MASARYKOVA U N I V E R Z I T A E K O N O M I C K O - S P R Á V N Í F A K U L T A Vliv cen pohonných hmot na poptávku po dopravě metrem v Praze Diplomová práce RADIM PAVELEK Vedoucí práce: Mgr. Ing. Ondřej Špetík, Ph.D. Katedra ekonomie Program Matematické a statistické metody v ekonomii Brno 2026 IUI U N I ECON VLIV CEN POHONNÝCH HMOT NA POPTÁVKU PO DOPRAVĚ METREM V PRAZE Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Vedoucí práce: Rok: Počet stran: Klíčová slova: Radim Pavelek Ekonomicko-správní fakulta Masarykova univerzita Katedra ekonomie Vliv cen pohonných hmot na poptávku po dopravě metrem v Praze Matematické a statistické metody v ekonomii Mgr. Ing. Ondřej Špetík, Ph.D. 2026 78 Metro, Pohonné hmoty, Praha, 2022, SARIMAX, PDL VLIV CEN POHONNÝCH HMOT NA POPTÁVKU PO DOPRAVĚ METREM V PRAZE Bibliographic record Author: Radim Pavelek Faculty of Economics and Administration Masaryk University Department of Economics Title of Thesis: Impact of fuel prices on demand for metro transport in Prague Degree Programme: Mathematical and Statistical Methods in Economics Supervisor: Mgr. Ing. Ondrej Spetfk, Ph.D. Year: 2026 Number of Pages: 78 Keywords: Metro, Fuel price, Prague, 2022, SARIMAX, PDL Anotace Tato studie analyzuje vliv krátkodobých změn cen pohonných hmot na poptávku po pražském metru v první polovině roku 2022, tedy v období poznamenaném vysokou cenovou volatilitou. K problematice se přistupuje primárně skrze koncept krátkodobé křížové cenové elasticity, přičemž analýza vychází z denních údajů o počtu cestujících a cenách benzínu Natural 95 i motorové nafty. V empirické části je využito několik metodologických přístupů: OLS specifikace, regresní modely se SARIMA chybami a polynomické modely distribuovaného zpoždění (PDL). Výsledky jsou napříč zvolenými modely a specifikacemi konzistentní - statisticky významný krátkodobý vliv cen paliv na poptávku po metru se nepodařilo prokázat. Denní kolísání počtu jízd je naopak vysvětleno především kalendářními efekty, počasím a konkrétními provozními omeze­ ními. VLIV CEN POHONNÝCH HMOT NA POPTÁVKU PO DOPRAVĚ METREM V PRAZE Abstract This study analyzes the impact of short-term fuel price changes on the demand for the Prague metro in the first half of 2022, a period marked by significant price volatility. The issue is examined primarily through the concept of short-term cross-price elasticity, with the analysis drawing on daily data regarding ridership and the prices of both Natural 95 petrol and diesel. The empirical section employs several methodological approaches: OLS specifications, regression models with SARIMA errors, and polynomial distributed lag (PDL) models. The results are consistent across all models and specifications—no statistically significant shortterm effect of fuel prices on metro demand was proven. Instead, daily fluctuations in ridership are explained primarily by calendar effects, weather conditions, and specific operational constraints. VLIV CEN POHONNÝCH HMOT NA POPTÁVKU PO DOPRAVĚ METREM V PRAZE Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma Vliv cen pohonných hmot na poptávku po dopravě metrem v Praze vypracoval samostatně pod vedením Mgr. Ing. Ondřeje Špetíka, Ph.D. a uvedl v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU. Při přípravě této práce byl použit Chat GPT za účelem stylistických úprav textu a podpory při tvorbě skriptů v jazyce R. Po použití tohoto nástroje byla provedena kontrola obsahu a přebírám za něj plnou odpovědnost. V Brně 5. května 2026 Radim Pavelek U IM I ECO MASARYKOVA UNIVERZITA EKONOMlCKO-SPRÁUNl FAKULTA L I P O V Á 4 1 A , 6 0 2 00 BRNO IČ : 0 0 2 1 6 2 2 4 DIČ : CZ 0 0 2 1 6 2 2 4 Z A D A N Í D I P L O M O V É P R Á C E Akademický rok: 2025/2026 Student: Bc. Radim Pavelek Program: Matematické a statistické metody v ekonomii Název práce: Vliv cen pohonných hmot na poptávku po dopravě metrem v Praze Název práce anglicky: Impact of fuel prices on demand for metro transport in Prague Cíl práce, postup a použité metody: Cíl a předmět práce: Cílem diplomové práce je zjistit vliv změny cen pohonných hmot na poptávku po dopravě metrem v Praze na základě analýzy denních dat. Práce se zaměřuje na identifikaci efektů změn cen pohonných hmot na využívání MHD, a to zejména v kontextu výrazných cenových výkyvů v roce 2022. Struktura práce: Úvod 1. Rešerše 2. Data 3. Model 4. Diskuze Závěr Rozsah grafických prací: Podle pokynů vedoucího práce Rozsah práce bez pří­ loh: 60 - 80 stran Literatura: Horáček, Slintáková (2023) - Demand for urban public transport in the Czech Republic. Review of Economic Perspectives, 23(4):277-292. Alves, da Costa (2024) - Changes in Fuel Prices and the Use of Public Transport: Insights from the European Union following the Invasion of Ukraine. European Journal of Geography, 15(4):232-243. Bergman (2023) - Gasoline prices effect on public transportation: A study of Chicago. Blanchard (2009) - The Impact of Rising Gasoline Prices on US Public Transit Ridership. (Honors Thesis, Duke University). Haire, Machemehl (2009) - A Methodology for Incorporating Fuel Price Impacts into Short-term Transit Ridership Forecasts. Vedoucí práce: Mgr. Ing. Ondřej Špetík, Ph.D. Pracoviště vedoucího práce: Katedra ekonomie Katedra regionální ekonomie Oddělení právního vzdělávání STRANA 1 Z 2 Datum zadání práce: 3. 2. 2025 Termín odevzdání diplomové práce a vložení do IS je uveden v platném harmonogramu akademického roku. doc. Ing. Ondřej Krčál, Ph.D., 1.12. 2025 V Brně dne: 5. 5. 2026 STRANA 2 Z 2 VLIV CEN POHONNÝCH HMOT NA POPTÁVKU PO DOPRAVĚ METREM V PRAZE Poděkování Chtěl bych poděkovat panu Mgr. Ing. Ondřeji Špetíkovi Ph.D., za poskytnutí tématu a vedení práce, přátelům, kteří mě provázeli celým mým studiem - a to především Matúši Rejtovi a Filipu Blahovi, rodině a v neposlední řadě mé přítelkyni. Všem patří veliké díky za veškerou pomoc a oporu. OBSAH Obsah Seznam grafů 13 Seznam tabulek 14 Seznam pojmů a zkratek 14 Seznam příloh 16 1 Úvod 17 2 Teoretická a empirická východiska 19 2.1 Empirické studie vztahu cen pohonných hmot a využití veřejné dopravy 20 2.2 Metodologická východiska 22 3 Data 24 3.1 Poptávka po pražském metru a ceny pohonných hmot 24 3.2 Kontrolní proměnné 26 3.3 Transformace proměnných a testování předpokladů 28 4 Metodologie 33 4.1 OLS modely 33 4.2 Regresní model s SARIMA chybami 35 4.3 Polynomický model distribuovaného zpoždění (PDL) 37 5 Analýza a výsledky 41 5.1 OLS modely 41 5.2 Regresní model s SARIMA chybami 45 5.3 Polynomický model distribuovaného zpoždění (PDL) 50 6 Závěr 53 Použité zdroje 55 Příloha A Kompletní výsledky odhadnutých OLS modelů 60 11 OBSAH Příloha B Kompletní výsledky odhadnutých SAMRIMAX modelů 68 Příloha C Kompletní výsledky odhadnutých PDL modelů 76 Příloha D Seznam použitých skriptů 78 12 SEZNAM GRAFŮ Seznam grafů Graf 1: Vývoj počtu cest metrem a ceny PHM (2022) 25 Graf 2: Vývoj týdenně vyhlazeného počtu cest metrem a ceny PHM 26 (2022) Graf 3: Lagový profil P H M d l a P H M d (K = 14, d = 1) 51 13 SEZNAM TABULEK Seznam tabulek Tabulka 1: seznam kontrolních proměnných 28 Tabulka 2: Výsledky ADF testů stacionárny 32 Tabulka 3: Popis specifikací odhadnutých OLS modelů 34 Tabulka 4: Popis specifikací odhadnutých SARTMAX modelů 37 Tabulka 5: Popis specifikací odhadnutých PDL modelů 40 Tabulka 6: Výsledky OLS regrese pro modely 1-4 42 Tabulka 7: Výsledky OLS regrese pro modely 5-8 43 Tabulka 8: Výsledky SARJMAX odhadu pro modely 1-4 45 Tabulka 9: Výsledky SARĽVIAX odhadu pro modely 5-8 47 Tabulka 10: Výsledky PDL regrese 50 Tabulka 11: Výsledky odhadu OLS pro Model 1 60 Tabulka 12: Výsledky odhadu OLS pro Model 2 61 Tabulka 13: Výsledky odhadu OLS pro Model 3 62 Tabulka 14: Výsledky odhadu OLS pro Model 4 63 Tabulka 15: Výsledky odhadu OLS pro Model 5 64 Tabulka 16: Výsledky odhadu OLS pro Model 6 65 Tabulka 17: Výsledky odhadu OLS pro Model 7 66 Tabulka 18: Výsledky odhadu OLS pro Model 8 67 Tabulka 19: Výsledky SARJMAX odhadu pro Model 1 68 Tabulka 20: Výsledky SARJMAX odhadu pro Model 2 69 Tabulka 21: Výsledky SARJMAX odhadu pro Model 3 70 Tabulka 22: Výsledky SARJMAX odhadu pro Model 4 71 Tabulka 23: Výsledky SARJMAX odhadu pro Model 5 72 Tabulka 24: Výsledky SARJMAX odhadu pro Model 6 73 Tabulka 25: Výsledky SARJMAX odhadu pro Model 7 74 Tabulka 26: Výsledky SARJMAX odhadu pro Model 8 75 Tabulka 27: Výsledky odhadu PDL pro Model 1 76 Tabulka 28: Výsledky odhadu pro PDL pro Model 2 77 14 SEZNAM POJMŮ A ZKRATEK Seznam pojmů a zkratek PHM - Pohonné hmoty DoW - Day of week / Den v týdnu MHD - Městská hromadná doprava ČHMÚ - Český hydrometeorologický úřad AIC - Akaikovo informační kritérium BIC - Bayesovo informační kritérium ARIMAX - AutoRegressive Integrated Moving Average with exogenous inputs SARIMAX - Seasonal AutoRegressive Integrated Moving Average with exogenous inputs PDL - Polynomický model distribuovaného zpoždění MA - Moving Average (klouzavý průměr) VIF - Variance Inflation Factor (faktor inflace rozptylu) HAC - Heteroskedasticity and Autocorrelation Consis­ tent 15 SEZNAM PŘÍLOH Seznam příloh Přílohy v textu Příloha A Kompletní výsledky odhadnutých OLS modelů 60 Příloha B Kompletní výsledky odhadnutých SAMRIMAX modelů 68 Příloha C Kompletní výsledky odhadnutých PDL modelů 76 Příloha D Seznam použitých skriptů 78 16 ÚVOD 1 Úvod Cílem této práce je posoudit, zda krátkodobé změny cen pohonných hmot ovlivnily poptávku po pražském metru v první polovině roku 2022. Vychází z předpokladu, že pohonné hmoty tvoří významnou variabilní složku nákladů individuální automobilové dopravy. Pokud se tyto náklady rychle zvyšují, může se část cestujících alespoň dočasně přesouvat k veřejné dopravě. Zkoumaný vztah je proto v práci interpretován jako krátkodobá křížová cenová elasticita poptávky. A tedy jako otázka, zda se mění poptávka po metru při změně ceny pohonných hmot. První polovina roku 2022 je pro tento účel vhodná, protože po invazi Ruska na Ukrajinu došlo k prudkému růstu a zvýšené volatilitě cen pohonných hmot. Současně již v České republice odeznívala většina plošných protiepidemických opatření, takže covidová omezení nepředstavovala šok srovnatelný s roky 2020 a 2021. Relevance analyzovaného období přitom není vázána pouze na historický kontext roku 2022. Také v době psaní této práce se na světových ropných trzích znovu objevuje zvýšená nejistota a cenová volatilita, vyvolaná zejména geopolitickým napětím a riziky spojenými s mezinárodní přepravou ropy. To ukazuje, že prudké změny cen pohonných hmot nejsou ojedinělou událostí, ale mohou se v různých podobách opakovat. Otázka, zda a jak rychle se podobné cenové šoky promítají do poptávky po veřejné dopravě, je proto relevantní i mimo samotný kontext první poloviny roku 2022. Empirická část využívá denně agregovaná data o počtu cest metrem, denní ceny benzínu Natural 95 a motorové nafty v Praze, meteorologické proměnné a sadu kalendářních a událostních kontrol. Využití denních dat představuje v kontextu zkoumání elasticity poptávky po MHD specifický metodologický přínos, neboť většina stávajících studií pracuje s měsíční či kvartální frekvencí, která může vyhlazovat krátkodobé cenové šoky a okamžité reakce cestujících. Nejprve jsou odhadnuty různé OLS specifikace, které testují okamžitý, zpožděný, kumulovaný i nelineární vliv cen pohonných hmot. Následně 17 ÚVOD jsou výsledky ověřeny pomocí regresních modelů se SARIMA chybami a pomocí polynomického modelu distribuovaného zpoždění. 18 TEORETICKÁ A EMPIRICKÁ VÝCHODISKA 2 Teoretická a empirická východiska Formální jádro dopravních rozhodnutí lze opřít o teorii náhodného užitku a diskrétní volby: jednotlivec volí dopravní mód s nejvyšším očekávaným užitkem, přičemž užitek závisí na peněžních nákladech, cestovním čase, spolehlivosti, komfortu, dostupnosti a dalších charakteristikách (McFadden, 1974; Ben-Akiva & Lerman, 1985; Train, 2009). V tomto rámci lze změnu ceny paliva chápat jako exogénni posun složky peněžních nákladů automobilu. Pokud jsou auto a metro substituty, zvýšení ceny paliva zvyšuje zobecněnou cenu individuální dopravy automobilem a ceteris paribus zvyšuje poptávku po veřejné dopravě (Wardman et al., 2018; Horáček & Slintáková, 2023). V reálných datech však může být pozorovaný krátkodobý vztah i slabší nebo ambivalentní, protože cena paliva může současně signalizovat makroekonomický šok (inflace, očekávání, nejistota), který tlumí celkovou mobilitu a snižuje počet cest napříč módy (Graham & Glaister, 2004; Goodwin et al., 2004). Teoretická i empirická literatura zároveň rozlišuje krátké a dlouhé období. V prvním případě bývá reakce na změny cen menší kvůli setrvačnosti dopravních návyků, pracovních rozvrhů, lokalizačních rozhodnutí a vlastnictví auta. V delším horizontu se naopak mohou projevit strukturální změny, například změna bydliště, zaměstnání nebo pravidelného způsobu dojížďky (Graham & Glaister, 2002; Goodwin et al., 2004). Pro metro je krátkodobá reakce potenciálně tlumená i institucionálně: ve městech s významným podílem předplatních jízdenek a pravidelných dojíždějících je mezní peněžní náklad další jízdy často nízký (u držitelů předplacené jízdenky blízký nule), takže část poptávky je vůči cenovým impulsům méně citlivá a více determinovaná časovými a pracovními faktory (FitzRoy & Smith, 1999; Wardman, 2022). Tento mechanismus se však nevztahuje na cestující automobilem, u nichž se růst cen paliv promítá do vnímaných variabilních nákladů každé uskutečněné jízdy bez­ prostředněji. Zaměření na metro je opodstatněno jeho významem v pražském dopravním systému. V roce 2022 tvořilo metro přibližně 34 % všech cestujících přepravených prostředky veřejné dopravy v Praze, a představuje tak 19 TEORETICKÁ A EMPIRICKÁ VÝCHODISKA dostatečně významnou část městské mobility pro samostatnou analýzu (DATA Praha, 2022). 2.1 Empirické studie vztahu cen pohonných hmot a využití veřejné dopravy Empirická literatura k vazbě mezi cenami paliv a poptávkou po veřejné dopravě je rozsáhlá zejména pro USA a typicky nachází kladný, ale relativně neelastický krátkodobý vztah, přičemž velikost efektu závisí na módu, velikosti města a výchozí úrovni cen (Currie & Phung 2008; Haire & Machemehl, 2007; Mattson, 2008; Blanchard, 2009; Stover & Bae, 2011). Většina těchto klasických studií se však opírá o data s nižší frekvencí (měsíční či kvartální), což neumožňuje plně zachytit dynamiku rozhodování v řádu dnů bezprostředně po prudkém nárůstu cen. Práce s denními daty, jakkoliv je v této oblasti unikátní, dovoluje precizněji oddělit vliv kalendářních efektů a počasí od samotného cenového impulsu. Studie Nowaka Savage (2013) pro Chicago ukazuje, že křížová elasticita mezi cenou benzínu a využitím veřejné dopravy je při běžných cenových hladinách nízká, avšak roste při vyšších cenách. Zároveň výsledky naznačují, že reakce není homogenní napříč jednotlivými druhy dopravy - železniční systémy vykazují vyšší citlivost než autobusová doprava, což lze interpretovat jako preferenci cestujících přesouvat se při růstu cen pohonných hmot spíše k rychlejším a komfortnějším formám veřejné dopravy. Podobný mechanismus, včetně existence prahových efektů, potvrzují i Iseki a Ali (2014). Tato literatura proto poskytuje motivaci pro testování nelineárních specifikací, v nichž se vliv změn cen PHM nemusí projevovat rovnoměrně v celém rozdělení cenových změn, ale zejména v obdobích výrazného růstu nebo poklesu cen. Analýzy pro jiné regiony USA přinášejí konzistentní, ale heterogenní výsledky. Například studie z New Jersey, pracující s facility ridership na dopravních uzlech, identifikuje statisticky významný efekt cen benzínu po kontrole cen jízdného a nabídky (Yanmaz-Tuzel & Ozbay, 2010). Panelová studie pro Washington State uvádí elasticitu v řádu desetin, přičemž výsledek se liší napříč systémy a podtrhuje heterogenitu mezi oblastmi (Stover & Bae, 2011). 20 TEORETICKÁ A EMPIRICKÁ VÝCHODISKA Z pohledu syntetizující literatury je velmi cenná meta-analýza křížových elasticit mezi módy, která ukazuje, že křížové elasticity jsou obecně menší než vlastní elasticita, ale systematicky závisí na kontextu jako účel cesty, kvalita substitutů, velikost aglomerace, cenová hladina či metodika (Wardman etal., 2018). Tato meta-literatura podporuje pragmatický postup v analytické části: nečekat velké efekty v absolutní velikosti, ale soustředit se na identifikaci robustního krátkodobého signálu při kvalitní kontrole sezónnosti a mimořádných událostí (Wardman et al., 2018; Stock & Watson, 2019). Pro denní data poptávky po veřejné dopravě je typické, že významnou část variability poptávky vysvětluje počasí. Literatura využívající provozní, smartcard či jiná vysokofrekvenční dopravní data ukazuje, že počasí může významně ovlivňovat denní poptávku po veřejné dopravě, přičemž zejména srážky obvykle poptávku tlumí (Guo et al., 2007; Singhal et al., 2014; Wu & Liao, 2020; Zhou et al., 2017). U denních řad se také vyskytují přístupy, které místo absolutní teploty používají teplotní reziduum (odchylku od klouzavého průměru), aby lépe oddělily krátkodobý šok od sezónní složky (Jiang & Cai., 2023; Li et al., 2018). V literatuře i praxi se často používají prahové/indikační proměnné pro „deštivý den" či „silné srážky", protože dopad srážek bývá nelineární (malé mrholení nemusí měnit chování, zatímco silný déšť ano). (Guo et al., 2007; Wu & Liao, 2020; Singhal et al., 2014). Vedle počasí hraje roli nabídka: frekvence spojů, kapacita, provozní omezení. Důležitý metodický problém je, že nabídka může být endogenní (dopravce reaguje na poptávku), což může generovat simultánnost. V městských systémech však bývá u metra v krátkém horizontu nabídka relativně rigidní, zatímco výluky představují diskontinuity, které lze zachytit dummy proměnnými (Holmgren, 2013; Box & Tiao, 1975). Pro analytickou část této práce je relevantní, že konkrétní velikonoční výluka na lince C byla oficiálně komunikována (časové vymezení prací a přerušeného úseku), což umožňuje přesně definovat intervenční proměnnou v modelu (DPP, 2022a). Je důležité také zhodnotit potenciální konkurenční vysvětlení spojené s dozníváním pandemie covidu-19. V analyzovaném období se v České republice postupně rušila většina celostátních mimořádných a ochran- 21 TEORETICKÁ A EMPIRICKÁ VÝCHODISKA ných opatření. Ministerstvo zdravotnictví oznámilo zrušení několika ochranných opatření s účinností od 9. 4. 2022 a vláda k 11. 4. 2022 uváděla, že vzhledem ke zlepšení epidemické situace byla většina celostátně platných mimořádných opatření zrušena, přičemž v platnosti zůstala zejména dílčí opatření pro zdravotnictví a sociální péči (MZČR, 2022; Vláda ČR, 2022). V kontextu této práce tak dává smysl pracovat s tezí, že v první polovině roku 2022 už covid nepůsobí jako primární „šok" do mobility srovnatelný s lety 2020-2021. Dalším důležitým rušivým faktorem jsou změny tarifů jízdného. Je metodicky výhodné, pokud se v období analýzy nemění cena jízdného v metru, protože pak lze lépe připsat krátkodobé změny poptávky vnějším faktorům typu cen paliv. Ve sledovaném období nedošlo na území Prahy ke změně cen jízdného v rámci systému PID. Tarifní úpravy realizované k 1. 4. 2022 se týkaly především celostátních slev a navázaných cen v příměstské dopravě ve Středočeském kraji, ale neměly přímý dopad na cenovou úroveň MHD v Praze. (PID, 2022; DPP, 2022b). 2.2 Metodologická východiska Pro interpretaci v této práci je přirozené pracovat v logaritmech a jejich diferencích, protože koeficient u log ceny paliva lze přímo číst jako elasticitu (Wooldridge, 2010; Stock & Watson, 2019). To je metodicky konzistentní s cílem práce zaměřeným na krátké období. (Hamilton, 1994; Enders, 2015). Denní data o poptávce po metru mají typicky silnou pravidelnost (zejména týdenní sezónnost), autokorelaci a potenciálně i nestacionaritu v úrovních. Při přímé regresi úrovní může hrozit problém zdánlivé regrese, pokud jsou vysvětlující i vysvětlovaná řada nestacionární (Hamilton, 1994; Enders, 2015). Z toho plyne standardní doporučení pracovat s transformacemi, které vedou ke stacionaritě (diference, sezónní diference, případně vhodná deterministická složka), a následně kontrolovat zbytkovou autokorelaci (Box et al., 2015; Enders, 2015). V regresích s denními daty je také běžné, že rezidua vykazují heteroskedasticitu a autokorelaci, což zkresluje klasické směrodatné chyby OLS. Proto je v krátkodobých dopravních časových řadách standardní 22 TEORETICKÁ A EMPIRICKÁ VÝCHODISKA používat robustní nebo HAC odhady kovarianční matice, které jsou robustní vůči heteroskedasticitě a autokorelaci. (White, 1980; Newey & West, 1987). Specifickým rysem městské dopravy jsou také intervence a mimořádné události: plánované výluky, poruchy, velké sportovní či kulturní akce, mimořádné počasí nebo svátky. Z pohledu časových řad jde o události, které mohou způsobit dočasný skok nebo změnu úrovně a které je vhodné modelovat pomocí indikačních (dummy) proměnných. (Box & Tiao, 1975; Box et al., 2015). Empirická literatura ukazuje, že krátkodobý dopad změn cen pohonných hmot na poptávku po veřejné dopravě nebývá plně okamžitý. Reakce cestujících může být rozložena do více období, protože změna dopravního módu vyžaduje čas na zpracování informace, úpravu zvyklostí i praktické přeuspořádání každodenních cest. Studie využívající dynamické či distribuovane zpožděné specifikace modelů proto nacházejí nejen současný, ale i opožděný efekt cen PHM. (Mattson, 2008; Haire & Machemehl, 2009; Lane, 2010; Chen et al., 2011; Iseki & Ali, 2014). Vedle zpoždění nemusí být vztah mezi cenami pohonných hmot a veřejnou dopravou ani lineární. Dosavadní výzkum ukazuje, že citlivost poptávky po veřejné dopravě může být nízká při běžných cenových hladinách, ale výrazně zesílit po překročení určitých prahů; současně se často objevuje asymetrie, kdy je reakce silnější při růstu cen než při jejich poklesu. Nowak a Savage (2013) například ukazují, že elasticita poptávky po hromadné dopravě v Chicagu byla malá při cenách benzínu pod 3 USD za galon, ale rostla při cenách nad 3 USD a dále zesilovala při cenách nad 4 USD. Chen et al. (2011) a Chi (2022) navíc ukazují, že významná část efektu plyne spíše ze zdražování než ze zlevňování. Z metodologického hlediska je proto vhodné testovat nejen lineární současný efekt, ale i zpožděné, kumulované a prahové specifikace (Chen et al., 2011; Nowak & Savage, 2013; Iseki & Ali, 2014; Chi, 2022). Z hlediska kauzální interpretace je potřeba diskutovat exogenitu cen paliv vůči pražské poptávce po metru. U vysokých frekvencí (denní) a v malém geografickém měřítku je předpoklad, že lokální poptávka po metru nemůže ovlivnit světové (a ani národní) ceny ropy či paliv; palivová cena je tedy v tomto směru exogénni (Wooldridge, 2010; Lane, 2010). 23 DATA 3 Data 3.1 Poptávka po pražském metru a ceny pohonných hmot Data o poptávce po pražském metru pocházejí z automatických sčítačů cestujících umístěných v jednotlivých stanicích metra, které zaznamenávají počet průchodů turnikety v patnáctiminutových intervalech po celou dobu provozu metra a byly poskytnuly zástupcem Dopravního podniku hlavního města Prahy (DPP, 2022). Tato vysokofrekvenční data byla v prvním kroku agregována na denní frekvenci, aby odpovídala časovému rozlišení ostatních vysvětlujících proměnných použitých v analýze. V rámci přípravné fáze analýzy byla zvažována hypotéza, že poptávka po metru v centrálních částech města může vykazovat vyšší míru rigidity, a tedy slabší reakci na změny cen pohonných hmot než poptávka ve stanicích ležících mimo centrum. Motivací této úvahy je odlišná funkce centrálních oblastí města, kde je poptávka po dopravě více vázána na pracovní a institucionální aktivity a kde jsou možnosti substituce individuální dopravou omezenější. Pro účely testování této hypotézy byly stanice metra rozděleny do dvou skupin - stanice ležící v centru města a stanice mimo centrum - na základě prostorové typologie Prahy podle Ouředníčkaet al. (2012). Na agregovaných datech obou skupin byla nejprve porovnána relativní variabilita poptávky pomocí koeficientu variability. Hodnoty koeficientu variability dosahují přibližně 0,32 u stanic mimo centrum a 0,31 u centrálních stanic, což naznačuje velmi podobnou míru relativního kolísání poptávky v obou skupinách. Následně byl proveden F-test shody rozptylů na logaritmovaných úrovních počtu jízd a F-test logaritmických diferencí. Výsledky testu neprokázaly statisticky významný rozdíl mezi rozptyly obou časových řad (p-hodnota 0,48 a 0,17 respektive). V obou případech navíc 95% interval spolehlivosti pro poměr rozptylů bezpečně zahrnoval hodnotu jedna, čímž nelze zamítnout hypotézu o jejich rovnosti. Výsledky tedy konzistentně ukazují, že dynamika poptávky po metru v centru města se z hlediska relativní volatility zásadně neliší od stanic mimo centrum. 24 DATA Na základě těchto testů nebyl nalezen empirický důvod pro omezení analýzy pouze na vybrané stanice. V následující části práce jsou proto využita agregovaná data za všechny stanice metra, což umožňuje zachytit celkovou poptávku po této dopravní infrastruktuře a zároveň maximalizovat informační obsah dat. Data o cenách pohonných hmot byla získána od České společnosti pro platební karty s.r.o. (CCS, 2022), která je v České republice standardním poskytovatelem dat o maloobchodních cenách paliv a sbírá informace z rozsáhlé sítě čerpacích stanic. Konkrétně byla využita data pro motorovou naftu (Kč/l) a benzín Natural 95 (Kč/l) na denní bázi pro město Praha. Pro účely analýzy byla z těchto dvou cen vytvořena jednoduchá průměrná cena pohonných hmot, která slouží jako agregovaný cenový indikátor nákladů individuální automobilové dopravy. Tento postup je běžný v empirické literatuře, kde je průměrná cena benzínu a nafty používána jako shrnující proměnná zachycující cenové podněty spojené s užíváním osobních vozidel (Alves & Costa; 2024; Taylor et al., 2009). Jako sledované období byly zvoleny dny mezi 4. lednem 2022 a 30. červnem 2022. Toto období bylo zvoleno, jelikož plně zachycuje dramatický nárůst cen pohonných hmot a zároveň eliminuje problematické období začátku roku a pozdějších letních prázdnin, kdy se radikálně mění poptávka po hromadné dopravě. Na Grafu 1 lze vidět časové řady obou proměnných v neupraveném stavu. Na Grafu 2 je pak vyobrazen týdenně vyhlazený počet cestujících. Graf 1: Vývoj počtu cest metrem a ceny PHM (2022) Vývoj absolutní vyhlazené poptávky metra vs. Cena PHM Metro poptávka Cena PHM Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 25 DATA Graf 2: Vývoj týdenně vyhlazeného počtu cest metrem a ceny PHM (2022) Vývoj absolutní vyhlazené poptávky metra vs. Cena PHM i 1 1 led dub čvc Metro poptávka (MA7) Cena PHM Zdroj: Vlastní zpracování v programu R Pro doplnění grafů lze uvést, že ve sledovaném období dosahovala denní poptávka po metru v průměru přibližně 738 tisíc cestujících, přičemž nejnižší hodnota činila 269 tisíc a nejvyšší 1 072 tisíc cestujících. Průměrná cena pohonných hmot byla 42,54 Kč za litr a během sledovaného období se pohybovala od 35,38 do 48,34 Kč za litr. 3.2 Kontrolní proměnné Kontrolní proměnné zachycují faktory, které mohou krátkodobě ovlivňovat poptávku po metru nezávisle na cenách pohonných hmot. První skupinu tvoří meteorologické podmínky, které literatura běžně považuje za exogénni determinanty dopravního chování (Singhal et al., 2014; Wu aLiao, 2020). V této práci jsou využity denní meteorologické proměnné: • průměrná denní teplota v °C • celkový úhrn srážek v mm • sněhová pokrývka v cm • průměrná rychlost větru v m/s Meteorologická data pocházejí z měření stanic ČHMÚ. Aby nebyla denní hodnota závislá pouze na jedné lokalitě, jsou proměnné konstruovány 26 DATA jako průměr ze čtyř pražských stanic rozmístěných napříč městem: Praha-Ruzyně, Praha-Karlov, Praha-Kbely a Praha-Libuš (ČHMÚ, 2022). Teplota vstupuje do modelu jako odchylka od lineárního časového trendu [temp_detrenď], srážky jsou rozděleny do kategorií slabého [rainjighť], mírného (ra/n_moderate) a silného (ra/n_heavy) deště, sněhová pokrývka je zachycena binární proměnnou [snow] a rychlost větru je ponechána v úrovních [winď). Druhou skupinu kontrolních proměnných tvoří kalendářní a událostní dummy proměnné. Ty nabývají hodnoty 1 ve dnech, pro které platí dané kritérium, a hodnoty 0 v ostatních dnech. Jejich zahrnutí je důležité zejména proto, že denní poptávka po metru vykazuje silnou týdenní sezónnost a citlivě reaguje na svátky, výluky a velké kulturní nebo sportovní události. Týdenní sezónnost je zachycena šesti dummy proměnnými pro úterý až neděli [DoW2 - DoW7], přičemž pondělí slouží jako referenční den. Tento postup odpovídá standardní práci s kategoriální proměnnou se sedmi kategoriemi a zabraňuje dokonalé multikolinearitě (Neter et al., 1996). Koeficienty jednotlivých dnů proto vyjadřují rozdíl oproti pondělí. Typicky se u modelování poptávky po hromadné dopravě v denní frekvenci zohledňují státní svátky formou dummy proměnné, nicméně v tomto případě oba květnové svátky spadaly na neděli a neměly tudíž zásadní vliv na poptávku. Velikonoční svátky, byly ošetřeny úpravou dnů v týdnu pro pátek až úterý, tak, že pátek je značen jako sobota, pondělí jako neděle a úterý jako pondělí. Pro úterý, vzhledem k netradičnímu vzrůstu, byla dodatečně vytvořena dummy proměnná eastertue. Samostatně je zachycena také uzávěrka části linky C během Velikonoc [closeouť] a vybrané události s vysokou návštěvností, zejména velké koncerty. Proměnná events je omezena pouze na největší události ve sledovaném období, protože zahrnutí všech menších akcí by neúměrně zvyšovalo počet kontrol a zároveň by vyžadovalo přesné rozlišení jejich velmi rozdílné návštěvnosti. Kompletní seznam kontrolních proměnných s jejich názvy a formou transformace lze vidět v Tabulce 1. 27 DATA Tabulka 1: seznam kontrolních proměnných Proměnná Název Transformace/Typ Dny v týdnu DoW2-DoW7 Binární Teplota Temp_detrend Očištění od trendu Vítr Wind Bez transformace S n í h Snow Binární Lehký déšť RainJLight Binární Mírný déšť Rain_moderate Binární Silný déšť Rainjneavy Binární Uzavření linky C closeout Binární Úterý po Velikonocích eastertue Binární Události events Binární Zdroj: Vlastní zpracování 3.3 Transformace proměnných a testování předpokladů Při modelování denních časových řad je primárním krokem zajištění vhodných statistických vlastností zkoumaných proměnných a jejich transformace do podoby, která odpovídá teoretickým předpokladům o chování cestujících. Základní regrese na absolutních úrovních by vedla k riziku zdánlivé regrese a nedokázala by postihnout dynamickou podstatu adaptace v čase. Analytický postup proto aplikuje celou škálu transformací zaměřených na zajištění stacionarity, vyhlazení šumu, zachycení zpožděných efektů a identifikaci extrémních tržních šoků. 3.3.1 Diference a klouzavé průměry K dosažení stacionarity a interpretovatelnosti využívá základní specifikace první diferenci přirozeného logaritmu (dl). Poptávka po metru je tak modelována jako metro_dl a vývoj cen paliv jako PHM_dl, což empiricky odpovídá denním procentuálním změnám. Výsledné proměnné pak mají tento tvar: Alog(xt) = log(xt) - logfxt-i) Ekonomická realita a vnímání spotřebitelů však mohou být zkresleny takzvanou iluzí nominální hodnoty, kdy řidiči nereagují na abstraktní procentuální změny, ale na konkrétní "korunové" rozdíly na stojanech 28 DATA čerpacích stanic. K otestování této hypotézy byla vytvořena proměnná absolutních denních diferencí, označená jako PHM_d. Proměnná pak nabývá tohoto tvaru: A (xt) = xt - x t - i Zkoumání denních frekvencí naráží na problém silného stochastického šumu a strukturální víkendové sezonality. K identifikaci skutečných trendů v poptávce a cenách slouží aplikace klouzavých průměrů (Moving Averages, MA). V této práci jsou využívány sedmidenní, zprava zarovnané klouzavé průměry. Hodnota v čase t tedy reprezentuje průměr proměnné od času t-6 do t. Tato transformace efektivně odstraňuje pravidelný týdenní cyklus, přičemž produkuje transformované proměnné metro_dl_ma7, PHM_dl_ma7 a PHM_d_ma7. Jejich využití umožňuje modelovat dlouhodobější vztahy očištěné o denní volatilitu. 3.3.2 Zpožděné bloky a kumulativní šoky Pro zachycení teoreticky podložené zpožděné reakce populace bylo nutné opustit jednoduchá jednodenní zpoždění, která nemohou postihnout strukturální změnu návyků. Byla proto zkonstruována série historických týdenních bloků. Tyto proměnné agregují předchozí vývoj do logických časových celků a umožňují sledovat rozložený efekt změny cen pohonných hmot: • PHM_dl_avg_0_7: Reprezentuje bezprostřední vývoj; jde o průměrnou logaritmickou diferenci za aktuální den a 7 předcházejících dní (celkem 8denní okno). • PHM_dl_avg_8_14: Reprezentuje stav v předminulém týdnu. Konstrukčně jde o sedmidenní klouzavý průměr posunutý zpět v čase pomocí funkce zpoždění o 7 dní. • PHM_dl_avg_15_21: Reprezentuje situaci před třemi týdny (zpoždění MA o 14 dní). • PHM_dl_avg_22_28: Reprezentuje stav před čtyřmi týdny (zpoždění MA o 21 dní). Další transformaci je zavedení proměnné PHM_d_cum7. Tato veličina představuje sedmidenní klouzavou sumu absolutních denních změn cen [PHM_d]. 29 DATA 6 PHM_d_cumlt = ^ A PHMt_j j=o Tato proměnná udává, o kolik přesně korun celkově zdražil nebo zlevnil litr paliva za posledních 7 kalendářních dní. Smyslem této konstrukce je testování "psychologického šoku", kdy souvislý a rychlý růst v řádu několika desítek haléřů může zafungovat jako spouštěč náhlé změny cho­ vání. 3.3.3 Prahové hodnoty a tvorba indikátorů nelinearity Pro detekci asymetrických a nelineárních prahových efektů, které jsou široce diskutovány v literatuře, bylo nutné definovat extrémní tržní pohyby. Prahové hodnoty byly stanoveny z rozdělení samotné proměnné PHM_d_cum7. Byly identifikovány dva statistické kvantily oddělující extrémní hodnoty: 1. Nízký cenový šok [shockjow): Byl definován uplatněním 15. percentilu z distribuce sedmidenních kumulativních změn. Z výpočtu vyplynulo, že hranice pro vytvoření dummy proměnné činí do (včetně) -0,3895 Kč za předchozí týden. Tento indikátor nabývá hodnoty 1 pro stavy hluboké stagnace či razantního zlevňování. Četnost tohoto jevu v datech činí 30 pozorování. 2. Vysoký cenový šok [shock_high)\ Byl definován pomocí 85. percentilu. Stanovená hranice pro tuto dummy proměnnou je nad (včetně) +0,8638 Kč za předchozí týden. Jde o periody nejtvrdšího růstu cen pohonných hmot, spojené primárně s válečnou krizí na Ukrajině a s ní souvisejícím globálním šokem na trzích. Četnost tohoto jevu v datech činí 32 pozorování. Odříznutí 15 % na obou stranách distribuce poskytuje vyvážený vzorek extrémních pozorování (30 a 32 dní), který je statisticky dostatečně robustní k odhadu regresních koeficientů, ale zároveň natolik exkluzivní, aby v sobě nezahrnoval dny s normální cenovou fluktuací. Takto vytvořené binární proměnné vstupují do modelů ve formě interakčních členů s transformovanými formami PHM. 30 DATA 3.3.4 Diagnostika stacionarity Po provedených transformacích byla stacionarita proměnných ověřena pomocí rozšířeného Dickeyho-Fullerova (ADF) testu (Dickey & Fuller, 1981). Souhrn výsledků uvádí Tabulka 2. Počet použitých lagů byl nastaven na 10 s parametrem selectlags = „AIC". Na hladině významnosti 5 % lze stacionaritu potvrdit u všech proměnných použitých v modelu, a zvolené transformace jsou tak z hlediska následné časově-řadové analýzy vyhovující. Proveden byl taktéž i KPSS test (Kwiatkowski et al., 1992), jenž rovněž potvrdil stacionaritu u všech testovaných časových řad. Tabulka 2: Výsledky ADF testů stacionarity Proměnná Transformace Specifikace testu lagy Testová statistika 5% krit. hodnota Závěr Počet cest metrem Alog(metro] drift 10 -5,75 -2,88 stacionární Cena PHM Alog(PHM) drift 10 -4,992 -2,88 stacionární Cena PHM AfPHM) drift 10 -5,168 -2,88 stacionární Teplota Detrendování drift 10 -2,902 -2,88 stacionární Vítr Úroveň trend 10 -5,633 -3,43 stacionární Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 3.3.5 Diagnostika multikolinearity Rozšiřování specifikací o vyhlazené průměry, složité sady zpoždění a interakční prahové členy přirozeně generuje hrozbu multikolinearity. Silná multikolinearita vede k neúměrnému nafouknutí rozptylu odhadnutých koeficientů, což znemožňuje platnou statistickou inferenci a vede k chybnému nezamítnutí nulové hypotézy i v případě, že reálný vztah existuje. Aby byla zajištěna validita všech výsledků, je u každého testovaného modelu bez výjimky aplikován test faktoru inflace rozptylu (Variance Inflation Factor, VIF). Protože do modelů vstupují kategoriální proměnné s více úrovněmi (např. dny v týdnu) i složité interakce s různým počtem stupňů volnosti, standardní výpočet VIF byl nahrazen generalizovaným VIF (GVIF). Metodologickým standardem pro posouzení míry kolinearity je transformovaná hodnota GVIF1 ^20 ^, která zohledňuje odlišné stupně volnosti (Fox & Monette, 1992). 31 DATA Obecně se za hranici problémové multikolinearity považují hodnoty VIF převyšující 5, případně 10. U všech následně reportovaných modelových specifikací bylo testování GVIF bezproblémové s hodnotami VIF < 2. U žádné ze zkoumaných vysvětlujících ani interakčních proměnných se neprojevila závažná korelační závislost. 32 METODOLOGIE 4 Metodologie 4.1 OLS modely Předchozí teoretická i metodologická debata ukázala, že případný vliv růstu cen paliv na užívání metra se s největší pravděpodobností neřídí bazálni lineární logikou. Může se projevovat kumulativně, s časovým odstupem, asymetricky nebo pouze po překročení zřetelných kvantitativních prahů. S cílem předejít chybám ze špatné daného vztahu bylo formulováno a odhadnuto celkem 8 různorodých regresních specifikací využívajících metodu nejmenších čtverců (OLS). Základní ekonometrická rovnice, ze které všech osm specifikací s drobnými modifikacemi vychází, má pro libovolný čas t následující generický tvar: Xt = a + (3T Yt + y T Z t + et, kde: • Xt reprezentuje specifickou formu závislé proměnné spojené s poptávkou po metru (např. základní logaritmickou diferenci metro_dl, nebo její klouzavý sedmidenní průměr metro_dl_ma7). • Yt je vektor testovaných proměnných zastupujících cenové pohyby pohonných hmot (různé úpravy PHM, od okamžitých log-diferencí, přes zpožděné bloky až po absolutní korunové rozdíly a prahové interakce). Koeficienty (3 je pak vektorem regresních parametrů pro Yt . Horní index T značí transpozici vektoru, čímž je zajištěn korektní maticový zápis skalárního součinu parametrů a proměnných. • Zt je fixní vektor kontrolních proměnných (počasí, dummy proměnné) a y je vektorem regresních parametrů pro Zt . • et je chybový člen modelu. Všechny modely jsou odhadovány na stejném efektivním období, protože klouzavé průměry i zpoždění byly konstruovány již na datech předcházejících vlastnímu analytickému vzorku. Tím se zajišťuje, že rozdíly mezi modely nejsou dány odlišným počtem pozorování, ale pouze odlišnou specifikací proměnných. Finálním analyzovaným období, pro všechny 33 METODOLOGIE odhady v této práci je tedy, již dříve stanovený, 4. leden 2022 až 30. červen 2022. Vzhledem k práci s denními daty jsou ve všech případech OLS modelů reportovány Neweyho-Westovy HAC směrodatné chyby s maximálním zpožděním sedm dní, a tedy robustní vůči heteroskedasticitě i autokorelaci reziduí (Newey a West, 1987). Tabulka 3: Popis specifikací odhadnutých OLS modelů Model Závislá proměnná (X) Vysvětlující proměnná pro PHM (Y) Popis 1: Base metro_dl PHM_dl a PHM_dl_ll O d h a d konstantní elasticity poptávky v log-log specifikaci s jednodenním zpožděním. 2: M A n a M A metro_dl_ma7 PHM_dl_ma7 Vyhlazený týdenní trend poptávky vůči trendu cen. 3: Absolutní D metro_dl PHM_d a PHMjdJl Testování peněžní iluze porovnáním semi-log vs. loglog specifikace. 4: Týdenní šok metro_dl PHM_d_cum7 Analýza vlivu kumulativního zdražení v Kč za týden. 5: Zpoždění metrojdl 4 týdenní bloky PHM_dl_avg Modelování zpožděného vlivu. 6: Threshold DL metrojdl Interakce PHMjdl a šokových p r a h ů Nelineární odpověď poptávky pouze n a extrémní skoky (%). 7: Threshold D metrojdl Interakce PHMjd a šokových p r a h ů Nelineární odpověď poptávky pouze n a extrémní skoky (Kč). 8: Threshold M A metro_dl_ma7 Interakce M A a šokových p r a h ů Nelineární odpověď n a vyhlazeném trendu. Zdroj: Vlastní zpracování V Tabulce 3 lze vidět 8 různých specifikací OLS modelů. U MA transformace proměnné metro (modely 2 a 8) je v obou případech jako hlavní vysvětlující proměnná použita metro_dl_ma7. Zatímco u všech ostatních modelů je závislou proměnnou vždy metro_dl a jako hlavní vysvětlující jsou, v předchozích kapitolách popsané, různé transformace PHM a případně jejich interakce s nízkým a vysokým cenovým šokem. 34 METODOLOGIE 4.2 Regresní model s SARIMA chybami Denní data o poptávce po veřejné dopravě mají zpravidla výraznou vnitřní časovou strukturu. Vedle vztahu k pozorovaným vysvětlujícím proměnným, jako jsou ceny pohonných hmot, počasí nebo mimořádné události, může být aktuální změna poptávky ovlivněna také vlastním vývojem v předchozích dnech. Z tohoto důvodu nemusí být klasická lineární regrese sama o sobě dostačující k zachycení celé dynamiky dat, i když obsahuje kalendářní dummy proměnné. Vedle OLS specifikací je proto v práci využit také regresní model se SARIMA chybami a exogenními proměnnými, tedy model typu SARIMAX. Tento přístup zachovává stejnou ekonomickou interpretaci vysvětlujících proměnných jako u OLS modelů, ale současně umožňuje modelovat sériovou závislost v nepozorované složce modelu. Jinými slovy, vliv cen pohonných hmot a kontrolních proměnných je odhadován přímo v regresní části modelu, zatímco zbývající časová struktura, kterou tyto proměnné nevysvětlí, je zachycena pomocí autoregresních a klouzavě-průměrových složek SARIMA procesu. Tento postup je vhodný zejména u krátkodobých dopravních časových řad, kde lze očekávat kombinaci exogenních vlivů, kalendářní sezónnosti a reziduálni autokorelace (Hyndman a Athanasopoulos, 2021; Box et al., 2015). V obecné podobě lze tento model zapsat jako: X t = a-r-pT Yt -r-YT Zt -r-?7t , Kde parametry modelu mají stejnou definici jako u modelu OLS a r\t je chybová složka. Ta není považována za nezávislý bílý šum, ale sleduje sezónní proces SARIMA(p,d,q)(P,D, Q)s, který se skládá z následujících komponent: • AR (p> P)- autoregresní složky: Popisují závislost aktuální chyby na jejích předchozích hodnotách, a to v nesezónní i sezónní části. • I (ďD)- integrované složky: Značí řád nesezónní a sezónní diferenciace potřebný k dosažení stacionarity. Jelikož závislá proměnná vstupuje do modelu již diferencovaná, jsou v této práci tyto parametry rovny nule, tedy d = 0 a D = 0. 35 METODOLOGIE • MA (q> Q)- složky klouzavých průměrů: Vyjadřují aktuální chybu jako lineární kombinaci minulých, nepozorovatelných chybových šoků, tedy bílého šumu et. • s- délka sezóny: V případě denních dat a týdenní periodicity je s = 7. Integrované složky (ď D) vyjadřují řád nesezónní a sezónní diferenciace potřebný k dosažení stacionarity. Jelikož závislá proměnná vstupuje do modelu již v stacionární formě první diference logaritmu (případně jeho vyhlazené MA podoby), byly v této části práce oba tyto parametry nastaveny na nulu, tedy d = 0 a D = 0. Pomocí operátoru zpětného posunu B, kde obecně platí: B% = Vt-k. lze obecný proces pro chybovou složku r\t zapsat ve tvaru: d>p(5s )0p (5)J 7 t = eQ(Bs )9q(B)et. Výběr vhodné dynamické specifikace modelu probíhal ve dvou krocích. Nejprve byl zkoumán nesezónní model ARIMAX se stejnou sadou exogenních proměnných, včetně dummy proměnných pro dny v týdnu (mimo modely užívající závislou proměnou metro_dl_ma7). Tento postup byl zvolen proto, že týdenní periodicita je v práci již explicitně zachycena prostřednictvím dummy proměnných, které modelují rozdíly v průměrné úrovni poptávky mezi jednotlivými dny týdne. První nesezónní specifikace však nevedly k plně uspokojivé diagnostice reziduí. Přestože se oproti OLS modelu krátká autokorelace snížila, v reziduích nadále přetrvávala zřetelná týdenní struktura a Ljungův-Boxův test zamítal nulovou hypotézu o neautokorelovaných reziduích. To naznačovalo, že vedle deterministických rozdílů mezi dny v týdnu v datech přetrvává i stochastická týdenní závislost. Z tohoto důvodu byl výběr modelu zopakován s povolením sezónních parametrů. Po porovnání kandidátních specifikací využitím funkce auto.arimaQ na základě minimalizace informačních kritérií AIC a BIC. 36 METODOLOGIE Akaikovo informační kritérium (AIC) a Bayesovo informační kritérium (BIC) hodnotí kvalitu proložení modelu daty, ale zároveň silně penalizují jeho výpočetní komplexitu, čímž efektivně snižují riziko přespecifikování (overfitting). V Tabulce 4 je seznam modelů a vybraných SARIMA speci­ fikací. Tabulka 4: Popis specifikací odhadnutých SARIMAX modelů Model (X) PHM (Y) SARIMA(p,d,<7)(T,í>, Q)s 1: Base metro_dl P H M _ d l a P H M _ d l _ l l (0,0,2)(1,0,1)7 2: M A n a M A metro_dl_ma7 P H M _ d l _ m a 7 (0,0,4)(0,0,1)7 3: Absolutní D metro_dl P H M _ d a P H M _ d _ l l (0,0,2)(1,0,2)7 4: Týdenní šok metro_dl P H M _ d _ c u m 7 (0,0,2)(1,0,1)7 5: Zpoždění metro_dl 4 týdenní bloky PHM_dl_avg (0,0,2)(1,0,0)7 6: Threshold DL metro_dl Interakce P H M _ d l a šokových prahů (3,0,0)(1,0,1)7 7: Threshold D metro_dl Interakce P H M _ d a šokových prahů (0,0,2)(2,0,1)7 8: Threshold M A metro_dl_ma7 Interakce M A a šokových prahů (0,0,4)(0,0,1)7 Zdroj: Vlastní zpracování 4.3 Polynomický model distribuovaného zpoždění (PDL) Vedle modelů s předem definovanými týdenními bloky zpoždění je v práci využit také polynomický model distribuovaného zpoždění (PDL). Jeho zařazení vychází z předpokladu, že reakce cestujících na změnu cen pohonných hmot nemusí být okamžitá, ale může se rozkládat do více následujících dní. Tento předpoklad odpovídá empirické literatuře, podle které změna dopravního chování vyžaduje určitý čas: cestující musí cenovou změnu zaznamenat, vyhodnotit její trvalost a případně upravit své běžné dopravní návyky. PDL model proto slouží jako flexibilnější nástroj pro zachycení toho, jak se případný cenový impuls rozprostírá v čase. 37 METODOLOGIE Základní myšlenkou modelu distribuovaného zpoždění je, že aktuální změna poptávky po metru může záviset nejen na aktuální změně ceny pohonných hmot, ale také na jejích minulých hodnotách. Obecný model s konečným počtem zpoždění lze zapsat následovně: Xt = a + p0 Yt + + ... + P j Y H + ... + p k Y t _ k + y'Zt + £t Kde: • Xt je zvolená forma závislé proměnné, • Yt _k je hodnota cenové proměnné zpožděná o k období, • Zt je vektor kontrolních proměnných, • pk zachycuje efekt cenové proměnné se zpožděním k. Přímý odhad všech zpožděných koeficientů by však byl v této práci problematický. Při denních datech jsou sousední zpožděné hodnoty cen pohonných hmot často silně korelované, což může vést k multikolinearitě a nestabilním odhadům jednotlivých koeficientů. Zároveň by při delším zpoždění bylo nutné odhadovat velký počet parametrů na relativně krátkém vzorku. PDL model tento problém řeší tím, že jednotlivé zpožděné koeficienty nejsou odhadovány zcela volně, ale jsou omezeny tak, aby ležely na hladké polynomické křivce. V této práci je použita Almonova polynomická restrikce (Almon, 1965), podle které lze jednotlivé koeficienty Pj vyjádřit jako funkci zpoždění;': Pi = a0 + a i (j/K) + a2 (j/K)2 + ... + am (j/K)m + ... + ad (j/K)d kde K označuje maximální délku zpoždění, d je stupeň polynomu a a0 až ad jsou parametry, které jsou skutečně odhadovány. Výraz j/K normalizuje zpoždění na interval od 0 do 1, což zlepšuje numerickou stabilitu odhadu a snižuje problém s vysokými mocninami indexu zpoždění. Po dosazení této restrikce do původního modelu lze původní sadu zpožděných hodnot ceny pohonných hmot nahradit menším počtem transformovaných regresorů. Pro každý stupeň polynomu m je vytvořena pro­ měnná: 38 METODOLOGIE K W m , t = ^ ( j / K ) m Y H j=o Výsledný model má potom podobu: Xt = a + a0 W0 ,t + aiW1 ) t + ... + a m W m , t + ... + ad Wd ,t + y'Zt + £t Tím se počet odhadovaných parametrů výrazně snižuje. Například při maximálním zpoždění K = 14 by přímý model vyžadoval odhad 15 samostatných koeficientů pro jednotlivé zpoždění. Pokud je ale použit polynom prvního stupně, odhadují se pouze dva parametry, a0 a at. Vektor kontrolních proměnných je shodný se základní OLS specifikací. Díky tomu je PDL model srovnatelný s ostatními modely v práci a liší se od nich především způsobem zachycení zpožděného efektu cen pohonných hmot. Dva klíčové parametry PDL modelu jsou maximální délka zpoždění K a stupeň polynomu d. Maximální zpoždění určuje, jak dlouho po změně ceny pohonných hmot může být ještě sledována reakce poptávky po metru. Vzhledem ke krátkodobému charakteru práce a předpokladu, že případná reakce na cenový impuls se projeví v horizontu několika týdnů, jsou porovnávány hodnoty K G {7, 14, 21, 28} dní. Stupeň polynomu určuje flexibilitu tvaru zpožděné reakce. Lineární polynom umožňuje monotónně rostoucí nebo klesající průběh, kvadratický polynom připouští jeden ohyb a kubický polynom umožňuje složitější tvar reakce. V práci jsou proto porovnávány stupně d G {1, 2, 3}. Výběr konečné kombinace parametrů K a d je proveden na základě BIC. Toto kritérium bylo zvoleno proto, že oproti AIC silněji penalizuje počet parametrů, což je vhodné zejména při práci s kratším časovým vzorkem. Preferována je tedy specifikace, která dosahuje dobrého kompromisu mezi kvalitou proložení a úsporností modelu. Všechny kandidátní PDL specifikace jsou odhadovány na stejném efektivním vzorku, aby bylo možné jejich informační kritéria porovnávat přímo. Potřebné zpožděné hodnoty PHM jsou konstruovány již z dat před začátkem hlavního analytického období, takže volba delšího zpoždění 39 METODOLOGIE nevede k dodatečnému zkrácení sledovaného vzorku. Finální model je následně odhadnut metodou nejmenších čtverců a směrodatné chyby jsou korigovány pomocí Neweyho-Westova HAC odhadu. Pro oba zkoumané cenové indikátory - model s logaritmickými diferencemi [PHM_dl) i model s absolutními diferencemi v Kč [PHM_ď] - určilo kritérium BIC jako optimální shodnou specifikaci: maximální zpoždění K = 14 dní s lineárním průběhem d = 1. Tabulka 5 shrnuje vybrané specifikace odhadovaných PDL modelů. Po odhadu modelu jsou z parametrů polynomu zpětně dopočteny jednotlivé zpožděné koeficienty Bj. Kromě jejich průběhu je vyhodnocen také kumulativní efekt, tedy součet všech zpožděných koeficientů: Bkum = Bo + P i + ... + B k V modelu s logaritmickými diferencemi ceny PHM lze tento součet interpretovat jako krátkodobou kumulovanou elasticitu. V modelu s absolutními změnami ceny PHM jde naopak o semi-elastický efekt vztažený ke změně ceny o 1 Kč/l. Statistická významnost PDL specifikace je posouzena pomocí Waldova testu společné nulové hypotézy, že všechny parametry polynomické části jsou rovny nule. Doplňkově je testována také statistická významnost kumulativního efektu. Tabulka 5: Popis specifikací odhadnutých PDL modelů Model (X) PHM (Y) K() a d() parametry 1: Base metro_dl P H M _ d l K(14); d(l) 2: Absolutní D metro_dl P H M _ d K(14); d(l) Zdroj: Vlastní zpracování 40 ANALÝZA A VÝSLEDKY 5 Analýza a výsledky 5.1 OLS modely Po, výše rozebíraných, transformací a úprav dat bylo přistoupeno k samotným odhadům parametrů. Veškeré výpočty, úpravy dat, odhady modelů i následná diagnostika byly provedeny v programovacím prostředí R (R Core Team, 2024). V příloze D se nachází seznam použitých scriptů, které jsou zároveň součástí přílohy této práce. Výsledky osmi specifikací regresních modelů odhadnutých metodou nejmenších čtverců (OLS) jsou shrnuly v Tabulkách 6 a 7. U každého je uvedeno, zda byly při odhadu zahrnuty i proměnné DoW (dummy proměnné pro dny v týdnu), proměnné reprezentující počasí a zbylé kontrolní proměnné, svátky a uzávěrku linky C. Zároveň jsou vždy reportovány i velikost vzorku (N), korigovaný koeficient determinace R2 a p-hodnota Ramseyho RESET testu, který slouží pro ověření správné funkční specifikace modelu. Pro kompletní výsledky jednotlivých modelů viz Přílohu A. 41 ANALÝZA A VÝSLEDKY Tabulka 6: Výsledky OLS regrese pro modely 1-4 Base [Model 1] MA na MA (Model 2) Absolutní D (Model 3) Týdenní šok (Model 4) Konstanta 0.783*** 0.003 0.783*** 0.783*** (0.021] (0.004) (0.021) (0.021) PHM_dl -0.396 PHM_dl_ll (0.763) 0.280 PHM_dl_ma7 (0.029) -0.046 PHM_d (0.311) -0.009 PHM_d_U (0.016) 0.006 PHM_d_cum7 (0.017) -0.001 (0.001) DoW Ano Ne Ano Ano Počasí Ano Ano Ano Ano Události Ano Ano Ano Ano N 178 178 178 178 R2 Adj. 0.980 0.011 0.980 0.980 Ramsey RESET (p- 0.954 0.632 0.952 0.930 hodnota) V tabulce jsou uvedeny odhady regresních koeficientů pro jednotlivé modely. V závorkách jsou reportovány robustní směrodatné odchylky Newey-West (NW), které korigují možnou autokorelaci a heteroskedasticitu v datech. Statistická významnost je značena následovně: . p < 0.1, * p < 0.05, **p < 0.01, ***p < 0.001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 42 ANALÝZA A VÝSLEDKY Tabulka 7: Výsledky OLS regrese pro modely 5-8 Blokové zpož­ Threshold DL Threshold D Threshold dění (Model 5) (Model 6) (Model 7) MA (Model 8) Konstanta 0.782*** 0.782*** 0.782*** 0.003 (0.021] (0.021) (0.021) (0.004) PHM_dl_avg_0_7 -0.201 (0.376) PHM_dl_avg_8_14 0.253 (0.424) PHM_dl_avg_15_21 0.404 (0.402) PHM_dl_avg_22_28 -0.557 (0.378) PHM_dl x shockjow -1.126 (0.712) PHM_dl x shock_high -0.082 (0.319) PHM_d x shockjow -0.024 (0.015) PHM_d x shock_high -0.001 (0.007) PHM_dl_ma7x 0.739 shockjow (1.326) PHM_dl_ma7x -0.060 shockjiigh (0.299) DoW Ano Ano Ano Ne Počasí Ano Ano Ano Ano Události Ano Ano Ano Ano N 178 178 178 178 R2 Adj. 0.980 0.980 0.980 0.008 Ramsey RESET (p- 0.931 0.861 0.864 0.183 hodnota) V tabulce jsou uvedeny odhady regresních koeficientů pro jednotlivé modely. V závorkách jsou reportovány robustní směrodatné odchylky Newey-West (NW). Statistická významnost je značena následovně: . p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 43 ANALÝZA A VÝSLEDKY 5.1.1 Shrnutí výsledků OLS modelů Při pohledu na Model 1, který představuje základní specifikaci v logaritmických diferencích, vykazují koeficienty pro současnou změnu ceny [PHM_dl] i její první zpoždění [PHM_dl_ll] neočekávaná znaménka, avšak nedosahují statistické významnosti, a to ani na hladině 10 %. Podobný obraz poskytuje i Model 3, kde byly testovány absolutní změny ceny v korunách [PHM_ď). Tyto výsledky naznačují, že poptávka po metru je v krátkém období vůči denním cenovým pohybům pohonných hmot extrémně nepružná. Vysoké hodnoty korigovaného koeficientu determinace u těchto modelů nejsou způsobeny vlivem cen PHM, nýbrž dominantním vlivem kontrolních proměnných. Jak ukazují odhady v Příloze A, naprostou většinu variability poptávky vysvětlují fixní efekty dnů v týdnu [DoW], proměnné počasí a mimořádné události. Model 2 (MA na MA) a Model 8 (Threshold MA) vykazují ve srovnání s ostatními specifikacemi výrazně nižší vypovídací schopnost (R2 adjusted 0,011 a 0,008). Tento pokles je očekávaným důsledkem vyhlazení řad: odstraněním fixních efektů jednotlivých dnů v týdnu z modelu zmizel hlavní zdroj vysvětlené variance. Ramseyho RESET test u těchto specifikací nicméně nezamítá nulovou hypotézu o správné funkční specifikaci. Ani zde se ovšem neprokázala závislost změny poptávky po metru na změně ceny PHM. Snaha zachytit vliv cen PHM v širším časovém okně vedla k sestavení Modelu 5. Ani zde však průměrné změny ceny v uplynulých čtyřech týdnech [PHM_dl_avg_0_7 až PHM_dl_avg_22_28] nevykazují statistickou význam­ nost. Zajímavý, byť stále statisticky nevýznamný vhled, nabízejí prahové modely (Model 6 a 7). Interakční členy testující reakci na extrémní poklesy [shockjow] a růsty [shock_high] cen naznačují, že koeficienty citlivosti se v období šoků mění. Například u Modelu 6 vykazuje interakce s extrémním poklesem ceny [PHM_dl x shockjow] výrazně nižší hodnotu (-1,126) oproti základním modelům. To indikuje přítomnost nelinearity v rozhodování cestujících. Nicméně i tyto specifikace nejsou statisticky signifikantní, a tudíž tento vztah nelze potvrdit. 44 ANALÝZA A VÝSLEDKY Hlavním omezením lineární regrese v tomto kontextu je fakt, že rezidua modelů vykazují silnou autokorelaci a sezónní vzorce, které NeweyWestovy standardní chyby sice dokážou statisticky korigovat, ale nikoliv vysvětlit. Poptávka po metru vykazuje značnou sezónnost, kde dnešní hodnota není ovlivněna pouze exogenními faktory (počasí, cena PHM), ale i svým vlastním vývojem v předchozích dnech. 5.2 Regresní model s SARIMA chybami V následujících Tabulkách 8 a 9 jsou shrnuty výsledky všech 8 odhadů SARIMAX modelů. Kompletní výsledky odhadů jsou v Příloze B. Tabulka 8: Výsledky SARIMAX odhadu pro modely 1-4 a) Parametry SARIMA části modelu Base MA na MA Absolutní D Týdenní šok [Model 1) (Model 2) (Model 3) (Model 4) mal -0.386*** 0.572*** -0.383*** -0.385*** [0.084) (0.083) (0.083) (0.081) ma2 -0.292** 0.342*** -0.290** -0.293** [0.094) (0.089) (0.092) (0.091) ma3 0.520*** (0.082) ma4 0.281*** (0.082) sarl 0.780*** 0.764*** 0 779*** (0.112) (0.126) (0.113) smal -0.499*** -0.820*** -0.505** -0.499*** (0.143) (0.079) (0.153) (0.143) sma2 0.042 (0.107) 45 ANALÝZA A VÝSLEDKY b) Parametry regresní části modelu (exogénni proměnné) Base (Model 1) MA na MA (Model 2) Absolutní D (Model 3) Týdenní šok (Model 4) Konstanta 0.788*** 0.787*** 0.788*** (0.020) (0.020) (0.020) PHM_dl 0.172 PHM_dl_U (0.649) -0.345 PHM_dl_ma7 (0.622) 0.587 PHM_d (0.458) 0.004 PHM_d_Il (0.015) -0.008 PHM_d_cum7 (0.014) -0.001 (0.001) DoW Ano Ne Ano Ano Počasí Ano Ano Ano Ano Události Ano Ano Ano Ano N 178 178 178 178 AIC -562.7 -892.8 -560.9 -564.6 BIC -486.3 -838.7 -481.4 -491.5 Ljung-Box (p-hodnota) ARCH test (p- hodnota) Shapiro-Wilk (p-hodnota) 0,8725 0,8522 0,0018 0,9663 < 0,001 < 0,001 0,8621 0,8365 0,0017 0,8683 0,8426 0,0019 Modely odhadnuty metodou maximální věrohodnosti. V tabulce jsou uvedeny odhady koeficientů pro jednotlivé modely. V závorkách jsou reportovány směrodatné odchylky parametrů. Statistická významnost je značena následovně: .p < 0.1, *p < 0.05, **p < 0.01, ***p < 0.001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 46 ANALÝZA A VÝSLEDKY Tabulka 9: Výsledky SARIMAX odhadu pro modely 5-8 a) Parametry SARIMA části modelu Blokové zpož­ Threshold DL Threshold D Threshold dění (Model 5) (Model 6) (Model 7) MA (Model 8) mal -0.420*** -0.411*** 0.571*** (0.105} (0.095) (0.085) ma2 -0.359** -0.323** 0.343*** (0.125) (0.106) (0.092) ma3 0.522*** (0.083) ma4 0.282*** (0.083) arl -0.272*** (0.079) ar2 -0.226* (0.091) ar3 -0.204* (0.081) smal -0.479*** -0.473* -0.826*** (0.127) (0.215) (0.080) sarl 0.322** 0.801*** 0.728** (0.100) (0.096) (0.224) sar2 0.032 (0.121) 47 ANALÝZA A VÝSLEDKY b) Parametry regresní části modelu (exogénni proměnné) Blokové zpož­ Threshold DL Threshold D Threshold MA dění (Model 5) (Model 6) (Model 7) (Model 8) Konstanta 0.778*** 0.794*** 0.785*** [0.017] (0.021) (0.020) PHM_dl_avg_0_7 -0.036 (0.372) PHM_dl_avg_8_14 0.226 (0.311) PHM_dl_avg_15_21 0.304 (0.277) PHM_dl_avg_22_28 -0.162 (0.271) PHM_dl x -0.518 shockjow (0.936) PHM_dl x -0.315 shock_high (0.408) PHM_d x -0.020 shockjow (0.018) PHM_d x 0.002 shock_high (0.010) PHM_dl_ma7x 0.962 shockjow (1.262) PHM_dl_ma7x 0.768 shock_high (0.469) DoW Ano Ano Ano Ne Počasí Ano Ano Ano Ano Události Ano Ano Ano Ano N 178 178 178 178 AIC -558.4 -558.5 -561.5 -892.0 BIC -478.8 -478.9 -481.9 -834.8 Ljung-Box 0,6143 0,9097 0,8684 0,9728 (p-hodnota) ARCH test [p-hod­ 0,5886 0,9098 0,7826 < 0,001 nota) Shapiro-Wilk (p) 0,0434 < 0,001 0,0088 < 0,001 Modely odhadnuty metodou maximální věrohodnosti. V tabulce jsou uvedeny odhady koeficientů pro jednotlivé modely. V závorkách jsou reportovány směrodatné odchylky parametrů. Statistická významnost je značena následovně: .p < 0.1, *p < 0.05, **p < 0.01, ***p < 0.001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 48 ANALÝZA A VÝSLEDKY 5.2.1 Shrnutí výsledků SARIMAX modelů Vzhledem k přetrvávající autokorelaci a sezónním vzorcům v reziduích OLS modelů byl pro zpřesnění odhadů aplikován přístup SARIMAX. Tento model umožnil efektivně podchytit, jak vliv exogenních proměnných, tak vnitřní stochastickou dynamiku denní poptávky. Vliv cen pohonných hmot: Shodně s předchozími OLS specifikacemi ani pokročilé modely SARIMAX neprokázaly statisticky významný vliv změn cen PHM na poptávku po metru. Všechny klíčové koeficienty (pro okamžité, zpožděné i prahové efekty) zůstaly statisticky nesignifikantní. Diagnostika reziduí: • Ljungův-Boxův test: U všech modelů (vyjma MA transformací) dosáhly p-hodnoty vysokých hodnot (např. 0,87 u Modelu 1), což znamená, že se podařilo úspěšně odstranit autokorelaci a rezidua se blíží bílému šumu. • ARCH test: Test neprokázal přítomnost heteroskedasticity (phodnoty > 0,05), což potvrzuje stabilitu rozptylu chyb u většiny specifikací. Výjimkou jsou modely s MA transformací (M2 a M8), kde přetrvávající volatilita naznačuje složitější strukturu dat po vyhlazení. • Shapiro-Wilk test: Nízké p-hodnoty testu normality indikují, že rezidua nejsou striktně normálně rozdělená. V kontextu vysokofrekvenčních dopravních dat a dostatečného vzorku (N=178) však tato skutečnost zásadně neohrožuje platnost odhadů, neboť je způsobena především výskytem extrémních hodnot, které se v modelu i po ošetření pomocí kontrolních proměnných stále vy­ skytují. Celkově modely SARIMAX potvrdily robustnost předchozích závěrů: dominantním faktorem poptávky je kalendářní cyklus, počasí a netradiční události, zatímco krátkodobá cenová elasticita PHM se v první polovině roku 2022 v Praze neprokázala statisticky signifikantní. 49 ANALÝZA A VÝSLEDKY 5.3 Polynomický model distribuovaného zpoždění (PDL) Výsledky odhadu těchto dvou preferovaných specifikací jsou shrnuty v Tabulce 10. Modely vycházejí ze základního rámce OLS, přičemž standardní chyby odhadů jsou korigovány pomocí robustní Newey-Westovy (HAC) kovarianční matice. Transformované zpožděné proměnné reprezentující Almonův polynom jsou v modelech označeny jako W0 a Kompletní výsledky odhadů jsou v Příloze C. Tabulka 10: Výsledky PDL regrese (K=14, d=l) Base Absolutní D (Model 1) (Model 2) Konstanta 0,782*** 0,782*** [0,021) (0,021) W0 -0,046 -0,001 (0,057} (0,001) Wt 0,117 0,003 (0,110) (0,002) DoW Ano Ano Počasí Ano Ano Události Ano Ano N 178 178 R2 Adj. 0.980 0.980 Ramsey RESET ° " 9 3 3 0 l 9 3 4 (p-hodnota) V tabulce jsou uvedeny odhady regresních koeficientů pro jednotlivé modely. V závorkách jsou reportovány robustní směrodatné odchylky Newey-West (NW). Statistická významnost: . p < 0.1, * p < 0.05, ** p < 0.01, *** p < 0.001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 5.3.1 Shrnutí výsledků PDL modelů Koeficienty W 0 a Wt nepředstavují samostatné efekty konkrétních dní zpoždění, ale parametry Almonovy polynomické transformace. Jejich znaménko a statistická významnost proto slouží především k posouzení tvaru celého distribuovaného zpoždění. U modelu s logaritmickou změnou ceny PHM je koeficient W 0 záporný a W1 kladný, což by samo o sobě 50 ANALÝZA A VÝSLEDKY odpovídalo mírně rostoucímu profilu lagových efektu. Ani jeden z těchto parametru však není statisticky významný. Stejný závěr platí i pro model s absolutní změnou ceny v Kč, kde jsou odhady W0 a W1 velmi blízké nule a statisticky nevýznamné. Statistická významnost zpožděné reakce byla posouzena dvěma způsoby. Nejprve byl proveden Waldův test společné nulové hypotézy, že všechny parametry polynomické části jsou rovny nule. Nulová hypotéza nebyla zamítnuta jak pro model s PHM_dl (p = 0,5680), tak pro model sPHM_d (p = 0,5427). Doplňkově byl testován také kumulativní efekt, tedy součet všech dopočtených zpožděných koeficientů v horizontu 0 až 14 dní. Ani zde nebyla nulová hypotéza zamítnuta: u logaritmické změny ceny PHM dosahuje p-hodnota 0,7288 a u absolutní změny ceny 0,6873. Výsledky tedy neukazují pouze na nevýznamnost jednotlivých parametrů W 0 a Wi, ale také na absenci statisticky prokazatelného souhrnného efektu cen paliv v celém dvoutýdenním zpožděném horizontu. Tento závěr lze dobře vidět i na grafickém znázornění lagových profilů (Graf 3). I když křivka v grafu mírně stoupá, její intervaly spolehlivosti po celou délku zpoždění zahrnují i nulu. Jakýkoliv náznak trendu, který by mohl na první pohled vypadat jako zpožděná reakce, je pouhým náhodným šumem v datech. Graf 3: Lagový profil PHM_dl a PHM_d (K = 14, d =1) Lagový profil: PHM_dl (Log-diff) Lagový profil: PHM_d (Absolutní diff) 0 2 , ' ' 0.004 „ 0.1 0 5 10 0 5 10 Lag (dny) Lag (dny) Bodové odhady jsou doplněny o 95% intervaly spolehlivosti (čárkovaná čára) založené na robustních směrodatných chybách Newey-West Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 51 ANALÝZA A VÝSLEDKY Výsledky PDL modelu tak potvrzují závěry získané z předchozích specifikací. Ani po umožnění hladkého rozložení efektu cen paliv do čtrnáctidenního horizontu se nepodařilo identifikovat statisticky významný vliv na poptávku po metru. To je důležité zejména proto, že PDL model testuje obecnější hypotézu než jednoduché současné nebo jednodenní zpožděné efekty: připouští, že reakce cestujících může být postupná a rozprostřená v čase. Nevýznamnost společných Waldových testů i kumulativních efektů proto naznačuje, že absence vztahu není dána pouze nevhodnou volbou konkrétního jednodenního zpoždění, ale platí i při flexibilnějším zachycení krátkodobé dynamiky. 52 ZÁVĚR 6 Závěr Cílem této práce bylo posoudit, zda se krátkodobé změny cen pohonných hmot promítly do poptávky po pražském metru v první polovině roku 2022. Zkoumaný vztah byl interpretován primárně jako projev krátkodobé křížové cenové elasticity - tedy jako otázku, zda a s jakým zpožděním se kolísající náklady na individuální automobilovou dopravu projevují ve využívání metra. Zvolený časový rámec zachytil období mimořádných cenových výkyvů, které již nebylo zkresleno plošnými covidovými restrikcemi typickými pro předchozí roky. Empirická analýza se opírala o denně agregovaná data o počtu cest metrem, ceny benzínu a nafty v Praze, meteorologické proměnné a soubor kalendářních i událostních kontrol. Vedle základních OLS specifikací byly odhadnuly také regresní modely se SARIMA chybami a polynomické modely distribuovaného zpoždění (PDL). Tento postup umožnil prověřit nejen okamžitý efekt cenových změn, ale i jejich případnou kumulaci či nelineární reakci poptávky, za účelem omezit riziko, že by závěry byly podmíněny pouze jednou konkrétní metodikou. Výsledky jsou napříč zvolenými přístupy konzistentní: statisticky významný krátkodobý vliv cen paliv na poptávku po metru se nepodařilo prokázat. Z OLS modelů dále vyplývá, že poptávka po metru vykazuje vůči denním cenovým pohybům značnou rigiditu. Prahové specifikace sice naznačovaly, že by se citlivost cestujících mohla při extrémních šocích měnit, statisticky se však tyto náznaky nepotvrdily. Jako mnohem podstatnější se ukázaly jiné faktory: fixní efekty dnů v týdnu, počasí a mimořádné události. Právě tyto proměnné vysvětlují převážnou část krátkodobé variability v počtu jízd. Ani po zpřesnění dynamické složky pomocí modelů SARIMAX se hlavní výsledek nezměnil a koeficienty cen paliv zůstaly statisticky nevýznamné. Tento přístup navíc vykázal lepší diagnostické vlastnosti reziduí než samotné OLS modely, což lze chápat jako metodologicky silnější potvrzení dosažených závěrů. Tento závěr podporují i výsledky modelů distribuovaného zpoždění (PDL). Ani při zohlednění možné opožděné reakce cestujících v delším 53 ZÁVĚR časovém horizontu se neobjevil žádný významný efekt. Waldovy testy vyšly v obou variantách nevýznamně a grafické profily zpoždění potvrdily že intervaly spolehlivosti po celé své délce zahrnují nulu. To posiluje závěr, že vztah mezi cenami paliv a poptávkou po metru je v analyzovaném období buď velmi slabý, nebo zcela překryt bezprostřednějšími fak­ tory. Tyto výsledky tedy naznačují, že ani prudké zdražení paliv nemusí automaticky vyvolat okamžité a dobře zachytitelné zvýšení poptávky po me­ tru. Práce má však i svá omezení, která je třeba brát v úvahu. Mezi hlavní limity patří relativně krátké sledované období, vysoká agregace dat na úroveň celého systému a zaměření výhradně na metro. Zatímco zvolený přístup je vhodný pro zachycení krátkodobých celosystémových vztahů, méně už dokáže odhalit rozdíly mezi jednotlivými stanicemi, účely cest či dlouhodobější adaptační proces. Ukázalo se také, že běžné lineární regrese narážejí na silnou autokorelaci, což vyžaduje použití robustnějších modelů. Pro navazující výzkum se proto nabízí několik směrů: prodloužení časového horizontu, srovnání období s různou volatilitou cen nebo zahrnutí i ostatních módů veřejné dopravy. 54 POUŽITÉ ZDROJE Použité zdroje 1. ALMON, S. (1965). The Distributed Lag Between Capital Appropriations and Expenditures. Econometrica, 33(1), 178-196. doi: 10.2307/1911894 2. ALVES, B., & DA COSTA, N. M. (2024). Changes in Fuel Prices and the Use of Public Transport: Insights from the European Union following the Invasion of Ukraine. European Journal of Geography, 15(4), 232-243. 3. BEN-AKIVA, M., & LERMAN, S. R. (1985). Discrete Choice Analysis: Theory and Application to Travel Demand. MIT Press. 4. BLANCHARD, E. D. (2009). The Impact of Rising Gasoline Prices on US Public Transit Ridership. (Honors Thesis, Duke Uni­ versity). 5. BOX, G. E. P., & TIAO, G. C. (1975). Intervention Analysis with Applications to Economic and Environmental Problems. Journal of the American Statistical Association, 70(349), 70-79. doi: 10.1080/01621459.1975.10480264 6. BOX, G. E. P., JENKINS, G. M., REINSEL, G. C, & LJUNG, G. M. (2015). Time Series Analysis: Forecasting and Control (5th ed.). Wiley. 7. CURRIE, G., & PHUNG, J. (2008). Understanding links between transit ridership and gasoline prices: Evidence from the United States and Australia. Journal of the Transportation Research Board, 2063(1), 133-142. doi: 10.3141/2063-16 8. ČESKÝ HYDROMETEOROLOGICKÝ ÚSTAV (ČHMÚ). (2022). Denní úhrn srážek - informace o měření srážek. 9. CHEN, C, VARLEY, D., & CHEN, J. (2011). What affects transit ridership? A dynamic analysis involving multiple factors, lags and asymmetric behaviour. Urban Studies, 48(9), 1893-1908. doi: 10.1177/0042098010379280 10. CHI, J. (2022). Asymmetric gasoline price effects on public transit ridership: Evidence from U.S. cities. Transportation Research Record, 2676(5), 643-659. doi: 10.1177/03611981211069065 55 POUŽITÉ ZDROJE 11. DAHL, C, & STERNER, T. (1991). Analysing gasoline demand elasticities: a survey. Energy Economics, 13(3), 203-210. 12. DATA Praha. (n.d.). Náklady na provoz Pražské integrované dopravy. Portál hlavního města Prahy. Dostupné z: https://data.praha.eu/praha-v-cislech/naklady-na-provoz-praz- ske-integrovane-dopravy 13. DICKEY, D. A., & FULLER, W. A. (1981). Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root. Econometrica, 49(4), 1057-1072. doi: 10.2307/1912517 14. DPP (Dopravní podnik hi. m. Prahy). (2022). DPP využije Velikonoce k další výměně pražců v metru na lince C... (tisková zpráva, 11.4.2022). 15. DPP (Prague Public Transit Company). (2022). Changes in the PID Tariff valid from 1 April 2022. 16. ENDERS, W. (2015). Applied Econometric Time Series (4th ed.). Wiley. 17. FITZROY, F. R., & SMITH, I. (1999). Season Tickets and the Demand for Public Transport. Kyklos, 52(2), 219-238. 18. FOX, J., & MONETTE, G. (1992). Generalized Collinearity Diagnostics. Journal of the American Statistical Association, 87(417), 178-183. doi: 10.1080/01621459.1992.10475190 19. GOODWIN, P., DARGAY, J., & HANLY, M. (2004). Elasticities of road traffic and fuel consumption with respect to price and income: a review. Transport Reviews, 24(3), 275-292. doi: 10.1080/0144164042000181725 20. GRAHAM, D. J., & GLAISTER, S. (2002). The Demand for Automobile Fuel: A Survey of Elasticities. Journal of Transport Economics and Policy, 36(1), 1-25. 21. GRAHAM, D. J., & GLAISTER, S. (2004). Road Traffic Demand Elasticity Estimates: A Review. Transport Reviews, 24(3), 261- 274. doi: 10.1080/0144164032000101193 22. GUO, Z., WILSON, N. H. M., & RAHBEE, A. (2007). Impact of weather on transit ridership in Chicago, Illinois. Transportation Research Record, 2034(1), 3-10. doi: 10.3141/2034-01 23. HAIRE, A. R., & MACHEMEHL, R. B. (2007). Impact of Rising Fuel Prices on U.S. Transit Ridership. Transportation Research Record, 1992, 11-19. doi: 10.3141/1992-02 56 POUŽITÉ ZDROJE 24. HAIRE, A. R., & MACHEMEHL, R. B. (2009). A Methodology for Incorporating Fuel Price Impacts into Short-term Transit Ridership Forecasts. Research Report SWUTC/09/169203-1. Austin: Center for Transportation Research, University of Texas at Austin. 25. HAMILTON, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. 26. HOLMGREN, J. (2007). Meta-analysis of public transport demand. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 41(10), 1021-1035. doi: 10.1016/j.tra.2007.06.003 27. HOLMGREN, J. (2013). An analysis of the determinants of local public transport demand focusing the effects of income changes. European Transport Research Review, 5,101-107. doi: 10.1007/sl2544-013-0094-0 28. HORÁČEK, V., & SLINTÁKOVÁ, B. (2023). Demand for urban public transport in the Czech Republic. Review of Economic Perspectives, 23(4), 277-292. doi: 10.2478/revecp-2023-0011. 29. HYNDMAN, R. J., & ATHANASOPOULOS, G. (2021). Forecasting: Principles and Practice (3rd ed.). OTexts. 30. ISEKI, H., & ALI, R- (2014). Net Effects of Gasoline Price Changes on Transit Ridership in U.S. Urban Areas (MTI Report 12-19). Mineta Transportation Institute. 31. JIANG, S., & CAI, Z. (2023). The impacts of weather conditions on metro ridership: An empirical study from three mega cities in China. Journal of Urban Management, 12(4), 511-528. doi: 10.1016/j.jum.2023.01.004 32. KWIATKOWSKI, D., PHILLIPS, P. C. B., SCHMIDT, P., & SHIN, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, 54 (1-3), 159- 178. doi: 10.1016/0304-4076(92)90104-Y 33. LANE, B. W. (2010). The relationship between recent gasoline price fluctuations and transit ridership in major US cities. Journal of Transport Geography, 18(2), 214-225. doi: 10.1016/j.jtr- angeo.2009.04.002 34. LI, J., LI, X., CHEN, D., & GODDING, L. (2018). Assessment of metro ridership fluctuation caused by weather conditions in Asian context: Using archived weather and ridership data in Nanjing. 57 POUŽITÉ ZDROJE Journal of Transport Geography, 66, 356-368. doi: 10.1016/j.jtr- angeo.2017.10.023 35. MATTSON, J. (2008). Effects of Rising Gas Prices on Bus Ridership for Small Urban and Rural Transit Systems. Upper Great Plains Transportation Institute. 36. McFADDEN, D. (1974). Conditional logit analysis of qualitative choice behavior. In P. Zarembka (Ed.), Frontiers in Econometrics (pp. 105-142). Academic Press. 37. MINISTERSTVO ZDRAVOTNICTVÍ ČR (MZČR). (2022). Zrušení několika ochranných opatření, s účinnosti od 9. 4. 2022. 38. NETEŘ,}., KUTNER, M. H., NACHTSHEIM, C.}., & WASSERMAN, W. (1996). Applied Linear Statistical Models (4th ed.). WCB/McGraw-Hill. 39. NEWEY, W. K., & WEST, K. D. (1987). A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix. Econometrica, 55(3), 703-708. doi: 10.2307/1913610 40. NOWAK, W. P., & SAVAGE, I. (2013). The cross elasticity between gasoline prices and transit use: Evidence from Chicago. Transport Policy, 29, 38-45. doi: 10.1016/j.tranpol.2013.04.002 41. OUŘEDNÍČEK, M., POSPÍŠILOVÁ, L., ŠPAČKOVÁ, P., TEMELOVÁ, J., & NOVÁK, J. (2012). Prostorová typologie a zonace Prahy. In M. Ouředníček & J. Temelová (Eds.), Sociální proměny pražských čtvrtí. Academia. 42. PID (Pražská integrovaná doprava). (2022). Změna tarifu PID od 1. 4.2022. 43. R CORE TEAM. (2024). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing. 44. SINGHAL, A , KAMGA, C, & YAZICI, A. (2014). Impact of weather on urban transit ridership. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 69, 379-391. doi: 10.1016/j.tra.2014.09.008 45. STOCK, J. H., & WATSON, M. W. (2019). Introduction to Econometrics (4th ed.). Pearson. 46. STOVER, V. W., & BAE, C.-H. C. (2011). Impact of Gasoline Prices on Transit Ridership in Washington State. Transportation Research Record, 2217,1-10. doi: 10.3141/2217-02 58 POUŽITÉ ZDROJE 47. TAYLOR, B. D., MILLER, D., ISEKI, H., & FINK, C. (2009). Nature and/or nurture? Analyzing the determinants of transit ridership across US urbanized areas. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 43(1), 60-77. doi: 10.1016/j.tra.2008.06.007 48. TRAIN, K. E. (2009). Discrete Choice Methods with Simulation (2nd ed.). Cambridge University Press. 49. VLÁDA ČR. (2022). Protiepidemická opatření. Publikováno 11. 4. 2022. 50. WARDMAN, M. (2022). Meta-analysis of price elasticities of travel demand in Great Britain: Update and extension. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 158,1-18. doi: 10.1016/j.tra.2022.01.012 51. WARDMAN, M., TONER, J., FEARNLEY, N., FLÜGEL, S., & KILLI, M. (2018). Review and meta-analysis of inter-modal cross-elasticity evidence. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 118, 662-681. doi: 10.1016/j.tra.2018.09.014 52. WHITE, H. (1980). A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity. Econometrica, 48(4), 817-838. doi: 10.2307/1912934 53. WOOLDRIDGE, J. M. (2010). Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data (2nd ed.). MIT Press. 54. WU, J., & LIAO, H. (2020). Weather, travel mode choice, and impacts on subway ridership in Beijing. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 135, 264-279. doi: 10.1016/j.tra.2019.11.020 55. YAMAN, F., & OFFIAELI, K. (2022). Is the price elasticity of demand asymmetric? Evidence from public transport demand. Journal of Economic Behavior & Organization, 203, 318-335. doi: 10.1016/j.jebo.2022.09.011 56. YANMAZ-TUZEL, O., & OZBAY, K. (2010). Impacts of Gasoline Prices on New Jersey Transit Ridership. Transportation Research Record, 2144, 52-61. doi: 10.3141/2144-07 57. ZHOU, M., WANG, D., LI, Q., YUE, Y, TU, W., & CAO, R. (2017). Impacts of weather on public transport ridership: Results from mining data from different sources. Transportation Research Part C: Emerging Technologies, 75,17-29. doi: 10.1016/j.trc.2016.12.001 59 POUŽITÉ ZDROJE Příloha A Kompletní výsledky odhadnutých OLS modelů Tabulka 11: Výsledky odhadu OLS pro Model 1 Proměnná Koeficient Sm. chyba t-statis- tika p-hodnota Konstanta 0,78318 0,02134 36,697 < 0,001 *** PHM_dl -0,39573 0,76267 -0,519 0,6046 PHM_dl_ll 0,27992 0,80721 0,347 0,7292 DoW2 (Úterý) -0,75578 0,02137 -35,373 < 0,001 *** DoW3 (Středa) -0,75967 0,01997 -38,048 < 0,001 *** DoW4 (Čtvrtek) -0,80976 0,01959 -41,34 < 0,001 *** DoW5 (Pátek) -0,84725 0,0206 -41,122 < 0,001 *** D0W6 (Sobota) -1,35016 0,03173 -42,553 < 0,001 *** DoW7 (Nedělej -0,93477 0,02473 -37,794 < 0,001 *** snow -0,04474 0,01779 -2,515 0,0129* wind 0,00162 0,00191 0,848 0,3976 temp_detrend -0,00033 0,00074 -0,438 0,6622 rainjight -0,00792 0,00728 -1,087 0,2786 rain_moderate -0,02508 0,01455 -1,723 0,0868. rain_heavy -0,07898 0,02796 -2,825 0,0053 ** eastertue 0,26016 0,01904 13,667 < 0,001 *** closeout 0,4791 0,01669 28,71 < 0,001 *** events:DoWl -0,19674 0,02276 -8,644 < 0,001 *** events:weekend 0,16194 0,02939 5,511 < 0,001 *** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 60 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 12: Výsledky odhadu OLS pro Model 2 Proměnná Koeficient Sm. chyba t-statis- tika p-hodnota Konstanta 0,00264 0,00415 0,636 0,5257 PHM_dl_ma7 -0,04583 0,31125 -0,147 0,8831 snow -0,00924 0,00807 -1,145 0,2539 wind -0,00049 0,00077 -0,637 0,525 temp_detrend 0,00044 0,00088 0,498 0,6193 rainjight 0,01075 0,0082 1,311 0,1916 rain_moderate -0,00534 0,00568 -0,939 0,3492 rain_heavy -0,00336 0,00362 -0,929 0,3544 eastertue -0,01797 0,00917 -1,96 0,0517. closeout -0,01256 0,00615 -2,043 0,0426* events:DoWl 0,01118 0,00857 1,305 0,1939 events:weekend 0,03717 0,00601 6,182 < 0,001 *** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 61 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 13: Výsledky odhadu OLS pro Model 3 Proměnná Koeficient Sm. chyba t-sta- p-hodnota tistika Konstanta 0,78322 0,02137 36,651 < 0,001*** PHM_d -0,00931 0,01648 -0,565 0,5729 PHM_d_ll 0,00647 0,01726 0,375 0,7082 DoW2 [Úterý] -0,7557 0,02134 -35,41 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,75967 0,01998 -38,013 < 0,001*** DoW4 [Čtvrtek] -0,80975 0,01958 -41,354 < 0,001*** DoW5 [Pátek) -0,84723 0,0206 -41,134 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,35014 0,03172 -42,569 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,93473 0,02476 -37,751 < 0,001*** snow -0,04464 0,01767 -2,526 0,0125 wind 0,00161 0,00191 0,841 0,4018 temp_detrend -0,00033 0,00074 -0,44 0,6605 rainjight -0,00794 0,0073 -1,087 0,2785 rainjnoderate -0,02519 0,01455 -1,732 0,0853. rain_heavy -0,079 0,02796 -2,826 0,0053 eastertue 0,26018 0,01908 13,638 < 0,001*** closeout 0,47908 0,0166 28,868 < 0,001*** events:DoWl -0,19664 0,02275 -8,646 < 0,001*** events:weekend 0,16196 0,02941 5,508 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 62 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 14: Výsledky odhadu OLS pro Model 4 Proměnná Koeficient Sm. chyba t-statis- p-hodnota tika Konstanta 0,78294 0,02115 37,027 < 0,001*** PHM_d_cum7 -0,00066 0,0011 -0,598 0,5507 DoW2 (Úterý] -0,75561 0,02114 -35,738 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,759 0,01975 -38,421 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,80956 0,01948 -41,568 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84721 0,02051 -41,298 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,34959 0,03131 -43,106 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,93426 0,02466 -37,893 < 0,001*** snow -0,04301 0,01782 -2,413 0,0170 wind 0,00169 0,00187 0,901 0,3692 temp_detrend -0,00033 0,00074 -0,439 0,6615 rainjight -0,00844 0,00745 -1,133 0,2591 rainjnoderate -0,02459 0,01454 -1,691 0,0927. rain_heavy -0,07887 0,02788 -2,829 0,0053 eastertue 0,2607 0,01871 13,934 < 0,001*** closeout 0,47783 0,01631 29,299 < 0,001*** events:DoWl -0,19719 0,02259 -8,729 < 0,001*** events:weekend 0,16126 0,02932 5,499 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 63 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 15: Výsledky odhadu OLS pro Model 5 Proměnná Koefi­ Sm. chyba t-statis- p-hodcient tika nota Konstanta 0,78181 0,02136 36,605 < 0,001*** PHM_dl_avg_0_7 -0,20069 0,37578 -0,534 0,5941 PHM_dl_avg_8_14 0,25347 0,42352 0,598 0,5504 PHM_dl_avg_15_21 0,40395 0,40248 1,004 0,3171 PHM_dl_avg_22_28 -0,55677 0,3782 -1,472 0,143 DoW2 [Úterý] -0,75521 0,02116 -35,686 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,75841 0,01977 -38,368 < 0,001*** DoW4 [Čtvrtek] -0,80939 0,01948 -41,56 < 0,001*** DoW5 [Pátek) -0,847 0,02047 -41,386 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,34888 0,03134 -43,044 < 0,001*** DoW7 [Neděle) -0,93393 0,02447 -38,165 < 0,001*** snow -0,04605 0,01719 -2,68 0,0082 : wind 0,00162 0,00191 0,847 0,3985 temp_detrend -0,00059 0,00083 -0,713 0,4769 rainjight -0,0064 0,00838 -0,764 0,4462 rain_moderate -0,02594 0,01487 -1,744 0,0831. rain_heavy -0,07998 0,02718 -2,942 0,0038 : eastertue 0,26099 0,01843 14,163 < 0,001*** closeout 0,47973 0,01727 27,785 < 0,001*** events:DoWl -0,1961 0,0231 -8,489 < 0,001*** events:weekend 0,16327 0,02972 5,493 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 64 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 16: Výsledky odhadu OLS pro Model 6 Proměnná Koefi­ Sm. chyba t-statis- p-hodnota cient tika Konstanta 0,7824 0,02126 36,794 < 0,001*** PHM_dI x shockjow -1,12621 0,71186 -1,582 0,1156 PHM_dI x shockjiigh -0,08239 0,31873 -0,259 0,7964 DoW2 (Úterý) -0,75556 0,02113 -35,75 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,7604 0,01975 -38,5 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,81057 0,01944 -41,692 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,8476 0,02036 -41,625 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,34973 0,03137 -43,029 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,934 0,02458 -38,004 < 0,001*** snow -0,04489 0,01725 -2,603 0,0101 wind 0,00158 0,00191 0,826 0,4102 temp_detrend -0,00025 0,00075 -0,332 0,7405 rainjight -0,00729 0,00789 -0,924 0,3571 rain_moderate -0,02289 0,01487 -1,54 0,1256 rain_heavy -0,07862 0,02793 -2,815 0,0055 eastertue 0,26221 0,01846 14,203 < 0,001*** closeout 0,47843 0,01587 30,139 < 0,001*** events:DoWl -0,1967 0,02201 -8,936 < 0,001*** events:weekend 0,16156 0,02876 5,618 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 65 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 17: Výsledky odhadu OLS pro Model 7 Proměnná Koefi­ Sm. chyba t-statis- p-hodcient tika nota Konstanta 0,78228 0,02127 36,781 < 0,001*** PHM_d x shockjow -0,02436 0,01542 -1,579 0,1163 PHM_d x shockjiigh -0,00125 0,00728 -0,172 0,864 DoW2 [Úterý] -0,75556 0,02113 -35,762 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,76041 0,01975 -38,509 < 0,001*** DoW4 [Čtvrtek] -0,81059 0,01944 -41,705 < 0,001*** DoW5 [Pátek) -0,84762 0,02036 -41,629 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,3497 0,03137 -43,024 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,93398 0,02458 -37,991 < 0,001*** snow -0,04489 0,01728 -2,597 0,0103 wind 0,00159 0,00191 0,835 0,4053 temp_detrend -0,00023 0,00075 -0,313 0,7546 rainjight -0,00726 0,0079 -0,918 0,36 rainjnoderate -0,02284 0,01487 -1,536 0,1264 rain_heavy -0,07852 0,02794 -2,811 0,0056 eastertue 0,26228 0,01846 14,204 < 0,001*** closeout 0,47862 0,01589 30,124 < 0,001*** events:DoWl -0,19674 0,02201 -8,937 < 0,001*** events:weekend 0,16155 0,02874 5,622 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 66 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 18: Výsledky odhadu OLS pro Model 8 Proměnná Koeficient Sm. chyba t-statis- tika p-hodnota Konstanta 0,00329 0,00387 0,849 0,3972 PHM_dl_ma7 x 0,73923 1,32602 0,558 0,578 shockjow PHM_dl_ma7 x -0,06006 0,2989 -0,201 0,841 shock_high snow -0,00912 0,00819 -1,113 0,2673 wind -0,00046 0,00076 -0,61 0,5428 temp_detrend 0,00039 0,00095 0,408 0,6838 rainjight 0,01024 0,00817 1,253 0,2119 rain_moderate -0,00564 0,00585 -0,965 0,3361 rain_heavy -0,00391 0,00338 -1,156 0,2496 eastertue -0,01745 0,00896 -1,948 0,0531. closeout -0,01124 0,00693 -1,622 0,1068 events:DoWl 0,01189 0,00834 1,426 0,1557 events:weekend 0,03718 0,00601 6,181 < 0,001 *** Poznámka: • p < 0,1;*p < 0,05; **p < 0,01; ***p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 67 POUŽITÉ ZDROJE Příloha B Kompletní výsledky odhadnutých SAMRIMAX modelů Tabulka 19: Výsledky SARIM A X odhadu pro Model 1 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota mal -0,38558 0,08353 -4,616 < 0,001*** ma2 -0,29238 0,09351 -3,127 0,0018** sarl 0,77990 0,11247 6,934 < 0,001*** smal -0,49867 0,14333 -3,479 < 0,001*** Konstanta 0,78786 0,02022 38,956 < 0,001*** snow -0,02107 0,01693 -1,244 0,2134 wind 0,00213 0,00132 1,620 0,1053 temp_detrend 0,00007 0,00056 0,121 0,9039 rainjight -0,00857 0,00511 -1,676 0,0937. rain_moderate -0,00879 0,02001 -0,439 0,6605 rain_heavy -0,03549 0,01370 -2,590 0,0096** eastertue 0,26569 0,04701 5,651 < 0,001*** closeout 0,45287 0,03119 14,521 < 0,001*** events_DoWl -0,15369 0,03148 -4,883 < 0,001*** events:weekend 0,13448 0,02754 4,883 < 0,001*** PHM_dl 0,17198 0,64914 0,265 0,7911 PHM_dl_ll -0,34464 0,62217 -0,554 0,5796 DoW2 (Úterý] -0,76133 0,03035 -25,081 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,77080 0,03004 -25,663 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,81704 0,02767 -29,524 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84587 0,02672 -31,657 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,37320 0,03052 -44,993 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,95022 0,02802 -33,910 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 68 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 20: Výsledky SARIM A X odhadu pro Model 2 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota mal 0,57160 0,08313 6,876 < 0,001*** ma2 0,34237 0,08943 3,828 < 0,001*** ma3 0,51976 0,08204 6,335 < 0,001*** ma4 0,28085 0,08223 3,415 < 0,001*** smal -0,82015 0,07923 -10,351 < 0,001*** snow 0,00596 0,00512 1,165 0,2441 wind 0,00008 0,00039 0,216 0,8292 temp_detrend 0,00026 0,00040 0,661 0,5088 rainjight 0,00395 0,00207 1,907 0,0565. rainjnoderate -0,00191 0,00555 -0,344 0,7308 rainjieavy -0,00274 0,00581 -0,472 0,6367 eastertue 0,00983 0,00931 1,055 0,2913 closeout 0,02491 0,01224 2,035 0,0418* events_DoWl 0,00629 0,00674 0,932 0,3511 events:weekend -0,00001 0,00679 -0,001 0,9992 PHM_dl_ma7 0,58710 0,45803 1,282 0,1999 Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 69 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 21: Výsledky SARIM A X odhadu pro Model 3 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota mal -0,38324 0,08333 -4,599 < 0,001*** ma2 -0,28958 0,09226 -3,139 0,0017** sarl 0,76358 0,12620 6,051 < 0,001*** smal -0,50542 0,15263 -3,311 < 0,001*** sma2 0,04219 0,10660 0,396 0,6923 Konstanta 0,78737 0,02008 39,202 < 0,001*** snow -0,02157 0,01686 -1,279 0,2008 wind 0,00212 0,00132 1,614 0,1065 temp_detrend 0,00005 0,00056 0,090 0,9280 rainjight -0,00861 0,00516 -1,668 0,0953. rain_moderate -0,00937 0,02001 -0,468 0,6396 rain_heavy -0,03586 0,01375 -2,609 0,0091** eastertue 0,26682 0,04717 5,657 < 0,001*** closeout 0,45094 0,03129 14,410 < 0,001*** events_DoWl -0,15337 0,03165 -4,847 < 0,001*** Events:weekend 0,13396 0,02745 4,880 < 0,001*** PHM_d 0,00379 0,01468 0,258 0,7961 PHM_d_ll -0,00823 0,01407 -0,585 0,5586 DoW2 (Úterý) -0,76064 0,03029 -25,108 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,76998 0,02995 -25,708 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,81646 0,02756 -29,621 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84575 0,02666 -31,721 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,37234 0,03030 -45,297 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,94907 0,02791 -34,010 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 70 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 22: Výsledky SARIM A X odhadu pro Model 4 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota mal -0,38527 0,08117 -4,747 < 0,001*** ma2 -0,29292 0,09059 -3,233 0,0012** sarl 0,77897 0,11311 6,887 < 0,001*** smal -0,49856 0,14303 -3,486 < 0,001*** Konstanta 0,78819 0,02000 39,419 < 0,001*** snow -0,02208 0,01638 -1,348 0,1775 wind 0,00217 0,00121 1,788 0,0737. temp_detrend 0,00005 0,00056 0,088 0,9299 rainjight -0,00877 0,00516 -1,698 0,0895. rainjnoderate -0,00761 0,01873 -0,406 0,6847 rainjieavy -0,03569 0,01347 -2,649 0,0081** eastertue 0,26467 0,04697 5,634 < 0,001*** closeout 0,45267 0,03074 14,727 < 0,001*** events_DoWl -0,15494 0,03130 -4,951 < 0,001*** events:weekend 0,13397 0,02661 5,035 < 0,001*** PHM_d_cum7 -0,00070 0,00097 -0,719 0,4722 DoW2 (Úterý) -0,76173 0,03027 -25,166 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,77137 0,02994 -25,762 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,81712 0,02758 -29,623 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84615 0,02665 -31,752 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,37385 0,03039 -45,201 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,95034 0,02792 -34,044 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 71 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 23: Výsledky SARIM A X odhadu pro Model 5 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota mal -0,41970 0,10473 -4,008 < 0,001*** ma2 -0,35883 0,12530 -2,864 0,0042** sarl 0,32217 0,10034 3,211 0,0013** Konstanta 0,77772 0,01727 45,027 < 0,001*** snow -0,02571 0,01937 -1,327 0,1844 wind 0,00232 0,00158 1,471 0,1414 temp_detrend 0,00005 0,00054 0,090 0,9280 rainjight -0,00458 0,00564 -0,811 0,4171 rainjnoderate -0,00480 0,02277 -0,211 0,8331 rainjieavy -0,02941 0,01641 -1,792 0,0731. eastertue 0,25258 0,04503 5,609 < 0,001*** closeout 0,45233 0,03228 14,011 < 0,001*** events_DoWl -0,15830 0,03058 -5,177 < 0,001*** events:weekend 0,13825 0,03085 4,481 < 0,001*** PHM_dl_avg_0_7 -0,03636 0,37165 -0,098 0,9221 PHM_dl_avg_8_14 0,22616 0,31142 0,726 0,4677 PHM_dI_avg_15_21 0,30354 0,27716 1,095 0,2734 PHM_dl_avg_22_28 -0,16228 0,27083 -0,599 0,5490 DoW2 (Úterý) -0,75624 0,02259 -33,471 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,76421 0,02281 -33,500 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,80965 0,02042 -39,654 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84317 0,02025 -41,637 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,35922 0,02428 -55,980 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,93973 0,02220 -42,337 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 72 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 24: Výsledky SARIM A X odhadu pro Model 6 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota arl -0,27239 0,07937 -3,432 < 0,001*** ar2 -0,22637 0,09129 -2,480 0,0131* ar3 -0,20375 0,08057 -2,529 0,0114* sarl 0,80078 0,09555 8,380 < 0,001*** smal -0,47869 0,12728 -3,761 < 0,001*** Konstanta 0,79395 0,02062 38,501 < 0,001*** snow -0,01773 0,01790 -0,990 0,3220 wind 0,00115 0,00138 0,833 0,4047 temp_detrend -0,00026 0,00079 -0,328 0,7426 rainjight -0,00728 0,00613 -1,186 0,2355 rainjnoderate -0,01351 0,01897 -0,712 0,4762 rainjieavy -0,05109 0,01658 -3,081 0,0021** eastertue 0,28463 0,05059 5,627 < 0,001*** closeout 0,46672 0,03178 14,685 < 0,001*** events_DoWl -0,16280 0,03235 -5,032 < 0,001*** events:weekend 0,15856 0,02537 6,251 < 0,001*** PHM_dI x shockjow -0,51805 0,93641 -0,553 0,5801 PHM_dI x shock_high -0,31479 0,40779 -0,772 0,4401 DoW2 (Úterý) -0,76513 0,03141 -24,363 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,77038 0,02980 -25,854 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,82018 0,02912 -28,167 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84655 0,02802 -30,211 < 0,001*** DoW6 (Sobota) -1,37858 0,02951 -46,709 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,95208 0,02782 -34,218 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 73 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 25: Výsledky SARIM A X odhadu pro Model 7 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota mal -0,41091 0,09474 -4,337 < 0,001*** ma2 -0,32253 0,10563 -3,053 0,0023** sarl 0,72834 0,22427 3,248 0,0012** sar2 0,03244 0,12078 0,269 0,7882 smal -0,47282 0,21505 -2,199 0,0279* Konstanta 0,78464 0,02022 38,803 < 0,001*** snow -0,02805 0,01911 -1,468 0,1420 wind 0,00230 0,00140 1,644 0,1001 temp_detrend 0,00036 0,00065 0,547 0,5844 rainjight -0,00658 0,00533 -1,235 0,2169 rain_moderate -0,00543 0,02030 -0,268 0,7890 rain_heavy -0,03124 0,01422 -2,198 0,0280* eastertue 0,26966 0,04706 5,731 < 0,001*** closeout 0,44828 0,03182 14,086 < 0,001*** events_DoWl -0,15313 0,03129 -4,894 < 0,001*** events:weekend 0,13078 0,02791 4,686 < 0,001*** PHM_d x shockjow -0,02023 0,01796 -1,126 0,2602 PHM_d x shock_high 0,00162 0,00955 0,169 0,8656 DoW2 (Úterý) -0,76022 0,02988 -25,439 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,77138 0,02975 -25,930 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,81678 0,02717 -30,061 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84493 0,02646 -31,931 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,37193 0,03030 -45,285 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,94735 0,02771 -34,186 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 74 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 26: Výsledky SARIM A X odhadu pro Model 8 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota mal 0,57106 0,08519 6,704 < 0,001*** ma2 0,34258 0,09180 3,732 < 0,001*** ma3 0,52190 0,08288 6,297 < 0,001*** ma4 0,28203 0,08309 3,394 < 0,001*** smal -0,82642 0,08016 -10,310 < 0,001*** snow 0,00586 0,00514 1,139 0,2546 wind 0,00014 0,00045 0,301 0,7637 temp_detrend 0,00029 0,00044 0,660 0,5093 rainjight 0,00405 0,00205 1,975 0,0483* rainjnoderate -0,00134 0,00567 -0,237 0,8128 rainjieavy -0,00226 0,00587 -0,384 0,7007 eastertue 0,01062 0,00919 1,156 0,2479 closeout 0,02635 0,01240 2,125 0,0336* events_DoWl 0,00599 0,00677 0,885 0,3764 events:weekend -0,00034 0,00686 -0,049 0,9608 PHMLdl ma7x snockjDw 0,96210 1,26214 0,762 0,4459 shocKjngn 0,76803 0,46908 1,637 0,1016 Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 75 POUŽITÉ ZDROJE Příloha C Kompletní výsledky odhadnutých PDL modelů Tabulka 27: Výsledky odhadu PDL pro Model 1 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota Konstanta 0,78203 0,02104 37,165 < 0,001*** W0 -0,04607 0,05674 -0,812 0,4181 Wt 0,11676 0,10996 1,062 0,2899 DoW2 (Úterý] -0,75544 0,02113 -35,748 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,75877 0,01972 -38,482 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,80956 0,01945 -41,632 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84712 0,02048 -41,355 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,34913 0,03131 -43,088 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,93399 0,02461 -37,946 < 0,001*** snow -0,04279 0,01773 -2,414 0,0169* wind 0,00157 0,00189 0,829 0,4085 temp_detrend -0,00027 0,00075 -0,361 0,7188 rainjight -0,00723 0,00802 -0,902 0,3684 rain_moderate -0,02546 0,01420 -1,793 0,0749. rain_heavy -0,07841 0,02769 -2,832 0,0052** events_dowl -0,19694 0,02265 -8,694 < 0,001*** events:weekend 0,16253 0,02941 5,527 < 0,001*** eastertue 0,26277 0,01847 14,228 < 0,001*** closeout 0,47985 0,01678 28,592 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 76 POUŽITÉ ZDROJE Tabulka 28: Výsledky odhadu pro PDL pro Model 2 Parametr Koeficient Sm. chyba t-statistika p-hodnota Konstanta 0,78195 0,02102 37,195 < 0,001*** W0 -0,00103 0,00129 -0,801 0,4241 Wt 0,00275 0,00249 1,103 0,2719 DoW2 (Úterý] -0,75543 0,02113 -35,746 < 0,001*** DoW3 (Středa) -0,75875 0,01972 -38,484 < 0,001*** DoW4 (Čtvrtek) -0,80955 0,01944 -41,637 < 0,001*** DoW5 (Pátek) -0,84712 0,02048 -41,355 < 0,001*** D0W6 (Sobota) -1,34910 0,03131 -43,085 < 0,001*** DoW7 (Neděle) -0,93397 0,02461 -37,951 < 0,001*** snow -0,04285 0,01775 -2,414 0,0169* wind 0,00156 0,00189 0,827 0,4094 temp_detrend -0,00027 0,00075 -0,356 0,7222 rainjight -0,00715 0,00802 -0,892 0,3740 rainjnoderate -0,02550 0,01418 -1,798 0,0740. rainjieavy -0,07844 0,02768 -2,834 0,0052** events_dowl -0,19696 0,02265 -8,696 < 0,001*** events:weekend 0,16261 0,02938 5,534 < 0,001*** eastertue 0,26299 0,01845 14,253 < 0,001*** closeout 0,48007 0,01682 28,541 < 0,001*** Poznámka: • p < 0,1; * p < 0,05; ** p < 0,01; *** p < 0,001 Zdroj: Vlastní zpracování v programu R 77 POUŽITÉ ZDROJE Příloha D Seznam použitých skriptů Součástí této práce jsou taktéž R scripty, které byly vytvořeny autorem a sloužily k provedení veškeré analýzy dat. Jmenovitě jsou to následující: • 1. Master code.R • 2. Modely OLS.R • 3. Modely SARIMAX.R • 4. Modely PDL.R Zároveň je součástí příloh i dataset dohromady_flnal.xlsx 78