\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\id{\operatorname{id}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  11. cvičení z M1110, podzim 2022}
\end{center}


\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
 Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
2&-1&0&3\\
1&0&-2&0\\
-1&1 &2&1\\
-3&-2&1&1
\end{pmatrix}$$
 \end{zad}


\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
 Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
1&a&a^2\\
1&b&b^2\\
1&c &c^2
\end{pmatrix}$$
 \end{zad}
 

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Vypočtěte determinant matice
$$\begin{pmatrix}
x&x&x&\dots&x&x\\
y&x&x&\dots&x&x\\
y&y &x&\dots&x&x\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
y&y&y&\dots&y&x\\
\end{pmatrix}.
$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Vypočtěte determinant matice
$$\begin{pmatrix}
x+a_1&a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
a_1&x+a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
a_1&a_2&x+a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
a_1&a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&x+a_n\\
\end{pmatrix}.
$$
\end{zad}

\begin{navod} K 1. sloupci přičtěte další sloupce a pak od řádků 2, 3, až $n$ odečtěte 1. řádek.
\end{navod}


\bigskip


%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Vypočtěte determinant 
$$D(a_1, a_2,\dots,a_n)=\det \begin{pmatrix}
a_1+x&x&x&\dots&x&x\\
x&a_2+x&x&\dots&x&x\\
x&x &a_3+x&\dots&x&x\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
x&x&x&\dots&x&a_n+x\\
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{navod} Pomocí řádkových úprav a Laplaceova rozvoje lze odvodit rekurentní vztah mezi $D(a_1,a_2.\dots, a_n)$ a $D(a_2, a_3, \dots, a_n)$.
\end{navod}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } 
Vypočtěte determinant 
$$D_n=\det \begin{pmatrix}
a+1&a&0&\dots&0&0\\
1&a+1&a&\dots&0&0\\
0&1 &a+1&\dots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\dots&a+1&a\\
0&0&0&\dots&1&a+1\\
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{navod} Pomocí Laplaceova rozvoje lze odvodit rekurentní vztah.
\end{navod}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } Vypočtěte determinant matice $2n\times 2n$
$$D_{2n}=\det \begin{pmatrix}
a&0&0&\dots&\dots&0&0&b\\
0&a&0&\dots&\dots&0&b&0\\
0&0 &a&\dots&\dots&b&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\dotsi&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&\dots&a&b&\dots&0&0\\
0&0&\dots&c&d&\dots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\dotsi&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0 &c&\dots&\dots&d&0&0\\
0&c&0&\dots&\dots&0&d&0\\
c&0&0&\dots&\dots&0&0&d\\
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{navod} Pomocí Laplaceova rozvoje lze odvodit rekurentní vztah.
\end{navod}


 \bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ }
Vypočtěte determinant matice $n\times n$ 
$$D_n=\det \begin{pmatrix}
x+2y&x&x&\dots&x&x-y\\
x-y&x+2y&x&\dots&x&x\\
x&x-y &x+2y&\dots&x&x\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
x&x&x&\dots&x+2y&x\\
x&x&x&\dots&x-y&x+2y\\
\end{pmatrix}.$$


 \end{zad}


\bigskip
%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.}
Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici
$$A=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&3&1\\
3&1&2\\
\end{pmatrix}.$$
 \end{zad}

\end{document}

\bigskip
%příklad 10
\begin{zad}{\bf 10.\ } 
Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici tvaru $n\times n$
$$\begin{pmatrix}
1&x&0&0&\dots&0&0\\
0&1&x&0&\dots&0&0\\
0&0 &1&x&\dots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\dots&1&x\\
0&0&0&0&\dots&0&1\\
\end{pmatrix}.$$

\end{zad}

\bigskip
%příklad 11
\begin{zad}{\bf 11.\ }  Vypočtěte determinant matice $n\times n $:
$$\det \begin{pmatrix}
1&2&3&\dots&n-2&n-1&n\\
n&1&2&\dots&n-3&n-2&n-1\\
n-1&n &1&\dots&n-4&n-3&n-2\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots&\vdots\\
4&5 &6&\dots&1&2&3\\
3&4&5&\dots&n&1&2\\
2&3&4&\dots&n-1&n&1\\
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{res} $(-1)^{n-1}\frac{1}{2}n^{n-1}(n+1)$
\end{res}


\end{document}

