Lineární diferenciální rovnice druhého řádu
Nehomogenní rovnice
Petr Liška
Masarykova univerzita
6.12.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) NLDR2ŘSKK 6.12.2024 1 / 5
Nehomogenní lineární diferenciální rovnice
Definice
Uvažme opět rovnici
y′′
+ py′
+ qy = f(x), p, q ∈ R, (1)
potom o rovnici
y′′
+ py′
+ qy = 0 (2)
mluvíme jako o asociované homogenní rovnici k rovnici (1).
Lemma
Nechť y1, y2 jsou dvě řešení rovnice (1), pak jejich rozdíl y0 = y1 − y2
je řešením příslušné asociované homogenní rovnice (2).
Petr Liška (Masarykova univerzita) NLDR2ŘSKK 6.12.2024 2 / 5
Další vlastnosti řešení
Věta
Mějme jedno partikulární řešení yp nehomogenní rovnice (1) a obecné
řešení yo asociované homogenní rovnice (2). Pak obecné řešení rovnice
(1) je
y = yo + yp.
Věta (Princip superpozice)
Je-li y1 řešení rovnice L[y] = f1 a y2 je řešení rovnice L[y] = f2, pak
y1 + y2 je řešení rovnice L[y] = f1 + f2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) NLDR2ŘSKK 6.12.2024 3 / 5
Metoda neurčitých koeficientů
• Je-li f(x) = Pn(x), pak partikulární řešení hledáme ve tvaru
yp = xK
Qn(x),
kde Qn(x) je polynom stejného stupně s neurčitými koeficienty a
K je násobnost čísla 0 jako kořene charakteristické rovnice.
• Je-li f(x) = eαxPn(x), pak partikulární řešení hledáme ve tvaru
yp = xK
eαx
Qn(x),
kde Qn(x) je polynom stejného stupně s neurčitými koeficienty a
K je násobnost čísla α jako kořene charakteristické rovnice.
• Je-li f(x) = eαx (Pn(x) sin βx + Qm(x) cos βx), pak partikulární
řešení hledáme ve tvaru
yp = xK
eαx
(Ur sin βx + Vr cos βx) ,
kde r = max{m, n}, Qm(x), Vm(x) jsou polynomy stupně r s
neurčitými koeficienty a K je násobnost čísla α + iβ jako kořene
charakteristické rovnice.
Petr Liška (Masarykova univerzita) NLDR2ŘSKK 6.12.2024 4 / 5
Metoda variace konstant
Je-li
y0 = c1y1(x) + c2y2(x)
obecné řešení asociované homogenní rovnice (2), pak partikulární řešení
rovnice (1) je tvaru
yp = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x),
kde c1(x) a c2(x) jsou funkce, které jsou řešením soustavy
c′
1(x)y1(x) + c′
2(x)y2(x) = 0,
c′
1(x)y′
1(x) + c′
2(x)y′
2(x) = r(x).
Petr Liška (Masarykova univerzita) NLDR2ŘSKK 6.12.2024 5 / 5