\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z M1110 -- lineární nezávislost a báze, podzim 2023}
\end{center}


\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }  Zopakujte si defini lineární nezávislosti vektorů. Podle definice zjistěte nejdříve v $\R^2$ a potom v libovolné prostoru zjistěte:
\begin{enumerate}
\item[(a)] Kdy jsou lineárně nezávislé dva vektory. Co to znamená geometricky?
\item[(b)] Kdy je lineárně nezávislý jeden vektor?
\item[(c)] Co gemetricky znamená, že jsou tři vektory lineárně závislé a co znamená, že jsou nezávislé.
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }  Zjistěte, zda jsou vektory $v_1=(1,-1,0,2)$, $v_2=(2,2,-1,3)$, $v_3=(0,1,1,0)$ a $v_4=(3,2,0,5)$ ve vektorovém prostoru $\R^4$ lineárně závislé nebo nezávislé.
\end{zad}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } Zjistěte, zda jsou polynomy $x^2+x+1$, $2x^2+2$, $x^2-x$  ve vektorovém prostoru $\R_2[x]$ lineárně závislé nebo nezávislé.
\end{zad}

\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4*.\ } Zjistěte, zda jsou následující funkce  ve vektorovém prostoru $\R^{\R}$ lineárně závislé nebo nezávislé:
\begin{enumerate}
\item $x^2$, $|x|$, $\sqrt{|x|}$,
\item $(\sqrt{x^2}+1)^2$, $(\sqrt{x^2}-1)^2$, $x^2+1$,
\item $\sin x, \cos x,\sin 2x$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
S použitím algoritmu z přednášky vyberte z vektorů $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5\in \R^4$ lineárně nezávislé se stejným lineárním obalem.
$$u_1=(1,2,3,-1),\ u_2=(-1,3,2,4),\ u_3=(1,1,4,-6),\ u_4=(3,5,10,-8),\ u_5=(1,1,1,1).$$ 
\end{zad}

\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Napište dvě různé báze vektorového prostoru $\operatorname{Mat}_{3x3}(\R)$ všech reálných matic tvaru $3\times 3$. Dále najděte báze podprostorů:
\begin{enumerate}
\item $U\subseteq \operatorname{Mat}_{3x3}(\R)$ všech symetrických matic,
\item $V\subseteq\operatorname{Mat}_{3x3}(\R)$ všech antisymetrických matic,
\item $W\subseteq\operatorname{Mat}_{3x3}(\R)$ všech matic s nulovou stopou.
\end{enumerate}
 \end{zad}

\medskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } 
Najděte bázi podprostoru $M\subseteq \R^5$ všech řešení homogenní soustavy rovnic.
  $$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
2x_1&-&3x_2&+&4x_3&- &x_4&+&x_5&=&0\\
x_1&+&2x_2&-&3x_3&+ &x_4&+&6x_5&=&0\\
-x_1&+&x_2&+&2x_3&- &3x_4&+&2x_5&=&0\\
\end{array}$$
a doplňte ji do báze celého prostoru $\R^5$.
\end{zad}



\medskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ }
Najděte báze podprostorů prostoru $\R_3[x]$:
\begin{enumerate}
\item $K=\{p\in \R_3[x]:\ p(-x)=-p(x),\ p(1)=0\}$,
\item $L=\{p\in \R_3[x]:\ p(x)-2xp'(x)=0\}$, kde $p'$ značí derivace polynomu $p$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.\ }
Dokažte z definice báze: Je-li $u_1,u_2.u_3.u_4$ báze prostoru $U$, pak $u_1+u_4, u_3,u_2+u_3+u_4, u_1+2u_3$ je rovněž báze prostoru $U$.
\end{zad}


\medskip
%příklad 10
\begin{zad}{\bf 10*.\ }
Nechť $U$ je vektorový prostor všech nekonečných posloupností reálných čísel. Ukažte, že jeho podprostor
$$F=\{(a_i)_{i=1}^{\infty}\in U:\ a_{n+1}=a_n+a_{n-1},\ n\ge2\}$$ 
má bázi tvořenou dvěma vektory. 

Dále se pokuste ukázat, že celý prostor nemá bázi tvořenou konečným seznamem vektorů.
\end{zad}










\end{document}

