Diferenciální geometrie křivek a ploch

1. Rovinné křivky – Příklad 1.2 – Hyperbola

Pro hyperbolické funkce platí , .

a)  Dokažte, že . b)  Napište parametrické vyjádření hyperboly .

Řešení

PDF

> restart:with(plots):setoptions(scaling=constrained):

Nejdříve si zobrazíme průběh hyperbolických funkcí , . V případě funkce Maple nedává zcela přesný výsledek, pokud nepoužijeme volbu view=[x1..x2,y1..y2]:

> plot(cosh(x),x=-2..2,view=[-2..2,0..4]);

> plot(sinh(x),x=-2..2);

V Maplu můžeme zobrazit implicitně zadané funkce příkazem implicitplot, tento příkaz však často vykreslí nevyhovující obrázky.

Vykreslení hyperboly příkazem implicitplot:

> implicitplot(x^2/49-y^2/36=1,x=-10..10,y=-7..7);

Ověříme parametrické vyjádření hyperboly dosazením do její implicitní rovnice:

> subs(x=a*cosh(t),y=b*sinh(t),x^2/a^2-y^2/b^2=1);simplify(%);

Protože parametrické vyjádření ,  odpovídá pouze jedné větvi hyperboly, vykreslíme celou hyperbolu použitím příkazu display:

> H1:=plot([7*cosh(t),6*sinh(t),t=-1..1]):
> H2:=plot([-7*cosh(t),6*sinh(t),t=-1..1]):
> display({H1,H2},view=[-10..10,-6..6]);