Rovinné řezy mnohostěnů

Doporučení 

I. Využití volného rovnoběžného promítání při řešení úloh 

Stereometrické úlohy, které budeme dále řešit, je třeba nejdříve vhodně zobrazit v rovině (na papíře, na displeji, na tabuli, …). V našem případě, kdy budeme určovat rovinné řezy jednoduchých konvexních mnohostěnů – převážně jehlanů a hranolů, použijeme pro zobrazení těchto těles a řešení úloh volné rovnoběžné promítání.

Zadání úloh je realizováno tak, že je současně s textem úlohy dán i volný rovnoběžný průmět daného mnohostěnu a tří nekolineárních bodů (tj. bodů neležících v přímce), které určují rovinu řezu.

II. Konstrukce rovinného řezu mnohostěnu 

Při konstrukci rovinného řezu daného tělesa budeme zpravidla postupně určovat průsečnice roviny řezu s rovinami stěn daného tělesa a průsečíky přímek, v nichž leží hrany daného tělesa, s rovinou řezu. Znalost obecného řešení dvou základních polohových úloh (určení průsečíku přímky s rovinou a průsečnice dvou rovin) budeme využívat v konkrétních situacích.

Při konstrukcích rovinných řezů jehlanů a hranolů je často výhodné:

• určit průsečnici roviny řezu s rovinou podstavy (u hranolu obvykle s rovinou dolní podstavy). Průsečíky této průsečnice s přímkami, v nichž leží podstavné hrany jehlanu nebo hranolu, jsou zároveň společné body roviny řezu s rovinami příslušných pobočných stěn. Lze je tedy využít pro nalezení průsečnic roviny řezu s rovinami pobočných stěn jehlanu nebo hranolu. Pro určení průsečnice roviny řezu s rovinou podstavy daného tělesa je třeba nalézt dva jejich různé společné body. Společný bod roviny řezu a roviny podstavy můžeme určit jako průsečík vhodně zvolené přímky roviny řezu (procházející např. dvěma danými body této roviny) s rovinou podstavy daného tělesa.
  

  Konkrétně to znamená: Uvažovanou přímkou, která leží v rovině řezu – označme ji p, pak prokládáme vhodnou pomocnou rovinu a určujeme její průsečnici s rovinou podstavy. Průsečík přímky p s nalezenou průsečnicí je pak hledaný průsečík přímky p s rovinou podstavy daného tělesa (viz též část kurzu Základní pojmy, obr. 2 a obr. 3 a k nim příslušný text).

  V případě, že sestrojujeme řez jehlanu, je vhodnou pomocnou rovinou, kterou prokládáme přímkou p, rovina procházející hlavním vrcholem jehlanu – tzv. vrcholová rovina.

  V případě, že sestrojujeme řez hranolu, je vhodnou pomocnou rovinou, kterou prokládáme přímkou p, rovina, která je rovnoběžná s pobočnými hranami daného hranolu.

• Pro konstrukci řezu pravidelného 4-bokého, 6-bokého, (tj. n-bokého, n-sudé) jehlanu lze též výhodně využít průsečík W roviny řezu s jeho výškou. Průsečnice r roviny řezu s rovinou, která prochází výškou jehlanu a současně dvěma jeho protějšími pobočnými hranami, prochází bodem W. Průsečíky uvažovaných protějších hran (event. přímek, v nichž tyto hrany leží) s rovinou řezu leží na přímce r a jsou tedy s bodem W kolineární (pokud oba existují). Známe-li jeden z nich a bod W, snadno sestrojíme druhý. (Viz např. obr. 1, body M, W, P a body N, W, Q v části kurzu Základní pojmy.)
• Při konstrukci řezu hranolu výhodně využíváme následujícího faktu: Leží-li některé stěny daného hranolu v rovnoběžných rovinách, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné a tedy také strany řezu, které leží v rovnoběžných stěnách, jsou rovnoběžné.

III. Určení viditelnosti 

Posledním úkolem při řešení úloh je určení viditelnosti sestrojeného řezu. Určujeme ji v závislosti na viditelnosti daného tělesa. Viditelné strany řezu leží ve viditelných stěnách tělesa (rýsujeme je plnými čarami). Ve stěnách, které nejsou viditelné, nejsou viditelné ani strany řezu (rýsujeme je čárkovanými čarami).

Někdy se požaduje určit viditelnost jen jedné ze dvou částí tělesa, které vzniknou jeho řezem rovinou. Při určení viditelnosti zvolené části, která je jistým mnohostěnem a jehož jednou stěnou je sestrojený řez, vycházíme rovněž z viditelnosti původního tělesa. Pro správné určení viditelnosti je však třeba si představit, že zbývající část původního tělesa je odstraněna. (Odstraněním této části původního tělesa může nastat situace, že sestrojený řez bude viditelnou stěnou mnohostěnu vzniklého řezem.)

 

Podrobnější výklad, další poučení a úlohy k tématu kurzu je možno nalézt v literatuře doporučené ke studiu předmětu Geometrie 2.