\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\id{\operatorname{id}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\P{\mathcal P}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  11. cvičení z M3110 - orientace, kvaterniony a Smithův normální tvar, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} Uvažujme uzavřenou lomenou čáru $ABCDA$, kde 
$$A=[0,1],\ B=[3,3],\ C=[5,0],\ D=[3,5].$$
Výpočtem, nikoliv z obrázku, rozhodněte,
\begin{enumerate}
\item jaká je orientace lomené čáry,
\item zda uzavřená lomená čára ohraničuje čtyřúhelník,
\item pokud ano, zda je čtyřúhelník konvexní,
\item které strany čtyřúhelníka jsou vidět z počátku.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad} {\bf 2.} Pomocí vektoru osy a úhlu popište složení $S\circ R$ rotací
$$R \text{ okolo } (1,-1,1) \text{ o úhel } +2\pi/3,\quad S \text{ okolo } (1,1,1) \text{ o úhel } +\pi/3.$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad} {\bf 3.} Pomocí vektoru osy a úhlu popište složení $S\circ R$ rotací
$$R \text{ okolo } (1,0,1) \text{ o úhel } +\pi/2,\quad S \text{ okolo } (1,2,1) \text{ o úhel } +2\pi/3.$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.} Určete Smithův normální tvar celočíselné matice
$$\begin{pmatrix}
4 &-4& 0& 16\\
0 & 6 &4& 0\\
4 & 0& 4& 10\\
8 & 6& -4& 8 
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{res} Smithův normální tvar je matice s diagonálními prvky $2,2,4,280$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.} Abelovská grupa $G$ je dána generátory $g_1,g_2.g_3.g_4$ a relacemi 
$$2g_1+4g_2-8g_3-10g_4=0, \ 4g_1+2g_2+2g_3+4g_4=0.$$
Pomocí Smithova normálního tvaru najděte izomorfismus mezi $G$ a součinem cyklických grup. 
\end{zad}

\begin{res} Generátory grupy G jsou obrazy standardní báze $\Z^4$, relace jsou dány obrazem zobrazení
$\Z^2\to \Z^4 : x\mapsto Rx$, kde 
$$R=\begin{pmatrix} 2&4\\ 4&2\\-8&2\\-10&4\end{pmatrix}.$$
Její SNT je $PRQ=S=\operatorname{diag}(2,6)$. Přitom 
$$P^{-1}=\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
2&-1&0&0\\
-4&3&1&0\\
-5&4&0&1
\end{pmatrix}.$$
Vezmem-li v $\Z^4$ generátory $P^{-1}e_1,  P^{-1}e_2,P^{-1}e_3,P^{-1}e_4$, dostaneme, že 
$$G\cong \Z^4/\operatorname{im}R\cong Z/2\times \Z/6\times Z\times Z.$$
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.} Pomocí SNT ukažte, že $\Z/15\cong \Z/3\times \Z/5$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.} Určete Smithův normální tvar celočíselné matice
$$\begin{pmatrix}
2 & 4&-8&-10\\
4 & 2 &2& 4\\
4 &8& 8& -8\\
-10 & 16& 4& 2 
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{res} SNT je $\operatorname{diag}(2,6,12,120)$.
\end{res}
\end{document}


