Matematické usuzování a zpracování numerických podnětů Hynek Cígler, Vendula Šamajová Katedra psychologie & Institut pro výzkum dětí, mládeže a rodiny Fakulta sociálních studií, Masarykova univerzita Třikrát jsme zvážili čtyři různé kočky. Podívej se na výsledky: Spočítej, kolik váží kočka na následujícím obrázku: Výsledek zdůvodni. Spočítej, kolik váží kočka na následujícím obrázku: Výsledek zdůvodni. Co to jsou matematické schopnosti? Kolik je tady slonů? Kde je více? Franta má pět korun. Petr má o dvě koruny více. Kolik korun má Petr? Franta má pět korun. To je o dvě více, než má Petr. Kolik korun má Petr? Umístěte na číselnou osu číslo 134 115 237 Umístěte na číselnou osu číslo 61 v limitu 1,25 sekundy 42 87 Do které konvice se vejde více kávy? Jak pokračuje číselná řada 85, 84, 83, 82... ? Dva bagry vykopou polovinu příkopu za tři dny. Za jak dlouho vykopou celý příkop tři bagry? cos 𝑥 2+𝑥 = 2𝜋; 𝑥 = ? Jaká je pravděpodobnost, že na 3 kostkách alespoň jednou z pěti hodů padne součet 14 nebo vyšší? Sestrojte rovnoramenný trojúhelník se základnou c=2cm a odvěsnami a=b=4cm. Zdroje variability Intraindividuální vs. interindividuální. ◦Lokálně-homogenní konstrukty ◦Lokálně-heterogenní konstrukty ◦Lokálně-irelevantní konstrukty Rozdílné pohledy: Psychometrika interindividuální variabilita Kognitivní psychologie zpracování informace, intraindividuální variabilita Kognitivně-vzdělávací přístup správné a špatné řešení, kulturní specifika Vyšší matematické schopnosti.. ... predikují vyšší velikost příjmu, zaměstnatelnost, kariérní postup, životní spokojenost a řadu dalších. ◦ Rivera-Batiz (1992), Paglin a Rufolo (1990), Rose a Betts (2004), Parson a Bynner (2005) 0.80 0.00 0.80 D P1 P2 Faktorová indeterminace LOVE – Left (Out) Variable Error 0.64 D P1 0.80 P1 P2 Faktorová indeterminace LOVE – Left (Out) Variable Error Cígler (2018) Psychometrický pohled: CHC teorie https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carroll_three_stratum_model_of_human_Intelligence.png Cígler (2018) (Phelps a kol., 2005) g vs. Gq/RQ: CFT vs. TIM B18. Do 3. B chodí 12 chlapců a 12 děvčat. Do keramiky chodí z této třídy 15 dětí, do souboru chodí z této třídy také 15 dětí. Každé dítě chodí aspoň do jednoho kroužku. Kolik dětí ze 3. B navštěvuje oba kroužky zároveň? g vs. Gq/RQ: CFT vs. TIM Pozorované: r = 0,643 SEM: β = 0,867 ◦ (po kontrole věku) ◦ βTIM = 0,090 ◦ βCFT = 0,293 ◦ MG mixed CFA (WLSMV). ◦ χ2(1077) = 1159,9, p = 0,040, TLI = 0,974, RMSEA = 0,020 s CI90% = [0,005; 0,028] ◦ N = 401. (Floyd a kol., 2003) Inteligence Matematické usuzování Matematické znalosti Matematický výkon Aritmetika, numerické operace Jiné faktory (motivace...) Matematické vzdělávání Thorndike (1922): znalost výpočtu obsahu obdélníku nelze transformovat do znalosti výpočtu obsahu trojúhelníku. Schoenfeld (1988): příliš názorná výuka zhoršuje porozumění. Carbonneau a kol. (2013): metaanalýza (n=55) efektivity pomůcek. Zapamatování, řešení problémů, transfer znalosti. ◦ Míra instruování podporuje zapamatování, snižuje transfer. ◦ Nejefektivnější je krátká doba používání pomůcky (do 14 dní), bez vlivu na transfer; dlouhá doba má negativní efekt. ◦ Pro transfer se efekty neliší dle oblasti matematiky, jinak ano (výhodné u zlomků, znalosti v algebře). ◦ Percepční bohatost podporuje transfer, naopak snižuje zapamatování a řešení problémů (a naopak). ◦ Různé efekty pro různě staré děti (zejm. zapamatování a konkrétní stadium). Vývoj matematického usuzování, nekognitivní aspekty Muryama a kol. (2013): longitudinální analýza dětí mezi 5.-10. třídou. ◦ Inteligence vysvětlila intercept vývojové křivky, nikoli sklon. ◦ Rychlost učení vysvětlily motivace a kognitivní strategie, nikoliv inteligence. Matematická úzkostnost, matematické self-efficacy. Emoce ve výuce (moderují matematický výkon; McLeod, 1992). Předpoklady se neliší dle pohlaví či rasy, jiné důvody (Jacobs, 2005). Nosek a kol. (2009): mezinárodní studie genderových stereotypů (IAT) a skutečného rozdílu ve výkonu mužů a žen v testu TIMSS. Stereotypy souvisí s výkonem, β = 0,63***. Chlapci prakticky neskórují lépe než dívky: -0,31 < d < 0,40 (SD = 0,15). Slovensko Jak ale lidé k řešení matematických úloh dospějí? Kognitivní procesy vedoucí k řešení Rutinní vs. nerutinní problém ◦ „Kvantitativní myšlení o kvalitativních problémech.“ ◦ (Mayer a kol., 1992). Mayer (1994): Model reprezentace problému. ◦ Překlad. ◦ Integrace. ◦ Plánování. ◦ Provedení postupu. Strategie přímého překladu vs. tvorba modelu. Hypotéza konzistentního jazyka Konzistentní: Petr má o 5 korun více než Pavel. Pavel má 10 korun. Kolik korun má Petr? Nekonzistentní: Petr má o 5 korun více než Pavel. Petr má 10 korun. Kolik korun má Pavel? Příznakovost. ◦ Sčítání vs. odčítání, násobení zlomkem 2/3 vs. 3/2. Typické chyby v matematice Racionální omyl (Ben-Zeev, 1995; 1996): Chybná indukce pravidel. ◦ např. 1 3 + 1 2 = 2 5 Analogické usuzování, chybný transfer informace. ◦ Transfer znalostí nefunguje tak jednoznačně, jak se obecně soudí. ◦ (Viz Thorndikovy experimenty s obsahem geometrických obrazců.) ◦ Hejného metoda? REASON model (Ben-Zeev, 1998) vysvětluje právě chybu v analogii a uplatnění jinde správného pravidla na neadekvátní kontext. Jak ale „numerace“ vzniká? Jak se vyvíjí? Vývoj matematických představ Thorndike (1921): Dril v aritmetice, transfer dovedností. Piaget (a Szeminska, 1952): konstruktivismus ◦(resp. strukturalismus). Gelman a Gallistel (1979): Počátek moderních přístupů. Moderní přístupy, kognitivní i nekognitivní aspekty. Od enumerace k numeraci Pět pravidel podle Gellmana a Galistela (1979): ◦ 1. „one-to-one correspondence“; ◦ 2. pořadí čísel je neměnné ; ◦ 3. počítání je kardinální; ◦ 4. počítání je abstraktní; ◦ 5. prvky lze počítat v libovolném pořadí. Zpravidla v 5 letech, ale chyby v doplňkových dovednostech: ◦ 6. počítání probíhá vždy z jedné strany na druhou (NE!); ◦ 7. je vždy nutné počítat sousedící prvky (NE!). Od enumerace k numeraci Saxe (1982) zkoumal tribální kmen Oksapmin z Papui. ◦ Prearitmetická práce s čísly. ◦ Většina kmene negramotná. Příklad 9+7: Jak bude Oksapmin postupovat? Saxe (in Cígler, 2018) 9+7 Saxe (in Cígler, 2018) 9+7 Saxe (in Cígler, 2018) 9+7 Saxe (in Cígler, 2018) 9+7 Od enumerace k numeraci Osvojování si aritmetiky probíhá stejně ve všech kulturách. ◦ Jen jiné tempo (Piantadosi a kol., 2014; Butterworth a kol., 2008). Označení čísel ovlivňuje základní aritmetické operace, typické chyby i chápání množství. ◦ S rostoucí mírou „profesionality“ a abstraktnosti reprezentace se vliv stírá. ◦ Rozdíl mezi asijskými a euroamerickými dětmi v PISA, TIMSS atd. nemusí být způsobem motivací či výukou, ale i kulturními rozdíly (v pozdějším věku se rozdíly zmenšují). Vliv pravidel- nosti číselného systému Miller a Paredes (1996) Vliv pravidelnosti číselného systému 3–5leté děti Miller a Paredes (1996) Vliv pravidelnosti číselného systému neuronová síť Miller a Paredes (1996) Transfer číslicového systému  Near miss: ±2 od správné odpovědi.  Expansion: Chybný počet číslic.  Reverse: jednotky druhého sčítance přičteny k desítkám prvního. Miller a Paredes (1996) MŠ3. třída6. třída dospělí Pořadí vývoje stejné u amerických i čínských dětí. ◦ Malé-velké → liché-sudé (Miller & Gelman, 1983) Nyní se objeví zaměřovací kříž. Upřete na něj zrak. Následně se objeví dvě množiny objektů. Na které straně je více? 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 Nyní se opět objeví zaměřovací kříž. Upřete na něj zrak. Následně sledujte kříž na obrazci, dokud se neobjeví nový objekt. (Burr a Ross, 2008) Object tracking system (OTS), subitizing paralelní, 4±0 objektů (Jevons, 1871). 3. trimestr těhotenství (Antell a Keating, 1983; Schleger a kol., 2014) kardinalita neimplikuje ordinalitu (Picozzi a kol., 2010) nezávislý na senzorické modalitě (Izard, 2009) malé interindividuální rozdíly, nesouvisí s aritmetikou (Ceulemans a kol., 2015) závislost na pozornosti (Burr a kol., 2010) Aproximate number system (ANS) ANS: přibližný vjem většího množství. OTS a ANS jsou disociované, obtížný přechod ◦ (Feigenson a kol., 2004). ◦ Diskontinuita při diferenciaci u kojenců (Coubart a kol., 2014) ◦ Disociace klesá s věkem (Feigenson a Carey, 2005), dospělí si mohou „volit“ (Agrillo a kol., 2015). Kulturně nezávislé – ale ANS jako součást vizuálního systému a paměti nepřenositelný. ◦ „Číslo jako kognitivní technologie.“ (Frank a kol., 2008; Everett, 2005). ◦ U malých dětí proto souvisí s jazykem (Brysbaert a kol., 1998). Výchozí předpoklady • Charakteristicky lidská schopnost symbolicky kódovat numerické informace • Existence vrozených nesymbolických numerických dispozic • Nezávislé na lidském jazyce – předcházející osvojení číselného aparátu • Biologická podmíněnost a univerzalita • Napříč ontogenetickým vývojem – od narození (Izard et al., 2009; Antell & Keating, 1983), v posledním trimestru těhotenství (Schleger et al., 2014) • Napříč fylogenetickým vývojem – evoluční význam (Agrillo, Piffer, & Adriano, 2013; Taves, 1941; Kaufmann et al., 1949; Gelman & Gallistel, 1978) • Báze tzv. aproximativního numerického systému (ANS) • Dovednost odhadu kvantit Nesymbolické numerické schopnosti • Tzv. numerický smysl – ontogenetický vývoj > zpřesňování (Xu & Spelke, 2000) • Tzv. preverbální početní mechanismus (Meck a Church, 1983) – předpoklad rozvíjení symbolických (formálních) matematických schopností na bázi vrozených nesymbolických početních schopností (obdobné neurální koreláty, NPS jako prediktor SPS) • Aproximativní numerický systém (ANS) – přibližná mentální reprezentace počtu – rychlý a hrubý kvantitativní odhad • Aktivace při mohutnosti množin 4 a více prvků, při nižších počtech preference systému OTS (Cutini & Bonato, 2012) • Měření úlohami komparace (diskriminace) počtu – přesnost a rychlost diferenciace – informace o tzv. ostrosti ANS ANS • Senzitivita vůči tzv. rozsahu numerické vzdálenosti (Haist et al., 2015; Piazza et al., 2010) • Funkční výhoda rychlosti a relativní přesnosti zpracování stimulu, v závislosti na velikosti množin • Neurální koreláty • Specializované okruhy pro kódování množství – prefrontální a intraparietální kortexu – zejm. intraparietální sulkus (IPS) (Anderson & Penner-Wilger, 2013; Nieder & Miller, 2004) • Event. temporálně-okcipitální kortex (Cantlon et al., 2006; Izard et al., 2008; Nieder & Dehaene, 2009) • Senzorická / kognitivní báze • Vizuální aparát („visual-short term memory“ – VSTM) – subitizing, adaptace, W-F zákon • Asociační matematická centra – preferovaná množina, ne nutně největší • 2 úrovně neurálního zpracování množství v závislosti na náročnosti úlohy (Piazza et al., 2010; Hyde, 2011) Měření ANS • Úlohy komparace (diskriminace, diferenciace) množství – shluky objektů, např. teček (Holloway & Ansari, 2009) • Správnost a rychlosti odhadu > tzv. ostrost ANS – relativní poměr rozdílu v množství prvků (Chesney, 2018; Price et al., 2012) • Weber-Fechner zákon – nižší množství > nižší rozdíl potřebný pro správnou diskriminaci (Xu & Spelke, 2000) • Tzv. efekt numerické vzdálenosti (NDE, event. NRE – numerical ratio effect) Vztah ANS a symbolických matematických schopností • Presymbolické dispozice – ANS > pozdější vývoj matematických kompetencí – ENS (tzv. exaktní numerický systém) (Castronovo & Goebel, 2012) • ANS jako prediktor budoucího formálního výkonu a tedy i úspěchu v matematice (Gilmore, McCarthy, & Spelke, 2010; Halberda et al., 2008; Purpura & Logan, 2015; Starr, Libertus, & Brannon, 2013; Soto-Calvo et al., 2015) • Pozitivní efekt tréninku presymbolických numerických dovedností na výkon v aritmetických testech – příprava a podpora dětí v matematice (Park & Brannon, 2014; Brannon et al., 2016) – techniky nácviku matematického odhadu (Binterová & Hošpesová, 2003; Binterová et al., 2005; Samková, 2013) • Doklady kauzality (Feigenson, cit. dle Olmstead & Kuhlmeier, 2015) 1) individuální rozdíly ve funkci ANS již v dětství (Libertus & Brannon, 2010) 2) přesnost ANS predikující pozdější matematický výkon (Mazzocco et al., 2011) 3) zlepšení formálních mat. schopností trénováním ANS (Park & Brannon, 2014; Park et al., 2016) • ANS jako báze pro porozumění školní matematiky > slábnutí vztahu – postupná nezávislost aritmetických schopností na nesymbolickém základu Implikace ANS pro účel diagnostiky dyskalkulie • Souvislosti nesymbolického a symbolického aspektu početních schopností → spojitost jejich deficitu • Uplatnění dysfunkce ANS jako indikátoru dyskalkulie • Adaptace metod početního odhadu pro účel identifikace narušení matematických schopností přispívající k časnější diagnostice dyskalkulie a nastavení vhodné reedukace • Screening dyskalkulie • základní schopnosti, např.: číst čísla, chápat stálost množství, sčítat a srovnávat velikost jednomístných čísel (Mazzocco, 2005), odhadovat četnost (Geary et al., 2009), počítat pozpátku či umístit počet v rámci analogové škály (Deloche et al., 1999) • „The Dyscalculia Screener“ (Butterworth, 2003) – doména rozlišování množství (numerozity) • Předškolní období – specifické prekurzorové dovednosti (Aunio & Niemivirta, 2010; Butterworth & Laurillard, 2010) Měřící nástroj („Test početního odhadu“) – základní popis Výstup: informace o položce, správnost (S) a reakční čas (T) • Položková analýza – redukce položek z původních 120 (30-40-50) na finálních 85 (20-30-35) • Reliabilita (vnitřní konzistence, korelace subtestů s celkovým testem) (Sub)test αs αt αs redukovaná 2. subtest 0,69 0,95 0,74 3. subtest 0,78 0,96 0,82 4. subtest 0,74 0,97 0,83 Celkový test 0,87 0,99 0,91 (Sub)test 2. subtest 3. subtest 4. subtest Celkový test 2. subtest 1 ,698** ,445** ,762** 3. subtest ,698** 1 ,661** ,911** 4. subtest ,445** ,661** 1 ,878** Celkový test ,762** ,911** ,878** 1 Měřící nástroj („Test početního odhadu“) – psychometrické vlastnosti Výsledky – deskriptivní statistika • Tendence k větší úspěšnosti (přesnosti a rychlosti) početního odhadu u kontrolní skupiny správnost skupina N M SD SE S1 kontrolní 50 17,50 2,003 ,283 dyskalkulie 17 16,71 2,257 ,547 S2 kontrolní 50 26,72 2,241 ,317 dyskalkulie 17 24,41 4,583 1,112 S3 kontrolní 50 28,40 4,121 ,583 dyskalkulie 17 24,76 6,300 1,528 S kontrolní 50 72,62 7,102 1,004 dyskalkulie 17 65,88 11,554 2,802 Výsledky – regresní model • Regresní model • Vysvětlení 20 % rozptylu • Nízký vysvětlující potenciál sledovaných proměnných (uplatnění jiných faktorů) model 1 model 2 B std. β p B std. β p konstanta 54,13 <0,001 58,86 <0,001 věk 1,36 0,391 0,001 1,07 0,309 0,012 dyskalkulie -4,87 -0,232 0,056 adj. R2 0,153 0,200 F F(1; 65) = 11,716, p = 0,001 F(2; 64) = 8,002, p = 0,001 adj. ΔR2 0,047 ΔF F(1, 64) = 3,785, p = 0,056 Interpretace výsledků a diskuze • Přítomnost určitých rozdílů v početním odhadu ve prospěch kontrolní skupiny • Objasnění necelé čtvrtiny celkového rozptylu dovednosti početního odhadu – nezanedbatelný, avšak nikoli zásadní význam sledovaných proměnných • Důvody nevýznamnosti faktoru dyskalkulie – limity studie • Nižší velikost a vyšší heterogenita klinické skupiny, příp. znevýhodnění části kontrolní skupiny • Možná nižší konstruktová validita měření ANS (přesahující rozsah jeho kapacity) – uplatnění vyšších kognitivních funkcí • → projevení interindividuálních rozdílů (motivace, kognitivní procesy, příprava) • Alternativní vysvětlení – kompenzace deficitu symbolických matematických schopností využíváním nesymbolických procesů u dětí s dyskalkulií Budoucí výzkum • Zaměření výzkumu • Vztah mezi nesymbolickými a symbolickými numerickými schopnostmi • Vztah mezi nesymbolickými numerickými schopnostmi a vývojovou dyskalkulií • Vliv tréninku nesymbolických numerických dovedností na symbolické matematické schopnosti • Měřící nástroj • elektronický IRT adaptivní test • diferenciační úlohy, další prematematické úlohy (osy, úsečky) • Metody analýzy • LLTM model • … Weber-Fechnerův zákon: odhad Tradiční postup: adaptivní staircase, nebere v úvahu uhádnutelnost. ◦ Správně → obtížnější položka. ◦ Chybně → jednodušší položka. Obtížnost položky: 𝜏𝑖 = log2 𝑁𝑖,1 𝑁𝑖,2 ◦ 𝑁𝑖,1, 𝑁𝑖,2 – počty prvků vlevo, vpravo. Weber-Fechnerův zlomek: poměr, kdy respondent přestává rozlišovat ◦ Typicky 70–85% správnost. 0 1 2 3 4 5 0.00.51.01.52.0 Obtížnost položky: N1/N2 Logaritmusobtížnosti:|log2(N1/N2)| WF: uhádnutelnost Pilotní studie (Šamajová, 2019): N = 81, 104 položek. Model 0 – Raschův model: 𝑃 𝑥 = 1 = exp 𝜃 − 𝑏𝑖 1 + exp 𝜃 − 𝑏𝑖 Model 1 – Raschův model se spodní asymptotou: 𝑃 𝑥 = 1 = 𝑐𝑖 + 1 − 𝑐𝑖 exp 𝜃 − 𝑏𝑖 1 + exp 𝜃 − 𝑏𝑖 WF: uhádnutelnost WF: uhádnutelnost WF: uhádnutelnost Vztah obtížnosti a IRT odhadu lineární. ◦ Kvadratický člen nesignifikantní. ◦ Bez vlivu „vyšší“/„menší“. Silný vztah, β = 0,65, adjR2 = 0,42. Weber-Fechnerův zákon Model 2 – Explanační Raschův LLTM model: 𝑃 𝑥 = 1 = 𝑐𝑖 + 1 − 𝑐𝑖 exp 𝜃 − 𝜏𝑖 1 + exp 𝜃 − 𝜏𝑖 𝜏𝑖 = log2 𝑁𝑖,1 𝑁𝑖,2 Model 3 – M2 + náhodná obtížnost 𝑏𝑖 ∈ N 0, 𝜎𝑏 2 𝑃 𝑥 = 1 = 𝑐𝑖 + 1 − 𝑐𝑖 exp 𝜃 − 𝜏𝑖 + 𝑏𝑖 1 + exp 𝜃 − 𝜏𝑖 + 𝑏𝑖 Weber-Fechnerův zákon Model 4 – M2 + vliv větší/menší (𝑢𝑖 ∈ 0,1 ) 𝑃 𝑥 = 1 = 𝑐𝑖 + 1 − 𝑐𝑖 exp 𝜃 − 𝜏𝑖 + 𝑢𝑖 + 𝜐𝜏𝑖 𝑢𝑖 1 + exp 𝜃 − 𝜏𝑖 + 𝑢𝑖 + 𝜐𝜏𝑖 𝑢𝑖 Model 5 – M2 + absolutní počet prvků 𝒏𝒊 𝑃 𝑥 = 1 = 𝑐𝑖 + 1 − 𝑐𝑖 exp 𝜃 − 𝜏𝑖 + 𝑛𝑖 + 𝜈𝜏𝑖 𝑛𝑖 1 + exp 𝜃 − 𝜏𝑖 + 𝑛𝑖 + 𝜈𝜏𝑖 𝑛𝑖 Weber-Fechnerův zákon Zanedbání uhádnutelnosti: ◦ zkresluje odhad W-F zlomku ◦ zkresluje odhad chyby Poměr prvků dobře predikuje obtížnost položky. Slabý vliv počtu prvků. Bez vlivu „nahoru“/„dolů“ ◦ Po kontrole množství. AIC BIC saBIC Δχ2 df M0: b 7122,4 7373,8 7042,6 M1: b + c 7096,6 7348,0 7016,9 M0: 25,7*** 0 M2: τ + c 7280,3 7287,5 7278,1 M1: -387,7*** -102 M3: (τ+b) + c 7291,3 7300,9 7288,2 M2: -8,9** 1 M4: (τ+u+τ×u) + c 7269,2 7281,2 7265,4 M2: 15,1*** 2 M5: (τ+n+τ×n) + c 7232,7 7244,6 7228,9 M2: 51,7*** 2 M6: (τ+n+u)2 + c 7237,1 7256,3 7231,0 M5: 1,54 3 Děkujeme za pozornost! Hynek Cígler, Vendula Šamajová ◦ cigler@fss.muni.cz ◦ samajova.vendu@seznam.cz ◦ Katedra psychologie Institut pro výzkum dětí, mládeže a rodiny ◦ Fakulta sociálních studií, Masarykova univerzita ◦ psych.fss.muni.cz ◦ ivdmr.fss.muni.cz „Kolik hrušek jsme dali do košíku?“