\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\P{\mathcal P}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  3. cvičení z M1110 -- kuželosečky a kvadriky, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.\ }   Co je kvadrika v reálném afinním prostoru $\A_n(\R)$? Co je kvadrika v reálném projektivním prostoru $\P(\R^{n+1})$? Co je rozšíření kvadriky
z afinního prostoru do jeho projektivního rozšíření? Demonstrujte rozšíření na příkladech kružnice a paraboly. U projektivních rozšíření kuželoseček v těchtom příkladech, najděte jejich nevlastní body.

 \end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Je-li kvadrika v projektivním prostoru zadána $Q=\{[x]\in \P(\R^{n+1}); f(x,x)=0\}$, kde $f$ je reálná symetrická forma na $\R^{n+1}$, pak její komplexní rozšíření je
$$Q^{\C}=\{[x]\in \P(\C^{n+1}); f(x,x)=0\}.$$
Důvodem, proč uvažujeme komplexní rozšíření kvadrik, je skutečnost, že komplexní rozšíření jsou na rozdíl od reálných kvadrik neprázdná. Uveďte nějaký příklad.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ } Z lineární algebry II víme, že každou reálnou symetrickou bilineární formu lze psát v souřadnicích vhodné báze pomocí pomocí součtu 
kvadrátů s koeficienty nejdříve $1$, pak $-1$ a nakonec $0$. Takovéto bilineární formy až na násobek dávají tzv. projektivní klasifikaci kvadrik. Napište rovnice pro
projektivní klasifikaci kuželoseček. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Ukažte, že platí: dvě komplexní rozšíření kuželoseček lze převést na sebe pomocí kolineace v $\P_2$, právě když mají stejnou klasifikační rovnici. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ }  Zopakujte si pojem polárně sdružených bodů kvadriky $Q=\sum_{i,j=0}^n a_{ij}x_ix_j=x^T Ax$ v $\P(\K^{n+1})$. Označení $[x]\pitchfork [y]$.
Ukažte, že pokud pro  $X_0\in Q$ je 
$$X_0^{\pitchfork}=\{Y\in \P(\K^{n+1}); X_0\pitchfork Y\}$$ 
nadrovinou, jde o tečnou nadrovinu kvadriky $Q$ v bodě $X_0$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ } Najděte tečny kuželosečky
$$2x_1^2-4x_1x_2+x_2^2-2x_1+6x_2-3=0$$
procházející bodem $[3,4]$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ }  Určete tečny kuželosečky
$$4x_1+2x_2-4x_1x_2-4=0$$
rovnoběžné se směrem vektoru $n=(1,2)$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 8.\ }   Určete kuželosečku procházející body $A_1=(0:1:1)$, $A_2=[0,1]$, $A_3=[1,0]$, $A_4=[1,-1]$, $A_5=[-1,1]$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 9.\ }  Střed kvadriky v afinním prostoru je bod projektivního rozšíření afinního prostoru, který je polárně sdružený se všemi nevlastními směry. Je-li
$Q=\{[x]\in \P(\R^{n+1}); x^T A x=0\}$, napište rovnice pro střed. Najděte vlastní nebo nevlastní střed kuželoseček:
\begin{enumerate}
\item  $x_1^2-4x_1x_2+x_2^2+8x_1+2x_2-1=0$. (vlastní střed $S=(1:2:3)$)
\item $x_1^2-4x_1+2x_2+5=0.$ (nevlastní střed $S=(0:0:1)$) 
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 10.\ }  Ukažte, že vlastní střed $S$ kvadriky $Q$ podle předchozí definice má geometrickou vlastnost středu, tj. je-li $S+v\in Q$, pak rovněž $S-v\in Q$
pro nějaký vektor $v$ ze zaměření afinního prostoru.
\end{zad}








\end{document}

