\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\id{\operatorname{id}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\P{\mathcal P}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  9. cvičení z M3110 - tenzorový součin, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.\ } Pro vektorový prostor $U$ nad $\K$ napište obě zobrazení realizující izomorfismus $U$ a $K\otimes U$.    
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ }  Nechť $U$ je vektorový prostor s bázemi $\alpha=(u_1,u_2,\dots,u_n)$ a $\beta=(v_1,v_2,\dots,v_n)$ a nechť  
$A=(a^i_j)_{i,j=1}^n$ je matice taková, že
$$(u_1,u_2,\dots,u_n)=(v_1,v_2,\dots,v_n)\cdot A, \quad \text{tj.}\quad u_j=\sum_{i=1}^n v_ia^i_j.$$
Najděte matici $B$ takovou, že pro duální báze $\alpha^*=(f^1,f^2,\dots,f^n)$ a $\beta^*=(g^1,g^2,\dots,g^n)$ platí
$$\begin{pmatrix}f^1\\f^2\\ \vdots\\f^n\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}g^1\\g^2\\ \vdots\\g^n\end{pmatrix},\quad \text{tj.} \quad f^k=\sum_{l=1}^n b_l^k g^l.$$
jaký je vztah matic $A$ a $B$ s maticemi přechodu $(\id)_{\alpha,\beta}$ a $(\id)_{\alpha^*,\beta^*}$?

\end{zad}



\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ }   Nechť $U$ je vektorový prostor s bazí $(u_1,u_2)$ a duální
bází $(f^1,f^2)$.
Vyjádřete tenzor
$$(f^1-f^2)\otimes (u_1+2u_2)\in U^*\otimes U=T^1_1(U)$$
v bázi  $(v_1,v_2)$ a duální 
bází $(g^1,g^2)$, jestliže
$$\begin{pmatrix} g^1\\g^2 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 4&1\\7&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f^1\\f^2
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ } Uvažujme zadání příkladu 1. Spočítejte souřadnice vektoru $u$ v bázi $\beta$ pomocí souřadnic v bázi $\beta$ a matice $A$. Analogicky 
proveďte pro lineární formu $f$.
 \end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ } Spočtěte souřadnici $\bar t_{31}^{12}$ tenzoru  
  $f^2\otimes f^1\otimes u_3\otimes u_1+f^3\otimes f^3
  \otimes u_1\otimes u_2\in T_2^2(\R^3)$ v~nové bázi
  $$(v_1,v_2,v_3)=
  (u_1,u_2,u_3)
  \begin{pmatrix}
   1&0&0\\2&1&0\\3&2&1
  \end{pmatrix}$$
\end{zad}

          
\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ }   Popište izomorfismus $\operatorname{Hom}(U,V)\cong V\otimes U^*$. Ukažte, že když lineární zobrazení v souřadnicích báze 
$\alpha=(u_1,u_2,\dots,u_n)$ v $U$
a $\beta=(v_1,v_2,\dots,v_k)$ ve $V$ má matici $(a^i_j)$, pak odpovídající tenzor $t\in V\otimes U^*$ má v bázích $\beta$ a $\alpha^*$ souřadnice $a^i_j$, tj.
$$t=\sum_{ij}a^i_j v_i\otimes f^j.$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ }   Definujte zobrazení evaluace $\varepsilon: U^*\otimes U\to \K$ a zobrazení $\delta:\K\to U\otimes U^*$. Spočtěte pro ně složení
$$(\id\otimes\varepsilon)\circ(\delta\otimes\id): U\to U,\quad \text{a}\quad (\varepsilon\otimes\id)\circ(\id\otimes\delta):U^*\to U^*.$$
Znázorněte graficky.
\end{zad}
\end{document}


