Oscillation and spectral theory of Sturm-Liouville differential equations with nonlinear dependence in spectral parameter

ŠIMON HILSCHER, Roman. Oscillation and spectral theory of Sturm-Liouville differential equations with nonlinear dependence in spectral parameter. Dynamic Systems and Applications. Atlanta, USA: Dynamic Publishers,Inc., 2013, vol. 22, No 1, p. 115-124. ISSN 1056-2176.

Basic information

• Original name: Oscillation and spectral theory of Sturm-Liouville differential equations with nonlinear dependence in spectral parameter
• Name in Czech: Oscilační a spektrální teorie Sturmových-Liouvilleových diferenciálních rovnic s nelineární závislostí na spektrálním parametru
• Authors: ŠIMON HILSCHER, Roman (203 Czech Republic, guarantor, belonging to the institution).
• Edition: Dynamic Systems and Applications, Atlanta, USA, Dynamic Publishers,Inc. 2013, 1056-2176.

Other information

• Original language: English
• Type of outcome: Article in a journal
• Field of Study: 10101 Pure mathematics
• Country of publisher: United States of America
• Confidentiality degree: is not subject to a state or trade secret
• Impact factor: Impact factor: 0.375
• RIV identification code: RIV/00216224:14310/13:00066009
• Organization unit: Faculty of Science
• UT WoS: 000328805600008
• Keywords (in Czech): Sturmova-Liouvilleova diferenciální rovnice; nelineární závislost na spektrálním parametru; konečná vlastní hodnota; konečná vlastní funkce; oscilační věta
• Keywords in English: Sturm-Liouville differential equation; nonlinear dependence on spectral parameter; finite eigenvalue; finite eigenfunction; oscillation theorem
• Tags: AKR, rivok
• Tags: International impact, Reviewed

Abstract

In this paper, we consider the eigenvalue problem for the second order Sturm-Liouville differential equation and the Dirichlet boundary conditions. Our setting is more general than in the current literature in two respects: (i) the coefficients depend on the spectral parameter lambda in general nonlinearly, and (ii) the potential is merely monotone in lambda and not necessarily strictly monotone in lambda, so that the usual strict normality assumption is now removed. This general setting leads to new definitions of an eigenvalue and an eigenfunction - called a finite eigenvalue and a finite eigenfunction. With these new concepts we show that the finite eigenvalues are isolated, bounded from below, and establish an oscillation theorem, i.e., a result counting the zeros of the finite eigenfunctions. The traditional theory in which the potential is linear and strictly monotone in lambda nicely follows from our results.

Abstract (in Czech)

V tomto článku studujeme problém vlastních hodnot pro Sturmovu-Liouvilleovu diferenciální rovnici druhého řádu s Dirichletovými okrajovými podmínkami. Uvažovaná úloha je obecnější, než se dosud v literatuře studovalo, ve dvou ohledech: (i) koeficienty závisejí na spektrálním parametru nelineárně, (ii) potenciál je pouze monotónní a ne nutně ostře monotónní, což umožňuje vypustit standardní předpoklad ostré normality. Tyto obecné předpoklady vedou k nové definici vlastních hodnot a vlastních funkcí - nazývané konečné vlastní hodnoty a konečné vlastní funkce. Pomocí těchto nových pojmů jsme dokázali oscilační větu, tj. výsledek udávající počet nulových bodů konečných vlastních funkcí. Tradiční teorie, ve které je potenciál lineární a ostře monotónní ve spektrálním parametru, je pak bezprostředním důsledkem našich nových výsledků.

Links

• GAP201/10/1032, research and development project: Name: Diferenční rovnice a dynamické rovnice na ,,time scales'' III (Acronym: Difrov)

Investor: Czech Science Foundation

• MSM0021622409, plan (intention): Name: Matematické struktury a jejich fyzikální aplikace

Investor: Ministry of Education, Youth and Sports of the CR, Mathematical structures and their physical applications