Nákup vozů pro taxislužbu Keywords: kvadratická funkce, optimalizace V České Republice majitel Pražské taxislužby zvažuje, zda pořídit další vozy a kolik jich pořídit tak, aby jeho zisk byl co největší. Momentálně má 3 vozy a z každého vozu má průměrný měsíční výdělek 60 000 Kč. Dle letitých zkušeností v oboru však očekává, že s každým nakoupeným vozem průměrný výdělek každého vozu klesne o 5 000 Kč, neboť dojde k částečnému přelivu zákazníků do nového vozu. Musí také počítat s tím, že náklady na řidiče a vůz za jeden měsíc činí 40 000 Kč. Úloha 1. Jaký je měsíční zisk majitele taxislužby nyní? Úloha 2. Určete funkci, která vyjadřuje zisk majitele taxislužby v závislosti na počtu nově dokoupených vozů. O jakou funkci se jedná a jak vypadá její graf? Úloha 3 Určete jaký je maximální možný zisk majitele. O kolik se tento zisk liší od současného? Kolik vozů musí majitel koupit (nebo eventuálně prodat)? 1 Sušení rajčat Keywords: procenta, nepřímá úměra, lineární lomená funkce Sušení je považováno za jeden z nejstarších a zároveň z nejzdravějších způsobů dlouhodobého uchovávání potravin, který prodlouží jejich trvanlivost až na jeden rok. Je to způsob, jak uchovat chuť, vůni i barvu potravin. Výhodou je také, že usušené potraviny zabírají o hodně méně místa. Jedná se o jednu z nejběžněji používaných konzervačních metod jak v domácnostech, tak ve zpracovatelském průmyslu. V domácnostech se ovoce, zelenina nebo houby suší volně na slunci, v troubě nebo v sušičce. Komerční sušení ovoce pak probíhá ve specializovaných sušárnách. Při sušení je důležité, aby každý kus byl vystaven stálému proudění teplého vzduchu, čímž se odpařuje voda a klesá vlhkost. Vlhkost by měla klesnout na maximálně 30 %. Při této vlhkosti je zabráněno množení mikroorganizmů a plísní bez ohledu na obalový materiál a teplotu skladování. Zadání Jedním z typických druhů zeleniny, který se suší jsou rajčata. Ta někteří milovníci italské kuchyně považují za malý červený zázrak. Z hlediska sušení přitom rajčata patří mezi nejnáročnější, jelikož jsou tvořena z 94 % vodou. Všechna procenta v následujících úlohách jsou hmotnostní, tedy číselně představují počet gramů složky ve 100 g hmoty. Úloha 1. Jestliže dojde v jednom kilogramu čerstvých rajčat po sušení k úbytku vody o jeden procentní bod, kolik gramů budou rajčata vážit? Pro zajímavost zkuste výsledek nejprve odhadnout. Úloha 2. Určete předpis a definiční obor funkce, která při sušení jednoho kilogramu čerstvých rajčat popisuje závislost aktuální hmotnosti rajčat na procentuálním podílu vody v nich obsažené. Načrtněte graf této funkce. Úloha 3. Jak se předpis funkce z předchozí úlohy změní, budeme-li sušit obecně m gramů čerstvých rajčat? Úloha 4. Z kolika kilogramů čerstvých rajčat připravíme a. jeden kilogram sušených rajčat s 10% obsahem vody; b. 500 g sušených rajčat s 20% obsahem vody; c. 250 g sušených rajčat s 40% obsahem vody? 1 Literatura • Richtrmocová, Barbora. Zdravotní a nutriční aspekty sušeného ovoce. Bakalářská práce. Masarykova univerzita, 2018. 2 Trofické funkce v modelech dravce a kořisti Keywords: funkce, racionální lomená funkce, asymptota Při studiu přírody hrají neocenitelnou roli matematické modely. Tyto modely otevírají cestu k předpovědím budoucího vývoje, ale plní i další a důležitější role. Používání ekologických modelů bývá někdy zmiňováno jako fyzikální postupy v ekologii, protože se studuje ekosystém z hlediska vývoje populací a používají se k tomu matematické metody původně odvozené na řešení fyzikálních úloh. Výstupy z modelů poté nesou například následující informace. • Predikce Schopnost pracovat s matematickými modely ekosystémů umožňuje předpovídat budoucí vývoj. Může se jednat o vývoj v neměnném prostředí, nebo vývoj v prostředí, ve kterém se některý z parametrů mění. Znalost modelu potom umožní posoudit, jaký má tato změna vliv na ekosystém. • Porozumění principům Matematické modely umožňují ekologům a vědcům zkoumat interakce mezi různými složkami ekosystémů a porozumět dynamice těchto systémů. Pomáhají tím identifikovat faktory ovlivňující strukturu a funkci těchto ekosystémů. • Optimalizace rozhodování Matematické modelování ekosystémů může být použito k optimalizaci rozhodování v oblastech jako je ochrana biodiverzity nebo management lesů a rybolovu. Pomáhá identifikovat nejlepší strategie pro dosažení vytyčených cílů. Jedním ze základních vztahů v ekosystémech je vztah dravce a kořisti. Tento vztah může být jedinou interakcí v ekosystému nebo může být doplněn interakcemi dalšími. Důležitost modelování soužití dravce a kořisti si objasníme na následujících historicky významných modelech. Lotkův-Volterrův model V roce 1926 publikoval jeden z prvních modelů dravce a kořisti italský matematik Vito Voterra. Motivací k sestavení tohoto modelu byla skutečnost, že během omezení rybolovu za první světové války v úlovcích vzrostlo procento dravých ryb. Na tuto skutečnost upozornil Volterru jeho zeť, mořský biolog Umberto D’Ancona, který si uvedený jev nedokázal zdůvodnit. Dokonce čekal pravý opak: při omezení rybolovu předpokládal zvýšení procentuálního podílu druhů menších ryb, které jsou potravou pro dravce. Volterrův model toto chování vysvětluje jako důsledek jednoduché představy interakce mezi dravými rybami a kořistí. Model obsahuje dvě rovnice. První rovnice popisující populaci kořisti obsahuje předpoklad, že tato populace přirozeně roste, ale růst je zpomalen působením dravců. Více dravců vede k většímu zpomalení růstu kořisti. Příliš mnoho dravců může vést dokonce k tomu, že velikost populace kořisti bude klesat a kořist vymře. Rovnice věnovaná populaci dravců obsahuje předpoklad, že bez přítomnosti kořisti populace dravce vymírá. Čím více kořisti ale mají dravci k dispozici, tím spíše se toto vymírání převrátí v nárůst populace dravce. V systému popsaném výše vznikají přirozeně cykly. Dostatek kořisti umožní nárůst populace dravců. Mnoho dravců poté působí na populaci kořisti negativně do té míry, že populace kořisti začne vymírat. Toto vymírání má za následek nedostatek potravy pro dravce a ti začnou také vymírat. Po čase je populace dravce redukována natolik, že kořist přítomnost dravce pociťuje málo. Proto může její populace 1 zase růst a namnožit se do původního stavu. To však opět umožní růst populace dravce a uzavírá se cyklus. Velmi pěkně jsou periodické změny velikosti obou populací patrné ze záznamů výkupu kožešin sněžného zajíce a rysa v oblasti Hudsonova zálivu. Volterra svým modelem vysvětlil nejenom vznik cyklů, ale i to, že omezením lovu se rovnovážná poloha, okolo které populace dravce a kořisti oscilují, posune ve prospěch dravce a nikoliv kořisti. Tento jev, kterého si všiml D’Ancona, se nazývá Volterrův efekt. Stejný model jako Volterra navrhl již v roce 1910 americký matematik Alfred J. Lotka, a proto se model dnes nazývá Lotkův-Volterrův model. Obrázek 1: Vlevo typický průběh velikosti populací dravce a kořisti. Po maximu kořisti následuje maximum dravce a poté propad obou populací. Vpravo liška ostrovní, která se z vrcholového predátora na svém ostrově stala kořistí na pokraji vyhubení. Model obaleče smrkového Podobné periodické výkyvy jako v Lotkově-Volterrově modelu je možné pozorovat i v kanadských lesích. Zde přibližně po 30 až 40 letech docházelo k masovému přemnožení obaleče smrkového (Choristoneura fumiferana). Populace tohoto motýla je relativně malá, ale některé roky se zvýší tisícinásobně a jeho housenky dokáží zahubit až 80% stromů v lese a ten tak prakticky zničit. Jeden z posledních masových výskytů byl od roku 2006 v Quebecu. Zde bylo do roku 2019 zasaženo cca 9,6 milionu hektarů lesa 1 , což je více než rozloha Maďarska. V roce 1978 navrhli vědci D. Ludwig, D. D. Jones a C. S. Holling model, který dokázal nejenom modelovat vývoj populace obaleče, ale pomohl objasnit i důvody, proč k popisovanému přemnožení dochází. Důvodem byla predace. V tomto případě šlo o konzumaci housenek obaleče ptáky. Ptáci sloužili v přírodě jako faktor omezující počty housenek, ovšem jenom do jistého limitu. Když se les dostatečně rozrostl, poskytl dostatek potravy i populaci housenek. Populace housenek se pak rozrostla do takové míry, že ptáci dosáhli při konzumaci potravy své saturace a nedokázali dál stavy housenek redukovat. Tím se role ptáků jako predátorů stala méně významnou a populace housenek se mohla velmi rychle množit a poté zdevastovat les. V tomto případě je predace důležitá pro omezení populace housenek. Protože ptáci jako predátoři mají 1Zdroj viz https://www.nrcan.gc.ca. 2 mnohem pomalejší cyklus rozmnožování než obaleč, je možné jejich populaci považovat za konstantní. Díky saturaci poté ptáci dokáží omezit rychlost růstu obaleče jen do omezené míry. Toto omezení však od určité velikosti populace obaleče přestává stačit a dojde k jeho nekontrolovatelnému přemnožení. Model lišky ostrovní Liška ostrovní (Urocyon littoralis) je jedinečný živočišný druh, endemit žijící jenom na ostrůvcích okolo Kalifornie. Je velká jako kočka a díky absenci přirozených nepřátel důvěřivá. Jako druh je citlivá a zranitelná vlivem malé genetické variability a malé odolnosti vůči nemocem zavlečeným z pevniny. Je to jedna z nejmenších psovitých šelem. Na rozdíl od ostatních psovitých šelem ale umí šplhat po stromech. Vlivem činnosti člověka se populace lišky ostrovní dostala na přelomu tisíciletí do velkých potíží. Na ostrově San Miguel klesla populace z 450 dospělých jedinců v roce 1994 na 15 v roce 1999 2 . Podobná situace byla i na okolních ostrovech, z nichž každý je osídlen samostatným poddruhem lišky ostrovní. Příčinou úhynu byl celý řetězec událostí: produkce insekticidu DDT ve 40. letech 20. století měla za následek vymření orla bělohlavého (Haliaeetus leucocephalus) a ten byl nahrazen orlem skalním (Aquila chrysaetos). Predátora živícího se rybami tímto na ostrově vystřídal predátor preferující savce. Toto bylo pro lišky ostrovní fatální. Lišky, dříve vrcholní predátoři, se najednou staly kořistí a na přelomu tisíciletí se ocitly těsně před vyhubením. A na rozdíl od Lotkova–Volterrova modelu nebylo možné doufat v návrat lišek na původní stavy díky oscilacím, protože orli měli i alternativní potravu v podobě divokých prasat a skunků. Naštěstí se nesmírným úsilím podařilo lišky ostrovní jako druh zachránit. Nejprve se podařilo správně identifikovat příčiny jejich úbytku. Poté již stačilo populaci lišek opětovně rozmnožit a zajistit podmínky, ve kterých je populace stabilní. To zahrnovalo vybití divokých prasat, přesídlení orlů skalních, návrat orlů bělohlavých, umělé rozmnožení lišek, jejich návrat do přírody a jejich vakcinaci proti zavlečeným chorobám. To vše se podařilo v rekordním čase, za jednu dekádu. Jednalo se o jeden z nejúspěšnějších záchranných programů pro savce. Trofické funkce Důležitou komponentou modelů dravce a kořisti, ať se jedná o kterýkoliv z výše uvedených případů, je trofická funkce. Tato funkce modeluje působení jednoho predátora na populaci kořisti. Udává rychlost, s jakou zpomaluje růst kořisti jeden dravec. Je-li x velikost populace kořisti a y rychlost, s jakou jeden dravec zpomaluje růst kořisti (tj. množství kořisti ulovené dravcem za jednotku času), můžeme tuto funkci matematicky zapsat ve tvaru y = f(x). Budeme se snažit najít přirozené předpoklady, které trofická funkce musí splňovat. Poté se pro ni pokusíme najít vhodný analytický tvar. 2Zdroj viz https://www.iucnredlist.org/species/22781/13985603. 3 Úloha 1. Předpoklady o působení dravce na kořist mají odraz ve vlastnostech, které musí mít trofická funkce. 1. Dravec v prostředí s chudou nabídkou potravy má i chudý úlovek. Více kořisti znamená snazší dosah kořisti a tím i větší úlovek. 2. Bez potravy dravec nic neuloví. Pokud je množství kořisti nulové, je nulové i množství kořisti, které dravec uloví za jednotku času. 3. Dravci konzumují potravu jenom do své saturace. Je-li potravy nadbytek, dravci neuloví za jednotku času více potravy než odpovídá jejich saturaci. Vyjádřete tyto vlastnosti pomocí pojmů, které používáme pro popis vlastností funkcí. Jaké vlastnosti funkcí odpovídá každý z uvedených bodů? Trofická funkce Hollingova typu II Trofická funkce udává, kolik kořisti zahubí jeden dravec za jednotku času při dané velikosti populace kořisti. Musí tedy být definována na množině nezáporných čísel a funkční hodnoty budou nezáporné (toto plyne i z bodů 1 a 2 v předchozí úloze). V předchozí části bylo ukázáno, že trofická funkce má procházet počátkem a růst k vodorovné asymptotě (růst a ohraničenost shora). Tyto vlastnosti nebudou splněny, pokud budeme hledat trofickou funkci mezi lineárními funkcemi. Zkusíme tedy nejjednodušší nelineární funkci, nepřímou úměrnost. 0 2 4 6 8 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Holling II Holling III 10 5 0 5 10 2 1 0 1 2 3 4 Obrázek 2: Vlevo dvě typické trofické funkce, nazývané funkce Hollingova typu. Funkce typu II roste stále pomaleji. Funkce typu III roste ze začátku pomalu, růst se zrychluje a poté opět zpomaluje. Vpravo funkce typu II jako část transformovaného grafu nepřímé úměrnosti. (vlastní obrázek) 4 Úloha 2. Vyjděte z grafu funkce y = 1 x . Na této funkci provádějte transformace, které mění graf způsobem popsaným níže. 1. Přeškálujte graf k-krát ve svislém směru. Tím se nezmění monotonie ani poloha vodorovné asymptoty, ale můžeme měnit rychlost růstu. 2. Převraťte graf okolo vodorovné osy a posuňte o S nahoru. Tím docílíme toho, že pro kladné x bude funkce rostoucí a poroste k asymptotě S. 3. Po uvedených transformacích má graf v nule svislou asymptotu a jeden průsečík s vodorovnou osou vpravo od počátku. Posuňte graf doleva tak, aby se svislá asymptota dostala vlevo od svislé osy a průsečík s osou x se posunul do počátku. Poznámka. V předchozí úloze jsme odvodili analytický tvar pro jednu ze základních trofických funkcí. Jedná se o rostoucí funkci, která z počátku roste směrem k vodorovné asymptotě a rychlost růstu postupně klesá. Taková funkce se nazývá Hollingova funkce II typu. Bývá obvyklé ji psát ve tvaru f(x) = Sx x + b , (1) kde S je hladina saturace a b konstanta, jejíž význam objasníme v následující úloze. Úloha 3. Ukažte, že pro velikost populace rovnu b je hodnota trofické funkce (1) rovna polovině hodnoty saturace. Následující úkol ukazuje opačný proces, kdy z trofické funkce ve tvaru (1) odvodíme tvar ukazující postupné transformace funkce y = 1 x . Úloha 4. Upravte předpis funkce y = 6x x + 2 do základního tvaru, tj. tak, abychom mohli vyčíst postupné transformace funkce y = 1 x na graf zadané funkce. Úloha 5. Sestavte trofickou funkci, pokud víte, že rychlost konzumace potravy při saturaci predátorů je 6, a že konzumace probíhá poloviční rychlostí pro populaci kořisti o velikosti 210. Literatura a odkazy Literatura • Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Lotka\%E2\%80\%93Volterra_equations March 3, 2024 • R Mařík, Dynamické modely populací, https://robert-marik.github.io/dmp/uvod.html, March 3, 2024 • D. Ludwig, D.D. Jones, C.S. Holling: Qualitative analysis of insect outbreak systems: the spruce budworm and forest, Journal of Animal Ecology 47(1): 315–332, February 1978. 5 Zdroje obrázků • https://en.wikipedia.org/wiki/Lotka\%E2\%80\%93Volterra_equations\#/media/File: Lotka_Volterra_dynamics.pdf • https://www.npr.org/sections/thetwo-way/2016/08/11/489695842/once-nearly-extinct-california Kevork Djansezian/AP 6 Zdravotnické stanoviště na běžeckém závodě Keywords: funkce, lineární funkce, absolutní hodnota, optimalizace Představte si, že pomáháte organizovat velký běžecký závod. Na trať se chystají desítky závodníků a vaším úkolem je rozhodnout, kam umístit zdravotnické stanoviště, aby bylo co nejvíce nápomocné. Mělo by být blízko startu? Nebo raději někde uprostřed? A co když je kontrolních bodů na trati víc? Kde bude to správné místo, odkud to bude všude tak akorát daleko? Možná to zní jednoduše, ale když se nad tím zamyslíte, tak zjistíte, že najít nejlepší možné umístění není zas tak snadné. V následujících úlohách si takovou situaci rozebereme. A kdo ví, třeba právě díky nám doběhne závodník v pořádku do cíle. Úloha 1. Na běžecké trase dlouhé 45 km se nachází tři kontrolní stanoviště a je třeba na ni umístit stanoviště zdravotníků. První kontrolní stanoviště je zřízeno na 13. kilometru, druhé na 26. kilometru a třetí na 37. kilometru. Protože má být zdravotní stanoviště co možná nejblíže kontrolním stanovištím, startu i cíli, organizátor běhu jej chce zřídit tak, aby byl součet vzdáleností od něj k uvedeným pěti lokacím co nejmenší. Na kterém kilometru trasy má organizátor stanoviště zdravotníků zřídit? Je to jediná lokace, kterou má zvolit? Předpokládejme, že závod končí jinde než začal a že neexistuje kratší cesta mezi stanovišti než po závodní trase. Úloha 2. Jak se řešení předchozí úlohy změní, jestliže budou stanoviště čtyři, a to na 17., 30., 35. a 40. kilometru? Úlohu můžeme i zobecnit. Úloha 3. Na závodní trati je rozmístěno n různých stanovišť. Kde máme umístit zdravotní stanoviště tak, aby součet vzdáleností zdravotního stanoviště od všech kontrolních stanovišť, od startu a od cíle byl co nejmenší? 1