F4260 Variační počet a jeho aplikace

Přírodovědecká fakulta
jaro 2023
Rozsah
2/1/0. 3 kr. (plus ukončení). Ukončení: k.
Vyučující
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (přednášející)
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Stanislav Hronek (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky - Fyzikální sekce - Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: Mgr. Michael Krbek, Ph.D.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky - Fyzikální sekce - Přírodovědecká fakulta
Předpoklady
Diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
předmět má 8 mateřských oborů, zobrazit
Cíle předmětu
Základní fyzikální a jiné teorie jsou často založeny na variačním principu, spočívajícím v nalezení podmínek pro stacionárnost a minimalitu jistého funkcionálu, přičemž funkcionály lze chápat jako funkce funkcí. Například v mechanice se jedná o zobrazení přiřazující přípustným trajektoriím v konfiguračním prostoru mechanické soustavy reálné číslo vhodně definovaným integrálem (definice vychází z fyzikálních požadavků na symetrie). Podmínka stacionarity pak vede k nalezení pohybových rovnic soustavy. Obdobná je situace v teorii polí, kde se "trajektoriemi" rozumí vyjádření veličin popisujících pole v závislosti na prostoročasových souřadnicích. Podstata problému je však stejná. Vedle problému pohybových rovnic samotných je třeba řešit otázku okrajových podmínek (tzv. úlohy s pevnými resp. volnými konci). Uvedené a mnohé další problémy jsou v matematice řešeny v rámci disciplíny zvané "Variační počet."


Cílem předmětu je poskytnout jeho absolventům základní matematické znalosti z oblasti variačního počtu, zejména se zaměřením na výše uvedené problémy, a představu o možnostech využití variačního počtu pro řešení fyzikálních, popřípadě technických úloh.

Výstupy z učení
Absolvováním disciplíny získá student tyto základní znalosti a dovednosti:

* Pochopení podstaty variační úlohy, její formulace a řešení.
* Pochopení podstaty odlišnosti variačních úloh s různým typem okrajových podmínek (pevné konce, volné konce).
* Zvládnutí praktických výpočetních postupů při řešení rovnic vyplývajících z formulace variačních úloh.
* Pochopení pojmu integrálů pohybu.
* Pochopení rozdílu mezi stacionaritou a minimalitou funkcionálu.
* Použití variačního počtu při řešení konkrétních úloh z oblasti variačních fyzikálních teorií.
Osnova
  • 1. Přednáška

  • (a) Seznámení s obsahem a výstupy kurzu, doporučená literatura (Gelfand&Fomin, Giaquinta-Hildebrandt, Hildebrandt-Tromba, Jost) (b) Požadavky na ukončení předmětu (c) Historie: Antika (Euklides, Dido), Newton, Bernoulliové, Euler, Lagrange, Jacobi, Weierstrass, Riemann, Hilbert, Caratheodóry (d) Aplikace: fyzika, geometrie, zpracování obrazu, ekonomie, všechny ostatní přírodní vědy, inženýrství, ... (e) Seznámení s funkcionály

  • 2. Přednáška

  • (a) Problém královny Dido a jeho řešení (Hurwitz   1900) přímou metodou (b) Nevýhody přímých metod, nepřímé metody

  • 3. Přednáška

  • (a) Prostory funkcí a normy na nich (b) Lineární funkcionály (c) Základní lemmata variačního počtu (d) Variace funkcionálu (e) Stacionární body a relativní extrémy: Euler-Lagrangeovy rovnice podruhé

  • 4. Přednáška

  • (a) Speciální případy integrandů - lagrangiánů, převod na kvadratury (b) Zobecnění pro případ více závislých proměnných (c) Úloha s volnými konci

  • 5. Přednáška

  • (a) Variační derivace (b) Invariance Euler-Lagrangeových rovnic vůči bodovým a jiným transformacím (c) Využití invariance k řešení rovnic

  • 6. Přednáška

  • (a) Nutné a postačující podmínky pro minimum (b) Legendreova podmínka (c) Konjugované body a Jacobiho podmínka

  • 7. Přednáška

  • (a) Kanonický tvar Euler-Lagrangeových rovnic (b) Legendreova transformace (c) Hamiltonovy rovnice

  • 8. Přednáška

  • (a) Kanonické transformace (b) Hamilton-Jacobiho teorie

  • 9. Přednáška

  • (a) Věty Noetherové (b) Zákony zachování

  • 10. Přednáška

  • (a) Parametrické variační problémy (b) Finslerova geometrie (c) Caratheodoryho královská cesta k variačnímu počtu

  • 11. Přednáška

  • (a) Variační problémy s vícenásobnými integrály (b) Lineární teorie pružnosti, krychlová mřížka limitně sféricky symetrická (c) Zákony zachování, tenzor energie-hybnosti, tenzor momentu hybnosti

  • 12. Přednáška

  • (a) Aproximativní (přímé) metody ve variačním počtu (b) Ritzova variační metoda (c) Sturm-Liouvilleova úloha

Literatura
    doporučená literatura
  • GEL'FAND, Izrail Moisejevič a Sergej Vasil'jevič FOMIN. Calculus of variations. Edited by Richard A. Silverman. Mineola, N. Y.: Dover Publications, 2000. vii, 232 s. ISBN 0-486-41448-5. info
    neurčeno
  • GIAQUINTA, Mariano a Stefan HILDEBRANDT. Calculus of variations. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 474 s. ISBN 354050625X. info
  • GIAQUINTA, Mariano a Stefan HILDEBRANDT. Calculus of variations. Berlin: Springer-Verlag, 1996. xxix, 652. ISBN 3540579613. info
  • HILDEBRANDT, Stefan a Anthony TROMBA. The parsimonious universe : shape and form in the natural world. New York: Copernicus, 1996. XIII, 330. ISBN 0387979913. info
  • JOST, Jürgen a Xianqing LI-JOST. Calculus of variations. First published. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. xvi, 323. ISBN 9780521057127. info
Výukové metody
Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady
Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru. Občasné domácí úlohy.
Metody hodnocení
Typ výuky: přednáška a cvičení.


Závěrečné hodnocení: kolokvium (samostatné domácí řešení úlohy a následná rozprava nad ním). Úloha bude zadána během semestru také na základě zájmu studentky/studenta.

Informace učitele
Příprava ke kolokviu a jeho průběh: Výběr jedné úlohy ze zadaného seznamu, předvedení vyřešení úlohy při kolokviu vedeném seminárním způsobem, diskuse.
Další komentáře
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
Výuka probíhá každý týden.
S.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2018, jaro 2021.