Matematická analýza 1
Elementární funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
26.09.2025
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 1 / 10
Goniometrické a cyklometrické funkce
Definice
Buď x ∈ R. Nechť P je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici, jehož počáteční bod
je [1, 0] a jehož délka je |x|; přitom oblouk je od bodu [1, 0] k bodu P orientován v protisměru,
resp. ve směru chodu hodinových ručiček podle toho, zda x ≥ 0, resp. x < 0. Pak
první souřadnici bodu P nazýváme cos x a druhou souřadnici sin x. Dále definujme
tg x =
sin x
cos x
, cotg x =
cos x
sin x
.
Funkce sin x, cos x, tg x a cotg x nazýváme funkce goniometrické.
cos x
sin x
tg x
cotg x
1
1
P
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 2 / 10
Co budeme „často“ používat
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
sin x = cos
󰀓π
2
− x
󰀔
, cos x = sin
󰀓π
2
− x
󰀔
sin2
x + cos2
x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2
x − sin2
x
sin2
x =
1 − cos 2x
2
cos2
x =
1 + cos 2x
2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 3 / 10
Definice
Inverzní funkce k funkci sin x definované na
󰀅
−π
2 , π
2
󰀆
se označuje
arcsin x.
Inverzní funkce k funkci cos x definované na [0, π] se označuje arccos x.
Inverzní funkce k funkci tg x definované na
󰀃
−π
2 , π
2
󰀄
se označuje
arctg x.
Inverzní funkce k funkci cotg x definované na (0, π) se označuje
arccotg x.
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x nazýváme cyklometrické
funkce.
Věta
Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti.
1. Funkce arcsin x a arctg x jsou rostoucí, funkce arccos x a arccotg x
jsou klesající.
2. Funkce arcsin x a arctg x jsou liché.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 4 / 10
0 1 π
2
−1− π
2
1
π
2
−1
− π
2
x
y = arcsin x
y = sin x
0 1 π
2
π
−1
π
π
2
−1
x
y = arccos x
y = cos x
0 π
2− π
2
π
2
− π
2
y
x
y = arctg x
y = tg x
0 π
π
π
2
π
2
y
x
y = arccotg x
y = cotg x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 5 / 10
Polynom
Definice
Funkci P : R → R tvaru
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R,
nazýváme polynomem. Čísla ai se nazývají koeficienty polynomu. Je-li
an ∕= 0, pak číslo n nazveme stupněm polynomu.
Číslo α ∈ C se nazývá kořen polynomu P, jestliže
P(α) = 0.
Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P, existuje-li polynom Q
takový, že
P(x) = (x − α)k
Q(x),
a α není kořenem polynomu Q, tj. Q(α) ∕= 0. Číslo k ∈ N se pak nazývá
násobnost kořene α polynomu P.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 6 / 10
Věta
Nechť P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R je
polynom stupně n ≥ 0.
1. (Základní věta algebry.) Polynom P má nad komplexním oborem
C právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho
násobnost.
2. Je-li komplexní číslo α k-násobným kořenem reálného polynomu P,
je číslo komplexně sdružené ¯α k-násobným kořenem polynomu P.
3. (Rozklad polynomu v oboru reálných čísel.) Jsou-li α1, . . . , αr
všechny reálné kořeny polynomu P s násobnostmi k1, . . . , kr a
(c1 ±id1), . . . , (cs ±ids) všechny navzájem různé dvojice komplexně
sdružených kořenů s násobnostmi r1, . . . , rs, platí
P(x) = an(x−α1)k1
· · · (x−αr)kr
[(x−c1)2
+d2
1]r1
· · · [(x−cs)2
+d2
s]rs
.
4. Nechť an = 1. Je-li celé číslo α kořenem polynomu P s celočíselnými
koeficienty, pak α je dělitelem čísla a0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 7 / 10
Racionální lomená funkce a parciální zlomky
Definice
Buďte P, Q nenulové polynomy. Funkce
R(x) =
P(x)
Q(x)
se nazývá racionální lomená funkce. Tuto funkci nazveme ryze lomenou,
platí-li st P < st Q, a neryze lomenou, platí-li st P ≥ st Q.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 8 / 10
Rozklad na parciální zlomky
Každou ryze lomenou funkci tvaru R(x) = P(x)
Q(x) lze rozložit na součet
parciálních zlomků následujícím způsobem:
a) Je-li číslo α reálný k-násobný kořen polynomu Q, pak rozklad obsahuje
součet k parciálních zlomků tvaru
A1
(x − α)
+
A2
(x − α)2
+ · · · +
Ak
(x − α)k
.
b) Jsou-li čísla α ± iβ komplexně sdružené k-násobné kořeny polynomu
Q, pak rozklad obsahuje parciální zlomky tvaru
A1x + B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
+ · · ·
Akx + Bk
(ax2 + bx + c)k
.
kde ax2 + bx + c má kořeny α ± iβ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 9 / 10
Malá odbočka
Definice
Buď A množina. Řekneme, že relace ≤ na A je uspořádání, jestliže
1. ∀x ∈ A platí x ≤ x,
2. ∀x, y ∈ A platí x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y,
3. ∀x, y, z ∈ A platí x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z.
Je-li ≤ uspořádání na A, pak dvojice (A, ≤) se nazývá uspořádaná
množina.
Definice
Buď A ∕= ∅ uspořádaná množina, B ⊆ A, B ∕= ∅, libovolná. Řekneme,
že prvek a ∈ A je supremum množiny B, píšeme a = sup B, jestliže
1. x ≤ a pro každé x ∈ B,
2. je-li y ∈ A takové, že x ≤ y pro každé x ∈ B, pak a ≤ y.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 26.09.2025 10 / 10