\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}




\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  1. cvičení z M1110 -- opakování, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
V rovině jsou dány body $A=[-3+\sqrt 3, -1+2\sqrt 3]$, $B=[3,-4]$, vektor $\vec{v}=(6,-3)$
a přímka $p:\ y-2x+7=0$. 
\begin{enumerate}
\item[a)] Určete parametrický a obecný popis přímky procházející  body $A$ a $B$.
\item[b)] Určete přímku $r$, která je rovnoběžná s přímkou $p$ a prochází bodem $A$.
\item[c)] Určete přímku $q$ určenou bodem $B$ a vektorem $\vec v$.
\item[d)] Spočítejte průsečík přímek $q$ a $r$ (pokud existuje).
\end{enumerate}
\end{zad}

\begin{res} 
http://www.math.muni.cz/~xfrancirekp/vyuka/seste$\_$cviceni/seste$\_$cviceni.pdf
\end{res}


\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Napište předpis pro zobrazení roviny do roviny, které je
\begin{enumerate}
\item[a)] posunutí o vektor $\vect{(2,3)}$, 
\item[b)] stejnolehlost se středem $P=[0,0]$ a koeficientem $3$,
\item[c)] stejnolehlost se středem $S=[2,5]$ a koeficientem $-\frac12$,
\item[d)] reflexe podle podle osy $x$,
\item[e)] reflexe podle přímky $x-y=0$,
\item[f)] reflexe podle přímky $x-y+3=0$,
\item[g)*] otočení o úhel $\alpha$ kolem počátku $P=[0,0]$,
\item[h)*] otočení o úhel $\pi/3$ kolem bodu $S=[2,-7]$.
\end{enumerate}
\end{zad}
\navod{g) Bod o souřadnicích $x=r\cos\beta$, $y=r\sin\beta$ se otočí do bodu o souřadnicích $[r\cos(\beta+\alpha), r\sin(\beta+\alpha)]$.


\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
V prostoru je dána rovina $\rho$ pomocí parametrického popisu s parametry $k,s\in\R$:  
$$ x=1-2k-2s,\quad   y=2+3k-2s,\quad  z=1-k+4s.$$
Napište její popis pomocí rovnice pro $x$, $y$ a $z$.
\end{zad}

\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Přímka $p$ má parametrický popis s parametrem $t\in\R$
$$ x=2+2t,\quad   y=-1-t,\quad z=5.$$
Najděte rovnici roviny $\rho$, která je kolmá k přímce $p$ a prochází bodem $M=[2,0,-3]$.
\end{zad}

\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Napište rovnici roviny $\sigma$, víte-li, že v rovině leží body $A=[3,4,5]$, $B=[-2,1,0]$ a že rovina $\sigma$ je rovnoběžná s osou $y$.
\end{zad}

\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Vyšetřete vzájemnou polohu roviny $\rho: x-2y-3z+5=0$ a přímky $p$:
$$x=2s,\quad y=4+s,\quad z=-1.$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Vyšetřete vzájemnou polohu roviny $\sigma$ 
$$x=1+s+2r,\quad y=3s+3r,\quad z=1-s-3r.$$
a přímky $q$:
$$x=2+t,\quad y=3t,\quad z=1-t.$$
\end{zad}


\end{document}