\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\id{\operatorname{id}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  10. cvičení z M1110, podzim 2022}
\end{center}
\bigskip


%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Najděte matici  přechodu $(\id)_{\beta,\alpha}$ mezi bázemi 
$\alpha=(x^2+x+1, x+2,x^2-x)$  a $\beta=(x^2+2,x^2-x-1,x+1)$ prostoru $\R_3[x]$.

Spočtěte ji prvně přímo z definice a potom pomocí matic přechodu $(\id)_{\varepsilon,\alpha}$ a $(\id)_{\varepsilon,\beta}$, kde $\varepsilon=(x^2,x, 1)$. 

Uvědomte si na tomto příkladě, že s maticemi přechodu se počítá jinak s bázemi a jinak se souřadnicemi. S bázemi zapisovanými do řádku takto:
$$\alpha=\beta(\id)_{\beta,\alpha},$$
ale se souřadnicemi vektorů takto:
$$(u)_\beta=(\id)_{\beta,\alpha}(u)_\beta.$$
Napište analogické vztahy pro matice obecných lineárních zobrazení.
\end{zad}


\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Na minulém cvičení v příkladu 4 jsme hledali matici  lineárního zobrazení $\varphi:\R^3\to \R^2$ zadaného předpisem 
$$\varphi(x)=\begin{pmatrix}
1&2&3\\2&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$
v bázích $\alpha=((1,0,1)^T, (1,1,2)^T,(1,-1,2)^T)$ a $\beta=((1,2)^T,(2,3)^T)$.
Tentokrát ji spočítejte pomocí ``vzorečku'' s maticemi přechodu, kde se vyskytují standardní báze $\R^3$ a $\R^2$. 
\end{zad}


\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Najděte předpis  pro složené zobrazení $\psi\circ\varphi:\R^3\to \R^3$ 
$$(\psi\circ\varphi)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$
dvou lineárních zobrazení 
$\varphi:\R^3\to \R^2$ a $\psi:\R^2\to\R^3$ zadaných na vektorech bází takto:
 \begin{gather*}
\varphi(1,0,1)=(4,1), \ \varphi(1,1,2)=(9,1),\ \varphi(1,-1,2)=(5,3)\\
\psi(1,2)=(4,3,11), \ \psi(2,3)=(7,4,18).
\end{gather*}
Uměli byste bez počítání zjistit, zda je složené zobrazení lineární izomorfismus?
\end{zad}

\begin{res}
$A=\begin{pmatrix} 2&3&7\\-1&-4&-1\\3&2&13
\end{pmatrix}$
\end{res}

 \bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
 Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
2&-1&0&3\\
1&0&-2&0\\
-1&1 &2&1\\
-3&-2&1&1
\end{pmatrix}$$
 \end{zad}


\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
 Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
1&a&a^2\\
1&b&b^2\\
1&c &c^2
\end{pmatrix}$$
 \end{zad}
 

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Vypočtěte determinant matice
$$\begin{pmatrix}
x&x&x&\dots&x&x\\
y&x&x&\dots&x&x\\
y&y &x&\dots&x&x\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
y&y&y&\dots&y&x\\
\end{pmatrix}.
$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } 
Vypočtěte determinant matice
$$\begin{pmatrix}
x+a_1&a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
a_1&x+a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
a_1&a_2&x+a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
a_1&a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&x+a_n\\
\end{pmatrix}.
$$
\end{zad}



\end{document}

