\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\GL{\operatorname{GL}}
\def\PGL{\operatorname{PGL}}
\def\Af{\operatorname{A}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\P{\mathcal P}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  2. cvičení z M1110 -- projektivní prostory, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.\ }  Zopakujte si definici projektivního prostoru $\P(V)$ s aritmetickým základem $V$. Co jsou přímky v projektivním prostoru? 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ } Představme si dvourozměrný projektivní prostor $\P(\R^3)$ jako sféru $S^2$, kde ztotožníme protilehlé body. Jak si můžeme v tomto modelu představovat přímky? Jak je to s průniky přímek? Jak je to s průniky přímek ve třírozměrném projektivním prostoru?   
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ }  Dokažte, že lineární zobrazení zadávající kolineaci je určeno jednoznačně až na násobek. 
Odtud plyne, že grupa kolineací projektivního prostoru $\P_n$ je
$\PGL(n+1,\K)=\GL(n+1,\K)/\K^*$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ }   Popište konstrukci projektivního rozšířrní $\bar{\A_2}$ afinního prostoru $\A_2$. Co jsou vlastní a nevlastní body tohoto rozšířrní?
Pokuste se tuto kontrukci popsat pro obecný afinní prostor $\A$. To znamená, definujte pomocí $\A$ vektorový prostor $V$ s operacemi sčítání vektorů a násobení skalárem, v němž je  $\A$ nadrovinou neprocházející počátkem. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ } Popište vztah mezi injektivními afinními zobrazeními $\varphi: \A_n\to \A_k$ a kolineacemi $\psi:\P_n\to \P_k$ a ukažte, že grupa afinních transformací afinního prostoru $\A_n$ je 
$$\Af(n,\K)=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\
                                                                         b&A
\end{pmatrix}\in \GL(n+1,\K) \right\}.$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ }  Uvažujme parabolu $x_2=(x_1)^2$ ve dvourozměrném afinním prostoru. Co je její projektivní rozšíření? Spočtěte, kde se potkávají její ramena
$\{(1:x_1: x_1^2)\in \R^2, x_1\ge 0\}$ a  $\{(1:x_1:x_1^2)\in \R^2, x_1\le 0\}$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ }  Najděte kolineaci, která převádí dvojici přímek $p: x_1+x_2=1$, $q: x_1+x_2=0$ na dvojici přímek $r:y_1=1$, $s: y_2=0$. 
Ukažte, že tato kolineace nemůže být afinní transformací.
\end{zad}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 8.\ }  Najděte kolineaci, která převádí kružnici $x_1^2+x_2^2=1$ na parabolu $y_1+4y_2^2=0$. Ukažte, že tato kolineace nemůže být afinní transformace.
\end{zad}






\end{document}

