F2712 Matematika 2

Přírodovědecká fakulta
jaro 2008
Rozsah
4/3/0. 5 kr. (plus 2 za zk). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Jitka Strouhalová (cvičící)
Mgr. et Mgr. Filip Zlámal (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky - Fyzikální sekce - Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Rozvrh
St 8:00–9:50 F2,02012, Čt 14:00–15:50 F2,02012
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
F2712/01: Po 8:00–9:50 F4,03017, Po 12:00–12:50 F3,03015, P. Musilová
F2712/02: Čt 16:00–18:50 F4,03017, F. Zlámal
F2712/03: Út 16:00–18:50 Fs1,01017, J. Strouhalová
Předpoklady
Středoškolská matematika, problematika předmětu Matematika I
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Předmět je pokračováním Matematiky I, spolu s níž tvoří úvod do základů matematické analýzy, lineární algebry a teorie pravděpodobnosti. Je určen studentům bakalářských nefyzikálních a profesních fyzikálních programů. Jeho cílem je naučit studenty používat matematické postupy běžné v přírodních vědách, nikoli však jako pouhé rutinní procedury, ale s pochopením jejich podstaty. Výklad problematiky je založen spíše na názorném zavádění pojmů motivovaném potřebou konkrétního výpočetního aparátu přírodních věd (fyziky, chemie, biologie, věd o Zemi), popř. i geometrie, a na intuitivně pochopitelném vysvětlení vlastností těchto pojmů, než na tradičním schématu definice - věta --důkaz. Matematická tvrzení jsou však vždy formulována korektně, s uvedením potřebných předpokladů a pro názornost i protipříkladů. Pozornost je věnována rozvíjení znalostí a obecnějším vlastnostem pojmů, bez kterých se studium žádné přírodní vědy nemůže obejít: pojem funkce a základní pojmy lineární algebry. Student programů a oborů, kde je matematika přímo součástí vědní discipliny samotné, mohou předmět chápat jako průpravu pro absolvování nezbytných teoretických matematických disciplin.
Osnova
  • 4.Lineární algebra podruhé (Výlet do vyšší dimenze: kde selhává geometrická představa, jsou algebraické procedury nenahraditelné.) 4.1 Vektorové prostory (1. týden) (Je možné, že na matici lze hledět jako na vektor a s vektorem pracovat jako s maticí? ) * grupa, okruh, pole -- v lineární algebře potřebujeme nutně struktury, které samy ještě linearitu nevykazují * vektorový prostor konečné dimenze: axiomy, lineární závislost a nezávislost, báze, příklady -- matice jako vektory * reprezentace vektorů v bázích: vektory jako matice a jak poznáme, že jde o stejný vektor, jen báze je jiná ? * vektorové podprostory, součet a průnik podprostorů, doplňky podprostorů, dimenze a báze podprostorů 4.2 Lineární zobrazení vektorových prostorů (2. týden) (Vzor a obraz mohou být prvky různých vektorových prostorů, linearita zobrazení zachovává operace.) * definice lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení * reprezentace lineárních zobrazení v bázích -- matice opět ve hře * jádro a obraz lineárního zobrazení * projekce 5. Souřadnicové systémy (Geometrům ani fyzikům nestačí pravoúhlé souřadnice. Třeba i proto, že se jim v nich nelíbí rovnice kružnice nebo popis pohybu planet.) 5.1 Kartézská soustava souřadnic z jiného pohledu (3. týden) (Tou pravoúhlou soustavou však v každém případě začneme.) * kartézské souřadnice v R2 a R3 * souřadnicové přímky a roviny * elementární plocha a objem 5.2 Křivočaré soustavy souřadnic (3. a 4. týden) (Souřadnicové přímky a roviny se deformují.) * parciální derivace: malá předběžná exkurze do světa funkcí více proměnných * polární a válcové souřadnice, jejich souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem * kulové souřadnice, souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem * obecné křivočaré souřadnice, jejich souřadnicové křivky a plochy, elementární plocha a objem 6.Lineární algebra naposledy (Lineární operátor třídí vektory do podprostorů.) 6.1 Skalární součin (5. a 6. týden) (Co znamená kolmost, úhly a délky ve vyšší dimenzi.) * skalární součin -- nová struktura na starém podkladu * ortonormální báze * ortogonální projekce, metoda nejmenších čtverců z pohledu algebry 6.2 Problém vlastních hodnot (7. a 8. týden) (Lineární operátor zachovává směr některých vybraných vektorů, změní pouze jejich délku.) * vlastní vektory a vlastní hodnoty lineárních operátorů, diagonalizace, spektrum * ortogonální a symetrické operátory a jejich diagonální tvar: diagonální matice je pěkná a hlavně jednoduchá * lineární operátory a tenzorové veličiny * linearita v technických aplikacích 7.Obyčejné diferenciální rovnice (Příroda neodkrývá své závislosti rovnou, informuje nás o změnách, jazykem matematiky o derivacích.) 7.1 Rovnice prvního řádu (9. týden) (Co má společného jaderný rozpad s pohlcováním záření v látce?) * rovnice se separovanými proměnnými, zákon rozpadu jader, pohlcování rtg záření v látce, řešení rovnic * linearita (už zase) a exponenciální zákony * lineární rovnice 7.2 Lineární rovnice druhého (i vyššího) řádu (9. a 10. týden) (Od zrychlení k trajektorii a od diferenciálních rovnic k algebraickým.) * homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty * nehomogenní lineární rovnice, řešení metodou variace konstant * pohybové rovnice jednoduchých soustav, kmity, ... 7.3 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic (11. týden) (Opět pomůže lineární algebra.) * soustavu rovnic libovolného řádu lze převést na soustavu prvního řádu (a zpět) * soustavy rovnic prvního řádu * soustavy rovnic druhého řádu: kmity soustav s více objekty, příklady z nefyzikálních disciplin 8.Zmínka o funkcích více proměnných (Sledujeme-li závislost funkce na jedné z proměnných, zacházíme s ostatními jako s konstantami.) 8.1 Funkce a jejich grafy (12. týden) (Graf funkce dvou proměnných ještě umíme nakreslit.) * funkce dvou a tří proměnných * grafy funkcí dvou proměnných, kvadratické plochy * parciální derivace, řetězové pravidlo pro derivování složených funkcí * úplný diferenciál -- zase linearita * gradient -- směr největšího spádu grafu funkce, vrstevnice nebo ekvipotenciální plocha - křivka nebo plocha nulového spádu funkce 8.2 Diferenciální operátory (13. týden) (Také jsou lineární.) * vektorové funkce více proměnných, siločáry, indukční čáry, proudnice a vůbec integrální čáry vektorových polí * divergence a rotace vektorového pole, operátor "nabla" a Laplaceův operátor
Literatura
  • http://physics.muni.cz/~pavla/teaching.php
  • KVASNICA, Jozef. Matematický aparát fyziky. Vyd. 2., opr. Praha: Academia, 1997. 383 s. ISBN 8020000887. info
Informace učitele
Podrobné informace na http://www.physics.muni.cz/~pavla/teaching.php Požadavky k získání zápočtu: (1) účast ve cvičení (neúčast v každém cvičení lze nahradit vyřešením a odevzdáním příkladů stanovených cvičícím učitelem), (2) získání nejméně 50 procent dosažitelných bodů na písemkách. písemek), (3) odevzdání průběžně zadávaných domácích úkolů dle pokynů cvičícího učitele.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020.