MASARYKOVA
UNIVERZITA
E K O N O M I C K O - S P R Á V N Í F A K U L T A
Porovnání in-sample
a out-of-sample
predikcí indexu
průmyslové produkce
Diplomová práce
MICHAL STRNAD
Vedoucí práce: doc. Ing. Jan Čapek, Ph.D.
Katedra ekonomie
Program Matematické a statistické metody v ekonomii
Brno 2026
IUI UN I
E C O N
POROVNÁNÍ IN-SAMPLE A OUT-OF-SAMPLE PREDIKCÍ INDEXU PRŮMYSLOVÉ
PRODUKCE
MUN I
ECON
MASARYKOVA UNIVERZITA
EKÓNOU ICKO-SPRAVN1 FAKULTA
LIPOVÁ 41», 602 00 BRNO
IC: 00216224
0IC: CZ00216224
Z A D Á N Í
D I P L O M O V É PRÁCE
Akademický rok: 2025/2026
Student: Bc. Michal Strnad
Program: Matematické a statistické metody v ekonomii
Název práce: Porovnání in-sample a out-of-sample predikcí indexu průmyslové produkce
Název práce anglicky: A comparison of in-sample and out-of-sample forecasts of industrial production index
Cíl práce, postup a použité
metody:
Diplomová práce se zabývá porovnáním in-sample a out-of-sample predikcí indexu průmyslové
výroby. Cílem práce je porovnat možnosti predikce vývoje indexu průmyslové
produkce ve vybraných evropských zemích. K naplnění cíle budou vytvořeny ARIMA a
VAR modely, které mezi sebou budou porovnávány na základě RMSE, případně dalších
vybraných ukazatelů predikčních chyb.
Rozsah grafických
prací:
Podle pokynů vedoucího práce
Rozsah práce bez pří­
loh:
60 - 80 stran
Literatura: BIANCHI, Carluccio; Alessandro CARTA; Dean FANTAZZINI; Maria Elena
DE GIULI a Mario A. MAGGI. A copula-VAR-X approach for industrial production
modelling and forecasting. Applied Economics. ENGLAND: ROUTLEDGE
JOURNALS, TAYLOR & FRANCIS LTD, 2009. ISSN 0003-6846. Dostupné z:
https://doi.Org/10.1080/00036840802112349.
BODO, Giorgi; Roberto GOLINELLI a Giuseppe PARIGI. Forecasting industrial
production in the Euro area. EMPIRICAL ECONOMICS. AUSTRIA:
PHYSICA-VERLAG GMBH & CO, 2000. ISSN 0377-7332. Dostupné z:
https://doi.Org/10.1007/S001810000032.
FRANSES, Philip Hans a Dick VAN DIJK. The forecasting performance of various models
for seasonality and nonlinearity for quarterly industrial production. INTERNATIONAL
JOURNAL OF FORECASTING. NETHERLANDS: ELSEVIER, 2005. ISSN 0169-2070.
Dostupné z: https://doi.Org/10.1016/j.ijforecast.2004.05.005.
Vedoucí práce: doc. Ing. Jan Čapek, Ph.D.
Pracoviště vedoucího
práce:
Katedra ekonomie
Datum zadání práce: 9. 2. 2024
Termín odevzdání diplomové práce a vložení do IS je uveden v platném harmonogramu akademického roku.
Zadání bylo schváleno prostřednictvím IS MU.
doc. Ing. Ondřej Krčál, Ph.D., 10. 11. 2025
V Brně dne: 4. 5. 2026
2
POROVNÁNÍ IN-SAMPLE A OUT-OF-SAMPLE PREDIKCÍ INDEXU PRŮMYSLOVÉ
PRODUKCE
Bibliografický záznam
Autor:
Název práce:
Studijní program:
Vedoucí práce:
Rok:
Počet stran:
Klíčová slova:
Michal Strnad
Ekonomicko-správní fakulta
Masarykova univerzita
Katedra ekonomie
Porovnání in-sample a out-of-sample predikcí
indexu průmyslové produkce
Matematické a statistické metody v ekonomii
doc. Ing. Jan Čapek, Ph.D.
2026
106
in-sample, out-of-sample, predikce, ARIMA,
SARIMA, index průmyslové produkce
3
POROVNÁNÍ IN-SAMPLE A OUT-OF-SAMPLE PREDIKCÍ INDEXU PRŮMYSLOVÉ
PRODUKCE
Bibliographic record
Author: Michal Strnad
Faculty of Economics and Administration
Masaryk University
Department of Economics
Title of Thesis: A comparison of in-sample and out-of-sample
forecasts of industrial production index
Degree Programme: Mathematical and Statistical Methods in
Economics
Supervisor: doc. Ing. Jan Čapek, Ph.D.
Year: 2026
Number of Pages: 106
Keywords: in-sample, out-of-sample, forecast, ARIMA,
SARIMA, industrial production index
4
POROVNÁNÍ IN-SAMPLE A OUT-OF-SAMPLE PREDIKCÍ INDEXU PRŮMYSLOVÉ
PRODUKCE
Anotace
Diplomová práce porovnává in-sample a out-of-sample predikce indexu
průmyslové produkce České republiky a Slovenska v období 2000-2023.
K modelování jsou použily ARIMA modely lišící se přístupem k zachycení
sezónnosti a predikováním v rámci posuvného nebo rozšiřujícího se
okna. Data jsou rozdělena do pěti období pro srovnání v různých fázích
hospodářského cyklu. Výsledky ukazují, že v klidných obdobích je rozdíl
mezi in-sample a out-of-sample predikcemi malý a způsoben především
změnou parametrů. V krizových obdobích se rozdíl zvětšuje a roste i význam
odlišné volby řádů modelu.
6
POROVNÁNÍ IN-SAMPLE A OUT-OF-SAMPLE PREDIKCÍ INDEXU PRŮMYSLOVÉ
PRODUKCE
Abstract
The thesis compares in-sample and out-of-sample forecasts of the industrial
production index for the Czech Republic and Slovakia from 2000 to
2023. ARIMA models are estimated in several variants differing in their
approach to seasonality and in the use of expanding or rolling windows.
The data are split into five periods to enable comparison across different
phases of the business cycle. The results show that in calm periods the
difference between in-sample and out-of-sample forecasts is small and
driven mainly by changes in parameter estimates. In crisis periods the
difference grows and the role of differences in selected model orders also
increases.
7
POROVNÁNÍ IN-SAMPLE A OUT-OF-SAMPLE PREDIKCÍ INDEXU PRŮMYSLOVÉ
PRODUKCE
Čestné prohlášení
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma Porovnání in-sample
a out-of-sample predikcí indexu průmyslové produkce vypracoval samostatně
pod vedením doc. Ing. Jana Čapka, Ph.D. a uvedl v ní všechny
použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy,
vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy
univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU.
Při přípravě této práce jsem použil Claude od společnosti Anthropic pro
zlepšení stylistické úrovně práce a asistenci při psaní kódu. Všechny výstupy
generované AI jsem zkontroloval a přebírám plnou zodpovědnost
za veškerý text uvedený v této práci.
V Brně 2. května 2026
Michal Strnad
9
POROVNÁNÍ IN-SAMPLE A OUT-OF-SAMPLE PREDIKCÍ INDEXU PRŮMYSLOVÉ
PRODUKCE
Poděkování
Na prvním místě bych chtěl poděkovat doc. Ing. Janu Čapkovi, Ph.D. za
podnětné rady k psaní diplomové práce a produktivní konzultace. Rovněž
bych rád poděkoval své rodině za podporu při studiu a pomoc při
jazykové korektuře diplomové práce.
Šablona DP 3.5.2-ECON-dipl (2025-04-14) © 2014, 2016, 2018-2025 Masarykova univerzita 11
OBSAH
Obsah
Seznam obrázků 15
Seznam tabulek 17
Seznam pojmů a zkratek 19
1 Úvod 21
2 Rešerše literatury 23
2.1 In-sample a out-of-sample predikce 23
2.2 Volba transformace a přístup k sezónnosti 23
2.3 Využití jednorozměrných a vícerozměrných modelů pro
predikce indexu průmyslové produkce 25
2.4 Alternativní přístupy k predikci indexu průmyslové produkce
28
2.5 Shrnutí rešerše 28
3 Data 30
4 Metodologie 36
4.1 Volba mezi ARIMA a VAR modely 36
4.2 Zachycení sezónnosti 37
4.3 ARIMA modely 37
4.4 Volba řádů modelu 39
4.5 Konstrukce in-sample a out-of-sample 41
4.6 Hodnocení predikcí 44
5 Srovnání predikcí při rozšiřujícím se okně 47
5.1 Modely auto.arima 47
5.2 Fixní modely 55
5.3 Shrnutí pro rozšiřující se okno 63
6 Srovnání predikcí při posuvném okně 65
13
OBSAH
6.1 Citlivostní analýza 65
6.2 Srovnání predikcí auto.arima mezi posuvným a rozšiřujícím se
oknem 68
6.3 Srovnání predikcí fixního modelu mezi posuvným
a rozšiřujícím se oknem 70
6.4 Srovnání predikcí auto.arima a fixního modelu posuvného okna
72
6.5 Dekompozice rozdílu in-sample a out-of-sample predikcí 74
6.6 Shrnutí pro posuvné okno 76
7 Srovnání predikcí při manuálním výběru modelu 77
7.1 Predikce finanční krize 77
7.2 Predikce roku 2018 82
7.3 Shrnutí pro manuální výběr 85
8 Diskuse 87
9 Závěr 90
Použité zdroje 92
Příloha A Alternativní transformace a modely 97
Příloha B MAE predikcí 98
Příloha C Analýza in-sample vzorku 101
14
SEZNAM OBRÁZKŮ
Seznam obrázků
Obr. 1: Vývoj indexu průmyslové produkce České republiky a Slovenska
31
Obr. 2: Sezónní odchylky indexu průmyslové produkce od ročního
průměru 33
Obr. 3: Konstrukce in-sample a out-of-sample predikcí pro rozšiřující se
okno 43
Obr. 4: Konstrukce in-sample a out-of-sample predikcí pro posuvné
okno 44
Obr. 5: Dekompozice rozdílu IS-OOS - deterministická sezónnost,
rozšiřující se okno 53
Obr. 6: Dekompozice rozdílu IS-OOS - stochastická sezónnost,
rozšiřující se okno 54
Obr. 7: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - ČR,
deterministická sezónnost, rozšiřující se okno 56
Obr. 8: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - SK,
deterministická sezónnost, rozšiřující se okno 57
Obr. 9: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - ČR,
stochastická sezónnost, rozšiřující se okno 59
Obr. 10: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - SK,
stochastická sezónnost, rozšiřující se okno 60
Obr. 11: Citlivostní analýza pro out-of-sample RMSE - auto.arima,
deterministická sezónnost 66
Obr. 12: Citlivostní analýza pro out-of-sample RMSE - auto.arima,
stochastická sezónnost 67
Obr. 13: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - ČR,
deterministická sezónnost, posuvné okno 73
Obr. 14: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - SK,
deterministická sezónnost, posuvné okno 74
Obr. 15: Dekompozice rozdílu IS-OOS - deterministická sezónnost,
posuvné okno 75
Obr. 16: ACF a PACF IPP po první diferenci a odstranění deterministické
sezónní složky, 01/2000-09/2008 79
Obr. 17: ACF a PACF IPP po první i sezónní diferenci 2010-2017 83
Obr. 18: Citlivostní analýza pro IS RMSE - auto.arima, deterministická
sezónnost 101
Obr. 19: Citlivostní analýza pro IS RMSE - auto.arima, stochastická
sezónnost 102
Obr. 20: ACF a PACF prvních diferencí IPP po odstranění
deterministické sezónní složky, IS vzorek 2000-2009 104
15
SEZNAM OBRÁZKŮ
Obr. 21: ACF a PACF IPP po první i sezónní diferenci, IS vzorek 2010-
2018 104
16
SEZNAM TABULEK
Seznam tabulek
Tab. 1: Deskriptívni statistiky indexu průmyslové produkce 31
Tab. 2: HEGY test jednotkových kořenů 34
Tab. 3: Vymezení analyzovaných období 46
Tab. 4: RMSE po obdobích - auto.arima, deterministická sezónnost,
rozšiřující se okno 49
Tab. 5: RMSE po obdobích - auto.arima, stochastická sezónnost,
rozšiřující se okno 50
Tab. 6: Podíl predikcí, u nichž out-of-sample přesnější než in-sample rozšiřující
se okno 51
Tab. 7: Nejčastěji vybrané auto.arima modely a volba driftu - rozšiřující
se okno 52
Tab. 8: RMSE po obdobích - ARIMA (0,l,l)+dummy, rozšiřující se okno
61
Tab. 9: RMSE po obdobích - SARIMA (0,1,1) (0,1,1), rozšiřující se okno
62
Tab. 10: Rozdíly RMSE mezi rozšiřujícím se a posuvným oknem po
obdobích - auto.arima, deterministická sezónnost 69
Tab. 11: Nejčastěji vybrané modely - posuvné a rozšiřující se okno 70
Tab. 12: Rozdíly RMSE mezi rozšiřujícím se a posuvným oknem po
obdobích - fixní model ARIMA(0,l,l)+dummy 71
Tab. 13: Testy stacionarity - out-of-sample vzorek pro finanční krizi.. 78
Tab. 14: Výběr modelu pro finanční krizi na základě BIC 80
Tab. 15: RMSE predikcí - finanční krize, manuální výběr 81
Tab. 16: Testy stacionarity - out-of-sample vzorek pro rok 2018 82
Tab. 17: Výběr modelu pro rok 2018 na základě BIC 84
Tab. 18: RMSE predikcí - rok 2018, manuální výběr 85
Tab. 19: Rozdíly RMSE mezi log a non-log transformací - ČR, auto.arima,
deterministická sezónnost, rozšiřující se okno 97
Tab. 20: RMSE ARIMA a VAR modelů - ČR, auto.arima, deterministická
sezónnost, rozšiřující se okno 97
Tab. 21: MAE po obdobích - auto.arima, deterministická sezónnost,
rozšiřující se okno 98
Tab. 22: MAE po obdobích - auto.arima, stochastická sezónnost,
rozšiřující se okno 99
Tab. 23: MAE po obdobích - ARIMA(0,l,l)+dummy, rozšiřující se okno
99
Tab. 24: MAE po obdobích - SARIMA(0,1,1)(0,1,1), rozšiřující se okno
100
Tab. 25: Testy stacionarity - in-sample vzorek finanční krize 103
17
SEZNAM TABULEK
Tab. 26: Testy stacionarity - in-sample vzorek pro rok 2018 103
18
SEZNAM POJMŮ A ZKRATEK
Seznam pojmů a zkratek
ACF - autokorelační funkce
ADF test - rozšířený Dickey-Fuller test
AIC - Akaikeho informační kritérium
AR - autoregresní model
ARIMA - autoregresní integrovaný model s klouzavým prů­
měrem
BIC - Bayesovské informační kritérium
ČR - Česká republika
HEGYtest - Hylleberg-Engle-Granger-Yoo test
IPP - index průmyslové produkce
IS - in-sample
KPSS test - Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test
MA - model klouzavého průměru
MAE - střední absolutní chyba
OCSB test - Osborn-Chui-Smith-Birchenhall test
OOS - out-of-sample
PACF - parciální autokorelační funkce
RMSE - odmocnina ze střední kvadratické chyby
SARIMA - sezónní autoregresní integrovaný model s klouzavým
průměrem
SK - Slovensko
VAR - vektorový autoregresní model
19
ÚVOD
1 Úvod
V literatuře o predikci časových řad se standardně rozlišují in-sample
a out-of-sample predikce. In-sample predikce hodnotí, jak dobře model
popisuje data, ze kterých byl odhadnut. Out-of-sample predikce naopak
měří jeho schopnost predikovat data, která při odhadu neviděl. Oba typy
predikcí se v literatuře běžně uvádějí vedle sebe, ovšem přímé srovnání
in-sample a out-of-sample predikční přesnosti zůstává stranou hlavního
zájmu. Většina existujících prací se vztahem mezi in-sample a out-ofsample
metrikami zabývá ve formě statistických testů predikční síly jednotlivých
prediktorů, nikoli kvantifikací samotného rozdílu. Přitom velikost
tohoto rozdílu vypovídá o tom, nakolik lze in-sample přesnost považovat
za spolehlivý ukazatel očekávané out-of-sample predikční přes­
nosti.
Pro analýzu volíme index průmyslové produkce, který patří mezi
klíčové krátkodobé makroekonomické ukazatele. Průmysl tvoří významnou
část přidané hodnoty v otevřených ekonomikách střední Evropy
a vyznačuje se výraznou cyklickou citlivostí. Index je zveřejňován s typicky
dvouměsíčním zpožděním, což je jedno z nejkratších mezi makroekonomickými
ukazateli. Využívá se proto pro nowcasting hrubého domácího
produktu, jehož čtvrtletní frekvence a delší publikační zpoždění
omezují využitelnost v reálném čase. Centrální banky index sledují jako
jeden z hlavních vstupů do krátkodobých predikčních modelů a pro průběžné
hodnocení ekonomické situace. Predikci indexu průmyslové produkce
se v literatuře dlouhodobě věnuje pozornost a standardním benchmarkem
zůstávají ARIMA modely.
Cílem této diplomové práce je posoudit velikost rozdílu mezi insample
a out-of-sample predikcemi indexu průmyslové produkce a metodologické
faktory, které tento rozdíl ovlivňují. Analýza je provedena
pro Českou republiku a Slovensko na měsíčních datech za období leden
2000 až prosinec 2023. Pro modelování jsou využily ARIMA modely v několika
metodologických variantách zahrnujících různé přístupy k sezónnosti,
konstrukci tréninkového vzorku i volbě řádu modelu. Vzorek je
rozdělen na pět období podle makroekonomického kontextu, což umožňuje
posoudit výkon predikcí jak ve stabilních obdobích, tak v obdobích
strukturálních zlomů (finanční krize 2008-2009, pandemie COVID-19).
Práce je kromě úvodu členěna do osmi kapitol. Druhá kapitola obsahuje
rešerši literatury věnující se vztahu mezi in-sample a out-of-sample
21
ÚVOD
predikcemi, predikci průmyslové produkce a volbě modelů. Třetí kapitola
představuje data a základní deskriptívni statistiky pro oba sledované
státy. Čtvrtá kapitola zavádí metodologický rámec, konkrétně formální
zápis ARIMA a SARIMA modelů, přístupy k zachycení sezónnosti,
konstrukci in-sample a out-of-sample predikcí a dekompozici jejich rozdílu.
Pátá kapitola prezentuje predikce rozšiřujícího se okna pro obě
země a oba přístupy k sezónnosti. Šestá kapitola srovnává predikce rozšiřujícího
se a posuvného okna. Sedmá kapitola se zaměřuje na manuální
výběr modelu pro dvě kontrastní období, finanční krizi 2008-2009 a stabilní
rok 2018. Osmá kapitola diskutuje získané výsledky, jejich interpretaci
a limity práce. Devátá, závěrečná kapitola shrnuje hlavní zjištění a jejich
praktické implikace.
22
REŠERŠE LITERATURY
2 Rešerše literatury
2.1 ln-sample a out-of-sample predikce
Klíčovou otázkou práce je vztah mezi in-sample (IS) a out-of-sample
(OOS) predikcemi. IS predikce hodnotí, jak dobře model popisuje data, ze
kterých byl odhadnut. OOS predikce naopak měří jeho schopnost predikovat
data, která při odhadu neviděl.
Literatura se problematice věnuje převážně prostřednictvím testů
toho, zda konkrétní vysvětlující proměnná má predikční sílu pro cílovou
veličinu (například zda úrokový spread predikuje inflaci nebo zda dividend-price
ratio predikuje akciové výnosy). IS testy tuto otázku hodnotí
t-testem nebo F-testem významnosti prediktoru v regresi na celém
vzorku, OOS testy ji hodnotí srovnáním predikčních chyb modelu s benchmarkem.
Inoue a Kilián (2005) teoreticky ukazují, že IS testy mají
v mnoha situacích vyšší sílu než OOS testy. Clark (2004) naopak obhajuje
OOS srovnání jako prevenci overfittingu. V makroekonomickém kontextu
Clark a McCracken (2006) na příkladu Phillipsovy křivky ukazují,
že rozpor mezi IS a OOS testy lze z velké části vysvětlit nízkou silou OOS
testů doplněnou nestabilitou koeficientů. V oblasti predikce akciových
výnosů Goyal a Welch (2008) dokumentují, že většina prediktoru equity
prémium selhává jak v IS, tak v OOS, zatímco Campbell a Thompson
(2008) v reakci ukazují, že slabé restrikce na koeficienty umožňují predikčním
modelům překonat historický průměr. Rapach a Wohar (2006)
argumentují, že rozpor mezi IS a OOS testy se při použití silných OOS
testů výrazně zmenšuje.
V literatuře o predikci časových řad však přímé srovnání IS a OOS
přesnosti predikcí obvykle není hlavním tématem. Autoři zpravidla uvádějí
IS diagnostické metriky (R2
, informační kritéria, RMSE či MAE na tréninkovém
vzorku) i OOS predikční metriky samostatně, bez jejich explicitního
srovnání na shodných pozorováních.
2.2 Volba transformace a přístup k sezónnosti
Důležitým metodologickým rozhodnutím při predikci průmyslové produkce
je zachycení sezónnosti, která vysvětluje značnou část variability
dat. Literatura nabízí dva hlavní přístupy: deterministické sezónní
23
REŠERŠE LITERATURY
dummy proměnné v prvních diferencích a stochastickou sezónnost zachycenou
sezónním diferencováním, případně v rámci SARIMA. Volba
transformace ovlivňuje predikční přesnost a závisí na horizontu predikce
i vlastnostech dat.
Franses a van Dijk (2005) srovnávají devět modelů s různými přístupy
k modelování sezónnosti pro čtvrtletní data průmyslové produkce
18 zemí OECD na datech z období 1960-2002. Predikují tempo růstu, jelikož
data logaritmují a diferencují. Autoři u všech modelů předpokládají
jednotkový kořen na nulové frekvenci a provádí tedy první diferenci. Sezónnost
modelují pomocí ARIMA modelů s deterministickými dummy
sezónními proměnnými, SARIMA modelů se sezónními diferencemi, ale
i složitějších modelů s nelineární specifikací a proměnlivou sezónnosti.
Řády ARIMA modelů jsou voleny podle BIC kritéria za podmínky nepřítomnosti
autokorelace reziduí. Out-of-sample predikce jsou generovány
pro období 1988-2002 na horizontech 1 až 12 čtvrtletí. Autoři používají
přístup rozšiřujícího se okna a pro každý krok znovu respecifikují model
a reestimují parametry. Na krátkých horizontech (1-3 čtvrtletí) dosahují
přesnějších predikcí jednoduché modely ARIMA s deterministickou
dummy složkou a SARIMA. Na delších horizontech je naopak překonávají
modely s časově proměnlivou sezónnosti. Přesnost predikcí se rovněž
liší podle fází hospodářského cyklu. Zatímco jednoduché modely predikují
lépe v expanzích, složitější modely lépe zachytí recese.
Osborn, Heravi a Birchenhall (1999) srovnávají čtyři AR modely lišící
se přístupem k sezónnosti pro měsíční data průmyslové výroby osmi
průmyslových odvětví v Německu, Francii a Velké Británii na datech
z období 1978-1995. Predikují tempo růstu, jelikož data logaritmují a diferencují.
Sezónnost vysvětluje u většiny řad přes 80 % variability prvních
diferencí, u francouzských řad přes 90 %. Autoři testují sezónní jednotkové
kořeny pomocí OCSB a HEGY testů. Testy zamítají přítomnost
jednotkových kořenů u většiny řad, což podporuje modelování pomocí
sezónních dummy proměnných s prvními diferencemi. Autoři nicméně
používají modely s různými specifikacemi. Srovnávané modely zahrnují
AR v prvních a sezónních diferencích, AR v sezónních diferencích, AR
v prvních diferencích se sezónními dummy proměnnými a AR v úrovních
se sezónními dummy a trendem. Řád autoregrese je volen podle HQ kritéria.
Out-of-sample predikce na horizontech 1, 3, 6 a 12 měsíců jsou generovány
pro období 1994-1995 přístupem rozšiřujícího se okna. Autoři
porovnávají tři strategie: model s fixními parametry, rozšiřující se okno
s reestimací parametrů a rozšiřující se okno s reestimací parametrů
24
REŠERŠE LITERATURY
i respecifikací řádu AR. Reestimace parametru přináší největší přínosy
u modelů se sezónními dummy proměnnými, kde může dosáhnout snížení
RMSE až o 30 %, zatímco u modelů se sezónními diferencemi jsou
zisky z reestimace podstatně menší. Dodatečná respecifikace řádu AR
přináší jen marginální zlepšení oproti samotné reestimaci. Navzdory výsledkům
OCSB a HEGY testů často specifikace se sezónními diferencemi
produkuje přesnější out-of-sample predikce, zejména na delších horizontech.
Model v prvních diferencích se sezónními dummy dosahuje nejlepších
výsledků na krátkých horizontech u řad se silnou sezónností.
K obdobnému závěru jako Osborn, Heravi a Birchenhall (1999) docházejí
Clements a Hendry (1997). Na čtvrtletních datech ukazují, že sezónní
diferencování zlepšuje predikční přesnost i v případech, kdy HEGY
test hovoří ve prospěch deterministické sezónnosti. Tento paradox vysvětlují
robustností sezónního diferencování vůči strukturálním zlomům
v sezónním chování. Diferencování automaticky přizpůsobuje predikce
novému sezónnímu vzorci, zatímco deterministické dummy proměnné
fixují sezónnost na základě historických odhadů.
Bruno a Lupi (2004) volí pro predikci italské průmyslové výroby
z období 1988-2001 roční diference jako transformaci. Volbu zdůvodňují
třemi argumenty: zájem o meziroční tempa růstu z hlediska krátkodobé
ekonomické analýzy, empirická evidence naznačující, že filtrování
pouze správných jednotkových kořenů nepřináší lepší predikce, a robustnost
ročních diferencí vůči náhlým strukturálním změnám.
Bodo, Golinelli a Parigi (2000) pracují s logaritmovanými meziměsíčními
diferencemi dat průmyslové produkce eurozóny a sezónnost modelují
pomocí deterministických dummy proměnných doplněných o sezónní
autoregresní složky. Volbu deterministické sezónnosti zdůvodňují
OCSB testem, který zamítá přítomnost sezónních jednotkových kořenů.
2.3 Využití jednorozměrných a vícerozměrných modelů
pro predikce indexu průmyslové produkce
Dalším rozhodnutím při predikci průmyslové produkce je volba mezi
jednorozměrnými ARIMA modely a vícerozměrnými specifikacemi zahrnujícími
exogénni proměnné. Literatura testuje různé přístupy. Od tradičních
VAR modelů přes kointegrační ECM specifikace po faktorové modely
redukující rozsáhlé datové soubory.
25
REŠERŠE LITERATURY
Bianchi etal. (2010) predikují průmyslovou výrobu Německa, Francie
a Itálie na měsíčních sezónně očištěných datech z období 1990-2005.
Data jsou transformována do logaritmovaných meziměsíčních diferencí.
Trace test zamítá přítomnost kointegrace mezi průmyslovými výrobami
tří zemí, a autoři proto volí VAR model v diferencích namísto VECM. Srovnávají
copula-VAR model, standardní VAR, VAR s vícerozměrným studentovým
t-rozdělením a ARMA(1,1) model. Vícerozměrné modely zahrnují
exogénni proměnné (index průmyslové důvěry, úrokový spread, reálné
úrokové míry a výnosy akciových trhů), zatímco ARMA(1,1) pracuje
bez nich. Modely jsou odhadnuly na období 1990-2002 a out-of-sample
predikce na horizontech jednoho a tří měsíců jsou generovány pro období
2003-2005 s fixními parametry bez reestimace. Index průmyslové
důvěry se ukazuje jako významný předstihový ukazatel ve všech třech
zemích, zatímco reálná úroková míra a úrokový spread jsou marginálně
signifikantní pouze pro Itálii. Pro Itálii ARMA(1,1) mírně překonává
všechny vícerozměrné modely navzdory absenci exogenních proměnných.
Hansenův SPA test potvrzuje, že pro Francii je ARMA(1,1) signifikantně
horší, avšak pro Německo a Itálii nejsou rozdíly mezi modely statisticky
signifikantní.
Bodo, Golinelli a Parigi (2000) se zaměřují na predikci indexu průmyslové
výroby eurozóny jako celku i jednotlivých zemí (Německo, Francie,
Itálie, Španělsko) na měsíčních datech z období 1987-1999. Autoři
testují kointegraci ve VAR modelu eurozóny a USA, kterou nacházejí.
Proto používají ECM model, který využívá dlouhodobého rovnovážného
vztahu mezi průmyslovými výrobami obou oblastí, a navíc zahrnuje index
průmyslové důvěry. Naproti tomu čtyřrozměrný VAR model zahrnující
IPP Německa, Francie, Itálie a Španělska kointegraci nenachází, a autoři
ho proto odhadují v prvních diferencích. Kromě společného VAR modelu
predikují autoři také IPP jednotlivých zemí samostatně. Jako benchmarkové
modely jsou specifikovány ARIMA(p,l,0), jelikož autoři nenacházejí
signifikantní MA složku. Out-of-sample predikce na jeden měsíc
dopředu jsou generovány pro období 1997-1999 posuvným oknem
o velikosti 96 měsíců s reestimací parametrů při každém kroku. Nejlepších
výsledků dosahuje ECM model zahrnující USA IPP a index průmyslové
důvěry. Jednoduchý ARIMA model překonává modely jednotlivých
zemí i VAR modely bez exogenních proměnných, což autoři vysvětlují
tím, že VAR bez vhodných indikátorů trpí nedostatečným počtem stupňů
volnosti vzhledem k velkému množství odhadovaných parametrů.
26
REŠERŠE LITERATURY
Bruno a Lupi (2004) predikují italskou průmyslovou výrobu na měsíčních
datech z období 1988-2001. Srovnávají ARMA(2,2) benchmark
vybraný podle BIC kritéria s VAR modelem zahrnujícím index průmyslové
výroby, objem železniční přepravy zboží a index očekávání budoucí
výroby z podnikových průzkumů. VAR specifikaci vybírají přístupem general-to-specific
z počáteční specifikace se 14 lagy. Out-of-sample predikce
na horizontech 1 až 6 měsíců jsou generovány pro období 1999-
2001 rozšiřujícím se oknem s reestimací parametrů. VAR model dosahuje
na horizontech 1 až 4 měsíce lepších výsledků než ARMA benchmark,
přičemž na horizontech 3 a 4 měsíce je rozdíl statisticky signifikantní
podle modifikovaného Diebold-Mariano testu. Na delších horizontech
(5-6 měsíců) je naopak ARMA benchmark přesnější.
Bulligan, Golinelli a Parigi (2010) analyzují predikční schopnosti
dvanácti modelů pro italský index průmyslové produkce na horizontech
1 až 3 měsíce na měsíčních neočistených datech z období 1980-2007
v úrovních bez logaritmické transformace. Srovnávají ARIMA(3,1,0) benchmark
se dvěma alternativními přístupy: jednorovnicovými modely využívajícími
několik vybraných krátkodobých indikátorů (spotřeba
elektřiny, teploty, indexy z podnikových průzkumů) a faktorovými modely,
které shrnují datový soubor 110 kvantitativních i kvalitativních
ukazatelů do několika hlavních faktorů. Sezónnost je v modelech zachycena
kombinací zmíněných indikátorů (spotřeba elektřiny a teploty mají
přirozený roční vzorec) a speciálních dummy proměnných. Out-ofsample
predikce jsou generovány pro období 2003-2007 posuvným oknem
s reestimací parametrů. Autoři testují vliv délky estimačního okna
(48, 84 a 138 měsíců) a nacházejí, že optimální délka odpovídá přibližně
jednomu hospodářskému cyklu (84 měsíců), přičemž kratší i delší okna
dávají statisticky signifikantně horší predikce. Důvodem je, že kratší
okno zvyšuje variabilitu odhadů parametrů, zatímco delší zahrnuje
strukturálně odlišná období, která zkreslují odhady. ARIMA benchmark
dosahuje nejhorších výsledků ze všech testovaných přístupů a modely
s vybranými indikátory ho signifikantně překonávají na všech horizon­
tech.
27
REŠERŠE LITERATURY
2.4 Alternativní přístupy k predikci indexu průmyslové
produkce
Kromě standardních ARIMA a VAR modelů se literatura věnuje i alternativním
přístupům k predikci průmyslové výroby.
Hassani, Heravi a Zhigljavsky (2009) aplikují neparametrickou metodu
Singulár Spectrum Analysis (SSA) na 24 měsíčních neočistených řad
průmyslové výroby v Německu, Francii a Velké Británii (osm odvětví pro
každou zemi) v logaritmické formě. SSA rozkládá řadu na součet nezávislých
komponent (trend, oscilace, šum) bez parametrických předpokladů
a na rozdíl od ARIMA tak nevyžaduje explicitní volbu diferencování.
Autoři srovnávají SSA s Holt-Wintersovou metodou a SARIMA modely,
jejichž řády (p, d, q)(P, D, Q)1 2 jsou automaticky voleny minimalizací
BIC kritéria. Na krátkých horizontech dosahují všechny tři metody srovnatelných
výsledků, na delších horizontech SSA výrazně překonává
ARIMA. V návazném článku Hassani, Heravi a Zhigljavsky (2013) rozšiřují
SSA na vícerozměrnou variantu (MSSA) aplikovanou na osm řad průmyslové
výroby Velké Británie a přidávají VAR model jako další benchmark.
MSSA překonává jednorozměrný SSA, ARIMA i VAR modely, přičemž
zlepšení oproti ARIMA dosahuje na různých horizontech 18 až
43 %. Výhoda SSA je patrná zejména v obdobích strukturálních zlomů,
kdy je metoda robustnější vůči šokům v řadě než parametrické modely.
Thury a Witt (1998) srovnávají základní strukturální model (BSM)
s modelem SARIMA(0,1,1)(0,1,1)1 2 pro predikci rakouské a německé
průmyslové výroby v logaritmické formě. Výsledky ukazují, že BSM produkuje
přesnější predikce než SARIMA jak podle absolutních chyb, tak
podle schopnosti správně předvídat směr změny, přičemž rozdíly se
zvětšují s rostoucím horizontem predikce.
Tyto metody nabízejí alternativy ke standardním ARIMA a VAR modelům
zejména v situacích, kdy jsou relevantní strukturální zlomy nebo
delší horizonty predikce.
2.5 Shrnutí rešerše
Literatura ke vztahu mezi in-sample a out-of-sample přesností se zaměřuje
především na statistické testy prediktability. Diskutuje se relativní
síla IS a OOS testů, kdy IS testy bývají v mnoha situacích silnější, ale OOS
srovnání naopak chrání před nadměrným přizpůsobením. Rozpor mezi
28
REŠERŠE LITERATURY
IS a OOS výsledky lze často vysvětlit nízkou silou OOS testů a nestabilitou
koeficientu. Přímé srovnání IS a OOS predikční přesnosti však obvykle
nebývá hlavním tématem výzkumu.
Napříč studiemi se ukazuje, že sezónní diferencování je z hlediska
predikční přesnosti konkurenceschopné nebo lepší než deterministické
dummy proměnné. To platí i v případech, kdy testy sezónních jednotkových
kořenů hovoří ve prospěch deterministické sezónnosti. Volba mezi
těmito přístupy závisí na horizontu predikce i vlastnostech dat. Na krátkých
horizontech a u řad se silnou sezónností často vítězí deterministické
dummy proměnné, zatímco na delších horizontech je sezónní diferencování
obvykle přesnější. Modely s časově proměnlivou sezónností
pak na dlouhých horizontech překonávají i jednodušší specifikace se sezónním
diferencováním. Testy sezónních jednotkových kořenů tedy nemusí
být spolehlivým vodítkem pro volbu predikčního modelu.
Index průmyslové důvěry se opakovaně ukazuje jako významný
předstihový ukazatel průmyslové výroby. Vícerozměrné modely však
nemusí automaticky překonávat jednoduché ARIMA benchmarky. Mohou
trpět nadměrnou parametrizací a ztrátou stupňů volnosti, zejména
pokud jim chybí vhodné exogénni proměnné. Přínosy vícerozměrných
modelů se navíc koncentrují spíše na kratší horizonty, zatímco na delších
se výhoda obvykle vytrácí.
Literatura se liší i ve volbě estimační strategie. Převažujícím přístupem
je reestimace parametrů při každém novém pozorování, a to buď
v posuvném okně s fixní délkou, nebo v rozšiřujícím se okně s rostoucím
vzorkem. Výjimečně jsou modely odhadnuly jednorázově bez reestimace.
Vedle samotné reestimace parametrů může být v každém kroku
respecifikována i struktura modelu, například řád autoregrese podle informačního
kritéria. Reestimace parametrů přináší výrazné zlepšení
predikční přesnosti, u modelů se sezónními dummy proměnnými až
o 30 %, zatímco dodatečná respecifikace struktury modelu přináší jen
marginální zlepšení. Optimální délka estimačního okna odpovídá přibližně
jednomu hospodářskému cyklu, přičemž kratší i delší okna vedou
ke statisticky signifikantně horším predikcím.
Existující studie predikce průmyslové výroby se zaměřují převážně
na velké západoevropské ekonomiky s daty končícími před rokem 2010.
Česká republika a Slovensko v této literatuře samostatně zkoumány nebyly.
Tato práce tyto mezery v literatuře zaplňuje srovnáním in-sample
a out-of-sample predikcí a aplikací na země a období, které v dosavadní
literatuře predikovány nebyly.
29
DATA
3 Data
Data pro index průmyslové produkce pocházejí z databáze Eurostatu, datová
sada Production in industry - monthly data (sts_inpr_m) (Eurostat,
2026). Pracujeme s agregátem sekcí B-D podle klasifikace NACE Rev. 2,
který zahrnuje těžbu a dobývání, zpracovatelský průmysl a výrobu a rozvod
elektřiny, plynu a tepla. Tento agregát odpovídá standardnímu souhrnnému
indexu průmyslové produkce. Index je vyjádřen s referenčním
rokem 2021 (2021 = 100). Zdrojová data shromažďují národní statistické
úřady na základě měsíčních podnikových výkazů a následně je předávají
Eurostatu. Data nejsou kalendářně ani sezónně očištěná, jelikož
cílem je predikovat skutečný vývoj průmyslové produkce, nikoliv jeho
sezónně očištěnou variantu.
Analyzované období zahrnuje leden 2000 až prosinec 2023, tedy
288 pozorování pro Česko a Slovensko. Vzorek obsahuje dostatečně
dlouhý předkrizový úsek pro odhad ARIMA modelů a zároveň zahrnuje
dvě období šoků, tedy finanční krizi 2008-2009 a pandemii COVID-19
v roce 2020. Data indexu průmyslové produkce jsou považována za finální
s odstupem dvou let od publikace, do té doby mohou probíhat revize
(Eurostat, 2026). Posledním pozorováním v analýze je proto prosinec
2023, který je v době vzniku práce nejpozdějším plně revidovaným
měsícem.
Obr. 1 znázorňuje vývoj indexu průmyslové produkce obou zemí. Do
roku 2008 vykazují obě řady rostoucí trend. Slovenská řada roste
v tomto období rychleji než česká a v prvních měsících roku 2008 vykazuje
obzvlášť prudký nárůst. Finanční krize 2008-2009 přináší v obou
zemích prudký propad, který začíná ve druhé polovině roku 2008 a dosahuje
minima na počátku roku 2009. Po nejhlubším propadu následuje
postupné zotavení, návrat na předkrizové úrovně však trvá několik let.
Mezi lety 2010 a 2019 obě řady vykazují stabilní růst s pravidelnými sezónními
výkyvy. Pandemie COVID-19 v březnu 2020 způsobuje výrazný,
avšak krátký propad s minimem v dubnu 2020. Na rozdíl od finanční
krize je šok COVID-19 krátkodobý a již během podzimu 2020 se obě řady
vracejí k předpandemickému trendu.
30
DATA
Obr. 1: Vývoj indexu průmyslové produkce České republiky a Slovenska
Česká republika
2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024
Rok
Poznámka: červenými pruhy jsou označeny krize
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 1 zobrazuje deskriptívni statistiky IPP obou zemí. Průměr se mezi
zeměmi výrazně neliší. Směrodatná odchylka je u slovenské řady výrazně
vyšší, což je způsobeno nižší počáteční úrovní slovenského IPP
a hlubším propadem v krizích.
Tab. 1: Deskriptívni statistiky indexu průmyslové produkce
Statistika ČR SK
Počet pozorování (n] 288 288
Průměr 81,96 78,62
Směrodatná odchylka 16,01 25,77
Minimum 46,20 32,60
Maximum 115,80 119,00
Zdroj: vlastní zpracování
31
DATA
Obě řady vykazují výrazné pravidelné měsíční výkyvy, které jsou viditelné
již v grafu vývoje indexu. Pro detailnější pohled na sezónní vzorec
zobrazuje Obr. 2 průměrné procentní odchylky indexu od ročního průměru
v jednotlivých kalendářních měsících. Sezónní profil obou zemí je
velmi podobný. Nejnižších hodnot index dosahuje v červenci a srpnu, což
odpovídá letnímu útlumu průmyslové aktivity spojenému s dovolenými
a plánovanými odstávkami. Druhý podprůměrný úsek pokrývá zimní
měsíce od prosince do února. Nejvyšší hodnoty index vykazuje v říjnu
a listopadu, další lokální vrchol se objevuje v březnu. Výkyvy mezi sousedními
měsíci jsou částečně ovlivněny různým počtem pracovních dnů.
Například rozdíl mezi počtem pracovních dnů v únoru a březnu může
přispívat k výraznému nárůstu v březnu, stejně jako Velikonoce snižují
produkci v dubnu. Data nejsou kalendářně ani sezónně očištěná, takže
tyto efekty v nich zůstávají zachovány.
Sílu sezónnosti kvantifikujeme po vzoru Osborn, Heravi a Birchenhall
(1999) pomocí koeficientu determinace R2
z regrese prvních diferencí
indexu na měsíční dummy proměnné. Pro českou řadu dosahuje
R2
hodnoty 65 % a pro slovenskou 56 %. Oba podíly dokládají, že sezónní
složka je v obou řadách dominantním zdrojem měsíční variability.
32
DATA
Obr. 2: Sezónní odchylky indexu průmyslové produkce od ročního průměru
Led Úno Bře Dub Kvě Čvn Čvc Srp Zář Říj Lis Pro
Měsíc
Poznámka: Procentuální odchylka daného měsíce v daném roce od ročního průměru,
zprůměrovaná přes všechny roky
Zdroj: vlastní zpracování
Pro modely ARIMA je klíčové ověřit vlastnost stacionarity. U sezónních
měsíčních dat však standardní testy jako ADF nebo KPSS test zachytí
pouze jednotkový kořen na nulové frekvenci a nedokážou odhalit potenciální
jednotkové kořeny na sezónních frekvencích. Pro tato data je proto
vhodnější test HEGY (Hylleberg Engle, Granger a Yoo, 1990) ve verzi pro
měsíční data podle Beaulieu a Miron (1993). Test rozkládá AR polynom
na faktory odpovídající jednotlivým frekvencím a testuje, zda je na nich
přítomen jednotkový kořen. Pro měsíční data se testuje sedm frekvencí:
nulová (ti), Nyquistova TT (t2) a pět komplexních párů na sezónních frekvencích
(F3 :4 až F n : 1 2 ) . Z pohledu modelování je klíčové rozlišit mezi jednotkovým
kořenem na nulové frekvenci (implikuje potřebu první diference)
a na sezónních frekvencích (implikuje potřebu sezónní diference).
Stejnou metodiku pro IPP aplikují například Osborn, Heravi a Birchenhall
(1999) a Bruno a Lupi (2004).
Výsledky HEGY testu uvádí Tab. 2. Pro obě země nemůžeme zamítnout
nulovou hypotézu jednotkového kořene na nulové frekvenci, což
naznačuje potřebu první diference. Společný F-test sezónních frekvencí
naopak nulovou hypotézu zamítá pro obě země, což naznačuje, že není
33
DATA
nutné sezónní diferencování a sezónní složku lze modelovat deterministickými
dummy proměnnými. Na některých individuálních sezónních
frekvencích jednotkový kořen zamítnout nelze. Podobné výsledky dostávají
i Bruno a Lupi (2004), kteří uvádějí, že přítomnost jednotkových kořenů
na některých jednotlivých frekvencích nelze nikdy zcela vyloučit.
Rozhodující je pro nás výsledek společného F 2 : i 2 testu. Obě řady tedy vyžadují
první diferenci (d = 1), ale nikoli sezónní diferenci (D = 0).
Tab. 2: HEGY test jednotkových kořenů
Test ČR SK
ti -2,83 -0,44
t2
-3,03* -2,99*
F3U 11,49** 13,13**
F5 :6
12,17** 4,62
^7-8 5,51 5,11
F^io 22,64** 13,89**
Fn:i2 8,00* 5,71
F2-12 14,83** 11,25**
Fi:i2 14,14** 10,32**
Poznámka: Hodnoty signifikantní na hladině 5 % označeny * na hladině 1 % **.
Zdroj: vlastní zpracování
Při modelování časových řad je otázkou, zda řadu logaritmovat nebo pracovat
s úrovněmi. Logaritmická transformace se aplikuje na řady s multiplikativní
strukturou, kdy amplituda výkyvů roste úměrně s úrovní.
Většina autorů při predikci IPP logaritmickou transformaci aplikuje bez
explicitního testu její vhodnosti. Jedním z mála příkladů, kdy je volba
mezi lineární a logaritmickou specifikací formálně ověřena, jsou Marchetti
a Parigi (2000), kteří na základě Box-Coxovy analýzy volí lineární
specifikaci, tedy úrovně bez transformace. Pro posouzení vhodnosti
transformace v našich datech používáme stejný přístup, tedy Box-Coxovu
analýzu, která hledá optimální hodnotu parametru A mocninné
transformace. Hodnota A blízko nuly signalizuje vhodnost logaritmické
transformace. Hodnota blízko jedné naopak naznačuje, že úrovně jsou
dostatečné. Metoda maximální věrohodnosti dává pro české IPP A ~ 1,05
a pro slovenské Ä ~ 1,30. Obě hodnoty jsou blízké jedné, z čehož vyplývá,
že úrovně indexu lze modelovat bez transformace. Modelování přímo na
úrovních je navíc vhodnější z praktického hlediska, protože predikujeme
34
DATA
IPP na původní škále indexu a logaritmická varianta by vyžadovala
zpětný převod predikcí. V Příloze A uvádíme srovnání modelů odhadnutých
na logaritmovaných datech s modely v úrovních, které ukazuje, že
logaritmická transformace nepřináší zlepšení predikcí.
35
METODOLOGIE
4 Metodologie
V této kapitole popisujeme metody použité v analytické části. Postupně
zavádíme dva přístupy k zachycení sezónnosti v datech IPP, formální zápis
ARIMA a SARIMA modelů, přístupy k volbě řádů modelu a konstrukci
in-sample a out-of-sample predikcí. Kapitolu uzavírá popis metrik predikční
přesnosti a rozdělení vzorku na období pro jejich hodnocení.
4.1 Volba mezi ARIMA a VAR modely
Před volbou konkrétní specifikace je třeba rozhodnout mezi jednorozměrnými
a vícerozměrnými modely. Pro predikci indexu průmyslové
produkce se v literatuře běžně používají ARIMA modely jako benchmark,
zatímco VAR modely s exogenními indikátory mohou v některých případech
přinášet zlepšení.
Prvním krokem analýzy tedy bylo srovnání ARIMA a VAR specifikace
pro Českou republiku. Jde o dvourozměrné modely s Německem jakožto
hlavním obchodním partnerem a se Slovenskem jakožto druhou
ekonomikou zkoumanou v této práci, dále trojrozměrný VAR a varianty
s indexem průmyslové důvěry jako endogenní proměnnou v duchu
Bruno a Lupi (2004) nebo jako exogénni regresor v duchu Bianchi et al.
(2010). Johansenův kointegrační test neprokázal dlouhodobý rovnovážný
vztah mezi IPP sousedních ekonomik, a proto jsme VAR modely
specifikovali v prvních diferencích. Detailní výsledky pro VAR modely
s rozšiřujícím se oknem (kde dosahují nejlepších výsledků) jsou zobrazeny
v Příloze A.
Žádná z testovaných VAR variant nepřekonává jednoduchý
ARIMA+dummy model napříč horizonty. Tento výsledek je v souladu
s Bianchi et al. (2010) a Bodo, Golinelli a Parigi (2000), kteří rovněž nenacházejí
signifikantní zlepšení vícerozměrných modelů oproti jednoduchému
ARIMA. Pro hlavní analýzu in-sample a out-of-sample predikcí
proto volíme jednorozměrný ARIMA model. Místo srovnávání ARIMA
modelů s VAR se zaměřujeme na srovnání ARIMA modelů s různými přístupy
k zachycení sezónnosti.
36
METODOLOGIE
4.2 Zachycení sezónnosti
Sezónnost je v datech IPP dominantní složkou variability a její specifikace
je důležitým rozhodnutím. Literatura rozlišuje dva základní přístupy,
které se liší předpokladem o povaze sezónního vzorce. Deterministická
sezónnost předpokládá, že sezónní vzorec je v čase stabilní
a každý rok se opakuje ve stejné podobě. Stochastická sezónnost naopak
připouští, že se sezónní vzorec v čase postupně mění. (Ghysels a Osborn,
2001)
HEGY test provedený v kapitole Data dochází k závěru, že v datech
není sezónní jednotkový kořen a sezónnost by se tak měla modelovat
jako deterministická. Tyto výsledky je však třeba brát s rezervou, jelikož
přítomnost strukturálních zlomů může výsledky HEGY testu zkreslovat
(Clements a Hendry, 1997). Navíc literatura ukazuje, že sezónní diferencování
může vést k přesnějším predikcím i tam, kde testy hovoří ve prospěch
deterministické sezónnosti (Osborn, Heravi a Birchenhall, 1999).
Z těchto důvodů v práci sezónnost modelujeme oběma přístupy.
Třída modelů ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) patří
mezi nejrozšířenější nástroje analýzy a predikce jednorozměrných časových
řad. Podstatou přístupu je popsat chování sledované řady prostřednictvím
její vlastní minulosti a posloupnosti náhodných šoků. U nestacionárních
řad je tento přístup podmíněn předchozím diferencováním.
Formální zápis rovnic v této podkapitole vychází z Hyndman a Athanasopoulos
(2021).
Pro kompaktní zápis ARIMA modelu je výhodné použít zpožďovací
operátor B, pro který platí:
4.3 ARIMA modely
Byt = yt-i (i)
Model ARIMA(p, d, q) lze potom zapsat jako:
( 1 - c M - <|>pflP)(l - B)d
yt
c + ( l + 9XB + ••• + 0qB«)et
(2)
37
METODOLOGIE
kde 4>(B) = 1 - 4>iB - ••• - 4>pBP je autoregresní polynom řádu p, člen
(1 - B)d
představuje d-násobnou diferenci zajišťující stacionaritu,
9(B) = 1 + 6 i B + ••• + GqBq je polynom klouzavého průměru řádu q. Konstanta
c v modelu s první diferencí odpovídá lineárnímu trendu v úrovních
yt a označuje se jako drift. Symbol st představuje bílý šum s nulovou
střední hodnotou a konstantním rozptylem. Koeficienty cf> kvantifikují
sílu vazby mezi současnou hodnotou (po diferencování) a jejími zpožděními,
zatímco koeficienty 8 popisují, jak se minulé náhodné výkyvy promítají
do současné hodnoty.
Sezónní strukturu v řadě lze do ARIMA modelu zahrnout přidáním
dalších členů na zpožděních odpovídajících sezónní periodě. Výsledkem
je SARIMA model, značený jako ARIMA(p, d, q)(P, D, Q)s . V tomto modelu
označují malá písmena nesezónní část, velká sezónní část, a s je délka sezónní
periody. Sezónní část má analogickou strukturu jako nesezónní, ale
používá zpožďovací operátor závislý na délce sezónní periody. Pro měsíční
data, s nimiž pracujeme v této práci, je sezónní perioda s = 12. Například
model ARIMA(1,1,1)(1,1, l)i2 bez konstanty lze zapsat jako:
(1 - 01 fí)(l - <ř1 51 2
)(l - fl)(l - Bí2
)yt
= (1 + 01 fl)(l + 0!51 2
)£t (3)
Alternativním přístupem k modelování sezónnosti je její deterministické
zachycení pomocí indikátorových (dummy) proměnných pro jednotlivé
měsíce. Tento přístup předpokládá, že sezónní vzorec je v čase stabilní
a lze jej zachytit konstantními koeficienty. Striktně vzato se nejedná
o čistý ARIMA model, ale o regresi s ARIMA chybami, kde dummy proměnné
tvoří systematickou regresní složku a reziduálni proces ut má
ARIMA strukturu. V obecné formě lze tento model zapsat jako:
íi
J t = Po + ^ f t n A n , t + ut ,ut ~ARIMA(p,d,q) (4)
m=l
kde Dm,t jsou binární dummy proměnné měsíců m = 1, 11 (prosinec
slouží jako referenční kategorie), Bo je konstanta (úroveň v referenčním
měsíci), Bm jsou v čase konstantní sezónní odchylky jednotlivých měsíců
od prosince, a reziduálni složka ut má ARIMA(p, d, q) strukturu. (Hyndman
a Athanasopoulos, 2021)
38
METODOLOGIE
4.4 Volba řádů modelu
V této práci používáme několik přístupů k volbě modelu. Prvním je využití
funkce auto.arima, která automaticky volí model. Dalším přístupem
je využití fixní specifikace pro celý vzorek. Posledním přístupem je zvolení
modelu ARIMA manuálně na základě ACF a PACF a informačního kri­
téria.
4.4.1 Informační kritéria
Při volbě řádů ARIMA modelu je třeba rozhodnout, kolik autoregresních
a klouzavých členů zahrnout. Přidání dalších zpoždění snižuje součet
čtverců reziduí, zároveň však spotřebovává stupně volnosti a může zhoršit
predikční výkonnost modelu. Informační kritéria umožňují tento
kompromis kvantifikovat, jelikož penalizují složitější modely proti jednoduchým.
(Enders, 2014)
V literatuře jsou dvě nejčastější informační kritéria: Akaikeho informační
kritérium (AIC) a Bayesovské informační kritérium (BIC). Jejich
základní tvary jsou:
kde SSR je součet čtverců reziduí, n počet odhadovaných parametrů
(p + q + případně konstanta) a T počet použitelných pozorování. Model
s nižší hodnotou kritéria je preferován. (Enders, 2014)
Klíčový rozdíl mezi oběma kritérii spočívá v penalizaci dodatečného
parametru. AIC ji váží koeficientem 2, zatímco BIC koeficientem ln(T),
který pro typické velikosti vzorků výrazně převyšuje 2. Volba mezi AIC
a BIC závisí na cíli analýzy. AIC cílí na model s nejlepší predikční přesností
pro daný vzorek, zatímco BIC je konzistentní a s rostoucím počtem
pozorování konverguje k výběru správného modelu (Burnham a Anderson,
2004). AIC má přitom tendenci volit složitější modely, jejichž přebytečné
parametry mohou zhoršit predikce mimo vzorek.
V této práci je jako informační kritérium zvoleno BIC, které penalizuje
počet parametrů přísněji než AIC a vede k úspornějším modelům.
Volba je rovněž v souladu s články zabývajícími se predikcemi IPP, kde
autoři modely volí na základě BIC.
AIC = T • ln(SSR) + 2n (5)
BIC = T • ln(SSR) + n • lnfT) (6)
39
METODOLOGIE
4.4.2 A C F a PACF
Pro identifikaci řádů p a q v ARIMA modelu srovnáváme výběrovou autokorelační
funkci (ACF) a parciální autokorelační funkci (PACF) s teoretickými
vzorci různých ARMA procesů. ACF udává korelaci mezi pozorováními
řady v různých zpožděních a PACF měří korelaci v daném zpoždění
po eliminaci vlivu mezilehlých pozorování. Pro čistě autoregresní
proces AR(p) ACF postupně klesá (monotónně nebo oscilačné), zatímco
PACF je nenulová pouze do lagu p a poté ostře klesá k nule. Pro proces
klouzavého průměru MA(q) je obrazec zrcadlově obrácený. ACF vykazuje
nenulové hodnoty do lagu q a poté klesá k nule, zatímco PACF postupně
klesá. U smíšeného modelu ARMA(p, q) obě funkce klesají postupně,
ACF od lagu q a PACF od lagu p. Pro ACF a PACF jsou definována
pásma statistické významnosti ±1,96/VT kolem nuly, která odpovídají
95 % intervalu spolehlivosti pro nulovou autokorelaci. Hodnoty přesahující
toto pásmo jsou statisticky významné. (Enders, 2014)
4.4.3 Auto.arima
Řády modelů jsou v obou přístupech modelování sezónnosti voleny automaticky
pomocí algoritmu Hyndman a Khandakar (2008). Tento algoritmus
je implementován ve funkci auto.arimafj balíčku forecast v programu
R. Sezónní diference D se volí podle míry sezónní síly odvozené ze
STL dekompozice. Pokud tato míra přesáhne hodnotu 0,64, algoritmus
sezónní diferenci zařadí, v opačném případě ji vynechá. Následně se pro
takto (případně) diferencovanou řadu volí nesezónní diference d postupnými
KPSS testy. V každém kroku se testuje, zda je řada stacionární. Pokud
ne, řada se diferencuje a test se provede znovu, dokud řada není stacionární.
Poté se volí zbývající řády p, q, P, Q pomocí postupné (stepwise)
procedury. Ve stochastickém přístupu sezónní diferenci D explicitně fixujeme
na hodnotu 1, abychom zajistili konzistentní zařazení sezónní diference
napříč všemi okny a zeměmi. STL kritérium D v hraničních případech
vynechává, což by vedlo k modelům bez sezónní složky i tam, kde
je sezónnost v datech přítomná. Stejně tak totiž sezónní dummy proměnné
zahrnujeme ve všech případech.
V prvním kroku se odhadnou čtyři výchozí modely. V sezónním přístupu
se jedná o modely ARIMA(2,d,2)(l,D,l)1 2 , ARIMA(0,d,0)(0,D,0)1 2 ,
ARIMA(l,d,0)(l,D,0)1 2 a ARIMA(0,d,l)(0,D,l)1 2 . V přístupu s dummy
proměnnými se odhadnou jejich nesezónní varianty, jelikož je sezónnost
zachycena 11 měsíčními dummy proměnnými zahrnutými jako exogénni
40
METODOLOGIE
regresory. Z těchto čtyř se jako aktuální vybere model s nejnižší hodnotou
zvoleného informačního kritéria. Ve druhém kroku se zkouší všechny
variace aktuálního modelu, kde se některý z řádů změní o ±1. Pokud má
některá variace nižší hodnotu kritéria, stane se novým aktuálním modelem
a druhý krok se opakuje. Procedura končí, když žádná variace nevede
ke zlepšení.
Postupná procedura neprohledává celý prostor modelů, a proto nemusí
nalézt model s globálně nejnižším informačním kritériem. Tato
volba je učiněna s ohledem na velký počet iterací v rámci rozšiřujícího se
okna, kde se auto.arimaQ spouští pro každé okno zvlášť. Pro řady delší
než 150 pozorování algoritmus standardně používá při výběru modelu
aproximaci věrohodnostní funkce pomocí podmíněného součtu čtverců
(CSS). Tuto aproximaci explicitně vypínáme, aby byl výběr řádů modelu
založen na přesných hodnotách informačního kritéria.
4.4.4 Fixní specifikace
Kromě funkce auto.arima, která pro každé okno znovu volí řády modelu,
testujeme také fixní specifikace. Jde tedy o ARIMA modely s pevně stanovenými
řády, které zůstávají stejné napříč všemi predikčními okny. Jednoduchou
specifikací v tomto kontextu rozumíme model s maximálním
řádem 1 pro všechny AR a MA složky, včetně sezónních. Ověřujeme, zda
některá jednoduchá fixní specifikace nedosáhne srovnatelné nebo lepší
predikční přesnosti než adaptivní auto.arima. Jednoduché modely mohou
totiž out-of-sample překonávat složitější specifikace, protože jsou
robustnější vůči strukturálním změnám v datech a méně náchylné k přeučení
(Makridakis a Hibon, 2000).
4.5 Konstrukce in-sample a out-of-sample
V predikční literatuře je standardem rozdělit data na in-sample a out-ofsample.
In-sample predikce jsou generovány modelem odhadnutým na
těchto datech, kterým se snaží co nejlépe přizpůsobit. Out-of-sample predikce
naopak model generuje pro pozorování, která během tréninku neviděl,
čímž se lépe testuje jeho skutečná predikční schopnost. (Tashman,
2000)
Predikce vyhodnocujeme na třech horizontech h = 1, 3 a 6 měsíců.
Volba reflektuje praxi v literatuře o predikci průmyslové produkce.
Články s predikcemi měsíčního IPP obvykle testují horizonty 1, 3, 6
41
METODOLOGIE
a případně 12 měsíců dopředu. Horizonty 1, 3 a 6 jsme tedy zvolili v souladu
s literaturou, horizont 12 měsíců jsme vynechali z důvodu přehled­
nosti.
V literatuře se in-sample predikce obvykle hodnotí na základě jednokrokových
predikcí v rámci celého tréninkového vzorku. Abychom
mohli porovnávat rozdíl mezi in-sample a out-of-sample predikcemi napříč
různými horizonty i obdobími, volíme odlišný přístup. V něm srovnáváme
stejná konkrétní cílová pozorování a sledujeme rozdíl mezi predikcemi
modelu, který má k dispozici pouze data dostupná v daném okamžiku,
a modelu, který je odhadnut i z pozorování mezi tímto okamžikem
a cílovým pozorováním.
Out-of-sample model je odhadnut na vzorku bez cílového pozorování
a bez všech pozorování mezi časem t a cílovým pozorováním. Pro
horizont h tedy OOS nevidí h pozorování (yt + i, yt+2, —, yt+h)- To odpovídá
situaci, kdy model v čase t generuje predikci budoucí hodnoty bez znalosti
vývoje mezi časem t a cílovým pozorováním (t+h).
In-sample model je naopak odhadnut na rozšířeném vzorku, který
těchto h pozorování zahrnuje, včetně cílového yt + h . Pro každý horizont je
tento rozšířený vzorek o jiný počet pozorování delší (o jedno pro h = 1,
o tři pro h = 3 a o šest pro h = 6). Vlastní in-sample predikce hodnoty yt + h
je předpověď h kroků dopředu z pozice t, stejně jako u out-of-sample modelu.
Samotný model (jeho specifikace i parametry) je přitom ale odhadnut
na rozšířeném vzorku, tedy včetně hodnot y t + 1 až yt + h .
Tuto konstrukci in-sample a out-of-sample aplikujeme ve dvou různých
režimech odhadování modelu, které se v literatuře běžně používají.
V režimu rozšiřujícího se okna se s každou iterací přidá do tréninkového
vzorku jedno nové pozorování a model je znovu odhadnut (velikost okna
tedy postupně roste). V režimu posuvného okna naopak zůstává velikost
tréninkového vzorku konstantní. S každou iterací se přidá nové pozorování
a zároveň je odebráno nejstarší, takže se okno postupně posouvá
časem (Rossi, 2013).
Konstrukci in-sample a out-of-sample predikcí pro rozšiřující se
okno ilustruje Obr. 3, který zachycuje konstrukci predikcí pro první tři
iterace. V každé z nich máme čtyři různé tréninkové vzorky: jeden pro
out-of-sample, společný pro všechny horizonty, a tři pro in-sample (jeden
pro každý horizont). In-sample vzorky se od out-of-sample liší o h
pozorování přidaných napravo (cílová hodnota yt + h a případná mezilehlá
pozorování). Pro horizont h = 1 je tak in-sample vzorek o jedno pozorování
delší, pro h = 6 o šest.
42
METODOLOGIE
Obr. 3: Konstrukce in-sample a out-of-sample predikcí pro rozšiřující se okno
^ ™ Tréninkový vzorek (in-sample) Tréninkový vzorek (out-of-sample) O Počátek predikce • Predikovaná hodnota
In-sample, h = 1 In-sample, h = 3
A c ^ i
1 60 61 1 60 63
1 61 62 1 61 64
& c ^ i
Zdroj: vlastní zpracování
Analogickou konstrukci pro režim posuvného okna ilustruje Obr. 4. Obrázek
slouží ke znázornění in-sample a out-of-sample modelů a nereflektuje
volbu velikosti posuvného okna, která je předmětem citlivostní ana­
lýzy-
43
METODOLOGIE
Obr. 4: Konstrukce in-sample a out-of-sample predikcí pro posuvné okno
Tréninkový vzorek (in-sample) Tréninkový vzorek (out-of-sample) O Počátek predikce • Predikovaná hodnota
In-sample, h = 1 In-sample, h = 3
<9Í
- Ä
In-sample, h = 6 Out-of-sample, h = 1, 3, 6
Zdroj: vlastní zpracování
4.6 Hodnocení predikcí
V této sekci popisujeme metriky pro hodnocení predikční přesnosti, dekompozici
rozdílu mezi in-sample a out-of-sample predikcemi a rozdělení
vzorku na analyzovaná období.
4.6.1 Metriky pro hodnocení predikcí
Pro hodnocení predikční přesnosti modelů jsou v literatuře standardně
používány dvě metriky: odmocnina ze střední kvadratické chyby (RMSE)
a střední absolutní chyba (MAE). Pro vzorek n pozorování y; , i = 1, 2,
n, a odpovídajících predikcí ý; jsou RMSE a MAE definovány jako:
n
RMSE = I ^ C y . - % ) 2
i=l
(7)
44
METODOLOGIE
MAE = i ^ J y ť - ýr | (8)
i=i
Obě metriky vyjadřují průměrnou chybu ve stejných jednotkách jako
data. Rozdíl mezi nimi spočívá v tom, že RMSE díky kvadratickému penalizování
klade větší váhu na výrazné chyby, zatímco MAE váží všechny
chyby lineárně. Modely s několika výraznými chybami jsou proto podle
RMSE penalizovány silněji než podle MAE. Hodson (2022) srovnává obě
metriky a dochází k závěru, že žádnou z nich nelze označit za univerzálně
lepší. Je proto vhodné model hodnotit na základě obou.
4.6.2 Dekompozice rozdílu in-sample a out-of-sample
predikcí
Rozdíl mezi in-sample a out-of-sample u auto.arima v práci rozkládáme
na dva efekty. Prvním je parametrický efekt, tedy rozdíl mezi parametry
odhadnutými na OOS a IS vzorku při stejné specifikaci modelu. Druhým
je efekt výběru řádů, neboť auto.arima může na rozšířeném IS vzorku
zvolit odlišné řády než na OOS vzorku. U modelu s fixní specifikací odpadá
efekt výběru řádů (řády jsou pevně dané) a IS-OOS rozdíl je tak dán
pouze parametrickým efektem.
Pro oddělení obou efektů zavádíme mezikrok IS s OOS řády (IS*).
V tomto kroku zafixujeme specifikaci modelu na tu, kterou auto.arima
vybrala na OOS vzorku (stejné řády (p, d, q), případně (P, D, Q), a stejnou
indikaci driftu), a parametry odhadneme na rozšířeném IS vzorku. Predikci
yt + h získáme z tohoto modelu jako předpověď h kroků dopředu
z pozice t, stejným způsobem jako u IS predikce.
Parametrický efekt pak vyjadřujeme jako rozdíl RMSE(OOS) RMSE(IS*)
a efekt výběru řádů jako rozdíl RMSE(IS*) - RMSE(IS). Součet
obou efektů odpovídá celkovému IS-OOS rozdílu RMSE(OOS) -
RMSE(IS).
4.6.3 Rozdělení na období
Vedle celkových hodnot RMSE a MAE vyhodnocujeme predikční přesnost
také v pěti obdobích, která jsou oddělena krizovými propady IPP.
Hranice obou šokových období stanovujeme na základě meziročních
změn IPP. Pro přehlednost je rozdělení zobrazeno v Tab. 3.
45
METODOLOGIE
Finanční krizi vymezujeme od října 2008 do prosince 2009. Začátek
krize stanovujeme podle české řady, kde se v říjnu 2008 meziroční
změna IPP poprvé propadá do výrazně záporných hodnot (-9,7 %), což
zároveň odpovídá měsíci po kolapsu Lehman Brothers. Slovenská řada
stejnou interpretaci neumožňuje kvůli výjimečně silnému předkrizovému
růstu IPP, který udržuje meziroční změnu v roce 2008 v kladných
hodnotách navzdory reálnému propadu produkce. Společnou hranici říjen
2008 proto zakládáme na české řadě. Konec krize stanovujeme na
prosinec 2009, kdy se meziroční změna poprvé současně vrací do kladných
hodnot v obou zemích. Kritériem konce krize tedy není dno recese,
ale návrat k růstu.
Pandemii COVID-19 vymezujeme březnem až srpnem 2020. V únoru
2020 byly meziroční změny IPP v obou zemích blízko standardních
úrovní, v březnu se v důsledku lockdownů zavedených v polovině měsíce
propadly do výrazného záporu (ČR -9,0 %, SK -18,7 %). Během léta došlo
k rychlé obnově. V září 2020 se meziroční změny vracejí na hodnoty
blízké předpandemickému stavu a od tohoto měsíce řadu zařazujeme do
období po pandemii.
Počet predikcí n je pro jednotlivá období shodný napříč horizonty
s výjimkou období před krizí, kde je n pro delší horizonty nižší (n = 45
pro h = 1, n = 43 pro h = 3 a n = 40 pro h = 6), neboť při delším horizontu
predikce začínají až od pozdějšího pozorování. Stejné počty predikcí platí
ve všech dalších tabulkách s analýzou po obdobích.
Tab. 3: Vymezení analyzovaných období
Období n Od Do
Před krizí 45 01/2000 09/2008
Finanční krize 15 10/2008 12/2009
Mezikrizové 122 01/2010 02/2020
COVID 6 03/2020 08/2020
Po COVIDu 40 09/2020 12/2023
Zdroj: vlastní zpracování
46
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
5 Srovnání predikcí při rozšiřujícím se okně
V této kapitole prezentujeme predikce získané v rámci rozšiřujícího se
okna. Počáteční velikost tréninkového vzorku je 60 měsíců a s každým
krokem se zvětšuje o jeden měsíc. Predikce tedy pokrývají období od
ledna 2005 do prosince 2023. Sezónnost modelujeme dvěma způsoby.
Prvním je deterministický přístup s dummy proměnnými a druhým je
stochastický přístup zahrnující sezónní složky (SARIMA model). Dále
srovnáváme dvě varianty volby řádů modelu. V první podkapitole se zabýváme
modely zvolenými pomocí funkce auto.arima, ve druhé modely
s fixními řády. V textu uvádíme hodnoty RMSE pro porovnání predikční
přesnosti. Analyzovali jsme však i hodnoty MAE, které uvádíme v Příloze
B. Závěry se napříč metrikami nemění.
5.1 Modely auto.arima
Při tvorbě predikcí pomocí tohoto přístupu využíváme funkci auto.arima
s výběrem řádů modelu na základě Bayesovského informačního kritéria.
V této podkapitole se zabýváme srovnáním predikčních chyb napříč horizonty
a obdobími. Rovněž analyzujeme, jakou část rozdílu mezi insample
a out-of-sample predikcemi způsobuje změna parametrů a jakou
změna řádů modelu.
5.1.1 Predikční výsledky
Tab. 4 prezentuje srovnání in-sample a out-of-sample RMSE pro Česko
a Slovensko při modelování sezónnosti pomocí dummy proměnných.
U obou zemí platí očekávaný růst RMSE se zvětšujícím se horizontem
predikce. Celkové out-of-sample RMSE se u Česka zvyšuje z 4,77 při h = 1
na 6,45 při h = 6 a u Slovenska z 6,48 na 9,04. Slovenské predikce mají
vyšší hodnoty RMSE, což odpovídá vyšší volatilitě slovenského IPP identifikované
v deskriptívni analýze. Relativní rozdíl mezi in-sample a outof-sample
predikcemi se s horizontem výrazně nemění a u většiny případů
se pohybuje v rozpětí 13-16 %. Výjimkou je h = 1 u Slovenska, kde
dosahuje 24,5 %. Tento výsledek je způsoben především obdobím před
krizí, kde in-sample RMSE je 4,07, zatímco out-of-sample RMSE je téměř
dvojnásobné (7,96). Důvodem je skokový nárůst IPP Slovenska na začátku
roku 2008, na který out-of-sample predikce nedokážou reagovat.
47
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
Přesnost predikcí se zároveň liší mezi jednotlivými obdobími. V mezikrizovém
období dosahují modely nejnižších predikčních chyb, konkrétně
se out-of-sample RMSE pohybuje mezi 3,81 a 4,29 u Česka a mezi
5,33 a 5,75 u Slovenska. V období před finanční krizí jsou chyby srovnatelně
nízké pro Česko, ovšem u Slovenska jsou výrazně vyšší, což souvisí
s odlišným vývojem slovenského IPP.
V období finanční krize dochází k výraznému nárůstu predikčních
chyb (primárně na delších horizontech). Například u horizontu h = 6 je
out-of-sample RMSE téměř třikrát větší než v mezikrizovém období.
V období krize COVID jsou predikční chyby ještě vyšší, jelikož se jednalo
o krátký výkyv a model se nedokázal přizpůsobit. Celkově se jedná
o předpokládané výsledky, neboť krizová období představují strukturální
zlomy, které model odhadnutý na předkrizových datech nemůže
predikovat.
IS-OOS rozdíl se rovněž liší podle období. Nejmenší je v mezikrizovém
období, kde u obou zemí napříč horizonty nepřesahuje 11 %. Ve finanční
krizi se tento rozdíl zvětšuje. U Česka dosahuje 44 až 53 % a u Slovenska
18 až 24 %. V krizi COVID pozorujeme, že rozdíl klesá s rostoucím
horizontem.
V klidných obdobích se parametry modelu na in-sample a out-ofsample
vzorku liší jen málo a in-sample predikce je tak dobrým ukazatelem
out-of-sample výkonu. V krizových obdobích je tomu naopak. Outof-sample
model nezachytí změnu dynamiky, zatímco in-sample model
má výhodu, že vidí krizová data.
48
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
Tab. 4: RMSE po obdobích - auto.arima, deterministická sezónnost, rozšiřující
se okno
h= 1 h= 3 h= 6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Před krizí 45 2,73 3,46 2,90 3,42 3,48 4,20
Fin. krize 15 3,54 5,14 4,48 6,85 8,37 12,05
Mezikrizové 122 3,44 3,81 3,48 3,84 3,87 4,29
COVID 6 12,76 14,75 15,85 17,54 17,00 18,43
Po COVIDu 40 5,18 5,42 5,59 5,82 6,66 7,28
Celkem 228 4,20 4,77 4,66 5,24 5,55 6,45
Slovensko
Před krizí 45 4,07 7,96 6,87 8,63 9,36 10,88
Fin. krize 15 4,79 5,92 8,75 10,32 12,58 15,24
Mezikrizové 122 4,91 5,33 5,41 5,75 5,09 5,37
COVID 6 14,23 16,82 20,50 22,80 19,49 20,00
Po COVIDu 40 4,82 5,06 6,46 8,35 8,51 10,11
Celkem 228 5,20 6,48 6,96 8,08 7,98 9,04
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 5 zobrazuje výsledky pro modely se stochastickou sezónností, kde
auto.arima vybírá model včetně sezónní složky. Celkové výsledky jsou
srovnatelné s deterministickým přístupem. U Česka se celkové in-sample
i out-of-sample RMSE mezi oběma přístupy liší maximálně o 2 %. U Slovenska
jsou rozdíly větší, zejména v out-of-sample při h = 6 (10,81 oproti
9,04 u modelu s dummy proměnnými).
Výraznější rozdíly vidíme při srovnání jednotlivých období. V mezikrizovém
období je SARIMA přesnější u obou zemí. U Česka při h = 1 dosahuje
OOS RMSE 3,33 oproti 3,81 u modelu s dummy proměnnými, zatímco
u Slovenska je výhoda ještě výraznější (např. při h = 1 hodnota 4,29
oproti 5,33 a na h = 3 dokonce 4,34 oproti 5,75). SARIMA tedy v klidném
období zachycuje sezónní vzorec lépe než fixní dummy proměnné. Naopak
v krizových obdobích je deterministický přístup výrazně lepší.
Nejvýraznější rozdíl vidíme u Slovenska ve finanční krizi při h = 6,
kde deterministický přístup dosahuje OOS RMSE 15,24 oproti 28,22
u SARIMA. V období COVID je deterministický přístup lepší především na
kratších horizontech. U Česka dosahuje OOS RMSE 14,75 při h = 1 oproti
49
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
17,26 u stochastického přístupu, kdežto pro Slovensko pozorujeme
22,80 při h = 3 oproti 25,84. Při h = 6 se rozdíly u obou zemí vyrovnávají.
Tyto výsledky naznačují, že modely se stochastickou sezónností jsou
výhodnější v klidných obdobích, zatímco v obdobích strukturálních
zlomů dosahují lepších výsledků modely s deterministickou sezónností.
Tab. 5: RMSE po obdobích - auto.arima, stochastická sezónnost, rozšiřující se
okno
h= 1 h= 3 h= 6
Období n IS oos IS OOS IS OOS
Česko
Před krizí 45 3,14 3,53 3,36 3,76 3,93 4,21
Fin. krize 15 4,26 5,65 5,81 7,36 9,96 12,12
Mezikrizové 122 3,08 3,33 3,20 3,29 3,79 4,04
COVID 6 15,14 17,26 18,17 20,51 17,95 18,56
Po COVIDu 40 4,44 5,21 5,25 5,46 5,69 8,13
Celkem 228 4,21 4,81 4,85 5,35 5,64 6,57
Slovensko
Před krizí 45 4,30 6,33 6,80 7,80 9,51 10,21
Fin. krize 15 5,61 10,93 10,95 18,58 14,95 28,22
Mezikrizové 122 4,13 4,29 4,00 4,34 4,53 5,08
COVID 6 16,48 17,77 23,93 25,84 18,43 19,28
Po COVIDu 40 4,58 4,74 7,01 7,36 10,21 10,70
Celkem 228 5,07 6,15 7,02 8,48 8,38 10,81
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 6 prezentuje podíl predikcí, v nichž jsou out-of-sample predikce
přesnější než in-sample. U deterministického přístupu jsou in-sample
predikce téměř vždy přesnější. Česko při h = 1 nemá jediný případ, kdy
by OOS predikce překonala IS predikci, a i při delších horizontech zůstává
podíl nízký (13,9 % při h = 6). U Slovenska jsou out-of-sample predikce
přesnější v ještě menším počtu případů (maximálně 6,3 % u h = 6).
V případě stochastické sezónnosti je obraz odlišný. Již při h = 1 je OOS
přesnější v 10,5 % případů pro Česko a při h = 3 dokonce ve 35,8 %.
Tento výsledek může souviset s vyšší složitostí modelů se sezónní
50
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
ARIMA složkou, která vede k větší variabilitě odhadů parametrů
a vyššímu riziku přeučení na in-sample datech.
Tab. 6: Podíl predikcí, u nichž out-of-sample přesnější než in-sample - rozšiřující
se okno
h = 1 h = 3 h = 6
ČR deterministická 0,0 % 7,5 % 13,9 %
ČR stochastická 10,5 % 35,8 % 35,4%
SK deterministická 0,4 % 4,4 % 6,3 %
SK stochastická 3,5 % 19,0 % 20,2 %
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 7 shrnuje nejčastěji vybrané modely funkcí auto.arima v rámci rozšiřujícího
se okna pro out-of-sample predikce. U deterministické sezónnosti
vidíme, že pro Česko je výběr modelu rozptýlenější než pro Slovensko.
Nejčastější model (2,1,0) pokrývá necelých 39 % oken a nejčastější
3 modely dohromady 81 %. U Slovenska naopak výrazně dominuje model
(0,1,1), který je vybrán v 62 % oken, přičemž 3 nejčastější modely
pokrývají 95 % případů.
U stochastické sezónnosti je výběr modelu pro Česko méně stabilní
než u deterministické varianty. Nejčastější model pokrývá jen 25,4 %
oken a nejčastější 3 modely dohromady 43 %. U Slovenska naopak dominuje
specifikace (1,0,1)(0,1,1) s podílem 40,8 % oken, přičemž první tři
modely pokrývají 69 %. Zároveň je patrné, že stochastická sezónnost
vede u Česka k výrazně složitějším modelům s vyšším počtem parametrů
(například (3,0,0)(2,1,2) oproti (2,1,0) u deterministické sezónnosti).
Slovenské modely zůstávají poměrně jednoduché i při volbě stochastické
sezónnosti. Obě země preferují odlišné modely. U deterministické sezónnosti
Česka jsou vybrány AR složky, zatímco Slovensko preferuje MA
složky. Tento rozdíl naznačuje odlišnou dynamiku průmyslové produkce
obou zemí.
Podíl oken, v nichž auto.arima zahrnula drift, se výrazně liší mezi
přístupy i zeměmi. U deterministické sezónnosti volí drift u Česka 40,8 %
oken a u Slovenska jen 18,0 %. Pro Česko tedy dlouhodobý lineární trend
přispívá modelu výrazně častěji. U stochastické sezónnosti podíl driftu
pro obě země roste (ČR 51,8 %, SK 55,7 %). U Slovenska to znamená trojnásobný
nárůst oproti deterministické variantě.
51
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
Tab. 7: Nejčastěji vybrané auto.arima modely a volba driftu - rozšiřující se okno
Pořadí ČR model ČR po­
díl
SK model SK po­
díl
Deterministická
1. [2,1,0] 38,6 % [0,1,1] 61,8 %
2. [3,1,0] 22,8 % [0,1,2] 20,6 %
3. [0,1,1] 19,3 % [0,1,0] 12,3 %
Drift 40,8 % 18,0 %
Stochastická
1. [3,0,0)[2,1,2] 25,4 % [1,0,1)[0,1,1] 40,8 %
2. [3,0,0)[0,1,1] 8,8 % [1,0,0)[0,1,1] 15,8 %
3. [4,0,0] [0,1,1] 8,8 % [0,1,1)[0,1,0] 12,7 %
Drift 51,8 % 55,7 %
Zdroj: vlastní zpracování
5.1.2 Dekompozice rozdílu in-sample a out-of-sample
predikcí
Rozdíl mezi in-sample a out-of-sample predikcemi při výběru modelu
pomocí funkce auto.arima má dvě příčiny. První je parametrický efekt,
tedy model při in-sample odhaduje jiné hodnoty parametrů než out-ofsample
model, jelikož vidí dodatečná pozorování. Druhou je řádový
efekt, tedy in-sample model může volit jiné řády modelu na základě dodatečných
pozorování. V této podkapitole se zabýváme oběma efekty
zvlášť. Jejich součet dává dohromady rozdíl mezi in-sample a out-ofsample
RMSE.
Na Obr. 5 je pro jednotlivá období zobrazena dekompozice pro deterministickou
sezónnost. U České republiky dominuje ve všech obdobích
změna parametrů. Řádový efekt je zejména po COVIDu na kratších
horizontech prakticky nulový, v mezikrizovém období tvoří přibližně
čtvrtinu až polovinu celkového rozdílu, ale v absolutních hodnotách zůstává
malý [nepřesahuje 0,2). V krizových obdobích podíl řádového
efektu roste a na delších horizontech tvoří 30 až 55 % celkového rozdílu.
Během krizí se mění dynamika vývoje, tudíž dodatečná pozorování
vzorku vedou k volbě odlišných řádů modelu.
U Slovenska pozorujeme obdobný vzorec. Zvláštní pozornost si zaslouží
období před krizí, kde celkový IS-OOS rozdíl klesá s rostoucím horizontem,
což je opačný průběh než v ostatních obdobích. Tento pokles
vysvětluje parametrický efekt, který za ním stojí. Skokový nárůst
52
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
slovenského IPP na začátku roku 2008 je součástí in-sample vzorku a výrazně
mění odhady parametrů oproti out-of-sample modelu trénovanému
ještě na datech před neobvyklým růstem. S rostoucím horizontem
se vliv tohoto šoku v out-of-sample parametrech postupně vyrovnává,
a IS-OOS rozdíl se tak zmenšuje.
Obr. 5: Dekompozice rozdílu IS-OOS - deterministická sezónnost, rozšiřující se
okno
Č e s k á republika
• Parametrický
• Řádový
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6
Přsd krizi Fin. krize Mezikrizové COVID Po COVIDu
Slovensko
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6
Před krizí Fin. krize Mezikrizové COVID Po COVIDu
Poznámka: Čísla pod sloupci (1,3 a 6] označují horizonty predikce. Kladné hodnoty rozdílu
znamenají, že IS predikce jsou přesnější než OOS, záporné naopak.
Zdroj: vlastní zpracování
Na Obr. 6 je dekompozice provedena pro stochastickou sezónnost.
Oproti deterministickému přístupu se výsledky mění ve dvou směrech.
Zaprvé je IS-OOS rozdíl ve finanční krizi výrazně větší. Zadruhé se v některých
obdobích prosazuje řádový efekt, který u deterministického přístupu
zůstával sekundární. U Slovenska dosahuje ve finanční krizi na
h = 6 hodnoty 13,27, což je téměř pětinásobek oproti deterministickému
přístupu (2,67). Tento rozdíl je navíc téměř zcela tvořen řádovým efektem
(na h = 6 činí řádový efekt RMSE 12,77, tedy 96 % celkového rozdílu,
zatímco parametrický efekt tvoří jen RMSE 0,50). Auto.arima tedy na in-
53
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
sample vzorku obsahujícím krizová pozorování volí velmi odlišný řád
než na out-of-sample vzorku, kterému část krizových pozorování chybí,
a parametrické rozdíly jsou oproti volbě řádu zanedbatelné.
V období COVID pozorujeme u stochastické sezónnosti nekonzistenci
napříč horizonty. Při h = 1 dominuje parametrický efekt. Při h = 3
význam řádového efektu roste a u Slovenska dokonce převažuje nad parametrickým.
Při h = 6 jsou celkové IS-OOS rozdíly u obou zemí malé ve
srovnání s kratšími horizonty. Tento pokles celkového rozdílu s rostoucím
horizontem vysvětluje úbytek parametrického efektu. U Česka klesá
z 2,04 při h = 1 na 0,39 při h = 6, což odráží postupné vyrovnávání odhadů
parametrů v delších horizontech, kdy predikce závisejí více na dlouhodobé
úrovni než na krátkodobé dynamice.
Obr. 6: Dekompozice rozdílu IS-OOS - stochastická sezónnost, rozšiřující se
okno
Č e s k á republika
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6
Poznámka: Čísla pod sloupci (1,3 a 6] označují horizonty predikce. Kladné hodnoty rozdílu
znamenají, že IS predikce jsou přesnější než OOS, záporné naopak.
Zdroj: vlastní zpracování
54
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
5.2 Fixní modely
V předchozí sekci jsme porovnávali predikce pro modely auto.arima. To
jsou modely, u kterých očekáváme nejlepší in-sample predikce, jelikož je
řád modelu pro každé okno zvolen znovu. Navíc na IS-OOS rozdílu se podílí
jak změna parametrů, tak změna řádů modelu. Otázkou je, zda existuje
model s fixními řády, který by dokázal lépe predikovat out-ofsample.
V rámci takového modelu bychom mohli přímo porovnat rozdíly
mezi in-sample a out-of-sample predikcemi způsobené pouze změnou
parametrů.
Pro modely s deterministickou sezónností jsme testovali jednoduché
specifikace s nejvýše jednou AR nebo MA složkou: ARIMA( 1,1,0)
a ARIMA(0,1,1). Model s MA(1) složkou měl výrazně lepší predikce než
model s AR(1) složkou. To souhlasí s Tab. 7, v níž jsou zobrazeny nejčastěji
vybrané modely funkcí auto.arima. Ve třech nejčastěji vybraných modelech
se ARIMA(0,1,1) objevuje u obou zemí.
Otázkou pro fixní model bylo, zda přidat drift. Pro obě země jsme
testovali obě varianty a celkové OOS RMSE bylo nižší u modelu bez driftu.
Z tohoto důvodu jsme zvolili fixní model bez driftu. Výsledný fixní model
pro deterministickou sezónnostje tedy ARIMA(0,1,1) s dummy proměnnými
a bez driftu.
Na Obr. 7 je znázorněn rozdíl mezi RMSE modelu s fixními řády
a modelu auto.arima pro Českou republiku. Kladná hodnota značí vyšší
RMSE modelu s fixními řády, a tedy auto.arima dosahuje přesnějších predikcí.
Auto.arima má přesnější in-sample predikce napříč horizonty i obdobími,
jelikož přizpůsobuje řády modelu konkrétním tréninkovým datům.
V období před krizí jsou predikce auto.arima přesnější i v out-ofsample,
což je způsobeno hlavně tím, že auto.arima pro toto období přidává
drift (v 91 % oken), kdežto fixní model je bez driftu. V mezikrizovém
období jsou rozdíly mezi modely minimální. V krizových obdobích
je naopak fixní model výrazně přesnější. V období finanční krize dosahuje
nižšího OOS RMSE na všech horizontech. Na h = 6 je rozdíl dokonce
2,42. V období COVIDu je fixní model rovněž přesnější (RMSE nižší o 0,5
až 0,9). V období po COVIDu vidíme jediný rozdíl na horizontu 6. Tento
rozdíl je způsoben predikcí pro jediné pozorování (říjen 2020), které je
druhým pozorováním po COVIDu. Tréninkový vzorek pro tuto predikci
končí v dubnu 2020, tedy na dně krizového propadu. Auto.arima nevolí
jednoduchý model ARIMA(0,1,1) jako v ostatních případech, ale
ARIMA(0,1,3), jelikož je ovlivněna propadem. Ostatní rozdíly v tomto
55
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
období jsou nulové, jelikož auto.arima ve všech dalších oknech volí právě
model ARIMA(0,1,1).
Obr. 7: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - ČR, deterministická sezónnost,
rozšiřující se okno
ln-sample • NÍŽŠÍ R M S E (0,1,1)
• Nižší R M S E auto.arima
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6
Před krizí Finanční krize Mezikrizové COVID Po COVIDu
Out-of-sample
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6
Před krizí Finanční krize Mezikrizové COVID Po COVIDu
Poznámka: Čísla pod sloupci (1, 3 a 6] označují horizonty predikce.
Zdroj: vlastní zpracování
Obr. 8 zobrazuje stejné srovnání pro Slovensko. Celkový obraz je podobný,
ovšem existují dílčí rozdíly. In-sample predikce jsou opět ve většině
případů lepší u modelu auto.arima. Na rozdíl od Česka však v období
finanční krize a mezikrizovém období jsou rozdíly mezi in-sample predikcemi
obou modelů menší a fixní model dokonce ve čtyřech případech
dosahuje lepších predikcí (Fin. krize h = 6, mezikrizové h = 3, COVID
h = 6, Po COVIDu h = 1, ale všechny rozdíly pod 0,05). Pro out-of-sample
predikce vidíme rozdíl v období před krizí, kdy fixní model na kratších
horizontech dosahuje přesnějších predikcí, ale na horizontu 6 naopak
lépe predikuje auto.arima. V období finanční krize je fixní model lepší
56
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
napříč horizonty, přičemž na h = 6 je rozdíl v RMSE 1,90 ve prospěch fixního
modelu. Stejně tak v období po COVIDu dosahuje fixní model nižšího
OOS RMSE, a to zejména na h = 3 (rozdíl 1,58) a h = 6 (0,59). Pro out-ofsample
predikce v rámci krize COVID je rozdíl prakticky nulový na rozdíl
od ČR, kde fixní model překonával auto.arima napříč horizonty.
Obr. 8: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - SK, deterministická sezónnost,
rozšiřující se okno
ln-sample
Nižší RMSE fixní
Nižší RMSE auto.arima
1 3
Před krizí
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6
Finanční krize Mezikrizové COVID Po COVIDu
LU
m
Out-of-sample
Nižší RMSE fixni
Nižší RMSE auto.arima
r
1 3
Před krizí
1 3 6
Finanční krize
1 3 6
Mezikrizové
1 3 6
COVID
1 3 6
Po COVIDu
Poznámka: Čísla pod sloupci (1, 3 a 6] označují horizonty predikce.
Zdroj: vlastní zpracování
Výběr jednoduchého SARIMA modelu je méně přímočarý než u deterministického
přístupu. Zatímco u deterministické sezónnosti stačilo srovnat
dvě specifikace s AR(1) nebo MA(1) složkou, u SARIMA přibývají sezónní
složky (P, D, Q) a volba mezi nesezónní diferencí, sezónní diferencí,
nebo jejich kombinací. Proto jsme pro stochastickou sezónnost testovali
57
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
33 SARIMA specifikací s omezením d + D G {1, 2}, každou složkou AR
a MA v {0,1} a maximálně dvěma nenulovými AR a MA řády.
Nejnižšího out-of-sample RMSE dosahoval napříč zeměmi a horizonty
model (0,1,1)(0,1,1). Tento model je v literatuře o modelování měsíční
průmyslové produkce používaným benchmarkem. Thury a Witt
(1998) jej srovnávají s dalšími modely pro Rakousko a Německo.
Hassani, Heravi a Zhigljavsky (2009) jej podle BIC vybírají jako optimální
ARIMA specifikaci u 5 z 8 britských sérií. Drift u této specifikace nezahrnujeme,
neboť již v modelu máme nesezónní i sezónní diferenci.
Na Obr. 9 je znázorněn rozdíl mezi RMSE fixního modelu
SARIMA(0,1,1) (0,1,1) a modelu auto.arima pro Českou republiku. Insample
predikce jsou opět přesnější u auto.arima s výjimkou období před
krizí, kde jsou rozdíly minimální, a období COVIDu, kde je na h = 1 naopak
fixní model přesnější o 0,94. V out-of-sample predikcích vidíme odlišnosti
oproti deterministické sezónnosti. V období před krizí jsou rozdíly
zanedbatelné a v mezikrizovém období auto.arima dosahuje mírně přesnějších
predikcí. Ve finanční krizi dokonce auto.arima konzistentně poráží
fixní model (+0,99 na h = 3), což je opačný vzorec než u deterministického
přístupu. Výrazná převaha fixního modelu se však projevuje
v období pandemie COVID, kdy na kratších horizontech dosahuje podstatně
přesnějších predikcí (-2,41 na h = 1 a -1,73 na h = 3). Auto.arima
se v těchto oknech snaží adaptovat na propad složitějšími specifikacemi,
což vede k horším krátkodobým predikcím. Na h = 6 má naopak
auto.arima o 0,64 nižší RMSE. V období po pandemii je fixní model přesnější
na horizontu h = 6 (-1,24).
58
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
Obr. 9: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - ČR, stochastická sezónnost,
rozšiřující se okno
LU
CO
ln-sample
Nižší RMSE fixní
Nižší RMSE auto.arima
1 3
Před krizí
1 3 6
Finanční krize
1 3 6
Mezikrizové
1 3 6
COVID
1 3 6
Po COVIDu
Out-of-sample
Nižši RMSE fixní
Nižší RMSE auto.arima
1 3
Před krizí
1 3 6
Finanční krize
1 3 6
Mezikrizové
3 6
COVID
1 3 6
Po COVIDu
Poznámka: Čísla pod sloupci (1, 3 a 6] označují horizonty predikce.
Zdroj: vlastní zpracování
Obr. 10 zobrazuje stejné srovnání pro Slovensko. In-sample predikce
jsou napříč všemi obdobími přesnější u auto.arima, přičemž největší rozdíly
jsou ve finanční krizi na h = 6 (+2,17) a u COVIDu na h = 3 (+1,83).
V out-of-sample predikcích auto.arima vítězí pouze v období finanční
krize (+0,84 na h = 1, +1,44 na h = 3, +2,09 na h = 6). Tento vzorec je
opačný než u deterministické varianty SK, kde v krizi vítězil fixní
ARIMA(0,l,l)+dummy Fixní SARIMA(0,1,1) (0,1,1) s dvojnásobnou diferencí
v krizi trpí nadměrným rozdílováním, zatímco auto.arima má větší
flexibilitu při výběru řádu. V období před krizí je na krátkých horizontech
přesnější fixní model (-0,63 na h = 1, -0,23 na h = 3), v mezikrizovém
období dosahuje fixní model nižšího OOS RMSE zejména na h = 6 (-0,51),
59
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
v období COVIDu jsou rozdíly malé a převážně ve prospěch fixního modelu
(-0,05 až -0,53). V období po pandemii jsou rozdíly prakticky nu­
lové.
Obr. 10: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - SK, stochastická sezónnost,
rozšiřující se okno
1 3 6
Před krizí
ln-sample
1 3 6
Finanční krize
1 3 6
Mezikrizové
Nižší RMSE fixní
Nižší RMSE auto.arima
3 6
COVID
1 3 6
Po COVIDu
LU
co
a.
1 3 6
Před krizí
1 3 6
Finanční krize
Out-of-sample
1 3 6
Mezikrizově
Nižší RMSE fixní
Nižši RMSE auto.arima
1 3 6
COVID
1 3 6
Po COVIDu
Poznámka: Čísla pod sloupci (1, 3 a 6] označují horizonty predikce.
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 8 popisuje IS a OOS RMSE pro fixní model ARIMA(0,l,l)+dummy po
jednotlivých obdobích. Rozdíl mezi IS a OOS v této tabulce odpovídá parametrickému
efektu, tedy změně odhadu parametrů po přidání dodatečných
pozorování do tréninkového vzorku.
V klidných obdobích je parametrický efekt malý. U deterministického
modelu se u České republiky rozdíl mezi IS a OOS RMSE pohybuje
mezi 0,19 a 0,24, u Slovenska mezi 0,21 a 0,35. Dodatečná pozorování
60
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
v těchto obdobích neposkytují výrazně odlišné informace o dynamice
řady, a parametry se tedy odhadují podobně jako z kratšího vzorku.
V krizových obdobích se parametrický efekt znatelně zvyšuje. Pro
Českou republiku dosahuje u deterministického modelu 0,54 až 0,74 ve
finanční krizi a 0,48 až 0,94 v období COVIDu. U Slovenska je efekt silnější
a ve finanční krizi dosahuje až 0,82 na h = 6, v období COVIDu až 1,22 na
h = 1. Tato zvýšená citlivost odpovídá tomu, že šoková pozorování v tréninkovém
vzorku výrazně mění odhady MA parametru a sezónních
dummy proměnných.
Specifický vzorec pozorujeme u IS-OOS rozdílu v období COVID napříč
horizonty. Zatímco v ostatních obdobích je parametrický efekt napříč
horizonty přibližně konstantní nebo mírně klesá, v COVIDu je naopak
nejvyšší při h = 1 a klesá s horizontem (u Česka z 0,94 na 0,48). Příčinou
je, že pro delší horizonty končí tréninkový vzorek OOS modelu
ještě před pandemií, a OOS je tak bez šokových pozorování. Přestože IS
model obsahuje krizová pozorování, jejich malý počet (6 pozorování na
vzorku obsahujícím přes 240 pozorování) vede k podobným odhadům
parametrů jako u OOS. Parametrický efekt zůstává nízký navzdory nárůstu
RMSE.
Tab. 8: RMSE po obdobích - ARIMA (0,l,l)+dummy, rozšiřující se okno
h = 1 h = 3 h = 6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Před krizí 45 3,14 3,60 3,31 3,73 4,54 4,98
Fin. krize 15 3,96 4,50 5,77 6,48 8,88 9,62
Mezikrizové 122 3,72 3,96 3,56 3,76 4,12 4,31
COVID 6 12,87 13,81 16,18 16,98 17,04 17,52
Po COVIDu 40 5,18 5,42 5,59 5,82 6,66 6,88
Celkem 228 4,41 4,74 4,86 5,17 5,84 6,13
Slovensko
Před krizí 45 5,03 6,19 7,39 8,36 11,03 12,00
Fin. krize 15 4,95 5,73 8,81 9,64 12,53 13,35
Mezikrizové 122 4,92 5,27 5,37 5,69 5,14 5,38
COVID 6 15,62 16,84 21,94 22,80 19,48 20,00
Po COVIDu 40 4,81 5,05 6,49 6,78 9,31 9,52
Celkem 228 5,48 6,05 7,17 7,67 8,52 8,98
Zdroj: vlastní zpracování
61
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
Tab. 9 ukazuje stejný detail pro model (0,1,1) (0,1,1). Ten vykazuje oproti
deterministické variantě odlišnosti hlavně u Slovenska. V mezikrizovém
období je pro obě země srovnatelný nebo mírně lepší. U Slovenska dosahuje
OOS RMSE 4,27 oproti 5,27 u deterministického modelu na h = 1.
Zásadní slabinou je však jeho chování ve finanční krizi slovenské řady,
kde OOS RMSE prudce roste až na 30,31 na h = 6, tedy více než dvojnásobek
deterministické varianty (13,35). Tento extrémní výsledek dokumentuje,
že stochastický přístup s dvojitou diferenciací u krátkých krizových
oken selhává, protože kombinace nesezónní a sezónní diference nedokáže
dostatečně rychle absorbovat strukturní šok. Deterministická sezónnost
je v tomto ohledu robustnější, jelikož dummy proměnné zachycují
sezónní hladinu stabilně bez ohledu na krizové odchylky.
U České republiky je parametrický efekt u (0,1,1)(0,1,1) celkově
menší než u deterministické varianty (například v mezikrizovém období
0,11 oproti 0,24 na h = 1). To naznačuje, že dvojitá diferenciace u české
řady vede ke stabilnějším odhadům parametrů v klidných obdobích,
i když celkové OOS RMSE je u obou modelů podobné.
Tab. 9: RMSE po obdobích - SARIMA (0,1,1)(0,1,1), rozšiřující se okno
h = 1 h = 3 h = 6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Před krizí 45 3,27 3,54 3,30 3,60 3,86 4,02
Fin. krize 15 5,01 5,73 7,51 8,35 11,48 12,64
Mezikrizové 122 3,70 3,81 3,48 3,54 3,93 4,05
COVID 6 14,19 14,85 18,36 18,78 19,19 19,20
Po COVIDu 40 4,92 5,00 5,55 5,65 6,69 6,89
Celkem 228 4,54 4,75 5,17 5,37 6,16 6,41
Slovensko
Před krizí 45 4,83 5,70 6,94 7,57 9,58 10,26
Fin. krize 15 5,68 11,76 11,23 20,02 17,12 30,31
Mezikrizové 122 4,20 4,27 4,17 4,21 4,55 4,57
COVID 6 17,01 17,72 25,76 25,68 18,46 18,75
Po COVIDu 40 4,71 4,78 7,20 7,38 10,72 10,83
Celkem 228 5,26 6,13 7,33 8,62 8,79 11,07
Zdroj: vlastní zpracování
62
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
5.3 Shrnutí pro rozšiřující se okno
Predikční přesnost klesá s rostoucím horizontem pro obě země i oba přístupy
k sezónnosti. Slovenské predikce jsou konzistentně méně přesné
než české, což reflektuje vyšší volatilitu slovenského IPP.
Nejlepších OOS predikcí obě země dosahují v klidných obdobích
(mezikrizovém, po COVIDu a u Česka také před krizí), kde modely fungují
podle očekávání na stabilních datech. Nejhorší výsledky přicházejí
v obou krizových obdobích, zejména v COVIDu, kde krátké trvání pandemie
v kombinaci se strukturálním šokem znemožnilo modelům adekvátně
reagovat. Výjimkou je slovenská řada se stochastickou sezónností,
kde nejhorších výsledků model dosahuje ve finanční krizi na h = 6
(OOS RMSE 28,22), protože kombinace nesezónní a sezónní diference
nedokáže absorbovat prudký propad. V období před krizí se obě země
liší. U Česka jsou predikce přesné, u Slovenska výrazně horší kvůli skokovému
nárůstu IPP v roce 2008.
Dva přístupy k sezónnosti dávají odlišné výsledky. V klidných obdobích
je stochastická sezónnost mírně přesnější, protože flexibilní sezónní
složka lépe zachytí postupně se měnící sezónní vzorec. V krizových obdobích
je naopak deterministický přístup výrazně robustnější, protože
dummy proměnné zachycují sezónní hladinu stabilně bez ohledu na krizové
odchylky.
In-sample predikce jsou u obou zemí téměř vždy přesnější než outof-sample.
Rozdíl mezi nimi má dva zdroje. Parametrický efekt dominuje
v klidných obdobích, kde řádový efekt je zanedbatelný. V krizových obdobích
roste význam řádového efektu, který se stává druhou významnou
složkou celkového rozdílu. V období COVID u stochastické sezónnosti
klesá parametrický efekt s rostoucím horizontem (u Česka z 2,04 na h = 1
na 0,39 na h = 6), což vede k překvapivě malému celkovému IS-OOS rozdílu
na h = 6 navzdory vysoké úrovni RMSE.
Fixní modely tyto závěry doplňují a v některých případech zlepšují.
Auto.arima má díky flexibilnímu výběru řádu zpravidla lepší IS predikce,
ale v OOS ji ve většině období překonávají fixní modely. Deterministický
fixní model ARIMA(0,1,1) s dummy proměnnými je lepší nebo srovnatelný
s auto.arima u obou zemí téměř ve všech obdobích, zejména ve finanční
krizi a v pandemii COVID. Hlavní výjimkou je období před krizí
u Česka, kde auto.arima díky zahrnutí driftu predikuje přesněji. Stochastický
fixní model SARIMA(0,1,1)(0,1,1) je naopak méně konzistentní.
U Slovenska je v klidných obdobích lepší než auto.arima, u Česka jsou
63
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI ROZŠIŘUJÍCÍM SE OKNĚ
výsledky smíšené. Ve finanční krizi slovenské řady fixní model selhává,
protože dvojitá diferenciace není schopna absorbovat strukturní šok. Výsledky
potvrzují závěr, že deterministická sezónnost je v krizových obdobích
spolehlivější volbou.
64
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
6 Srovnání predikcí při posuvném okně
V předchozí kapitole jsme prezentovali predikce v rámci rozšiřujícího se
okna, kde se tréninkový vzorek s každým krokem rozšiřuje o jeden měsíc.
Alternativním přístupem je posuvné okno s pevnou velikostí tréninkového
vzorku, které se s každým krokem posouvá vpřed a pracuje
pouze s nejnovějšími pozorováními. V této kapitole nejprve určujeme optimální
velikost posuvného okna pomocí citlivostní analýzy a následně
srovnáváme jeho predikce s rozšiřujícím se oknem pro auto.arima i fixní
modely.
6.1 Citlivostní analýza
Volba velikosti posuvného okna je zásadní metodologické rozhodnutí.
Příliš malé okno vede k nestabilnímu odhadu parametrů s vysokou variancí
predikcí, naopak příliš velké okno se svým chováním přibližuje rozšiřujícímu
se oknu a ztrácí výhodu rychlejší adaptace na aktuální data.
V této podkapitole testujeme délky posuvného okna od 36 do 120 měsíců
pro obě země a oba přístupy k sezónnosti. Všechny hodnoty RMSE jsou
počítány na společných pozorováních od ledna 2010, aby byly srovnatelné
napříč velikostmi okna.
Pro volbu optimální délky posuvného okna se zaměřujeme na outof-sample
RMSE. In-sample RMSE se u obou přístupů chová opačně.
U deterministického přístupu se s rostoucí velikostí posuvného okna
zvyšuje (sezónní dummy proměnné lépe popisují kratší vzorek), zatímco
u stochastického klesá (SARIMA potřebuje delší vzorek pro stabilní odhad
sezónních složek). Grafy pro citlivostní analýzu IS RMSE uvádíme
v Příloze C.
Na Obr. l i j e znázorněna citlivostní analýza pro deterministický přístup
modelování sezónnosti. V grafu vidíme celkové out-of-sample RMSE
v závislosti na délce okna. V grafu jsou rovněž přerušovanými čarami
znázorněny RMSE na jednotlivých horizontech pro rozšiřující se okno.
Můžeme tak srovnat, zda má na společných predikcích posuvné okno
nižší predikční chyby než rozšiřující se okno.
Pro Českou republiku je patrné, že optimální délkou posuvného
okna je 96, protože na této délce je RMSE minimální pro všechny horizonty.
Pro Slovensko není shoda na všech horizontech, nicméně se jako
nejlepší jeví délka okna 72. Při této délce je RMSE nejmenší při h = 1
65
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
a h = 3. RMSE pro h = 6 je nejnižší při délce okna 108, ale toto zlepšení je
malé oproti oknu o délce 72 (7,13 oproti 7,15). Jako optimální délku posuvného
okna tedy volíme 96 pro Českou republiku a 72 pro Slovensko.
Obr. 11: Citlivostní analýza pro out-of-sample RMSE - auto.arima, deterministická
sezónnost
Česká republika
LU
co
5
OL
CO
o
O
0£
CO
o
O
LO \ -s*^
Velikost okna (měsíce)
Slovensko
iřujíci se)
řující se)
řujíci se)
36 48 60 72 84 96 108 120
Velikost okna (měsíce)
Poznámka: Plné čáry zobrazují posuvná okna o různých délkách, přerušované čáry zobrazují
referenční hodnoty pro rozšiřující se okno. Všechny hodnoty jsou vypočteny na
společných pozorováních (od ledna 2010]. Žlutě zvýrazněné body označují minimum
pro daný horizont.
Zdroj: vlastní zpracování
66
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
Obr. 12: Citlivostní analýza pro out-of-sample RMSE - auto.arima, stochastická
sezónnost
Česká republika
CO <D
O
o
36 48 60 72 84 96 108 120
Velikost okna (měsíce)
Slovensko
n 1 1 1 r~
36 48 60 72 84 96 108 120
Velikost okna (měsíce)
Poznámka: Plné čáry zobrazují posuvná okna o různých délkách, přerušované čáry zobrazují
referenční hodnoty pro rozšiřující se okno. Všechny hodnoty jsou vypočteny na
společných pozorováních (od ledna 2010]. Žlutě zvýrazněné body označují minimum
pro daný horizont.
Zdroj: vlastní zpracování
Na Obr. 12 je zobrazen vývoj celkového out-of-sample RMSE v závislosti
na velikosti posuvného okna pro model se stochastickou sezónností. Na
rozdíl od modelů s deterministickou sezónností nevidíme u modelů se
stochastickou sezónností výrazné zlepšení oproti rozšiřujícímu se oknu.
Pro Českou republiku je nejnižší RMSE pro každý horizont na jiné délce
67
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
okna, nicméně se neblíží RMSE pro rozšiřující se okno. U Slovenska je situace
odlišná. Posuvné okno dosahuje u horizontu 3 a 6 při vhodné délce
okna mírně nižšího RMSE než rozšiřující se okno, ale zlepšení je zanedbatelné
(do 0,05). U horizontu 1 zůstává rozšiřující se okno přesnější oproti
všem délkám posuvného okna.
Z těchto poznatků docházíme k závěru, že pro SARIMA modely je
nejvhodnější metodou rozšiřující se okno a dále se jim v této kapitole nebudeme
věnovat.
6.2 Srovnání predikcí auto.arima mezi posuvným
a rozšiřujícím se oknem
Tab. 10 ukazuje rozdíly mezi rozšiřujícím se a posuvným oknem po jednotlivých
obdobích pro IS i OOS predikce. Kladné hodnoty znamenají, že
posuvné okno má nižší RMSE, záporné hodnoty, že je lepší rozšiřující se
okno.
Celkově je u obou zemí posuvné okno přesnější než rozšiřující se
okno. U Česka je výhoda mírná (OOS o 0,18 až 0,34 RMSE), u Slovenska
výrazně větší (o 0,46 až 0,82). Vzhledem k vyšší úrovni RMSE (přes
6 u celkového OOS) jsou tyto rozdíly v relativním vyjádření malé, ale
u Slovenska jsou viditelnější než u Česka.
Při pohledu na jednotlivá období je posuvné okno přesnější především
v mezikrizovém období a po COVIDu. U Slovenska je výhoda posuvného
okna v mezikrizovém období výraznější (až +1,41 při h = 3) než
u Česka (+0,25 při h = 1). Slovenské predikce tedy více profitují z toho,
že posuvné okno zapomíná starší data, která už nereflektují aktuální dy­
namiku.
Výjimku představuje období COVID, kde u obou zemí při h = 1 dosahuje
lepších výsledků rozšiřující se okno. Nejmarkantnější rozdíl je u Slovenska
(-3,81 při h = 1). Rozšiřující se okno obsahuje ve svém tréninkovém
vzorku finanční krizi 2008, což může vést k lepším odhadům při novém
šoku. Posuvné okno naopak pokrývá pouze klidné mezikrizové období,
a proto na šok reaguje méně přesně. Tento výsledek je ale třeba interpretovat
opatrně kvůli malému počtu pozorování (n = 6).
IS predikce vykazují podobný vzorec jako OOS. Posuvné okno je
obecně přesnější i v IS (u Česka o 0,21 až 0,48, u Slovenska o 0,20 až 1,28)
a rozdíly jsou přitom často ještě větší než u OOS, zejména u Slovenska
v mezikrizovém období (IS rozdíl +1,73 oproti +1,36 u OOS).
68
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
Srovnání IS a 00S rozdílů odhaluje odlišnou povahu obou přístupů
v klidných a krizových obdobích. V klidných obdobích posuvné okno
zlepšuje IS více než OOS, tedy má větší IS-OOS rozdíl než rozšiřující se
okno. Kratší vzorek posuvného okna se lépe přizpůsobí konkrétním datům
v IS, ale tato výhoda se jen zčásti přenáší do OOS predikcí. V krizových
obdobích pozorujeme opačný vzorec. U Česka ve finanční krizi má
rozšiřující se okno nižší IS RMSE (-0,20 až -0,62), ale vyšší OOS RMSE
(+0,41 až +1,12). Rozšiřující se okno se tedy lépe přizpůsobuje krizovým
datům, ale jeho delší tréninkový vzorek vede k zahrnutí krizových pozorování,
která se v dalších oknech neopakují.
Tab. 10: Rozdíly RMSE mezi rozšiřujícím se a posuvným oknem po obdobích auto.arima,
deterministická sezónnost
h=1 h=3 h=6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Fin. krize 15 -0,20 +0,52 -0,62 +0,41 -0,39 +1,12
Mezikrizové 122 +0,44 +0,25 +0,37 +0,25 +0,12 -0,05
COVID 6 +0,48 -1,17 +0,11 -0,22 +0,36 +0,37
Po COVIDu 40 +0,92 +0,58 +0,76 +0,41 +0,74 +0,77
Celkem 183 +0,48 +0,18 +0,31 +0,22 +0,21 +0,34
Slovensko
Fin. krize 15 +0,54 +0,61 +0,06 +0,46 -0,03 +0,46
Mezikrizové 122 + 1,73 + 1,36 + 1,72 +1,41 +0,88 +0,66
COVID 6 +0,87 -3,81 -0,44 -1,43 +1,59 +0,40
Po COVIDu 40 +0,94 +0,48 +0,51 +1,30 -1,10 +0,67
Celkem 183 +1,28 +0,46 +0,86 +0,82 +0,20 +0,54
Poznámka: Kladné hodnoty = posuvné okno má nižší RMSE. Záporné hodnoty = rozšiřující
se okno má nižší RMSE. Česko w = 96, Slovensko w = 72. Společná pozorování.
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 11 znázorňuje, jaké modely auto.arima nejčastěji vybírala v rozšiřujícím
se a posuvném okně na společných pozorováních pro out-of-sample
predikce. U Česka jsou tři nejčastější modely stejné v obou přístupech,
liší se ale jejich zastoupení. Rozšiřující se okno častěji vybírá AR modely,
zejména (2,1,0) s 36,5 % oproti 24,5 % u posuvného okna. Posuvné okno
naopak mírně více preferuje MA model (0,1,1). Výrazný je rozdíl ve
69
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
výběru driftu, který rozšiřující se okno na rozdíl od posuvného vybírá ve
31,8 % oken oproti 14,1 %.
U Slovenska jsou rozdíly mezi přístupy výraznější. Rozšiřující se
okno preferuje model (0,1,1) s 59,7 %, zatímco posuvné okno nejčastěji
vybírá (0,1,0) ve 47,2 % oken, tedy random walk se sezónními dummy
proměnnými bez ARMA dynamiky. Na kratším vzorku o 72 pozorováních
BIC častěji vyhodnotí, že přidané ARMA parametry nepřinášejí dostatečné
zlepšení modelu. Zajímavý je také rozdíl u modelu (2,1,0), který
rozšiřující se okno téměř nikdy nevybírá (0,5 %), zatímco posuvné okno
jej volí v 16,2 % oken. Drift vykazuje oproti Česku opačný vzorec. Posuvné
okno ho vybírá častěji (28,7 %) než rozšiřující se okno (15,7 %).
Tab. 11: Nejčastěji vybrané modely - posuvné a rozšiřující se okno
Model Rozšiřující Posuvné
se okno okno
Česko
(2,1,0) 36,5 % 24,5 %
(3,1,0) 27,1 % 17,2 %
(0,1,1) 22,4 % 22,9 %
Drift 31,8 % 14,1 %
Slovensko
(0,1,1) 59,7 % 19,4 %
(0,1,2) 21,8 % 10,6 %
(0,1,0) 13,0 % 47,2 %
(2,1,0) 0,5 % 16,2 %
Drift 15,7 % 28,7 %
Zdroj: vlastní zpracování
6.3 Srovnání predikcí fixního modelu mezi posuvným
a rozšiřujícím se oknem
Tab. 12 ukazuje rozdíly mezi posuvným a rozšiřujícím se oknem pro fixní
model ARIMA(0,1,1) s dummy proměnnými. Protože fixní model má
stejné řády v obou přístupech, rozdíly odrážejí pouze vliv odlišného tréninkového
vzorku na odhad parametrů.
Posuvné okno je u fixního modelu celkově mírně přesnější v OOS
(u Česka o 0,07 až 0,14, u Slovenska o 0,13 až 0,55). Výhoda se projevuje
70
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
především v mezikrizovém období, zejména u Slovenska (+1,28 až
+1,45). Výhoda posuvného okna plyne z toho, že parametry jsou odhadnuté
na aktuálnějších datech, která lépe odrážejí dynamiku klidného období.
Ve finanční krizi jsou rozdíly minimální, jelikož se tréninkové
vzorky obou přístupů z velké části překrývají.
V období COVID je naopak rozšiřující se okno na kratších horizontech
výrazně přesnější (u Česka OOS -1,25 při h = 1, u Slovenska -1,91),
což jsme viděli rovněž v Tab. 10.
Posuvné okno je v IS přesnější napříč všemi obdobími s výjimkou
finanční krize, kde jsou rozdíly malé. Nejvýraznější je výhoda posuvného
okna v mezikrizovém období, po COVIDu a zejména v COVIDu u Slovenska
(+1,41 při h = 6). Kontrast s OOS je nejvíce zřetelný právě v COVIDu,
kdy posuvné okno dosahuje nejnižšího IS RMSE, ale zároveň nejvyššího
OOS RMSE.
Tab. 12: Rozdíly RMSE mezi rozšiřujícím se a posuvným oknem po obdobích fixní
model ARIMA(0,l,l)+dummy
h= 1 h= 3 h= 6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Fin. krize 15 +0,08 +0,03 -0,03 -0,09 +0,00 -0,06
Mezikrizové 122 +0,43 +0,24 +0,35 +0,20 +0,27 +0,14
COVID 6 +0,41 -1,25 +0,33 -0,98 +0,43 -0,35
Po COVIDu 40 +0,92 +0,58 +0,76 +0,41 +0,74 +0,39
Celkem 183 +0,48 +0,14 +0,36 +0,07 +0,33 +0,11
Slovensko
Fin. krize 15 +0,26 -0,03 +0,19 -0,18 -0,03 -0,36
Mezikrizové 122 +1,55 + 1,28 + 1,68 +1,45 +0,85 +0,63
COVID 6 +1,28 -1,91 + 1,11 -1,12 +1,41 -0,76
Po COVIDu 40 +0,89 +0,33 +0,27 -0,41 +0,34 -0,08
Celkem 183 +1,17 +0,55 +0,96 +0,44 +0,55 +0,13
Poznámka: Fixní model ARIMA(0,1,1] s dummy proměnnými bez driftu. Česko w = 96,
Slovensko w = 72. Společná pozorování.
Zdroj: vlastní zpracování
71
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
6.4 Srovnání predikcí auto.arima a fixního modelu
posuvného okna
V předchozí kapitole byly srovnávány fixní modely s auto.arima při použití
rozšiřujícího se okna. Stejné srovnání provedeme také pro posuvné
okno. Období Před krizí v analýze posuvného okna neuvádíme, jelikož
posuvné okno má pro toto období malé množství pozorování.
Na Obr. 13 je znázorněn rozdíl mezi RMSE fixního modelu
a auto.arima pro Českou republiku. Stejně jako u rozšiřujícího se okna
jsou in-sample predikce přesnější u auto.arima téměř ve všech horizontech
i obdobích, ačkoliv rozdíly jsou v případě posuvného okna menší.
V out-of-sample predikcích se výhoda fixního modelu soustředí do krizových
období. Ve finanční krizi při h = 6 dosahuje fixní model o 1,24 nižšího
RMSE, v období COVID vítězí fixní model při h = 1 s rozdílem -0,85.
V mezikrizovém období a po pandemii jsou rozdíly mezi oběma modely
minimální. Ve srovnání s rozšiřujícím se oknem jsou rozdíly celkově
menší, což odráží skutečnost, že oba modely mají ve verzi posuvného
okna kratší vzorek pro odhad parametrů.
72
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
Obr. 13: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - ČR, deterministická
sezónnost, posuvné okno
ln-sample
1 3 6
Finanční krize
1 3
Mezikrizové
1 3
COVID
Nižší RMSE fixní
Nižší RMSE auto.arima
1 3 6
Po COVIDu
Out-of-sample
1 3 6
Finanční krize
1 3
Mezikrizové
1 3
COVID
Nižší RMSE fixni
Nižší RMSE auto.arima
1 3 6
Po COVIDu
Poznámka: Čísla pod sloupci (1, 3 a 6] označují horizonty predikce.
Zdroj: vlastní zpracování
Obr. 14 zobrazuje stejné srovnání pro Slovensko. In-sample predikce
jsou u většiny kombinací přesnější u auto.arima, nejvýrazněji v COVIDu
a finanční krizi při h = 1. Výjimkou je horizont h = 6 po pandemii, kde
fixní model dosahuje o 0,64 nižšího IS RMSE. V out-of-sample predikcích
pozorujeme ve finanční krizi nekonzistenci napříč horizonty. Při h = 1 je
auto.arima přesnější o 0,44, zatímco při h = 6 je fixní model přesnější
o 1,07. V období COVID je vzorec ještě výraznější (při h = 1 fixní model
vítězí o 1,87, při h = 6 naopak auto.arima vítězí o 1,16). V mezikrizovém
období a po pandemii jsou rozdíly zanedbatelné. Oproti rozšiřujícímu se
oknu je u Slovenska v období COVID při h = 1 převaha fixního modelu
výrazně silnější.
73
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
Obr. 14: Rozdíl RMSE mezi fixním a auto.arima modelem - SK, deterministická
sezónnost, posuvné okno
LU
CO
1 3 6
Finanční krize
ln-sample
1 3 6
Mezikrizové
1 3 6
COVID
Nižší RMSE fixní
Nižší RMSE auto.arima
1 3 6
Po COVIDlj
Out-of-sample
LU
CO
0Ĺ
I
Nižší RMSE fixní
Nižší RMSE auto.arima
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3
Finanční krize Mezikrizové COVID Po COVIDu
Poznámka: Čísla pod sloupci (1, 3 a 6] označují horizonty predikce.
Zdroj: vlastní zpracování
6.5 Dekompozice rozdílu in-sample a out-of-sample
predikcí
Stejně jako u rozšiřujícího se okna rozkládáme i u posuvného okna rozdíl
mezi in-sample a out-of-sample predikcemi auto.arima na parametrický
a řádový efekt. Vzhledem k závěru citlivostní analýzy se omezujeme
pouze na deterministickou sezónnost.
Obr. 15 zobrazuje parametrický a řádový efekt po obdobích pro deterministickou
sezónnost. Výsledky se v klidných obdobích téměř neliší
74
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
od výsledků pro rozšiřující se okno, tedy hlavní je parametrický efekt
a řádový je prakticky nulový. Zásadní rozdíly se ale objevují v krizových
obdobích. Parametrický efekt je u posuvného okna v krizích výrazně
vyšší. Nejmarkantnější je to v období COVID. U Česka při h = 1 dosahuje
+3,03 oproti +1,37 u rozšiřujícího se okna, u Slovenska při h = 1 dokonce
+6,53 oproti +1,37. To je pravděpodobně způsobeno tím, že krátký tréninkový
vzorek posuvného okna je k přidávání krizových dat citlivější.
Řádový efekt se u posuvného okna v některých krizových obdobích
obrací do záporných hodnot, což u rozšiřujícího se okna prakticky nepozorujeme.
Například u Česka v COVIDu při h = 3 je řádový efekt -0,35
a u Slovenska po COVIDu při h = 6 dokonce -0,67. Záporný řádový efekt
znamená, že auto.arima na IS vzorku posuvného okna vybírá horší řády
než na OOS vzorku. U posuvného okna se tak v některých obdobích parametrický
a řádový efekt částečně neutralizují, takže celkový IS-OOS rozdíl
je nižší, než by odpovídalo samotnému parametrickému efektu.
Obr. 15: Dekompozice rozdílu IS-OOS - deterministická sezónnost, posuvné
okno
Č e s k á republika
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6
Fin krize Mezikrizové COVID Po COVIDu
Slovensko
1 3 6 1 3 6 1 3 6 1 3 6
Fin krize Mezikrizové COVID Po COVIDu
Poznámka: Čísla pod sloupci (1,3 a 6] označují horizonty predikce. Kladné hodnoty rozdílu
znamenají, že IS predikce jsou přesnější než OOS, záporné naopak.
Zdroj: vlastní zpracování
75
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI POSUVNÉM OKNĚ
6.6 Shrnutí pro posuvné okno
Citlivostní analýza identifikovala optimální délku posuvného okna 96
měsíců pro Českou republiku a 72 měsíců pro Slovensko. U stochastické
sezónnosti posuvné okno nedosahovalo konkurenceschopných výsledků
vůči rozšiřujícímu se oknu, proto jsme se soustředili pouze na deterministickou
sezónnost.
Posuvné okno je u obou zemí celkově mírně přesnější v OOS predikcích
než rozšiřující se okno, zejména v klidných obdobích. Slovenské predikce
z posuvného okna profitují více než české, protože starší data méně
reflektují aktuální dynamiku. Výjimkou je období COVID při h = 1, kde je
rozšiřující se okno přesnější u obou zemí. Posuvné okno totiž pokrývá
pouze klidné mezikrizové období, a proto na pandemický šok reaguje
méně přesně.
Rozdíl mezi oběma přístupy má v klidných a krizových obdobích odlišný
původ. V klidných obdobích jej způsobují především aktuálnější odhady
parametrů na kratším vzorku. Potvrzuje to i fixní model s konstantními
řády, který vykazuje velmi podobné vzorce. V krizových obdobích
se ale výhoda posuvného okna u fixního modelu oslabuje nebo obrací.
Výhoda auto.arima v posuvném okně tedy pramení hlavně z odlišné
volby řádů modelu. To dokládá i analýza výběru modelů. Posuvné okno
preferuje u Slovenska random walk (0,1,0) ve 47 % oken, zatímco rozšiřující
se okno silně preferuje (0,1,1).
Dekompozice rozdílu IS-OOS u posuvného okna ukazuje, že v klidných
obdobích dominuje parametrický efekt, shodně s rozšiřujícím se
oknem. V COVIDu je parametrický efekt u posuvného okna mnohem silnější
než u rozšiřujícího se okna, kvůli velké váze krizových pozorování
v kratším vzorku.
Napříč všemi testovanými přístupy s deterministickou sezónností
dosahuje nejnižšího IS RMSE auto.arima při posuvném okně u obou zemí
a většiny horizontů. Důvodem je krátký tréninkový vzorek v kombinaci
s flexibilní volbou modelu, který se nejlépe přizpůsobí tréninkovým datům.
V OOS predikcích jsou výsledky odlišné. U Česka jsou v případě posuvného
okna fixní a auto.arima modely téměř identické. U Slovenska je
fixní model posuvného okna mírně přesnější na kratších horizontech. Při
h = 1 má OOS RMSE 5,43 oproti 5,63 u auto.arima v posuvném okně, tedy
rozdíl 0,2. Rozdíly jsou ale napříč horizonty velmi malé a u h = 3 i h = 6
jsou oba modely prakticky vyrovnané.
76
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
7 Srovnání predikcí při manuálním výběru
modelu
V předchozích kapitolách jsme hodnotili predikce napříč celým dostupným
vzorkem a po rozdělení do období. V této kapitole se zaměříme na
dvě kontrastní období: finanční krizi 2008-2009 jako období strukturálního
šoku a rok 2018 jako poslední klidný rok průmyslové expanze před
cyklickým zpomalením v roce 2019. Cílem je porovnat manuálně volenou
ARIMA specifikaci s automatickým postupem auto.arima v obou uvedených
obdobích, a to jak v identifikaci modelu, tak v jeho predikční přes­
nosti.
V tomto případě používáme odlišný přístup k in-sample predikcím.
Na rozdíl od konstrukce v předchozích kapitolách zde máme pouze jeden
in-sample model zahrnující celé predikované období. Jinak se odhad predikcí
neliší a cílová pozorování jsou stále h kroků vzdálená od počátku
predikce. Out-of-sample predikce vznikají stejně jako u rozšiřujícího se
okna.
Analýzu provádíme zvlášť pro Česko a Slovensko a pro každou zemi
vybíráme model na základě ACF/PACF diagnostiky a hodnoty BIC. Tréninkový
vzorek volíme v přístupu rozšiřujícího se okna s pevně stanoveným
počátkem. Pro analýzu finanční krize 2008-2009 je počátkem leden
2000 (celá dostupná předkrizová historie). Pro analýzu roku 2018 je počátkem
leden 2010, což z tréninkových dat vylučuje finanční krizi. Důvodem
tohoto asymetrického výběru je, že krizová dynamika 2008-2009 je
strukturálně odlišná od klidného období 2010-2018, a její zahrnutí do
tréninku pro predikci klidného roku by snižovalo přesnost odhadů parametrů
relevantních pro toto období.
ACF a PACF grafy zobrazujeme v hlavním textu pro OOS vzorek (tréninkový
vzorek před cílovým obdobím). Pro úplnost j sou v Příloze C uvedeny
i odpovídající ACF a PACF pro IS vzorek (OOS vzorek rozšířený o cílové
období), který slouží jako kontrolní diagnostika. Totéž platí pro
testy stacionarity.
7.1 Predikce finanční krize
Pro období finanční krize volíme ARIMA model s deterministickou sezónností
(dummy proměnné), jelikož předchozí analýza ukázala, že je
77
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
v krizovém období přesnější než stochastický SARIMA. Cílovým obdobím
predikcí je 15 měsíců od října 2008 do prosince 2009. Počáteční tréninkový
vzorekje tedy pro out-of-sample 01/2000-09/2008. Pro in-sample
je pouze jeden tréninkový vzorek 2000-2009.
7.1.1 Testování stacionarity
Stacionaritu řad IPP testujeme kombinací KPSS testu s nulovou hypotézou
stacionarity a ADF testu s nulovou hypotézou jednotkového kořene.
Jelikož sezónnost v následných modelech zachycujeme deterministicky
pomocí dummy proměnných, testy aplikujeme na rezidua z OLS regrese
yt na sezónní dummy proměnné, jak doporučují Dickey, Bell a Miller
(1986).
V Tab. 13 jsou zobrazeny výsledky ADF a KPSS testů. U úrovní KPSS
zamítá stacionaritu na 1 % hladině významnosti u obou zemí. Po první
diferenci KPSS nezamítá stacionaritu a ADF zamítá jednotkový kořen
u obou zemí. Je proto vhodné použít ARIMA model s dummy proměnnými
a první diferencí.
Tab. 13: Testy stacionarity - out-of-sample vzorek pro finanční krizi
Země Období Úrovně Diference
KPSS ADF KPSS ADF
ČR 2000-09/2008 0,010 0,610 > 0,100 < 0,010
SK 2000-09/2008 0,010 0,810 > 0,100 < 0,010
Poznámka: Hodnoty < 0,010 a > 0,100 reflektují hraniční hodnoty tabulky těchto testů
v R
Zdroj: vlastní zpracování
7.1.2 Identifikace modelů
Modely identifikujeme pomocí ACF a PACF první diference IPP po odstranění
deterministické sezónní složky (regresí na měsíční dummy proměnné).
Obě funkce jsou znázorněny na Obr. 16.
U české řady vykazuje ACF záporný spike na lagu 1 (-0,56) následovaný
oscilacemi se střídavým znaménkem. PACF má dva výrazné záporné
špiky na lagu 1 a 2, přičemž další lagy již nejsou významné. Tento
vzor naznačuje autoregresní strukturu pravděpodobně řádu 2, ale pro
robustní výběr testujeme i alternativní specifikace.
78
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
U slovenské řady je vzor méně jednoznačný. ACF vykazuje jediný výrazný
spike na lagu 1, ostatní počáteční lagy jsou nevýznamné. PACF obsahuje
rovněž pouze jeden výrazný spike na lagu 1. Vzor je kompatibilní
jak s MA(1), tak s AR(1), případně s jejich kombinací.
Pro výběr modelu porovnáváme kandidátní specifikace pomocí BIC.
Pro Česko testujeme ARIMA(p,l,q) s p G {0,1, 2} a q G {0,1}, pro Slovensko
s podobným nastavením, ale s omezením p G {0, 1} odpovídajícím
užšímu prostoru kandidátních modelů naznačenému ACF a PACF. V obou
variantách zvažujeme i zahrnutí driftu.
Obr. 16: ACF a PACF IPP po první diferenci a odstranění deterministické sezónní
složky, 01/2000-09/2008
ACFOOS-CR PACF OOS-CR
I I I . I
TT
10 12 14 1(
ACF O O S - S K
20 22 24 10 12 14 16 18 20 22 24
PACF OOS - SK
O aI I I I I O a i 1 I I I . 1 1
I I I I I I I I • I
< o 1 | 1 ' 1 1
' 1 '
— I_
< o
10 12 14 20 22 24 10 12 14 16 18 20 22 24
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 14 uvádí čtyři nejlepší modely pro tréninkový vzorek OOS (2000-
09/2008) a IS (2000-2009) na základě BIC. Řády modelu vybrané pomocí
BIC jsou pro oba vzorky stejné. Pro Česko vychází ARIMA(2,1,0)
a pro Slovensko ARIMA(0,1,1). Rozdíl je v zahrnutí driftu. Na OOS vzorku
BIC drift preferuje, protože lineární trend dobře zachycuje monotónně
rostoucí vývoj. Na IS vzorku, který již zahrnuje krizová pozorování, BIC
drift naopak vyřazuje, jelikož lineární trend je v rozporu s prudkým
79
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
propadem roku 2008. Model ARIMA(2,1,0) je tudíž zvolen pro Česko
a ARIMA(0,1,1) pro Slovensko.
Tab. 14: Výběr modelu pro finanční krizi na základě BIC
Model BIC OOS (pořadí) BIC IS (pořadí)
Česko
ARIMA(2,1,0) + drift 543,48 (1) 647,02 (3)
ARIMA(2,1,1) + drift 547,90 (2) 648,34 (4)
ARIMA(2,1,0) 548,21 (3) 644,56 (1)
ARIMA(2,1,1) 552,17 (6) 645,43 (2)
Slovensko
ARIMAf 0,1,1] + drift 633,20 (1) 734,51 (4)
ARIMA(0,1,1) 633,45 (2) 731,43 (1)
ARIMAf 1,1,0) 634,51 (3) 732,56 (2)
ARIMA(0,1,0) 641,31 (7) 733,51 (3)
Zdroj: vlastní zpracování
Před prezentací predikčních výsledků kontrolujeme rezidua zvolených
modelů Ljung-Boxovým testem na lagu 24. Vzhledem k tomu, že práce
reportuje pouze bodové predikce, neprovádíme dodatečné testy normality
a homoskedasticity, které by měly význam především pro konstrukci
konfidenčních intervalů. Na OOS vzorku test nezamítá nulovou hypotézu
nekorelovanosti reziduí na 5 % hladině pro ČR ARIMA(2,l,0)+dummy
(p = 0,058) ani pro SK ARIMA(0,l,l)+dummy (p = 0,446). Na IS vzorku
se u modelu ČR zbytková autokorelace zhoršuje (p = 0,012), což odráží
šokovou povahu krizových pozorování přidaných do tréninkového
vzorku. Vybraný model přes přítomnou zbytkovou autokorelaci akceptujeme,
neboť ani žádný z ostatních kandidátních modelů identifikovaných
ACF a PACF analýzou LB(24) testem neprochází.
7.1.3 Výsledky predikcí
Uvádíme výsledky predikcí modelů vybraných v předchozí podkapitole.
Pro in-sample predikce tedy volíme ARIMA(2,1,0) pro Česko
a ARIMA(0,1,1) pro Slovensko. Pro out-of-sample predikce volíme stejné
řády modelu, ale rozlišujeme model bez driftu a s driftem.
80
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
Tab. 15: RMSE predikcí - finanční krize, manuální výběr
IS oos OOS + drift
Česko
h = 1 3,87 4,57 4,94
h = 3 5,42 5,86 6,46
h = 6 8,96 9,42 11,00
Slovensko
h = 1 4,93 5,73 6,07
h = 3 8,72 9,64 10,38
h = 6 12,56 13,35 15,43
Zdroj: vlastní zpracování
V Tab. 15 prezentujeme RMSE predikcí manuálně vybraných modelů
v období finanční krize. Procentuální IS-OOS rozdíl klesá s rostoucím horizontem
(u ČR z 18 % u h = 1 na 5 % u h = 6, u SK z 16 % na 6 %). Klíčovým
rozhodnutím je nakládání s driftem. BIC sice drift na OOS tréninkovém
vzorku jednoznačně preferuje pro obě země, avšak jeho zahrnutí
zhoršuje predikce krize (u ČR o 8 až 17 % a u SK o 6 až 16 % oproti variantě
bez driftu).
Ve srovnání s auto.arima přístupem z kapitoly 5 (varianta s dummy
proměnnými) dosahují manuálně vybrané OOS modely bez driftu výrazně
nižší RMSE (u ČR o 11 až 22 % a u SK o 3 až 12 % napříč horizonty).
Toto srovnání je ovšem nutné interpretovat opatrně, jelikož drift byl vyřazen
na základě znalosti, že krize přijde, kterou auto.arima nemá. Férovějším
srovnáním je manuálně vybraný model s driftem proti auto.arima,
kde oba přístupy nechávají BIC drift vybrat. Při tomto přístupu dosahuje
ARIMA(2,1,0) s driftem u Česka o 4 až 9 % nižší RMSE než auto.arima,
u Slovenska jsou hodnoty prakticky shodné (manuál o 1 až 3 % horší).
Hlavní výhoda manuální specifikace tedy nespočívá v lepším řádu modelu,
ale v možnosti vědomě vyřadit drift v očekávání propadu. Pokud
vybereme model pouze ze znalosti předkrizových dat, out-of-sample
predikce se od auto.arima výrazně neliší.
U Česka není IS RMSE manuálně vybraného modelu nižší než
u auto.arima, ačkoliv tréninkový vzorek obsahuje všechna krizová pozorování
a mohl by se jim tak lépe přizpůsobit. Z toho plyne, že auto.arima
dokáže v krizi nově zvolenou specifikací dosáhnout lepšího odhadu na
tréninkových datech, což se však nepromítá do přesnějších out-of-
81
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
sample predikcí. U Slovenska to neplatí a IS RMSE je mezi přístupy téměř
stejné.
7.2 Predikce roku 2018
Pro klidné období roku 2018 volíme SARIMA model se stochastickou sezónností.
Z předchozí analýzy vyplývá, že v mezikrizovém období dosahuje
tento přístup nižších OOS RMSE než ARIMA s deterministickými
dummy proměnnými. Cílovým obdobím predikcí je 12 měsíců od ledna
do prosince 2018.
7.2.1 Testování stacionarity
Stejně jako u finanční krize testujeme stacionaritu tréninkových vzorků
pomocí KPSS testu s nulovou hypotézou stacionarity a ADF testu s nulovou
hypotézou jednotkového kořene. Na rozdíl od krize pracujeme se
stochastickým modelem typu SARIMA se sezónní diferencí D = 1. Testy
proto aplikujeme na řadu po této diferenci a ověřujeme, zda je potřeba
doplnit také nesezónní diferenci d = 1.
Výsledky Tab. 16 jsou shodné pro obě země. Po samotné sezónní diferenci
D = 1 ADF test nezamítá jednotkový kořen u žádné z řad a u Česka
je navíc KPSS na samé hranici 5 % hladiny. Sezónní diference k zajištění
stacionarity nestačí. Po doplnění nesezónní diference d = 1 oba testy stacionaritu
jednoznačně potvrzují u obou zemí. Pro modelování proto
v obou případech volíme specifikaci SARIMA(p, 1, q)(P, 1, OJ.
Tab. 16: Testy stacionarity - out-of-sample vzorek pro rok 2018
Země Období Po D = 1 Po d = 1 + D = 1
KPSS ADF KPSS ADF
ČR 2010-2017 0,053 0,258 > 0,100 < 0,010
SK 2010-2017 > 0,100 0,237 > 0,100 < 0,010
Poznámka: Hodnoty < 0,010 a > 0,100 reflektují hraniční hodnoty tabulky těchto testů
v R
Zdroj: vlastní zpracování
82
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
7.2.2 Identifikace modelů
Modely identifikujeme pomocí ACF a PACF řady IPP po nesezónní i sezónní
diferenci (d = 1, D = 1) v souladu s výsledky testů stacionarity. Obě
funkce jsou znázorněny na Obr. 17.
U české řady vykazuje ACF záporný spike na lagu 1 následovaný oscilacemi
se střídavým znaménkem. Sezónní lag 12 v ACF není významný,
na lagu 24 však vykazuje výrazný záporný spike. PACF má dva výrazné
záporné špiky na lagu 1 a 2, další lagy včetně sezónních (12 a 24) již nejsou
významné. Vzor odpovídá nesezónnímu AR(2) procesu se sezónní
MA složkou.
U slovenské řady vykazuje ACF rovněž záporný spike na lagu 1. Sezónní
lag 12 v ACF je výrazně záporný, lag 24 však významný není. PACF
má stejnou strukturu jako u české řady. Vzor odpovídá nesezónnímu
AR(2) procesu se sezónní MA složkou prvního řádu.
Pro výběr modelu porovnáváme kandidátní specifikace pomocí BIC.
Pro Česko testujeme SARIMA(p, 1, q)(0, 1, Q) s p G {0, 1, 2}, q G {0, 1},
Q G {0, 1, 2}. Pro Slovensko používáme stejný prostor parametrů, ale
s Q G {0,1}, jelikož ACF slovenské řady na sezónním lagu 24 nevykazuje
významný spike.
Obr. 17: ACF a PACF IPP po první i sezónní diferenci 2010-2017
CR — ACF (po d = 1 a D = 1)
J_L_
I I
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Lbiy
SK —ACF (pod = 1 a D = 1)
I . . . I
CR—PACF (pod = 1 a D = 1 )
±1
í 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Lag
SK — PACF (po d = 1 aD = 1)
l _ l
10 12 14 20 22 24 20 22 24
Zdroj: vlastní zpracování
83
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
Tab. 17 uvádí tři nejlepší modely pro OOS vzorek (2010-2017) a IS vzorek
(2010-2018) na základě BIC. Řády modelu vybrané pomocí BIC jsou
pro oba vzorky stejné. Pro Česko vychází SARTMA(2,1,0) (0,1,2) a pro Slovensko
SARIMA(2,1,0) (0,1,1). Oba modely sdílí stejnou nesezónní AR(2)
strukturu a liší se pouze řádem sezónní MA složky, což odpovídá identifikaci
z ACF a PACF.
Tab. 17: Výběr modelu pro rok 2018 na základě BIC
Model BIC OOS (pořadí) BIC IS (pořadí)
Česko
SARIMA(2,1,0) (0,1,2) 459,79 (1) 521,89 (1)
SARIMA(2,1,1)(0,1,2) 462,35 (2) 524,38 (2)
SARIMA(2,1,0) (0,1,0) 465,46 (3) 529,36 (5)
Slovensko
SARIMA(2,1,0) (0,1,1) 477,33 (1) 538,38 (1)
SARIMA(0,1,1) (0,1,1) 478,86 (2) 541,27 (2)
SARIMA(2,1,1) (0,1,1) 479,77 (3) 541,61 (3)
Zdroj: vlastní zpracování
Stejně jako u krizových modelů kontrolujeme rezidua Ljung-Boxovým
testem na lagu 24. Na OOS vzorku test zamítá nulovou hypotézu nekorelovanosti
reziduí na 5 % hladině pro ČR SARIMA(2,1,0) (0,1,2) (p = 0,02),
zatímco pro SK SARIMA(2,1,0)(0,1,1) nezamítá (p = 0,36). Na IS vzorku
se diagnostika ČR modelu zlepšuje a test již nezamítá nulovou hypotézu
na 5 % hladině (p = 0,09). Pozorování z klidného roku 2018 přidaná do
tréninkového vzorku tedy zbytkovou autokorelaci spíše snižují. SK model
nezamítá ani na IS vzorku (p = 0,39). Vybraný ČR model přes zbytkovou
autokorelaci na OOS akceptujeme, neboť LB(24) testem procházejí
jen tři z osmnácti kandidátních modelů identifikovaných ACF a PACF
analýzou, a to s p-hodnotami těsně nad 5 % hladinou. Všechny tyto modely
navíc dosahují horších predikčních chyb na všech horizontech.
7.2.3 Výsledky predikcí
V Tab. 18 prezentujeme RMSE predikcí manuálně vybraných modelů
v roce 2018. Pro Česko volíme SARIMA(2,1,0)(0,1,2) a pro Slovensko
SARIMA(2,1,0) (0,1,1).
84
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
IS-OOS rozdíl je v roce 2018 řádově menší než během krize. U Česka
mezera kolísá mezi 0,11 a 0,19 RMSE napříč horizonty, u Slovenska mezi
0,03 a 0,12. Toto pozorování je konzistentní s výsledky analýzy rozšiřujícího
se okna z kapitoly 5, kde i auto.arima modely vykazovaly v mezikrizovém
období jen malou IS-OOS mezeru. Klidné období bez strukturálních
zlomů zajišťuje stabilní odhady parametrů, takže přidání cílového
pozorování do tréninkového vzorku už predikce znatelně nemění.
Tab. 18: RMSE predikcí - rok 2018, manuální výběr
IS oos
Česko
h= 1 3,04 3,23
h = 3 3,15 3,26
h = 6 3,29 3,41
Slovensko
h= 1 2,85 2,92
h = 3 3,43 3,46
h = 6 3,57 3,69
Zdroj: vlastní zpracování
7.3 Shrnutí pro manuální výběr
Manuální výběr modelu byl proveden ve dvou kontrastních obdobích,
během finanční krize 2008-2009 a v klidném roce 2018. Pro krizové období
jsme zvolili ARIMA s deterministickou sezónností (dummy proměnné),
pro klidné období stochastickou SARIMA specifikaci. Identifikace
vedla pro Česko napříč obdobími k nesezónní AR(2) struktuře.
U Slovenska je v krizi vybrána MA(1) a v roce 2018 stejná AR(2) jako
u Česka se sezónní MA(1) složkou. Konkrétně ARIMA(2,1,0) pro Česko
aARIMA(0,l,l) pro Slovensko v krizi, SARIMA(2,1,0)(0,1,2) pro Česko
a SARIMA(2,1,0) (0,1,1) pro Slovensko v roce 2018.
Výsledky kapitoly potvrzují hlavní vzory pozorované v analýze rozšiřujícího
se okna v kapitole 5. Vybrané řády jsou kompatibilní s tím, co
typicky volí auto.arima (zejména AR(2) struktura napříč obdobími u ČR),
a IS-OOS mezera je v roce 2018 stejně malá jako u auto.arima v mezikrizovém
období. Při férovém srovnání s driftem v krizi, kdy oběma přístupům
necháme BIC drift vybrat, je rozdíl v predikční přesnosti malý. Fixní
85
SROVNÁNÍ PREDIKCÍ PŘI MANUÁLNÍM VÝBĚRU MODELU
model pro Česko má jen mírnou převahu (4-9 %) a model pro Slovensko
je s auto.arima srovnatelný. Volba řádu modelu sama o sobě tedy mezi
manuálním a automatickým přístupem zásadní rozdíl nepřináší.
Zároveň ale analýza ukazuje, že auto.arima má omezení. Například
ze samotných auto.arima výsledků nelze odlišit, jakou část rozdílu mezi
in-sample a out-of-sample predikcemi v krizi způsobuje volba řádů modelu
a jakou zahrnutí driftu, jelikož řádový efekt v dekompozici z kapitoly
5 obě složky slévá. Manuální analýza tuto otázku zodpovídá tím, že
drift v predikčních variantách kontroluje explicitně. Obdobně volba
délky tréninkového vzorku, která pro analýzu roku 2018 vylučovala krizová
pozorování, není standardní součástí auto.arima procedury. Manuální
výběr tak nepředstavuje alternativu k auto.arima, ale spíš její doplnění
v situacích, kdy je k dispozici dodatečná informace o povaze sledovaného
období.
86
DISKUSE
8 Diskuse
V práci docházíme k několika zjištěním. Rozdíl mezi in-sample a out-ofsample
predikcemi závisí především na charakteru období. V klidných
obdobích je rozdíl malý a je primárně způsoben rozdíly v odhadech parametrů
mezi in-sample a out-of-sample modely. V krizových obdobích
je výrazně vyšší z důvodu jak změny odhadů parametrů, tak i volby odlišné
specifikace in-sample modelem kvůli přítomnosti krizových pozo­
rování.
Dalším zjištěním je, že jednoduchý fixní model s deterministickou
sezónností poskytuje ve většině období přesnější out-of-sample predikce
než auto.arima s respecifikací řádu v každém kroku. Hlavní výhoda se
projevuje v krizích, kde se auto.arima při přidání krizových pozorování
do vzorku přizpůsobuje jejich dynamice a volí složitější specifikace, které
na delší horizonty predikují hůře. U stochastické sezónnosti fixní model
tak konzistentní převahu nemá. Jeho výsledky jsou napříč zeměmi i obdobími
smíšené, jelikož pevně daná dvojitá diferenciace omezuje schopnost
modelu přizpůsobit se různým režimům, zatímco auto.arima volbou
nových řádů pro každé okno si zachovává flexibilitu.
Volba mezi deterministickou a stochastickou sezónností vykazuje
podobnou asymetrii. V klidných obdobích je SARIMA přesnější, jelikož
flexibilní sezónní složka lépe zachytí postupně se měnící sezónní vzorec.
V krizových obdobích je naopak deterministická ARIMA s dummy proměnnými
robustnější. Sezónní diference D = 1 v SARIMA reaguje na krizový
šok tak, jako by se sezónní vzorec změnil, zatímco deterministická
dummy reprezentace zůstává zafixovaná a vůči jednorázovému šoku
v úrovni řady je odolnější.
Volba mezi rozšiřujícím se a posuvným oknem závisí na přístupu
k sezónnosti. Pro deterministické modelování s dummy proměnnými se
jako přesnější ukazuje metoda posuvného okna, která snižuje in-sample
a out-of-sample RMSE díky aktuálnějším odhadům parametrů. Pro
SARIMA modely je naopak vhodnější rozšiřující se okno, jelikož stochastická
sezónnost potřebuje delší tréninkový vzorek pro stabilní odhad sezónních
složek.
Manuální výběr ARIMA modelu ve zkoumaných krizových i klidných
obdobích sloužil jako kontrolní analýza. Pro Česko obě metody konvergují
k AR(2) struktuře napříč obdobími. Manuální výběr modelu tedy je
87
DISKUSE
v souladu s hlavním zjištěním práce a automatická volba řádu pomocí
auto.arima se jeví jako věcně správná.
Přesnost predikcí jsme v práci hodnotili pomocí RMSE. Rovněž jsme
ovšem analyzovali i hodnoty MAE (uvedené v Příloze B). U většiny období
a horizontů se rozdíly mezi in-sample a out-of-sample predikcemi
v obou metrikách významně neliší a docházíme tak ke stejným závěrům.
Jediné významnější rozdíly pozorujeme u Slovenska v období před krizí
a finanční krize, kdy v krátké době došlo k výraznému nárůstu a poklesu
indexu průmyslové produkce, což vedlo k větším predikčním chybám,
které RMSE penalizuje více.
Hlavní zjištění práce o rozdílech mezi in-sample a out-of-sample
predikcemi by mohlo být vhodné podpořit testem statistické významnosti
pozorovaných rozdílů. Standardním nástrojem pro tento typ srovnání
je Diebold-Marianův test, který je však konstruován pro porovnání
out-of-sample predikcí dvou modelů. V naší konstrukci je situace asymetrická,
neboť in-sample model při odhadu cílovou hodnotu využívá, zatímco
out-of-sample model ne. Tato asymetrie vede k porušení předpokladů
testu (zejména nezávislosti a shodné distribuce chyb), což znemožňuje
jeho korektní interpretaci. Z tohoto důvodu v práci Diebold-Marianův
test nepoužíváme.
Vhodným rozšířením výzkumu by rovněž mohlo být srovnání insample
a out-of-sample predikcí pouze na klidném období, kdy by cílové
období i tréninkový vzorek sestávaly výhradně z klidných pozorování.
Na takovém vzorku by se mohl ještě prohloubit rozdíl mezi deterministickou
a stochastickou sezónností. SARIMA je v klidném období sice přesnější,
ale jeho odhady parametrů mohou být v naší analýze negativně
ovlivněny přítomností finanční krize v tréninkovém vzorku.
Dalším možným rozšířením je srovnání in-sample a out-of-sample
predikcí na sezónně očištěné řadě IPP. Na takto upravené řadě by ARIMA
modelovala pouze trendovou a cyklickou složku a sezónní vzor by byl
odstraněn ještě před modelováním. Srovnání in-sample a out-of-sample
rozdílů na očištěné a neočistené řadě by ukázalo, do jaké míry pramení
pozorovaný rozdíl ze samotného modelování sezónnosti a do jaké míry
z nestability trendu.
Za úvahu stojí také použití jiných modelů než ARIMA. Musely by být
vhodné pro reestimaci, aby bylo možné porovnat in-sample a out-ofsample
na dlouhém vzorku. V naší práci jsme testovali VAR model, který
ovšem neposkytl vyšší predikční přesnost než jednorozměrná
auto.arima. VAR vyžaduje volbu vstupních proměnných a testy
88
DISKUSE
kointegrace mezi nimi. Tyto vztahy se však mohou v čase měnit, což
v rámci automatické a opakované respecifikace modelu není snadné průběžně
ověřovat, a snižuje to praktickou použitelnost VAR v naší metodologii.
Alternativními kandidáty jsou state space modely s dekompozicí
řady na trend, sezónní a nepravidelnou složku, neparametrické vícerozměrné
metody typu MSSA, nebo modely strojového učení schopné zachytit
nelineární dynamiku.
89
ZÁVĚR
9 Závěr
Tato diplomová práce se zabývala srovnáním in-sample a out-of-sample
predikcí indexu průmyslové produkce České republiky a Slovenska s cílem
posoudit, jak velký je rozdíl mezi oběma typy predikcí a jaké faktory
tento rozdíl ovlivňují. Hlavním nástrojem bylo opakované generování
predikcí pomocí ARIMA modelů v několika metodologických variantách.
Nejprve byla provedena rešerše literatury, na jejíž základě byla zvolena
metodologie vycházející ze závěrů odborných článků zabývajících se
predikcí indexu průmyslové produkce. Odborné články ovšem pokrývají
pouze období do roku 2010 a práce tak přináší nové poznatky aplikací
na novější data.
Na rešerši literatury navazuje analýza dat a volba metodologie. Analýza
pro data z období 2000-2023 modelovala predikce 1, 3 a 6 měsíců
dopředu, k čemuž byly využily dva standardní přístupy, rozšiřující se
a posuvné okno. Řády modelů jsou voleny pomocí funkce auto.arima
v každém kroku, případně je definován model s fixními řády. Vzorek byl
rozdělen na pět období podle makroekonomického kontextu (před krizí,
finanční krize 2008-2009, mezikrizové, COVID, po COVIDu).
V analytické části byl nejprve vyhodnocen výkon rozšiřujícího se
okna napříč obdobími pro obě země. Výsledky ukázaly, že velikost rozdílu
mezi in-sample a out-of-sample predikcemi závisí především na charakteru
období. V klidných obdobích je rozdíl malý a je primárně způsoben
rozdíly v odhadech parametrů mezi in-sample a out-of-sample modely.
V krizích rozdíl výrazně roste a významnou roli v něm hraje řádový
efekt, kdy auto.arima na in-sample vzorku volí výrazně odlišné řády modelu.
Ze dvou přístupů k modelování sezónnosti dosahuje SARIMA v klidných
obdobích vyšší přesnosti, ale v krizích je deterministická ARIMA
s dummy proměnnými robustnější.
Následně byla srovnána rozšiřující se a posuvná okna. Pro deterministickou
sezónnost dosahuje posuvné okno s optimální velikostí okna
(96 měsíců pro Česko a 72 měsíců pro Slovensko) nižších OOS predikčních
chyb než rozšiřující se okno, zejména v klidných obdobích. Pro stochastickou
sezónnost není posuvné okno konkurenceschopné v žádném
horizontu, jelikož SARIMA potřebuje delší tréninkový vzorek pro stabilní
odhad sezónních složek. Jednoduchý fixní model s deterministickou sezónností
ve většině období překonává auto.arima, výjimkou je pouze
předkrizové období, kdy auto.arima díky driftu predikuje přesněji.
90
ZÁVĚR
V poslední části práce byl proveden manuální výběr ARIMA modelu
pro dvě kontrastní období, finanční krizi 2008-2009 a rok 2018. Identifikace
pomocí ACF, PACF a BIC kritéria vedla pro Česko ke shodné AR(2)
struktuře napříč oběma obdobími. U Slovenska se vybrané struktury liší.
V krizi je vybrána MA(1) a v roce 2018 stejná AR(2) jako u Česka. Manuální
výběr ukazuje, že volba řádu modelu sama o sobě nepřináší zásadní
rozdíl oproti automatickému postupu auto.arima. Hlavní přínos manuálního
přístupu spočívá v možnosti využít dodatečnou informaci o povaze
období, například ve vědomém vyřazení driftu v očekávání propadu.
Hlavním zjištěním práce je, že rozdíl mezi in-sample a out-of-sample
predikcemi není konstantní vlastností modelu, ale silně závisí na charakteru
predikovaného období. V klidných obdobích zůstává rozdíl malý
a in-sample i out-of-sample přesnost se výrazně neliší. V krizových obdobích
se rozdíl výrazně rozšiřuje a stejně tak roste citlivost na volbu
modelu. Žádný z testovaných přístupů tak není univerzálně nejlepší. Pro
období strukturálních zlomů jsou vhodnější jednodušší fixní specifikace
s deterministickou sezónností, v klidných obdobích naopak SARIMA
s rozšiřujícím se oknem. Výsledky práce tak ukazují, že charakter období
hraje klíčovou roli při volbě modelu.
91
POUŽITÉ ZDROJE
Použité zdroje
BEAULIEU, J. Joseph a Jeffrey A. MIRON, 1993. Seasonal unit roots in
aggregate U.S. data. Journal of Econometrics, Vol. 55, Iss. 1-2, pp. 305-
328. ISSN 0304-4076. DOI: https://doi.org/10.1016/0304-
4076(93)90018-Z
BIANCHI, Carluccio, Alessandro CARTA, Dean FANTAZZINI, Maria Elena
DE GIULI a Mario A. MAGGI, 2010. A copula-VAR-X approach for industrial
production modelling and forecasting. Applied Economics, Vol.
42, Iss. 25, pp. 3267-3277. ISSN 0003-6846. DOI:
https://doi.org/10.1080/00036840802112349
BODO, Giorgio, Roberto GOLINELLI a Giuseppe PARIGI, 2000. Forecasting
industrial production in the euro area. Empirical Economics, Vol.
25, Iss. 4, pp. 541-561. ISSN 0377-7332. DOI:
https://doi.org/10.1007/s001810000032
BRUNO, Giancarlo a Claudio LUPI, 2004. Forecasting industrial production
and the early detection of turning points. Empirical Economics,
Vol. 29, Iss. 3, pp. 647-671. ISSN 0377-7332. DOI:
https://doi.org/10.1007/s00181-004-0203-v
BULLIGAN, Guido, Roberto GOLINELLI a Giuseppe PARIGI, 2010. Forecasting
monthly industrial production in real-time: from single equations
to factor-based models. Empirical Economics, Vol. 39, Iss. 2, pp. 303-
336. ISSN 0377-7332. DOI: https://doi.org/10.1007/s00181-009-0305-
7
BURNHAM, Kenneth P. a David R. ANDERSON, 2004. Multimodel Inference:
Understanding AIC and BIC in Model Selection. Sociological Methods
& Research, Vol. 33, Iss. 2, pp. 261-304. ISSN 0049-1241. DOI:
https://doi.org/10.1177/0049124104268644
CAMPBELL, John Y. a Samuel B. THOMPSON, 2008. Predicting Excess
Stock Returns Out of Sample: Can Anything Beat the Historical Average?
92
POUŽITÉ ZDROJE
Review of Financial Studies, Vol. 21, Iss. 4, pp. 1509-1531. ISSN 0893-
9454. DOI: https://doi.org/10.1093/rfs/hhm055
CLARK, Todd E., 2004. Can Out-of-Sample Forecast Comparisons Help
Prevent Overfitting? Journal of Forecasting Vol. 23, Iss. 2, pp. 115-139.
ISSN 0277-6693. DOI: https://doi.org/10.1002/for.904
CLARK, Todd E. a Michael W. MCCRACKEN, 2006. The Predictive Content
of the Output Gap for Inflation: Resolving In-Sample and Out-ofSample
Evidence. Journal of Money, Credit and Banking, Vol. 38, Iss. 5,
pp. 1127-1148. ISSN 0022-2879. DOI:
https://doi.org/10.1353/mcb.2006.0068
CLEMENTS, Michael P. a David F. HENDRY, 1997. An empirical study of
seasonal unit roots in forecasting. International Journal of Forecasting,
Vol. 13, Iss. 3, pp. 341-355. ISSN 0169-2070. DOI:
https://doi.org/10.1016/S0169-2070r97)00022-8
DICKEY, David A , William R. BELL a Robert B. MILLER, 1986. Unit Roots
in Time Series Models: Tests and Implications. The American Statistician,
Vol. 40, Iss. 1, pp. 12-26. ISSN 0003-1305. DOI:
https://doi.org/10.1080/00031305.1986.10475349
ENDERS, Walter, 2014. Applied Econometric Time Series. 4th edition.
Hoboken: Wiley. ISBN 978-1-118-80856-6.
EUROSTAT, 2026. Production in industry - monthly data (sts_inpr_m)
[online], [cit. 2026-04-21]. Dostupne z: https://ec.europa.eu/eurostat/databrowser/view/sts
inpr m/default/table
FRANSES, Philip Hans a Dick VAN DIJK, 2005. The forecasting performance
of various models for seasonality and nonlinearity for quarterly
industrial production. International Journal of Forecasting, Vol. 21, Iss.
1, pp. 87-102. ISSN 0169-2070. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijfore-
cast.2004.05.005
93
POUŽITÉ ZDROJE
GHYSELS, Eric a Denise R. OSBORN, 2001. The Econometric Analysis of
Seasonal Time Series. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN
978-0-521-56515-3
GOYAL, Amit a Ivo WELCH, 2008. A Comprehensive Look at The Empirical
Performance of Equity Premium Prediction. Review of Financial Studies,
Vol. 21, Iss. 4, pp. 1455-1508. ISSN 0893-9454. DOI:
https://doi.org/10.1093/rfs/hhm014
HASSANI, Hossein, Saeed HERAVI a Anatoly ZHIGLJAVSKY, 2009. Forecasting
European industrial production with singular spectrum analysis.
International Journal of Forecasting, Vol. 25, Iss. 1, pp. 103-118. ISSN
0169-2070. DOI: https://doi.org/10.1016/).i)forecast.2008.09.007
HASSANI, Hossein, Saeed HERAVI a Anatoly ZHIGLJAVSKY, 2013. Forecasting
UK Industrial Production with Multivariate Singular Spectrum
Analysis. Journal of Forecasting, Vol. 32, Iss. 5, pp. 395-408. ISSN 0277-
6693. DOI: https://doi.org/10.1002/for.2244
HODSON, Timothy 0., 2022. Root-mean-square error (RMSE) or mean
absolute error (MAE): when to use them or not. Geoscientific Model Development,
Vol. 15, Iss. 14, pp. 5481-5487. ISSN 1991-959X. DOI:
https://doi.org/10.5194/gmd-15-5481-2022
HYLLEBERG, Svend, Robert F. ENGLE, Clive W. J. GRANGER a Byung
Sam YOO, 1990. Seasonal integration and cointegration. Journal of
Econometrics, Vol. 44, Iss. 1-2, pp. 215-238. ISSN 0304-4076. DOI:
https://doi.org/10.1016/0304-4076r90190080-D
HYNDMAN, Rob J. a George ATHANASOPOULOS, 2021. Forecasting:
Principles and Practice [online]. 3rd edition. Melbourne: OTexts. [cit.
2026-04-21]. Dostupne z: https://otexts.com/fpp3/
HYNDMAN, Rob J. a Yeasmin KHANDAKAR, 2008. Automatic Time Series
Forecasting: The forecast Package for R.Journal of Statistical
94
POUŽITÉ ZDROJE
Software, Vol. 27, Iss. 3, pp. 1-22. ISSN 1548-7660. DOI:
https://doi.org/10.18637/iss.v027.i03
INOUE, Atsushi a Lutz KILIAN, 2005. In-Sample or Out-of-Sample Tests
of Predictability: Which One Should We Use? Econometric Reviews, Vol.
23, Iss. 4, pp. 371-402. ISSN 0747-4938. DOI:
https://doi.org/10.1081/ETC-200040785
MAKRIDAKIS, Spyros a Michele HIBON, 2000. The M3-Competition: results,
conclusions and implications. International Journal of Forecasting,
Vol. 16, Iss. 4, pp. 451-476. ISSN 0169-2070. DOI:
https://doi.org/10.1016/S0169-2070r00)00057-l
MARCHETTI, Domenico J. a Giuseppe PARIGI, 2000. Energy consumption,
survey data and the prediction of industrial production in Italy: a
comparison and combination of different models. Journal of Forecasting,
Vol. 19, Iss. 5, pp. 419-440. ISSN 0277-6693. DOI:
https://doi.org/10.1002/1099-131Xr200009)19:5<419::AID-
FOR749>3.0.CO:2-T
OSBORN, Denise R., Saeed HERAVI a C. R. BIRCHENHALL, 1999. Seasonal
unit roots and forecasts of two-digit European industrial production.
International Journal ofForecasting, Vol. 15, Iss. 1, pp. 27-47. ISSN
0169-2070. DOI: https://doi.org/10.1016/S0169-2070r98100055-7
RAPACH, David E. a Mark E. WOHAR, 2006. In-sample vs. out-of-sample
tests of stock return predictability in the context of data mining. Journal
of Empirical Finance, Vol. 13, Iss. 2, pp. 231-247. ISSN 0927-5398. DOI:
https://doi.Org/10.1016/j.jempfin.2005.08.001
ROSSI, Barbara, 2013. Advances in Forecasting under Instability. In:
Graham ELLIOTT a Allan TIMMERMANN. Handbook of Economic Forecasting
Vol. 2, Part B. Amsterdam: Elsevier, pp. 1203-1324. ISBN 978-0-
444-62731-5. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-444-62731-
5.00021-X
95
POUŽITÉ ZDROJE
TASHMAN, LeonardJ., 2000. Out-of-sample tests of forecasting accuracy:
an analysis and review. International Journal of Forecasting, Vol.
16, Iss. 4, pp. 437-450. ISSN 0169-2070. DOI:
https://doi.org/10.1016/S0169-2070r00)00065-0
THURY, Gerhard a Stephen F. WITT, 1998. Forecasting industrial production
using structural time series models. Omega, Vol. 26, Iss. 6, pp. 751-
767. ISSN 0305-0483. DOI: https://doi.org/10.1016/S0305-
0483r98100024-3
96
PŘÍLOHA A
Příloha A Alternativní transformace a
modely
Tab. 19: Rozdíly RMSE mezi log a non-log transformací - ČR, auto.arima, deterministická
sezónnost, rozšiřující se okno
h = 1 h = 3 h = 6
Metoda IS oos IS OOS IS OOS
Rozšiřující
se okno
-0,13 -0,12 -0,02 -0,05 +0,11 +0,01
Posuvné -0,03 +0,03 -0,04 +0,06 +0,04 +0,20
okno
Poznámka: Hodnoty v tabulce představují rozdíl mezi log a non-log RMSE na původní
škále (po zpětné exponenciaci predikcí z log škály]. Záporné hodnoty znamenají, že log
transformace zlepšuje predikce, kladné že zhoršuje.
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 20: RMSE ARIMA a VAR modelů - ČR, auto.arima, deterministická sezónnost,
rozšiřující se okno
Model h = 1 h = 3 h = 6 Prů­
měr
Auto.arima+dummy 4,77 5,24 6,45 5,49
VAR(IPP_CR, IPP_GER) 4,87 5,30 6,31 5,49
VAR(IPP_CR, IPP_SK) 4,75 5,27 6,34 5,46
VAR(IPP_CR, IPP_GER, IC_CR) 4,75 5,25 6,31 5,44
endogenní
VARX(IPP_CR, IPP_GER) + 4,91 5,25 6,27 5,48
IC_CR exogénni
Zdroj: vlastní zpracování
97
PŘÍLOHA B
Příloha B MAE predikcí
Tab. 21: MAE po obdobích - auto.arima, deterministická sezónnost, rozšiřující
se okno
h = 1 h = 3 h = 6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Před krizí 45 2,20 2,86 2,31 2,85 2,74 3,33
Fin. krize 15 2,75 3,97 3,27 5,33 6,91 10,62
Mezikrizové 122 2,53 2,84 2,76 3,06 3,11 3,43
COVID 6 10,01 11,77 13,03 14,69 13,44 14,09
Po COVIDu 40 4,16 4,35 4,57 4,76 5,12 5,46
Celkem 228 2,96 3,42 3,30 3,78 3,94 4,54
Slovensko
Před krizí 45 2,54 3,96 3,86 4,95 5,84 7,20
Fin. krize 15 3,60 4,31 6,45 7,55 10,91 13,25
Mezikrizové 122 3,79 4,12 4,37 4,66 4,27 4,53
COVID 6 11,12 14,24 16,78 19,41 14,80 15,20
Po COVIDu 40 4,00 4,20 5,24 6,07 6,74 7,59
Celkem 228 3,76 4,38 4,90 5,55 5,73 6,43
Zdroj: vlastní zpracování
98
PŘÍLOHA B
Tab. 22: MAE po obdobích - auto.arima, stochastická sezónnost, rozšiřující se
okno
h = 1 h = 3 h = 6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Před krizí 45 2,48 2,90 2,52 2,88 3,01 3,35
Fin. krize 15 3,43 4,30 4,71 5,64 8,63 10,12
Mezikrizové 122 2,28 2,44 2,51 2,60 3,11 3,30
COVID 6 12,56 14,81 14,96 17,71 14,06 14,42
Po COVIDu 40 3,69 4,31 4,22 4,25 4,21 5,59
Celkem 228 2,91 3,31 3,29 3,55 3,95 4,48
Slovensko
Před krizí 45 2,69 3,70 3,95 4,93 5,53 6,89
Fin. krize 15 3,85 5,47 7,62 11,48 11,55 21,81
Mezikrizové 122 3,09 3,21 3,15 3,44 3,62 4,05
COVID 6 14,09 15,40 20,43 22,55 13,30 14,23
Po COVIDu 40 3,85 4,00 5,92 6,21 7,77 8,13
Celkem 228 3,48 3,92 4,55 5,25 5,50 6,76
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 23: MAE po obdobích - ARIMA(0,l,l)+dummy, rozšiřující se okno
h = 1 h = 3 h = 6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Před krizí 45 2,58 2,98 2,57 2,90 3,75 4,12
Fin. krize 15 3,21 3,64 4,23 4,77 6,99 7,60
Mezikrizové 122 2,83 3,02 2,79 2,96 3,36 3,51
COVID 6 10,37 11,29 13,44 14,24 13,47 13,80
Po COVIDu 40 4,16 4,35 4,57 4,76 5,12 5,29
Celkem 228 3,24 3,51 3,44 3,68 4,26 4,49
Slovensko
Před krizí 45 2,90 3,53 4,34 4,99 7,39 8,16
Fin. krize 15 3,76 4,29 6,12 6,75 10,92 11,68
Mezikrizové 122 3,78 4,06 4,33 4,60 4,32 4,53
COVID 6 13,06 14,23 18,59 19,41 14,92 15,20
Po COVIDu 40 3,86 4,05 5,17 5,40 7,17 7,35
Celkem 228 3,86 4,24 4,98 5,35 6,11 6,45
Zdroj: vlastní zpracování
99
PŘÍLOHA B
Tab. 24: MAE po obdobích - SARIMA(0,1,1) (0,1,1), rozšiřující se okno
h = 1 h = 3 h = 6
Období n IS OOS IS OOS IS OOS
Česko
Před krizí 45 2,61 2,82 2,55 2,73 3,00 3,14
Fin. krize 15 3,74 4,29 5,59 6,22 9,09 10,12
Mezikrizové 122 2,74 2,82 2,76 2,81 3,20 3,29
COVID 6 11,86 12,60 15,68 16,37 15,57 15,56
Po COVIDu 40 4,15 4,22 4,41 4,49 5,12 5,23
Celkem 228 3,27 3,42 3,54 3,68 4,24 4,40
Slovensko
Před krizí 45 2,93 3,42 4,12 4,64 6,13 6,87
Fin. krize 15 4,08 6,01 8,18 12,86 14,71 23,86
Mezikrizové 122 3,11 3,16 3,35 3,39 3,65 3,68
COVID 6 14,57 15,27 22,32 22,36 13,50 13,68
Po COVIDu 40 3,92 3,97 5,98 6,11 8,24 8,34
Celkem 228 3,58 3,86 4,79 5,24 5,93 6,71
Zdroj: vlastní zpracování
100
PŘÍLOHA C
Příloha C Analýza in-sample vzorku
Obr. 18: Citlivostní analýza pro IS RMSE - auto.arima, deterministická sezónnost
Česká republika
LU
CO
DC
CO
72 84
Velikost okna (měsíce)
Slovensko
LU
CO
co
h= 1 ( p o s u v n é )
h - 3 ( p o s u v n é )
h - 6 ( p o s u v n é )
h = 1 (rozši
h = 3 (rozši
h = B (rozši
r.ijioi 5e)
iřujícl se)
řujíci se)
36 48 60 72 84
Velikost okna (měsíce)
06 108 120
Poznámka: Plné čáry zobrazují posuvná okna o různých délkách, přerušované čáry zobrazují
referenční hodnoty pro rozšiřující se okno. Všechny hodnoty jsou vypočteny na
společných pozorováních (od ledna 2010]. Žlutě zvýrazněné body označují minimum
pro daný horizont.
Zdroj: vlastní zpracování
101
PŘÍLOHA C
Obr. 19: Citlivostní analýza pro IS RMSE - auto.arima, stochastická sezónnost
Česká republika
co
Velikost okna (měsíce)
Slovensko
LU
CO
co
Velikost okna (měsíce)
Poznámka: Plné čáry zobrazují posuvná okna o různých délkách, přerušované čáry zobrazují
referenční hodnoty pro rozšiřující se okno. Všechny hodnoty jsou vypočteny na
společných pozorováních (od ledna 2010]. Žlutě zvýrazněné body označují minimum
pro daný horizont.
Zdroj: vlastní zpracování
102
PŘÍLOHA C
Tab. 25: Testy stacionárny - in-sample vzorek finanční krize
Země Období Úrovně Diference
KPSS ADF KPSS ADF
ČR 2000-2009 0,010 0,957 > 0,100 < 0,010
SK 2000-2009 0,010 0,358 > 0,100 < 0,010
Poznámka: IS vzorek zahrnuje tréninkový vzorek rozšířený o cílové krizové období (říjen
2008 - prosinec 2009]. n = 120 pozorování. Hodnoty < 0,010 a > 0,100 reflektují
hraniční hodnoty tabulky testů v R.
Zdroj: vlastní zpracování
Tab. 26: Testy stacionárny - in-sample vzorek pro rok 2018
Země Období Po D = 1 Po d = 1 + D = 1
KPSS ADF KPSS ADF
ČR 2010-2018 0,079 0,130 > 0,100 < 0,010
SK 2010-2018 0,032 0,139 > 0,100 < 0,010
Poznámka: IS vzorek zahrnuje tréninkový vzorek rozšířený o cílové období roku 2018.
n = 108 pozorování. Hodnoty < 0,010 a > 0,100 reflektují hraniční hodnoty tabulky testů
vR.
Zdroj: vlastní zpracování
103
PŘÍLOHA C
Obr. 20: ACF a PACF prvních diferencí IPP po odstranění deterministické sezónní
složky, IS vzorek 2000-2009
PACF I S - C R
I . . . I
I I 1
I 1
| " I I
10 12 14 20 22 24
_I_J_ i I . . . I
[ J ľ I 1
I ' 1
10 12 14 20 22 24
2 4 6 3 10 12 14 16 18 20 22 24
PACFIS--SK
I , I I I
j I ľ
I I 1
1 1
'
2 4 6 3 10 12 14 16 18 20 22 24
Zdroj: vlastní zpracování
Obr. 21: ACF a PACF IPP po první i sezónní diferenci, IS vzorek 2010-2018
PACF I S - C R
O
o
I O o
M i h i l l
' 1 ľ
I I I I < o
| I I
-
1
< o
10 12 14
ACF IS - SK
20 22 24 20 22 24
PACF IS - SK
I l I
I I " ž ' l i l i — r
I . . I I
10 12 14 16 18 20 22 24
Lag
10 12 14 16 13 20 22 24
Lag
Zdroj: vlastní zpracování
104