
s diskrétním rozdělením definujeme jako počet bodů, získaných pro jeden náhodný výstřel.
Určete:
(a) rozdělení {(xi, pi)} veličiny X,
(b) pravděpodobnost, že pro náhodný výstřel získá střelec alespoň I bodů, I = 1, 2, 3, 4, 5,
(c) střední hodnotu veličiny X,
(d) směrodatnou odchylku veličiny X,
(e) pravděpodobnost, že při výstřelu získá střelec počet bodů v intervalu i ∈ ⟨2, 4⟩.
(a) 1,
1
10
, 2,
2
15
, 3,
7
30
, 4,
3
10
, 5,
7
30
(b) P1 = 1, P2 =
9
10
, P3 =
23
30
, P4 =
8
15
, P5 =
7
30
(c) 3,4¯3
(d) 1,26
(e)
2
3
12.15 Na letištních záchodech jsou čtyři kabinky. Je dána distribuční funkce obsazení kabinek:
F(0) = 0,1, F(1) = 0,35, F(2) = 0,6, F(3) = 0,95, F(4) = 1. Určete:
(a) rozdělení náhodné veličiny X, odpovídající počtu obsazených kabinek,
(b) střední hodnotu veličiny X a její rozptyl,
(c) pravděpodobnost, že budou obsazeny alespoň dvě kabinky.
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 159
(a) {(0; 0,1) , (1; 0,25) , (2; 0,25) , (3; 0,35) , (4; 0,05)}
(b) 2; 1,2
(c) 0,65
12.16 Je dána funkce f(x) = k · x pro 0 ≤ x ≤ 2 a f(x) = 0 v ostatních případech. Určete:
(a) konstantu k tak, aby funkce byla hustotou pravděpodobnosti,
(b) střední hodnotu a rozptyl,
(c) nejpravděpodobnější hodnotu,
(d) medián a čtvrtkvantily ˜x0,25, ˜x0,75,
(e) distribuční funkci.
(a) k =
1
2
(b)
4
3
,
2
9
(c) 2
(d) ˜x0,5 =
√
2, ˜x0,25 = 1, ˜x0,75 =
√
3
(e) F(x) = 0 ∀ x < 0, F(x) =
1
4
x2 ∀ 0 ≤ x ≤ 2, F(x) = 1 ∀ x > 2
12.17 Je dána funkce f(x) =
k
(x + 1)2
pro x ≥ 0 a f(x) = 0 pro x < 0. Určete:
(a) konstantu k tak, aby funkce byla hustotou pravděpodobnosti,
(b) distribuční funkci,
(c) nejpravděpodobnější hodnotu, medián a čtvrtkvantily ˜x0,25, ˜x0,75.
(a) k = 1
(b) F(x) = 0 ∀ x ≤ 0, F(x) =
x
x + 1
∀ x > 0
(c) 0, ˜x0,5 = 1, ˜x0,25 =
1
3
, ˜x0,75 = 3
12.18 Jsou dány funkce f(x) =
k
x2
pro 1 ≤ x ≤ 2, f(x) = 0 v ostatních případech, g(x) =
c x − x2 pro 0 ≤ x ≤ 1, g(x) = 0 v ostatních případech. Určete:
(a) konstanty k a c tak, aby funkce byly hustotami pravděpodobnosti,
(b) příslušné distribuční funkce,
(c) nejpravděpodobnější hodnotu, střední hodnotu, rozptyl a medián pro každé z rozdě-
lení.
(a) k = 2, c = 6
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 160
(b) F1(x) = 0 ∀ x < 1, F1(x) = 2
x − 1
x
∀ 1 ≤ x ≤ 2, F1(x) = 1 ∀ x > 2, F2(x) = 0 ∀
x < 0, F2(x) = 3x2 − 2x3 ∀ 0 ≤ x ≤ 1, F2(x) = 1 ∀ x > 1
(c) f : 1, 2 ln 2, 2 − 4 ln2
2,
4
3
, g :
1
2
,
1
2
,
1
20
,
1
2
12.19 Házíme dvěma kostkami. Náhodnou veličinou X označme součet bodů na obou kostkách
při jednom hodu. Určete:
(a) rozdělení veličiny X,
(b) distribuční funkci,
(c) střední hodnotu, rozptyl a nejpravděpodobnější hodnotu,
(d) pravděpodobnost, že součet bodů na kostkách bude ležet v intervalu ⟨5, 7⟩.
(a) (1, 0), 2,
1
36
, 3,
1
18
, 4,
1
12
, 5,
1
9
, 6,
5
36
, 7,
1
6
, 8,
5
36
, 9,
1
9
,
10,
1
12
, 11,
1
18
, 12,
1
36
(b) F(x) = 0 ∀ x < 2, F(x) =
1
36
∀ x ∈ ⟨2, 3), F(x) =
1
12
∀ x ∈ ⟨3, 4), F(x) =
1
6
∀
x ∈ ⟨4, 5), F(x) =
5
18
∀ x ∈ ⟨5, 6), F(x) =
5
12
∀ x ∈ ⟨6, 7), F(x) =
7
12
∀ x ∈ ⟨7, 8),
F(x) =
13
18
∀ x ∈ ⟨8, 9), F(x) =
5
6
∀ x ∈ ⟨9, 10), F(x) =
11
12
∀ x ∈ ⟨10, 11), F(x) =
35
36
∀ x ∈ ⟨11, 12), F(x) = 1 ∀ x ≥ 12
(c) 7; 5,83; 7
(d)
5
12
12.20 Dokažte, že
(a) veličina µ v rovnici (12.12) je zároveň nejpravděpodobnější hodnotou Pmax(x) i střední
hodnotou ⟨x⟩,
(b) veličina σ v rovnici (12.12) je rovna směrodatné odchylce veličiny x.
(a) Pomocí vztahu (12.17)
(b) Pomocí vztahu (12.20) a definice směrodatné odchylky
12.21 Pomocí Maxwellova-Boltzmannova rozdělení rychlostí (rovnice (12.33)) určete:
(a) nejpravděpodobnější rychlost Pmax(v),
(b) střední rychlost ⟨v⟩,
(c) střední kvadratickou rychlost ⟨v2⟩.
(a) Pmax(v) =
2kT
m
Kapitola 12. Kombinatorika, počet pravděpodobnosti a základy statistiky 161
(b) ⟨v⟩ =
8kT
πm
(c) ⟨v2⟩ =
3kT
m
Příloha A
Laplaceova transformace ⋆
Laplaceova transformace je jednou ze základních integrálních transformací, která funkci reálné
proměnné (zpravidla vyjadřující čas t) přiřazuje funkci komplexní proměnné (komplexního frekvenčního
parametru) s = σ + iω, kde σ a ω jsou reálná čísla. S výhodou se využívá zejména v
oblastech matematiky spojených s kmity, oscilacemi a vlnami.
A.1 Definice a přehled elementárních transformací
Uvažujme spojitou nebo po částech spojitou funkci f(t) reálné proměnné t ≥ 0 (vzor nebo
originál), potom její Laplaceův obraz F(s), značený často také jako L {f(t)}, je definován jako
F(s) =
ˆ ∞
0
f(t) e−st
dt. (A.1)
Inverzní Laplaceova transformace je potom dána následujícím komplexním integrálem
f(t) = L−1
{F(s)} =
1
2πi
lim
T→∞
ˆ γ+iT
γ−iT
F(s) est
ds, (A.2)
kde γ je reálné číslo, takže obrysová (Jordanova) křivka integrace se nachází v oblasti konvergence
funkce F(s) a ve valné většině případů lze použít reziduovou větu (viz kapitola 11.2).
Kromě výše uvedené „jednostranné“ Laplaceovy transformace je definována též „oboustranná“
Laplaceova transformace. Pokud f(t) je reálnou nebo komplexní funkcí reálné proměnné t ∈ R,
potom oboustranná Laplaceova transformace je definovaná jako integrál
B {f} (s) = F(s) =
ˆ ∞
−∞
e−st
f(t) dt, (A.3)
kde obvyklé značení B pochází z „bilateral“. Jedná se o nevlastní integrál, který konverguje
pouze pokud existují následující dílčí integrály
ˆ ∞
0
e−st
f(t) dt,
ˆ 0
−∞
e−st
f(t) dt. (A.4)
Oboustrannou Laplaceovou transformací se zde dále nebudeme podrobněji zabývat. Zájemce
odkazuji na literaturu, například Arfken & Weber (2005), Bracewell (2000), atd.
⋆ jsou označeny odstavce a příklady, určené primárně studentům vyšších ročníků bakalářského studia
163
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 164
• Následující výčet shrnuje Laplaceovy transformace odvozené z definice (A.1), není však
úplným výčtem Laplaceových transformací a obsahuje pouze některé nejčastěji používané
vzorce. Jsou zde uvedeny také některé funkce, které jsou blíže vysvětlené až v následujícím
textu, například Heavisideova nebo Diracova delta funkce.
L {C} =
C
s
, kde C ∈ C je konstanta, (A.5)
L {tn
} =
n!
sn+1
, kde n ∈ N+
je konstanta, (A.6)
L {tp
} =
Γ(p + 1)
sp+1
, kde p ∈ R, p > −1, je konstanta, (A.7)
L eat
=
1
s − a
, kde a ∈ R je konstanta, (A.8)
L tn
eat
=
n!
(s − a)n+1
, (A.9)
L {sin at} =
a
s2 + a2
, (A.10)
L {cos at} =
s
s2 + a2
, (A.11)
L {t sin at} =
2as
(s2 + a2)2
, (A.12)
L {t cos at} =
s2 − a2
(s2 + a2)2
, (A.13)
L {sin at − t cos at} =
2a3
(s2 + a2)2
, (A.14)
L {sin at + t cos at} =
2as2
(s2 + a2)2
, (A.15)
L {cos at − t sin at} =
s(s2 − a2)
(s2 + a2)2
, (A.16)
L {cos at + t sin at} =
s(s2 + 3a2)
(s2 + a2)2
, (A.17)
L {sin(at + b)} =
s sin b + a cos b
s2 + a2
, kde a, b ∈ R jsou konstanty, (A.18)
L {cos(at + b)} =
s cos b − a sin b
s2 + a2
, (A.19)
L {sinh at} =
a
s2 − a2
, (A.20)
L {cosh at} =
s
s2 − a2
, (A.21)
L eat
sin bt =
b
(s − a)2 + b2
, (A.22)
L eat
cos bt =
s − a
(s − a)2 + b2
, (A.23)
L eat
sinh bt =
b
(s − a)2 − b2
, (A.24)
L eat
cosh bt =
s − a
(s − a)2 − b2
, (A.25)
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 165
L {f(Ct)} =
1
C
F
s
C
, (A.26)
L {θc(t) ≡ θ(t − c)} =
e−cs
s
, kde θc(t) je Heavisideova funkce, (A.27)
L {δ(t − c)} = e−cs
, kde δ je Diracova delta funkce, (A.28)
L {θc(t)f(t − c)} = e−cs
F(s), (A.29)
L ect
f(t) = F(s − c), (A.30)
L {tn
f(t)} = (−1)n
F(n)
(s), (A.31)
L
1
t
f(t) =
ˆ ∞
s
F(u) du, (A.32)
L
ˆ t
0
f(u) du =
F(s)
s
, (A.33)
L {(f ∗ g)(t)} = F(s)G(s), kde (f ∗ g)(t) značí konvoluci dvou funkcí, (A.34)
L f′
(t) = sF(s) − f(0), (A.35)
L f′′
(t) = s2
F(s) − sf(0) − f′
(0), (A.36)
L f(n)
= sn
F(s) − sn−1
f(0) − sn−2
f′
(0) − . . .
. . . − sf(n−2)
(0) − f(n−1)
(0), (A.37)
L tf(n)
= −
d
ds
L f(n)
. (A.38)
Při podrobnějším pohledu je zřejmé, že rovnice (A.5) je de facto speciálním případem rovnice
(A.6) kde n = 0, zatímco rovnice (A.6) je zase speciálním případem rovnice (A.7) s přirozeným
p, kdy v samotné rovnici (A.7) Γ znamená Gama funkci (viz rovnice (12.29) a další vysvětlení
v rámci příkladu 12.2) a podmínka pro reálné p > −1 znamená, že uvažujeme pouze „řádně se
chovající“, tedy kladnou Gama funkci.
A.2 „Skoková“ funkce
V tomto odstavci se zaměříme na tzv. skokovou funkci, kdy právě Laplaceova transformace velmi
usnadní řešení diferenciálních rovnic obsahujících tuto funkci. Elementární „skoková“ (někdy
též „schodová“ nebo jednotkový skok) funkce se nazývá Heavisideova, značí se většinou H nebo
θ, někdy též u nebo 1 (zde použijeme značení θ respektive θc, ostatní používané symboly jsou
vyhrazené pro jiné typy funkcí) a je definovaná jako
θc(t) =
0 pokud t < c,
1 pokud t ≥ c.
(A.39)
Pomocí Heavisideovy funkce lze definovat i komplikovanější funkce, například 6θc(t) znamená
funkci, která je nulová pokud t < c a rovna 6 pokud t ≥ c. Jiná funkce, 6 − θc(t), je rovna 6
pokud t < c a rovna 5 pokud t ≥ c. Ještě složitější případy mohou být definovány například
pro případ libovolné funkce f(t) pro t > 0 kdy chceme aby nová funkce g(t) měla stejný průběh
jako f(t) ale právě až od jisté zvolené hodnoty c > 0 (funkce g(t) je tak „vodorovně posunutou“
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 166
funkcí f(t − c) pro t > c a má nulovou hodnotu pro t < c). Funkci g(t) tak můžeme zapsat jako
g(t) = θc(t)f(t − c). (A.40)
Dosadíme-li nyní funkci (A.40) do definice Laplaceovy transformace (A.1), dostáváme
L {g(t)} =
ˆ ∞
0
e−st
θc(t)f(t − c) dt. (A.41)
Dále, pomocí substituce u = t − c přejde integrál (A.41) do tvaru
L {g(t)} = e−cs
ˆ ∞
0
e−su
f(u) du = e−cs
F(s). (A.42)
Můžeme proto formulovat i zpětnou Laplaceovu transformaci skokové funkce (respektive funkce
obsahující skokovou funkci),
L−1
e−cs
F(s) = θc(t)f(t − c). (A.43)
Pomocí rovnice (A.42) můžeme definovat Laplaceovu transformaci Heavisideovy funkce samotné,
položíme-li funkci f = 1, tedy
L {θc(t)} = e−cs
L {1} =
e−cs
s
. (A.44)
Zpětná transformace proto dává
L−1 e−cs
s
= θc(t). (A.45)
Příklad: Řešte inverzní transformaci funkce (Laplaceova obrazu)
F(s) =
3s + 8e−20s − 2s e−3s + 6e−7s
s2(s + 3)
(A.46)
Funkci upravíme do podoby, odpovídající levé straně rovnice (A.43),
F(s) = 3 − 2e−3s
G(s) + 8e−20s
+ 6e−7s
H(s), (A.47)
kde
G(s) =
1
s(s + 3)
, H(s) =
1
s2(s + 3)
. (A.48)
Pomocí rozkladu na parciální zlomky a inverzní transformace funkcí (obrazů) G(s) a H(s)
dostáváme
g(t) =
1
3
1 − e−3t
, h(t) =
1
3
t +
1
9
−1 + e−3t
. (A.49)
Protože inverzní transformací podle (A.43) dostáváme vzor
f(t) = 3g(t) − 2θ3(t) g(t − 3) + 8θ20(t) h(t − 20) + 6θ7(t) h(t − 7), (A.50)
tedy, konečná podoba hledaného Laplaceova vzoru bude
f(t) = 1 − e−3t
− 2θ3(t) 1 − e9
e−3t
+ 8θ20(t)
t − 20
3
+
1
9
−1 + e60
e−3t
+
+6θ7(t)
t − 7
3
+
1
9
−1 + e21
e−3t
, (A.51)
kde například θ7(t) znamená že θ = 0 pokud t < 7 a θ = 1 pokud t ≥ 7.
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 167
A.3 Diracova delta funkce
I když existují různé definice Diracovy delta funkce, určující jsou následující tři její vlastnosti:
δ(t − a) = 0 ∀ t ̸= a, (A.52)
ˆ a+ϵ
a−ϵ
δ(t − a) dt = 1 ∀ ϵ > 0, (A.53)
ˆ a+ϵ
a−ϵ
f(t)δ(t − a) dt = f(a) ∀ ϵ > 0. (A.54)
Diracova delta funkce je tedy rovna nule všude s výjimkou jediného bodu t = a, kde lze její
hodnotu pokládat za „nekonečnou“. Integrály (A.53) a (A.54) platí pro jakýkoli interval obsahující
bod a (pokud tento není jeho koncovým bodem). Navzdory jisté její „neobvyklosti“, je
tato „funkce“ velmi užitečná při modelování například rázových vln či působení velmi silných,
extrémně krátkodobých sil.
Z výše uvedeného vyplývá, že Laplaceova transformace Diracovy delta funkce má podobu
L {δ(t − a)} =
ˆ ∞
0
e−st
δ(t − a) dt = e−as
∀ a > 0. (A.55)
Dále lze rovněž definovat souvislost mezi Diracovou delta funkcí a Heavisideovou funkcí, uvědomímeli
si, že následující integrál
ˆ t
−∞
δ(u − a) du =
0 pokud t < a,
1 pokud t > a,
(A.56)
kde, na rozdíl od rovnice (A.39), je ostrá nerovnost pro t > a, protože a nesmí být koncovým
bodem daného intervalu. Nicméně, toto je zároveň definice Heavisideovy funkce, tedy,
ˆ t
−∞
δ(u − a) du = θa(t). (A.57)
Protože u je vlastně obdobnou nezávisle proměnnou jako t, bude du/dt = 1 a tedy
θ ′
a(t) =
d
dt
ˆ t
−∞
δ(u − a) du = δ(t − a), (A.58)
Diracovu delta funkci lze tak považovat za derivaci Heavisideovy funkce.
A.4 Obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními
koeficienty, s okrajovými podmínkami
Vzhledem k tomu, že chceme pomocí Laplaceovy transformace řešit také obyčejné diferenciální
rovnice, připomeneme zde opět Laplaceovy transformace derivací vzorů. V případě obecné n-té
derivace to bude (viz (A.37))
L f(n)
= sn
F(s) − sn−1
f(0) − sn−2
f′
(0) − . . . − sf(n−2)
(0) − f(n−1)
(0), (A.59)
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 168
kde nezávorkované exponenty proměnné s znamenají n-té mocniny. Jelikož se v drtivé většině
zabýváme diferenciálními rovnicemi nejvýše druhého řádu, uvedeme zde opět explicitně
Laplaceovu transformaci první a druhé derivace (viz (A.35) a (A.36)),
L y′
= sY (s) − y(0) (A.60)
L y′′
= s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0). (A.61)
Zároveň je patrné, že hodnoty funkcí, které se zde objevují, y(0) a y′(0), bývají často i hodnotami
počátečních nebo okrajových podmínek v zadání diferenciálních rovnic. Znamená to tedy, že
máme-li uvedené vztahy použít k řešení rovnic s podmínkami, budeme potřebovat počáteční
či okrajové podmínky v bodě x = 0 (pro větší souvislost s předchozím výkladem obyčejných
diferenciálních rovnic zde nezávisle proměnnou budeme formálně značit x namísto t).
Dále uvedeme několik typických jednoduchých příkladů, na kterých ukážeme jak se tento
postup uplatňuje.
Příklad: Řešte rovnici
y′′
− 10y′
+ 9y = 5x, y(0) = −1, y′
(0) = 2. (A.62)
Pomocí příslušných vzorců pro Laplaceovu transformaci můžeme uvést následující transformovanou
rovnici,
s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0) − 10 [sY (s) − y(0)] + 9Y (s) =
5
s2
. (A.63)
Po vložení okrajových podmínek a úpravě dostáváme rovnici
Y (s) =
5 + 12s2 − s3
s2(s − 9)(s − 1)
(A.64)
a po jejím rozkladu na parciální zlomky,
Y (s) =
50
81s
+
5
9s2
+
31
81(s − 9)
−
2
s − 1
. (A.65)
Zpětnou Laplaceovou transformací podle uvedených pravidel (prakticky nejlépe s pomocí tabelovaných
vzorců) dostáváme výsledné řešení,
y(x) =
50
81
+
5
9
x +
31
81
e9x
− 2ex
. (A.66)
Příklad: Řešte rovnici
2y′′
+ 3y′
− 2y = x e−2x
, y(0) = 0, y′
(0) = −2. (A.67)
Stejně jako v předchozím příkladu, pomocí příslušných vzorců pro Laplaceovu transformaci,
můžeme uvést následující transformovanou rovnici,
2 s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0) + 3 [sY (s) − y(0)] − 2Y (s) =
1
(s + 2)2
. (A.68)
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 169
Po vložení okrajových podmínek a úpravě dostáváme rovnici
Y (s) = −
4s2 + 16s + 15
(2s − 1)(s + 2)3
(A.69)
a po jejím rozkladu na parciální zlomky,
Y (s) =
1
125
−192
2 s − 1
2
+
96
s + 2
−
10
(s + 2)2
−
252!
2!
(s + 2)3
, (A.70)
kde jsme pro větší názornost souladu s principy zpětné transformace uvedli i vytknutí dvojky
ve jmenovateli prvního členu v celkové hranaté závorce a rozšíření číslem 2! v čitateli posledního
členu. Zpětnou Laplaceovou transformací podle uvedených (tabelovaných) pravidel dostáváme
výsledné řešení,
y(x) =
1
125
e−2x
96 − 10x −
25
2
x2
− 96 e5x/2
. (A.71)
Příklad: Řešte rovnici
y′′
− 6y′
+ 15y = 2 sin 3x, y(0) = −1, y′
(0) = −4. (A.72)
Obdobným způsobem jako v předešlých příkladech můžeme odvodit následující transformovanou
rovnici,
s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0) − 6 [sY (s) − y(0)] + 15Y (s) = 2
3
s2 + 9
. (A.73)
Po vložení okrajových podmínek a úpravě dostáváme rovnici
Y (s) = −
s3 − 2s2 + 9s − 24
(s2 − 6s + 15)(s2 + 9)
(A.74)
a po jejím rozkladu na parciální zlomky,
Y (s) =
1
10

 s
s2 + 9
+
13
3
s2 + 9
−
11(s − 3)
(s − 3)2 + 6
−
8
√
6√
6
(s − 3)2 + 6

 , (A.75)
kde jsme pro větší názornost souladu s principy zpětné transformace uvedli rozšíření zlomky v
čitatelích druhého a posledního členu v celkové hranaté závorce. Zpětnou Laplaceovou transformací
podle uvedených pravidel dostáváme výsledné řešení,
y(x) =
1
10
cos 3x +
1
3
sin 3x − 11 e3x
cos
√
6x −
8
√
6
e3x
sin
√
6x . (A.76)
Příklad: Řešte rovnici
y′′
+ 4y′
= cos(x − 3) + 4x, y(3) = 0, y′
(3) = 7. (A.77)
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 170
Nejprve musíme rovnici přeformulovat takovým způsobem, abychom dostali okrajové podmínky
pro x = 0. Toho nejlépe docílíme změnou proměnných,
η = x − 3 a tedy x = η + 3. (A.78)
Původní rovnici (A.77), kde y = y(x), můžeme přepsat do tvaru
y′′
+ 4y′
= cos η + 4(η + 3), (A.79)
kde y = y(η + 3). Přepíšeme nyní funkci y(η + 3) jako novou funkci z(η), pomocí „řetězového
pravidla“ pro derivace snadno odvodíme že y′(η + 3) = z′(η) a y′′(η + 3) = z′′(η). Rovněž
okrajové podmínky můžeme transformovat jako y(3) = z(0) = 0 a y′(3) = z′(0) = 7. Původní
rovnice (A.77) bude mít pro novou funkci z(η) tvar
z′′
+ 4z′
= cos η + 4η + 12, z(0) = 0, z′
(0) = 7. (A.80)
Opět obdobným způsobem jako v předešlých příkladech můžeme odvodit následující transformovanou
rovnici,
s2
Z(s) − sz(0) − z′
(0) + 4 [sZ(s) − z(0)] =
s
s2 + 1
+
4
s2
+
12
s
. (A.81)
Po vložení okrajových podmínek a úpravě dostáváme rovnici
Z(s) =
7s4 + 13s3 + 11s2 + 12s + 4
s3(s2 + 1)(s + 4)
(A.82)
a po jejím rozkladu na parciální zlomky, s obdobným zvýrazněním členů důležitých pro názornost
zpětné transformace,
Z(s) =
17
16s
+
11
4s2
+
12!
2!
s3
−
273
272(s + 4)
+
1
17
−s
s2 + 1
+
4
s2 + 1
. (A.83)
Zpětnou Laplaceovou transformací dostáváme výsledné řešení nejprve pro z(η),
z(η) =
17
16
+
11
4
η +
1
2
η2
−
273
272
e−4η
+
1
17
(4 sin η − cos η) (A.84)
a po záměně y(x) = z(η) = z(x − 3) a úpravách dostáváme řešení rovnice (A.77) ve výsledném
tvaru
y(x) =
1
2
x2
−
1
4
x −
43
16
−
273
272
e−4(x−3)
+
1
17
[4 sin(x − 3) − cos(x − 3)] . (A.85)
Příklad: Řešte rovnici s Heavisideovou a Diracovou delta funkcí na pravé straně:
2y′′
+ 10y = 3θ12(t) − 5 δ(t − 4), y(0) = −1, y′
(0) = −2. (A.86)
Odvodíme transformovanou rovnici,
2 s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0) + 10Y (s) =
3e−12s
s
− 5e−4s
, (A.87)
po dosazení okrajových podmínek a úpravě dostaneme
Y (s) =
3e−12s
s(2s2 + 10)
−
5e−4s
2s2 + 10
−
2s + 4
2s2 + 10
= 3e−12s
F(s) − 5e−4s
G(s) − H(s). (A.88)
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 171
Po rozkladu jednotlivých členů první pravé části dostáváme jednotlivé funkce f(t), g(t) a h(t),
f(t) =
1
10
1 − cos
√
5t , g(t) =
1
2
√
5
sin
√
5t, h(t) = cos
√
5t +
2
√
5
sin
√
5t. (A.89)
Výsledné řešení bude
y(t) = 3θ12(t) f(t − 12) − 5θ4(t) g(t − 4) − h(t), (A.90)
kde f(t), g(t) a h(t) jsou definovány výše, pro lepší pochopení jednotlivých symbolů viz také
řešený příklad v odstavci „skoková funkce“.
Výsledky příkladů z tohoto odstavce lze snadno ověřit standardním postupem při řešení
obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty, uvedeným v kapitole
3.2.1.
A.5 Obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu s nekonstantními
koeficienty, s okrajovými podmínkami
Uveďme zde také následující identitu: pokud f(t) je po částech spojitá funkce na intervalu
⟨0, ∞) obecného tzv. exponenciálního řádu a pokud existují kladné konstanty T a M takové,
že |f(t)| ≤ Meαt pro všechna t ≥ T, potom platí
lim
s→∞
F(s) = 0. (A.91)
Jinými slovy, funkce která je funkcí obecného exponenciálního řádu, neporoste strměji než Meαt
pro libovolné M a α a pro všechna dostatečně velká t. Jestli funkce je či není funkcí obecného exponenciálního
řádu α lze zjistit výpočtem následující limity limt→∞ |f(t)| e−αt: pokud je tato limita
pro určité α konečná, potom je funkce f(t) funkcí exponenciálního řádu α, pokud limita diverguje
k nekonečnu, funkce není funkcí žádného obecného exponenciálního řádu. Téměř všechny
funkce, se kterými se setkáme v této kapitole při řešení diferenciálních rovnic, jsou funkcemi
nějakého určitého exponenciálního řádu. Dobrým příkladem funkce, která není funkcí exponenciálního
řádu, je například f(t) = exp(t3), kde snadno ověříme že limt→∞ exp t(t2 − α) = ∞,
což za daných podmínek platí pro jakékoli α.
Příklad: Řešte rovnici
y′′
+ 3xy′
− 6y = 2, y(0) = 0, y′
(0) = 0. (A.92)
Z již dříve odvozených dílčích vztahů (rovnice (A.38), kromě již dříve uvedených vztahů v
příkladech rovnic s konstantními koeficienty) víme, že
L tf′
(t) = L xy′
= −
d
ds
(L{y′
}) = −
d
ds
[sY (s) − y(0)] = −sY ′
(s) − Y (s). (A.93)
Dosadíme-li všechny tyto již známé identity do dané rovnice, dostáváme
s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0) + 3 −sY ′
(s) − Y (s) − 6Y (s) =
2
s
. (A.94)
Po dosazení okrajových podmínek a malé úpravě dostaneme diferenciální rovnici prvního řádu,
Y ′
(s) +
3
s
−
s
3
Y (s) = −
2
3s2
. (A.95)
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 172
Na rozdíl od příkladů v předchozí části pro diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními
koeficienty, kde jsme rovnou dostali transformovaná řešení, zde dostáváme lineární obyčejnou
diferenciální rovnici prvního řádu, kterou je třeba vyřešit, abychom získali konečné transformované
řešení. Řešením rovnice (A.95) pro Y (s) bude
Y (s) =
1
s3
2 + Ce
s2
6 . (A.96)
Vzhledem k tomu, že druhý člen (exponenciální) v závorce v transformovaném řešení (A.96)
se nepodobá žádnému z elementárních (tabelovaných) řešení Laplaceových transformací, předpokládejme,
že se zde jedná o funkci obecného exponenciálního řádu a použijme tedy uvedené
pravidlo pro její limitu. To znamená
lim
s→∞
1
s3
2 + Ce
s2
6 = 0, (A.97)
kde první člen konverguje k nule vždy, zatímco druhý člen konverguje k nule pouze pokud
C = 0. Transformované řešení tak představuje pouze první člen rovnice (A.96), výsledné řešení
rovnice (A.92) bude
y(x) = x2
, (A.98)
o jehož správnosti se lze snadno přesvědčit.
Příklad: Řešte rovnici
xy′′
− xy′
+ y = 2, y(0) = 2, y′
(0) = −4. (A.99)
Z předchozího příkladu víme, že L{xy′} = −sY ′(s) − Y (s). Zde budeme rovněž potřebovat
obdobnou identitu obsahující druhou derivaci,
L{xy′′
} = −
d
ds
(L{y′′
}) = −
d
ds
s2
Y (s) − sy(0) − y′
(0) = −s2
Y ′
(s) − 2sY (s) + y(0).
(A.100)
Dosadíme-li všechny tyto již známé identity do dané rovnice, dostáváme
−s2
Y ′
(s) − 2sY (s) + y(0) − −sY ′
(s) − Y (s) + Y (s) =
2
s
. (A.101)
Po dosazení okrajových podmínek a úpravě dostaneme diferenciální rovnici prvního řádu,
Y ′
(s) +
2
s
Y (s) =
2
s2
. (A.102)
Opět zde musíme řešit rovnici prvního řádu abychom dostali transformované řešení,
Y (s) =
2
s
+
C
s2
. (A.103)
Toto transformované řešení konverguje k nule pro jakoukoli konstantu C, nemusíme proto použít
princip uvedený v rovnici (A.91), abychom se zbavili některého z členů, jako v předchozím
příkladu. Inverzní transformace potom dává
y(x) = 2 + Cx (A.104)
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 173
a po dosazení druhé okrajové podmínky,
y(x) = 2 − 4x. (A.105)
Na předchozích příkladech jsme si ukázali, jak řešit některé obyčejné diferenciální rovnice
druhého řádu s nekonstantními koeficienty, kdy jsme ovšem zvolili koeficienty tak, aby bylo
možné řešení tímto způsobem vůbec najít. Při jinak zvolených koeficientech by hledání řešení
mohlo být značně obtížné; obecně vzato, takové rovnice s nekonstantními koeficienty jsou většinou
velmi obtížně řešitelné.
A.6 Užití konvoluce v Laplaceově transformaci
Uvažujme nyní transformovanou rovnici ve formě
H(s) = F(s)G(s), (A.106)
která není řešitelná pomocí rozkladu na parciální zlomky. Jedním ze způsobů její inverzní transformace
je použití konvoluce. Pokud f(t) a g(t) jsou po částech spojité funkce na intervalu
⟨0, ∞), potom konvoluce funkcí f(t) a g(t) bude (viz výklad konvoluce výše, v kapitole 10)
(f ∗ g)(t) =
ˆ t
0
f(τ)g(t − τ) dτ, (A.107)
kde na rozdíl od obecné definice konvoluce (10.7) jsou meze definovány pouze v rozmezí ⟨0, t⟩,
což odpovídá spodní mezi pro Laplaceovu transformaci a „praktické“ horní mezi pro konvoluční
proměnnou - viz příklady na konvoluce v kapitole 10.
Následující identita nám umožní řešit inverzní Laplaceovu transformaci součinu dvou transformovaných
funkcí (Laplaceových obrazů),
L {(f ∗ g)(t)} = F(s)G(s), L−1
{F(s)G(s)} = (f ∗ g)(t). (A.108)
Na následujících dvou příkladech si ukážeme, jak může prakticky vypadat užití konvoluce pro
řešení Laplaceovy transformace.
Příklad: Použijte konvoluci k nalezení inverzní transformace následujícího Laplaceova obrazu:
H(s) =
1
(s2 + a2)2
. (A.109)
Rozepišme nejprve funkci (A.109) jako součin dvou funkcí,
H(s) =
1
s2 + a2
1
s2 + a2
= F(s)G(s), (A.110)
tedy,
f(t) = g(t) =
1
a
sin at. (A.111)
Pomocí konvoluce těchto funkcí provedeme inverzní transformaci (zde uvedeme pouze výsledek),
h(t) = (f ∗ g)(t) =
1
a2
ˆ t
0
sin aτ sin(at − aτ) dτ =
1
2a3
(sin at − at cos at) . (A.112)
Příloha A. Laplaceova transformace ⋆ 174
Příklad: Řešte následující diferenciální rovnici s s obecnou pravou stranou a okrajovými pod-
mínkami,
4y′′
+ y = g(t), y(0) = 3, y′
(0) = −7. (A.113)
Stejně jako v předchozích příkladech, nalezneme transformovanou funkci
4 s2
Y (s) − sy(0) − y′(0) + Y (s) = G(s), (A.114)
po jejím rozkladu na parciální zlomky a úpravě s již „obvyklými zvýrazněními pro inverzní
transformaci“ dostáváme
Y (s) =
3s
s2 + 1
4
−
72
2
s2 + 1
4
+
1
4
G(s)
2
2
s2 + 1
4
. (A.115)
První dva členy na pravé straně rovnice (A.115) lze řešit snadno, třetí člen vyřešíme jako
konvoluci dvou funkcí, jednoho konkrétního vzoru a jedné obecné,
f(t) = 2 sin
t
2
, g(t). (A.116)
Výsledná podoba inverzní transformace v tomto případě bude
y(t) = 3 cos
t
2
− 14 sin
t
2
+
1
2
ˆ t
0
sin
τ
2
g(t − τ) dτ. (A.117)
Jak tento poslední příklad ukazuje, pomocí konvoluce lze do značné míry řešit diferenciální
rovnice s okrajovými podmínkami s obecnou funkcí na pravé straně. Toto se může velmi hodit
v případě, kdy máme celou řadu takových funkcí pravé strany a potřebujeme například zvolit
pouze jednu (nebo některé). Pomocí konvoluce můžeme rovnici takto „předřešit“ a pak pouze
dosazovat konkrétní podoby funkce g(t) do konvolučního integrálu.
Příloha B
Křivočaré souřadnice ⋆
Základní principy, týkající se hlavních křivočarých souřadnicových systémů a transformačních
vztahů s nimi spojených, byly již uvedeny v kapitole 4. Kromě válcové (cylindrické) a kulové
(sférické) soustavy existuje dále celá řada speciálních křivočarých souřadnicových soustav, např.
eliptická, parabolická, kónická, atd., včetně soustav neortogonálních, tj. takových, kdy jednotlivé
souřadnicové směry nesvírají pravý úhel. Zvládnutí matematického aparátu, popisujícího
křivočaré souřadnice, jejich vztahy a vzájemné převody, je pro fyzikální praxi nezbytné. V následující
příloze si ukážeme podrobněji praktické postupy při počítání v kartézských, válcových,
kulových a některých dalších souřadnicových soustavách, včetně odvození metrických tenzorů,
diferenciálních operátorů, vektorů polohy, rychlosti a zrychlení, atd.
B.1 Kartézská soustava
Ačkoli kartézská soustava de facto nepatří mezi křivočaré soustavy, uvádíme ji zde jako přirozeně
výchozí ortogonální souřadnou soustavou, na níž si názorně ukážeme základní vztahy a geometrické
principy, které v rámci složitějších, skutečně křivočarých souřadných soustav již pouze
analogicky upřesníme a aplikujeme. Její zásadní předností je, že (jednotkové) vektory kartézské
báze (v celé příloze B dále implicitně předpokládáme, že se „pohybujeme“ v R3, rovněž zde
budeme používat typograficky přehlednější „stříškové“ značení tučně vysázených jednotkových
bázových vektorů, tedy například ^x místo ⃗ex, atd.),
⃗ex = ^x = (1, 0, 0), ⃗ey = ^y = (0, 1, 0), ⃗ez = ^z = (0, 0, 1), (B.1)
jsou konstantní (mají stále stejnou velikost a stále stejný směr), derivace těchto vektorů jsou
tedy nulové. Pro druhou mocninu vzdálenosti dvou bodů v diferenciálním tvaru platí
ds2
= dx2
+ dy2
+ dz2
, což lze zobecnit tzv. metrickou formou, ds2
= gij dxi
dxj
, (B.2)
kde indexy i, j značí jednotlivé souřadnicové směry (i, j = x, y, z) a zároveň tak určují jednotlivé
složky 3 × 3 metrického tenzoru. Kovariantní metrický tenzor gij kartézské soustavy má tedy
elementární tvar jednotkové matice. Význam kontravariantního metrického tenzoru gij kartézské
soustavy je formálně určen druhou mocninou velikosti vektoru
∂
∂s
2
= gij ∂
∂xi
∂
∂xj
=
∂
∂x
2
+
∂
∂y
2
+
∂
∂z
2
. (B.3)
⋆ jsou označeny odstavce a příklady, určené primárně studentům vyšších ročníků bakalářského studia
175
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 176
Zároveň musí pro každou metriku obecně platit gij gij = E, kovariantní a kontravariantní metrický
tenzor tak budou vždy tvořit vzájemně inverzní matice. V kartézské soustavě budou mít
tedy tvar
gij =


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 , gij
=


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 . (B.4)
B.1.1 Diferenciální operátory
• Gradient skalární funkce f(x, y, z) je v kartézské soustavě definován (viz kapitola 5.3) jako
vektor ve tvaru
⃗∇f = grad f = ^x
∂f
∂x
+ ^y
∂f
∂y
+^z
∂f
∂z
=
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
. (B.5)
Gradient vyjadřuje v každém bodě skalárního pole směr největšího (nejstrmějšího) nárůstu
tohoto pole. Gradient vektoru (vektorového pole) ⃗A(x, y, z) je definován jako tenzor
druhého řádu (viz kapitola 2.3) ve tvaru
⃗∇ ⃗A = grad ⃗A = ^x
∂
∂x
+ ^y
∂
∂y
+^z
∂
∂z
Ax^x + Ay^y + Az^z . (B.6)
Protože se jedná o tzv. tenzorový součin, kdy se jednotlivé vektory báze násobí jako
matice, z nichž první je sloupcová a druhá řádková, je třeba pro určení prvků tenzoru
vždy zachovávat jejich pořadí. Pomocí maticového formalismu můžeme tenzor gradientu
vektorového pole zapsat jako (viz například Arfken & Weber (2005))
⃗∇ ⃗A =








^x ^y ^z
^x
∂Ax
∂x
∂Ay
∂x
∂Az
∂x
^y
∂Ax
∂y
∂Ay
∂y
∂Az
∂y
^z
∂Ax
∂z
∂Ay
∂z
∂Az
∂z








. (B.7)
• Divergence vektoru (vektorového pole) ⃗A(x, y, z) je definována jako skalár (skalární pole)
⃗∇ · ⃗A = div ⃗A = ^xi · ^xj
∂Ai
∂xj
=
∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
. (B.8)
Divergence vektoru v ortogonálních soustavách odpovídá stopě tenzoru gradientu vektorového
pole, je tedy kontrakcí tohoto tenzoru (viz kapitola 2.3). V obecných ortogonálních
souřadnicích může být zapsána ve formě
⃗∇ · ⃗A =
∂
∂xj
(hk
Ak
) + Γk
jlhl
Al
δk
j =
∂
∂xj
(hj
Aj
) + Γj
jlhl
Al
. (B.9)
S využitím rovnice (2.61) lze tento výraz přepsat rovněž do tvaru
⃗∇ · ⃗A =
∂
∂xj
(hkAk) − Γl
jkhlAl δjk =
∂
∂xj
(hjAj) − Γl
jjhlAl. (B.10)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 177
Členy hi jsou tzv. Laméovy koeficienty (viz kapitola 4), často také nazývané škálovací
faktory (nezaměňovat se stejnojmennými Laméovými koeficienty v mechanice kontinua),
pojmenované po francouzském matematikovi Gabrieli Lamé, kde v příslušném metrickém
tenzoru platí
hihi = gii, hi
hi
= gii
(B.11)
(proto nyní uvažujeme jen ortogonální soustavy, jejichž metrické tenzory mají nenulové
prvky pouze na hlavní diagonále). Výraz Γl
jk je tzv. Christoffelův symbol (viz kapitola 2.3)
pojmenovaný po německém matematikovi a fyzikovi Elwin Bruno Christoffelovi, definující
tzv. členy křivosti v křivočarých souřadných soustavách,
Γl
jk =
1
2
glm ∂gkm
∂xj
+
∂gjm
∂xk
−
∂gjk
∂xm
, (B.12)
kde indexy l, m jsou tzv. volné indexy, které mohou kdykoli nabývat kterékoli z hodnot
1, 2, 3, respektive x, y, z. Explicitní výraz pro divergenci vektoru v obecné ortogonální
soustavě lze zapsat formou (kde i ̸= j ̸= k)
⃗∇ · ⃗A =
1
hihjhk
∂
∂xi
(hjhkAi) +
∂
∂xj
(hkhiAj) +
∂
∂xk
(hihjAk) , (B.13)
Ta je zcela ekvivalentní kompaktnější formě zápisu,
⃗∇ · ⃗A =
1
√
g
∂
∂xi
(hjhkAi) =
1
√
g
∂
∂xi
√
g hi
Ai
. (B.14)
Složky hiAi (v literatuře se většinou zkráceně uvádí pouze Ai) vektoru ⃗A odpovídají (viz
rovnice (2.61)) hiAi = gij(hjAj), g je determinant metrického tenzoru, který je identický
s druhou mocninou příslušného Jakobiánu souřadnicové transformace. Platí tedy
|det gij| = J, |det gij| = J−1
. (B.15)
Obecně platí, že divergencí tenzoru řádu n je tenzor řádu n−1, divergencí tenzoru druhého
řádu tak bude vektor. Kompaktní forma zápisu divergence tenzoru druhého řádu bude mít
tvar
∇jAij
= Ai. (B.16)
Explicitní zápis divergence tenzoru druhého řádu v kartézském systému (prakticky se
jedná o maticové násobení vektoru s transponovanou maticí; při skalárním součinu dvou
vektorů se také jedná o maticové násobení dvou vektorů, kdy druhý z vektorů je transponovaný,
tedy sloupcový, viz kapitola 2.3) bude vypadat (viz Arfken & Weber (2005))
⃗∇ · Aij = ^x
∂
∂x
+ ^y
∂
∂y
+^z
∂
∂z



^x ^y ^z
^x Axx Axy Axz
^y Ayx Ayy Ayz
^z Azx Azy Azz



T
= (B.17)
^x
∂Axx
∂x
+
∂Axy
∂y
+
∂Axz
∂z
+ ^y
∂Ayx
∂x
+
∂Ayy
∂y
+
∂Ayz
∂z
+^z
∂Azx
∂x
+
∂Azy
∂y
+
∂Azz
∂z
.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 178
• Rotací vektoru (vektorového pole) ⃗A(x, y, z) v kartézské soustavě nazýváme vektor
⃗∇ × ⃗A = ^x
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
+ ^y
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
+^z
∂Ay
∂x
−
∂Ax
∂y
. (B.18)
Obecný výraz pro vektor rotace ⃗∇× ⃗A vektoru ⃗A v libovolné ortogonální souřadné soustavě
lze definovat způsobem
⃗∇ × ⃗A = ϵijk
1
hjhk
[∇j(hkAk)]^xi = ϵijk
1
hjhk
∂
∂xj
(hkAk) − Γl
jkhlAl ^xi . (B.19)
V rovnici (B.19) výraz ϵijk (kde všechny tři indexy i, j, k mohou odpovídat postupně
všem třem souřadnicovým směrům) odpovídá antisymetrickému, (tzv. Levi-Civitovu, viz
rovnice (2.50)) symbolu, který nabývá hodnoty +1 pro sudé permutace indexů, −1 pro
liché permutace indexů a 0 pokud se dva nebo více indexů opakuje.
Díky symetrii indexů ve složkách vektoru rotace a díky úplné antisymetričnosti LeviCivitova
ϵ-symbolu, se výrazy Γl
jkAl v rovnici (B.19) vyruší, celý výraz se tak zjednoduší
do podoby
⃗∇ × ⃗A = ϵijk
1
hjhk
∂
∂xj
(hkAk) ^xi . (B.20)
V kartézské soustavě, kde h1, h2, h3 = 1, bude rovnice (B.20) odpovídat rovnici (B.18).
Zapíšeme-li vektor rotace znovu po složkách, dostáváme
⃗∇ × ⃗A =
∂Az
∂y
−
∂Ay
∂z
,
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x
,
∂Ay
∂x
−
∂Ax
∂y
. (B.21)
• Laplacián (Laplaceův operátor) je definován jako divergence gradientu, tedy ⃗∇·⃗∇ (používá
se pro něj symbol ∆), jedná se tedy o skalární operátor, který může působit na skalární
funkce, vektory (po jednotlivých složkách), tenzory (po jednotlivých prvcích), aniž by
měnil jejich řád (t.j. skalár zůstává skalárem, vektor vektorem, atd.). V kartézské soustavě
má Laplacián zcela jednoduchý tvar: analogicky k rovnici (B.8), kde složky vektoru ⃗A
nahradíme složkami vektoru gradientu, můžeme psát
∆ = ⃗∇ · ⃗∇ = div grad =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
. (B.22)
B.1.2 Plochy, objemy
Označme Sk souřadnicovou plochu (viz kapitola 4) s konstantní hodnotou souřadnice xk, ohraničenou
souřadnicovými křivkami xi, xi +∆xi, xj, xj +∆xj, i ̸= j ̸= k. V kartézské soustavě půjde
např. o plochu s konstantní hodnotou z = z0, ohraničenou přímkami x = x0, x = x0 + ∆x, y =
y0, y = y0 + ∆y. Výpočet velikosti takové plochy je zde samozřejmě zcela triviální, půjde o obdélník
(čtverec) s obsahem ∆x∆y. Obecný vztah pro výpočet velikosti takové plochy bude mít
tvar
Sk =
x0i+∆xiˆ
x0i
x0j+∆xjˆ
x0j
J′
ij dxi dxj, (B.23)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 179
kde J′
ij je druhá odmocnina absolutní hodnoty determinantu (minoru) příslušné submatice metrického
tenzoru. V uvedeném případě by se jednalo o determinant J′
ij = |giigjj − gijgji|.
Integrand rovnice (B.23) definujeme jako plošný element dSk = J′
ij dxi dxj. V kartézské soustavě
budou determinanty všech tří submatic J′
ij = 1. Dále, označíme-li V objem, vymezený
souřadnicovými plochami s konstantními souřadnicemi xi, xi + ∆xi, xj, xj + ∆xj, xk, xk + ∆xk,
i ̸= j ̸= k, obecný vztah pro výpočet velikosti takového objemu bude mít tvar
V =
x0i+∆xiˆ
x0i
x0j+∆xjˆ
x0j
x0k+∆xkˆ
x0k
J dxi dxj dxk, (B.24)
kde J je druhá odmocnina absolutní hodnoty determinantu metrického tenzoru (Jakobiánu,
viz rovnice (B.15)). Integrand rovnice (B.24) vyjadřuje objemový element dV = J dxi dxj dxk.
V kartézské soustavě opět J = 1, vymezený prostor bude mít tvar pravoúhlého kvádru o objemu
∆x∆y∆z.
B.1.3 Vektory polohy, rychlosti a zrychlení
V kartézské soustavě je zápis vektorů velmi jednoduchý, polohový vektor ⃗r, vektor rychlosti ⃗v
a vektor zrychlení ⃗a budou mít postupně tvar,
⃗r = x^x + y^y + z^z = (x, y, z), (B.25)
⃗v =
d⃗r
dt
= ˙x^x + ˙y^y + ˙z^z = vx^x + vy^y + vz^z = (vx, vy, vz), (B.26)
⃗a =
d⃗v
dt
= ¨x^x + ¨y^y + ¨z^z = ax^x + ay^y + az^z = (ax, ay, az), (B.27)
kde ˙x = dx/dt, ˙y = dy/dt a ˙z = dz/dt.
B.2 Válcová soustava
Válcová soustava může být vhodná pro popis celé řady osově symetrických a rotačních jevů,
např. elektrického a magnetického pole okolo přímých vodičů, vírů v tekutinách, galaxií, hvězdných
disků, atd. Souřadnicové směry jsou (viz kapitola 4.2): ρ - vzdálenost od osy válcové
symetrie, ϕ - azimutální úhel, z - výška. Převod z válcové do kartézské soustavy je dán vztahy1
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z. (B.28)
Pro zpětnou transformaci z kartézské do válcové soustavy platí
ρ = x2 + y2, ϕ = arccos
x
x2 + y2
, ϕ = arcsin
y
x2 + y2
, ϕ = arctg
y
x
. (B.29)
Jednotkové vektory válcové báze budou mít v kartézské soustavě tvar (viz obrázek 4.1)
^ρ = ^x cos ϕ + ^y sin ϕ = (cos ϕ, sin ϕ, 0), ^ϕ = −^x sin ϕ + ^y cos ϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
^z = (0, 0, 1). (B.30)
1
V dalším popisu budeme rozlišovat ρ pro radiální válcovou souřadnici, r pro radiální kulovou souřadnici.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 180
Jediným konstantním bázovým vektorem tak bude vektor ^z, ostatní bázové vektory mění směr
v závislosti na úhlu ϕ. Nenulové derivace bázových vektorů ve směru souřadnicových os a
nenulové časové derivace bázových vektorů budou (z rovnice (B.30))
∂^ρ
∂ϕ
= (− sin ϕ, cos ϕ, 0) = ^ϕ,
∂^ρ
∂t
=
∂^ρ
∂ϕ
∂ϕ
∂t
= ^ϕ ˙ϕ,
∂^ϕ
∂ϕ
= (− cos ϕ, − sin ϕ, 0) = −^ρ,
∂^ϕ
∂t
=
∂^ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂t
= −^ρ ˙ϕ. (B.31)
Pokud budeme derivovat jednotkové vektory válcové báze ve směru kartézských souřadnicových
os, potom např. ve směru osy x dostaneme
∂^ρ
∂x
=
∂
∂x
(cos ϕ, sin ϕ, 0) =
∂
∂x
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
, 0 = −^ϕ
sin ϕ
ρ
,
∂^ϕ
∂x
=
∂
∂x
(− sin ϕ, cos ϕ, 0) = ^ρ
sin ϕ
ρ
. (B.32)
Obdobně získáme derivace ve všech ostatních směrech. Zpětná transformace jednotkových bázových
vektorů (viz rovnice (B.30)) bude
^x = ^ρ cos ϕ − ^ϕ sin ϕ, ^y = ^ρ sin ϕ + ^ϕ cos ϕ, ^z = ^z. (B.33)
Metrickou formu válcové soustavy snadno odvodíme, uvědomíme-li si, že vzdálenost dvou bodů
v prostoru musí být nezávislá na volbě souřadného systému, tedy ds2 z rovnice (B.2) se musí
pro všechny souřadné soustavy rovnat. Z rovnice (B.28) dostaneme,
dx = cos ϕ dρ − ρ sin ϕ dϕ, dy = sin ϕ dρ + ρ cos ϕ dϕ, dz = dz, (B.34)
dosazením do rovnice (B.2) dostáváme metrickou formu válcové souřadnicové soustavy,
ds2
= dρ2
+ ρ2
dϕ2
+ dz2
. (B.35)
Můžeme tedy napsat kovariantní (gij) i kontravariantní (gij) metrický tenzor a také (viz rovnice
(B.11)) příslušné Laméovy koeficienty válcové souřadnicové soustavy,
gij =


1 0 0
0 ρ2 0
0 0 1

 , gij
=




1 0 0
0
1
ρ2
0
0 0 1



 , hρ = 1, hϕ = ρ, hz = 1. (B.36)
Nenulové Christoffelovy symboly válcové metriky z rovnice (B.12) budou
Γρ
ϕϕ = −ρ, Γϕ
ϕρ (Γϕ
ρϕ) =
1
ρ
. (B.37)
B.2.1 Diferenciální operátory
• Gradient skalární funkce f(ρ, ϕ, z) ve válcové soustavě odvodíme z rovnice (B.5), kam za
jednotkové bázové vektory dosadíme výrazy z rovnice (B.33) a jednotlivé složky gradientu
rozvineme řetězovým pravidlem pro derivace. Po rozepsání dostáváme
⃗∇f = ^ρ cos ϕ − ^ϕ sin ϕ
∂f
∂ρ
∂ρ
∂x
+
∂f
∂ϕ
∂ϕ
∂x
+
∂f
∂z
∂z
∂x
+
+ ^ρ sin ϕ + ^ϕ cos ϕ
∂f
∂ρ
∂ρ
∂y
+
∂f
∂ϕ
∂ϕ
∂y
+
∂f
∂z
∂z
∂y
+^z
∂f
∂z
. (B.38)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 181
Jednotlivé nenulové parciální derivace vypočítáme z rovnice (B.29),
∂ρ
∂x
=
x
x2 + y2
= cos ϕ,
∂ϕ
∂x
= −
y
x2 + y2
= −
sin ϕ
ρ
,
∂ρ
∂y
=
y
x2 + y2
= sin ϕ,
∂ϕ
∂y
=
x
x2 + y2
=
cos ϕ
ρ
. (B.39)
Po dosazení a úpravě dostaneme výslednou podobu gradientu skalární funkce,
⃗∇f = ^ρ
∂f
∂ρ
+ ^ϕ
1
ρ
∂f
∂ϕ
+^z
∂f
∂z
=
∂f
∂ρ
,
1
ρ
∂f
∂ϕ
,
∂f
∂z
. (B.40)
Nyní již za jednotkové vektory válcové báze nedosazujeme jejich složky z rovnice (B.30),
kde jsme je „viděli“ ze soustavy kartézské. Analogicky k rovnici (B.6) (tenzorový součin) a
s použitím rovnice (B.40) je potom gradient vektorového pole ⃗A(ρ, ϕ, z) ve válcové soustavě
definován jako tenzor druhého řádu ve tvaru
⃗∇ ⃗A = ^ρ
∂
∂ρ
+ ^ϕ
1
ρ
∂
∂ϕ
+^z
∂
∂z
Aρ^ρ + Aϕ
^ϕ + Az^z . (B.41)
Na rozdíl od kartézské soustavy zde již jednotkové bázové vektory ^ρ a ^ϕ nejsou konstantní,
operátor gradientu tedy fakticky působí i na ně (jejich derivace jsou rozepsány
v rovnici (B.31)). Pomocí maticového formalismu můžeme tenzor gradientu vektorového
pole ve válcové soustavě zapsat
⃗∇ ⃗A =









^ρ ^ϕ ^z
^ρ
∂Aρ
∂ρ
∂Aϕ
∂ρ
∂Az
∂ρ
^ϕ
1
ρ
∂Aρ
∂ϕ
−
Aϕ
ρ
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
Aρ
ρ
1
ρ
∂Az
∂ϕ
^z
∂Aρ
∂z
∂Aϕ
∂z
∂Az
∂z









. (B.42)
Stejného výsledku docílíme i jiným postupem, např. s použitím formalismu Christoffelových
symbolů (viz rovnice (B.37)), kde na rozdíl od rovnice (B.19) zapíšeme
⃗∇ ⃗A =
1
hjhk
[∇j(hkAk)]^xj^xk =
1
hjhk
∂
∂xj
(hkAk) − Γl
jkhlAl ^xj^xk. (B.43)
Postup podle rovnice (B.43) lze ovšem použít pouze pro ortogonální souřadné soustavy,
postup podle rovnice (B.41) platí zcela obecně.
• Divergence vektoru (vektorového pole) ⃗A(ρ, ϕ, z) je ve válcových souřadnicích ve smyslu
rovnice (B.41), analogicky k rovnici (B.8), definována jako skalár (skalární pole)
⃗∇ · ⃗A =
1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) +
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
∂Az
∂z
. (B.44)
Porovnáním s rovnicí (B.42) opět vidíme, že divergence je stopou tenzoru gradientu vektorového
pole. Divergencí tenzoru druhého řádu, popsaného maticí 3×3, bude vektor (tenzor
1. řádu). Explicitní formu zápisu divergence tenzoru druhého řádu ve válcových souřadnicích
(srovnej s rovnicí (B.17) zde již uvádět nebudu, zájemce odkazuji na literaturu, např.
Abramowitz & Stegun (1972), Young (1993), Arfken & Weber (2005), atd.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 182
• Rotaci vektoru (vektorového pole) ⃗A(ρ, ϕ, z) ve válcové soustavě, kde hρ = 1, hϕ = ρ, hz =
1, odvodíme podle již uvedeného vztahu (B.20). Dostáváme
⃗∇ × ⃗A =
1
ρ
∂Az
∂ϕ
−
∂Aϕ
∂z
^ρ +
∂Aρ
∂z
−
∂Az
∂ρ
^ϕ +
1
ρ
∂
∂ρ
(ρAϕ) −
∂Aρ
∂ϕ
^z. (B.45)
• Laplacián odvodíme (viz rovnice (B.22)), nahradíme-li v rovnici divergence (B.44) složky
vektoru ⃗A odpovídajícími složkami vektoru gradientu z rovnice (B.40). Dostáváme
∆ =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
∂ϕ2
+
∂2
∂z2
. (B.46)
B.2.2 Plochy, objemy
Stejně jako v kartézské soustavě označme Sk souřadnicovou plochu s konstantní hodnotou souřadnice
xk, ohraničenou souřadnicovými křivkami xi, xi + ∆xi, xj, xj + ∆xj, i ̸= j ̸= k. Ve válcové
soustavě půjde např. o plochu s konstantní hodnotou z = z0, ohraničenou polopřímkami
ϕ = ϕ1, ϕ = ϕ2 a křivkami (kružnicemi) ρ = ρ1, ρ = ρ2. Výpočet velikosti takové plochy již není
tak zcela triviální, jako v kartézské soustavě, půjde o průnik kruhové výseče s plochou mezi
dvěma soustřednými kružnicemi. Pokud budeme uvažovat jinou plochu, např. s konstantní souřadnicí
ρ = ρ0, ohraničenou souřadnicovými plochami ϕ = ϕ1, ϕ = ϕ2, z = z1, z = z2, půjde o
část válcové plochy. Při výpočtech velikostí těchto ploch vyjdeme z rovnic (B.23) a (B.36),
Sρ =
ϕ2ˆ
ϕ1
z2ˆ
z1
√
gϕϕ gzz dϕ dz =
ϕ2ˆ
ϕ1
z2ˆ
z1
ρ dϕ dz = ρ∆ϕ∆z,
Sϕ =
z2ˆ
z1
ρ2ˆ
ρ1
√
gzz gρρ dz dρ =
z2ˆ
z1
ρ2ˆ
ρ1
dz dρ = ∆z∆ρ, (B.47)
Sz =
ρ2ˆ
ρ1
ϕ2ˆ
ϕ1
√
gρρ gϕϕ dρ dϕ =
ρ2ˆ
ρ1
ϕ2ˆ
ϕ1
ρ dρ dϕ =
ρ2
2 − ρ2
1
2
∆ϕ.
Ve válcovém souřadnicovém systému budou nediagonální členy submatic J′
ij (viz rovnice (B.23))
nulové. Označíme-li V objem, vymezený souřadnicovými plochami s konstantními souřadnicemi
ρ1, ρ2, ϕ1, ϕ2, z1, z2, velikost tohoto objemu dle rovnice (B.24) bude
V =
ρ2ˆ
ρ1
ϕ2ˆ
ϕ1
z2ˆ
z1
ρ dρ dϕ dz =
ρ2
2 − ρ2
1
2
∆ϕ∆z. (B.48)
Obdobným způsobem můžeme pomocí stanovení integračních mezí vypočítat v daném souřadnicovém
systému velikost jakéhokoli jiného složitějšího útvaru.
B.2.3 Vektory polohy, rychlosti a zrychlení
Při popisu vektorů ve válcové soustavě vyjdeme z jejich popisu v soustavě kartézské a dosadíme
všechny rovnice pro derivace jednotkových vektorů i vektorových složek (rovnice (B.28) (B.33)).
Polohový vektor a vektor rychlosti ve válcové soustavě budou
⃗r = x^x + y^y + z^z = ρ^ρ + z^z, ⃗v =
d⃗r
dt
= ˙ρ^ρ + ρ ˙ϕ^ϕ + ˙z^z. (B.49)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 183
Tento tvar lze očekávat, vzhledem k tomu, že polohový vektor vždy vychází z počátku souřadnic.
Vektory rychlosti a zrychlení jsou zároveň definovány jako
⃗v = vρ^ρ + vϕ
^ϕ + vz^z, ⃗a =
d⃗v
dt
= aρ^ρ + aϕ
^ϕ + az^z. (B.50)
Derivováním rovnice (B.49) podle času dostáváme jednotlivé složky vektoru zrychlení,
aρ = ¨ρ − ρ ˙ϕ2
=
dvρ
dt
− ρ ˙ϕ2
, aϕ = ρ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ =
dvϕ
dt
+ ˙ρ ˙ϕ, az = ¨z =
dvz
dt
. (B.51)
Protože d/dt = ∂/∂t + ⃗v · ⃗∇ (řetězové pravidlo pro derivování, v tomto případě pro parciální
derivace ⃗v = ⃗v(t, ρ, ϕ, z)), potom zrychlení, vyjádřené pomocí složek vektoru rychlosti bude
aρ =
∂vρ
∂t
+ vρ
∂vρ
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vρ
∂ϕ
+ vz
∂vρ
∂z
(⃗v·⃗∇)vρ
−
v2
ϕ
ρ
, (B.52)
aϕ =
∂vϕ
∂t
+ vρ
∂vϕ
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vϕ
∂ϕ
+ vz
∂vϕ
∂z
(⃗v·⃗∇)vϕ
+
vρvϕ
ρ
, (B.53)
az =
∂vz
∂t
+ vρ
∂vz
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vz
∂ϕ
+ vz
∂vz
∂z
(⃗v·⃗∇)vz
. (B.54)
B.3 Kulová soustava
Kulová soustava je vhodná pro popis jevů s centrální symetrií, jako jsou např. fyzikální pole,
tvořená hmotnými body, astronomickými tělesy, atd. Její základní popis naleznete již v kapitole
4.3. Mimo jiné se implicitně používá také v kartografii, kde soustava poledníků a rovnoběžek je
vlastně soustava azimutálních a elevačních úhlových souřadnic (viz dále). Zde je ovšem elevační
úhel počítán jiným způsobem, v „matematické konvenci“ roste od 0 do π (polární úhel), v
„kartografické konvenci“ roste od −π/2 do π/2 (elevační úhel), navíc v opačném smyslu vůči
směru nárůstu azimutální souřadnice.
Souřadnicové směry jsou: r - vzdálenost od středu kulové symetrie, θ - polární úhel, ϕ azimutální
úhel. Převod z kulové do kartézské soustavy je dán vztahy
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. (B.55)
Pro zpětnou transformaci z kartézské do kulové soustavy platí
r = x2 + y2 + z2,
θ = arccos
z
x2 + y2 + z2
, θ = arcsin
x2 + y2
x2 + y2 + z2
, (B.56)
ϕ = arccos
x
x2 + y2
, ϕ = arcsin
y
x2 + y2
, ϕ = arctg
y
x
.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 184
Analogicky k rovnici (B.30) budou mít jednotkové vektory kulové báze v kartézské soustavě
tvar (viz obrázek 4.2)
^r = ^x sin θ cos ϕ + ^y sin θ sin ϕ +^z cos θ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ),
^θ = ^x cos θ cos ϕ + ^y cos θ sin ϕ −^z sin θ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ), (B.57)
^ϕ = −^x sin ϕ + ^y cos ϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0).
V kulové soustavě není žádný z vektorů báze konstantní. Derivace bázových vektorů ve směru
jednotlivých souřadnicových os budou (z rovnice (B.57)),
∂^r
∂r
= 0,
∂^r
∂θ
= ^θ,
∂^r
∂ϕ
= ^ϕ sin θ,
∂^θ
∂r
= 0,
∂^θ
∂θ
= −^r,
∂^θ
∂ϕ
= ^ϕ cos θ, (B.58)
∂^ϕ
∂r
= 0,
∂^ϕ
∂θ
= 0,
∂^ϕ
∂ϕ
= −^r sin θ − ^θ cos θ.
Časové derivace bázových vektorů budou
∂^r
∂t
=
∂^r
∂θ
∂θ
∂t
+
∂^r
∂ϕ
∂ϕ
∂t
= ^θ ˙θ + ^ϕ ˙ϕ sin θ,
∂^θ
∂t
=
∂^θ
∂θ
∂θ
∂t
+
∂^θ
∂ϕ
∂ϕ
∂t
= −^r ˙θ + ^ϕ ˙ϕ cos θ, (B.59)
∂^ϕ
∂t
=
∂^ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂t
= −^r ˙ϕ sin θ − ^θ ˙ϕ cos θ.
Zpětnou transformací jednotkových bázových vektorů (viz rovnice (B.57)) dostáváme
^x = ^r sin θ cos ϕ + ^θ cos θ cos ϕ − ^ϕ sin ϕ,
^y = ^r sin θ sin ϕ + ^θ cos θ sin ϕ + ^ϕ cos ϕ, (B.60)
^z = ^r cos θ − ^θ sin θ.
Metrickou formu pro kulovou soustavu dostaneme diferencováním rovnice (B.55),
dx = sin θ cos ϕ dr + r cos θ cos ϕ dθ − r sin θ sin ϕ dϕ,
dy = sin θ sin ϕ dr + r cos θ sin ϕ dθ + r sin θ cos ϕ dϕ, (B.61)
dz = cos θ dr − r sin θ dθ,
dosazením do rovnice (B.2) dostáváme kulovou metrickou formu
ds2
= dr2
+ r2
dθ2
+ r2
sin2
θ dϕ2
. (B.62)
Kovariantní (gij) i kontravariantní (gij) metrický tenzor a také (viz rovnice (B.11)) příslušné
Laméovy koeficienty kulové souřadné soustavy budou,
gij =


1 0 0
0 r2 0
0 0 r2 sin2
θ

 , gij
=





1 0 0
0
1
r2
0
0 0
1
r2 sin2
θ





, hr = 1, hθ = r, hϕ = r sin θ.
(B.63)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 185
Podle rovnice (B.12) odvodíme nenulové Christoffelovy symboly kulové metriky,
Γr
θθ = −r, Γθ
θr (Γθ
rθ) = Γϕ
ϕr (Γϕ
rϕ) =
1
r
, Γr
ϕϕ = −r sin2
θ, Γθ
ϕϕ = − sin θ cos θ, Γϕ
ϕθ (Γϕ
θϕ) = cotg θ.
(B.64)
B.3.1 Diferenciální operátory
• Gradient skalární funkce f(r, θ, ϕ) v kulové soustavě odvodíme podle rovnice (B.5), kam
za jednotkové bázové vektory dosadíme výrazy z rovnice (B.60) a jednotlivé složky gradientu
rozvineme řetězovým pravidlem pro derivace. Po rozepsání dostáváme
⃗∇f = ^r sin θ cos ϕ + ^θ cos θ cos ϕ − ^ϕ sin ϕ
∂f
∂r
∂r
∂x
+
∂f
∂θ
∂θ
∂x
+
∂f
∂ϕ
∂ϕ
∂x
+
+ ^r sin θ sin ϕ + ^θ cos θ sin ϕ + ^ϕ cos ϕ
∂f
∂r
∂r
∂y
+
∂f
∂θ
∂θ
∂y
+
∂f
∂ϕ
∂ϕ
∂y
+ (B.65)
+ ^r cos θ − ^θ sin θ
∂f
∂r
∂r
∂z
+
∂f
∂θ
∂θ
∂z
.
Jednotlivé parciální derivace vypočítáme z rovnice (B.56),
∂r
∂x
=
x
x2 + y2 + z2
= sin θ cos ϕ,
∂θ
∂x
=
xz
x2 + y2 (x2 + y2 + z2)
=
cos θ cos ϕ
r
,
∂r
∂y
=
y
x2 + y2 + z2
= sin θ sin ϕ,
∂θ
∂y
=
yz
x2 + y2 (x2 + y2 + z2)
=
cos θ sin ϕ
r
,
∂r
∂z
=
z
x2 + y2 + z2
= cos θ,
∂θ
∂z
= −
x2 + y2
x2 + y2 + z2
= −
sin θ
r
,
∂ϕ
∂x
= −
y
x2 + y2
= −
sin ϕ
r sin θ
,
∂ϕ
∂y
=
x
x2 + y2
=
cos ϕ
r sin θ
. (B.66)
Po dosazení a úpravě dostaneme výslednou podobu gradientu
⃗∇f = ^r
∂f
∂r
+ ^θ
1
r
∂f
∂θ
+ ^ϕ
1
r sin θ
∂f
∂ϕ
=
∂f
∂r
,
1
r
∂f
∂θ
,
1
r sin θ
∂f
∂ϕ
. (B.67)
Opět zde za jednotkové vektory kulové báze již nedosazujeme jejich složky z rovnice (B.57),
kde jsme je „viděli“ ze soustavy kartézské. Analogicky k rovnici (B.6) (tenzorový součin),
s použitím rovnice (B.67), je potom gradient vektorového pole ⃗A(r, θ, ϕ) v kulové soustavě
definován jako tenzor 2. řádu ve tvaru
⃗∇ ⃗A = ^r
∂
∂r
+ ^θ
1
r
∂
∂θ
+ ^ϕ
1
r sin θ
∂
∂ϕ
Ar^r + Aθ
^θ + Aϕ
^ϕ . (B.68)
Na rozdíl od válcové soustavy zde operátor gradientu již působí na všechny jednotkové bázové
vektory (jejich derivace - viz rovnice (B.58)). Pomocí maticového formalismu můžeme
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 186
tenzor gradientu vektorového pole v kulové soustavě zapsat (Arfken & Weber, 2005)
⃗∇ ⃗A =









^r ^θ ^ϕ
^r
∂Ar
∂r
∂Aθ
∂r
∂Aϕ
∂r
^θ
1
r
∂Ar
∂θ
−
Aθ
r
1
r
∂Aθ
∂θ
+
Ar
r
1
r
∂Aϕ
∂θ
^ϕ
1
r sin θ
∂Ar
∂ϕ
−
Aϕ
r
1
r sin θ
∂Aθ
∂ϕ
−
Aϕ
r
cotg θ
1
r sin θ
∂Aϕ
∂ϕ
+
Ar
r
+
Aθ
r
cotg θ









.
(B.69)
Stejného výsledku docílíme i v tomto případě např. s použitím formalismu Christoffelových
symbolů (viz rovnice (B.37)) dle obecného vztahu (B.43), tento postup lze ovšem použít
pouze pro ortogonální souřadné soustavy, zatímco postup podle rovnice (B.68) platí zcela
obecně.
• Divergence vektoru (vektorového pole) ⃗A(r, θ, ϕ) je v kulových souřadnicích ve smyslu
rovnice (B.68), analogicky k rovnici (B.8), definována jako skalár (skalární pole)
⃗∇ · ⃗A =
1
r2
∂
∂r
r2
Ar +
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θAθ) +
1
r sin θ
∂Aϕ
∂ϕ
. (B.70)
Porovnáním s rovnicí (B.69) opět vidíme, že divergence je stopou tenzoru gradientu vektorového
pole.
• Rotaci vektoru (vektorového pole) ⃗A(r, θ, ϕ) v kulové soustavě, kde hr = 1, hθ = r, hϕ =
r sin θ, odvodíme podle rovnice (B.20), v tomto případě dostaneme
⃗∇ × ⃗A =
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θ Aϕ) −
∂Aθ
∂ϕ
^r +
1
r
1
sin θ
∂Ar
∂ϕ
−
∂
∂r
(rAϕ) ^θ
+
1
r
∂
∂r
(rAθ) −
∂Ar
∂θ
^ϕ. (B.71)
• Laplacián odvodíme (viz rovnice (B.22)), nahradíme-li v rovnici divergence (B.70) složky
vektoru ⃗A odpovídajícími složkami vektoru gradientu z rovnice (B.67), výsledný tvar,
zapsaný v kompaktní formě bude
∆ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂2
∂ϕ2
. (B.72)
B.3.2 Plochy, objemy
Stejně jako v předchozích soustavách označme Sk souřadnicovou plochu s konstantní hodnotou
souřadnice xk, ohraničenou souřadnicovými křivkami xi, xi + ∆xi, xj, xj + ∆xj, i ̸= j ̸= k.
V kulové soustavě půjde např. o plochu s konstantní hodnotou r = r0, ohraničenou dvojicemi
křivek (kružnicemi) se souřadnicemi θ = θ1, θ = θ2 a ϕ = ϕ1, ϕ = ϕ2. Výpočet velikosti takové
plochy již zde není vůbec triviální, půjde o část plochy s dvojí křivostí, ohraničenou dvěma
rozbíhajícími se souřadnicovými plochami (v nichž leží křivky se souřadnicemi ϕ = ϕ1, ϕ = ϕ2)
a dvěma kružnicemi se středy na společné ose, avšak ležícími v různých rovinách, kolmých
na tuto osu (křivky se souřadnicemi θ = θ1, θ = θ2). Pokud budeme uvažovat jinou plochu,
např. s konstantní souřadnicí ϕ = ϕ0, ohraničenou souřadnicovými plochami θ = θ1, θ = θ2, r =
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 187
r1, r = r2, půjde o část kruhové výseče, omezené dvěma soustřednými kružnicemi. Při výpočtech
velikostí těchto ploch vyjdeme opět z rovnice (B.23) a z rovnice (B.63), tedy
Sr =
θ2ˆ
θ1
ϕ2ˆ
ϕ1
√
gθθ gϕϕ dθ dϕ =
θ2ˆ
θ1
ϕ2ˆ
ϕ1
r2
sin θ dθ dϕ = r2
(cos θ1 − cos θ2) ∆ϕ,
Sθ =
ϕ2ˆ
ϕ1
r2ˆ
r1
√
gϕϕ grr dϕ dr =
ϕ2ˆ
ϕ1
r2ˆ
r1
r sin θ dϕ dr =
r2
2 − r2
1
2
sin θ∆ϕ, (B.73)
Sϕ =
r2ˆ
r1
θ2ˆ
θ1
√
grr gθθ dr dθ =
r2ˆ
r1
θ2ˆ
θ1
r dr dθ =
r2
2 − r2
1
2
∆θ.
V kulovém, tedy opět ortogonálním souřadném systému, budou všechny nediagonální členy
submatic J′
ij (viz rovnice (B.23)) nulové. Označme tradičně V objem, vymezený souřadnicovými
plochami s konstantními souřadnicemi r1, r2, θ1, θ2, ϕ1, ϕ2, tvar takového útvaru odpovídá v
tomto případě průniku jehlanu s koncentrickou sférickou mezivrstvou (mezikoulím). Vztah pro
výpočet velikosti takového objemu bude mít dle rovnice (B.24) tvar
V =
r2ˆ
r1
θ2ˆ
θ1
ϕ2ˆ
ϕ1
r2
sin θ dr dθ dϕ =
r3
2 − r3
1
3
(cos θ1 − cos θ2) ∆ϕ. (B.74)
V ortogonálním kulovém souřadném systému obdobně jako ve válcovém systému můžeme Jakobián
J stanovit jako
√
grr gθθ gϕϕ = r2 sin θ. Tato metoda umožní při vhodném stanovení integračních
mezí vypočítat v kulovém souřadnicovém systému velikosti jakkoli složitějších útvarů.
B.3.3 Vektory polohy, rychlosti a zrychlení
Při popisu vektorů v kulové soustavě vyjdeme z jejich základního popisu v soustavě kartézské,
zahrneme všechny rovnice pro derivace jednotkových vektorů i složek vektorů (rovnice (B.55)(B.60)).
Polohový vektor a vektor rychlosti v kulové soustavě budou
⃗r = x^x + y^y + z^z = r^r, ⃗v =
d⃗r
dt
=
d r^r
dt
= ˙r^r + r ˙θ^θ + ˙ϕ^ϕ sin θ . (B.75)
Tento závěr lze opět očekávat, uvědomíme-li si, že polohový vektor vychází z počátku souřadnic.
Vektory rychlosti a zrychlení jsou zároveň definovány jako
⃗v = vr^r + vθ
^θ + vϕ
^ϕ, ⃗a =
d⃗v
dt
= ar^r + aθ
^θ + aϕ
^ϕ. (B.76)
Derivováním rovnice (B.75) podle času dostáváme jednotlivé složky vektoru zrychlení v kulové
souřadné soustavě,
ar = ¨r − r ˙θ2
− r ˙ϕ2
sin2
θ =
dvr
dt
− r ˙θ2
− r ˙ϕ2
sin2
θ, (B.77)
aθ = r¨θ + 2 ˙r ˙θ − r ˙ϕ2
sin θ cos θ =
dvθ
dt
+ ˙r ˙θ − r ˙ϕ2
sin θ cos θ, (B.78)
aϕ = r ¨ϕ sin θ + 2 ˙r ˙ϕ sin θ + 2r ˙θ ˙ϕ cos θ =
dvϕ
dt
+ ˙r ˙ϕ sin θ + r ˙θ ˙ϕ cos θ. (B.79)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 188
Protože d/dt = ∂/∂t + ⃗v · ⃗∇ (řetězové pravidlo pro derivování, v tomto případě pro parciální
derivace ⃗v = ⃗v(t, r, θ, ϕ)), potom zrychlení, vyjádřené v kulové souřadné soustavě pomocí složek
vektoru rychlosti bude
ar =
∂vr
∂t
+ vr
∂vr
∂r
+
vθ
r
∂vr
∂θ
+
vϕ
r sin θ
∂vr
∂ϕ
(⃗v·⃗∇)vr
−
v2
θ + v2
ϕ
r
, (B.80)
aθ =
∂vθ
∂t
+ vr
∂vθ
∂r
+
vθ
r
∂vθ
∂θ
+
vϕ
r sin θ
∂vθ
∂ϕ
(⃗v·⃗∇)vθ
+
vrvθ
r
−
v2
ϕ cotg θ
r
, (B.81)
aϕ =
∂vϕ
∂t
+ vr
∂vϕ
∂r
+
vθ
r
∂vϕ
∂θ
+
vϕ
r sin θ
∂vϕ
∂ϕ
(⃗v·⃗∇)vϕ
+
vrvϕ
r
+
vθvϕ cotg θ
r
. (B.82)
Bylo by jistě možné popsat mnohem více podrobností, např. operace s vektory a tenzory v rámci
popisovaných soustav, atd., zde jsou ukázány alespoň některé postupy spíše z praktického pohledu.
V dalších odstavcích ukážeme stručně alespoň jednu neortogonální souřadnou soustavu,
jejíž popis byl do jisté míry vyvolán tvorbou numerické výpočetní sítě pro hydrodynamické
modelování konkrétního fyzikálního jevu.
B.4 Eliptická soustava
Dále stručně uvedeme tři specifické ortogonální soustavy, které mohou souviset s předchozí tématikou
nebo s uvedenými příklady (případně mohou mít zajímavé fyzikální uplatnění) - eliptickou,
parabolickou, a „anuloidovou“. Dvourozměrná eliptická souřadná soustava (viz obrázek
B.1) je definována dvěma třídami souřadnicových křivek s konstantními parametry σ ∈ ⟨0, ∞) a
τ ∈ ⟨0, 2π) (toto značení není zcela ustálené, v různých literaturách může být různé), se dvěma
společnými ohnisky v bodech [−a, 0], [a, 0]. V trojrozměrné verzi přibude ještě (válcová symetrie
vzhledem k ose z, soustava se potom nazývá eliptická-válcová) azimutální úhlový parametr
ϕ.
Transformační rovnice z kartézské do eliptické soustavy v trojrozměrném případě budou
x = a cosh σ cos τ cos ϕ, y = a cosh σ cos τ sin ϕ, z = a sinh σ sin τ. (B.83)
Z definice hyperbolického sinu a kosinu (1.20), (1.21) a z exponenciálního vyjádření sinu a
kosinu (viz Eulerovy vztahy v příkladu 9.7) snadno odvodíme zpětné transformační vztahy,
které ovšem budou mít (v pravotočivém pořadí proměnných σ, ϕ, τ) komplexní tvar (rovinu
ρ-z, kde ρ = x2 + y2, si můžeme představit jako Gaussovu rovinu),
σ =
1
2
argcosh
ρ + iz
a
+ argcosh
ρ − iz
a
, ϕ = arctg
y
x
,
τ =
1
2i
argcosh
ρ + iz
a
− argcosh
ρ − iz
a
. (B.84)
Metrická forma takové eliptické soustavy bude mít tvar
ds2
= a2
cosh2
σ sin2
τ + sinh2
σ cos2
τ dσ2
+ dτ2
+ cosh2
σ cos2
τ dϕ2
=
= a2
sinh2
σ + sin2
τ dσ2
+ dτ2
+ cosh2
σ cos2
τ dϕ2
=
= a2
cosh2
σ − cos2
τ dσ2
+ dτ2
+ cosh2
σ cos2
τ dϕ2
. (B.85)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 189
x
y
Obrázek B.1: Schéma dvourozměrné eliptické soustavy v rovině x, y, společná ohniska jsou v bodech
[−a, 0], [a, 0]. Modře vyznačené jsou eliptické křivky s konstantním parametrem σ, s posloupností
(od nejužších k nejširším) σ = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1, červeně vyznačené jsou hyperbolické křivky s konstantním
parametrem τ, s posloupností (zprava do leva) od τ = 0 do τ = π s intervalem π/12. V trojrozměrné
verzi (viz popis) potom vyobrazenému směru y odpovídá směr z.
Kovariantní metrický tenzor gij a příslušné Laméovy koeficienty eliptické souřadné soustavy
v pořadí směrů σ, ϕ, τ budou,
gij =



a2 sinh2
σ + sin2
τ 0 0
0 a2 cosh2
σ cos2 τ 0
0 0 a2 sinh2
σ + sin2
τ


 , (B.86)
hσ = a sinh2
σ + sin2
τ, hϕ = a cosh σ cos τ, hτ = a sinh2
σ + sin2
τ. (B.87)
Kontravariantní metrický tenzor gij diagonální metriky bude tenzor s převrácenými hodnotami
prvků na hlavní diagonále. Jakobián souřadnicové transformace z kartézské do eliptické soustavy
bude
J = a3
sinh2
σ + sin2
τ cosh σ cos τ = a3
cosh2
σ − cos2
τ cosh σ cos τ, (B.88)
jakobiánem zpětné transformace bude výraz J−1. Nenulové Christoffelovy symboly eliptické
metriky (viz rovnice (B.12)) budou (kde S = cosh 2σ − cos 2τ),
Γσ
σσ = −Γσ
ττ = Γτ
στ (Γτ
τσ) =
sinh 2σ
S
, Γτ
ττ = −Γτ
σσ = Γσ
στ (Γσ
τσ) =
sin 2τ
S
,
Γσ
ϕϕ = −
sinh 2σ cos2 τ
S
, Γτ
ϕϕ =
cosh2
σ sin 2τ
S
, Γϕ
σϕ(Γϕ
ϕσ) = tanh σ, Γϕ
ϕτ (Γϕ
τϕ) =− tg τ. (B.89)
Diferenciální operátory gradientu skalární funkce, divergence a rotace vektoru a Laplaciánu
budou mít (s použitím formalismu Laméových koeficientů pro ortogonální soustavy a také rovnic
(B.14) a (B.20)) v této eliptické souřadné soustavě postupně tvar,
⃗∇f =
∂f
∂σ
a sinh2
σ + sin2
τ
,
∂f
∂ϕ
a cosh σ cos τ
,
∂f
∂τ
a sinh2
σ + sin2
τ
, (B.90)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 190
⃗∇ · ⃗A =
∂
∂σ sinh2
σ + sin2
τ cosh σ Aσ
a sinh2
σ + sin2
τ cosh σ
+
+
∂Aϕ
∂ϕ
a cosh σ cos τ
+
∂
∂τ sinh2
σ + sin2
τ cos τ Aτ
a sinh2
σ + sin2
τ cos τ
, (B.91)
⃗∇ × ⃗A =
cosh σ ∂
∂τ (cos τ Aϕ) − sinh2
σ + sin2
τ ∂Aτ
∂ϕ
a sinh2
σ + sin2
τ cosh σ cos τ
^σ+
+
∂
∂σ sinh2
σ + sin2
τ Aτ − ∂
∂τ sinh2
σ + sin2
τ Aσ
a sinh2
σ + sin2
τ
^ϕ+
+
sinh2
σ + sin2
τ ∂Aσ
∂ϕ − cos τ ∂
∂σ (cosh σ Aϕ)
a sinh2
σ + sin2
τ cosh σ cos τ
^τ, (B.92)
∆ =
∂
∂σ cosh σ ∂
∂σ + ∂
∂τ cos τ ∂
∂τ
a2 sinh2
σ + sin2
τ cosh σ cos τ
+
∂2
∂ϕ2
a2 cosh2
σ cos2 τ
. (B.93)
Ostatní operátorové identity a geometrické parametry odvodíme analogickým způsobem jako v
případě válcové nebo sférické souřadné soustavy.
B.5 Parabolická soustava
Parabolická souřadná soustava je ve dvourozměrné verzi (viz obrázek B.2) definována dvěma
třídami parabolických souřadnicových křivek s konstantními parametry u a v (toto značení opět
není zcela ustálené, v různých literaturách může být různé) a se společným ohniskem v bodě
[0, 0]. V trojrozměrné verzi přibude ještě (válcová symetrie vzhledem k ose z, soustava se potom
nazývá parabolická-válcová) azimutální úhlový parametr ϕ.
x
y
Obrázek B.2: Schéma dvourozměrné parabolické soustavy v rovině x, y. Modře vyznačené jsou křivky
s konstantním parametrem u = 0,5 (nejužší); 1; 1,5; 2; 2,5; 3 (nejširší), červeně vyznačené jsou křivky
se stejnou posloupností konstantních parametrů v. V trojrozměrném případě (viz popis) potom vyobrazenému
směru y odpovídá směr z.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 191
Transformační rovnice v trojrozměrném případě budou
x = uv cos ϕ, y = uv sin ϕ, z =
u2 − v2
2
. (B.94)
Zpětné transformační vztahy v pravotočivém pořadí proměnných u, v, ϕ budou mít tvar
u = x2 + y2 + z2 + z, v = x2 + y2 + z2 − z, ϕ = arctg
y
x
. (B.95)
Metrická forma parabolické soustavy bude mít tvar
ds2
= u2
+ v2
du2
+ dv2
+ u2
v2
dϕ2
. (B.96)
Kovariantní metrický tenzor gij a příslušné Laméovy koeficienty parabolické souřadné soustavy
v pořadí směrů u, v, ϕ budou,
gij =


u2 + v2 0 0
0 u2 + v2 0
0 0 u2v2

 , hu = u2 + v2, hv = u2 + v2, hϕ = uv. (B.97)
Kontravariantní metrický tenzor gij diagonální metriky bude tenzor s převrácenými hodnotami
prvků na hlavní diagonále. Jakobián souřadnicové transformace z kartézské do parabolické
soustavy bude
J = uv u2
+ v2
, (B.98)
jakobiánem zpětné transformace bude výraz J−1. Nenulové Christoffelovy symboly parabolické
metriky (viz rovnice (B.12)) budou,
Γu
uu = Γv
uv (Γv
vu) =
u
u2 + v2
, Γv
vv = Γu
uv (Γu
vu) =
v
u2 + v2
, Γv
uu = −
v
u2 + v2
, Γu
vv = −
u
u2 + v2
,
Γu
ϕϕ = −
uv2
u2 + v2
, Γv
ϕϕ = −
u2v
u2 + v2
, Γϕ
uϕ (Γϕ
ϕu) =
1
u
, Γϕ
vϕ (Γϕ
ϕv) =
1
v
. (B.99)
Diferenciální operátory gradientu skalární funkce, divergence a rotace vektoru a Laplaciánu
budou mít (s použitím formalismu Laméových koeficientů pro ortogonální soustavy a také rovnic
(B.14) a (B.20)) v parabolické souřadné soustavě postupně tvar,
⃗∇f =
∂f
∂u√
u2 + v2
,
∂f
∂v√
u2 + v2
,
1
uv
∂f
∂ϕ
, (B.100)
⃗∇ · ⃗A =
∂
∂u u
√
u2 + v2 Au
u(u2 + v2)
+
∂
∂v v
√
u2 + v2 Av
v(u2 + v2)
+
1
uv
∂Aϕ
∂ϕ
, (B.101)
⃗∇ × ⃗A =
∂
∂v (uvAϕ) −
√
u2 + v2 ∂Av
∂ϕ
uv
√
u2 + v2
^u +
√
u2 + v2 ∂Au
∂ϕ − ∂
∂u (uvAϕ)
uv
√
u2 + v2
^v+
+
∂
∂u
√
u2 + v2 Av − ∂
∂v
√
u2 + v2 Au
u2 + v2
^ϕ, (B.102)
∆ =
1
u
∂
∂u u ∂
∂u + 1
v
∂
∂v v ∂
∂v
(u2 + v2)
+
1
u2v2
∂2
∂ϕ2
. (B.103)
Ostatní operátorové identity a geometrické parametry odvodíme obdobně jako v případě válcové
nebo sférické souřadné soustavy.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 192
B.6 „Anuloidová“ soustava
V tomto případě také nebudeme uvádět úplný popis všech vztahů a operátorů, i s ohledem
na to, že daná soustava je příliš „specifická“, resp. týká se pouze jednoho typu geometrického
tělesa, tzv. anuloidu (toroidu) - viz obrázek B.3 (popis soustavy rovněž odkazuje k příkladům
7.55 a 7.66). Ukážeme pouze, jak je možné flexibilně adaptovat principy, odvozené pro předchozí
„univerzální“ geometrické systémy na (v podstatě jakýkoli) speciální případ. Anuloidem
osaanuloidu
a
r
t
R ρ = x2 + y2
z
φ
Obrázek B.3: Příčný řez anuloidem v rovině ρ-z, jednotlivé směry odpovídají válcové soustavě.
nazýváme těleso, které vznikne rotací kružnice okolo osy, která leží v rovině této kružnice a
nemá s ní společný bod (vznikne tak válcově symetrická trubice - torus, připomínající „duši
pneumatiky“).
Označíme-li R poloměr osy toru, a poloměr trubice (toru), r radiální vzdálenost uvnitř
trubice vzhledem k ose trubice, t úhlovou souřadnici vnitřku trubice a značení ostatních směrů
bude odpovídat standardní cylindrické notaci, tj. ρ bude odpovídat radiální vzdálenosti od osy
celého anuloidu, ϕ bude azimutální úhel anuloidu a z vertikální souřadnice (vše je vyznačené
v obrázku B.3), můžeme za anuloidové (proměnné) souřadnice považovat r, ϕ, t (v pravotočivém
smyslu). Transformační vztahy můžeme zapsat následovně,
x = (R + r cos t) cos ϕ, y = (R + r cos t) sin ϕ, z = r sin t. (B.104)
Vztahy pro zpětnou transformaci budou mít v tomto případě tvar
r = x2 + y2 − R
2
+ z2, ϕ = arctg
y
x
, t = arcsin
z
x2 + y2 − R
2
+ z2
. (B.105)
Kovariantní metrický tenzor gij a příslušné Laméovy koeficienty anuloidové souřadné soustavy
budou,
gij =


1 0 0
0 (R + r cos t)2 0
0 0 r2

 , hr = 1, hϕ = R + r cos t, ht = r. (B.106)
Vzhledem k tomu, že jde o diagonální metriku, bude kontravariantním metrickým tenzorem
gij zpětné transformace rovněž tenzor s převrácenými hodnotami prvků na hlavní diagonále.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 193
Jakobián souřadnicové transformace z kartézské do anuloidové soustavy tedy bude
J = r(R + r cos t), (B.107)
jakobiánem zpětné transformace bude opět výraz J−1. Ostatní parametry lze snadno odvodit
analogickým způsobem jako v předchozích soustavách.
B.7 Příklady neortogonálních soustav
B.7.1 „Kuželová“ soustava
Přirozeným příkladem neortogonální souřadnicové soustavy může být „kuželová“ soustava (záměrně
zde dávám název do uvozovek, protože regulérní tzv. kónická soustava má jiný význam,
je ortogonální a je sestavená jiným způsobem, který zde dále neuvádím). Souřadnicové směry
zde zavedené kuželové soustavy jsou: z ∈ ⟨0, H) - vertikální souřadnice, ϕ ∈ ⟨0, 2π) - azimutální
úhel, θ ∈ ⟨0, π/2) - polární úhel a je definována následovně (viz obrázek B.4): Transformační
rovnice z této kuželové do kartézské souřadné soustavy jsou
x = z tg θ cos ϕ, y = z tg θ sin ϕ, z = z. (B.108)
Pro zpětnou transformaci z kartézské do kuželové soustavy dostáváme2
z = z, ϕ = arctg
y
x
, θ = arctg
x2 + y2
z
. (B.109)
Analogicky k rovnicím (B.30) a (B.57) budou mít jednotkové vektory kuželové báze v kartézské
soustavě tvar (viz pravidla pro sčítání vektorů)
^z = ^z, ^ϕ = −^x sin ϕ + ^y cos ϕ, ^θ = (^x cos ϕ + ^y sin ϕ) cos θ −^z sin θ. (B.110)
Zpětnou transformací jednotkových bázových vektorů (viz rovnice (B.110)) dostáváme
^x =
^z sin θ + ^θ
cos θ
cos ϕ − ^ϕ sin ϕ, ^y =
^z sin θ + ^θ
cos θ
sin ϕ + ^ϕ cos ϕ, ^z = ^z. (B.111)
V takto definované kuželové soustavě je jediný konstantní bázový vektor ^z (analogický kartézské
nebo válcové soustavě), ostatní vektory báze jsou nekonstantní (bázový vektor ^ϕ odpovídá
stejnému vektoru válcové či kulové soustavy, bázový vektor ^θ je analogický kulové soustavě).
Obrázek B.4 schématicky znázorňuje tuto soustavu ve vertikální rovině z - θ (ϕ = konst.).
Volné parametry jsou maximální vertikální rozměr (výška) z = zmax ≡ H a maximální polární
úhel limθ→π/2 θmax, tedy právě s vyloučením krajního úhlu. .
Derivace bázových vektorů ve směru jednotlivých souřadnicových os budou (z rovnice (B.110))
∂^z
∂z
= 0,
∂^z
∂ϕ
= 0,
∂^z
∂θ
= 0,
∂^ϕ
∂z
= 0,
∂^ϕ
∂ϕ
= −
^z sin θ + ^θ
cos θ
,
∂^ϕ
∂θ
= 0, (B.112)
∂^θ
∂z
= 0,
∂^θ
∂ϕ
= ^ϕ cos θ,
∂^θ
∂θ
= −
^z + ^θ sin θ
cos θ
.
2
V této soustavě platí pro azimutální souřadnici ϕ úplně stejné transformační rovnice jako v případě válcových
souřadnic.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 194
z = 0
θ = 0
P
osasoustavy
ρ=ρmax
z
ρ
θ
Req
ρ=0
ρ=Req
θ =
θmax
θ =
θmin
Obrázek B.4: Schématický obrázek kuželové souřadné soustavy v rovině z-θ (ϕ = konst.). Modrá čárkovaná
čára, procházející obecným bodem P vyznačuje průnik souřadnicových ploch Sϕ a Sθ.
Časové derivace bázových vektorů budou
∂^z
∂t
= 0,
∂^ϕ
∂t
=
∂^ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂t
= −
^z sin θ + ^θ
cos θ
˙ϕ,
∂^θ
∂t
=
∂^θ
∂ϕ
∂ϕ
∂t
+
∂^θ
∂θ
∂θ
∂t
= ^ϕ ˙ϕ cos θ −
^z + ^θ sin θ
cos θ
˙θ. (B.113)
Metrickou formu pro kuželovou soustavu odvodíme diferencováním rovnice (B.108),
dx = tg θ cos ϕ dz − z tg θ sin ϕ dϕ +
z cos ϕ
cos2 θ
dθ,
dy = tg θ sin ϕ dz + z tg θ cos ϕ dϕ +
z sin ϕ
cos2 θ
dθ, dz = dz, (B.114)
dosazením do rovnice (B.2) dostáváme nediagonální kuželovou metrickou formu ve tvaru
ds2
=
dz2
cos2 θ
+
2z sin θ
cos3 θ
dz dθ + z2
tg 2
θ dϕ2
+
dθ2
cos4 θ
. (B.115)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 195
Kovariantní a kontravariantní metrické tenzory soustavy se souřadnicemi v pořadí z, ϕ, θ budou
gij =






1
cos2 θ
0
z sin θ
cos3 θ
0 z2 tg 2θ 0
z sin θ
cos3 θ
0
z2
cos4 θ






, gij
=






1 0 −
sin θ cos θ
z
0
1
z2 tg 2θ
0
−
sin θ cos θ
z
0
cos2 θ
z2






. (B.116)
Jacobiho matice transformace z kartézské soustavy a matice inverzní transformace budou
Jij =






tg θ cos ϕ −z tg θ sin ϕ
z cos ϕ
cos2 θ
tg θ sin ϕ z tg θ cos ϕ
z sin ϕ
cos2 θ
1 0 0






, J−1
ij =






0 0 1
−
sin ϕ
z tg θ
cos ϕ
z tg θ
0
cos ϕ cos2 θ
z
sin ϕ cos2 θ
z
−
sin θ cos θ
z






,
(B.117)
příslušné jakobiány tedy budou,
J = |det Jij| = |det gij| =
z2 sin θ
cos3 θ
, J−1
= det J−1
ij = |det gij| =
cos3 θ
z2 sin θ
. (B.118)
Nenulové Christoffelovy symboly kuželové metriky jsou
Γϕ
zϕ (Γϕ
ϕz) = Γθ
zθ (Γθ
θz) =
1
z
, Γϕ
ϕθ (Γϕ
θϕ) =
1
sin θ cos θ
, Γθ
ϕϕ = − sin θ cos θ, Γθ
θθ = 2 tg θ. (B.119)
Protože se nejedná o ortogonální metriku (vyjádřenou diagonálním metrickým tenzorem), nedefinujeme
zde žádné Laméovy koeficienty.
Diferenciální operátory
• Gradient skalární funkce f(z, ϕ, θ) v kuželové soustavě odvodíme stejným způsobem, jako
v předchozích soustavách. Jednotlivé nenulové parciální derivace pro kuželovou soustavu
z rovnice (B.109) budou
∂z
∂z
= 1,
∂ϕ
∂x
= −
y
x2 + y2
= −
sin ϕ
z tg θ
,
∂ϕ
∂y
=
x
x2 + y2
=
cos ϕ
z tg θ
,
∂θ
∂x
=
xz
x2 + y2 (x2 + y2 + z2)
=
cos ϕ cos2 θ
z
,
∂θ
∂y
=
yz
x2 + y2 (x2 + y2 + z2)
=
sin ϕ cos2 θ
z
,
∂θ
∂z
= −
x2 + y2
x2 + y2 + z2
= −
sin θ cos θ
z
.
Stejně jako v předchozích souřadných soustavách dostáváme gradient skalární funkce,
⃗∇f = ^z
∂f
∂z
+ ^ϕ
1
z tg θ
∂f
∂ϕ
+ ^θ
cos θ
z
∂f
∂θ
=
∂f
∂z
,
1
z tg θ
∂f
∂ϕ
,
cos θ
z
∂f
∂θ
. (B.120)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 196
Stejným postupem jako v předchozích souřadných soustavách můžeme také získat tenzor
gradientu vektorového pole, který můžeme pomocí maticového formalismu v kuželové
soustavě zapsat,
⃗∇ ⃗A =









^z ^ϕ ^θ
^z
∂Az
∂z
∂Aϕ
∂z
∂Aθ
∂z
^ϕ
1
z tg θ
∂Az
∂ϕ
−
Aϕ
z
1
z tg θ
∂Aϕ
∂ϕ
+
Aθ cos θ
z tg θ
1
z tg θ
∂Aθ
∂ϕ
−
Aϕ
z sin θ
^θ
cos θ
z
∂Az
∂θ
−
Aθ
z
cos θ
z
∂Aϕ
∂θ
cos θ
z
∂Aθ
∂θ
−
Aθ sin θ
z









. (B.121)
• Divergence vektoru (vektorového pole) ⃗A(z, ϕ, θ) je v kuželových souřadnicích opět definována
jako skalární součin vektoru gradientu s obecným vektorem, tedy
⃗∇ · ⃗A = ^z
∂
∂z
+ ^ϕ
1
z tg θ
∂
∂ϕ
+ ^θ
cos θ
z
∂
∂θ
· Az^z + Aϕ
^ϕ + Aθ
^θ , (B.122)
kde ovšem, na rozdíl od ortogonálních systémů, nejsou obecně skalární součiny rozdílných
vektorů báze nulové, tedy nemusí platit eiej = δj
i . Jmenovitě v tomto systému bude
nenulový součin
ei ej
i̸=j
= ^z · ^θ = − sin θ. (B.123)
Přímým výpočtem a po úpravách dostáváme
⃗∇ · ⃗A =
1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) +
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
cos θ
ρ
∂Aθ
∂θ
−
sin θ
ρ
∂
∂ρ
(ρAθ) + cos θ
∂Aρ
∂θ
. (B.124)
Na rozdíl od ortogonálních soustav není v tomto případě divergence jednoduchou stopou
tenzoru gradientu vektorového pole (B.157), nýbrž je třeba ještě přičíst prvky na vedlejší
diagonále (respektive ty, které odpovídají nenulovým prvkům metrického tenzoru
(B.152)), násobené skalárním součinem příslušných jednotkových vektorů, v tomto případě
rovnicí (B.159).
• Rotaci vektoru (vektorového pole) ⃗A(ρ, ϕ, θ) v diskových souřadnicích nemůžeme odvodit
podle rovnice (B.20) (soustava není ortogonální), v tomto případě musíme provést přímý
výpočet z definice rotace vektoru,
⃗∇ × ⃗A = ^ρ
∂
∂ρ
+ ^ϕ
1
ρ
∂
∂ϕ
+ ^θ
cos θ
ρ
∂
∂θ
× Aρ^ρ + Aϕ
^ϕ + Aθ
^θ , (B.125)
kde musíme nejprve provést všechny (nenulové) derivace jednotkových bázových vektorů
(viz rovnice (B.148)), potom vektorové součiny. Ponecháme-li pouze nenulové komponenty,
tj. vypustíme-li nulové derivace jednotkových bázových vektorů a také členy se stejnými
bázovými vektory a tedy s nulovým vektorovým součinem, dostáváme explicitní výraz
⃗∇ × ⃗A = ^ρ × ^ϕ
∂Aϕ
∂ρ
+
Aϕ
ρ
−
1
ρ
∂Aρ
∂ϕ
+ ^ϕ × ^θ
1
ρ
∂Aθ
∂ϕ
−
cos θ
ρ
∂Aϕ
∂θ
+
+^θ × ^ρ
cos θ
ρ
∂Aρ
∂θ
−
∂Aθ
∂ρ
−
Aθ
ρ
. (B.126)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 197
Vektorové součiny bázových vektorů zde ovšem nebudou tak jednoduché, jako v případě
ortogonálních soustav, na základě rovnice (B.146) pro sudé permutace dostaneme
^ρ × ^ϕ =
^ρ sin θ + ^θ
cos θ
, ^ϕ × ^θ =
^ρ + ^θ sin θ
cos θ
, ^θ × ^ρ = ^ϕ cos θ. (B.127)
Po dosazení a úpravách dostaneme výslednou podobu rotace vektoru v diskové soustavě,
⃗∇ × ⃗A =^ρ
tan θ
ρ
∂
∂ρ
(ρAϕ) −
∂Aρ
∂ϕ
+
1
ρ
1
cos θ
∂Aθ
∂ϕ
−
∂Aϕ
∂θ
+
^ϕ
cos θ
ρ
cos θ
∂Aρ
∂θ
−
∂
∂ρ
(ρAθ) +
^θ
1
ρ cos θ
∂
∂ρ
(ρAϕ) −
∂Aρ
∂ϕ
+
sin θ
ρ
1
cos θ
∂Aθ
∂ϕ
−
∂Aϕ
∂θ
. (B.128)
• Laplacián odvodíme z rovnice divergence (B.158), ve které nahradíme složky vektoru ⃗A
odpovídajícími složkami vektoru gradientu z rovnice (B.156), výsledný tvar (není nutné
zde opakovat podrobný vektorový zápis, postup je zcela obdobný, jako v předchozích
případech), zapsaný v kompaktní formě bude
∆ =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
∂ϕ2
+
cos θ
ρ2
∂
∂θ
cos θ
∂
∂θ
−
sin 2θ
ρ
∂2
∂ρ ∂θ
. (B.129)
Plochy, objemy
Stejně jako v předchozích soustavách odvodíme velikosti základních ploch a základního objemu
prostorové buňky, tj. plochy a objem, ohraničené jednotlivými souřadnicovými plochami (včetně
stejného způsobu značení, další značení viz také obr. B.5). Objem jedné buňky souřadnicové
sítě bude
V =
z2ˆ
z1
z2
dz
ϕ2ˆ
ϕ1
dϕ
θ2ˆ
θ1
sin θ
cos3 θ
dθ =
z3
2 − z3
1
6
ϕ2 − ϕ1
1
cos2 θ2
−
1
cos2 θ1
. (B.130)
Determinanty submatic metrického tenzoru, odpovídající jednotlivým plochám prostorové buňky
(způsob značení je popsán v rámci popisu válcové a kulové soustavy) budou
J′
z =
z2 sin θ
cos3 θ
, J′
ϕ =
z
cos2 θ
, J′
θ =
z sin θ
cos2 θ
(B.131)
a plochy jednotlivých buněk sítě budou mít velikost
Sz = z2
ϕ2ˆ
ϕ1
dϕ
θ2ˆ
θ1
sin θ
cos3 θ
dθ =
z2
2
ϕ2 − ϕ1
1
cos2 θ2
−
1
cos2 θ1
, (B.132)
Sϕ =
θ2ˆ
θ1
dθ
cos2 θ
z2ˆ
z1
z dz =
z2
2 − z2
1
2
( tg θ2 − tg θ1) , (B.133)
Sθ =
sin θ
cos2 θ
z2ˆ
z1
z dz
ϕ2ˆ
ϕ1
dϕ =
z2
2 − z2
1
2
ϕ2 − ϕ1
sin θ
cos2 θ
. (B.134)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 198
Vektory polohy, rychlosti a zrychlení
Při popisu vektorů v kuželové soustavě vyjdeme jako obvykle z jejich základního popisu v
soustavě kartézské, zahrneme všechny rovnice pro derivace jednotkových vektorů i vektorových
složek (rovnice (B.144)-(B.149)). Polohový vektor v kuželové soustavě bude
⃗r = x^x + y^y + z^z =
^zz + ^θz sin θ
cos2 θ
. (B.135)
Tento závěr již není tak názorný a snadno představitelný, jako v případě předchozích typů
souřadnic. Vektor rychlosti ⃗v bude
⃗v = ^z
˙z − z ˙θ tg θ
cos2 θ
+ ^ϕz tg θ ˙ϕ + ^θ
˙z tg θ
cos θ
+
z ˙θ
cos3 θ
. (B.136)
Vektory rychlosti a zrychlení musí být zároveň definovány jako
⃗v = vz^z + vϕ
^ϕ + vθ
^θ, ⃗a =
d⃗v
dt
= az^z + aϕ
^ϕ + aθ
^θ. (B.137)
Derivováním rovnice (B.172) podle času dostáváme jednotlivé složky vektoru zrychlení v kuželové
souřadné soustavě
aρ =
¨ρ + tan θ[ρ¨θ + 2 ˙θ( ˙ρ + ρ ˙θ tan θ)]
cos2 θ
− ρ ˙ϕ2
=
dvρ
dt
− ρ ˙ϕ2
−
˙θ
cos2 θ
˙ρ tan θ +
ρ ˙θ
cos2 θ
,
aϕ = ρ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ =
dvϕ
dt
+ ˙ρ ˙ϕ, (B.138)
aθ =
1
cos θ
¨ρ tan θ +
ρ¨θ + 2 ˙θ ( ˙ρ + ρ ˙θ tan θ)
cos2 θ
=
dvθ
dt
−
tan θ ˙θ
cos θ
˙ρ tan θ +
ρ ˙θ
cos2 θ
.
Z uvedených rovnic snadno zjistíme, že pro hlavní členy složek rychlosti platí
˙ρ = vρ − vθ sin θ, ˙ϕ =
vϕ
ρ
, ˙θ =
(vθ − vρ sin θ) cos θ
ρ
. (B.139)
Protože d⃗v/dt = ∂⃗v/∂t + ⃗v · ⃗∇⃗v, můžeme napsat zrychlení, vyjádřené v kuželové souřadné
soustavě, pomocí složek vektoru rychlosti
az =
∂vρ
∂t
+ vρ
∂vρ
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vρ
∂ϕ
+ vθ
cos θ
ρ
∂vρ
∂θ
(⃗v·⃗∇)vρ
−
v2
ϕ + v2
θ
ρ
+
vρvθ sin θ
ρ
, (B.140)
aϕ =
∂vϕ
∂t
+ vρ
∂vϕ
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vϕ
∂ϕ
+ vθ
cos θ
ρ
∂vϕ
∂θ
(⃗v·⃗∇)vϕ
+
vρvϕ
ρ
−
vϕvθ sin θ
ρ
, (B.141)
aθ =
∂vθ
∂t
+ vρ
∂vθ
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vθ
∂ϕ
+ vθ
cos θ
ρ
∂vθ
∂θ
(⃗v·⃗∇)vθ
−
v2
θ sin θ
ρ
+
vρvθ sin2
θ
ρ
. (B.142)
Členy na pravých stranách rovnic (B.176)-(B.178), spojené svorkou, vyjadřují (nelineární) advekci,
zbývající členy reprezentující tzv. fiktivní (setrvačné) síly - odstředivá síla, Coriolisova
síla, Eulerova síla.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 199
Porovnáním rovnic (B.108) a (B.139) můžeme zapsat složky vektoru rychlosti vρ, vϕ, vθ
v diskové soustavě pomocí složek vektoru rychlosti vρ, cyl, vϕ, cyl, vz ve standardní válcové souřadné
soustavě (odstavec B.2). Dostáváme tak vzájemný vztah mezi velikostmi složek rychlosti
v obou soustavách,
vρ = vρ, cyl +
z
ρ
vz = vρ, cyl + vz tan θ, vϕ = vϕ, cyl, vθ =
ρ2 + z2
ρ
vz =
vz
cos θ
. (B.143)
Vezmeme-li dále v úvahu vertikální hydrostatickou rovnováhu v takovém disku, dP/dz = −ρgz,
kde P je skalární tlak a gz je vertikální složka gravitačního zrychlení, dostáváme pro vertikální
složku rychlosti vz = 0. Pohybové rovnice (B.140)-(B.142) tak budou identické s odpovídajícími
pohybovými rovnicemi (B.52)-(B.54) ve standardní válcové geometrii.
B.7.2 „Disková“ soustava
Podívejme se nyní na jiný možný geometrický případ, který může vyžadovat zavedení neortogonální
souřadné soustavy. Jedná se o geometrický popis rozsáhlého plynného disku, rozprostírajícího
se okolo velmi rychle rotující a tudíž silně zploštělé hvězdy, který je v blízkosti hvězdy
velmi tenký a ve velkých vzdálenostech od hvězdy se výrazně vertikálně rozšiřuje. Zároveň je
samozřejmě rotačně (válcově) symetrický. Obrázek B.5 schématicky znázorňuje tuto soustavu ve
vertikální rovině ρ-θ (ϕ = konst.), souřadnicové směry zde jsou: ρ ∈ ⟨0, ∞) - radiální cylindrická
souřadnice, ϕ ∈ ⟨0, 2π) - azimutální úhel, θ ∈ (−π/2, π/2) - elevační úhel, který je počítán v
kladném a záporném směru od rovníkové roviny. I když elevační úhel může být definován v uvedeném
intervalu (s vyloučením krajních bodů), prakticky vzhledem k charakteru popisovaných
jevů přichází v úvahu interval θ ∈ ⟨−π/4, π/4⟩. Volné parametry (kromě zvoleného rovníkového
poloměru hvězdy Req) jsou maximální cylindrická radiální vzdálenost ρ = Rmax a maximální
elevační úhel, označený jako θmax (zrcadlově k němu je θmin). Soustava je válcově symetrická, osa
symetrie je kolmá k rovině disku (z = 0 ∧ θ = 0) a prochází středem hvězdy (ρ = 0). Můžeme
ji tedy také nazývat například cylindricko-kónickou soustavou3 (standardní, tzv. kónická
souřadná soustava znamená něco poněkud jiného - jde o ortogonální soustavu, definovanou
soustřednými kulovými plochami a dvěma třídami vzájemně ortogonálních obecně eliptických
kuželových ploch s osami x a z, s vrcholy v počátku souřadného systému).
Transformační rovnice z této diskové do kartézské souřadné soustavy jsou (pro lepší grafickou
přehlednost budeme v této souřadné soustavě pro tangens používat v anglicky psané literatuře
zavedené označení tan, namísto českého tg)
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = ρ tan θ. (B.144)
Pro zpětnou transformaci z kartézské do diskové soustavy dostáváme4
ρ = x2 + y2, ϕ = arctg
y
x
, θ = arctg
z
x2 + y2
. (B.145)
Analogicky k rovnicím (B.30) a (B.57) budou mít jednotkové vektory diskové báze, zavedené
jako tečné vektory k souřadnicovým křivkám, v kartézské soustavě tvar (viz pravidla pro sčítání
3
Jako zkrácený pracovní název budeme v dalším textu používat výraz disková soustava. Radiální a azimutální
souřadnice jsou shodné se soustavou válcovou, jednotlivé souřadnicové směry tedy značíme ρ, ϕ, θ, jednotkové
bázové vektory značíme ^r, ^ϕ, ^w, kde vektor ^r je de facto totožný s kulovým ^r, vektor ^ϕ s válcovým (kulovým)
^ϕ a vektor ^w s válcovým (kartézským) ^z.
4
V této soustavě platí pro azimutální souřadnici ϕ úplně stejné transformační rovnice jako v případě válcových
souřadnic.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 200
z = 0
θ = 0
P
osasoustavy
ρ=ρmax
z
ρ
θ
Req
ρ=0
ρ=Req
θ =
θmax
θ =
θmin
Obrázek B.5: Schématický obrázek cylindricko-kónické souřadné soustavy v rovině ρ-θ (ϕ = konst.).
Modrá čárkovaná čára, procházející obecným bodem P vyznačuje průnik souřadnicových ploch Sϕ a Sθ.
Rotačně zploštělá hvězda je zvýrazněná barevnou elipsou.
vektorů)
^r = ^x cos ϕ + ^y sin ϕ cos θ +^z sin θ, ^ϕ = −^x sin ϕ + ^y cos ϕ, ^w = ^z. (B.146)
Zpětnou transformací jednotkových bázových vektorů (viz rovnice (B.146)) dostáváme
^x = ^r
cos ϕ
cos θ
− ^ϕ sin ϕ − ^w tan θ cos ϕ, ^y = ^r
sin ϕ
cos θ
+ ^ϕ cos ϕ − ^w tan θ sin ϕ, ^z = ^w. (B.147)
V diskové soustavě není žádný z vektorů báze konstantní. Derivace bázových vektorů ve směru
jednotlivých souřadnicových os budou (z rovnice (B.146))
∂^r
∂ρ
= 0,
∂^r
∂ϕ
= ^ϕ cos θ,
∂^r
∂θ
=
−^r sin θ + ^w
cos θ
,
∂^ϕ
∂ρ
= 0,
∂^ϕ
∂ϕ
=
−^r + ^w sin θ
cos θ
,
∂^ϕ
∂θ
= 0, (B.148)
∂^w
∂ρ
= 0,
∂^w
∂ϕ
= 0,
∂^w
∂θ
= 0.
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 201
Časové derivace bázových vektorů budou
∂^r
∂t
=
∂^r
∂ϕ
∂ϕ
∂t
+
∂^r
∂θ
∂θ
∂t
= ^ϕ cos θ ˙ϕ +
−^r sin θ + ^w
cos θ
˙θ,
∂^ϕ
∂t
=
∂^ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂t
=
−^r + ^w sin θ
cos θ
˙ϕ,
∂^w
∂t
= 0. (B.149)
Metrickou formu pro diskovou soustavu odvodíme diferencováním rovnice (B.144),
dx = cos ϕ dρ − ρ sin ϕ dϕ, dy = sin ϕ dρ + ρ cos ϕ dϕ, dz = tan θ dρ +
ρ
cos2 θ
dθ, (B.150)
dosazením do rovnice (B.2) dostáváme nediagonální diskovou metrickou formu ve tvaru
ds2
=
dρ2
cos2 θ
+
2ρ sin θ
cos3 θ
dρ dθ + ρ2
dϕ2
+
dθ2
cos4 θ
. (B.151)
Kovariantní a kontravariantní metrické tenzory soustavy se souřadnicemi v pořadí ρ, ϕ, θ budou
gij =






1
cos2 θ
0
ρ sin θ
cos3 θ
0 ρ2 0
ρ sin θ
cos3 θ
0
ρ2
cos4 θ






, gij
=







1 0 −
sin θ cos θ
ρ
0
1
ρ2
0
−
sin θ cos θ
ρ
0
cos2 θ
ρ2







. (B.152)
Jacobiho matice transformace z kartézské soustavy a matice inverzní transformace budou
Jij =




cos ϕ −ρ sin ϕ 0
sin ϕ ρ cos ϕ 0
tan θ 0
ρ
cos2 θ



 , J−1
ij =






cos ϕ sin ϕ 0
−
sin ϕ
ρ
cos ϕ
ρ
0
−
cos ϕ sin θ cos θ
ρ
−
sin ϕ sin θ cos θ
ρ
cos2 θ
ρ






,
(B.153)
příslušné jakobiány tedy budou,
J = |det Jij| = |det gij| =
ρ2
cos2 θ
, J−1
= det J−1
ij = |det gij| =
cos2 θ
ρ2
. (B.154)
Nenulové Christoffelovy symboly diskové metriky jsou
Γϕ
ρϕ (Γϕ
ϕρ) = Γθ
ρθ (Γθ
θρ) =
1
ρ
, Γρ
ϕϕ = −ρ, Γθ
ϕϕ = sin θ cos θ, Γθ
θθ = 2 tan θ. (B.155)
Protože se nejedná o ortogonální metriku (vyjádřenou diagonálním metrickým tenzorem), nedefinujeme
zde žádné Laméovy koeficienty.
Diferenciální operátory
• Gradient skalární funkce f(ρ, ϕ, θ) v diskové soustavě odvodíme stejným způsobem, jako
v předchozích soustavách. Jednotlivé nenulové parciální derivace pro diskovou soustavu z
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 202
rovnice (B.145) budou
∂ρ
∂x
=
x
x2 + y2
= cos ϕ,
∂ϕ
∂x
= −
y
x2 + y2
= −
sin ϕ
ρ
,
∂ρ
∂y
=
y
x2 + y2
= sin ϕ,
∂ϕ
∂y
=
x
x2 + y2
=
cos ϕ
ρ
,
∂θ
∂x
= −
xz
x2 + y2 (x2 + y2 + z2)
= −
cos ϕ sin θ cos θ
ρ
,
∂θ
∂y
= −
yz
x2 + y2 (x2 + y2 + z2)
= −
sin ϕ sin θ cos θ
ρ
,
∂θ
∂z
=
x2 + y2
x2 + y2 + z2
=
cos2 θ
ρ
.
Stejně jako v předchozích souřadných soustavách dostáváme gradient skalární funkce,
⃗∇f = ^r
∂f
∂ρ
−
sin θ cos θ
ρ
∂f
∂θ
+ ^ϕ
1
ρ
∂f
∂ϕ
+ ^w
1
ρ
∂f
∂θ
− tan θ
∂f
∂ρ
=
=
∂f
∂ρ
−
sin θ cos θ
ρ
∂f
∂θ
,
1
ρ
∂f
∂ϕ
,
1
ρ
∂f
∂θ
− tan θ
∂f
∂ρ
. (B.156)
Stejným postupem jako v předchozích souřadných soustavách můžeme také získat tenzor
gradientu vektorového pole, který můžeme pomocí maticového formalismu v diskové
soustavě zapsat,
⃗∇ ⃗A =









^ρ ^ϕ ^θ
^ρ
∂Aρ
∂ρ
∂Aϕ
∂ρ
∂Aθ
∂ρ
^ϕ
1
ρ
∂Aρ
∂ϕ
−
Aϕ
ρ
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
Aρ
ρ
−
Aθ sin θ
ρ
1
ρ
∂Aθ
∂ϕ
^θ
cos θ
ρ
∂Aρ
∂θ
−
Aθ
ρ
cos θ
ρ
∂Aϕ
∂θ
cos θ
ρ
∂Aθ
∂θ
−
Aθ sin θ
ρ









. (B.157)
• Divergence vektoru (vektorového pole) ⃗A(ρ, ϕ, θ) je v diskových souřadnicích opět definována
jako skalární součin vektoru gradientu s obecným vektorem, tedy
^r
∂
∂ρ
−
sin θ cos θ
ρ
∂
∂θ
+ ^ϕ
1
ρ
∂
∂ϕ
+ ^w
1
ρ
∂
∂θ
− tan θ
∂
∂ρ
· Aρ^r + Aϕ
^ϕ + Aθ ^w ,
(B.158)
kde ovšem, na rozdíl od ortogonálních systémů, nejsou obecně skalární součiny rozdílných
vektorů báze nulové, tedy nemusí platit eiej = δj
i . Jmenovitě v tomto systému bude
nenulový součin
ei ej
i̸=j
= ^r · ^w = sin θ. (B.159)
Přímým výpočtem a po úpravách dostáváme
⃗∇ · ⃗A =
cos θ
ρ2
∂
∂ρ
ρ2
Aρ +
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
−
sin2
θ cos θ
ρ
∂Aθ
∂θ
+
+ sin θ (1 − cos θ)
1
ρ
∂Aρ
∂θ
−
1
cos θ
∂Aθ
∂ρ
. (B.160)
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 203
Na rozdíl od ortogonálních soustav není v tomto případě divergence jednoduchou stopou
tenzoru gradientu vektorového pole (B.157), nýbrž je třeba ještě přičíst prvky na vedlejší
diagonále (respektive ty, které odpovídají nenulovým prvkům metrického tenzoru
(B.152)), násobené skalárním součinem příslušných jednotkových vektorů, v tomto případě
rovnicí (B.159).
• Rotaci vektoru (vektorového pole) ⃗A(ρ, ϕ, θ) v diskových souřadnicích nemůžeme odvodit
podle rovnice (B.20) (soustava není ortogonální), v tomto případě musíme provést přímý
výpočet z definice rotace vektoru,
⃗∇ × ⃗A = ^ρ
∂
∂ρ
+ ^ϕ
1
ρ
∂
∂ϕ
+ ^θ
cos θ
ρ
∂
∂θ
× Aρ^ρ + Aϕ
^ϕ + Aθ
^θ , (B.161)
kde musíme nejprve provést všechny (nenulové) derivace jednotkových bázových vektorů
(viz rovnice (B.148)), potom vektorové součiny. Ponecháme-li pouze nenulové komponenty,
tj. vypustíme-li nulové derivace jednotkových bázových vektorů a také členy se stejnými
bázovými vektory a tedy s nulovým vektorovým součinem, dostáváme explicitní výraz
⃗∇ × ⃗A = ^ρ × ^ϕ
∂Aϕ
∂ρ
+
Aϕ
ρ
−
1
ρ
∂Aρ
∂ϕ
+ ^ϕ × ^θ
1
ρ
∂Aθ
∂ϕ
−
cos θ
ρ
∂Aϕ
∂θ
+
+^θ × ^ρ
cos θ
ρ
∂Aρ
∂θ
−
∂Aθ
∂ρ
−
Aθ
ρ
. (B.162)
Vektorové součiny bázových vektorů zde ovšem nebudou tak jednoduché, jako v případě
ortogonálních soustav, na základě rovnice (B.146) pro sudé permutace dostaneme
^ρ × ^ϕ =
^ρ sin θ + ^θ
cos θ
, ^ϕ × ^θ =
^ρ + ^θ sin θ
cos θ
, ^θ × ^ρ = ^ϕ cos θ. (B.163)
Po dosazení a úpravách dostaneme výslednou podobu rotace vektoru v diskové soustavě,
⃗∇ × ⃗A =^ρ
tan θ
ρ
∂
∂ρ
(ρAϕ) −
∂Aρ
∂ϕ
+
1
ρ
1
cos θ
∂Aθ
∂ϕ
−
∂Aϕ
∂θ
+
^ϕ
cos θ
ρ
cos θ
∂Aρ
∂θ
−
∂
∂ρ
(ρAθ) +
^θ
1
ρ cos θ
∂
∂ρ
(ρAϕ) −
∂Aρ
∂ϕ
+
sin θ
ρ
1
cos θ
∂Aθ
∂ϕ
−
∂Aϕ
∂θ
. (B.164)
• Laplacián odvodíme z rovnice divergence (B.158), ve které nahradíme složky vektoru ⃗A
odpovídajícími složkami vektoru gradientu z rovnice (B.156), výsledný tvar (není nutné
zde opakovat podrobný vektorový zápis, postup je zcela obdobný, jako v předchozích
případech), zapsaný v kompaktní formě bude
∆ =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
∂ϕ2
+
cos θ
ρ2
∂
∂θ
cos θ
∂
∂θ
−
sin 2θ
ρ
∂2
∂ρ ∂θ
. (B.165)
Plochy, objemy
Stejně jako v předchozích soustavách odvodíme velikosti základních ploch a základního objemu
prostorové buňky, tj. plochy a objem, ohraničené jednotlivými souřadnicovými plochami (včetně
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 204
stejného způsobu značení, další značení viz také obr. B.5). Objem jedné buňky souřadnicové
sítě bude
V =
ρ2ˆ
ρ1
ρ2
dρ
ϕ2ˆ
ϕ1
dϕ
θ2ˆ
θ1
dθ
cos2 θ
=
ρ3
2 − ρ3
1
3
ϕ2 − ϕ1 |tan θ2| − |tan θ1| . (B.166)
Determinanty submatic metrického tenzoru, odpovídající jednotlivým plochám prostorové buňky
(způsob značení je popsán v rámci popisu válcové a kulové soustavy) budou
J′
ρ =
ρ2
cos2 θ
, J′
ϕ =
ρ
cos2 θ
, J′
θ =
ρ
cos θ
(B.167)
a plochy jednotlivých buněk sítě budou mít velikost
Sρ = ρ2
ϕ2ˆ
ϕ1
dϕ
θ2ˆ
θ1
dθ
cos2 θ
= ρ2
ϕ2 − ϕ1 |tan θ2| − |tan θ1| , (B.168)
Sϕ =
θ2ˆ
θ1
dθ
cos2 θ
ρ2ˆ
ρ1
ρ dρ =
ρ2
2 − ρ2
1
2
|tan θ2| − |tan θ1| , (B.169)
Sθ =
1
cos θ
ρ2ˆ
ρ1
ρ dρ
ϕ2ˆ
ϕ1
dϕ =
ρ2
2 − ρ2
1
2
(ϕ2 − ϕ1)
cos θ
. (B.170)
Vektory polohy, rychlosti a zrychlení
Při popisu vektorů v diskové soustavě vyjdeme jako obvykle z jejich základního popisu v soustavě
kartézské, zahrneme všechny rovnice pro derivace jednotkových vektorů i vektorových složek
(rovnice (B.144)-(B.149)). Polohový vektor v diskové soustavě bude
⃗r = x^x + y^y + z^z =
ρ
cos θ
^r. (B.171)
Tento závěr již není tak názorný a snadno představitelný, jako v případě předchozích typů
souřadnic. Vektor rychlosti ⃗v bude
⃗v =
˙ρ
cos θ
^r + ρ ˙ϕ^ϕ +
ρ ˙θ
cos2 θ
^w. (B.172)
Vektory rychlosti a zrychlení musí být zároveň definovány jako
⃗v = vρ^r + vϕ
^ϕ + vθ ^w, ⃗a =
d⃗v
dt
= aρ^r + aϕ
^ϕ + aθ ^w. (B.173)
Derivováním rovnice (B.172) podle času dostáváme jednotlivé složky vektoru zrychlení v diskové
souřadné soustavě
aρ =
¨ρ − ρ ˙ϕ2
cos θ
=
dvρ
dt
−
ρ ˙ϕ2 + ˙ρ ˙θ tan θ
cos θ
,
aϕ = ρ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ =
dvϕ
dt
+ ˙ρ ˙ϕ, (B.174)
aθ =
1
cos θ
ρ¨θ + 2 ˙θ ( ˙ρ + ρ ˙θ tan θ)
cos θ
+ ρ ˙ϕ2
sin θ =
dvθ
dt
+
1
cos θ
˙ρ ˙θ
cos θ
+ ρ ˙ϕ2
sin θ .
Příloha B. Křivočaré souřadnice ⋆ 205
Z uvedených rovnic snadno zjistíme, že pro hlavní členy složek rychlosti platí
˙ρ = vρ cos θ, ˙ϕ =
vϕ
ρ
, ˙θ =
vθ cos2 θ
ρ
. (B.175)
Protože d⃗v/dt = ∂⃗v/∂t + ⃗v · ⃗∇⃗v, můžeme napsat zrychlení, vyjádřené v diskové souřadné
soustavě, pomocí složek vektoru rychlosti
aρ =
∂vρ
∂t
+ vρ
∂vρ
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vρ
∂ϕ
+ vθ
cos θ
ρ
∂vρ
∂θ
(⃗v·⃗∇)vρ
−
v2
ϕ + v2
θ
ρ
+
vρvθ sin θ
ρ
, (B.176)
aϕ =
∂vϕ
∂t
+ vρ
∂vϕ
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vϕ
∂ϕ
+ vθ
cos θ
ρ
∂vϕ
∂θ
(⃗v·⃗∇)vϕ
+
vρvϕ
ρ
−
vϕvθ sin θ
ρ
, (B.177)
aθ =
∂vθ
∂t
+ vρ
∂vθ
∂ρ
+
vϕ
ρ
∂vθ
∂ϕ
+ vθ
cos θ
ρ
∂vθ
∂θ
(⃗v·⃗∇)vθ
−
v2
θ sin θ
ρ
+
vρvθ sin2
θ
ρ
. (B.178)
Členy na pravých stranách rovnic (B.176)-(B.178), spojené svorkou, vyjadřují (nelineární) advekci,
zbývající členy reprezentující tzv. fiktivní (setrvačné) síly - odstředivá síla, Coriolisova
síla, Eulerova síla.
Porovnáním rovnic (B.144) a (B.175) můžeme zapsat složky vektoru rychlosti vρ, vϕ, vθ
v diskové soustavě pomocí složek vektoru rychlosti vρ, cyl, vϕ, cyl, vz ve standardní válcové souřadné
soustavě (odstavec B.2). Dostáváme tak vzájemný vztah mezi velikostmi složek rychlosti
v obou soustavách,
vρ = vρ, cyl +
z
ρ
vz = vρ, cyl + vz tan θ, vϕ = vϕ, cyl, vθ =
ρ2 + z2
ρ
vz =
vz
cos θ
. (B.179)
Vezmeme-li dále v úvahu vertikální hydrostatickou rovnováhu v takovém disku, dP/dz = −ρgz,
kde P je skalární tlak a gz je vertikální složka gravitačního zrychlení, dostáváme pro vertikální
složku rychlosti vz = 0. Pohybové rovnice (B.176)-(B.178) tak budou identické s odpovídajícími
pohybovými rovnicemi (B.52)-(B.54) ve standardní válcové geometrii.
Příloha C
Stručný úvod do parciálních
diferenciálních rovnic ⋆
Parciální diferenciální rovnice obsahují na rozdíl od obyčejných diferenciálních rovnic (viz kapitola
3) parciální derivace podle více proměnných. Jedná se například o vývojové (transportní)
rovnice prvního řádu (tzv. Burgersova rovnice), které jsou jednosměrné v čase a zpravidla směřují
k nějakému ustálenému stavu, o rovnice druhého řádu, popisující termodynamické děje,
tedy tzv. parabolické parciální diferenciální rovnice, o parciální diferenciální rovnice, popisující
periodické děje (vlnová rovnice) - tzv. hyperbolické parciální diferenciální rovnice, nebo se jedná
o tzv. eliptické parciální diferenciální rovnice (Poissonova rovnice, Laplaceova rovnice), atd. Dělení
parciálních diferenciálních rovnic na jednotlivé typy je i z praktického hlediska podstatné,
poněvadž každý z nich se zpravidla řeší jiným způsobem.
C.1 Parciální diferenciální rovnice 1. řádu
C.1.1 Homogenní parciální diferenciální rovnice 1. řádu
Nejjednoduššími parciálními diferenciálními rovnicemi jsou lineární homogenní rovnice 1. řádu
dvou nezávisle proměnných x, y, vyskytují se zde tedy pouze první (parciální) derivace v lineárním
výrazu
a(x, y)
∂u(x, y)
∂x
+ b(x, y)
∂u(x, y)
∂y
= 0. (C.1)
Řešením takové rovnice bude funkce u(x, y). Funkci dvou proměnných, reprezentovanou plochou,
můžeme charakterizovat pomocí vrstevnic x = x(s), y = y(s), kde s je parametr. Funkce
u x(s), y(s) je tedy na vrstevnicích konstantní, můžeme ji považovat za funkci jedné proměnné
(parametru s),
du x(s), y(s)
ds
=
∂u
∂x
dx
ds
+
∂u
∂y
dy
ds
= 0, (C.2)
kdy hledáme řešení systému obyčejných diferenciálních rovnic (tzv. charakteristické soustavy)
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y), (C.3)
⋆ jsou označeny odstavce a příklady, určené primárně studentům vyšších ročníků bakalářského studia
207
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 208
které označujeme jako charakteristiky (také 1. integrál). Obecnou rovnici charakteristik potom
definujeme jako φ(x, y) = C a obecné řešení rovnice dvou proměnných lze zapsat jako u(x, y) =
Φ φ(x, y) , kdy funkci Φ lze považovat za libovolnou funkci jedné proměnné φ. V případě rovnice
n nezávisle proměnných bude mít obecné řešení tvar
u(x1, . . . , xn) = Φ φ1(x1, . . . , xn), . . . , φn−1(x1, . . . , xn) . (C.4)
• Příklady řešení lineárních homogenních parciálních diferenciálních rovnic:
1. Mějme zadanou jednoduchou homogenní rovnici dvou nezávisle proměnných,
x2 ∂u
∂x
+ y2 ∂u
∂y
= 0, (C.5)
charakteristická soustava tedy bude dx/ds = x2, dy/ds = y2, jejím řešením budou charakteristiky
−1/x = s + C1, −1/y = s + C2 a po vyloučení parametru s dostáváme
1/y − 1/x = C = φ(x, y). Výsledné obecné řešení tedy bude
u(x, y) = Φ
1
y
−
1
x
. (C.6)
2. Jiný jednoduchý příklad může představovat například homogenní rovnice
∂u
∂x
= 6x2 ∂u
∂y
, (C.7)
jejíž charakteristická soustava bude dx/ds = 1, dy/ds = −6x2, kdy řešením první rovnice
soustavy bude charakteristika x = s + C1 a protože dy = −6 (s + C1)2ds, druhá
charakteristika bude y = −2s3 − 6s2 C1 − 6s C2
1 + C2. Vyjádříme-li z první charakteristiky
s = x − C1 a tento výraz dosadíme do druhé charakteristiky, dostáváme rovnici
y + 2x3 = 2 C3
1 + C2 = C = φ(x, y). Výsledné obecné řešení tedy bude
u(x, y) = Φ y + 2x3
. (C.8)
K tomuto výsledku lze ovšem dospět mnohem rychleji, uvědomíme-li si, že v případě
homogenní rovnice dostaneme vydělením rovnic charakteristické soustavy obyčejnou diferenciální
rovnici 1. řádu, tedy (dy/ds)/(dx/ds) = dy/dx = −6x2 a tedy y = −2x3 + C.
3. Mějme zadánu homogenní rovnici tří proměnných x, y, z,
(z − y)
∂u
∂x
+ (x − z)
∂u
∂y
+ (y − x)
∂u
∂z
= 0, (C.9)
s okrajovou podmínkou u(0, y, z) = yz. Charakteristická soustava v tomto případě bude
dx/ds = (z − y), dy/ds = (x − z), dz/ds = (y − x), po jejím sečtení dostáváme dx/ds +
dy/ds + dz/ds = 0 a po integraci podle s dostáváme x + y + z = C1. Protože zadaná
rovnice obsahuje tři proměnné, potřebujeme ještě jednu obecnou rovnici charakteristik,
například vynásobením každé charakteristiky odpovídající proměnnou dostaneme výrazy
x dx/ds = (z − y)x, y dy/ds = (x − z)y, z dz/ds = (y − x)z. Po jejím sečtení (opět
s nulovým součtem), po její integraci podle s a po vynásobení dvěma (kdy x′ = dx/ds,
atd.) dostáváme 2xx′ + 2yy′ + 2zz′ = 0 a tedy x2 + y2 + z2 = C2. Obecné řešení bude
u(x, y, z) = Φ x + y + z, x2
+ y2
+ z2
. (C.10)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 209
Po dosazení okrajové podmínky dostaneme Φ y + z, y2 + z2 = yz, označíme-li y + z =
ξ, y2 + z2 = η, můžeme psát Φ ξ, η = (ξ2 − η)/2. Explicitním řešením okrajové úlohy
bude funkce
u(x, y, z) =
(x + y + z)2 − (x2 + y2 + z2)
2
= xy + xz + yz. (C.11)
• Nelineární homogenní parciální diferenciální rovnice - neviskózní Burgersova
rovnice:
Jedná se o nelineární rovnici (nazývanou také transportní rovnice) funkce u(t, x) dvou nezávisle
proměnných t, x (kdy v prostorovém členu je tato funkce násobkem, tj. vyšší mocninou), která
popisuje nelineární postupnou vlnu. V jednorozměrném případě má podobu
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= 0. (C.12)
Charakteristické rovnice vzhledem k rovnici (C.12) budou
dt
ds
= 1,
dx
ds
= u, a také
du
dt
= 0. (C.13)
Z první rovnice vyplývá t = s, jako parametr můžeme tedy zvolit přímo t. Třetí rovnice říká, že
u je konstantní podél charakteristik, ze druhé rovnice potom vyplývá, že charakteristiky budou
přímkami v rovině x, t. Řešení druhé a třetí charakteristické rovnice je jednoduché:
x = ut + C1, u = C2. (C.14)
Uvědomíme-li si, že C2 musí být funkcí C1, tedy C2 = C2(C1), substitucí x−ut za C1 dostáváme
obecné řešení parciální diferenciální rovnice:
u(x, t) = C2(x − ut) = Φ(x − ut). (C.15)
Pro jednoznačné určení obecné funkce Φ zavedeme počáteční (okrajovou) podmínku, například
u(x, 0) = x. Potom můžeme psát u(x, 0) = C2 x−u(x, 0) · 0 = x a tedy C2(x) = x. Dostáváme
rovnici u = x − ut, výsledné jednoznačné řešení v tomto případě bude
u(x, t) =
x
1 + t
. (C.16)
C.1.2 Nehomogenní parciální diferenciální rovnice 1. řádu
Nehomogenní parciální diferenciální rovnici 1. řádu dvou nezávisle proměnných můžeme obecně
zapsat ve tvaru
a(x, y)
∂u(x, y)
∂x
+ b(x, y)
∂u(x, y)
∂y
= f(x, y). (C.17)
Obdobně jako v případě homogenní rovnice můžeme psát
du x(s), y(s)
ds
=
∂u
∂x
dx
ds
+
∂u
∂y
dy
ds
= f(x, y), (C.18)
kde potom hledáme řešení systému charakteristických rovnic
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y),
du
ds
= f(x, y). (C.19)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 210
• Příklady řešení lineárních nehomogenních parciálních diferenciálních rovnic:
1. Uvažujme jednoduchou nehomogenní parciální diferenciální rovnici dvou nezávisle proměn-
ných
∂u
∂x
+
∂u
∂y
= x s okrajovou podmínkou u(x, a) = 1, (C.20)
kde a je konstanta. Ze systému rovnic (C.19) vyplývá charakteristická soustava dx/ds =
1, dy/ds = 1, du/ds = x. Vydělením prvních dvou charakteristických rovnic a například
třetí a první, dostáváme charakteristiky C1 = y − x, C2 = u − x2/2. Dostáváme tedy
obecné řešení parciální diferenciální rovnice ve tvaru:
Φ(y − x, u − x2
/2) = 0, (C.21)
kde Φ je libovolná funkce charakteristik. Přepíšeme nyní rovnici pomocí okrajové podmínky
jako funkci charakteristik a konstant, tj. Φ(a − x, 1 − x2/2) = Φ(C1, C2) = 0, z první
charakteristiky potom vyplývá x = a − C1, z druhé charakteristiky dostáváme C2 =
1−(a−C1)2/2. Poslední výraz můžeme přepsat jako 1−(a−C1)2/2−C2 = Φ(C1, C2) = 0,
po dosazení do charakteristik dostaneme explicitní výraz 1− a2 −2a(y−x)+(y−x)2 /2−
u + x2/2 = 0. Výsledné řešení okrajové úlohy pro zadanou rovnici potom bude
u(x, y) = xy + a(y − x) −
y2 + a2
2
+ 1. (C.22)
2. Nehomogenní parciální diferenciální rovnice dvou nezávisle proměnných má tvar
y
∂u
∂x
− x
∂u
∂y
= y2
− x2
, s okrajovou podmínkou u(x, a) = x2
− a2
, (C.23)
kde a je konstanta. Ze systému rovnic (C.19) vyplývá charakteristická soustava dx/ds =
y, dy/ds = −x, du/ds = y2−x2. Všimněme si, že v tom případě platí y dx/ds+x dy/ds =
du/ds. Rovnice dy/dx = −x/y, její integrace dává první charakteristiku x2 + y2 = C1.
Rovnici y dx/ds + x dy/ds = du/ds můžeme zapsat jako d(xy)/ds = du/ds, po její integraci
dostáváme druhou charakteristiku u−xy = C2. Obecné řešení parciální diferenciální
rovnice bude mít tvar:
Φ(x2
+ y2
, u − xy) = 0, (C.24)
kde Φ je libovolná funkce charakteristik. Přepíšeme nyní opět rovnici pomocí okrajové podmínky
jako funkci charakteristik a konstant, tj. Φ(x2 + a2, x2 − a2 − ax) = Φ(C1, C2) = 0.
Z první charakteristiky vyplývá x = ±
√
C1 − a2, z druhé charakteristiky potom vyplyne
rovnice pro obě charakteristiky ve tvaru C1 − 2a2 ∓ a
√
C1 − a2 − C2 = 0. Po dosazení
původních výrazů do charakteristik dostaneme explicitní výraz x2 + y2 − 2a2 ∓ a ±
x2 + y2 − a2 − u + xy = 0. Výsledné řešení okrajové úlohy pro zadanou rovnici bude
u(x, y) = x2
+ y2
+ xy − a x2 + y2 − a2 − 2a2
. (C.25)
• Příklady řešení nelineárních nehomogenních parciálních diferenciálních rovnic:
1. Nehomogenní nelineární parciální diferenciální rovnice dvou nezávisle proměnných má
tvar
xu
∂u
∂x
+ yu
∂u
∂y
= −xy, s okrajovou podmínkou u x,
a2
x
= h, (C.26)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 211
kde a, h jsou konstanty. Ze systému rovnic (C.19) vyplývá charakteristická soustava
dx/ds = xu, dy/ds = yu, du/ds = −xy. Integrace rovnice dy/dx = y/x dává první charakteristiku
y/x = C1. Všimněme si, že v tomto případě platí y dx/ds + x dy/ds = 2 uxy,
tuto rovnici můžeme tedy zapsat jako d(xy)/ds = −2u du/ds = −du2/ds, po její integraci
dostáváme druhou charakteristiku u2+xy = C2. Obecné řešení parciální diferenciální
rovnice bude mít tvar:
Φ
y
x
, u2
+ xy = 0, (C.27)
kde Φ je libovolná funkce charakteristik. Přepíšeme nyní opět rovnici pomocí okrajové
podmínky jako funkci charakteristik a konstant, tj. Φ(a2/x2, h2 + a2) = Φ(C1, C2) = 0.
Z první charakteristiky vyplývá x = ± a2/C1, z druhé charakteristiky potom vyplyne
rovnice pro obě charakteristiky ve tvaru h2 + a2 − C2 = 0. Po dosazení původních výrazů
do charakteristik dostaneme explicitní výraz h2 + a2 − u2 − xy = 0. Výsledné řešení
okrajové úlohy pro zadanou rovnici bude
u(x, y) = h2 + a2 − xy. (C.28)
2. Nehomogenní nelineární parciální diferenciální rovnice dvou nezávisle proměnných má
tvar
yu
∂u
∂x
− xu
∂u
∂y
= x − y, s okrajovou podmínkou u(x, x) = h, (C.29)
kde h je konstanta. Ze systému rovnic (C.19) vyplývá charakteristická soustava dx/ds =
yu, dy/ds = −xu, du/ds = x − y. Opět zde integrace rovnice dy/dx = −x/y dává první
charakteristiku x2 + y2 = C1. Rovnici dx/ds + dy/ds = d(x + y)/ds můžeme zapsat jako
d(x + y)/ds = u(x − y) = u du/ds, po její integraci dostáváme druhou charakteristiku
u2 + 2x + 2y = C2. Obecné řešení parciální diferenciální rovnice bude mít tvar:
Φ(x2
+ y2
, u2
+ 2x + 2y) = 0, (C.30)
kde Φ je libovolná funkce charakteristik. Přepíšeme nyní opět rovnici pomocí okrajové
podmínky jako funkci charakteristik a konstant, tj. Φ(2x2, h2 + 4x) = Φ(C1, C2) = 0.
Z první charakteristiky vyplývá x = ± C1/2, z druhé charakteristiky potom vyplyne
rovnice pro obě charakteristiky ve tvaru h2 ± 4 C1/2 − C2 = 0. Po dosazení původních
výrazů do charakteristik dostaneme explicitní výraz h2 +2
√
2 x2 + y2 −u2 −2x−2y = 0.
Výsledné řešení okrajové úlohy pro zadanou rovnici bude
u(x, y) = 2 2(x2 + y2) − 2x − 2y + h2. (C.31)
Analogickým způsobem lze řešit (téměř) jakoukoli parciální diferenciální rovnici 1. řádu. Podstatné
je vždy nalezení jisté symetrie v zadání rovnice, která umožní sestavení charakteristických
rovnic a nalezení příslušných charakteristik. Zájemce o hlubší porozumění této problematice odkazuji
například na skripta Arsenin (1977); Pospíšíl (2006); Franců (2011).
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 212
C.2 Parciální diferenciální rovnice 2. řádu
C.2.1 Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu
Obecná parciální diferenciální rovnice 2. řádu funkce u(x, y) (pro jednoduchost se omezíme
pouze na funkce dvou proměnných) má tvar:
a11(x, y)
∂2u
∂x2
+ a12(x, y)
∂2u
∂x∂y
+ a22(x, y)
∂2u
∂y2
+
+ b1(x, y)
∂u
∂x
+ b2(x, y)
∂u
∂y
+ c(x, y)u + d(x, y) = 0. (C.32)
nebo, ve zjednodušené notaci, používané v dalším textu (ux = ∂u/∂x, uxx = ∂2u/∂x2, atd.) :
a11(x, y)uxx + a12(x, y)uxy + a22(x, y)uyy+
+ b1(x, y)ux + b2(x, y)uy + c(x, y)u + d(x, y) = 0. (C.33)
Typ rovnice (v případě funkce dvou proměnných) je určen následujícími podmínkami:
a11a22 − a2
12 = 0 rovnice parabolická, (C.34)
a11a22 − a2
12 < 0 rovnice hyperbolická, (C.35)
a11a22 − a2
12 > 0 rovnice eliptická. (C.36)
Úpravou obecného tvaru rovnice transformací do nových proměnných prostřednictvím kvadratické
formy lze získat kanonický tvar rovnic:
a11(x, y)ux − a22(x, y)uyy + . . . = 0 rovnice parabolická,
a11(x, y)uxx − a22(x, y)uyy + . . . = 0 rovnice hyperbolická,
a11(x, y)uxx + a22(x, y)uyy + . . . = 0 rovnice eliptická.
(C.37)
V případě rovnice více proměnných je situace komplikovanější, typ rovnice je jednoznačně určen
tzv. maticí kvadratické formy, resp. druhem její definitnosti. Příkladem transformace obecného
polynomu druhého stupně na kvadratickou formu může být:
3x2
+ 2xy + 2y2
= 3 x2
+
2
3
xy +
2
3
y2
= 3 x +
1
3
y
2
−
1
9
y2
+
2
3
y2
=
= 3 x +
1
3
y
2
+
5
9
y2
= 3 x +
1
3
y
2
+
5
3
y2
. (C.38)
Substitucí
x + 1
3y = ξ1
y = ξ2
dostáváme 3 ξ2
1 +
5
3
ξ2
2, což lze zapsat jako:
ξ1 ξ2


3 0
0
5
3


ξ1
ξ2
. (C.39)
Obdobným způsobem můžeme transformovat obecnou parciální diferenciální rovnici 2. řádu:
pokud je diagonální matice kvadratické formy pozitivně nebo negativně definitní, tj. její vlastní
hodnoty (viz rovnice (2.17)-(2.19)) jsou buď všechny kladné nebo všechny záporné, potom
se jedná o rovnici eliptickou. Pokud je diagonální matice kvadratické formy indefinitní (tj. kdy
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 213
některé vlastní hodnoty jsou kladné, některé záporné), potom se jedná buď o rovnici hyperbolickou
(odlišuje se znaménko pouze jedné vlastní hodnoty) nebo ultrahyperbolickou. Pokud je
diagonální matice kvadratické formy semidefinitní (některé vlastní hodnoty jsou nulové), potom
se jedná se o rovnici parabolickou (jedna vlastní hodnota je nulová), případně tzv. parabolickou
v širším smyslu.
Kanonický tvar jednotlivých typů rovnic, například pro obecnou funkci čtyř proměnných
u = u(x1, x2, x3, x4), vypadá potom schématicky následovně:
∂2u
∂x2
1
+
∂2u
∂x2
2
+
∂2u
∂x2
3
±
∂u
∂x4
+ . . . . . . = 0 parabolická, (C.40)
∂2u
∂x2
1
+
∂2u
∂x2
2
±
∂u
∂x3
±
∂u
∂x4
+ . . . . . . = 0 parabolická v širším smyslu, (C.41)
∂2u
∂x2
1
+
∂2u
∂x2
2
+
∂2u
∂x2
3
−
∂2u
∂x2
4
+ . . . . . . = 0 hyperbolická, (C.42)
∂2u
∂x2
1
+
∂2u
∂x2
2
−
∂2u
∂x2
3
−
∂2u
∂x2
4
+ . . . . . . = 0 ultrahyperbolická, (C.43)
∂2u
∂x2
1
+
∂2u
∂x2
2
+
∂2u
∂x2
3
+
∂2u
∂x2
4
+ . . . . . . = 0 eliptická. (C.44)
V dalším výkladu ukážeme řešení některých vybraných parciálních diferenciálních rovnic parabolických,
hyperbolických a eliptických.
• Fyzikální podoba parabolických parciálních diferenciálních rovnic
Nejobvyklejší tvar parabolické parciální diferenciální rovnice (např. rovnice vedení tepla) je:
ut = k(uxx + uyy + . . .), (C.45)
kde „konstanta“ k (což nemusí být doslova konstanta, člen k pouze neobsahuje funkci proměnných
x, y, . . .) má význam: k = λ/(cpρ), kde λ znamená součinitel tepelné vodivosti, cp tepelnou
kapacitu (při stálém tlaku) a ρ hustotu.
C.2.2 Metoda fundamentálního řešení (metoda Greenovy funkce)
Řešení rovnic pomocí formalismu Fourierovy transformace a konvoluce funkcí, zavedených v odstavci
10.2, si detailněji ukážeme na následujících řešených příkladech (v dalším textu budeme
vždy uvádět zkratkami LS levou stranu rovnice a PS její pravou stranu) parabolických parciálních
diferenciálních rovnic:
• Homogenní rovnice, nehomogenní obecná počáteční podmínka:
Homogenní úlohou rozumíme rovnici bez bez zdroje tepla, tj. bez pravé strany, nehomogenní
pravá strana znamená dodatečný zdroj tepla. V případě homogenních počátečních respektive
okrajových podmínek je příslušná funkce v čase t = 0, případně na definovaných okrajích,
nulová. Uvažujme rovnici ve tvaru
ut = a2
uxx, t > 0, (C.46)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 214
s nehomogenní počáteční podmínkou u(0, x) = φ(x). Levá a pravá strana rovnice budou
LS: ut(t, ξ) =
ˆ ∞
−∞
ut(t, x) e−ixξ
dx = ut(t, x), (C.47)
PS: uxx(t, ξ) =
ˆ ∞
−∞
uxx(t, x) e−ixξ
dx = ux e−ixξ
∞
−∞
0
+iξ
∞ˆ
−∞
ux(t, x) e−ixξ
dx = −ξ2
u(ξ).
(C.48)
Dostáváme tedy obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu s jednoduše separovatelnými proměnnými:
ut(ξ) = −a2ξ2 u(ξ), jejíž řešení snadno určíme jako u(ξ) = C e−a2ξ2t, respektive u(t, ξ) =
C(ξ) e−a2ξ2t. Funkci C(ξ) určíme z počáteční podmínky (C.46): u(0, ξ) = φ(ξ) = C(ξ), u(t, ξ) =
C(ξ) e−a2ξ2t. Zavedeme funkci G(t, x) (Greenovu funkci) jako zpětný Fourierův obraz (vzor)
funkce G(t, ξ) = e−a2ξ2t, dostáváme tedy u(t, ξ) = φ(ξ)·G(t, ξ) = (φ ∗ G)(t, ξ), a tedy u(t, x) =
(φ ∗ G)(t, x):
G(t, x) =
1
2π
ˆ ∞
−∞
G(t, ξ) eiξx
dξ =
1
2π
ˆ ∞
−∞
e−a2ξ2t
eiξx
dξ =
1
2π
ˆ ∞
−∞
e−(a2ξ2t−iξx)
dξ =
=
1
2π
ˆ ∞
−∞
e
−(aξ
√
t− ix
2a
√
t
)2
e− x2
4a2t dξ =
aξ
√
t − ix
2a
√
t
= η
a
√
t dξ = dη
=
1
2a
√
πt
e− x2
4a2t = G(x, t). (C.49)
Výsledné řešení zadané parabolické parciální diferenciální rovnice potom bude
u(t, x) = (φ ∗ G)(t, x) =
ˆ ∞
−∞
φ(y) G(t, x − y) dy =
1
2a
√
πt
ˆ ∞
−∞
φ(y) e−
(x−y)2
4a2t dy. (C.50)
V obecném případě, kdy u(τ, x) = φ(x) dostáváme výslednou funkci ve tvaru:
u(t, x) =
1
2a
√
πt
ˆ ∞
−∞
φ(y) e
−
(x−y)2
4a2(t−τ) dy. (C.51)
• Nehomogenní rovnice s homogenní počáteční podmínkou:
Předpokládejme nehomogenní rovnici ve tvaru
ut = a2
uxx + f, t > 0, (C.52)
s homogenní počáteční podmínkou u(0, x) = 0. Její řešení předpokládáme ve tvaru
u(t, x) =
ˆ t
0
w(t, x, σ) dσ, (C.53)
Její časová derivace dává
ut(t, x) = w(t, x, t) +
ˆ t
0
wt(t, x, σ) dσ, uxx(t, x) =
ˆ t
0
wxx(t, x, σ) dσ,
w(t, x, t) +
ˆ t
0
wt(t, x, σ) dσ = a2
ˆ t
0
wxx(t, x, σ) dσ + f(t, x). (C.54)
Předpokládáme-li
ˆ t
0
wt(t, x, σ) − a2
wxx(t, x, σ) dσ = f(t, x) − w(t, x, t) = 0, (C.55)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 215
bude její řešení wt(t, x, σ) = a2wxx(t, x, σ) s počáteční podmínkou w(σ, x, σ) = f(σ, x) mít tvar
w(t, x, σ) =
1
2a π(t − σ)
ˆ ∞
−∞
f(σ, y) e
−
(x−y)2
4a2(t−σ) dy. (C.56)
Výsledné řešení bude
u(t, x) =
1
2a
ˆ t
0
ˆ ∞
−∞
f(σ, y)
√
t − σ
e
−
(x−y)2
4a2(t−σ) dσ dy. (C.57)
• Nehomogenní rovnice s nehomogenní počáteční podmínkou:
Předpokládejme nehomogenní rovnici ve tvaru
ut = a2
uxx + f, t > 0, (C.58)
s nehomogenní počáteční podmínkou u(0, x) = φ(x). Z linearity vyplývá, že funkci u lze rozdělit
na dvě funkce u(t, x) = v(t, x) + w(t, x), kdy
1. funkce: vt(t, x) = a2
vxx + f, v(0, x) = 0, (C.59)
2. funkce: wt(t, x) = a2
wxx, w(0, x) = φ(x). (C.60)
Z počáteční podmínky φ(x) = v(0, x) + w(0, x) = w(0, x), kde ovšem v(0, x) = 0, dostáváme:
u(t, x) =
ˆ ∞
−∞
φ(y) G(x, y, t) dy +
ˆ t
0
ˆ ∞
−∞
f(σ, y) G(x, y, t − σ) dσ dy =
=
1
2a
√
πt
ˆ ∞
−∞
φ(y) e−
(x−y)2
4a2t dy +
1
2a
ˆ t
0
ˆ ∞
−∞
f(σ, y)
√
t − σ
e
−
(x−y)2
4a2(t−σ) dσ dy. (C.61)
C.2.3 Řešení parabolických parciálních diferenciálních rovnic Fourierovou
metodou (metodou separace proměnných)
Metodu, která se velmi často používá při řešení parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu, si opět
detailněji ukážeme na řešených příkladech parabolických parciálních diferenciálních rovnic.
• Homogenní jednorozměrná úloha, homogenní okrajové podmínky, obecná počáteční
podmínka:
Předpokládejme rovnici ve tvaru
ut = a2
uxx, t > 0, x ∈ ⟨0, ℓ⟩, (C.62)
s podmínkami u(0, x) = φ(x), u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ). Předpokládejme dále, že funkci u(t, x) lze
vyjádřit jako součin dvou funkcí jen jedné z obou proměnných, u(t, x) = T(t)X(x). Rovnici
(C.62) lze potom vyjádřit následujícím způsobem: ˙TX = a2TX′′, rovnici následně separujeme
do podoby
˙T
a2T
=
X′′
X
= −λ. (C.63)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 216
Řešení PS potom bude X′′ + λX = 0, z toho vyplývá X(x) = v(x) = A sin
√
λx + B cos
√
λx.
Zahrnutím okrajové podmínky získáme příslušné koeficienty PS: X(0) = B = 0, X(ℓ) =
A sin
√
λℓ = 0, a tedy
√
λ =
kπ
ℓ
, (C.64)
kde konstanta A může nabývat libovolné hodnoty (např. A = 1). PS můžeme tedy zapsat jako
Xk = vk = sin
kπ
ℓ
x . (C.65)
LS řešíme jako obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu, ˙T/T = −a2λ, z toho vyplývá
T = Ck e−a2λk t
= Ck e−(akπ
ℓ )
2
t
. (C.66)
Obě takto nalezené separátní funkce potom spojíme do součinu:
u(t, x) =
∞
k=1
Ck e−(akπ
ℓ )
2
t
sin
kπ
ℓ
x . (C.67)
Tzv. Fourierův koeficient Ck získáme z počáteční podmínky,
φ(x) =
∞
k=1
Ck sin
kπ
ℓ
x =
∞
k=1
Ck vk, tedy Ck =
1
∥vk∥2
ˆ ℓ
0
φ(ξ) vk(ξ) dξ. (C.68)
Normu ∥vk∥ řešíme jako normu spojitě definovaného vektoru (viz rovnice (2.1)), tedy
∥vk∥2
=
ˆ ℓ
0
v2
k(ξ) dξ =
ˆ ℓ
0
sin2 kπ
ℓ
ξ dξ =
ℓ
2
, Ck =
2
ℓ
ˆ ℓ
0
φ(ξ) sin
kπ
ℓ
ξ dξ. (C.69)
Výslednou funkci můžeme potom zapsat ve tvaru
u(t, x) =
2
ℓ
∞
k=1
ˆ ℓ
0
φ(ξ) sin
kπ
ℓ
ξ dξ e−(akπ
ℓ )
2
t
sin
kπ
ℓ
x . (C.70)
• Homogenní dvourozměrná úloha, homogenní okrajové podmínky, obecná počáteční
podmínka:
Vedení tepla v pravoúhlých směrech: předpokládejme rovnici ve tvaru
ut = a2
(uxx + uyy) , t > 0, x ∈ ⟨0, ℓ1⟩, y ∈ ⟨0, ℓ2⟩, (C.71)
s podmínkami u(0, x, y) = φ(x, y), u(t, 0, y) = 0 = u(t, ℓ1, y), u(t, x, 0) = 0 = u(t, x, ℓ2).
Předpokládáme součin tří funkcí (srovnej rovnici (C.63)), kdy každá je funkcí jen jedné ze tří
proměnných: u = T(t)X(x)Y (y). Obě strany rovnice (C.71) lze potom vyjádřit následovně:
˙TXY = a2
(TX′′
Y + TXY ′′
), tedy
˙T
a2T
=
X′′
X
+
Y ′′
Y
= −(λ1 + λ2). (C.72)
Dále předpokládáme X′′/X = −λ1, Y ′′/Y = −λ2, což je opodstatněné vzhledem k následným
úpravám LS rovnice. Dostáváme tak řešení PS ve tvaru
Xm = sin
mπ
ℓ1
x , Yn = sin
nπ
ℓ2
y . (C.73)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 217
LS opět řešíme jako obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu
T = Cmn e
−a2 mπ
ℓ1
2
+ nπ
ℓ2
2
t
. (C.74)
Všechny tři nalezené separátní funkce potom spojíme do součinu
u(t, x, y) =
∞
m,n=1
Cmn e
−a2 mπ
ℓ1
2
+ nπ
ℓ2
2
t
× sin
mπ
ℓ1
x sin
nπ
ℓ2
y . (C.75)
Fourierův koeficient Cmn získáme z počáteční podmínky,
Cmn =
1
∥vmn∥2
ˆ ℓ1
0
ˆ ℓ2
0
φ(ξ, η) sin
mπξ
ℓ1
sin
nπη
ℓ2
dξ dη, (C.76)
Norma ∥vmn∥ funkce vmn = XmYn je analogicky k rovnici (C.69) dána jako
∥vmn∥2
=
ˆ ℓ1
0
ˆ ℓ2
0
sin2 mπξ
ℓ1
sin2 nπη
ℓ2
dξ dη =
1
2
ξ
ℓ1
0
×
1
2
η
ℓ2
0
=
ℓ1 ℓ2
4
. (C.77)
Výslednou funkci můžeme zapsat ve tvaru
u(t, x, y) =
4
ℓ1 ℓ2
∞
m,n=1
ˆ ℓ1
0
ˆ ℓ2
0
φ(ξ, η) sin
mπξ
ℓ1
sin
nπη
ℓ2
dξ dη ×
× e
−a2 mπ
ℓ1
2
+ nπ
ℓ2
2
t
× sin
mπ
ℓ1
x sin
nπ
ℓ2
y . (C.78)
• Homogenní jednorozměrná úloha, nehomogenní okrajové podmínky, homogenní
počáteční podmínka:
V případě nehomogenních okrajových podmínek bude nalezení partikulárního řešení komplikovanější.
Uvažujme rovnici chladnutí tyče
ut = a2
uxx, t > 0, x ∈ ⟨0, ℓ⟩, (C.79)
s podmínkami u(0, x) = 0, u(t, 0) = T1, u(t, ℓ) = T2. Funkci linearizujeme: u(t, x) = v(t, x) +
w(t, x), kdy funkce w(t, x) přejde na stacionární funkci w(x) a bude splňovat okrajové podmínky
následujícím způsobem, w(t, 0) = T1, w(t, ℓ) = T2, v(t, 0) = v(t, ℓ) = 0. Pro stacionární funkce
dále platí,
w(x) = T1 +
T2 − T1
ℓ
x, v(0, x) = −T1 +
T1 − T2
ℓ
x, v(0, x) + w(0, x) = 0. (C.80)
Rovnici (C.79) rozepíšeme pro obě funkce v a w, vt = a2vxx, wt = a2wxx. Prostorové derivace
funkce w budou wx = (T2−T1)/ℓ, wxx = 0. Zahrneme-li dále podmínky pro funkci v, vt = a2vxx,
v = XT, v(t, 0) = 0 = v(t, ℓ), dostáváme
X(x) = A sin
√
λx + B cos
√
λx, tedy Xk = sin
kπ
ℓ
x . (C.81)
Funkci v můžeme zapsat ve tvaru
v(x, t) =
∞
k=1
Ck e−(akπ
ℓ )
2
t
sin
kπ
ℓ
x . (C.82)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 218
T1
T2
x
T
0
Obrázek C.1: Schématické znázornění průběhu funkce w(x) = T1 + T2−T1
ℓ x.
Z počáteční podmínky (C.80) dále vyplývá
v(0, x) =
∞
k=1
Ck sin
kπ
ℓ
x = −T1 +
T1 − T2
ℓ
x, (C.83)
z toho vypočítáme Fourierův koeficient,
Ck =
2
ℓ
ˆ ℓ
0
−T1 +
T1 − T2
ℓ
x sin
kπ
ℓ
ξ dξ =
=
2 T1
kπ
(−1)k
− 1 −
2(T1 − T2)
kπ
(−1)k
= (−1)k 2T2
kπ
−
2T1
kπ
. (C.84)
Výsledná funkce bude mít tvar
u(t, x) = T1 +
T2 − T1
ℓ
x +
∞
k=1
(−1)k 2T2
kπ
−
2T1
kπ
e−(akπ
ℓ )
2
t
sin
kπ
ℓ
x . (C.85)
• Nehomogenní jednorozměrná úloha s konstantním zdrojem tepla T0, s homogenními
podmínkami:
Uvažujme rovnici chladnutí tyče s konstantním zdrojem tepla
ut = a2
uxx + T0, t > 0, x ∈ ⟨0, ℓ⟩, (C.86)
s podmínkami u(0, x) = 0, u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ). Funkci separujeme způsobem
u(t, x) = TX, X(x) = A sin
√
λx + B cos
√
λx, Xk(x) = vk(x) = sin
kπ
ℓ
x . (C.87)
Předpokládáme řešení ve tvaru
u(t, x) =
∞
k=1
Ck(t) sin
kπ
ℓ
x . (C.88)
Pomocí další podmínky získáme nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici
˙Ck(t) + a2
λkCk(t) = Fk(t), (C.89)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 219
kde Fk(t) je tzv. Fourierův koeficient nehomogenity. Tuto rovnici dále řešíme:
f(t, x) =
∞
k=1
Fk(t) sin
kπ
ℓ
x , (C.90)
Fk(t) =
2
ℓ
ℓˆ
0
f(t, ξ) sin
kπ
ℓ
ξ dξ =
2T0
ℓ
ℓ
kπ
− cos
kπ
ℓ
ξ
ℓ
0
=
2T0
kπ
1 − (−1)k
. (C.91)
Nejdříve řešíme homogenní rovnici
˙Ck(t) = −a2 kπ
ℓ
2
Ck(t) = −
akπ
ℓ
2
K(t) e−(akπ
ℓ )
2
t
+ ˙K(t) e−(akπ
ℓ )
2
t
. (C.92)
Dosazením do nehomogenní rovnice dostáváme
˙Ck(t) +
akπ
ℓ
2
K(t) e−(akπ
ℓ )
2
t
=
2T0
kπ
1 − (−1)k
, (C.93)
K(t) =
ℓ
akπ
2
2 T0
kπ
1 − (−1)k
e(akπ
ℓ )
2
t
+ K2. (C.94)
Z počáteční podmínky Ck(0) = 0 vyplývá,
K2 =
ℓ
akπ
2
2T0
kπ
(−1)k
− 1 , (C.95)
Ck(t) = 1 − e−(akπ
ℓ )
2
t 2T0
kπ
ℓ
akπ
2
1 − (−1)k
. (C.96)
Výsledná funkce bude mít tvar
u(t, x) =
∞
k=1
1 − e−(akπ
ℓ )
2
t 2T0
kπ
ℓ
akπ
2
1 − (−1)k
sin
kπ
ℓ
x . (C.97)
• Nehomogenní jednorozměrná úloha s nekonstantním zdrojem tepla, homogenní
podmínky:
Uvažujme rovnici chladnutí tyče s prostorově i časově závislým zdrojem tepla,
ut = a2
uxx + tx, t > 0, x ∈ ⟨0, ℓ⟩, (C.98)
s podmínkami u(0, x) = 0, u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ). Funkci separujeme,
u(t, x) = TX, X(x) = A sin
√
λx + B cos
√
λx, Xk(x) = vk(x) = sin
kπ
ℓ
x . (C.99)
Opět předpokládáme řešení ve tvaru
u(t, x) =
∞
k=1
Ck(t) sin
kπ
ℓ
x kde ˙Ck(t) + a2
λkCk(t) = Fk(t). (C.100)
Tuto rovnici dále řešíme:
f(t, x) =
∞
k=1
Fk(t) sin
kπ
ℓ
x , Fk(t) = (−1)k+1 2ℓ
kπ
t. (C.101)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 220
Řešení homogenní obyčejné diferenciální rovnice
˙Ck(t) = −
akπ
ℓ
2
K(t) e−(akπ
ℓ )
2
t
+ ˙K(t) e−(akπ
ℓ )
2
t
. (C.102)
Opět dosadíme do nehomogenní rovnice, dostáváme:
˙Ck(t) +
akπ
ℓ
2
K(t) e−(akπ
ℓ )
2
t
= (−1)k+1 2ℓ
kπ
t, (C.103)
K(t) =
2ℓ
kπ
(−1)k+1
t
ℓ
akπ
2
e(akπ
ℓ )
2
t
−
ℓ
akπ
4
e(akπ
ℓ )
2
t
+ K2. (C.104)
Z počáteční podmínky Ck(0) = 0 vyplývá,
K2 =
2 ℓ
kπ
(−1)k+1 ℓ
akπ
4
, (C.105)
Ck(t) =
2ℓ
kπ
(−1)k+1 ℓ
akπ
4
e−(akπ
ℓ )
2
t
+ t
akπ
ℓ
2
− 1 . (C.106)
Výsledná funkce má tvar
u(t, x) =
∞
k=1
2ℓ
kπ
(−1)k+1 ℓ
akπ
4
e−(akπ
ℓ )
2
t
+ t
akπ
ℓ
2
− 1 sin
kπ
ℓ
x . (C.107)
• Nehomogenní jednorozměrná úloha s nehomogenními podmínkami (nástin řešení):
Uvažujme rovnici
ut = a2
uxx + tx, t > 0, x ∈ ⟨0, ℓ⟩, (C.108)
s podmínkami u(0, x) = φ(x), u(t, 0) = u1(t), u(t, ℓ) = u2(t). Funkci u(t, x) opět rozložíme na
součet u(t, x) = v(t, x)+w(t, x), kde w bude splňovat okrajové podmínky. Rozepíšeme-li rovnici
(C.108) jako vt + wt = a2vxx + a2wxx + tx, dostáváme
vt = a2
vxx + tx + a2
wxx − wt, (C.109)
kde poslední tři členy reprezentují nehomogenitu. Počáteční podmínka pro funkci u dává φ(x) =
v(0, x) + w(0, x) a tedy v(0, x) = φ(x) − w(0, x). Pomocí funkcí v a w řešíme úlohu v principu
stejně jako v předchozích případech.
C.2.4 Jednoduché příklady prostorových úloh
• Teplota v nekonečném rotačním válci (použití Besselových funkcí) :
Uvažujme rovnici (kde c je poloměr válce)
ut = a2
uρρ +
1
ρ
uρ , t > 0, ρ ∈ ⟨0, c⟩, (C.110)
reprezentující radiální část laplaciánu ve válcových souřadnicích (B.46), s podmínkami u(0, ρ) =
f(ρ), u(t, 0) = 0 = u(t, c). Pomocí rozdělení funkce u = R(ρ)T(t) můžeme rovnici separovat,
˙T
a2T
=
R′′
R
+
1
ρ
R′
R
= −λ2
. (C.111)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 221
Po úpravě dostáváme pro obě strany
LS: ˙T + a2
λ2
T = 0, PS: ρR′′
+ R′
+ λ2
ρR = 0. (C.112)
Substitucí λρ = z a úpravami
dR
dρ
= λ
dR
dz
,
d2
R
dρ2
= λ2 d2
R
dz2
(C.113)
dostaneme tzv. Besselovu rovnici s indexem ν = 0,
z
d2
R
dz2
+
dR
dz
+ zR = 0, (C.114)
kdy obecná Besselova rovnice má tvar x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2)y = 0. Řešením rovnice (C.114) a
řešením obecné Besselovy rovnice jsou funkce
J0(x) =
∞
k=0
(−1)k
(k!)2
x
2
2k
, Jν(x) =
x
2
ν
∞
k=1
(−1)k
k! Γ(ν + k + 1)
x
2
2k
, (C.115)
kde výraz Γ(ν + k + 1) je tzv. Γ funkce, definovaná jako Γ(x) =
´ ∞
0 e−ttx−1 dt. V našem
případě dostáváme řešení PS rovnice (C.112) ve tvaru R(z) = J0(z), tedy R(ρ) = J0(λρ) a tedy
J0(λnρ) = Rn(ρ), s okrajovou podmínkou J0(λnc) = 0 kde λn pro n = 1, 2, 3, . . . , je kořenem
této rovnice. Řešením LS rovnice (C.112) bude funkce
Tn(t) = e−a2λ2
nt
. (C.116)
Pomocí tzv. Fourierova-Besselova rozvoje, definovaného jako ∞
k=1 CnJν(λnx) = f(x) v každém
bodě spojitosti funkce f(x), získáme koeficient Cn (Fourierův-Besselův koeficient), kdy pro J0
a obecné Jν z rovnice (C.115) platí
Cn =
2
c2J2
1(λnc)
ˆ c
0
ξ J0(λnξ)f(ξ) dξ, Cn =
2
c2J2
ν+1(λnc)
ˆ c
0
ξ Jν(λnξ)f(ξ) dξ. (C.117)
Výsledná funkce bude mít podobu
u(t, ρ) =
2
c2
∞
n=1
J0(λnρ)
J2
1(λnc)
ˆ c
0
[ξ J0(λnξ)f(ξ) dξ] e−a2λ2
nt
. (C.118)
• Chladnutí koule (homogenní rovnice) :
Uvažujme funkci s Laplaciánem
ut = a2
∆u, t > 0, r ∈ ⟨0, R⟩, (C.119)
pro kartézské souřadnice x2 +y2 +z2 ≤ R2 kde R je poloměr koule, s podmínkami u(0, x, y, z) =
f x2 + y2 + z2 = f(r) a tedy u(0, r) = f(r), u(t, x, y, z) = u(t, r), u(t, 0) = T1, u(t, R) = 0.
Jednotlivé parciální derivace budou
ux = urrx + uθθx + uϕϕx
0
, tedy ux = ur
x
r
, (C.120)
uxx = urr
x2
r2
+ ur
r − xx
r
r2
= urr
x2
r2
+ ur
r2 − x2
r3
, (C.121)
∆u = urr
x2 + y2 + z2
r2
+ ur
3r2 − x2 + y2 + z2
r3
= urr +
2
r
ur, tedy (C.122)
ut = a2
urr +
2
r
ur (sférická radiální část Laplaciánu - viz rovnice (B.72)). (C.123)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 222
R
T
0
T1
r
Obrázek C.2: Schématické znázornění průběhu funkce w(r) = T1 − T1
R r.
Pomocí substituce v(r) = ru(r) tedy u = v/r dostáváme:
ut =
1
r
vt, ur = −
1
r2
v +
1
r
vr, urr =
2
r3
v −
1
r2
vr −
1
r2
vr +
1
r
vrr =
2
r3
v −
2
r2
vr +
1
r
vrr, (C.124)
ut = a2
urr +
2
r
ur , tedy
1
r
vt = a2 2
r3
v −
2
r2
vr +
1
r
vrr −
2
r3
v +
2
r2
vr , a tedy (C.125)
vt = a2
vrr, kde v(0, r) = rf(r) v(t, 0) = rT1, v(t, R) = 0. (C.126)
Pomocí linearizace u = z + w dále dostáváme:
u(0, r) = f(r), tedy z(0, r) = u(0, r) − w(r), (C.127)
w(r) = T1 −
T1
R
r, z(0, r) = f(r) − T1 +
T1
R
r, z(0, r) = rz(0, r). (C.128)
v(0, r) = rf(r), tedy z(0, r) = r f(r) − T1 +
T1
R
r dává (C.129)
v = ru = r(z + w), zt = a2
zrr, z(t, 0) = z(t, R) = 0, z = TX, tedy (C.130)
z(t, r) =
∞
k=1
Ck e−(akπ
R )
2
t
sin
kπ
R
r . (C.131)
Fourierův koeficient bude mít tvar:
Ck =
2
R
ˆ R
0
r f(r) − T1 +
T1
R
r sin
kπ
R
r dr. (C.132)
Výsledná funkce bude mít tvar:
u(t, r) = T1 −
T1
R
r
w
+
2
R
ˆ R
0
f(r) − T1 +
T1
R
r ×
∞
k=1
e−(akπ
R )
2
t
sin
kπ
R
r dr. (C.133)
C.2.5 Řešení hyperbolických parciálních diferenciálních rovnic Fourierovou
metodou
Následující dva jednoduché řešené příklady ilustrují princip použití této metody v případě
hyperbolických PDR:
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 223
• Homogenní vlnová rovnice :
Uvažujme rovnici
utt = a2
uxx, t > 0, x ∈ ⟨0, ℓ⟩, (C.134)
s Cauchyho počátečními podmínkami (viz odstavec 3.1.1)
u(0, x) = φ(x), ut(0, x) = ψ(x) (C.135)
a se smíšenými okrajovými podmínkami (viz odstavec 3.2.1), kde α, β ̸= 0,
α u(t, 0) + β ux(t, 0) = 0, α u(t, ℓ) + β ux(t, ℓ) = 0. (C.136)
Separací proměnných:
u(t, x) = T(t)X(x) a tedy
¨T
a2T
=
X′′
X
= −λ2
, (C.137)
po úpravě dostáváme
LS: ¨T + a2
λ2
T = 0, PS: X′′
+ λ2
X = 0. (C.138)
Z rovnice (C.138) dostáváme
Tk(t) = ak cos (λka t) + bk sin (λka t) , Xk(x) = ck cos (λk x) + dk sin (λk x) , (C.139)
Obdobným způsobem jako v rovnici (C.64) dostáváme ze smíšených okrajových podmínek
(C.136)
α + βλ = 0, β − αλ = β2
+ α2
̸= 0, tedy sin (λk x) = 0 a tedyλk =
kπ
ℓ
. (C.140)
Pro prostorovou funkci tedy dostáváme řešení (viz rovnice (C.65))
Xk = ck cos
kπ
ℓ
x + dk sin
kπ
ℓ
x . (C.141)
Obecné řešení lze tedy zapsat ve tvaru
u(t, x) =
∞
k=1
Ak cos
akπ
ℓ
t + Bk sin
akπ
ℓ
t cos
kπ
ℓ
x + sin
kπ
ℓ
x . (C.142)
Z Cauchyho počáteční podmínky (C.135) dostáváme
u(0, x) =
∞
k=1
Ak cos
kπ
ℓ
x + sin
kπ
ℓ
x = φ(x) (C.143)
a z podmínky (C.135) dostáváme
ut(0, x) =
∞
k=1
akπ
ℓ
Bk cos
kπ
ℓ
x + sin
kπ
ℓ
x = ψ(x) =
∞
k=1
akπ
ℓ
Bk vk. (C.144)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 224
Fourierovy koeficienty Ak, Bk najdeme z rovnic (C.143) a (C.144) (viz také rovnice (C.68)),
Ak =
1
∥vk∥2
ℓˆ
0
φ(ξ) vk(ξ) dξ, Bk =
ℓ
akπ∥vk∥2
ℓˆ
0
ψ(ξ) vk(ξ) dξ. (C.145)
Normu ∥vk∥ funkce vk řešíme jako normu spojitě definovaného vektoru (viz rovnice (2.1)), tedy
∥vk∥2
=
ˆ ℓ
0
v2
k(ξ) dξ =
ˆ ℓ
0
cos
kπ
ℓ
ξ + sin
kπ
ℓ
ξ
2
dξ =
ˆ ℓ
0
dξ = ℓ. (C.146)
Po dosazení dostáváme rovnici (C.142) ve tvaru
u(t, x) =
∞
k=1
cos
kπ
ℓ
x + sin
kπ
ℓ
x ×
×

1
ℓ
ℓˆ
0
φ(ξ) vk(ξ) cos
akπ
ℓ
t dξ +
1
akπ
ℓˆ
0
ψ(ξ) vk(ξ) sin
akπ
ℓ
t dξ

 . (C.147)
• Nehomogenní vlnová rovnice s homogenními počátečními podmínkami :
Uvažujme rovnici
utt = a2
uxx + f (kde f je zdroj energie vlnění), t > 0, x ∈ ⟨0, ℓ⟩, (C.148)
s homogenními Cauchyho počátečními podmínkami (viz odstavec 3.1.1)
u(0, x) = 0, ut(0, x) = 0 (C.149)
a se smíšenými okrajovými podmínkami (viz odstavec 3.2.1), kde α, β ̸= 0,
α u(t, 0) + β ux(t, 0) = 0, α u(t, ℓ) + β ux(t, ℓ) = 0. (C.150)
Obdobně jako v předchozím příkladu:
u(t, x) = TX, X(x) = A sin (λx) + B cos (λx) , Xk(x) = vk(x) = sin
kπ
ℓ
x . (C.151)
Zvolíme rovnici ve tvaru:
u(t, x) =
∞
k=1
Ck(t) vk(x) =
∞
k=1
Ck(t) sin
kπ
ℓ
x . (C.152)
Pomocí další podmínky získáme nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici:
¨Ck(t) + a2
λ2
kCk(t) = Fk(t) kde Fk(t) je tzv. Fourierův koeficient nehomogenity, (C.153)
f(t, x) =
∞
k=1
Fk(t) sin
kπ
ℓ
x a tedy Fk(t) =
2
ℓ
ℓˆ
0
f(t, ξ) sin
kπ
ℓ
ξ dξ. (C.154)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 225
Dále bychom museli řešit nehomogenní diferenciální rovnici 2. řádu (C.153) (například metodou
variace konstant - viz oddíl 3.2.1) pro konkrétní funkci Fk(t). Zahrnutím počátečních podmínek
(C.149) dostáváme řešení rovnice (C.153) alespoň v obecné integrabilní podobě:
Ck(t) =
ℓ
akπ
tˆ
0
Fk(σ) sin
akπ
ℓ
(t − σ) dσ. (C.155)
Jejím dosazením do rovnice obecného řešení (C.152) dostaneme (viz řešení rovnice obdobného
typu v případě parabolických parciálních diferenciálních rovnic v oddíle C.2.3):
u(t, x) =
∞
k=1
ℓ
akπ
sin
kπ
ℓ
x
tˆ
0
Fk(σ) sin
akπ
ℓ
(t − σ) dσ. (C.156)
C.2.6 Ukázka možných způsobů řešení jednoduchých eliptických parciálních
diferenciálních rovnic
Následující řešené příklady demonstrují některé základní způsoby počítání eliptických PDR:
• Laplaceova rovnice :
Laplaceova rovnice je v kartézských souřadnicích v nejjednodušší formě definovaná ve tvaru
uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0. (C.157)
V tomto příkladu budeme řešit Laplaceovu rovnici na obdélníkové oblasti s rozměry a, b, se smíšenými
Dirichletovými a Neumannovými podmínkami (viz odstavec 3.2.1), v podobě
u(x, 0) = 0, u(0, y) = 0, ux(a, y) = 0 (y ̸= 0), uy(x, b) = u0 sin
π
2a
x (x ̸= 0). (C.158)
Separací proměnných u(x, y) = X(x)Y (y) dostáváme rovnici
X′′
Y + XY ′′
= 0 a tedy
X′′
X
= −
Y ′′
Y
= λ, (C.159)
kde konstanta λ může nabývat hodnot λ = 0, λ > 0, λ < 0.
1. λ = 0: Budeme předpokládat separované funkce X(x) a Y (y) ve tvaru polynomů, vzhledem
k okrajovým podmínkám budou dostatečné polynomy 1. stupně, tedy X(x) = Ax +
B, Y (y) = Cx+D. Z okrajové podmínky u(0, y) = 0 vyplývá B = 0 ∨ C = D = 0, pokud
ovšem C = D = 0, potom Y (y) = 0 a tedy u(x, y) = 0 všude. Pokračujeme-li s B = 0,
dostáváme Ax(Cy + D) = 0 a tedy, zahrneme-li další okrajovou podmínku u(x, 0) = 0,
musí být AxD = 0. Případ A = 0 dává X(x) = 0, tedy u(x, y) = 0 všude. Uvažujeme-li
také D = 0, potom u(x, y) = AxCy = 0, z další okrajové podmínky ux(a, y) = 0 vyplývá
ACy = 0, tedy A = 0 ∨ C = 0, v obou případech ovšem u(x, y) = 0. Případ λ = 0 dává
tedy pouze triviální řešení.
2. λ > 0: Z rovnice (C.159) dostáváme obecné řešení ve tvaru
u(x, y) = A cosh(
√
λx) + B sinh(
√
λx) C cos(
√
λy) + D sin(
√
λy) . (C.160)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 226
Z okrajové podmínky u(0, y) = 0 vyplývá A[C cos(
√
λy) + D sin(
√
λy)] = 0, tedy C =
D = 0, potom ovšem Y (y) = 0 a tedy u(x, y) = 0 všude. Pokračujeme-li s A = 0,
dostáváme u(x, y) = B sinh(
√
λx)[C cos(
√
λy)+D sin(
√
λy)]. Zahrneme-li další okrajovou
podmínku u(x, 0) = 0, musí být BC sinh(
√
λx) = 0. Případ B = 0 dává X(x) = 0, tedy
u(x, y) = 0 všude. Pokračujeme-li s C = 0, potom u(x, y) = BD sinh(
√
λx) sin(
√
λy) a
z další okrajové podmínky ux(a, y) = 0 vyplývá
√
λBD cosh(
√
λa) sin(
√
λy) = 0, tedy
B = 0 ∨ D = 0, v obou případech ovšem u(x, y) = 0. Případ λ > 0 dává tedy také pouze
triviální řešení.
3. λ < 0: Z rovnice (C.159) dostáváme obecné řešení ve tvaru
u(x, y) = A cos(
√
λx) + B sin(
√
λx) C cosh(
√
λy) + D sinh(
√
λy) . (C.161)
Z okrajové podmínky u(0, y) = 0 vyplývá A[C cosh(
√
λy) + D sinh(
√
λy)] = 0, tedy
C = D = 0, potom Y (y) = 0 a tedy u(x, y) = 0 všude. Pokračujeme s A = 0, dostáváme
u(x, y) = B sin(
√
λx)[C cosh(
√
λy) + D sinh(
√
λy)]. Zahrneme-li další okrajovou
podmínku u(x, 0) = 0, musí být BC sin(
√
λx) = 0. Případ B = 0 dává X(x) = 0, tedy
u(x, y) = 0 všude. Pokračujeme-li s C = 0, potom u(x, y) = BD sin(
√
λx) sinh(
√
λy) a
z další okrajové podmínky ux(a, y) = 0 vyplývá
√
λBD cos(
√
λa) sinh(
√
λy) = 0, tedy
B = 0 ∨ D = 0 (v obou případech ovšem u(x, y) = 0) ∨ cos(
√
λa) = 0. Poslední případ
dává řešení
cos(
√
λa) = 0, tedy
√
λ =
(2k − 1)π
2a
a tedy
u(x, y) =
∞
k=1
Kk sin
(2k − 1)π
2a
x sinh
(2k − 1)π
2a
y , kde Kk = BD. (C.162)
Uplatníme-li také čtvrtou okrajovou podmínku, dostáváme
u0 sin
π
2a
x =
∞
k=1
Kk sin
(2k − 1)π
2a
x sinh
(2k − 1)π
2a
b . (C.163)
Z argumentů funkce sinus vyplývá řešení pouze pro k = 1, tedy K1 = u0 / sinh[πb/(2a)].
Výsledné řešení se zahrnutím všech okrajových podmínek bude
u(x, y) = u0 sinh
πb
2a
−1
sin
πx
2a
sinh
πy
2a
. (C.164)
Další typickou eliptickou parciální diferenciální rovnicí může být například tzv. Poissonova
rovnice typu ∆u(x, y) = f(x, y), tedy nehomogenní eliptická rovnice, nejčastěji používaná ve formě
gravitační Poissonovy rovnice, ∆Φ = 4πGρ, kde Φ je gravitační potenciál, ρ je hustota hmoty
a G je gravitační konstanta, nebo Poissonovy rovnice elektrostatického potenciálu, ∆Φ = −ρ/ϵ,
kde ρ je hustota elektrického náboje a ϵ je permitivita. Řešení vícerozměrné Poissonovy rovnice
je analogické k řešení Laplaceovy rovnice a také například k řešení nehomogenní hyperbolické
parciální diferenciální rovnice:
• Poissonova rovnice s konstantní pravou stranou:
Řešme jednoduchou rovnici, definovanou na oblasti x > y2, tj. na oblasti ohraničené parabolou
x = y2 s vrcholem v bodě [0, 0], jejíž osu tvoří kladná část osy x,
uxx(x, y) + uyy(x, y) = 2, (C.165)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 227
s Dirichletovou podmínkou na hranici oblasti, u(y2, y) = 0. Předpokládejme řešení ve formě
všech členů polynomu 2. stupně s neurčitými koeficienty,
u(x, y) = A + Bx + Cy + Dx2
+ Exy + Fy2
, (C.166)
kdy po jeho parciálním derivování ve smyslu rovnice (C.165) snadno zjistíme: F = 1 − D. Po
dosazení okrajové podmínky, tedy z rovnice
A + Cy + (B − D + 1) y2
+ Ey3
+ Dy4
= 0, (C.167)
dostáváme nenulové hodnoty koeficientů pouze pro B = −1, F = 1. Hledaná rovnice tedy bude
u(x, y) = y2
− x. (C.168)
• Poissonova rovnice s konstantní pravou stranou na kruhové oblasti, s nehomogenní
okrajovou podmínkou:
Uvnitř kruhové oblasti s poloměrem R platí následující rovnice,
uxx(x, y) + uyy(x, y) = 4, (C.169)
kdy na hranici oblasti platí Dirichletova podmínka u(x, y1) = 1, z níž vyplývá y1 = ±
√
R2 − x2.
Analogicky k parabolickým rovnicím s nehomogenními okrajovými podmínkami rozdělíme hledanou
funkci u(x, y) na součet dvou funkcí, například U(x, y) a v(x, y), pro které bude platit:
u(x, y) = U(x, y) + v(x, y), Uxx + Uyy = 4, U(x, y1) = 0, vxx + vyy = 0, v(x, y1) = 1. (C.170)
Obdobně jako v předchozím případě předpokládáme pro každou funkci úplný polynom 2. stupně
s neurčitými koeficienty,
U(x, y) = A + Bx + Cy + Dx2
+ Exy + Fy2
, (C.171)
v(x, y) = a + bx + cy + dx2
+ exy + fy2
, (C.172)
což dává F = 2−D, f = −d. Po dosazení okrajové podmínky můžeme rovnice (C.171) a (C.172)
přepsat ve tvaru
A + Bx ± (C + Ex) R2 − x2 + 2 (D − 1) x2
+ (2 − D) R2
= 0, (C.173)
a + bx ± (c + ex) R2 − x2 + 2dx2
− dR2
= 1, (C.174)
jednotlivé nenulové koeficienty budou: A = −R2, D = 1, F = 1, a = 1. Po sečtení rovnic
(C.173) a (C.174) dostáváme hledanou výslednou funkci
u(x, y) = 1 − R2
+ x2
+ y2
. (C.175)
• Poissonova rovnice s obecnou pravou stranou, smíšené okrajové podmínky:
Řešme obdobným způsobem Poissonovu rovnici ve tvaru
uxx(x, y) + 4uyy(x, y) = xy, (C.176)
Příloha C. Stručný úvod do parciálních diferenciálních rovnic ⋆ 228
s okrajovými podmínkami u(0, y) = y2, ux(0, y) = 0. Abychom po derivování dostali členy potřebného
stupně, musíme nyní ovšem předpokládat řešení ve tvaru úplného polynomu 4. stupně
s neurčitými koeficienty,
u(x, y) = A + Bx + Cy + Dx2
+ Exy + Fy2
+ Gx3
+ Hx2
y + Ixy2
+ Jy3
+
+Kx4
+ Lx3
y + Mx2
y2
+ Nxy3
+ Qy4
. (C.177)
Příslušné druhé derivace tedy v tomto případě budou
uxx = 2D + 6Gx + 2Hy + 12Kx2
+ 6Lxy + 2My2
, (C.178)
uyy = 2F + 2Ix + 6Jy + 2Mx2
+ 6Nxy + 12Qy2
. (C.179)
Pro jednotlivé koeficienty dostáváme
D = −4F, G = −
4
3
I, H = −12J, K = −
2
3
M, L =
1 − 24N
6
, M = −24Q. (C.180)
Dosazením Dirichletovy okrajové podmínky dostáváme A = 0, C = 0, F = 1, J = 0, Q = 0,
z relací (C.180) ihned vyplývá D = −4, H = 0, K = 0, M = 0. Dosazením Neumannovy
okrajové podmínky dostáváme B = 0, E = 0, I = 0, N = 0, z relací (C.180) následně vyplývá
G = 0, L = 1/6. Dosazením nenulových koeficientů do rovnice (C.177) dostáváme hledanou
výslednou funkci,
u(x, y) = −4x2
+ y2
+
1
6
x3
y. (C.181)
Podrobně je tato problematika popsána např. v učebnici Franců (2011).
Příloha D
Praktické základy numerických
výpočtů ⋆
Smyslem této kapitoly není podávat systematický popis základních metod numerické matematiky,
v tomto směru odkazuji zájemce například na skriptum Humlíček (2009) nebo odpovídající
učebnice (například Přikryl, 1985; Vitásek, 1987; Čermák & Hlavička, 2006, atd), ale pouze
stručně a názorně ilustrovat některé principy a možné postupy při praktickém numerickém modelování
nejčastěji se v praxi vyskytujících (a výše popsaných) analytických okruhů. Vybrané
příklady jednoduchého modelování jsou také doprovázeny ukázkami velmi jednoduše sestavených
programovacích skriptů pro daný konkrétní problém, případně obrázky a grafy výsledných
modelů. Programové skripty jsou zde demonstrovány v co nejvíce elementární podobě, zbaveny
všech podprogramů, modulů a dalších „programátorských vylepšení“, ve kterých by se ovšem
podstata algoritmu, zejména pro začátečníky, mohla ztrácet.
Rozsáhlé využívání numerické matematiky ve většině přírodovědných a technických disciplín
přineslo také tvorbu celé řady hotových knihoven, rozepsaných do hlavních programových
jazyků; jejich přehledné úložiště se nachází například na stránkách GAMS (Guide to
Available Mathematical Software) http://gams.nist.gov/. Některé z nich jsou komerční (a
poměrně komplexní), například NAG (Numerical Algorithm Group) https://www.nag.com/
content/nag-library nebo IMSL (International Mathematics and Statistics Library) http:
//www.roguewave.com/products-services/imsl-numerical-libraries, jiné jsou volně dostupné
a bývají zpravidla zaměřené na specifickou oblast, například FFTPACK http://www.
netlib.org/fftpack/ - (rychlá) Fourierova transformace, LAPACK (viz odstavec D.1) - lineární
algebra, MINPACK http://www.netlib.org/minpack/ - nelineární rovnice, atd. Jejich
úplná nebo i částečná implementace do vlastních algoritmů může výrazně urychlit a usnadnit
jejich tvorbu i kvalitu.
D.1 Numerické metody lineární algebry
V tomto oddíle nebudeme probírat jednotlivé metody numerických řešení lineární algebry,
k základům tohoto tématu existuje rozsáhlá literatura (např. Humlíček (2009)), popisující jak
vlastní numerické rovnice tak jejich stabilitu a podmíněnost (tj. zejména stanovení přesnosti
numerických maticových algoritmů), odhady chyb, atd. V současnosti existuje řada hotových
balíčků (procedur), sestávajících z jednotlivých podprogramů (knihoven), určených pro řešení
dílčích nebo i kombinovaných algebraických úloh (například řešení soustav lineárních rovnic, ře⋆
jsou označeny odstavce a příklady, určené primárně studentům vyšších ročníků bakalářského studia
229
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 230
šení tzv. tridiagonálních matic (tj. matic s nenulovými prvky pouze na hlavní a obou sousedních
diagonálách), hledání determinantů, inverzních matic, vlastních hodnot a vlastních vektorů, atd.
Jedním z nejvýkonnějších takových balíčků, který zde podrobněji představíme, je programový
balíček LAPACK (Linear Algebra PACKage, Anderson et al. (1999)), který se vyvinul ze starších
balíčků EISPACK a LINPACK a je určen pro fortran 77, fortran 90, existují také C++
verze. Existují rozšířené verze tohoto balíčku nebo další knihovny na něm postavené, se zabudovanými
podprogramy pro paralelizaci na výkonných počítačových clusterech (viz odstavec
D.6), například ScaLAPACK, MAGMA, MORSE, CHAMELEON, atd.
Programový balíček LAPACK je volně dostupná softwarová knihovna, její instalaci provedeme
buď ze softwarového centra používané systémové distribuce, nebo z adresy http:
//www.netlib.org/lapack. Při překladu (kompilaci) používaného programového souboru zadáme
odkaz na LAPACK, například: gfortran název_souboru.f95 -llapack. Popis
jednotlivých podprogramů a jejich využití (např. knihovna DGBSV pro řešení soustav reálných
lineárních rovnic o libovolném počtu proměnných nebo DGTSV, vhodná pro řešení tridiagonálních
matic, atd.) jsou dostupné v uživatelských příručkách, například v Anderson et al. (1999).
• Ukázka schématu podprogramu DGBSV, určeného pro řešení soustavy lineárních
rovnic (překlad):
N (vstup, INTEGER) = počet rovnic = řád čtvercové matice A, N ≥ 0.
KL (vstup, INTEGER) = počet spodních diagonál matice A, KL ≥ 0.
KU (vstup, INTEGER) = počet horních diagonál matice A, KU ≥ 0.
NRHS (vstup, INTEGER) = počet sloupců pravé strany (tj. matice B), NRHS ≥ 0.
AB (vstup/výstup, DOUBLE PRECISION) = pole dimenze (LDAB,N).
Na vstupu: matice A v pásovém uložení, v řádcích od KL+1 do 2*KL+KU+1;
řádky 1 až KL pole nemusí být vypsány. j-tý sloupec pole A je uložen jako j-tý
sloupec pole AB následovně: AB(KL+KU+1+i-j, j) = A(i,j) pro max(1, j-KU) ≤
i ≤ min(N, j+KL).
Na výstupu: detaily faktorizace - matice U je uložena jako horní trojúhelníková
pásová matice s KL+KU horními diagonálami v řádcích od 1 do KL+KU+1, multiplikátory
M, použité během faktorizace jsou uchovány v řádcích od KL+KU+2
do 2*KL+KU+1 (viz schéma níže).
LDAB (vstup, INTEGER) = určující dimenze pole AB. LDAB ≥ 2*KL+KU+1.
IPIV (výstup, INTEGER) = pole dimenze (N), indexy pivotů, které definují permutační
matici; i-tý řádek matice byl zaměněn za řádek IPIV(i).
B (vstup/výstup, DOUBLE PRECISION) = pole dimenze (LDB,NRHS), na vstupu
je N : NRHS matice pravé strany B. Na výstupu, pokud INFO = 0, je N : NRHS
řešení matice X.
LDB (vstup, INTEGER) = určující dimenze pole B. LDB ≥ max(1,N).
INFO (výstup, INTEGER) = 0: úspěšný výstup, < 0: pokud INFO = -i, pak i-tý argument
má nepovolenou hodnotu, > 0: pokud INFO = i, U(i,i) je přesně 0. Faktorizace
je ukončena, ale faktor U je přesně singulární, řešení nemohlo být vypočteno.
DALŠÍ DETAILY:
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 231
Schéma pásového uložení je ilustrováno na následujícím příkladu, kdy M = N =
6, KL = 2, KU = 1:
Na vstupu: Na výstupu:
∗ ∗ ∗ + + + ∗ ∗ ∗ u14 u25 u36
∗ ∗ + + + + ∗ ∗ u13 u24 u35 u46
∗ a12 a23 a34 a45 a56 ∗ u12 u23 u34 u45 u56
a11 a22 a33 a44 a55 a66 u11 u22 u33 u44 u55 u66
a21 a32 a43 a54 a65 ∗ m21 m32 m43 m54 m65 ∗
a31 a42 a53 a64 ∗ ∗ m31 m42 m53 m64 ∗ ∗
Prvky pole označené * nejsou používané ve výpočetním procesu; prvky označené +
nemusí být uvedeny na vstupu, ale jsou nutné ve výpočetním procesu pro uložení
prvků pole U z důvodu nedostatku místa, vyplývajícího z výměny řádků.
• Ukázka schématu podprogramu DGTSV, určeného pro řešení tridiagonálních matic:
N (vstup, INTEGER) = počet rovnic = řád čtvercové tridiagonální matice A, N ≥
0.
NRHS (vstup, INTEGER) = počet sloupců pravé strany (tj. matice B), NRHS ≥ 0.
DL (vstup/výstup, DOUBLE PRECISION) = na vstupu pole prvků spodní (sub)
diagonály matice A, dimenze N-1, na výstupu je toto pole přepsáno N-2 prvky
druhé horní diagonály horní trojúhelníkové matice U, dané LU faktorizací.
D (vstup/výstup, DOUBLE PRECISION) = pole dimenze N, na vstupu obsahuje
diagonální prvky matice A, na výstupu je toto pole přepsáno diagonálními prvky
matice U.
DU (vstup/výstup, DOUBLE PRECISION) = pole dimenze N-1, na vstupu obsahuje
N-1 prvků horní (super) diagonály matice A, na výstupu je toto pole přepsáno
N-1 prvky první horní diagonály horní trojúhelníkové matice U.
B (vstup/výstup, DOUBLE PRECISION) = pole dimenze (LDB,NRHS), na vstupu
je N : NRHS matice pravé strany B. Na výstupu, pokud INFO = 0, je N : NRHS
řešení matice X.
LDB (vstup, INTEGER) = určující dimenze pole B. LDB ≥ max(1,N).
INFO (výstup, INTEGER) = 0: úspěšný výstup, < 0: pokud INFO = -i, pak i-tý argument
má nepovolenou hodnotu, > 0: pokud INFO = i, U(i,i) je přesně 0. Faktorizace
je ukončena, ale faktor U je přesně singulární, řešení nemohlo být vypočteno.
Obdobným způsobem jsou sestaveny i ostatní knihovny. Příklady řešení a programových skriptů
s odkazem na LAPACK uvádíme v dalších odstavcích D.2.1, D.3.1, D.3.2, D.3.3, D.5.1, D.5.7,
atd.
D.2 Interpolace
Interpolací rozumíme nahrazení složitější funkční závislosti závislostí jednodušší, tedy aproximace
dané funkce jinou vhodnou funkcí. Interpolační aproximací rozumíme interpolaci diskrétní
funkce, tj. funkce, dané konečným souborem bodů definičního oboru a jim přiřazených funkčních
hodnot (reprezentovaných zpravidla tabulkou), pomocí funkce (případně i jejích derivací),
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 232
nabývající v těchto bodech stejných hodnot jako původní zadaná funkce. Nejvhodnějšími interpolačními
funkcemi jsou polynomy různého (zvoleného) stupně, např. tzv. Lagrangeův a Newtonův
interpolační polynom (Humlíček, 2009; Vitásek, 1987) nebo tzv. splajny. V následujícím
odstavci D.2.1 je stručně ukázán často používaný tzv. kubický interpolační splajn pro jednorozměrné
interpolace. V odstavcích D.2.2 a D.2.3 jsou dokumentovány dvourozměrné bilineární a
bikubické interpolace pomocí polynomů 1. a 3. stupně, vedených ve dvou směrech.
Při praktických výpočtech je třeba vždy zvážit, případně vyzkoušet, který typ interpolace je
pro danou úlohu nejvhodnější. Jsou-li například velké disproporce mezi vzdálenostmi zadaných
bodů (tj. zadaná „síť“ bodů je místy hustá a místy velmi řídká), je vhodnější použít jednodušší,
„po částech“ lineární interpolaci, protože interpolace spojitou funkcí (například kubickým interpolačním
splajnem, viz odstavec D.2.1) může být v řídkých oblastech neúměrně „rozkmitaná“.
Případně je možné použít pro různé úseky interpolované závislosti různé typy aproximací (a ve
styčných bodech je vhodným způsobem navázat).
D.2.1 Kubický interpolační splajn
(z anglického spline) je jednou z nejčastěji používaných interpolačních funkcí Jedná se o tzv.
po částech (piecewise) interpolační polynom 3. stupně si ve tvaru
S(x) = s1(x) pro x1 ≤ x < x2, s2(x) pro x2 ≤ x < x3, . . . , sn−1(x) pro xn−1 ≤ x < xn, (D.1)
definovaný jako
si(x) = ai(x − xi)3
+ bi(x − xi)2
+ ci(x − xi) + di, (D.2)
jehož druhé derivace označíme jako Mi. Je to tedy soustava kubických funkcí, které na sebe
v zadaných bodech [xi, yi] navazují jak funkční hodnotou, tak první a druhou derivací. Podle
okrajových podmínek rozlišujeme různé typy těchto splajnů, například tzv. přirozený splajn je
určen okrajovými podmínkami M1 = Mn = 0, parabolický ukončený splajn je určen okrajovými
podmínkami M1 = M2, Mn = Mn−1 (extrapolace nultého řádu), kubický ukončený splajn je
určen okrajovými podmínkami M1 = 2M2 − M3, Mn = 2Mn−1 − Mn−2 (extrapolace 1. řádu
nebo také lineární extrapolace), atd.
Z podmínek spojitosti funkčních hodnot i prvních a druhých derivací v bodech xi, vyplývá
pro i = 0, . . . , n − 1 následující:
si(xi) = yi, si(xi+1) = yi+1, (D.3)
s′
i−1(xi) = s′
i(xi) = ci, s′′
i−1(xi) = s′′
i (xi) = Mi = 2bi, (D.4)
tyto vnitřní podmínky jsou dále doplněny dvěma uvedenými okrajovými podmínkami, danými
typem splajnu. Porovnáním všech uvedených podmínek ve všech uzlových bodech [xi, yi] dostáváme
soustavu lineárních rovnic pro neznámé druhé derivace Mi ve vnitřních uzlových bodech:
(xi+1 − xi) Mi+1 + 2 (xi+1 − xi−1) Mi + (xi − xi−1) Mi−1 = 6
yi+1 − yi
xi+1 − xi
−
yi − yi−1
xi − xi−1
.
(D.5)
Tuto soustavu rovnic lze zapsat pomocí tzv. tridiagonální matice ve tvaru (kde zavedeme ∆xi =
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 233
xi+1 − xi, ∆+xi = xi+1 − xi−1, ∆yi = yi+1 − yi, ∆j = ∆yj/∆xj, ∆i
j = ∆yi/∆xi − ∆yj/∆xj):












2∆xn−1 ∆xn−1
∆xn−1 2∆+xn−1 ∆xn−2
∆xn−2 2∆+xn−2 ∆xn−3
...
...
...
∆x2 2∆+x2 ∆x1
∆x1 2∆x1
























Mn
Mn−1
Mn−2
...
M2
M1












= 6












−∆n−1
∆n−1
n−2
∆n−2
n−3
...
∆2
1
∆1












,
(D.6)
kterou řešíme například pomocí vhodné knihovny balíčku LAPACK (odstavec D.1). Jednotlivé
koeficienty rovnice (D.2) potom snadno dopočítáme:
di = yi, ci =
yi+1 − yi
xi+1 − xi
− (Mi+1 + 2Mi)
xi+1 − xi
6
, bi =
Mi
2
, ai =
Mi+1 − Mi
6 (xi+1 − xi)
. (D.7)
V případě konstantního kroku nezávisle proměnné xi+1 − xi = h = konst. se rovnice (D.5)
zjednoduší do podoby
Mi+1 + 4Mi + Mi−1 =
6
h2
(yi+1 − 2yi + yi−1) , (D.8)
matice (D.6) bude mít potom tvar












2 1
1 4 1
1 4 1
...
...
...
1 4 1
1 2
























Mn
Mn−1
Mn−2
...
M2
M1












=
6
h2












−∆yn−1
∆yn−1 − ∆yn−2
∆yn−2 − ∆yn−3
...
∆y2 − ∆y1
∆y1












. (D.9)
• Příklad programového skriptu pro přirozený kubický interpolační splajn (fortran
95):
program nat3_splajn deklarace názvu programu
implicit none příkaz, který ruší automatické přiřazování
písmen i, j, k, l, m, n pro celočíselné proměnné
a ostatních písmen pro reálné proměnné
(tj. proměnné s desetinným rozvo-
jem)
tabulka hodnot [xi, yi]:
[1,1], [2,3], [3,4], [4;1,5], [5;1,5], [6,5], [7,7], [8,5], [9,2], [10,0]
integer :: i, j, np deklarace celočíselných proměnných: i =
pořadové číslo nezávisle proměnné, j = pořadové
číslo lineární rovnice, np = celkový
počet diskrétních hodnot.
parameter (np=10) zadání fixní hodnoty np, kterou nelze v programu
dále měnit
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 234
integer :: INFO,KL,KU,LDAB,LDB,N,RHS deklarace celočíselných proměnných procedury
LAPACK - viz sekce D.1.
parameter(KL=np-3,KU=np-3,N=np-2,KUKL=KL+KU+1,LDAB=2*KL+KU+1,&
LDB=N,RHS=1) zadání fixních hodnot celočíselných para-
metrů
integer :: IPIV(N) zadání parametru jako pole o N prvcích
double precision, dimension(np) :: x, y deklarace reálných veličin x, y jako pole
(vektoru) o np prvcích s tzv. dvojitou přesností,
umožňující výpočet čísla na 16 desetinných
míst a do mocniny cca 10300 (v závislosti
na parametrech počítače).
double precision, dimension(np) :: M(N,N),AB(LDAB,N),B(LDB,RHS)
zadání parametrů jako dvojrozměrných polí
double precision :: f(np), res(np), a(np), b(np), c(np), d(np)
jiný způsob deklarace reálných veličin jako
pole (vektoru) o np prvcích s dvojitou přes-
ností.
double precision :: h deklarace reálných skalárních veličin.
parameter (h=1.d0) zadání fixní hodnoty intervalu nezávisle
proměnné, kterou nelze v programu dále
měnit
x=(/(1.d0*i, i=1,np)/) vektor hodnot nezávisle proměnné.
y=(/1.d0, 3.d0, 4.d0, 1.5d0, 1.5d0, 5.d0, 7.d0, 5.d0, 2.d0, 0.d0/)
y-ové (naměřené) hodnoty, np = počet naměřených
hodnot
do i=1,N cyklus výpočtu druhých derivací M, zápis
tridiagonální matice
do j=1,N
if(j.eq.i)then
M(i,j)=4.d0
elseif(j.eq.i-1)then
M(i,j)=1.d0
elseif(j.eq.i+1)then
M(i,j)=1.d0
else
M(i,j)=0.d0
endif
end do
end do
do i=1,N výpočetní cyklus procedury LAPACK
do j=1,N
AB(KUKL+i-j, j)=M(i,j)
end do
end do
do i=1,N výpočet pravé strany
B(i,1)=6.d0/h**2.d0*(y(i)-2.d0*y(i+1)+y(i+2))
end do
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 235
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
cubic natural spline
Obrázek D.1: Graf kubického přirozeného interpolačního splajnu, popsaného v oddíle D.2.1.
volání podprogramu DGBSV (viz oddíl D.1):
call DGBSV(N,KL,KU,1,AB,LDAB,IPIV,B,N,INFO)
if(INFO.ne.0) write(*,*) “INFO=”,INFO,“!!!”
a(1)=B(1,1)/6.d0/h výpočet koeficientů a,b,c,d v 1. poli splajnu
b(1)=0.d0
c(1)=(y(2)-y(1))/h-B(1,1)/6.d0*h
d(1)=y(1)
do i=2,np-2 cyklus výpočtu koeficientů a,b,c,d v prostředních
polích splajnu
a(i)=(B(i,1)-B(i-1,1))/6.d0/h
b(i)=B(i-1,1)/2.d0
c(i)=(y(i+1)-y(i))/h-(B(i,1)+2.d0*B(i-1,1))/6.d0*h
d(i)=y(i)
end do
a(np-1)=-B(N,1)/6.d0/h výpočet koeficientů v posledním poli
b(np-1)=B(N,1)/2.d0
c(np-1)=(y(np)-y(np-1))/h-2.d0*B(N,1)/6.d0*h
d(np-1)=y(np-1)
do i=1,np-1 zápis koeficientů do souboru fort.1
write(1,*) a(i), b(i), c(i), d(i)
end do
end program nat3_splajn ukončení programu
D.2.2 Bilineární interpolace
V praxi jsou často velmi důležité interpolace funkcí dvou nebo více proměnných. Například
tabulku naměřené hodnoty určité veličiny v různých časech a v různých vzdálenostech od zvoleného
referenčního bodu, chceme interpolovat jak pro mezilehlé časy, tak pro mezilehlé polohy.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 236
0
5
10
15
20
25
30
35
40 0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
f
x
y
f
Obrázek D.2: Schématické znázornění bilineární interpolace. Zadané body funkce f(xα, yβ) se nacházejí v
uzlech modré sítě (zvýrazněné modrými kotoučky), okrová síť představuje její interpolaci, kdy ve směru x
je každá buňka modré sítě dělená na 12 dílčích intervalů a ve směru y na 9 dílčích intervalů. Vzhledem ke
zvolenému výpočetnímu algoritmu je interpolace na „vnějších“ okrajích modrých buněk „nedokončená“,
v případě dalších sousedních modrých buněk by se počítaly na jejich „vnitřních“ hranách.
Tyto interpolace se rovněž velmi často používají při úpravách obrazu, kdy se hodnoty barev
a intenzit jednotlivých nasnímaných pixelů přepočítávají pro mezilehlé body a tím se docílí
(zdánlivě) vyššího rozlišení.
Nejjednodušší dvourozměrnou interpolací je tzv. bilineární interpolace funkce dvou proměnných,
která je rozšířením lineární interpolace do dvou rozměrů, kde v každém mezikroku
přiřadíme indexům i, j pro „vnitřní“ a „vnější“ okraj dílčí interpolované oblasti (buňky) v obou
směrech hodnoty 0 a 1. Pro zadané i interpolované funkční hodnoty platí (připomínáme, že
limx→0 x0 = 1)
f(x, y) =
1
i=0
1
j=0
aijxi
yj
= a00 + a01y + a10x + a11xy, (D.10)
s neznámými prvky konstantní 1 × 4 matice a = aij (kde horní indexy i, j v rovnici (D.10)
znamenají mocniny). Označme x, y relativní (vůči počátku buňky) souřadnice interpolované
hodnoty (interpolantu), xα, yβ (α, β = 0, 1) souřadnice okrajů buňky se zadanými hodnotami
f 0 = [f(x0, y0), f(x0, y1), f(x1, y0), f(x1, y1)], k = xiyj a A = xi
αyj
β (matice 4 × 4). Z rovnice
(D.10) dostáváme f 0 = aA a tedy a = A−1
f 0. Zároveň musí platit f(x, y) = a · k = k · a, tedy
f(x, y) = kA−1
f 0. (D.11)
Uvedený princip si ukážeme na příkladu jedné „buňky“ se souřadnicemi okrajů x0 = 0, x1 =
20, y0 = 0, y1 = 15 a se zadanými hodnotami f(x0, y0) = 20, f(x0, y1) = 10, f(x1, y0) =
5, f(x1, y1) = 6,5 („levá spodní“ modrá buňka na obrázku D.2). V rámci této buňky chceme
zjistit bilineární interpolant f(x, y) například v bodě x = 10, y = 5. Explicitní zápis rovnice
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 237
(D.11) v tomto případě bude
f(10, 5) = (1, 5, 10, 50)




1 0 0 0
1 15 0 0
1 0 20 0
1 15 20 300




−1 



20
10
5
6,5



 =
133
12
. (D.12)
Analogickým způsobem se budou počítat interpolace i v ostatních zadaných buňkách.
Následující numerický algoritmus ilustruje způsob výpočtu bilineární interpolace dvourozměrné
sítě, sestávající ze čtyř buněk se zadanými hodnotami v rozích, kdy ve směru x je každá
buňka sítě rozdělená na 12 dílčích intervalů a ve směru y na 9 dílčích intervalů. Výsledek interpolace
je znázorněn na obrázku D.2.
• Příklad programového skriptu pro bilineární interpolaci na čtyřech prostorových
buňkách dvourozměrné diskrétní funkce (fortran 95):
program bilinear deklarace názvu programu
implicit none
integer :: i, j, ii, jj deklarace celočíselných proměnných: i, j =
pořadová čísla bodů „modré“ sítě, ii, jj =
pořadová čísla bilineárních interpolačních
uzlů (okrová síť).
parameter (ni=3, nj=3, nii=13, njj=10) zadání rozsahu deklarovaných proměnných
double precision :: x(ni), y(nj), f(ni,nj) zadání reálných proměnných s dvojitou
přesností
double precision :: p(ni,nii), q(nj,njj), ff(ni,nj, nii,njj)
double precision, parameter :: dx=40.d0, dy=30.d0
zadání rozsahu celé domény
výpočet souřadnic síťových uzlů se zadanými hodnotami funkce f:
do i=1,ni
x(i)=dx/dfloat(ni-1)*dfloat(i-1)
end do
do j=1,nj
y(j)=dy/dfloat(nj-1)*dfloat(j-1)
end do
tabulkový výčet zadaných hodnot funkce f v uzlových bodech (1. pořadovému číslu odpovídá
směr x, 2. směr y):
f(1,1)=20.d0
f(2,1)=5.d0
f(3,1)=1.d0
f(1,2)=10.d0
f(2,2)=6.5d0
f(3,2)=18.d0
f(1,3)=15.d0
f(2,3)=6.d0
f(3,3)=21.d0
výpis (uzlové) sítě se zadanými hodnotami funkce f do souboru fort.10:
do i=1,ni
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 238
do j=1,nj
write(10,*) x(i), y(j), f(i,j)
end do
write(10,*)
end do
volání podprogramu pro výpočet interpolací v jednotlivých buňkách uzlové sítě:
call interpol(ni,nj,nii,njj,x,y,p,q,dx,dy,f,ff)
stop
end program bilinear konec hlavního programu
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - podprogram
pro výpočet interpolací:
subroutine interpol(ni,nj,nii,njj,x,y,p,q,dx,dy,f,ff)
implicit none
integer :: i, j, k, ii, jj
integer, intent(in) :: ni, nj, nii, njj
double precision, intent(in) :: x(ni), y(nj), dx, dy, f(ni,nj)
double precision :: xx(nii), yy(njj)
double precision, intent(out) :: p(ni,nii), q(nj,njj), ff(ni,nj,nii,njj)
double precision :: B1(ni-1,nj-1), B2(ni-1,nj-1), B3(ni-1,nj-1), B4(ni-1,nj-1)
integer :: INFO
integer, parameter :: N=4
integer,dimension(size(A,1)) :: IPIV
double precision, dimension(N,N) :: A
double precision, dimension(size(A,1),size(A,2)) :: AINV
double precision, dimension(size(A,1)) :: WORK
matice A:
do i=1,N inicializace nulové matice
do j=1,N
A(i,j)=0.d0
end do
end do
A(1,1)=1.d0 nenulové prvky matice A
A(2,1)=1.d0
A(2,3)=dy/dfloat(nj-1)
A(3,1)=1.d0
A(3,2)=dx/dfloat(ni-1)
A(4,1)=1.d0
A(4,2)=dx/dfloat(ni-1)
A(4,3)=dy/dfloat(nj-1)
A(4,4)=dx/dfloat(ni-1)*dy/dfloat(nj-1)
Uložíme A jako AINV, abychom předešli jejímu přepsání
AINV=A
- - - - - procedura LAPACK pro výpočet inverzní matice - - - - -
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 239
procedura DGETRF počítá LU faktorizaci obecné matice A.
call DGETRF(N,N,AINV,N,IPIV,INFO)
if(INFO.ne.0) write(*,*) “Matrix is numerically singular”
stop
endif
procedura DGETRI počítá inverzní matici.
call DGETRI(N,AINV,N,IPIV,WORK,N,INFO)
if(INFO.ne.0) write(*,*) “Matrix inversion failed”
stop
endif
- - - - - Konec procedury LAPACK - - - - do
ii=1,nii
xx(ii)=dx/dfloat(ni-1)/dfloat(nii-1)*dfloat(i-1)
end do
do jj=1,njj
yy(jj)=dy/dfloat(nj-1)/dfloat(njj-1)*dfloat(j-1)
end do
do i=1,ni-1
do j=1,nj-1
B1(i,j)=AINV(1,1)*f(i,j)+AINV(1,2)*f(i,j+1)+AINV(1,3)*f(i+1,j) &
+AINV(1,4)*f(i+1,j+1)
B2(i,j)=AINV(2,1)*f(i,j)+AINV(2,2)*f(i,j+1)+AINV(2,3)*f(i+1,j) &
+AINV(2,4)*f(i+1,j+1)
B3(i,j)=AINV(3,1)*f(i,j)+AINV(3,2)*f(i,j+1)+AINV(3,3)*f(i+1,j) &
+AINV(3,4)*f(i+1,j+1)
B4(i,j)=AINV(4,1)*f(i,j)+AINV(4,2)*f(i,j+1)+AINV(4,3)*f(i+1,j) &
+AINV(4,4)*f(i+1,j+1)
end do
end do
absolutní souřadnice p,q:
do i=1,ni-1
do ii=1,nii-1
p(i,ii)=xx(ii)+x(i)
end do
end do
do j=1,nj-1
do jj=1,njj-1
q(j,jj)=yy(jj)+y(j)
end do
end do
výpočet interpolantu:
do i=1,ni-1
do j=1,nj-1
do ii=1,nii-1
do jj=1,njj-1
ff(i,j,ii,jj)=B1(i,j)+yy(jj)*B2(i,j)+xx(ii)*B3(i,j)+xx(ii)*yy(jj)*B4(i,j)
end do
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 240
end do
end do
end do
zápis interpolantů funkce f do souboru fort.11:
do i=1,ni-1
do j=1,nj-1
do ii=1,nii-1
do jj=1,njj-1
write(11,*) p(i,ii), q(j,jj), ff(i,j,ii,jj)
end do
write(11,*)
end do
write(11,*)
end do
write(11,*)
end do
return
end subroutine interpol
D.2.3 Bikubická interpolace
Bilineární interpolace bývá často málo vhodná, vzhledem k tomu, že interpolované plochy jednotlivých
buněk zadané funkce tvoří jako celek nespojitou plochu. Z toho důvodu je výhodnější
použít tzv. bikubickou interpolaci, která je dvourozměrnou obdobou spojité interpolace jednorozměrné
funkce polynomem třetího stupně, například kubickým interpolačním splajnem (viz
odstavec D.2.1).
Na rozhraní jednotlivých interpolovaných buněk se musí shodovat nejen funkční hodnoty
interpolačních kubických křivek, ale i jejich první derivace a také smíšená druhá derivace. Analogicky
k rovnici (D.10) (včetně způsobu značení, zavedeného v odstavci D.2.2) tak dostáváme
f(x, y) =
3
i=0
3
j=0
aijxi
yj
, (D.13)
fx(x, y) =
3
i=1
3
j=0
iaijxi−1
yj
, (D.14)
fy(x, y) =
3
i=0
3
j=1
jaijxi
yj−1
, (D.15)
fxy(x, y) =
3
i=1
3
j=1
ijaijxi−1
yj−1
, (D.16)
kde horní indexy i, j, i − 1, j − 1 znamenají mocniny.
Pro stejnou zadanou funkci f 0(xα, yβ) jako v odstavci D.2.2 budou rovnice (D.13) - (D.16)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 241
0
5
10
15
20
25
30
35
40 0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
f
x
y
f
Obrázek D.3: Schématické znázornění bikubické interpolace stejné (modré) sítě jako na obrázku D.2.
pro „levou dolní“ buňku explicitně rozepsány ve tvaru:
f0(0, 0) = a00, (D.17)
f0(0, 15) = a00 + 15a01 + 225a02 + 3375a03, (D.18)
f0(20, 0) = a00 + 20a10 + 400a20 + 8000a30, (D.19)
f0(20, 15) = a00 + 15a01 + 225a02 + 3375a03 + 20a10 + 300a11 + 4500a12 + 67 500 a13+
+ 400a20 + 6000a21 + 90 000 a22 + 1 350 000 a23 + 8000a30 + 120 000 a31 + 1 800 000 a32+
+ 27 000 000 a33. (D.20)
f0x(0, 0) = a10, (D.21)
f0x(0, 15) = a10 + 15a11 + 225a12 + 3375a13, (D.22)
f0x(20, 0) = a10 + 40a20 + 1200a30, (D.23)
f0x(20, 15) = a10 + 15a11 + 225a12 + 3375a13 + 40a20 + 600a21 + 9000a22 + 135 000 a23+
+ 1200a30 + 18 000 a31 + 270 000 a32 + 4 050 000 a33. (D.24)
f0y(0, 0) = a01, (D.25)
f0y(0, 15) = a01 + 30a02 + 675a03, (D.26)
f0y(20, 0) = a01 + 20a11 + 400a21 + 8000a31, (D.27)
f0y(20, 15) = a01 + 30a02 + 675a03 + 20a11 + 600a12 + 13 500 a13 + 400a21 + 12 000 a22+
+ 270 000 a23 + 8000a31 + 240 000 a32 + 5 400 000 a33. (D.28)
f0xy(0, 0) = a11, (D.29)
f0xy(0, 15) = a11 + 30a12 + 675a13, (D.30)
f0xy(20, 0) = a11 + 40a21 + 1200a31, (D.31)
f0xy(20, 15) = a11 + 30a12 + 675a13 + 40a21 + 1200a22 + 27 000 a23 + 1200a31 + 36 000 a32+
+ 810 000 a33. (D.32)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 242
Označme opět (viz odstavec D.2.2) x, y relativní souřadnice interpolantu a xα, yβ souřadnice
okrajů buňky se zadanými hodnotami f 0 = [f(x0, y0), f(x0, y1), f(x1, y0), f(x1, y1)]. Na rozdíl
od bilineární interpolace bude matice a = aij dimenze 1 × 16. Zavedeme vektor se 16 složkami,
F0 =[f(x0, y0), f(x0, y1), f(x1, y0), f(x1, y1), fx(x0, y0), fx(x0, y1),
fx(x1, y0), fx(x1, y1), fy(x0, y0), fy(x0, y1), fy(x1, y0), fy(x1, y1),
fxy(x0, y0), fxy(x0, y1), fxy(x1, y0), fxy(x1, y1)], (D.33)
vektor
K = xi
yj
= 1, y, y2
, y3
, x, xy, xy2
, . . . , x3
y3
, (D.34)
kde i, j = 0, 1, 2, 3, bude mít rovněž 16 složek a matice A, daná v tomto případě koeficienty
rovnic (D.17) - (D.32),
A =













1 0 0 0 0 0 · · · 0
1 y1 y2
1 y3
1 0 0 · · · 0
1 x1 x2
1 x3
1 0 0 · · · 0
1 y1 y2
1 y3
1 x1 x1y1 · · · x3
1y3
1
0 0 0 0 1 y1 · · · 0
0 0 0 0 1 0 · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 0 1 · · · 9x2
1y2
1













, (D.35)
bude dimenze 16×16. Derivace v uzlových bodech sítě budou vypadat následovně: ve vnitřních
bodech budou definovány jako
fx(xα, yβ) =
f(xα+1, yβ) − f(xα−1, yβ)
xα+1 − xα−1
, (D.36)
fy(xα, yβ) =
f(xα, yβ+1) − f(xα, yβ−1)
yβ+1 − yβ−1
, (D.37)
fxy(xα, yβ) =
f(xα+1, yβ+1) − f(xα−1, yβ+1) − f(xα+1, yβ−1) + f(xα−1, yβ−1)
(xα+1 − xα−1)(yβ+1 − yβ−1)
, (D.38)
v „horních“ krajních bodech budou
fx(xα, yβ) =
f(xα, yβ) − f(xα−1, yβ)
xα − xα−1
, (D.39)
fy(xα, yβ) =
f(xα, yβ) − f(xα, yβ−1)
yβ − yβ−1
, (D.40)
fxy(xα, yβ) =
f(xα, yβ) − f(xα−1, yβ) − f(xα, yβ−1) + f(xα−1, yβ−1)
(xα − xα−1)(yβ − yβ−1)
(D.41)
a v „dolních“ krajních bodech budou
fx(xα, yβ) =
f(xα+1, yβ) − f(xα, yβ)
xα+1 − xα
, (D.42)
fy(xα, yβ) =
f(xα, yβ+1) − f(xα, yβ)
yβ+1 − yβ
, (D.43)
fxy(xα, yβ) =
f(xα+1, yβ+1 − f(xα, yβ+1) − f(xα+1, yβ) + f(xα, yβ)
(xα+1 − xα)(yβ+1 − yβ)
. (D.44)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 243
Obdobným způsobem budou definovány i derivace v interpolovaných bodech. Analogicky k
rovnici (D.11) bude mít výsledná rovnice pro výpočet interpolantů tvar:
f(x, y) = KA−1
F0. (D.45)
Numerický algoritmus bude v tomto případě výrazně rozsáhlejší, než v odstavci D.2.2,
nicméně jej lze sestavit zcela obdobně jako v případě bilineární interpolace. Z toho důvodu
zde uvádíme pouze podobu matice A, členu B1 (kdy ostatní členy B budou zcela obdobné, vždy
s prvním indexem sčítacím) a výpočtu výsledných interpolantů, ostatní operace budou (až na
případnou dimenzi) shodné s odstavcem D.2.2:
matice A (N=16):
do i=1,N inicializace nulové matice
do j=1,N
A(i,j)=0.d0
end do
end do
A(1,1)=1.d0 nenulové prvky matice A
A(2,1)=1.d0
A(2,2)=dy/dfloat(nj-1)
A(2,3)=(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(2,4)=(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(3,1)=1.d0
A(3,5)=dx/dfloat(ni-1)
A(3,9)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0
A(3,13)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0
A(4,1)=1.d0
A(4,2)=dy/dfloat(nj-1)
A(4,3)=(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(4,4)=(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(4,5)=dx/dfloat(ni-1)
A(4,6)=dx/dfloat(ni-1)*dy/dfloat(nj-1)
A(4,7)=dx/dfloat(ni-1)*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(4,8)=dx/dfloat(ni-1)*(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(4,9)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0
A(4,10)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(4,11)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(4,12)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(4,13)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0
A(4,14)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(4,15)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(4,16)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0*(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(5,5)=1.d0
A(6,5)=1.d0
A(6,6)=dy/dfloat(nj-1)
A(6,7)=(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(6,8)=(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(7,5)=1.d0
A(7,9)=2.d0*dx/dfloat(ni-1)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 244
A(7,13)=3.d0*(dx/dfloat(ni-1))**2.d0
A(8,5)=1.d0
A(8,6)=dy/dfloat(nj-1)
A(8,7)=(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(8,8)=(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(8,9)=2.d0*dx/dfloat(ni-1)
A(8,10)=2.d0*dx/dfloat(ni-1)*dy/dfloat(nj-1)
A(8,11)=2.d0*dx/dfloat(ni-1)*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(8,12)=2.d0*dx/dfloat(ni-1)*(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(8,13)=3.d0*(dx/dfloat(ni-1))**2.d0
A(8,14)=3.d0*(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*(dy/dfloat(nj-1))
A(8,15)=3.d0*(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(8,16)=3.d0*(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*(dy/dfloat(nj-1))**3.d0
A(9,2)=1.d0
A(10,2)=1.d0
A(10,3)=2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(10,4)=3.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(11,2)=1.d0
A(11,6)=dx/dfloat(ni-1)
A(11,10)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0
A(11,14)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0
A(12,2)=1.d0
A(12,3)=2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(12,4)=3.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(12,6)=dx/dfloat(ni-1)
A(12,7)=dx/dfloat(ni-1)*2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(12,8)=dx/dfloat(ni-1)*3.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(12,10)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0
A(12,11)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(12,12)=(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*3.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(12,14)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0
A(12,15)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0*2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(12,16)=(dx/dfloat(ni-1))**3.d0*3.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(13,6)=1.d0
A(14,6)=1.d0
A(14,7)=2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(15,10)=2.d0*dx/dfloat(ni-1)
A(15,14)=3.d0*(dx/dfloat(ni-1))**2.d0
A(16,6)=1.d0
A(16,7)=2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(16,8)=3.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(16,10)=2.d0*dx/dfloat(ni-1)
A(16,11)=4.d0*dx/dfloat(ni-1)*dy/dfloat(nj-1)
A(16,12)=6.d0*dx/dfloat(ni-1)*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
A(16,15)=6.d0*(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*dy/dfloat(nj-1)
A(16,16)=9.d0*(dx/dfloat(ni-1))**2.d0*(dy/dfloat(nj-1))**2.d0
do j=1,nj-1 členy B: fx, fy, fxy jsou příslušné parciální derivace
do j=1,nj-1
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 245
B1(i,j)= &
AINV(1,1)*f(i,j)+AINV(1,2)*f(i,j+1)+AINV(1,3)*f(i+1,j)+AINV(1,4)*f(i+1,j+1)+ &
AINV(1,5)*fx(i,j)+AINV(1,6)*fx(i,j+1)+AINV(1,7)*fx(i+1,j)+AINV(1,8)*fx(i+1,j+1)+ &
AINV(1,9)*fy(i,j)+AINV(1,10)*fy(i,j+1)+AINV(1,11)*fy(i+1,j)+AINV(1,12)*fy(i+1,j+1)+ &
AINV(1,13)*fxy(i,j)+AINV(1,14)*fxy(i,j+1)+AINV(1,15)*fxy(i+1,j)+AINV(1,16)*fxy(i+1,j+1)
ostatní členy B2 - B16 budou obdobné jako B1, vždy s prvním maticovým indexem sčítacím
end do
end do
výpočet interpolantu:
do i=1,ni-1
do j=1,nj-1
do ii=1,nii-1
do jj=1,njj-1
ff(i,j,ii,jj)=
B1(i,j)+yy(jj)*B2(i,j)+yy(jj)**2.d0*B3(i,j)+yy(jj)**3.d0*B4(i,j)+ &
xx(ii)*B5(i,j)+xx(ii)*yy(jj)*B6(i,j)+ &
xx(ii)*yy(jj)**2.d0*B7(i,j)+xx(ii)*yy(jj)**3.d0*B8(i,j)+ &
xx(ii)**2.d0*B9(i,j)+xx(ii)**2.d0*yy(jj)*B10(i,j)+ &
xx(ii)**2.d0*yy(jj)**2.d0*B11(i,j)+xx(ii)**2.d0*yy(jj)**3.d0*B12(i,j)+ &
xx(ii)**3.d0*B13(i,j)+xx(ii)**3.d0*yy(jj)*B14(i,j)+ &
xx(ii)**3.d0*yy(jj)**2.d0*B15(i,j)+xx(ii)**3.d0*yy(jj)**3.d0*B16(i,j)
end do
end do
end do
end do
Výsledná podoba bikubické interpolace stejně zadané sítě jako v odstavci D.2.2, popsané rovnicemi
(D.17) - (D.32), je vykreslena na obrázku D.3.
D.3 Regrese
Regresí (regresní analýzou) nazýváme hledání takové funkce (tzv. regresní funkce), která nejlépe
vystihuje vztah mezi dvěma skupinami proměnných, např. závislost náhodných veličin (naměřených
hodnot) na čase, atd. Předem je dáno, která proměnná je nezávislá (vysvětlující nebo
také regresor) a která je závislá (vysvětlovaná nebo také odezva). Jednoduchá regrese popisuje
závislost odezvy na jednom regresoru, naproti tomu vícenásobná regrese popisuje situaci, kdy
odezva závisí na více regresorech. Podle charakteru a průběhu zkoumané závislosti volíme typ
regresního modelu, například lineární regresi (proložení závisle proměnných hodnot přímkou),
regresi polynomem n-tého stupně, atd., a také nejvhodnější statistickou metodu, například metodu
nejmenších čtverců nebo tzv. robustní regresi, která eliminuje extrémně vychýlené hodnoty,
atd. (viz také pojmy a statistické metody, uvedené v kapitole 12.2 nebo například na stránkách
http://physics.muni.cz/~mikulas/zvc.html.
D.3.1 Lineární regrese metodou nejmenších čtverců
Souborem n diskrétních hodnot odezvy (vysvětlované proměnné) yi, i = 1, . . . , n, který je určen
výčtem uspořádaných dvojic [xi, yi], proložíme přímku (polynom 1. stupně) fI(x) = kx + q
tak, aby součet S druhých mocnin tzv. reziduí, tj. vzdáleností bodů yi od funkčních hodnot
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 246
f(xi) v bodech xi byl minimální (2. mocniny se zde používají kvůli nezávislosti na znaménku
odchylky). Dostáváme tedy rovnici
S =
i
yi − fI
(xi)
2
=
i
[yi − (kxi + q)]2
= min, (D.46)
pro dvě neznámé hodnoty k a q. Minimalizaci této funkce provedeme položením ∂S/∂k = 0 a
zároveň ∂S/∂q = 0, výsledek můžeme zapsat pomocí maticového formalismu jako
i x2
i i xi
i xi n


k
q

 =
i xiyi
i yi
. (D.47)
Snadno tak nalezneme výrazy pro oba hledané parametry v závislosti na uspořádané n-tici
[xi, yi] (např. na naměřených hodnotách v závislosti na čase nebo poloze),
k =
n i xiyi − i xi i yi
n i x2
i − i xi
2 , q = i x2
i i yi − i xi i xiyi
n i x2
i − i xi
2 . (D.48)
Metodu navrhl a poprvé použil Karl Friedrich Gauss pro výpočet geodetických chyb.
• Příklad skriptu pro lineární regresi metodou nejmenších čtverců, program fortran
95:
program linearni_regrese deklarace názvu programu
implicit none
tabulka hodnot [xi, yi]:
[1,2], [2,1], [3,4], [4,12], [5,7], [6,8], [7,10], [8,14], [9,19], [10,17]
integer :: i, np deklarace celočíselných proměnných: i =
pořadové číslo dvojice proměnných, np =
celkový počet diskrétních hodnot
parameter (np=10) zadání fixní hodnoty np
double precision, dimension(np) :: x, y deklarace reálných veličin x, y jako pole
(vektoru) o np prvcích
double precision :: f(np), res(np) jiný způsob deklarace reálných veličin f, res
jako pole (vektoru) o np prvcích
double precision :: k, q, sumres deklarace reálných skalárních veličin
x=(/(1.d0*i, i=1,np)/) vektor hodnot regresoru
y=(/2.d0, 1.d0, 4.d0, 12.d0, 7.d0, 8.d0, 10.d0, 14.d0, 19.d0, 17.d0/)
vektor hodnot odezvy
1. možnost - přímé použití vzorce (D.48):
hledané koeficienty lineární funkce:
k=(np*SUM(x*y)-SUM(x)*SUM(y))/(np*SUM(x**2.d0)-(SUM(x))**2.d0)
q=(SUM(x**2.d0)*SUM(y)-SUM(x)*SUM(x*y))/(np*SUM(x**2.d0)-(SUM(x))**2.d0)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 247
2. možnost - použití soustavy rovnic (D.47) a procedury LAPACK - viz sekce
D.1:
v záhlaví programu je nutné navíc deklarovat tyto proměnné:
integer :: j, INFO, KL, KU, LDAB, LDB, N, RHS
parameter(KL=1,KU=1,N=2,KUKL=KL+KU+1,LDAB=2*KL+KU+1,LDB=N,RHS=1)
integer :: IPIV(N)
double precision :: M(N,N),AB(LDAB,N),B(LDB,RHS)
double precision :: max
M(1,1)=SUM(x**2.d0) matice levé strany, M(N,N)
M(1,2)=SUM(x)
M(2,1)=SUM(x)
M(2,2)=np
do i=1,N výpočetní cyklus procedury LAPACK
do j=1,N
AB(KUKL+i-j, j)=M(i, j)
end do
end do
B(1,1)=SUM(x*y) výpočet pravé strany procedurou LAPACK
B(2,1)=SUM(y)
volání podprogramu DGBSV:
call DGBSV(N,KL,KU,1,AB,LDAB,IPIV,B,N,INFO)
if(INFO.ne.0) write(*,*) “INFO=”,INFO,“!!!”
k=B(1,1)
q=B(2,1)
společné pokračování:
write(1,*) k, q tisk vypočítaných hodnot do souboru „fort.1“
write(1,*) oddělující řádek
do i=1,np výpočetní cyklus
f(i)=k*x(i)+q výpočet hodnot lineární funkce
res(i)=(f(i)-y(i))**2.d0 výpočet reziduí
sumres=SUM(res) výpočet sumy reziduí
end do
do i=1,np zápis cyklu do souboru
write(1,*) x(i), y(i), f(i), res(i)
end do
write(1,*)
write(1,*) sumres zápis sumy reziduí do souboru
end program linearni_regrese ukončení programu
D.3.2 Polynomiální regrese metodou nejmenších čtverců
Postup uvedený v předchozím odstavci D.3.1 lze zobecnit pro polynom libovolného (m-tého)
stupně, kdy analogii rovnice (D.46) můžeme přepsat do tvaru (horní indexy zde vždy znamenají
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 248
0
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10 12
y
x
linear fit
Obrázek D.4: Vykreslení příkladu lineární regrese, tj. proložení uvedených 10 bodů přímkou s parametry
vypočítanými metodou nejmenších čtverců.
mocniny)
S =
n
i=1
yi −
m
j=0
pjxj
i
2
= min, (D.49)
kde koeficienty pj jsou koeficienty j-tého stupně polynomu, u lineární regrese tak platí p0 = q,
p1 = k (viz rovnice (D.47)). Zároveň je jasné, že počet rovnic N v proceduře LAPACK odpovídá
m + 1. Minimum rovnice (D.49) nalezneme, položíme-li ∂S/∂pj = 0, získáme tak soustavu
m + 1 = N lineárních rovnic, které můžeme vyjádřit pomocí maticového zápisu ve tvaru






i x2m
i · · · i xm+1
i i xm
i
...
...
...
...
i xm+1
i · · · i x2
i i xi
i xm
i · · · i xi n














pm
...
p1
p0








=





i xm
i yi
...
i xiyi
i yi





. (D.50)
Výpočetní cyklus procedury LAPACK (viz programový skript v kapitole D.3.1) můžeme takto
zobecnit do následující podoby (fortran 95):
do i=1,N-1 matice levé strany, M(N,N)
do j=1,N
M(i,j)=SUM(x**(2*N-i-j))
end do
end do
i=N
do j=1,N-1
M(N,j)=SUM(x**(N-j))
end do
M(N,N)=np
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 249
do i=1,N výpočetní cyklus procedury LAPACK
do j=1,N
AB(KUKL+i-j, j)=M(i, j)
end do
end do
do i=1,N výpočet pravé strany procedurou LAPACK
B(i,1)=SUM(x**(N-i)*y)
end do
V ostatních bodech zůstává programová procedura popsaná v odstavci D.3.1 prakticky nezmě-
něna.
D.3.3 Robustní regrese
V případě, že chceme eliminovat vliv velmi vychýlených („ustřelených“) hodnot, zvolíme tzv.
váženou nebo také robustní regresi. Robustních regresních modelů existuje celá řada (viz například
Huber & Ronchetti (2009)), za všechny zde uvedeme jednoduchou tzv. Tukeyho metodu
M-odhadu (Tukey′s bisquare method), založenou na vážení reziduí pomocí dvojí druhé mocniny.
Nejprve spočítáme nevážená rezidua res_i = yi − f(xi) (stejně jako např. v odstavcích D.3.1,
D.3.2), potom použijeme následující váhovou funkci:
wi(res_i) = 1 −
res_i
6 med
2 2
(D.51)
kde med je medián absolutní odchylky reziduí, kterou můžeme zvolit jako samotné reziduum,
nebo odchylku každého rezidua od jejich vlastního mediánu. Váha wi = 0, pokud absolutní
hodnota rezidua |res_i| > 6 med. Extrémně odchýlené hodnoty jsou takto zcela vyřazeny, méně
vychýlené hodnoty jsou ponechány, avšak se sníženou váhou.
Naprogramování tohoto robustního (váženého) regresního modelu je snadné, do pravé strany
rovnice (D.50) vložíme vypočítané váhy:






i x2m
i · · · i xm+1
i i xm
i
...
...
...
...
i xm+1
i · · · i x2
i i xi
i xm
i · · · i xi n














pm
...
p1
p0








=





i xm
i wiyi
...
i xiwiyi
i wiyi





. (D.52)
Pro výpočet mediánu existují v každém programovacím jazyce hotové moduly, jako příklad lze
použít následující podprogram, výsledek je zahrnut do rovnice (D.51) (fortran 95):
subroutine median(i, j, k, np, res, med)
implicit none
integer :: i, j, k, np
double precision :: res(np)
double precision, intent(out) :: med
double precision :: temp
Seřazení čísel ve vzestupném pořadí:
do j=1,np-1
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 250
0
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10 12
y
x
W-bisquared pol2 fit
least squares
robust
Obrázek D.5: Porovnání kvadratické regrese, tj. proložení polynomem 2. stupně s parametry vypočítanými
metodou nejmenších čtverců podle odstavce D.3.2 (červená čára) a robustní Tukeyho metodou
podle odstavce D.3.3 (modrá čára). Soubor 10 bodů o souřadnicích [1;3,5], [2;3,6], [3;4,2], [4;17], [5;7,4],
[6;8,7], [7;10,3], [8;12,8], [9;19], [10;17,1] obsahuje silně odchýlené hodnoty (hrubé chyby), na které robustní
křivka reaguje slabě nebo vůbec.
do k=j+1,np
if(res(j)>res(k))then
temp=res(k)
res(k)=res(j)
res(j)=temp
endif
end do
end do
Výpočet mediánu v případě sudého nebo lichého počtu čísel:
if(mod(np,2)==0)then
med=(res(np/2)+res(np/2+1))/2.d0
else
med=res(np/2+1)
endif
end subroutine median
Následuje výpočet vah: w(y(i))=(1.d0-(y(i)/6.d0*med)**2.d0)**2.d0, atd.
D.3.4 Kubický vyhlazovací splajn
Tzv. vyhlazování (smoothing) může být užitečné v případě, že hustě naměřená nebo vypočítaná
závislost jeví značný lokální rozptyl, přitom je ale patrný její celkový trend (viz obrázek D.6),
který je ovšem dostatečně nepravidelný či komplikovaný a nepodobá se tak žádné z jednoduchých
funkcí (polynomu, exponenciále a podobně). Proložení takové bodové závislosti [xi, yi]
kubickým vyhlazovacím splajnem, reprezentovaným funkcí S(x), jejíž nejjednodušší tvar nalez-
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 251
y
x
cubic smoothing spline
Obrázek D.6: Proložení soustavy bodů (naměřených nebo vypočítaných hodnot) sérií kubických vyhlazovacích
splajnů s různými hodnotami parametru λ; černá čára s nejnižším λ se nejvíce přimyká
k prokládaným bodům, červená čára s nejvyšším λ vyhlazuje celkovou závislost nejvíce. V případě
λ = 0 získáme kubický interpolační splajn (viz odstavec D.2.1), přímo procházející zadanými body,
zatímco v případě λ → ∞ získáme lineární regresi dané soustavy bodů (viz odstavec D.3.1).
neme pomocí minimalizace (srovnej s rovnicí (D.46))
S =
n
i=1
[yi − S(xi)]2
+ λ
ˆ
S′′
(x)2
dx = min, (D.53)
probíhá de facto ve dvou krocích. V prvním kroku nalezneme nové body [xi, ˜Yi] s menším
rozptylem (kdy S(xi) = ˜Yi), ve druhém kroku pak tyto nové body [xi, ˜Yi] proložíme kubickým
interpolačním splajnem podle odstavce D.2.1. Kladné číslo λ v rovnici (D.53) je tzv. vyhlazovací
parametr, který řídí „hrubost“ nebo „jemnost“ vyhlazování, kdy větší λ znamená robustnější
vyhlazení (viz porovnání křivek s různými parametry λ na obrázku D.6).
Protože se jedná o kubický splajn, budou jednotlivé segmenty funkce S′′(x) (druhé derivace
funkce S(x)) lineárními úsečkami, které v bodech xi a xi+1 musí nabývat hodnot S′′(xi) = Mi,
S′′(xi+1) = Mi+1 (viz rovnice (D.3)). V obecném bodě uvnitř jednotlivých segmentů musí tedy
platit
S′′
(x) = Mi +
Mi+1 − Mi
xi+1 − xi
(x − xi). (D.54)
Integrál v rovnici (D.53) bude tedy mít pro každý jednotlivý segment řešení ve tvaru
ˆ xi+1
xi
Mi +
Mi+1 − Mi
xi+1 − xi
(x − xi)
2
dx =
xi+1 − xi
3
M2
i+1 + Mi+1Mi + M2
i . (D.55)
Podrobným rozborem rovnice (D.6), nyní ovšem na pravé straně s hledanými hodnotami ˜Yi,
stručně maticově zapsané jako
W M = RS, (D.56)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 252
zjistíme, že rovnice (D.55) je identicky řešitelná pomocí maticového násobení v následujícím
pořadí,
ˆ
S′′
(x)2
dx = ST ~RT ~W
−1
~RS, (D.57)
kde S je (sloupcový) n rozměrný vektor hledaných hodnot ˜Yi, ~W je tridiagonální symetrická
matice dimenze (n − 2) × (n − 2), s prvky
Wi−1,i = Wi,i−1 =
xi+1 − xi
6
, Wii =
xi+2 − xi
3
(D.58)
a ~R je matice dimenze (n − 2) × n s prvky
˜Rii =
1
xi+1 − xi
, ˜Ri,i+1 = −
1
xi+1 − xi
+
1
xi+2 − xi+1
, ˜Ri,i+2 =
1
xi+2 − xi+1
. (D.59)
Přepíšeme-li tímto způsobem minimalizační rovnici (D.53), dostáváme její levou stranu ve
tvaru
(Y − S)T
(Y − S) + λ ST ~RT ~W
−1
~RS. (D.60)
Položíme-li její derivací vzhledem k S rovnu nule, dostaneme výsledný výraz pro hledané hodnoty
v rámci výše popsaného prvního kroku,
S = E + λ ~RT ~W
−1
~R
−1
Y , (D.61)
kde E je jednotková matice.
Výpočet druhého kroku, tedy proložení nalezených bodů ˜Yi kubickým interpolačním splajnem,
již provedeme podle odstavce D.2.1. Pro numerické výpočty maticového násobení, inverzních
matic, tridiagonálních matic a podobně, opět použijeme procedury například z balíčku
LAPACK, popsané výše v rámci předchozích ukázek.
D.4 Numerické metody výpočtů funkcí jedné proměnné
D.4.1 Hledání kořene funkce jedné proměnné - Newtonova metoda
Kořeny obecně nelineární funkce (rovnice) f(x) = 0 často nelze vyjádřit formou explicitního
analytického vzorce. k nalezení řešení takové rovnice musíme potom použít některou z numerických
(iteračních) metod, kdy pomocí určitého počtu počátečních aproximací hledaného kořene
x0 generujeme posloupnost x1, x2, x3, . . . , která ke kořenu x0 konverguje. V některých případech
je třeba zadat interval a, b, který podle předběžného předpokladu obsahuje hledaný kořen,
čím lépe se k němu na počátku přiblížíme, tím rychleji daná metoda konverguje. V následujících
příkladech předpokládejme reálnou spojitou funkci f(x) s odpovídajícím počtem spojitých
derivací na vymezeném intervalu, s hledaným kořenem f(x0) = 0.
Počáteční odhad intervalu (intervalů) kde se kořen (kořeny) mohou nalézat provedeme například
grafickou metodou: pomocí vhodného výpočetního programu nebo vypisováním funkčních
hodnot do tabulky vykreslíme funkci f(x) a vyhledáme její přibližné průsečíky s osou x.
Například u funkce, dané předpisem
f(x) = x3
− 3x2
+ 2x − 3 (D.62)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 253
snadno zjistíme že existuje jeden reálný kořen, který musí s určitostí ležet uvnitř intervalu
x0 ∈ (2, 3).
Existuje celá řada možných numerických postupů (například metoda sečen, atd.), asi nejznámější
je tzv. Newtonova metoda neboli metoda tečen. Vyjdeme z počáteční aproximace
x0 a postupně počítáme x1, x2, x3, . . . . Známe-li určitou aproximaci xk a chceme určit lepší
aproximaci xk+1, proložíme bodem [xk, f(xk)] tečnu ke křivce y = f(x), průsečík této tečny
s osou x považujeme potom za hodnotu xk+1. Dostáváme tak rovnici popsané tečny ve tvaru
f′
(xk) = {3x2
k − 6xk + 2} =
f(xk)
xk − xk+1
, (D.63)
z níž odvodíme vztah pro výpočet každého následujícího kroku (iterace),
xk+1 = xk −
f(xk)
f′(xk)
. (D.64)
Ukončení výpočtu s tím, že hodnota poslední iterace xk+1 je prohlášena za hledaný kořen x0
s požadovanou přesností, nastane (podle velikosti malého čísla ϵ které stanovuje požadovanou
přesnost) například v těchto případech:
|xk+1 − xk| ≤ ϵ nebo |f(xk+1)| ≤ ϵ. (D.65)
• Příklad možného způsobu naprogramování rovnice (D.62) - program fortran 95:
program newton deklarace názvu programu
implicit none
integer :: i deklarace celočíselných proměnných v záhlaví programu:
i = pořadové číslo prostorového kroku
double precision :: x, dx, f, df deklarace reálných veličin, kde výrazy x = xk, dx =
xk−xk+1, f = f(xk), df = f′(xk), s dvojitou přesností
x=3.d0 odhad vstupní hodnoty xk
do výpočetní cyklus
i = i+1
f = x**3 - 3.d0*x**2 + 2.d0*x - 3.d0 vlastní rovnice (D.62)
df = 3.d0*x**2 - 6.d0*x + 2.d0 derivace funkce (D.62)
dx = f/df rovnice (D.64)
x = x-dx nová hodnota xk
if (dabs(dx).lt.1.d-12) exit stop kritérium: |xk − xk+1| < 10−12
end do
write (100,*) x zápis kořene funkce f do souboru fort.100
stop zastavení celého procesu
end program newton konec programu
• Tabulka výsledků programu výpočtu kořene funkce f(xk) pro jednotlivé iterace k:
k xk f(xk) xk − xk+1
0 3.0000000000000000 3.0000000000000000 0.27272727272727271
1 2.7272727272727275 0.42599549211119836 5.3581553581554045E-002
2 2.6736911736911733 1.4723079585858834E-002 1.9886039436713345E-003
3 2.6717025697475019 1.9848200396133109E-005 2.6880854327577796E-006
4 2.6716998816620690 3.6242120415863610E-011 4.9083680000275664E-012
5 2.6716998816571604 1.7763568394002505E-015 2.4057679206275180E-016
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 254
D.4.2 Numerické derivování
Nejjednodušší numerická aproximace 1. derivace má podobu tzv. dopředné diference,
f′
(x) ≈
f(x + h) − f(x)
h
, (D.66)
kde h = ∆x > 0, s chybou aproximace δf′(x) vyjádřenou pomocí Taylorova rozvoje x, tj.
δf′(x) = −(h/2)f′′(ξ), kde ξ ∈ (x, x + h). Podobně jednoduchá je i tzv. zpětná diference,
f′
(x) ≈
f(x) − f(x − h)
h
, (D.67)
s chybou stejného řádu. Aproximací s vyšší přesností je tzv. centrální diference,
f′
(x) ≈
f(x + h) − f(x − h)
2h
, (D.68)
s chybou aproximace δf′(x) = −(h2/6)f′′′(ξ), kde ξ ∈ (x − h, x + h), zabírající ovšem dva
prostorové kroky (buňky) výpočetní sítě. Analogickým způsobem můžeme odvodit i 2. derivaci
ve tvaru
f′′
(x) ≈
f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)
h2
, (D.69)
s chybou aproximace δf′′(x) = −(h2/12)f(4)(ξ), kde ξ ∈ (x − h, x + h).
Existují i přesnější a propracovanější diferenční schémata (viz například van Leer, 1977,
1982; Vitásek, 1987; LeVeque, 2002), například jednostranná aproximace 1. derivace, která je
2. řádu přesnosti,
f′
(x) ≈
−3f(x) + 4f(x + h) − f(x + 2h)
2h
, (D.70)
s chybou aproximace δf′(x) = (h2/3)f′′′(ξ), kde ξ ∈ (x, x + 2h), nebo aproximace 1. derivace,
která je 4. řádu přesnosti, ve tvaru
f′
(x) ≈
−f(x + 2h) + 8f(x + h) − 8f(x − h) + f(x − 2h)
12h
, (D.71)
tedy s chybou, která je řádu h4, atd. Jejich nevýhodou ovšem je, že zabírají několik prostorových
intervalů (buněk) výpočetní sítě a také při složitých a objemných výpočtech díky nim mohou
narůstat nároky na dobu výpočtu. Je proto vždy nutné zvážit výpočetní schéma, adekvátní dané
úloze a její požadované přesnosti, odpovídající ale reálným možnostem používaného výpočetního
zařízení.
D.4.3 Numerické integrování
je vždy založené na nahrazení složitě ohraničeného geometrického útvaru (plochy pod křivkou
dané funkce v případě jedné proměnné) jednodušším útvarem, nebo součtem takových útvarů.
Používá se také název numerická kvadratura, ve smyslu konstrukce plošných (tedy dvourozměrných,
kvadraturních) útvarů. Ukážeme zde příklady pouze nejběžnějších (většinou ovšem
zcela dostačujících) způsobů numerické integrace funkce jedné proměnné pomocí tzv. NewtonCotesových
vzorců, existuje samozřejmě celá řada jiných metod numerické integrace, například
Gaussovy kvadraturní vzorce, Rombergova kvadratura, atd. Nebudeme zde uvádět ani přesnosti
a způsob stanovení chyb, atd., vše je standardně dostupné v literatuře.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 255
• Newton-Cotesovy (kvadraturní) vzorce
Obdélníková metoda: Tato metoda se formálně nepočítá mezi tzv. Newton-Cotesovy vzorce,
představuje sice nejjednodušší ale zároveň nejméně přesnou numerickou integrační metodu,
kdy se určitý integrál dané funkce (tj. velikost plochy pod křivkou grafu funkčních
hodnot funkce f(x) v rámci intervalu ⟨a, b⟩) aproximuje obdélníkem. Tuto aproximaci
můžeme zpřesnit, rozdělíme-li například interval ⟨a, b⟩ na zvolený počet n dílčích stejných
intervalů, vypočítáme obdélníkovou aproximaci pro každý interval zvlášť a výsledky
sečteme, tedy
I =
ˆ b
a
f(x) dx ≈
b − a
n
n−1
k=0
f a + k
b − a
n
. (D.72)
Lichoběžníková metoda: představuje přesnější numerickou integrační metodu, kdy se určitý
integrál dané funkce aproximuje lichoběžníky (body funkce se spojí úsečkami). Rozdělímeli
interval ⟨a, b⟩ na zvolený počet n dílčích stejných intervalů, vypočítáme lichoběžníkovou
aproximaci opět pro každý interval zvlášť a výsledky sečteme, tedy
I =
ˆ b
a
f(x) dx ≈
b − a
2n
n−1
k=0
[f(xk+1) + f(xk)] , (D.73)
kde xk = a + k(b − a)/n.
Simpsonovo pravidlo: založené na kvadratické (parabolické) interpolaci dílčích intervalů
integrované funkce. V případě integrace polynomů dává tato metoda velmi přesné výsledky.
Složená aproximace Simpsonovým pravidlem, kdy interval ⟨a, b⟩ je rozdělen na
sudý počet n dílčích intervalů, má tvar (kdy xk = a + k(b − a)/n)
I =
ˆ b
a
f(x) dx ≈
b − a
3n
n/2
k=1
[f(x2k−2) + 4f(x2k−1) + f(x2k)] . (D.74)
Simpsonovo 3/8 pravidlo (nebo také druhé Simpsonovo pravidlo): založené na kubické
interpolaci dílčích intervalů integrované funkce. Složená aproximace Simpsonovým 3/8
pravidlem, kdy interval ⟨a, b⟩ je rozdělen na n dílčích intervalů, kde n je dělitelné třemi,
má tvar (kdy opět xk = a + k(b − a)/n)
I =
ˆ b
a
f(x) dx ≈
3(b − a)
8n
n/3
k=1
[f(x3k−3) + 3f(x3k−2) + 3f(x3k−1) + f(x3k)] . (D.75)
Obdobným způsobem lze sestrojit Newton-Cotesovy formule libovolně vyšších řádů, vyšší
řády než 4 (Booleovo pravidlo) se nicméně používají málo, jejich nevýhodou je velmi rychle
(až exponenciálně) narůstající chyba integrace.
• Numerická integrace ve vyšších dimenzích
Uvedené metody lze aplikovat různými způsoby i pro vícenásobné integrování, jejich volba závisí
například na tvaru integrační oblasti a na konkrétních funkcích, obsažených v integrandu. Zde
ukážeme pouze dva základní způsoby.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 256
a b
y
φ1(x)
φ2(x)
xxj
yj,k
Obrázek D.7: Schématické znázornění hustoty sítě pro numerickou integraci dvojného integrálu s optimálním
rozložením uzlů podle rovnice (D.81). Jednotlivým uzlům xj ve vodorovném směru x je přiřazen
různý počet uzlů yj,k ve svislém směru y. Prázdné kroužky odpovídají vnitřním uzlům sítě, kde wj,k = 1,
menší plné kroužky odpovídají uzlům na hranici integrační oblasti (vyznačené hnědou plochou), kde
wj,k = 1/2, velké plné kroužky odpovídají uzlům v rozích integrační oblasti, kde wj,k = 1/4.
Lichoběžníková metoda ve 2D: uvažujme dvojný integrál (viz rovnice (7.3))
I =
¨
S
f(x, y) dx dy =
ˆ b
a
ˆ ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y) dy dx. (D.76)
Vnitřní integrál aproximujme jednorozměrnou numerickou kvadraturou, kde x vystupuje
jako konstanta. Získané hodnoty potom použijeme k výpočtu vnějšího integrálu, rovněž
pomocí jednorozměrného pravidla. Označme dva rozdělené jednoduché integrály následujícím
způsobem,
F(x) =
ˆ ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y) dy, I =
ˆ b
a
F(x) dx. (D.77)
Výpočet vnitřní kvadratury F(x) v bodě xj provedeme například jako (viz rovnici (D.73))
F(x) = hj
1
2
f(xj, yj,0) + f(xj, yj,1) + . . . + f(xj, yj,nj−1) +
1
2
f(xj, yj,nj ) , (D.78)
kde
hj =
ϕ2(xj) − ϕ1(xj)
nj
, yj,k = ϕ1(xj) + khj. (D.79)
Četnost a velikost kroku nj vyplývá z toho, že obecně počet výpočetních bodů ve směru
y může být různý pro různá xj (viz obrázek D.7), v závislosti na tvaru integrační oblasti.
Následně aproximujeme integrál I pomocí vnější (složené) jednorozměrné kvadratury,
I = h
1
2
F(x0) + F(x1) + . . . + F(xm−1) +
1
2
F(xm) , (D.80)
kde, za předpokladu rovnoměrného kroku m v x-ovém směru, h = (b−a)/m a xj = a+jh.
Pokud integrand f(x, y) je hladká a pomalu rostoucí nebo klesající funkce, volíme četnost
bodů nj zpravidla tak, aby hj ≈ h pro všechna j, což minimalizuje výpočetní nároky
v rámci požadované přesnosti.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 257
Celkovou kvadraturu můžeme tedy zapsat jako
I ≈
m
j=0
nj
k=0
wj,kf(xj, yj,k)hhj, (D.81)
kde wj,k = 1 v bodech uvnitř integrační oblasti (j ̸= 0 ∧ j ̸= m ∧ k ̸= 0 ∧ k ̸= nj),
wj,k = 1/2 na hranici integrační oblasti s výjimkou rohů (j = 0 ∨ j = m ∧ k ̸= 0 ∧ k ̸= nj
nebo j ̸= 0 ∧ j ̸= m ∧ k = 0 ∨ k = nj) a wj,k = 1/4 v rozích integrační oblasti (j =
0 ∨ j = m ∧ k = 0 ∨ k = nj). Přesnost uvedené metody je druhého řádu, její chyba
δI = O(h2 + max h2
j ).
Lichoběžníková metoda ve 3D: V případě trojného integrálu (viz rovnice (7.6))
I =
ˆ b
a
ˆ ϕ2(x)
ϕ1(x)
ˆ ψ2(x,y)
ψ1(x,y)
f(x, y, z) dz dy dx (D.82)
použijeme obdobnou strategii jako ve 2D případě; výsledná formule (analogie ke vzorci
(D.81)) bude
I ≈
m
j=0
nj
k=0
nj,k
l=0
wj,k,lf(xj, yj,k, zj,k,l)hhjhj,k, (D.83)
kde, opět za předpokladu rovnoměrného kroku m v x-ovém směru, h = (b − a)/m, xj =
a + jh, a dále
hj =
ϕ2(xj) − ϕ1(xj)
nj
, yj,k = ϕ1(xj) + khj, (D.84)
hj,k =
ψ2(xj, yk) − ψ1(xj, yk)
nj,k
, zj,k,l = ψ1(xj, yk) + lhj,k (D.85)
a kde wj,k,l = 1 v bodech uvnitř integrační oblasti (j ̸= 0 ∧ j ̸= m ∧ k ̸= 0 ∧ k ̸= nj ∧ l ̸=
0∧l ̸= nj,k), wj,k = 1/2 uvnitř ploch, tvořících hranici integrační oblasti, s výjimkou hran,
kde se stýkají dvě z těchto ploch a s výjimkou rohů, kde se stýkají všechny tři (j = 0∨j =
m∧k ̸= 0∧k ̸= nj ∧l ̸= 0∧l ̸= nj,k nebo j ̸= 0∧j ̸= m∧k = 0∨k = nj ∧l ̸= 0∧l ̸= nj,k
nebo j ̸= 0 ∧ j ̸= m ∧ k ̸= 0 ∧ k ̸= nj ∧ l = 0 ∨ l = nj,k), wj,k = 1/4 na hranách integrační
oblasti, s výjimkou rohů (j = 0∨j = m∧k = 0∨k = nj ∧l ̸= 0∧l ̸= nj,k nebo j = 0∨j =
m∧k ̸= 0∧k ̸= nj ∧l = 0∨l = nj,k nebo j ̸= 0∧j ̸= m∧k = 0∨k = nj ∧l = 0∨l = nj,k)
a wj,k = 1/8 v rozích integrační oblasti (j = 0∨j = m∧k = 0∨k = nj ∧l = 0∨l = nj,k).
Přesnost uvedené metody je opět druhého řádu, její chyba δI = O(h2+max h2
j +max h2
j,k).
Simpsonovo pravidlo ve 2D: S použitím tohoto pravidla (viz principy a značení, uvedené
v rovnici (D.74)) budou rovnice (D.78) a (D.80) postupně vypadat:
F(x) =
hj
3nj
f(xj, yj,0) + 2
nj
2
−1
k=1
f(xj, yj,2k) + 4
nj
2
k=1
f(xj, yj,2k−1) + f(xj, yj,nj ) , (D.86)
I =
h
3m

F(x0) + 2
m
2
−1
k=1
F(x2k) + 4
m
2
k=1
F(x2k−1) + F(xm)

 . (D.87)
Postupným řetězením stejného principu bychom snadno zkonstruovali také Simpsonovo
pravidlo ve 3D.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 258
Obdobným způsobem lze zkonstruovat i vícerozměrné numerické kvadratury, založené na metodách
vyšších řádů. Vzhledem k uvedeným analogiím k jednorozměrným kvadraturám je zde
již dále explicitně neuvádím.
D.4.4 Jednoduché numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rov-
nic
Existuje opět celá řada způsobů numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic, například
řešení rovnic Eulerovou metodou nebo tzv. Runge-Kuttovou metodou (metodami), atd. (další
podrobnosti - viz například (Humlíček, 2009)).
• Eulerova metoda
je nejjednodušší a také ovšem nejméně přesnou metodou, vhodnou pro numerické řešení obyčejných
diferenciálních rovnic 1. řádu nebo jejich soustav. Metoda vychází z definice rovnice
1. řádu, y′ = f(x, y), kde x je nezávisle proměnná a y je závisle proměnná, jejíž přepis do numerického
schématu s n + 1 body prostorové sítě a s konstantním krokem h = (xn − x0)/n
(například pomocí dopředné diference) bude vypadat následovně:
yi+1 − yi
h
= f(x, y) a tedy yi+1 = yi + hf, (D.88)
kde i = 0, . . . , n. Analogicky můžeme tento princip rozšířit i na soustavu více rovnic 1. řádu.
Použití metody si prakticky ukážeme na soustavě dvou (nelineárních, analyticky velmi těžko
řešitelných) rovnic 1.řádu, vzniklých rozkladem rovnice 2. řádu ve tvaru y′′−5(y′−1)2+6y2 = 0,
s okrajovými podmínkami y(0) = 1, y′(0) = 2, v intervalu x ∈ ⟨0, 10⟩, tedy
y′
= z + 1,
z′
= 5z2
− 6y2
. (D.89)
Numerický algoritmus soustavy rovnic (D.89) lze zapsat například takto (fortran 95):
• program Euler deklarace názvu programu
implicit none
double precision :: x, y, z, h, f, g deklarace reálných veličin a funkcí
x=0.d0, y=1.d0, z=1.d0, h=1.d-3 deklarace parametrů a okrajových podmínek
do výpočetní cyklus
f=z+1.d0
g=5.d0*z**2.–6.d0*y**2.
y=y+h*f
z= z+h*g
write(1,*) x,y,z zápis do souboru fort.1
x=x+h
if(x>10.d0)exit stop kritérium
end do konec cyklu
end program Euler
Tímto výpočtem získáme ve skutečnosti diskrétní průběh funkcí y a z = y′ − 1 v daném
intervalu ⟨0, 10⟩, s krokem 10−3. Hodnoty obou funkcí v konečném bodě intervalu jsou zde
y(10) = 0.91287365321267411 a z(10) = −1.0000034112031584.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 259
• Metody Runge-Kutta (RK)
Obecně mohou být tyto metody různých řádů, Eulerova metoda je vlastně Runge-Kuttova
metoda 1. řádu. Nejpoužívanější je ale tzv. „RK4“ (metoda 4. řádu), „klasická Runge-Kuttova
metoda“ nebo často nazývaná prostě jen „Runge-Kuttova metoda“. Ta je definovaná (použijeme
notaci, zavedenou v předchozím odstavci Eulerova metoda) jako
xi+1 = xi + h, yi+1 = yi +
h
6
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) , (D.90)
kde koeficienty kα jsou obecně stanoveny tak, aby metoda řádu p odpovídala Taylorovu polynomu
funkce y(x) stejného řádu. V případě „RK4“ tedy budou
k1 = f(xi, yi), (D.91)
k2 = f xi +
h
2
, yi +
h
2
k1 , (D.92)
k3 = f xi +
h
2
, yi +
h
2
k2 , (D.93)
k4 = f (xi + h, yi + hk3) . (D.94)
Jako příklad zde uvedeme numerický algoritmus stejné soustavy rovnic (D.89) jako v předchozí
Eulerově metodě (fortran 95):
• program RK deklarace názvu programu
implicit none
double precision :: x, y, z, h, f, g deklarace reálných veličin a funkcí
double precision :: k1y, k2y, k3y, k4y deklarace koeficientů pro proměnnou y
double precision :: k1z, k2z, k3z, k4z deklarace koeficientů pro proměnnou z
x=0.d0, y=1.d0, z=1.d0, h=1.d-3 deklarace parametrů a okrajových podmínek
do výpočetní cyklus
f=z+1.d0
g=5.d0*z**2.–6.d0*y**2.
k1y=f
k1z=g
k2y=(z+k1z*h/2.d0+1.d0)
k2z=(5.d0*(z+k1z*h/2.d0)**2.–6.d0*(y+k1y*h/2.d0)**2.)
k3y=(z+k2z*h/2.d0+1.d0)
k3z=(5.d0*(z+k2z*h/2.d0)**2.–6.d0*(y+k2y*h/2.d0)**2.)
k4y=(z+h*k3z)
k4z=(5.d0*(z+h*k3z)**2.–6.d0*(y+h*k3y)**2.)
y=y+h*(k1y+2.d0*k2y+2.d0*k3y+k4y)/6.d0
z= z+h*(k1z+2.d0*k2z+2.d0*k3z+k4z)/6.d0
write(1,*) x,y,z write to file fort.1
x=x+h
if(x>10.d0)exit stop criterion
end do konec cyklu
end program RK
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 260
Dostáváme obdobný průběh funkcí y a z = y′ −1 v daném intervalu ⟨0, 10⟩, s krokem 10−3, jako
pomocí Eulerovy metody. Hodnoty obou funkcí v konečném bodě intervalu jsou zde y(10) =
0.91287365717860480 a z(10) = −1.0000034161695313, číselné hodnoty se tedy pro obě metody
liší nejdříve v řádu 10−9.
• Odhad chyby metodou polovičního kroku
Oblíbenou jednoduchou metodou odhadu chyb je tzv. metoda polovičního kroku, která v celé
řadě praktických aplikací dává spolehlivé výsledky (podrobný popis a teoretický rozbor existuje
prakticky v každé učebnici numerické matematiky). Jejím principem je, že výpočet provedeme
znovu, se stejnými okrajovými podmínkami, ovšem s polovičním krokem h/2, takže pro stanovení
chyby (odchylky od přesného řešení) δy funkce y se v rámci jednoho kroku h tento proces
opakuje dvakrát. Výsledný odhad odchylky je pak stanoven jako
δy =
y x, h
2 − y(x, h)
2p − 1
, (D.95)
kde p je řád numerické metody (například v případě uvedené Eulerovy metody bude jmenovatel
rovnice (D.95) roven 1, v případě metody „RK4“ bude roven 15). Pro porovnání, takto
provedený odhad chyb výpočtů soustav diferenciálních rovnic 1. řádu z tohoto odstavce (kde
h = 10−3) bude δy(10) ≈ 3,973 × 10−9 a δz(10) ≈ −4,976 × 10−9 pro Eulerovu metodu a
δy(10) ≈ 4,441 × 10−17 a δz(10) ≈ −1,480 × 10−17 pro metodu „RK4“.
• Dormand-Princova metoda (DOPRI)
Tato metoda je de facto součástí (rozšířením) metod Runge-Kutta, odpovídá ovšem Taylorovu
polynomu 6., resp. 7. řádu. Touto metodou dostáváme řešení 4. a 5. řádu RK přesnosti (Dormand
& Prince, 1980). Rozdíl přesností v řešení 4. a 5. řádu RK bereme potom jako chybu
přesnosti řešení RK 4. řádu. Na základě této chyby potom implementujeme algoritmus adaptivního
iteračního kroku h pro udržení požadované přesnosti (viz níže).
Uvedená metoda je nezastupitelná v případech obyčejných diferenciálních rovnic s tzv. silným
tlumením neboli „tuhých“ (anglicky stiff equations), kde se jednodušší metody rychle
stávají nestabilní a dávají nepřesná řešení. Příkladem takové „tuhé“ rovnice může být například
y′ = 3y
x + x3 + x, y(1) = 3, která je navíc analyticky řešitelná (y = 3x3 + x4 − x2) takže
si výsledky dané různými metodami můžeme porovnat.
Řešení 4. řádu v bodě xi+1 získáme pomocí
yi+1 = yi + h
35
384
k1 +
500
1113
k3 +
125
192
k4 −
2187
6784
k5 +
11
84
k6 . (D.96)
Řešení pátého řádu v bodě xi+1 získáme pomocí
Yi+1 = yi + h
5179
57600
k1 +
7571
16695
k3 +
393
640
k4 −
92097
339200
k5 +
187
2100
k6 +
1
40
k7 . (D.97)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 261
kde koeficienty kα budou (viz tzv. Butcherova tabulka, Butcher (2008))
k1 = f (xi, yi)
k2 = f xi +
1
5
h, yi +
1
5
k1
k3 = f xi +
3
10
h, yi +
3
40
k1 +
9
40
k2
k4 = f xi +
4
5
h, yi +
44
45
k1 −
56
15
k2 +
32
9
k3
k5 = f xi +
8
9
h, yi +
19372
6561
k1 −
25360
2187
k2 +
64448
6561
k3 −
212
729
k4
k6 = f xi + h, yi +
9017
3168
k1 −
355
33
k2 −
46732
5247
k3 +
49
176
k4 −
5103
18656
k5
k7 = f xi + h, yi +
35
384
k1 +
500
1113
k3 +
125
192
k4 −
2187
6784
k5 +
11
84
k6 . (D.98)
Rozdíl řešení 4. a 5. řádu definuje chybu řešení 4. řádu,
δyi+1 = |Yi+1 − yi+1|. (D.99)
Pokud chyba přesáhne horní zvolenou mez přesnosti δmax, algoritmus sníží velikost iteračního
kroku h (typicky na polovinu) a výpočet opakuje. Iterační krok h je snižován tak dlouho, dokud
nedosáhne požadované přesnosti. Naopak, pokud chyba klesne pod spodní zvolenou mez přesnosti
δmin, zvýší se velikost iteračního kroku h (typicky na dvojnásobek) a výpočet se opakuje,
dokud nedosáhne požadované přesnosti. Podstatnou výhodou je, že se výpočet neopakuje v
oblastech již stabilního řešení, šetří se tak výpočetní čas.
Dále zde ukážeme příklad řešení obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu často používanou
jednoduchou tzv. metodu střelby a také pomocí tridiagonální matice (viz odstavec D.2.1):
• Metoda střelby
je jednoduchá metoda řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu, kdy potřebujeme dvě
okrajové podmínky - polohu při „výstřelu“ a při „dopadu“ (Dirichletovy podmínky) nebo směr
„výstřelu“ a „dopadu“ (Neumannovy podmínky), případně smíšené (například polohu a směr
„výstřelu“), založená na „vystřelení“ dané funkce v závislosti na okrajových podmínkách. Hledáme
potom takové koeficienty funkce, které zajistí „dopadnutí“ funkce požadovaným způsobem
do požadovaného bodu. Metodu si ukážeme na příkladu řešení tzv. Lane-Emdenovy rovnice, což
je obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu, obvykle zapsaná v implicitním tvaru
1
x2
d
dx
x2 dy
dx
+ yn
= 0 a tedy y′′
+
2
x
y′
+ yn
= 0, (D.100)
kde x je nezávisle proměnná, y je závisle proměnná a n je konstanta. Tato rovnice je řešitelná
analyticky pouze pro n = 0, 1, 5, pro všechna ostatní n musí být řešena numericky. Pro n = 0
získáme řešení přímou integrací se zahrnutím uvedených okrajových podmínek, pro n = 1 řešíme
sférickou Besselovu diferenciální rovnici (viz rovnice (C.115)), Pro n = 5 dostáváme řešení
prostřednictvím tzv. Emdenovy transformace, kde y = Arωs, kde r, s jsou nové proměnné a
ω = 2/(n − 1).
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 262
Budeme počítat rovnici (D.100) pro n = 1,5 a se smíšenými okrajovými podmínkami y(0) =
1, y′(0) = 0. Algoritmus je tedy „vystřelen“ z bodu [0,1] vodorovně, nová hodnota y je v každém
prostorovém kroku vypočítána jako y = y + (∆y/∆x)∆x. Druhá derivace y′′ je rozepsána jako
(y′)′, tedy ∆(∆y/∆x)/∆x a každá nová hodnota y′′ je v každém prostorovém kroku počítána
jako (∆y/∆x)/∆x = (∆y/∆x)/∆x − [(2/x)(∆y/∆x) + yn], což můžeme po vynásobení celé
rovnice ∆x přepsat jako (∆y/∆x) = (∆y/∆x)−[(2/x)(∆y/∆x)+yn]∆x. Numerický algoritmus
rovnice (D.100) lze tedy zapsat například takto (fortran 95):
• program Emden deklarace názvu programu
implicit none
double precision :: x, y, dydx, n, dx deklarace reálných veličin x, y, dydx, n, dx
s dvojitou přesností, kde dydx = y′ = ∆y/∆x
a dx = ∆x
x=0.d0 deklarace parametrů a okrajových podmínek
y=1.d0
dydx=0.d0
dx=1.d-3
n=1.5d0
do výpočetní cyklus
x=x+dx
y=y+dydx*dx
dydx=dydx-(2.d0*dydx/x+y**n)*dx
if(x>15.d0)exit stop kritérium, dané předběžným odhadem
write(1,*) x,y,dydx zápis do souboru fort.1
end do konec cyklu
end program Emden
• Příklad řešení obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu pomocí tridiagonální matice
Řešení okrajové úlohy obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu p(x)y′′(x)+q(x)y′(x)+r(x)y(x) =
f(x), na intervalu a, b, s Dirichletovými okrajovými podmínkami y(a) = A, y(b) = B, lze snadno
řešit pomocí tridiagonální matice (viz odstavec D.2.1). Jako příklad řešení uvedeme jednoduchou
rovnici s konstantními koeficienty y′′ +3y′ +2y = (20x+29) e3x (snadno řešitelnou i analyticky),
na intervalu ⟨0, 1⟩, s Dirichletovými okrajovými podmínkami y(0) = 0, y(1) = 1.
Po přepsání dané rovnice do diferenčního schématu s n+2 body prostorové sítě, kdy jednotlivé
derivace levé strany rozepíšeme podle rovnic (D.68) a (D.69), dostáváme rovnici ve tvaru
p −
h
2
q yi−1 + h2
r − 2p yi + p +
h
2
q yi+1 = h2
fi, (D.101)
kde i = 0, 1, . . . , n, n + 1, s koeficienty p = 1, q = 3, r = 2 a s konstantním prostorovým
krokem h = (xn+1 − x0)/(n + 1) = [x(1) − x(0)]/(n + 1), při n = 99 tak bude h = 0, 01.
Označíme-li jednotlivé závorky na levé straně rovnice (D.101) postupně P, Q, R, dostáváme
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 263
rovnici s tridiagonální maticí na levé straně ve tvaru









Q R
P Q R
...
...
...
P Q R
P Q


















y1
y2
...
yn−1
yn









=









h2f1 − Py0
h2f2
...
h2fn−1
h2fn − Ryn+1









. (D.102)
Numerický algoritmus zapíšeme následujícím způsobem (fortran 95):
• program tridiag deklarace názvu programu
implicit none
integer :: i, ni, N, LDB, NRHS, INFO deklarace celočíselných proměnných: i =
pořadové číslo nezávisle proměnné, ni = celkový
počet diskrétních hodnot, ostatní jsou
parametry podpropgramu DGTSV balíčku
LAPACK - viz odstavec D.1
parameter(ni=99,N=ni,LDB=N,NRHS=1) hodnoty celočíselných proměnných
double precision :: x(ni) ,y(ni), h(ni), p(ni), q(ni), r(ni), f(ni), B(LDB,NRHS),
DL(N-1), DU(N-1), D(N)
deklarace reálných proměnných jako pole
s dvojitou přesností
double precision, parameter :: x0=0.d0, xn=1.d0, y0=0.d0, yn=1.d0
deklarace reálných konstant s dvojitou přes-
ností
do i=1,N výpočetní cyklus prostorového kroku
x(i)=x0+(xn-x0)*i/dfloat(ni+1) příkaz dfloat mění celočíselnou proměnnou
na reálnou
end do
do i=1,N hlavní výpočetní cyklus
h(i)=x(i)-x(i-1) konstantní krok h je zde zapsán obecně
p(i)=1.d0 konstantní koeficienty jsou zapsány obecně
q(i)=3.d0
r(i)=2.d0
f(i)=(20.d0*x(i)+29.d0)*dexp(3.d0*x(i))
if(i.eq.1) then spodní okrajová podmínka
B(i,1)=h(i)**2.d0*f(i)-(p(i)-q(i)*h(i)/2.d0)*y0
elseif((i.gt.1).and.(i.lt.N)) then hlavní pole
B(i,1)=h(i)**2.d0*f(i)
else horní okrajová podmínka
B(i,1)=h(i)**2.d0*f(i)-(p(i)+q(i)*h(i)/2.d0)*yn
endif
end do
do i=1,N-1 zadání spodní diagonály
DL(i)=p(i)-q(i)*h(i)/2.d0
end do
do i=1,N zadání hlavní diagonály
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 264
D(i)=r(i)*h(i)**2.d0-2.d0*p(i)
end do
do i=2,N zadání horní diagonály
DU(i)=p(i)+q(i)*h(i)/2.d0
end do
volání podprogramu DGTSV balíčku LAPACK (viz oddíl D.1):
call DGTSV(N, NRHS, DL, D, DU, B, LDB, INFO)
if(INFO.ne.0) write(*,*) “INFO=”,INFO,“!!!”
write(1,*) x0, y0
do i=1,N
y(i)=B(i,1)
write(1,*) x(i), y(i) !zápis do souboru fort.1
end do
write(1,*) xn, yn
end program tridiag
D.5 Numerické metody výpočtů funkcí více proměnných - řešení
parciálních diferenciálních rovnic
D.5.1 Hledání kořenů soustavy funkcí více proměnných
Newtonova-Raphsonova metoda
Newtonova (Newtonova-Raphsonova) metoda představuje velmi účinný nástroj také pro řešení
obecné soustavy (nelineárních) rovnic. Soustavu P, obsahující n rovnic můžeme obecně zapsat
jako
Pi (⃗x) = 0, (D.103)
kde i = 1, . . . , n a kde ⃗x je vektor proměnných xj. Pomocí Taylorova rozvoje rovnice (D.103)
do prvního řádu dostáváme obecný výraz pro k-tou iteraci (k-tý iterativní krok) řešení systému
rovnic Pi, který můžeme zapsat kompaktní formou
J k
∆⃗x k
= −⃗P k−1
⃗x k−1
, (D.104)
kde vektor ∆⃗x představuje korekci řešení pro každou proměnnou xj vzhledem k předchozímu
iterativnímu kroku. Explicitní zápis vektoru ∆⃗x k bude mít tvar
∆⃗x k
= (xk
1 − xk−1
1 , . . . , xk
n − xk−1
n )T
. (D.105)
Výraz ⃗P k v rovnici (D.104) představuje vektor k-té iterace všech systémových rovnic P k
i ,
zatímco výraz J k značí odpovídající Jacobiho matici, jejíž každý prvek J k
ij můžeme snadno
analyticky vyjádřit ze systému rovnic P k
i , položíme-li
J k
ij =
∂P k
i
∂xk
j
. (D.106)
Řešíme-li například (jako jednoduchý modelový příklad) soustavu rovnic:
x4 + 6y2 − 12z
5x3 − 3y + z2
x3 + 7y2 − z
=
=
=
16,
9,
0,
(D.107)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 265
můžeme explicitní podobu rovnice (D.104) zapsat jako



4 x3
0 12 y0 −12
15 x2
0 −3 2 z0
3 x2
0 14 y0 −1






x − x0
y − y0
z − z0


 = −



x4
0 + 6 y2
0 − 12 z0 − 16
5 x3
0 − 3 y0 + z2
0 − 9
x3
0 + 7 y2
0 − z0


 , (D.108)
kterou dále řešíme iterativně například pomocí balíčku LAPACK (viz odstavec D.1) jako soustavu
tří lineárních rovnic pro tři neznámé ∆x = x − x0, ∆y = y − y0 a ∆z = z − z0, z
nichž potom v každém kroku získáme nové hodnoty x, y a z jako x = ∆x + x0, y = ∆y + y0,
z = ∆z + z0.
• Příklad možného způsobu naprogramování soustavy rovnic (D.107) - program fortran
95:
program eqsystem deklarace názvu programu
implicit none
deklarace celočíselných proměnných v záhlaví programu, viz odstavec D.1:
integer :: i,j,K,INFO,KL,KU,LDAB,LDB,N,NRHS
parameter(N=3,KL=2,KU=2,K=KU+KL+1,LDAB=2*KL+KU+1,LDB=N,NRHS=1)
integer :: IPIV(N)
deklarace reálných veličin s dvojitou přesností:
double precision :: AB(LDAB,N),B(LDB,NRHS),DER(N,N),C(N),x0,y0,z0
přesměrování konečného zápisu výsledku do souboru “solve.dat”:
open(10,file=“solve.dat”,status=“unknown”)
x0=-4.0d0 odhad vstupní hodnoty xk
y0=-3.0d0 odhad vstupní hodnoty yk
z0=14.0d0 odhad vstupní hodnoty zk
do výpočetní cyklus
matice derivací levých stran:
DER(1,1)=4.d0*x0**3.d0
DER(1,2)=12.d0*y0
DER(1,3)=-12.d0
DER(2,1)=15.d0*x0**2.d0
DER(2,2)=-3.0
DER(2,3)=2.d0*z0
DER(3,1)=3.d0*x0**2.d0
DER(3,2)=14.d0*y0
DER(3,3)=-1.d0
transformovaná pásová matice AB podle schematu LAPACK, viz odstavec D.1:
do j=1,N
do i=max(1,j-KU),min(N,j+KL)
AB(K+i-j,j)=DER(i,j)
end do
end do
matice pravých stran:
B(1,1)=-(x0**4.d0+6.d0*y0**2.d0-12.d0*z0-16.d0)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 266
B(2,1)=-(5.d0*x0**3.d0-3.d0*y0+z0**2.d0-9.d0)
B(3,1)=-(x0**3.d0+7.d0*y0**2.d0-z0)
vlastní výpočet pomocí podprogramu DGBSV, viz odstavec D.1::
call DGBSV(N,KL,KU,1,AB,LDAB,IPIV,B,N,INFO)
if (INFO.ne.0) write(*,*) “INFO=”,INFO,“!!!”
C=(/(dabs(B(i,1)),i=1,N)/)
if (maxval(C).lt.1.d-15) exit stop kritérium: max|∆x, ∆y, ∆z| < 10−15
x0=B(1,1)+x0
y0=B(2,1)+y0
z0=B(3,1)+z0
zápis výsledných hodnot x, y, z, ∆x, ∆y, ∆z z jednotlivých iterací do souboru:
write(10,*)x0,y0,z0,(B(i,1),i=1,N)
end do
stop zastavení celého procesu
end program eqsystem konec programu
• Tabulka vypočtených hodnot xk, yk, zk, ∆xk, ∆yk, ∆zk ze všech provedených iterací :
k xk yk zk
1 -3.5568659855769229 -2.8660523504273505 14.644631410256411
2 -3.4484177335542667 -2.8088357894123277 14.321062859837509
3 -3.4422190042021756 -2.8052747443938260 14.300861993036721
4 -3.4421993029036972 -2.8052630869488695 14.300795971729505
5 -3.4421993027044500 -2.8052630868291244 14.300795971052235
6 -3.4421993027044500 -2.8052630868291244 14.300795971052233
k ∆xk ∆yk ∆zk
1 0.44313401442307693 0.13394764957264957 0.64463141025641035
2 0.10844825202265625 5.7216561015022732E-002 -0.32356855041890148
3 6.1987293520911584E-003 3.5610450185016187E-003 -2.0200866800787826E-002
4 1.9701298478486783E-005 1.1657444956463351E-005 -6.6021307216049201E-005
5 1.9924720437988766E-010 1.1974503494876664E-010 -6.7726957780015056E-010
6 6.2835370146182566E-017 1.8208999862070576E-016 -1.3650720993330078E-015
Počáteční odhad (pokud neznáme, jako v případě standardních fyzikálních dějů, nějaké „předem
očekávané“ hodnoty) může být poměrně obtížný - na našem příkladě můžete vyzkoušet, že pokud
zvolíme např. všechny počáteční hodnoty rovny 1, výpočet zkonverguje rovněž, ovšem bude
zapotřebí 24 325 iterací (namísto 6 iterací pro uvedené blízké celočíselné počáteční odhady).
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 267
D.5.2 Principy konečných diferencí
Jednoduchý příklad - jednorozměrná rovnice se dvěma proměnnými: t-čas, x-délka - Burgersova
(transportní) parciální diferenciální rovnice
∂f(t, x)
∂t
+ u
∂f(t, x)
∂x
= 0, (D.109)
kde u je konstanta (rychlost). Numerický tvar funkce f(t, x) je reprezentován na jednorozměrné
síti, tvořené M prostorovými body,
x0, x1, ... , xM (x0 < x1 < x2 < ... < xM ). (D.110)
Výpočet proběhne opakovaně během N časových kroků,
t1 = t0 + ∆t, t2 = t1 + ∆t = t0 + 2∆t, ... , tN = t0 + N∆t. (D.111)
Numerické řešení veličiny f(t, x) v obecném j-tém prostorovém a n-tém časovém (x = xj,
t = tn) kroku označíme fn
j . Taylorův rozvoj funkce f(t, x) má tvar
f(x + h, t) = f(x, t) + h
∂f(x, t)
∂x
+
h2
2!
∂2f(x, t)
∂x2
+ O(h3
) + ... (D.112)
f(x − h, t) = f(x, t) − h
∂f(x, t)
∂x
+
h2
2!
∂2f(x, t)
∂x2
− O(h3
) + ... , (D.113)
kde h = ∆x je přírůstek prostorové proměnné x (viz rovnice (1.1)) a symbol O značí zanedbatelný,
dále nezapočítávaný příspěvek členů vyšších řádů. V numerické matematice jsou derivace
nahrazeny tzv. diferencemi (viz odstavec D.4.2):
∂f(x, t)
∂x
≈
f(x + h, t) − f(x, t)
h
=
fn
j+1 − fn
j
∆x
, apod. (D.114)
Typy diferencí pro aproximace derivací 1. řádu:
∂f
∂x
n
j
≈ fn
j+1 − fn
j /∆x dopředné diference,
∂f
∂x
n
j
≈ fn
j − fn
j−1 /∆x zpětné diference,
∂f
∂x
n
j
≈ fn
j+1 − fn
j−1 /(2∆x) centrální diference.
(D.115)
Příklad numerického diferenčního schématu pro aproximace derivací 2. řádu:
∂2f
∂x2
n
j
≈ fn
j+1 − 2fn
j + fn
j−1 /(∆x)2
. (D.116)
Numerické diferenční schéma uvedené transportní (advekční) rovnice (D.109) má tvar
fn+1
j − fn
j
∆t
= −u
fn
j+1 − fn
j−1
2∆x
, (D.117)
kde časový krok je počítán jako dopředná diference a prostorový krok je počítán jako centrální
diference. Po jednoduché úpravě dostáváme diferenční rovnici (D.117) v programovatelném
tvaru:
fn+1
j = fn
j −
u∆t
2∆x
fn
j+1 − fn
j−1 . (D.118)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 268
0
0.5
1
1 50 100
ρ
x
ρ
Obrázek D.8: Graf (časový snímek) postupné hustotní vlny, popsané Burgersovou rovnicí (D.109), modelované
metodou explicitního Eulerova schématu na principu konečných diferencí (rovnice (D.118), viz
také programový skript, uvedený v tomto odstavci). V grafu je zřetelná nestabilní vlnová poruha, jejíž
oblast i amplituda neustále narůstá (viz sekce D.5.3).
• Příklad možného způsobu naprogramování rovnice (D.118) - program fortran 95:
program explicit deklarace názvu programu
implicit none
integer :: j, n, t deklarace celočíselných proměnných v záhlaví programu:
j = pořadové číslo prostorového kroku, n =
pořadové číslo časového kroku
integer :: nj, nn deklarace celočíselných proměnných v záhlaví programu:
nj = celkový počet prostorových kroků j, nn
= celkový počet časových kroků n
parameter (nj=100, nn=200) zadání číselných hodnot pro nj, nn
double precision :: x(nj), f(nj), u(nj) deklarace reálných veličin x, f a u jako pole (vektoru)
o nj prvcích s dvojitou přesností
double precision :: dt deklarace reálné veličiny dt (časového kroku)
parameter (dt = 1.d0, u = 1.2d0) deklarace pevně zadaných hodnot konstantních reálných
veličin
do j=1,nj cyklus počáteční podmínky (počáteční funkce)
x(j) = dfloat(j) příkaz dfloat mění celočíselnou proměnnou na reál-
nou
if (j.le.nj/2) then tzv. logická podmínka (kde .le. znamená ≤)
f(j) = 1.d0
else
f(j) = 0.1d0 zadaná počáteční funkce: pro x ≤ 0.5nj → f = 1.0,
pro x > 0.5nj → f = 0.1
endif
end do konec cyklu
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 269
t=0.d0 změna typu proměnné t na real s dvojitou přesností
do vnější (časový) cyklus
t = t+dt
do j=2,nj-1 vnitřní (prostorový) cyklus
f(j) = f(j)-u(j)*dt*(f(j+1)-f(j-1))/(x(j+1)-x(j-1)) vlastní rovnice (D.118)
end do konec vnitřního cyklu
f(1) = f(1) vnitřní tzv. pevná okrajová podmínka
f(nj) = f(nj-1) vnější tzv. volná okrajová podmínka
do j=1,nj cyklus zápisu do souboru s názvem fort.100
write (100,*) x(j), f(j) zápis spočítaných hodnot
end do
write (100,*)
write (100,*) dvouřádková mezera, nutná pro animaci časových
cyklů
if (t.gt.200.d0) exit vystoupení z časového cyklu, pokud t > 200
end do ukončení časového cyklu
stop zastavení celého procesu při t > 200
end program explicit konec programu
Toto tzv. explicitní Eulerovo numerické schéma je sice jednoduché, přehledné a názorné, je ale
vždy numericky nestabilní (viz obrázek D.8 a odstavec D.5.3):
D.5.3 von Neumannova analýza stability
Jednoduchá analytická metoda, založená na předpokladu periodické numerické poruchy, tedy
na Fourierovské dekompozici (rozkladu) numerické chyby. Metoda byla publikována v roce 1947
matematiky Johnem Crankem a Phyllis Nicolsonovou, za spoluautorství významného matematika,
fyzika a průkopníka digitálních počítačů Johna von Neumanna.
Předpokládejme obecné poruchy stability (periodické perturbace, vibrace) vlnového charakteru
ve tvaru
ξn
eikj∆x
, (D.119)
kde ξ(k) je amplituda vlny, k je vlnové číslo libovolné hodnoty. Pokud |ξ| > 1, pro n → ∞ bude
|ξ|n
→ ∞, (D.120)
porucha se neustále zvětšuje, numerické schéma je nestabilní. Pokud
|ξ| < 1, (D.121)
numerické schéma je stabilní. Po dosazení poruchové vlnové funkce do explicitního řešení (D.118)
dostáváme
ξn+1
− ξn
eikj∆x
= −
u∆t
2∆x
ξn
eik(j+1)∆x
− eik(j−1)∆x
(D.122)
a po vydělení celé rovnice (D.122) výrazem ξneikj∆x dostáváme
ξ = 1 −
u∆t
2∆x
eik∆x
− e−ik∆x
= 1 − i
u∆t
∆x
sin(k∆x). (D.123)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 270
0
0.5
1
1 50 100
ρ
x
ρ
Obrázek D.9: Časový snímek postupné hustotní vlny, popsané Burgersovou rovnicí (D.109), modelované
Laxovou metodou (rovnice (D.125)). Křivka hustoty je na rozdíl od explicitního schématu stabilní, je
zde však příliš velká tzv. numerická difúzivita, projevující se značným rozmytím (rozostřením) původní
vlny ostře schodovitého tvaru (srovnej s grafem D.13 v odstavci D.5.8), způsobená přidáním výrazu,
odpovídajícímu druhé derivaci advekčního členu, tj. kdy výraz (fj+1 +fj−1)/2 v rovnici (D.125) můžeme
chápat jako fj + (fj+1 − 2fj + fj−1)/2.
Protože |a + ib| =
√
a2 + b2, bude druhá mocnina rovnice (D.123) rovna výrazu
|ξ|2
= 1 +
u∆t
∆x
2
sin2
(k∆x), (D.124)
kde pravá strana zjevně bude téměř vždy větší než 1 (výjimečně se bude rovnat 1). Je tedy
zřejmé, že v případě explicitního numerického schématu musí vždy platit, že |ξ| ≥ 1, toto
schéma je tedy vždy nestabilní.
D.5.4 Laxova metoda
Numerická varianta explicitního schématu, které podstatně stabilizuje, je pojmenovaná podle
matematika Petera Davida Laxe. Základem je jednoduchá změna ve struktuře časového členu.
Člen fn
j v explicitním řešení je zde nahrazen aritmetickým průměrem sousedních hodnot,
fn+1
j =
1
2
fn
j+1 + fn
j−1 −
u∆t
2∆x
fn
j+1 − fn
j−1 , (D.125)
von Neumannova analýza stability v tomto případě dává
ξ = cos(k∆x) − i
u∆t
∆x
sin(k∆x), a tedy |ξ|2
= cos2
(k∆x) +
u∆t
∆x
2
sin2
(k∆x). (D.126)
Schéma je zjevně stabilní, pokud pro tzv. Courant-Friedrichs-Lewyho číslo u∆t/∆x (zkráceně
Courantovo číslo, cfl) platí
u∆t
∆x
≤ 1 Courantův teorém stability. (D.127)
Stejná rovnice (D.109), modelovaná Laxovou metodou (D.125) je zobrazena v grafu D.9.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 271
0
0.5
1
1 50 100
ρ
x
ρ
Obrázek D.10: Časový snímek postupné hustotní vlny (D.109), modelované metodou implicitního schématu
(rovnice (D.134)). Křivka hustoty je stabilní a na rozdíl od Laxova schématu není zdaleka tak
rozšířená. Amplituda postupného klubka vlnové poruchy v levé části grafu se v čase snižuje, jeho rozsah
se nemění.
D.5.5 Metoda zpětného kroku (Upwind method)
Metoda zpětného kroku používá v prostorovém (advekčním) členu zpětnou diferenci,
fn+1
j = fn
j −
u∆t
∆x
(fn
j − fn
j−1), (D.128)
von Neumannova analýza stability v tomto případě dává (cfl = α):
ξ = 1 − α + α cos(k∆x) − iα sin(k∆x), a tedy,
|ξ|2
= [1 − α + α cos(k∆x)]2
+ α2
sin2
(k∆x). (D.129)
Z požadavku |ξ|2 < 1 vyplývá nerovnost
2α(1 − α)[1 − cos(k∆x)] > 0. (D.130)
Protože pokud α > 0 potom cos(k∆x) < 1, schéma bude stabilní, pokud obdobně jako v odstavci
D.5.4 Courantovo číslo α < 1.
D.5.6 Laxova-Wendroffova metoda
Dvoukroková metoda, pojmenovaná podle již zmíněného Petera Laxe (viz odstavec D.5.4) a
dalšího matematika Burta Wendroffa, kombinuje výhody Laxova a explicitního schématu následujícím
způsobem:
1. krok (Laxův) a 2. krok (explicitní):
f
n+1
2
j+ 1
2
=
1
2
fn
j+1 + fn
j −
1
2
u∆t
∆x
fn
j+1 − fn
j , fn+1
j = fn
j −
u∆t
∆x
f
n+1
2
j+1
2
− f
n+1
2
j− 1
2
.
(D.131)
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 272
von Neumannova analýza stability v tomto případě dává (cfl = α):
ξ = 1 − 2α sin
k∆x
2
α sin
k∆x
2
+ i cos
k∆x
2
, a tedy, (D.132)
|ξ|2
= 1 − 4α2
sin2 k∆x
2
1 − α2
sin2 k∆x
2
− cos2 k∆x
2
. (D.133)
Z požadavku |ξ|2 < 1 opět vyplývá podmínka stability α < 1.
D.5.7 Implicitní schéma
Princip tzv. implicitního schématu je založen na tom, že hodnoty veličiny f v prostorovém
(advekčním) členu na pravé straně rovnice (D.118) jsou zadány v čase tn+1, tedy de facto
v budoucnu, tj. po provedení aktuálního výpočtu,
fn+1
j = fn
j −
u∆t
2∆x
fn+1
j+1 − fn+1
j−1 . (D.134)
von Neumannova analýza stability v tomto případě dává (cfl = α):
ξ =
1
1 + iα sin(k∆x)
=
1 − iα sin(k∆x)
1 + α2 sin2
(k∆x)
, a tedy |ξ|2
=
1
1 + α2 sin2
(k∆x)
. (D.135)
Z rovnice (D.135) je tedy zcela zřejmé, že implicitní schéma musí splňovat podmínku stability
|ξ| ≤ 1, je tedy vždy numericky stabilní. Nevýhodou je komplikovanost výpočtu fn+1
j v každém
časovém kroku, kdy tuto předem neznámou hodnotu počítáme pomocí tzv. tridiagonální matice
(viz odstavce D.1, D.2.1.)
α
2
fn+1
j−1 − fn+1
j −
α
2
fn+1
j+1 = −fn
j (D.136)
některou z metod nebo knihoven numerické lineární algebry (viz odstavec D.1). Stejná rovnice
(D.109), modelovaná implicitní metodou (D.134)-(D.136) je zobrazena v grafu D.10.
D.5.8 Příklad pokročilejšího numerického schématu
• V současnosti existuje celá řada modernějších, přesnějších a stabilnějších numerických
metod (viz např. Thompson, 2006):
• Použití tzv. oddělených sítí (staggered mesh), umožňující oddělení toků různých veličin
(flux splitting), například vektorových a skalárních polí, atd.
• Postupné přidávání jednotlivých členů pravých stran fyzikálních rovnic, reprezentujících
různá silová pole (operator splitting):
(f1 − f0)/∆t = L1(f0)
(f2 − f1)/∆t = L2(f1)
...
...
(fm − fm−1)/∆t = Lm(fm−1),
(D.137)
kde Lj představuje jednotlivé aproximace členů pravé strany rovnice pomocí principu
konečných diferencí, m je celkový počet členů na pravé straně rovnice a horní indexy
udávají pořadové číslo dílčího časového kroku.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 273
1 2 3 4 5 nj nj+1 nj+2 nj+3 nj+4 nj+5
1
2
3
4
5
nk
nk+1
nk+2
nk+3
nk+4
nk+5
1 2 3 4 5 nj nj+1 nj+2 nj+3 nj+4
1
2
3
4
5
nk
nk+1
nk+2
nk+3
nk+4
g b b int int b b g
g
b
b
int
int
b
b
g
g b int int b g
g
b
int
int
b
g
body A-s´ıtˇe body B-s´ıtˇe
Obrázek D.11: Schéma uspořádání tzv. oddělených sítí (staggered mesh). A-síť, určená pro počítání
vektorů, je zobrazena černě, B-síť, určená pro počítání skalárních veličin, je zobrazena červeně. Tlustou
čárou je ohraničena vnitřní výpočetní doména (’int’), symbolem ’b’ je označena zóna pro počítání
okrajových podmínek, symbolem ’g’ je označena tzv. ghost zone, což je další přidaná zóna pro okrajové
podmínky, nutná pro počítání diferenciálních rovnic 2. řádu nebo v případě symetrických podmínek,
například vůči ose sítě (periodické okrajové podmínky), středu sítě, atd. Přesné uspořádání zón pro
okrajové podmínky se může v detailech lišit právě podle typu okrajových podmínek (pevné, reflexní,
periodické, atd.).
• Princip oddělených sítí (staggered mesh): na A-síti „sedí“ vektorové veličiny, na B-síti
„sedí“ skalární veličiny (viz obrázek (D.11).
• Příklad dvoukrokové metody (tj. kdy výpočet následujícího časového kroku je rozdělen
na dva mezikroky: explicitně vypočítaný tzv. prediktorový krok, následovaný implicitním
tzv. korektorovým krokem) pro výpočet transportní rovnice (D.109) skalární veličiny f:
∆A
− =
fB
j − fB
j−1
xB
j − xB
j−1
, ∆A
+ =
fB
j+1 − fB
j
xB
j+1 − xB
j
, (D.138)
kde ∆−, ∆+ jsou symboly pro zpětnou a dopřednou diferenci. Pro výpočet prediktorového
kroku použijeme například tzv. van Leerovu derivaci (van Leer, 1982), definovanou jako:
dB
vL =



⟨∆−∆+⟩ =
2∆−∆+
∆− + ∆+
, if ∆−∆+ > 0
0, if ∆−∆+ < 0 .
(D.139)
van Leerova derivace je tedy nenulová, pokud je funkce f monotónní a je nulová v těch
polích prostorové sítě, kde funkce f prochází extrémy. Důležitou vlastností van Leerovy
derivace je, že zachovává monotónnost derivací a zabraňuje vzniku lokálních extrémů:
z rovnice (D.139) vyplývá, že pokud ∆− ≈ ∆+ ≈ ∆, potom ⟨∆−∆+⟩ ≈ ∆ a pokud
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 274
xA
j−1
xA
j
xB
j−1
fB, n
j−1
uA, n+a
j ∆t
2
IA, n+a
j
x A
j−1
x A
j
dB
vL
fB, n
j−2
fB, n
j
fB, n
j−1
dB
vL
xA
j−2
xA
j−1
xB
j−1
xB
j−2
xB
j
xA
j
xA
j+1
Obrázek D.12a Obrázek D.12b
Obrázek D.12: Schématické vyobrazení podmínky monotónnosti van Leerovy derivace (rovnice (D.139))
je na obrázku D.12a: sklon lineární distribuce veličiny f v prostřední výpočetní buňce (čárkovaná čára)
je díky van Leerově derivaci (plná čára označená jako dB
vL) redukován, takže hodnoty lineárně interpolované,
advektované skalární veličiny f na rozhraní buňky musí po celé šířce této buňky „padnout“ mezi
hodnoty této veličiny, zprůměrované přes objemy sousedních výpočetních buněk. Obrázek D.12b znázorňuje
prediktorový krok advekce skalární veličiny f (rovnice (D.140)). Veličina je lineárně interpolována
(plná červená čára, označená dB
vL, znázorňuje sklon van Leerovy derivace) a advektována na rozhraní
buňky v polovičním časovém kroku t+∆t/2. Hranice buňky, vyznačené plnou čarou, symbolizují objem
látky, advektovaný v čase, zatímco „čárkovaná“ buňka je pevně fixována v prostoru. Poloha lineárního
interpolantu I je označena IA, n+a
j . Následující korektorový krok (rovnice (D.141)) advektuje veličinu
na střed B-sítě v čase t + ∆t.
∆− ≪ ∆+ nebo ∆− ≫ ∆+, potom ⟨∆−∆+⟩ ≈ min (∆−, ∆+). To zaručuje, že hodnoty
derivované funkce f na hranicích výpočetní buňky lokálně „nepřestřelí“ střední hodnoty
funkce f v sousedních buňkách (viz obrázek D.12).
• Výsledkem prediktorového kroku bude veličina I (nazveme ji například interpolant), která
je během prediktorového kroku advektována na rozhraní druhé sítě, tj. z původní B-sítě
na A-síť a naopak. Prediktorový krok bude mít v tomto případě tvar
IA, n+a
j = fB, n
j−1 + dB
vL xA
j − xB
j−1 −
uA, n+a
j ∆t
2
, (D.140)
kde u je advekční rychlost (srovnej rovnici (D.118)) a horní index n + a označuje dílčí
posun v rámci časového kroku n.
• Následující korektorový krok bude dán rovnicí ve tvaru
fB, n+1
j = fB, n
j −
∆t
xA
j+1 − xA
j
I A, n+a
j+1 uA, n+a
j+1 − I A, n+a
j uA, n+a
j . (D.141)
Po provedení korektorového kroku se tedy skalární veličina f opět vrací na B-síť, tj. uprostřed
mezi polohy A(j + 1), A(j). Rovnice (D.141) je zároveň numerickou formou jednorozměrné
divergence. Obdobné schéma ve dvoj a trojrozměrné verzi se nazývá metoda
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 275
0
0.5
1
1 50 100
ρ
x
ρ
Obrázek D.13: Časový snímek postupné hustotní vlny, popsané Burgersovou rovnicí (D.109), modelované
metodou prediktor-korektor (pomocí rovnic (D.140) a (D.141)). Křivka hustoty je na rozdíl od
předchozích schématů stabilní a ostrá, malý sklon čela vlny je dán hustotou výpočetní sítě (vzdáleností
sousedních prostorových bodů). Tvar vlny lze korigovat přidáním střihové tzv. Navier-Stokesovy
viskozity nebo objemové, tj. v praktických výpočtech používané tzv. numerické viskozity (viz například,
LeVeque, 2002, a další).
konečných objemů (finite volume method - viz např. LeVeque (2002)). Vícerozměrná podoba
rovnice (D.141) (počítaná v souřadnicovém směru j, index k zde symbolizuje všechny
ostatní souřadnicové směry, v závislosti na dimenzi výpočetní sítě) by tedy vypadala:
fB, n+1
j,k = fB, n
j,k −
∆t
V B
j,k
I A, n+a
j+1,k uA, n+a
j+1,k SA
j+1,k − I A, n+a
j,k uA, n+a
j,k SA
j,k , (D.142)
kde veličina V B
j,k znamená objem jedné tzv. buňky výpočetní sítě (grid cell), středovaný
na síti B, veličina SA
j,k znamená potom plochu této buňky (nacházející se na síti A),
přes niž prochází tok veličiny f ve směru j (viz odstavce B.1.2, B.2.2, B.3.2, B.7.2, popisující
vztahy mezi těmito veličinami v různých souřadnicových soustavách - viz také
obrázek D.12). Pokud bychom modelovali transportní rovnici (D.109) pro vektorovou veličinu,
bude postup zcela obdobný, pouze namísto ze sítě B budeme vycházet ze sítě A,
prediktorový krok transportuje tuto veličinu na síť B a následný korektorový krok opět
na síť A.
• Stejná rovnice (D.118), modelovaná uvedenou metodou prediktor-korektor je uvedená
na obrázku D.13. Courantovo číslo cfl = 0.5.
• Mimořádnou pozornost je třeba věnovat volbě a zápisu okrajových podmínek (viz příslušné
zóny výpočetní sítě na obrázku D.11). Mezi jejich základní typy patří:
– fixní (vtokové) okrajové podmínky, kdy hodnoty v b a g zónách jsou zadány v počátečních
podmínkách (počáteční funkci) a dále se nemění.
– volné (výtokové) okrajové podmínky, kdy hodnoty v b a g zónách se v každém časovém
kroku rovnají hodnotě v první nejbližší výpočetní zóně (zde je vhodné nějakým
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 276
způsobem pojistit, aby skalární stavové veličiny zde byly vždy nezáporné, případně
nenulové).
– periodické okrajové podmínky, kdy hodnoty v zóně 1 se v každém časovém kroku
rovnají hodnotám v zóně nj +1, hodnoty v zóně 2 hodnotám v zóně nj +2, hodnoty
v zóně 3 (na červené síti) hodnotám v zóně nj + 3 a naopak, hodnoty v zóně nj + 4
hodnotám v zóně 4 a hodnoty v zóně nj + 5 hodnotám v zóně 5. Hodnoty v zónách
3 a nj +3 na černé síti se počítají zvlášť z hydrodynamických rovnic (totéž platí pro
další směry).
– reflexní (pevná zeď) okrajové podmínky, kdy skalární veličiny q a složky vektorových
veličin, které jsou paralelní s daným okrajem, jsou počítány jako q(1) = q(4), q(2) =
q(3), q(nj +3) = q(nj +2) a q(nj +4) = q(nj +1). Složky vektorových veličin, které
jsou kolmé k danému okraji jsou zde počítány jako q(1) = −q(5), q(2) = −q(4),
q(3) = 0, q(nj + 3) = 0, q(nj + 4) = −q(nj + 2), q(nj + 5) = −q(nj + 1). Totéž platí
pro další směry.
• Numerické schéma, uvedené v tomto odstavci, není zdaleka jediné možné, představuje
pouze ukázku tzv. po částech lineární metody (Piecewise Linear Method), kdy numerické
diference jsou prokládány úsečkami. Je možné použít i přesnější tzv. po částech parabolickou
metodu (Piecewise Parabolic Method - PPM, viz např. Colella & Woodward (1984)),
nevýhodou je ovšem zcela zákonitě vyšší výpočetní náročnost, tj. nároky na výkon počítačů,
atd. Kromě toho existuje celá řada jiných metod, založená na jiných principech
numerického derivování, jiných typech prostorových sítí (například tzv. adaptivní sítě,
které se v průběhu času samy mění), nebo k výpočtům vůbec prostorové sítě nevyužívají
- např. tzv. SPH metoda (Smooth Particle Hydrodynamics), atd.
D.5.9 Příklady modelování reálných fyzikálních procesů
Riemannova-Sodova rázová trubice:
Základní testovací úloha pro většinu numerických kódů se snadno ověřitelnými výsledky. Jedná
se o uzavřenou trubici, respektive box, rozdělený na dvě části pevnou přepážkou, nazývanou též
diafragma ( latinský název pro bránici), kde obě oddělení jsou naplněné plynem s rozdílnými
hustotami a tlaky. Náhle přepážka zmizí což vyvolá pohyb plynu předcházený rázovou vlnou
šířící se kolmo k rovině původní přepážky ve směru řidšího plynu. Obrázek D.14 ukazuje snímek
průběhu hustoty, kdy počáteční stav plynu (kde index L označuje levou stranu trubice s vyšší
počáteční hustotou a tlakem ,index R označuje pravou stranu trubice s nižší počáteční hustotou
a tlakem) je zvolen následovně: ρL = 1.0, ρR = 0.125, PL = 1.0, PR = 0.1, γ = 5/3 kde ρ je
hustota, P je tlak a γ je adiabatická konstanta. Obrázek D.15 ukazuje obdobnou testovací úlohu s
počátečními průběhy veličin proměnnými v obou směrech x, y, s následujícími parametry: ρL =
e−y2
, ρR = 0.125 e−y2
, PL = e−y2
, PR = 0.1 e−y2
, γ = 5/3. Profily hustoty a tlaku v příčném
směru y jsou tedy „Gaussovské“. V tomto modelu je ještě přidána „porucha“, způsobená malou
počáteční složkou rychlosti Vy = 0.05.
Kelvinova-Helmholtzova nestabilita
Dalším oblíbeným testovacím problémem je modelování Kelvinovy-Helmholtzovy nestability
(viz např. Chandrasekhar, 1961, viz také obrázek D.16). Pravoúhlá oblast (box) je naplněná
plynem se dvěma opačně směřujícími toky, oddělenými lineární pomyslnou diskontinuitou. Okrajové
podmínky jsou periodické na čelních okrajích toků, tj. v obrázku D.16 na stranách se sou-
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 277
t = 0.28
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x -1
-0.5
0
0.5
1
y
0
0.5
1
1.5
2
ρ
Obrázek D.14: Výsledek simulace hustoty ρ v Riemannově-Sodově rázové trubici v případě neviskózního
toku v čase t = 0.28 (v jednotkách odpovídajících popisu v odstavci D.5.9). Počáteční stav plynu je
statický a je fixován pevnou přepážkou (nazývanou také diafragma), situovanou v 1/3 délky trubice.
Hodnoty hustoty ρ a tlaku P na levé straně přepážky jsou ρL = 1.0, PL = 1.0, hodnoty na pravé straně
přepážky jsou ρR = 0.125, PR = 0.1. Celková délka × šířka trubice (boxu) je 4.0 × 2.0 v libovolných
jednotkách a je zde použita výpočetní síť s počtem 300×100 zón, okrajové podmínky jsou „pevné stěny“.
Tři charakteristické „schody“ v hustotě jsou (zprava doleva) vlastní rázová vlna (jejíž rychlost šíření
může až čtyřikrát převyšovat skutečnou rychlost pohybujícího se plynu), dále tzv. kontaktní nespojitost,
což je místo původní přepážky, šířící se vlastní rychlostí pohybujícího se plynu a konečně tzv. zřeďující
vlna, šířící se opačným směrem (viz grafy stejné testovací úlohy například v Stone & Norman, 1992).
t = 5.32
ρ
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x
-1
-0.5
0
0.5
1
y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Obrázek D.15: Barevný graf průběhu hustoty ve stejné Riemannově-Sodově rázové trubici v čase t = 5.32,
s přidanou malou počáteční y-ovou složkou rychlosti, Vy = 0.05. Tato „porucha“ způsobí určitou příčnou
deformaci toku kde jsou rovněž viditelné Kelvinovy-Helmholtzovy a Rayleigh-Taylorovy nestability.
řadnicemi x = 0 a x = 1, zatímco na zbývajících dvou stranách jsou zvoleny opět jako „pevné
stěny“. Počáteční podmínky k úloze jsou převzaty z parametrů, uvedených v instrukcích ke kódu
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 278
t = 18.0
ρ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1y
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Obrázek D.16: Barevný graf průběhu hustoty v Kelvinově-Helmholtzově nestabilitě (viz odstavec D.5.9).
Snímek ukazuje tok v pokročilém čase, kdy je nestabilita již zcela nelineární, tj. s plně rozvinutými
turbulencemi.
ATHENA (Stone et al., 2008; Springel, 2013): pro y > 0.5 je podélná rychlost toku Vx,1 = 0.3 a
hustota plynu ρ1 = 1, pro y ≤ 0.5 je podélná rychlost toku Vx,2 = −0.3 a hustota plynu ρ2 = 2.
Počáteční tlak P = 1.0 v celé výpočetní oblasti a adiabatický exponent γ = 5/3. Abychom
se vyhnuli naprosto ostrému rozhraní mezi oběma toky, definujeme přechodovou oblast která
propojí oba toky, popsanou rovnicemi (Springel, 2013):
ρ(x, y) = ρ1 + (ρ2 − ρ1) 1 + e
y−0.5
σ
−1
, (D.143)
která charakterizuje počáteční poruchu hustoty ve směru y, podobně
Vx(x, y) = Vx,1 + (Vx,2 − Vx,1) 1 + e
y−0.5
σ
−1
, (D.144)
která charakterizuje počáteční poruchu x-ové složky rychlostního pole ve směru y, kde střední
kvadratická odchylka rychlosti σ = 0.01. Do těchto počátečních podmínek vložíme periodickou
poruchu y-ové složky rychlosti ve tvaru
Vy(x, y) = A cos(kx) e−k |y−0.5|
, (D.145)
s vlnovým číslem k = 2×(2π/L) a amplitudou poruchy A = 0.05. Význam tohoto testu spočívá
také ve snadném ověření linearity nárůstu poruchy v rané fázi průběhu úlohy, zatímco později je
průběh vývoje poruchy zjevně nelineární, což vylučuje provedení analytických kvantitativních
výpočtů. Navíc, „ostrost“ rozhraní mezi oběma protisměrnými toky může sloužit jako indikátor
tzv. numerické difúzivity (tj. stabilizace algoritmu advekčního schématu pomocí druhých
derivací toku) výpočetního schématu (Stone et al., 2008).
D.6 Paralelizace výpočetních algoritmů
Pro urychlení a často dokonce i pro samotné umožnění výpočtu velmi rozsáhlých (jednorozměrných
nebo vícerozměrných) algoritmů (kódů) je nezbytné tyto algoritmy paralelizovat, tj.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 279
rozdělit je na více oddílů (procesů) souběžně (paralelně) počítatelných na odpovídajícím počtu
strojových procesorů. Principem paralelizace je tedy rozdělit celkovou prostorovou výpočetní
oblast (viz například obrázek D.11) na množství separátních výpočetních oblastí, ranků (ranks).
Tyto ranky lze, v závislosti na povaze problému, počítat buď zcela samostatně, nebo, pokud
je nutná vzájemná „komunikace“ na styku těchto ranků (například při hydrodynamických výpočtech,
kde je nutná návaznost na okrajové podmínky na hranicích celé výpočetní oblasti,
jsou na hranicích ranků předávány informace o hodnotách výpočtů v sousedním ranku). Tato
„meziranková komunikace“ přitom nepůsobí žádné zásadní zpomalení výpočtu.
Existuje řada specializovaných knihoven pro tvorbu paralelních algoritmů, asi nejrozšířenější
z nich je knihovna MPI (Message-Passing Interface), včetně několika podtypů, vytvořená
skupinou výzkumných a vývojových pracovníků z akademické a průmyslové sféry pro široké
využití na paralelně řazených počítačích. Oficiální zdroj knihovny včetně programovacích manuálů
je na webové stránce http://www.mpi-forum.org/, pro úvodní seznámení se s knihovnou
i s technikami paralelního programování doporučuji skripta Lísal (2007), pro podrobnější studium
manuál Pacheco (1998). Knihovna je naprogramována pro přesun dat z jednoho procesu
do jiného procesu pomocí kooperativních operací v každém procesu (tzv. point-to-point komunikace
mezi dvěma procesy). Hlavním smyslem používání metod paralelního programování je
významné urychlení výpočtů jak v případě zcela samostatně pracujících ranků, tak v případech,
kdy je nutná vzájemná hraniční „send and receive“ komunikace. Často je výpočet na jednom
procesoru dokonce neproveditelný, v případě, že binární soubor indikuje neúměrně rozsáhlý výpočetní
proces, nelze zdrojový soubor vůbec zkompilovat. Knihovna MPI je vyvinutá pro různé
programovací jazyky, jako jsou Fortran, C, C++, Python a Java, mohou zde být ovšem velké
dílčí rozdíly v organizaci výpočtu (například rozdílné pořadí zahrnování prostorových buněk
při dvourozměrném paralelním výpočtu v případě jazyka Fortran, kdy výpočet „běží“ v rámci
každého ranku nejprve ve „vertikálním“ směru, zatímco v případě jazyka C výpočet „běží“ vždy
nejprve „horizontálně“). Protože se v současnosti jedná již o velmi rozsáhlou a specializovanou
disciplínu, nebudeme zde detailněji popisovat techniky paralelního programování.
V rámci počítačových volně vázaných seskupení (počítačových clusterů), pracujících v České
republice, lze standardně docílit současné zapojení až několik stovek procesů. Dostupnými a
výkonnými počítačovými clustery například jsou:
• METACENTRUM, což je virtuální organizace, která řídí a distribuuje výpočetní infrastrukturu
spolupracujících akademických a univerzitních center. Výpočetní a paměťová
zařízení jsou spravována v rámci projektu „Czech National Grid Infrastructure“,
který je součástí projektu „Projects of Large Infrastructure for Research, Development,
and Innovations“ (LM2010005). Součástí počítačového clusteru METACENTRUM jsou:
výpočetní centrum Masarykovy univerzity v Brně (centrum CERIT-SC, Loschmidt Laboratories
- pracoviště Ústavu experimentální biologie PřF MU a NCBR - Národní centrum
pro výzkum biomolekul, PřF MU), výpočetní centrum Západočeské univerzity v Plzni
(KIV - Katedra informatiky a výpočetní techniky FAV ZČU, KMA a KKY - Katedra
matematiky a Katedra kybernetiky FAV ZČU), výpočetní centrum Jihočeské univerzity
v Českých Budějovicích (Přírodovědecká fakulta JU), výpočetní centrum Akademie věd
ČR, výpočetní centrum Katedry telekomunikační techniky FEL ČVUT v Praze, atd., zastřešující
organizací je e-infrastruktura pro vědu, výzkum a vzdělávání CESNET z.s.p.o.
Celkové parametry a výkon clusteru převyšují 10 000 CPU počítačových jader (desítky
TB operační paměti RAM) a s paměťovou kapacitou cca 1 PB (1 063 TB) pro operační
data a cca 19 PB (19 000 TB) prostoru pro ukládání dat. Oficiální webovou stránkou je
http://metavo.metacentrum.cz/.
Příloha D. Praktické základy numerických výpočtů ⋆ 280
• Počítačový cluster ANSELM (národní superpočítačové centrum, VŠB - Technická univerzita
Ostrava), který sestává z celkem 3 344 počítačových jader CPU (15 TB operační
paměti RAM). Oficiální webovou stránkou je http://www.it4i.cz/
• V současnosti je již k dispozici uživatelům nový počítačový cluster SALOMON (národní
superpočítačové centrum, VŠB - Technická univerzita Ostrava), který je dle žebříčku TOP
500 oficiálně 40. nejvýkonnějším superpočítačem na světě! Současné parametry: 24 192 jader
CPU Intel Xeon (Haswell-EP), 129 TB operační paměti RAM, 52 704 jader akceleračních
koprocesorů Intel Xeon Phi s 13,8 TB RAM, 2 PFLOP/s maximální výpočetní výkon,
2 PB diskové kapacity a 3 PB zálohovací páskové kapacity. Oficiální webovou stránkou je
http://www.it4i.cz/.
Reference
Abramowitz, M., & Stegun, I. A. 1972, Handbook of Mathematical Functions
Anderson, E., Bai, Z., Bischof, C., et al. 1999, LAPACK Users’ Guide, 3rd edn. (Philadelphia,
PA: Society for Industrial and Applied Mathematics)
Arfken, G. B., & Weber, H. J. 2005, Mathematical methods for physicists 6th ed.
Arsenin, V. J. 1977, Matematická fyzika, https://vufind.lib.cas.cz/Record/000065882
Bartsch, H.-J. 2008, Matematické vzorce, http://www.academia.cz/matematicke-vzorce.
html
Bracewell, R. N. 2000, The Fourier transform and its applications
Butcher, J. C. 2008, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations
Čermák, L., & Hlavička, R. 2006, Numerické metody
Chandrasekhar, S. 1961, Hydrodynamic and hydromagnetic stability
Colella, P., & Woodward, P. R. 1984, Journal of Computational Physics, 54, 174
Dormand, J. R., & Prince, P. J. 1980, Elsevier: Journal of Computational and Applied Mathematics,
6, 19
Děmidovič, B. P. 2003, Sbírka a cvičení z matematické analýzy, http://www.databazeknih.
cz/knihy/sbirka-a-cviceni-z-matematicke-analyzy-243708
Franců, J. 2011, Parciální diferenciální rovnice, skriptum, FSI VUT Brno
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. 2001, Fyzika
Huber, P. J., & Ronchetti, E. M. 2009, Robust Statistics, 2nd ed., http://eu.wiley.com/
WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470129905.html
Humlíček, J. 2009, Základní metody numerické matematiky, skriptum, MU Brno
Jarník, V. 1974, Diferenciální počet I, II
—. 1984, Integrální počet I, II
Jefgafrov, M. A., Bežanov, K. A., Sidorov, J. V., Fedorjuk, M. V., & Šabunin, M. I. 1976, Sbírka
úloh z teorie funkcí komplexní proměnné
Kvasnica, J. 2004, Matematický aparát fyziky, Academia, AV ČR, Praha, 2nd edn.
281
Reference 282
Lísal, M. 2007, Paralelní programování s aplikacemi, skriptum, UJEP Ústí nad Labem, http:
//physics.ujep.cz/~mlisal/par_progrm/pprg_esf-web.pdf
Lenc, M. 2001, Poznámky k přednášce Elektrodynamika a teorie relativity, skriptum MU Brno
LeVeque, R. J. 2002, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, 1st edn.
Musilová, J., & Musilová, P. 2006, MATEMATIKA I pro porozumění i praxi
Pánek, P. 2001, Úvod do fyzikálních měření, skriptum, MU Brno
Pacheco, P. S. 1998, A User’s Guide to MPI, http://www.sdsc.edu/~allans/cs260/docs/
MPIusersguide.pdf
Plch, R. 2002, Příklady z matematické analýzy, diferenciální rovnice, skriptum, MU Brno
Plch, R., Šarmanová, P., & Sojka, P. 2012, Integrální počet funkcí více proměnných, http:
//www.math.muni.cz/~plch/main/maple/sbirka/f.pdf
Pospíšíl, Z. 2006, Rovnice matematické fyziky, skriptum, MU Brno
Proskuryakov, I. V. 1978, Problems in linear algebra. Translated from the Russian by George
Yankovsky. Revised from the 1974 Russ. ed., https://zbmath.org/?q=an:0394.15002
Přikryl, P. 1985, Numerické metody matematické analýzy
Ráb, M. 1989, Metody řešení diferenciálních rovnic. I, Obyčejné diferenciální rovnice. 1. vyd.
Rektorys, K. a. k. 2009, Přehled užité matematiky I.,II., http://knihy.abz.cz/prodej/
prehled-uzite-matematiky-i
Springel, V. 2013, Lectures on high-performance computing and numerical modeling,
http://obswww.unige.ch/lastro/conferences/sf2013/hands-on-2.pdf
Stone, J. M., Gardiner, T. A., Teuben, P., Hawley, J. F., & Simon, J. B. 2008, ApJS, 178, 137
Stone, J. M., & Norman, M. L. 1992, ApJS, 80, 753
Tenenbaum, M., & Pollard, H. 1985, Ordinary differential equations
Thompson, M. J. 2006, An introduction to astrophysical fluid dynamics
van Leer, B. 1977, Journal of Computational Physics, 23, 276
van Leer, B. 1982, in Lecture Notes in Physics, Berlin Springer Verlag, Vol. 170, Numerical
Methods in Fluid Dynamics, ed. E. Krause, 507–512
Vitásek, E. 1987, Numerické metody
Young, E. C. 1993, Vector and tensor analysis, 2nd ed., http://searchworks.stanford.edu/
view/2470130
Zemánek, P., & Hasil, P. 2012, Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I, https:
//is.muni.cz/elportal/?id=980552
http://physics.muni.cz/~czudkova/PRIKLADYZ.pdf
Reference 283
http://physics.muni.cz/~chm/priklady.pdf
http://physics.muni.cz/~mikulas/zvc.html
http://www.sagemath.org/
http://www.salford.ac.uk/
http://www.wolframalpha.com/