Pokročilé numerické metody I Úvod Jiří Zelinka Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody I Úvod 1 / 6 Literatura Fiedler M.: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, 1981 Golub G. H. , Van Loan C. F.: Matrix Computations, JHU Press, 2013 Searle S. R.: Matrix Algebra Useful for Statistics, Wiley, 2006 Mathews, J.H., Fink, K.D.: Numerical methods using MATLAB, Pearson Prentice Hall, 2003 Stoer, J., Bulirsch R.: Introduction to Numerical Analysis, Spriger, 1992 Davis, P. J.: Circulant Matrices, Wiley, 1979 Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody I Úvod 2 / 6 Obsah přednášky Úvod (opakování základních pojmů) Metoda nejmenších čtverců (různé přístupy) Maticové rozklady (LU rozklad, Choleského rozklad, singulární rozklad, QR rozklad) Výpočet vlastních hodnot a vlastních vektorů Základní iterační metody pro řešení systému lineárních rovnic Pokročilé metody pro řešení systému lineárních rovnic Použití matic při řešení diferenciálních rovnic Různé další maticové metody (odmocnina z matice, funkce matice) Řídké matice (stručný úvod) Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody I Úvod 3 / 6 Opakování Základní maticové pojmy sčítání, násobení transponovaná AT , hermitovsky sdružená A∗ symetrická, hermitovská pozitivní (semi)definitnost hodnost, hodnost součinu matic, stopa vlastní vektory a hodnoty (čísla), aritmetická a geometrická násobnost determinant, inverzní matice Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody I Úvod 4 / 6 Matice a vektory vektory – sloupcové → u = A · v = Av lineární obal množiny vektorů L(v1, . . . , vn) skalární součin ((u, v) = ui ¯vi = v∗ u), Schwarzova nerovnost, norma, metrika, spojitost skal. součinu a normy kolmost (ortogonalita), Pythagorova věta ortogonální doplněk M⊥ , M neprázdná A∗ A a pozitivní semidefinitnost, A∗ Ax = 0, h(A) = r(A) = r(A∗ A), zákony o krácení A∗ A jakožto matice skalárních součinů obor hodnot: R(A), r(A) = dim R(A), jádro: N(A), Ker(A), pro A typu m × n je r(A) + dim N(A) = n lineární kombinace a lineární obal sloupců matice N(A) = R⊥ (A∗ ) věta o ortogonálním rozkladu Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody I Úvod 5 / 6 Další pojmy vektorové a maticové normy blokové matice permutační matice inverze matice 2x2 Jiří Zelinka Pokročilé numerické metody I Úvod 6 / 6