Genera of conjoined bases of linear Hamiltonian systems and limit characterization of principal solutions at infinity

ŠEPITKA, Peter and Roman ŠIMON HILSCHER. Genera of conjoined bases of linear Hamiltonian systems and limit characterization of principal solutions at infinity. Journal of Differential Equations. Elsevier, 2016, vol. 260, No 8, p. 6581-6603. ISSN 0022-0396. Available from: https://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2016.01.004.

Basic information

• Original name: Genera of conjoined bases of linear Hamiltonian systems and limit characterization of principal solutions at infinity
• Name in Czech: Geny izotropických bazí lineárních hamiltonovských systémů a limitní charakterizace hlavních řešení v nekonečnu
• Authors: ŠEPITKA, Peter (703 Slovakia, belonging to the institution) and Roman ŠIMON HILSCHER (203 Czech Republic, guarantor, belonging to the institution).
• Edition: Journal of Differential Equations, Elsevier, 2016, 0022-0396.

Other information

• Original language: English
• Type of outcome: Article in a journal
• Field of Study: 10101 Pure mathematics
• Country of publisher: United States of America
• Confidentiality degree: is not subject to a state or trade secret
• Impact factor: Impact factor: 1.988
• RIV identification code: RIV/00216224:14310/16:00089253
• Organization unit: Faculty of Science
• Doi: http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2016.01.004
• UT WoS: 000371450000006
• Keywords (in Czech): lineární hamiltonovský systém; gen izotropických bazí; hlavní řešení v nekonečnu; antihlavní řešení v nekonečnu; Riccatiho diferenciální rovnice; kontrolovatelnost
• Keywords in English: Linear Hamiltonian system; Genus of conjoined bases; Principal solution at infinity; Antiprincipal solution at infinity; Riccati differential equation; Controllability
• Tags: AKR, rivok
• Tags: International impact, Reviewed

Abstract

In this paper we derive a general limit characterization of principal solutions at infinity of linear Hamiltonian systems under no controllability assumption. The main result is formulated in terms of a limit involving antiprincipal solutions at infinity of the system. The novelty lies in the fact that the principal and antiprincipal solutions at infinity may belong to two different genera of conjoined bases, i.e., the eventual image of their first components is not required to be the same as in the known literature. For this purpose we extend the theory of genera of conjoined bases, which was recently initiated by the authors. We show that the orthogonal projector representing each genus of conjoined bases satisfies a symmetric Riccati matrix differential equation. This result then leads to an exact description of the structure of the set of all genera, in particular it forms a complete lattice. We also provide several examples, which illustrate our new theory.

Abstract (in Czech)

V tomto článku odvozujeme obecnou limitní charakterizaci hlavních řešení v nekonečnu pro lineární hamiltonovské systémy bez předpokladu kontrolovatelnosti. Hlavní výsledek je formulován pomocí limity s antihlavními řešeními v nekonečnu. Přínos článku spočívá v tom, že hlavní a antihlavní řešení v nekonečnu mohou patřit do dvou různých genů izotropických bazí, tj. eventuální obrazy prvních komponent těchto řešení mohou být různé. Za tímto účelem rozšiřujeme teorii genů izotropických bazí, která byla nedávno zavedena autory článku. Ukazujeme, že ortogonální projektor reprezentující každý gen splňuje symetrickou Riccatiho diferenciální rovnici. Tento výsledek vede k přesnému popisu struktury množiny všech genů izotropických bazí daného systému, která je úplným svazem. Na závěr uvádíme několik příkladů, které ilustrují naši novou teorii.