On a new normalization for tractor covariant derivatives

ŠILHAN, Josef, Vladimír SOUČEK, Petr SOMBERG and Matthias HAMMERL. On a new normalization for tractor covariant derivatives. Journal of the European Mathematical Society. Springer, 2012, vol. 14, No 6, p. 1859-1883. ISSN 1435-9855. Available from: https://dx.doi.org/10.4171/JEMS/349.

Basic information

• Original name: On a new normalization for tractor covariant derivatives
• Name in Czech: O nové normalizaci traktorové kovariantní derivace
• Authors: ŠILHAN, Josef (203 Czech Republic, guarantor, belonging to the institution), Vladimír SOUČEK (203 Czech Republic), Petr SOMBERG (203 Czech Republic) and Matthias HAMMERL (40 Austria).
• Edition: Journal of the European Mathematical Society, Springer, 2012, 1435-9855.

Other information

• Original language: English
• Type of outcome: Article in a journal
• Field of Study: 10101 Pure mathematics
• Country of publisher: Switzerland
• Confidentiality degree: is not subject to a state or trade secret
• WWW: URL
• Impact factor: Impact factor: 1.880
• RIV identification code: RIV/00216224:14310/12:00064347
• Organization unit: Faculty of Science
• Doi: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/349
• UT WoS: 000311877200005
• Keywords (in Czech): Parabolická geometrie - prodlužování invariantních PDEs - BGG sekvence - traktorová kovariantní derivace - projektivní geometrie - konformní geometrie - Grassmannovská geometrie
• Keywords in English: Parabolic geometry - prolongation of invariant PDE’s - BGG sequence - tractor covariant derivatives - projective geometry - conformal geometry - Grassmannian geometry
• Tags: AKR, rivok
• Tags: International impact, Reviewed

Abstract

A regular normal parabolic geometry of type G/P on a manifold M gives rise to sequences $D_i$ of invariant differential operators, known as the curved version of the BGG resolution. These sequences are constructed from the normal covariant derivative $\nabla^\omega$ on the corresponding tractor bundle V, where $\omega$ is the normal Cartan connection. The first operator $D_0$ in the sequence is overdetermined and it is well known that $\nabla^\omega$ yields the prolongation of this operator in the homogeneous case M = G/P. Our first main result is the curved version of such a prolongation. This requires a new normalization of the tractor covariant derivative on V. Moreover, we obtain an analogue for higher operators $D_i$. In that case one needs to modify the exterior covariant derivative $d^{\nabla^\omega}$ by differential terms. Finally we illustrate these results with simple examples in projective, conformal and Grassmannian geometry. Our approach is based on standard BGG techniques.

Abstract (in Czech)

Na regulární normální parabolické geometrii na varietě M máme sekvenci D_i invariantních diferenciálních operátorů známou jako křivou verzi BGG rezoluce. Tyto sekvence jsou konstruované pomocí normální kovariantní derivace $\nabla^omega$ na příslušném traktorovém bandlu V, kde $\omega$ je nomální Cartanova konexe. První operátor $D_0$ v sekvenci je přeurčený a je známo, že $\nabla^\omega$ dává prodloužení tohoto operátoru v homogenním případě M=G/P. Náš první hlavní výsledek je křivá verze tohoto prodloužení. To vyžaduje novou normalizaci traktorové kovariantní derivace na V. Navíc získáme také analogii pro další operátory $D_i$ v sekvenci. V takovém případě je potřeba modifikovat vnější kovariantní drivaci $d^{\nabla^\omega}$ diferenciálními členy. Na konci demonstrujeme tyto výsledky na jednoduchých příkladech v projektivní, konformní a Grassmanovské geometrii. Náš přístup je založen na standardní BGG technice.

Links

• LC505, research and development project: Name: Centrum Eduarda Čecha pro algebru a geometrii

Investor: Ministry of Education, Youth and Sports of the CR, Eduard Čech Center for Algebra and Geometry