\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\P{\mathcal P}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  4. cvičení z M1110 - metrická klasifikace kvadrik, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.\ }  Najděte afinní soustavu souřadnic, v níž má následující kuželosečka kanonickou rovnici v metrické klasifikaci.
$$3x_1^2+10x_1x_2+3x_2^2-2x_1-14x_2-13=0.$$
\end{zad}

\begin{res} Vlastní číslo $\lambda_1=8$ s vlastním vektorem $u_1=\left (1/\sqrt 2, 1\right )$ a $\lambda_2=-2$ s vlastním vektorem $u_2=\left (1/\sqrt 2,-1/\sqrt 2\right )$. Střed 
$S=[2,-1]$, hyperbola s rovnicí $y_1^2-\frac{y_2^2}{4}=1$. 
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ }  Najděte kanonickou rovnici kuželosečky
$$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-4x_1-6x_2+3=0.$$
\end{zad}

\begin{res}  Vlastní číslo $\lambda_1=2$ s vlastním vektorem $u_1=\left (1/\sqrt 2, -1/\sqrt 2\right )$ a $\lambda_2=0$ s vlastním vektorem $u_2=\left (1/\sqrt 2,1/\sqrt 2\right )$. Nemá vlastní střed. Vrchol je $V=[1/40,21/40]$, parabola s rovnicí $2y_1^2-5\sqrt 2 y_2=0$. 
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ }   Najděte  kanonickou rovnici kvadriky
$$x_1^2-4x_2^2+6x_1x_3+x_3^2+4x_1+16x_2-4x_3-16=0.$$
\end{zad}

\begin{res}  $\lambda_1=4$, $u_1=\left (1/\sqrt 2, 0, 1/\sqrt 2\right )$ a $\lambda_{2}=-2$,$u_2=\left (1/\sqrt 2,0,-1/\sqrt 2\right )$, $\lambda_3=-4$, 
$u_3=(0,1,0)$. Střed je $S=[1,2,-1]$. Jednodílný hyperboloid  s rovnicí $-2y_1^2+4y_2^2-4y_3^2+4=0$. 
\end{res}



\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ }  Najděte  kanonickou rovnici kvadriky
$$5x_1^2+8x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-8x_1x_3+4x_2x_3+6x_1+6x_2+6x_3-27=0$$
\end{zad}

\begin{res} Nestředová. Vlastní čísla $\lambda_{1,2}=9$, $u_1=\frac{1}{\sqrt 5} (0,2,1)$, $u_2=\frac{1}{45}(-5,-2,4)$, $\lambda_3=0$, $u_3=\frac{1}{3} (2,-1,2)$. 
Vrchol je $V=\left [(28/9,-37/18,28/9\right]$. Rovnice $9x_1^2+9x_2^2+6x_3=0$. 
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ }  Najděte kanonickou rovnici kvadriky
$$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+2x_1+2x_2-2\sqrt 2x_3-8=0.$$
\end{zad}

\begin{res}  Nemá vlastní střed. Vlastní čísla $\lambda_1=2$, $u_1=\left (1/\sqrt 2, -1/\sqrt 2,0\right )$ a $\lambda_{2,3}=0$,vlastní vektory $u=(a,a,b)$. Mezi nimi zvolíme singulární vlastní směr $u_3=\frac12 (1,1,-\sqrt 2)$ a k němu kolmý $u_2=\frac12 (1,1,\sqrt 2)$. Vrcholy tvoří přímku, vybereme z nich $V=[2,2,0]$. V bázi
$V,u_1,u_2,u_3)$ je rovnice $y_1^2+ 2 y_3=0$. Parabolická válcová plocha. 
\end{res}


\end{document}

