1) Nad přeponou AB pravoúhlého trojúhelníku ABC je v polorovině opačné k polorovině ABC sestrojen
čtverec se středem O. Dokažte, že polopřímka CO je osou úhlu ACB.



2) Nechť je dán rovnoběžník ABCD. Označme M kolmý průmět bodu A na přímku BC a N kolmý průmět bodu
A na přímku CD. Dokažte, že trojúhelníky MAN a ABC jsou podobné.




3) Uvažujme dvě kružnice k a l, které se protínají ve dvou bodech K a L. Nechť A je libovolný bod
kružnice k, který je různý od bodů K, L a dále takový, že každá z přímek AK a AL protíná kružnici l
ve dvou bodech. Průsečík kružnice l s přímkou AK různý od K označme B, průsečík kružnice l
s přímkou AL různý od L označme C. Konečně označme t tečnu kružnice k vedenou bodem A. Dokažte, že
přímky t a BC jsou rovnoběžné.





Výše uvedená poloha není jediná, která může nastat. Níže následuje rozbor druhé možné polohy
zadaných útvarů. Argumentace je zde částečně odlišná.



4) Nechť AB je delší stranou rovnoběžníku ABCD. Dále předpokládejme, že kružnice opsaná
trojúhelníku BCD protíná úsečku AC v jejím vnitřním bodě, označme jej M. Dokažte, že přímka BD je
tečnou ke kružnici opsané trojúhelníku ADM.



5) Uvnitř úhlu BAC je dán bod M. Označme po řadě P, Q jeho kolmé průměty na ramena AB, AC. Nechť
dále K značí kolmý průmět A na PQ. Dokažte, že úhly PAK a MAQ mají stejné velikosti.




6) Uvažujme ostroúhlý trojúhelník ABC. Označme A[0], B[0], C[0] po řadě paty výšek z vrcholů A, B,
C. Dokažte, že průsečík výšek trojúhelníku ABC je středem kružnice vepsané trojúhelníku
A[0]B[0]C[0].


7) Úsečka AB je průměrem kružnice k. Přímka t je tečnou k s dotykovým bodem C. Označme po řadě M, N
kolmé průměty bodů A, B na přímku t. Nechť D značí kolmý průmět bodu C na úsečku AB. Dokažte, že
pak platí .






Podobně jsou shodné trojúhelníky ACD a ACM.

8) Je dána kružnice k se středem S. Kružnice l má větší poloměr než kružnice k, prochází jejím
středem a protíná ji v bodech M a N. Přímka, která prochází bodem N a je rovnoběžná s přímkou MS,
vytíná na kružnicích tětivy NP a NQ. Dokažte, že trojúhelník MPQ je rovnoramenný.

Poznámka. Označení vrcholů P, Q v trojúhelníku MPQ není důležité. Označme proto bez újmy na
obecnosti P ten z bodů přímky vedené bodem N rovnoběžně s přímkou MS, který leží na kružnici k.



9) Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník. Označme O střed kružnice jemu opsané a A[0] patu výšky
z bodu A. Dokažte, že úhly BAA[0] a OAC mají stejné velikosti.