Order convergence,order and interval topologies on posets and lattice effect algebras

PASEKA, Jan, Katarína MOSNÁ and Zdenka RIEČANOVÁ. Order convergence,order and interval topologies on posets and lattice effect algebras. In UNCERTAINTY 2008. Bratislav, Slovak Republic: Slovak University of Technology in Bratislava, Publishing House of STU, 2008, p. 45-62. ISBN 978-80-227-2926-0.

Basic information

• Original name: Order convergence,order and interval topologies on posets and lattice effect algebras
• Name in Czech: Uspořádaná konvergence, topologie uspořádání a intervalová topologie na posetech a svazových efektových algebrách
• Authors: PASEKA, Jan (203 Czech Republic, guarantor), Katarína MOSNÁ (703 Slovakia) and Zdenka RIEČANOVÁ (703 Slovakia).
• Edition: Bratislav, Slovak Republic, UNCERTAINTY 2008, p. 45-62, 18 pp. 2008.
• Publisher: Slovak University of Technology in Bratislava, Publishing House of STU

Other information

• Original language: English
• Type of outcome: Proceedings paper
• Field of Study: 10101 Pure mathematics
• Country of publisher: Slovakia
• Confidentiality degree: is not subject to a state or trade secret
• RIV identification code: RIV/00216224:14310/08:00026703
• Organization unit: Faculty of Science
• ISBN: 978-80-227-2926-0
• Keywords in English: order convergence; topological convergence; lattice effect algebra; de Morgan lattice
• Tags: de Morgan lattice, lattice effect algebra, order convergence, topological convergence
• Tags: International impact, Reviewed

Abstract

We can say that topology is practically equivalent with the concept of convergence. In the modern topology the concept of convergence of filters is discussed rather than convergence of nets. That is because, while convergence of nets is more intuitive, filters are easier to handle. Nevertheless, from the probability (on Boolean algebras or quantum structures) point of view the convergence of nets is the main tool. It is not only because of properties of states, probabilities or observables, but for algebraic properties of sets of events as well. In section 2 we review some of the standard facts about order convergence and topological convergence of nets and posets. Sections 3 and 4 include new results. In every complete atomic MV-effect algebra (MV-algebra) the order convergence of nets is a topological convergence, at which this order topology is a compact Hausdorff topology. As a consequence we obtain that on every complete atomic and block-finite lattice effect algebra the order topology is compact and Hausdorff. In Section 4 a uniform topology on every compactly generated de Morgan lattice is constructed and its connection with the order topology and order convergence is shown.

Abstract (in Czech)

Můžeme tvrdit, že topologie je prakticky ekvivalentní s pojmem konvergence. V moderní topologii pojem konvergence filtrů je studován častěji než pojem konvergence of sítí. Důvodem je, že zatímco konvergence sítí je daleko intuitivnější, s filtry se snadněji pracuje. Avšak, z pohledu teorie pravděpodobnosti (na Booleových algebrách nebo kvantových strukturách) je konvergence sítí to hlavní. Není to pouze z vlastností stavů, pravděpodobností nebo pozorovatelných, ale i z algebraických vlastností množin jevů. V 2. paragrafu je podán přehled základních faktů o uspořádané konvergenci a topologické konvergenci. Paragrafy 3 a 4 obsahují nové výsledky. V každé úplné atomické MV-efektové algebře (MV-algebře) je uspořádaná konvergence sítí topologická konvergence, přičemž topologie uspořádání je kompaktní Hausdorffova. Tedy každá úplná atomická a blokově konečná svazová efektová algebra má kompaktní Hausdorffovu topologii uspořádání. V paragrafu 4 je konstruována uniformní topologie na každém kompaktně generovaném de Morganově svazu a je ukázána souvislost s topologii uspořádání a uspořádanou konvergencí.

Links

• MSM0021622409, plan (intention): Name: Matematické struktury a jejich fyzikální aplikace

Investor: Ministry of Education, Youth and Sports of the CR, Mathematical structures and their physical applications