Definiteness of quadratic functionals for Hamiltonian and symplectic systems: A survey

ŠIMON HILSCHER, Roman and Petr ZEMÁNEK. Definiteness of quadratic functionals for Hamiltonian and symplectic systems: A survey. International Journal of Difference Equations. Delhi (Indie): Research India Publications, 2009, vol. 4, No 1, p. 49-67. ISSN 0973-6069.

Basic information

• Original name: Definiteness of quadratic functionals for Hamiltonian and symplectic systems: A survey
• Name in Czech: Definitnost kvadratických funkcionálů pro Hamiltonovské a symplektické systémy: Přehled výsledků
• Authors: ŠIMON HILSCHER, Roman (203 Czech Republic, guarantor, belonging to the institution) and Petr ZEMÁNEK (203 Czech Republic, belonging to the institution).
• Edition: International Journal of Difference Equations, Delhi (Indie), Research India Publications, 2009, 0973-6069.

Other information

• Original language: English
• Type of outcome: Article in a journal
• Field of Study: 10101 Pure mathematics
• Country of publisher: India
• Confidentiality degree: is not subject to a state or trade secret
• RIV identification code: RIV/00216224:14310/09:00028574
• Organization unit: Faculty of Science
• Keywords (in Czech): Lineární Hamiltonovský systém; Diskrétní symplektický systém; Časová škála; Symplektický systém na časové škále; Kvadratický funkcionál; Izotropická báze; Fokální bod; Nezápornost; Pozitivita
• Keywords in English: Linear Hamiltonian system; Discrete symplectic system; Time scale; Time scale symplectic system; Quadratic functional; Conjoined basis; Focal point; Nonnegativity; Positivity
• Tags: International impact, Reviewed

Abstract

In this paper we provide a survey of characterizations of the nonnegativity and positivity of quadratic functionals arising in the theory of linear Hamiltonian and symplectic systems. We study these functionals on traditional continuous time domain (under and without controllability), on discrete domain, and on time scale domain which unifies and extends both previous types. For each case we distinguish functionals with zero, separated, and jointly varying endpoints. The presented conditions are formulated in terms of the properties of a special conjoined basis of the considered linear system. It is now easy to compare all the results - between continuous, discrete, and time scale cases, between the zero, separated, and jointly varying endpoits, and between the nonnegativity and positivity.

Abstract (in Czech)

V tomto článku uvádíme přehled charakterizací nezápornosti a pozitivity kvadratických funkcionálů, které se vyskytují v teorii lineárních Hamiltonovských a symplektických systémů. Tyto funkcionály studujeme v tradičním spojitém případě, v diskrétním případě, a na časové škále, což sjednocuje a zobecňuje oba předchozí typy. Pro každý speciální případ rozlišujeme funkcionály s nulovými, separovanými a obecnými okrajovými podmínkami. Uvedené podmínky jsou formulovány pomocí vlastností speciální izotropické báze uvažovaného lineárního systému. Nyní je možné snadno porovnat všechny výsledky vzájemně mezi soubou - mezi spojitým a diskétním případem a případem na časové škále, mezi nulovými, separovanými a obecnými okrajovými podmínkami, a mezi nezáporností a pozitivitou.

Links

• GA201/07/0145, research and development project: Name: Diferenční rovnice a dynamické rovnice na ,,time scales'' II

Investor: Czech Science Foundation, Difference equations and dynamic equations on time scales II

• KJB100190701, research and development project: Name: Asymptotika, oscilace a kvadratické funkcionály v teorii dynamických rovnic

Investor: Academy of Sciences of the Czech Republic

• ME 891, research and development project: Name: Podmínky optimality druhého řádu pro optimalizační problémy

Investor: Ministry of Education, Youth and Sports of the CR, Second order optimality conditions for optimization problems, Research and Development Programme KONTAKT (ME)

• MSM0021622409, plan (intention): Name: Matematické struktury a jejich fyzikální aplikace

Investor: Ministry of Education, Youth and Sports of the CR, Mathematical structures and their physical applications