\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \N{\mathbb N}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  4. cvičení z M1110, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip

Aby studenti mohli snadno řešit 2. domácí úlohu, je potřeba minimálně udělat příklady 2, 3(a) včetně nalezení generátorů a příklady 4(a),(b).


\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Ukažte, že následující množiny lze opatřit vhodnou operací sčítání a násobení skalárem tak, aby se s těmito operacemi staly vektorovými prostory nad $\R$ nebo $\C$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Množina $\R[x]$ všech polynomů s reálnými koeficienty. 
\item[(b)] Množina $\C[x]$ všech polynomů s komplexními koeficienty.
\item[(c)] Množina $\operatorname{Mat}_{k\times n}(\R)$ matic tvaru $k\times n$ s reálnými čísly.
 \item[(d)] Množina $\{f:\N\to \R\}$ všech posloupností reálných čísel.
 \item[(e)] Množina  $\{f:M\to \C\}$ všech zobrazení nějaké neprázdné množiny $M$ do komplexních čísel.
\end{enumerate}
\end{zad}


\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } Ukažte, že množina $U=\R^3$ s operacemi
$$(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),\quad a\odot(x_2,x_2,x_3)=
(ax_1,x_2,x_3)$$
není vektorový prostor. Zjistěte, které axiomy vektorového prostoru jsou splněny a které nikoliv.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
 Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorových prostorů s operacemi stejnými jako na vektorovém prostoru jsou vektorové podprostory.
\begin{enumerate}
\item[(a)] $U=\{f\in\R_3[x]|\ f(3)=0, \ f(-1)=0\}\subset \R_3[x]$,
\item[(b)] $V=\{A\in \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)|\ a_{11}+a_{22}=1\}\subset \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)$,
\item[(c)] $Z=\{f:\N\to\R|\ f(n+1)=f(n)+f(n-1)\}\subset \{f:\N\to\R\}$.
\end{enumerate}
Pokud zjistíte, že jde o vektorový podprostor, najděte v něm konečnou množinu vektorů takovou, že všechny že všechny další vektory podprostoru jsou jejich lineární kombinací. Takové vektory se nazývají generátory vektorového podprostoru.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorového podprostoru
$\R^{\R}$ všech funkcí z $\R$ do $\R$ jsou vektorové podprostory.
\begin{enumerate}
\item[(a)] $U=\{f\in\R^{\R}|\ \forall x\in\R:\  f(|x|)=0\}$,
\item[(b)] $V=\{f\in\R^{\R}|\ \forall c\in\Z:\  f(c)\cdot f(-c)=0\}$,
\item[(c)] $W=\{f\in\R^{\R}|\ \forall s,t\in\R:\  s\le t \Rightarrow f(s)\ge  f(t)\}$,
\item[(d)] $X=\{f\in\R^{\R}|\ \exists n\in\N\ \forall x\in\R:\  |f(x)|\le n|x|\}$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Uvažujme v  $\R^5$ vektory $v_1=(1,2,1,0,1)$, $v_2=(2,-1,0,1,1)$, $v_3=(1,-3,-1,1,0)$ a $u=(1,7,3,-1,2)$. Zjistěte, zda vektor $u$ leží v lineárním obalu $[v_1,v_2,v_3]$.
\end{zad}


\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
V  prostoru $\R_3[x]$ zjistěte, zda polynom $1+3x+5x^2+10x^3$ leží v lineárním obalu
$$[1+x+2x^2-x^3, 1+2x+x^3, 1+x+3x^2-x^3, 2+2x+4x^2+5x^3].$$
Pokud ano, napište ho jako konkrétní lineární kombinaci daných polynomů.
 \end{zad}

\begin{res} $(-10,2,7,1)$
\end{res}


\end{document}

