\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\P{\mathcal P}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z M3110 - dualita a polyedry, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.\ }  Najděte duální bázi $\alpha^*=(f^1,f^2,f^3)$ k bázi $\alpha=(e_1,e_2,e_3)$ prostoru $\R^3$, jestliže
$$e_1=(0,0,1)^T,\quad e_2=(2,0,1)^T,\quad e_3=(1,2,3)^T.$$
\end{zad}

\begin{res} Hledejte $f^i$ ve tvaru $f^i(x)=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3$. Pak matice $A=(a_{ij})$ splňuje rovnici 
$$A\cdot (e_1\ e_2\ e_3)=E.$$ 
$A=\begin{pmatrix}
-\frac12&-\frac54&1\\
\frac12&-\frac14&0\\
0&\frac12&0
\end{pmatrix}$
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ }  Najděte bázi $\alpha=(e_1,e_2,e_3)$ v $\R^3$ tak, aby báze $\alpha^*=(f^1,f^2,f^3)$ 
$$f^1(x)=2x_1-x_2,
\quad f^2(x)=x_2-x_3.\quad f^3(x)=x_1+x_2+x_3$$
byla k ní duální.
\end{zad}

\begin{res}  $e_1=(2/5,-1/5,-1/5)^T$, $e_2=(1/5, 2/5, -3/5)^T$, $e_3=(1/5, 2/5. 2/5)^T$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ } Najděte popis duálního zobrazení $\varphi^*$ k lineárnímu zobrazení $\varphi:\K^n\to \K^k$, $\varphi (x)=A\cdot x$, kde $x$ jsou souřadnice
 vektoru standardníá báze zapsané ve sloupci.
\end{zad}

\begin{res}  Jestliže píšeme souřadnice v duální bázi do řádku, dostáváme $\varphi^*(y)=y\cdot A$.
\end{res}



\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ }  Zopakujte si definici faktorového vektorového prostoru. Dokažte: Jestliže $V\oplus Z=U$, pak vektorový prostor $U/V$ je izomorfní s podprostrporem $Z$. 
\end{zad}

\begin{res} Izomorphismus $\varphi: Z\to U/V$ je zadán předpisem $\varphi(z)=[z]\in U/V$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ }  Popište všechny roviny procházející v $\R^3$ přímkou
$$x_1+x_2-x_3=0, \quad x_1-x_2+x_3=0.$$
\end{zad}

\begin{res}  Najdeme směrový vektor přímky, $p=[(0,1,1)^T]$. K němu kolmé vektory $(b,-a,a)$ jsou normálové vektory rovin obsahujících přímku $p$.
Proto všechny roviny jsou obsahující přímku $p$ jsou zadány rovnicí
 $$bx_1-ax_2+ax_3=0.$$
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ }  Užitím Motzkinovy eliminace rozhodněte, zda má systém lineárních nerovností
\begin{align*}
x,y,z&\ge 0\\
4\ge x+y+z&\ge 2\\
3\ge x+y&\ge 1\\
2\ge z&
\end{align*}
nějaké řešení. Pokud ano, najděte aspoň jedno.
\end{zad}

\begin{res} Provádíme postupně eliminace proměnné $x$
 \begin{align*}
y,z&\ge 0\\
4-y-z&\ge 0\\
3-z&\ge 0\\
1+z&\ge 0\\
2&\ge z
\end{align*}
Eliminací $y$ dostaneme
\begin{align*}
z&\ge 0\\
4-z&\ge 0\\
2&\ge z
\end{align*}
Tedy  $2\ge z\ge 0$. Volme $z=1$ a dopočitejme $y$ a $x$.
\end{res}

\end{document}

