> C/3 /_ ^ ^ ^ ^ _\ Co M A S A R Y K O V A UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Interference a difrakce kolem nás Bakalářská práce Jakub Bělin Vedoucí bakalářské práce: prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. Brno 2014 Bibliografický záznam Autor: Jakub Bělin Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav teoretické fyziky a astrofyziky N á z e v práce: Interference a difrakce kolem nás Studijní program: Aplikovaná fyzika Studijní obor: Lékařská fyzika Vedoucí práce: prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. A k a d e m i c k ý rok: 2013/14 P o č e t stran: 7+59 Klíčová slova: Difrakce, Fourierova transformace, S L M , Holografie Bibliografický záznam Autor: Jakub Bělin Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav teoretické fyziky a astrofyziky N á z o v práce: Interferencie a difrakcie okolo nás Študijný program: Aplikovaná fyzika Študijný obor: Lekárska fyzika Vedúci práce: prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. A k a d e m i c k ý rok: 2013/14 P o č e t strán: 7+59 Kľúčové slová: Difrakcia, Fourierova transformácia, S L M , Holografia Bibliographie entry Author: Title of thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Academic Year: Number of Pages: Keywords: Jakub Bělin Faculty of Science, Masaryk University Department of Theoretical Physics and Astrophysics Interference a diffraction around us Applied Physics Medical Physics prof. Mgr. Tomáš Tyc, Ph.D. 2013/14 7+59 Diffraction, Fourier transform, S L M , Holography Abstrakt V této práci se zaměřujeme na studium jevů spojených s šířením vlnění, konkrétně skládání (interference) a ohybu (difrakce) vlnění. K dosažení tohoto cíle jsme sestavili experimenty, které ilustrují jevy z každodenních situací, například interference vln na vodní hladině. Speciální pozornost věnujeme digitální fourierovské holografii, která odpovídá Frauhoferově difrakci na modulátoru světla popsaném programovatelnou fázovou funkcí propustnosti. Fraunhoferův difrakční integrál jsme odvodili z principů fourierovské optiky pomocí vhodně zvolených přiblížení, které následně podrobně analyzujeme. Tento integrál jsme využili na analýzu limitací zobrazovacích schopností prostorového modulátoru a navrhujeme postup optimalizace výpočtu funkce propustnosti. Abstrakt V tejto práci sa zameriavame na štúdium javov spojených s šírením vlnenia, konkrétne skladania (interferencie) a ohybu (difrakcie) vlnenia. K dosiahnutiu tohto cieľa sme zostavili experimenty, ktoré ilustrujú javy z každodenných situácií, napríklad interferencie vín na vodnej hladine. Špeciálnu pozornosť venujeme digitálnej fourierovskej holografii, ktorá odpovedá Fraunhoferovej difrakcii na modulátore svetla popísanom programovateľnou fázovou funkciou priepustnosti. Fraunhoferov difrakčný integrál sme odvodili z princípov fourierovskej optiky pomocou vhodne zvolených priblížení, ktoré následne podrobne analyzujeme Tento integrál sme využili na analýzu limitácií zobrazovacích schopností priestorového modulátoru a navrhujeme postup optimalizácie výpočtu funkcie priepustnosti. Abstract This thesis aims to study phenomena related to the propagation of waves, namely interference and diffraction. To accomplish this goal we devised experiments illustrating real world situations, such as interference of water ripples. Of particular interest is digital Fourier holography which corresponds to Frauhofer diffraction on the S L M described by programmable phase transmissivity function. Fraunhofer diffraction integral is derived from the principles of Fourier optics via suitable approximations, which are then rigorously analysed. We employ this integral in the analysis of limitations of the projection capabilities of S L M and propose an optimization procedure for calculating the transmissivity function. Masarykova univerzita s^Tľž JMIPřírodovědecká fakulta % ZADANÍ BAKALÁRSKE PRACE Student: J a k u b B ě l i n Studijní program: A p l i k o v a n á f y z i k a Studijní obor: L é k a ř s k á f y z i k a Ředitel Ústavu fyziky kondenzovaných látek PřF M U Vám ve smyslu Studijního a zkušebního řádu M U určuje diplomovou práci s tématem: I n t e r f e r e n c e a d i f r a k c e k o l e m n á s Interference and diffraction around us Oficiální zadání: Interference a difrakce jsou krásné a zajímavé fyzikální jevy, které můžeme pozorovat u nejrůznějších typů vlnění. Díky difrakci zvukových vln například "slyšíme za roh", difrakce světla zase umožňuje velmi přesná spektroskopická i jiná měření. Cílem diplomové práce bude seznámit se podrobně s interferencí a difrakci pro světelné a zvukové vlny i pro vlny na vodní hladině, provést s nimi zajímavé a efektní experimenty a fotograficky, popř. i. akusticky je zdokumentovat. Jazyk závěrečné práce: slovenština Vedoucí bakalářské práce: prof. Mgr. Tomáš Tyc, P h D . Podpis vedoucího práce: ~J v^sCí Konzultant: ' Datum zadání bakalářské práce: listopad 2013 , i L _ '' - ~ — V Brně dne 18. 11. 2013 prof. RNDr. Josef HranlíčěkTcSc. ředitel Ústavu fyziky kondenzovaných látek Zadání bakalářské práce převzal dne: ; J l: 7 3 Podpis studenta Poďakovanie Na tomto mieste by som predovšetkým chcel poďakovať prof. Mgr. Tomášovi Tycovi, Ph.D. za jeho cenné rady, nápady, inšpiráciu, zapožičanie pomôcok k experimentom a predovšetkým za trpezlivosť, ktorú so mnou mal. Ďalej by som rád poďakoval Ing. Petrovi Jaklovi, Ph.D. z U P T A V C R za cenné rady v oblasti zobrazovania prostredníctvom S L M . A v neposlednom rade by som chcel poďakovať svojim kolegom Jurajovi Rusnačkovi, Dávidovi Nahalkovi a Vladimírovi Domčekovi za asistenciu pri experimentoch. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. Brno 20. května 2014 Jakub Bělin Obsah Ú v o d 10 1 Základné pojmy 11 1.1 Co je to svetlo? 11 1.2 Šírenie svetla 12 1.3 Rovinné vlny 13 1.4 Huygensov princíp 15 1.5 Koherencia 15 1.6 Difrakcia 16 1.7 Fourierova transformácia 18 2 Fraunhoferova difrakcia ako Fourierova transformácia funkcie priepustnosti 19 2.1 Funkcia priepustnosti 19 2.2 Rozklad vlnovej funkcie do rovinných vln 19 2.3 Analýza použitých aproximácií 23 2.3.1 Analýza aproximácie (2.10) 23 2.3.2 Analýza aproximácie (2.15) 25 3 P r í k l a d y a n a l y t i c k ý c h v ý p o č t o v 27 3.1 Difrakcia na ideálnej lineárnej mriežke 27 3.2 Difrakcia na reálnej lineárnej mriežke 29 3.3 Difrakcia na kruhovom otvore 30 3.4 Difrakcia na bodovom otvore 32 4 S L M — P r i e s t o r o v ý m o d u l á t o r svetla 34 4.1 Úvod 34 4.2 Možnosti využitia 34 4.3 Difrakčné limity 35 4.3.1 Difrakcia na fázovej mriežke - redukcia hodnôt 36 4.3.2 Redukcia hodnôt spojená s deformáciou 37 4.4 Rozdelenie zväzku do viacerých smerov 38 4.5 Holografia 39 5 P o č í t a č o v é simulácie 41 5.1 Diskrétna Fourierova transformácia 41 5.2 Konvolúcia 42 5.3 G - S algoritmus 48 5.3.1 Všebecný popis 48 5.3.2 Simulácia 49 8 6 Experimenty 6.1 Koherenčná zrnitosť 6.2 Difrakcia na mriežke 6.3 Fourierovské hologramy 6.4 Difrakcia na optickom vlákne 6.5 Difrakcia na kruhovom otvore 6.6 Vlny na vode Záver P r í l o h a Literatúra Úvod Ťažko sa v prírode hľadá tak fascinujúci a pritom tak obyčajný úkaz ako je svetlo. Fascinujúci preto, lebo pri jeho popise narážame na množstvo zaujímavých vlastností a javov ako napríklad polarizácia, interferencia, difrakcia, konečná rýchlosť šírenia, vlnovo-časticový dualizmus alebo už len to, že sa dokáže šíriť vo vákuu. V snahe vysvetliť tieto javy spojené s šírením a podstatou svetla vzniklo hneď niekoľko prelomových fyzikálnych teórií, ako napríklad teória elektromagnetického poľa, špeciálna teória relativity alebo kvantová mechanika a kvantová teória poľa. Keď hovoríme, že svetlo je obyčajný úkaz, tým myslíme to, že sa s ním stretávame každý deň a využívame ho prostredníctvom zraku ako primárny zdroj informácií o našom okolí a o svete, v ktorom žijeme. Účelom tejto práce je oboznámiť sa bližšie s niektorými vlnovými prejavmi svetla, konkrétne s interferenciou a difrakciou, s ktorými sa môžeme stretnúť v širokej škále aplikácií, napríklad v štruktúrnej analýze, spektroskopii ale aj pri stanovení rozlišovacej schopnosti optických prístrojov alebo v holografii. V prvej kapitole tejto práce sa bližšie oboznámime s niektorými pojmami, ktoré súvisia s vlnovou a fourierovskou optikou ako Huygensov princíp, koherencia, difrakcia, fourierova transformácia a ukážeme, že ľubovoľné vlnenie môžeme zapísať v tvare superpozície rovinných vln. V druhej kapitole využijeme niektoré poznatky z prvej kapitoly a detailnejšie sa pozrieme na odvodenie Fraunhoferovho difrakčného integrálu z pohľadu fourierovskej optiky a zvláštnu pozornosť budeme venovať analýze aproximácií, ktoré v tomto odvodení použijeme. N a to potom naviažeme príkladmi analytických výpočtov v tretej kapitole, kde ukážeme výpočet difrakcie na ideálnej, potom aj na reálnej lineárnej mriežke a na kruhovom otvore a uvedieme aj príklady aplikácie v spektroskopii a v konštrukčnej optike. Na záver tejto kapitoly ešte porovnáme aproximatívny výpočet pomocou Fraunhoferovho integrálu a analyticky presný výpočet difrakcie na bodovom otvore. V štvrtej kapitole sa potom oboznámime s priestorovým modulátorom svetla (SLM) ako s dynamickým difrakčným elementom, jeho možnosťami využitia v technickej praxi a aplikujeme naše získané poznatky na preskúmanie niektorých javov, ktoré musíme brať do úvahy, keď s S L M chceme pracovať. V piatej kapitole potom pomocou počítačových simulácií preskúmame niektoré zákonitosti filtrácie pomocou 4/-systému, kde využijeme okrem Fourierovej transformácie aj konvolučný teorém, a potom sa pozrieme na G - S algoritmus, pomocou ktorého sa dajú napríklad programovať fourierovské hologramy. V poslednej kapitole budeme diskutovať výsledky experimentov, ktorými ukážeme, že interferencia a difrakcia sú skutočne krásne a zaujímavé fyzikálne javy. 10 Kapitola 1 Základné pojmy 1.1 Čo je to svetlo? Odpoveď na túto otázku sa hľadala veľmi dlho. Jeden z prvých názorov na svetlo bol, že je to tok akýchsi elementárnych častíc, ktorým dnes hovoríme fotóny. Tento názor zastával aj Isaac Newton, ktorý usudzoval, že svetlo je prúd "korpuskúl". Opätovne bol však tento názor prijatý až na začiatku 20. storočia, keď Max Planck popísal žiarenie absolútne čierneho telesa pomocou "kvánt energie". To bolo v roku 1900. Fotónmi ich nazval až v roku 1926 americký chemik Gilbert Newton Lewis. Dovtedy, kým nebola preukázaná časticová, resp. vlnová povaha svetla, prevládal názor, že svetlo je tok energie, ktorý sa šíri priamočiaro pozdĺž priamok, ktorým hovoríme lúče. Táto predstava bola vyvrátená práve pokusmi s šírením svetla napríklad za tienidlom, v ktorom bol veľmi malý otvor. Keby totiž platilo, že svetlo sa šíri priamočiaro, tak by sme za tienidlom za predpokladu, že naň dopadá rovnobežný zväzok lúčov, pozorovali len úzky zväzok, ktorého rozmery by odpovedali otvoru v tienidle. Experiment ale ukázal, že tomu tak nie je, že namiesto toho, aby sa svetlo aj naďalej šírilo priamočiaro, tak sa na okrajoch otvoru akoby "ohlo" a za ním sa šírilo všetkými možnými smermi. To je vlastnosť typická pre vlnenie a preto bola formulovaná vlnová teória svetla, ktorú navrhol Christian Huygens v roku 1690 a experimentálne podporil Thomas Young v roku 1803 svojim slávnym dvojštrbinovým exprimentom. Pretože však ľudské oko nie je citlivé na všetky vlnové dĺžky, definovalo sa viditeľné svetlo ako vlnenie v istom rozmedzí vlnových dĺžok. Toto rozmedzie je otázkou dohody, odpovedá však približne rozsahu 400-700 nm. Lenže vlnová teória nedokázala vysvetliť, prečo sa svetlo šíri vo vákuu. Na túto otázku našli odpoveď Michael Faraday a James Clerk Maxwell, keď formulovali teóriu elektromagnetického poľa. Podľa tejto teórie je svetlo vlnenie elektromagnetického poľa - elektromagnetické vlnenie. Potom ale prišiel už spomínaný rok 1900, keď Max Planck ukázal, že svetlo je tok energetických kvánt. V roku 1905 Albert Einstein pomocou tejto predstavy objasnil fotoelektrický jav. Ďalej pomocou špeciálnej teórie relativity ukázal, že tieto "svetelné kvantá"majú hybnosť, teda vlastnosť typickú pre hmotné telesá, hoci z postulátu tejto teórie vyplýva, že majú nulovú kľudovú hmotnosť. T ý m a následnými experimentami bol dokázaný časticový charakter svetla. Predtým sa ale dokázalo, že svetlo je elektromagnetické vlnenie. Toto viedlo k teórii, ktorá je dnes najviac akceptovaná, totiž k teórii vlnovo-časticového dualizmu, ktorá neplatí len pre svetlo, ale aj pre všetky hmotné telesá. Tým boli položené základy kvantovej fyziky. Ako vidno, aj taká jednoduchá otázka, akú sme položili na začiatku, môže priniesť množstvo zaujímavých odpovedí. Pretože cieľom tejto práce je podrobnejšie oboznámenie sa s vlnovými prejavmi svetla, budeme naďalej uvažovať svetlo predovšetkým ako elektromagnetické vlnenie. 11 1.2 Šírenie svetla Existujú tri základné prístupy pri popisovaní šírenia svetla priestorom. Prvý z nich geometrická optika - hovorí, že svetlo sa šíri priamočiaro pozdĺž svetelných lúčov. Geometrická optika veľmi dobre popisuje šírenie svetla v homogénnom izotropnom prostredí, ktorého rozmery sú oveľa väčšie ako vlnová dĺžka. Zároveň položila základ optického zobrazovania a umožnila tým konštrukciu optických prístrojov, ktoré sú dnes neodmysliteľnou súčasťou astronomických observatórií, biologických, ale aj fyzikálnych laboratórií a v neposlednom rade aj v každodennom živote. Nedokáže však vysvetliť niektoré ďalšie javy, napríklad interferenciu alebo difrakciu, ku ktorým by podľa princípov geometrickej optiky vôbec nemalo dôjsť. Odpoveď na to n á m ale môže dať vlnová optika. Avšak ani t á nepozná odpovede na všetky otázky súvisiace s šírením svetla a jeho interakciami s látkou známymi z mikrosveta, napríklad fotoelektrický jav alebo Comptonov rozptyl. Tieto javy zase dokáže objasniť kvantová teória poľa, ktorá predpokladá vlnovo-časticový dualizmus. Hovorí, že svetlo sa šíri ako elektromagnetická vlna, no zároveň m á aj časticový charakter. Pozrime sa ale bližšie na princípy vlnovej optiky. Pretože t á hovorí, že svetlo je vlnenie, tak funkcia ip(x,y, z,ť) popisujúca toto vlnenie by mala vyhovovať vlnovej rovnici: a * - ? ä F . ( L 1 ) kde c je rýchlosť svetla a operátor A je v kartézkych súradniciach definovaný ako _ (¥_ (¥_ (¥_ dx2 dy2 dz2 Pretože svetlo je vlnenie elektromagnetického poľa, tak by malo platiť, že táto funkcia bude súvisieť s vektormi elektromagnetického poľa, ktoré je popísané pomocou Maxwellových rovníc. Pre elektromagnetické pole vo vákuu vytvorené voľnými nábojmi s hustotou q a prúdmi s hustotou j majú nasledujúci tvar: d i v £ = - , (1.3) dB r o t £ = - ä p (1-4) dE , . rot B = Hoj - yLQ£Q — , (1-5) div B = 0, (1.6) kde E je vektor elektrickej intenzity, B je vektor magnetickej indukcie, Eq je premitivita vákua a /xo je permeabilita vákua. V prípade, že v uvažovanom priestore sa nenachádza žiadny zdroj elektromagnetického poľa, Maxwellove rovnice nadobudnú nasledujúci tvar: div E = 0, (1.7) ÔB ^ E = - — , (1.8) dE . . rot B = -fx0e0 — , (1.9) div B = 0. (1.10) 12 Keď teraz napríklad aplikujeme operáciu rotácie na rovnicu (1.8), zderivujeme podľa času rovnicu (1.9) a tieto dva výrazy porovnáme využijúc rovnice (1.7) a identity rot rot = grad div — A , (1-H) dospejeme k vlnovej rovnici pre elektrickú intenzitu: A ^ o f ^ f . ^ (1.12) Podobným spôsobom by sme dostali vlnovú rovnicu pre magnetickú indukciu: A -j d2 B 1 d2 B A 5 = / x 0 . 0 — = - — . (1.13) Týmto sme dospeli k zaujímavému výsledku - časovo premenné elektromagnetické pole môže mať podobu elektromagnetických vln. Tento jav sa využíva napríklad pri konštrukcii vysielačov a antén. Zaujímavejšie ale je, že rýchlosť šírenia tohto vlnenia je konštanta nezávislá na voľbe inerciálnej vzťažnej sústavy. To bol jeden z dôvodov, ktorý viedol Alberta Einsteina k formulácii špeciálnej teórie relativity, ktorá tento princíp postuluje. Pretože sa ukazuje, že elektromagnetické vlnenie je priečne vlnenie, t.j. že elektrické a magnetické pole sa mení v smere kolmom na smer šírenia a v mnohých prípadoch, ktoré budeme uvažovať, výsledok nebude závisieť na smere, v ktorom sa táto amplitúda mení, môžeme zaviesť matematický model skalárnej vlny ip(x,y, z,ť), ktorá bude vyhovovať vlnovej rovnici: * * - * ä F - ( 1 1 4 ) Vlnová rovnica je lineárna a homogénna, čo má za priamy dôsledok platnosť princípu superpozície. Ten hovorí, že ak homogénna lineárna rovnica m á dve riešenia, tak aj ich ľubovoľná lineárna kombinácia je riešením tejto rovnice. To znamená, že ak sa v nejakom mieste strenú dve vlnenia, v tomto mieste dôjde k ich zloženiu, t.j. dôjde k ich interferencii. V tom spočíva jeden z hlavných rozdielov medzi vlnovou a geometrickou optikou, podľa ktorej by k interferencii vôbec nemalo dôjsť. 1.3 Rovinné vlny Vlnová rovnica (1.14) sa dá riešiť separáciou premenných, takže funkcia ip(x,y, z,t) sa rozpadne na súčin priestorovej zložky ty (x, y, z) a časovej zložky $(í). Pre tieto zložky dostaneme nasledujúce rovnice: í f = -kle2 * EE -U2 *, (1.15) A * + Jfcg* = 0, (1.16) kde ho je zatiaľ neznáma konštanta. Rovnica (1.15) je rovnica harmonických kmitov. Preto by sa dalo povedať, že pole popísané funkciou ip(x,y, z,ť) je ekvivalentné sústave harmonických oscilátorov. Rovnica (1.16) sa nazýva Helmholtzova rovnica. Tú môžeme vyriešiť ďalšou separáciou premenných. T ý m sa funkcia ty (x, y, z) rozpadne na súčin jednotlivých priestorových zložiek tyx(x)tyy(y)tyz(z), pre ktoré zíkavame nasledujúce rovnice: 13 ^ + ^ = 0, (1.17) d 2 * w + A J * , = 0, (1.18) + fc**a = 0, (1.19) dy2 d 2 * dz2 kde konstanty kx, ky a fcz sú viazané pomienkou: kl + fc2 + k2 z = kl (1.20) Keby táto podmienka nebola splnená, získané riešenie by nevyhovovalo Helmholtzovej rovnici (1.16). Vidíme, že takto získané rovnice majú rovnaký tvar ako rovnica harmonických kmitov, len časovú premennú nahradili priestorové premenné. Preto sa niekedy koeficientom kx, ky, kz hovorí aj priestorové frekvencie. Z toho vyplýva, že touto separáciou premenných dostaneme pre každú premennú riešenie v tvare: mó(j) = Aeih íj + Be~ik ij , (1.21) kde j sú postupne priestorové premenné x, y & z. Pretože však platí princíp superpozície a v Helmholtzovej rovnici vystupuje skalár k2 = /c2 + /c2 + /c2 , môžeme zapísať riešenie pomocou separácie v tvare: Íj(x,y,z,t)=A0ei Ckr ^t ), (1.22) kde sme definovali vektory k = (kx,ky,kz) = k^n a r = (x,y, z) = rň' a A0 je konštanta odpovedajúca amplitúde vlnenia. Dvojznačnost znamienka pred členom ut súvisí so smerom šírenia vlnenia - v prípade záporného znamienka sa vlna šíri v kladnom smere vektoru r a v prípade kladného znamienka v zápornom smere. Pretože konštanty u a ho spája rovnica (1.15) a pretože výraz v exponente má význam fázy vlnenia, môžeme tieto konštanty prepísať do nasledujúcej podoby: u = 2nf, (1.23) 2TT/ 2TT ko = —'- = —, 1.24 c A kde / m á význam frekvencie harmonických kmitov a A má význam vlnovej dĺžky. Riešenie vlnovej rovnice, ktoré sme získali, má teda tvar harmonickej monochromatickej rovinnej vlny šíriacej sa v smere vlnového vektoru k. Tento vektor môže mať ľubovoľnú orientáciu v priestore, pretože v Helmholtzovej rovnici vystupuje len veľkosť tohto vektoru. To má spolu s princípom superpozície za následok, že ľubovoľná superpozícia takýchto vln je riešením vlnovej rovnice. Dá sa ale ukázať, že obecné riešenie m á tvar f(kf±ut), kde / ľubovoľná reálna funkcia. Princíp superpozície n á m však v kombinácii s Fourierovou transformáciou umožňuje rozložiť ľubovoľné vlnenie na rovinné monochromatické harmonické vlnenia, preto sa v ďalších úvahách obmedzíme práve na tie. Definíciu a aplikácie Fourierovej transformácie uvedieme neskôr. 14 1.4 Huygensov princíp Jedným z najvýznamnejších modelov kvalitatívneho popisu šírenia vlnenia je Huygensov princíp. Ten vychádza z predstavy šírenia vln prostredníctvom vlnoplôch. Vlnoplocha je taká množina bodov, ktoré kmitajú s rovnakou fázou, napr. rovinná vlnoplocha šíriaca sa v smere osi z je rovina z = konšt. Samotný Huygensov princíp hovorí, že každý bod vlnoplochy šíriacej sa z primárneho zdroja je bodovým zdrojom sekundárneho vlnenia, ktoré m á rovnakú frekvenciu ako pôvodné vlnenie. Výslednú vlnu v ľubovolnom bode potom získame ako superpozíciu týchto sekundárnych vln. Pomocou Huygensovho princípu sa dá kvalitatívne vysvetliť nielen odraz a lom svetla, ale aj ohyb svetla, teda difrakcia. (c) Odraz (d) Lom Obrázok 1.1: Obrázky postupne znázorňujú šírenie, difrakciu, odraz a lom vlnenia pomocou Huygensovho princípu. 1.5 Koherencia Koherencia je termín popisujúci statické vlastnosti svetla, ktoré súvisia okrem iného s pozorovatelhosťou interferenčných javov. Keď totiž popisujeme reálne žiarenie, musíme vziať do úvahy fluktuácie spôsobené náhodilosťou zdroja alebo prostredia. Klasická teória koherencie preto pracuje so statickými strednými hodnotami fyzikálnych veličín (napr. vlnová dĺžka, fáza, frekvencia a pod.). Jedine tie sa totiž dajú merať a to z toho dôvodu, že žiadny merací prístroj nemá nulovú integračnú dobu. T ý m pádom je schopný určiť len strednú hodnotu danej veličiny počas integračnej doby r. Svetlo z tepelných zdrojov je typickým príkladom málo koherentného žiarenia, pretože proces emisie fotónov je takmer úplne náhodný. T ý m pádom nie je možné dopredu určiť, kedy dôjde k emisii fotónu, akú bude mať frekvenciu alebo začiatočnú fázu atď. N a druhej strane laser predstavuje veľmi koherentný zdroj svetla, pretože v tomto prípade dochádza k stimulovanej emisii fotónov, 15 ktoré podľa zákonov kvantovej teórie majú všetky rovnaké vlastnosti. Pravdou ale ostáva, že absolútne koherentné a nekoherentné zdroje sú len matematické modely. Všetky reálne zdroje sú čiastočne koherentné, čo m á za následok definície koherenčnej doby a dĺžky, čo sú intervaly, počas ktorých ešte dochádza k interferencii daného žiarenia. Keď máme napríklad zdroj žiarenia, ktorému odpovedajú vlnové dĺžky A a A + A A , môžeme odhadnúť koherenčnú dĺžku L ako interval, na ktorom dôjde k zmene fázy medzi týmito vlneniami o 2-7T. Bude teda platiť: /1 1 \ A2 2irL i — — - — = 2TT L « — . (1.25) VA A + A A / A A y J Koherenčná doba potom bude čas, za ktorý svetlo prejde tento interval, teda L/c. M y ale v nasledujúcich výpočtoch budeme uvažovať vždy koherentné zdroje svetla, teda koherenčná doba aj koherenčná dĺžka sú nekonečné. 1.6 Difrakcia Týmto termínom všeobecne rozumieme ohybové javy, ku ktorým dochádza, keď vlnenie dopadá na prekážku. Makroskopicky sú tieto javy pozorovateľné, keď tieto prekážky majú rozmery porovnateľné s vlnovou dĺžkou použitého žiarenia. Toto pozorovanie prebieha tak, že na tienidle, ktoré je umiestnené za prekážkou, zobrazíme rozloženie intenzity, ktoré vznikne ako dôsledok interferenčných javov. To nám dáva odpoveď na otázku, prečo v našich úvahách predpokladáme koherentné zdroje svetla. Keby tento predpoklad nebol splnený, pozorovali by sme len vytvorenie geometrického tieňa, ktorý odpovedá prekážke. Matematický popis difrakcie vyžaduje riešenie integrálu, ktorého analytické riešenie zatiaľ nepoznáme. Kvôli tomu vznikli dva modely, ktoré popisujú výsledok difrakcie buď zbiehavými lúčmi veľmi blízko pri prekážke (väčšinou budeme mať na mysli otvor, resp. štrbinu) - Fresnelova difrakcia, alebo naopak rovnobežnými lúčmi vo veľkej vzdialenosti od prekážky - Fraunhoferova difrakcia. Fraunhoferovou difrakciou sa budeme detailnejšie zaoberať v nasledujúcej kapitole, preto sa teraz bližšie pozrieme na Fresnelovu difrakciu. Tá predpokladá malú vzdialenosť od štrbiny, kedy sekundárne vlnoplochy musíme považovať za sférické a lúče prichádzajúce do bodu pozorovania teda nemôžeme považovať za rovnobežné. Z experimentov vyplýva, že ak na štrbinu dopadá rovinné monochromatické žiarenie s vlnovou dĺžkou A, tak na tienidle, ktoré sa nachádza ihneď za štrbinou, vidíme ostrý obraz tejto štrbiny. Keď ale toto tienidlo budeme postupne posúvať ďalej od štrbiny, pozorujeme, že na okraji obrazu štrbiny vznikajú svetlejšie a tmavšie pásiky, ale k výraznejšej deformácii obrazu nedochádza. Práve tento jav Fresnelova difrakcia popisuje. Núka sa otázka, v akej vzdialenosti od štrbiny je hranica Fresnelovej a Fraunhoferovej difrakcie. Nemá však presnú odpoveď. Aby sme ale mohli urobiť odhad tejto hranice, tak potrebujeme znalosť modelu Fresnelových zón (prečo je to tak ukážeme v sekcii 2.3.2). Samotné zóny skonštruujeme v rovine štrbiny pomocou sústredných sférických plôch so stredom v bode pozorovania P. O bode P pre jednoduchosť predpokladáme, že leží na osi, ktorá je kolmá na rovinu štrbiny a prechádza stredom štrbiny. Vzdialenosť bodu P od stredu štrbiny označíme ako z. Priesečníky týchto sfér s rovinou štrbiny sú sústredné kružnice so stredom splývajúcim so stredom štrbiny. Plochy vymedzené dvomi takýmito susednými kružnicami sú potom Fresnelove zóny (viď. obrázok 1.2). Pre jednotlivé zóny platí, že fázový rozdiel lúčov prichádzajúcich z vonkajších okrajov dvoch susedných zón do bodu P je práve n. Pre polomer n-tej Fresnelovej zóny potom platí vzťah: 16 (a) Pohľad zboku (b) Pohľad spredu Obrázok 1.2: Konštrukcia Fresnelových zón. R,'TI (1.26) Z konštrukcie Fresnelových zón je zrejmé, že vzájomné zloženie vlnení vychádzajúcich z dvoch susedných zón vedie k zoslabeniu intenzity v bode P, pretože v tomto bode interferujú s opačnou fázou. Výsledná intenzita v bode P bude potom závisieť na tom, koľko celých Fresnelových zón daný otvor prepustí. V prípade, že cez otvor prejde párny počet zón, intenzita bude mať v bode P minimum a v prípade, keď je tento počet nepárny, bude mať intenzita v tomto bode maximum. Keby sme bod P umiestnili na iné miesto v rovine z = konšt., tak počet zón, ktoré otvor prepustí, bude všeobecne iný než počet zón odpovedajúci pôvodnej polohe bodu P. Týmto sa dajú vysvetliť svetlejšie a tmavšie pásiky, ktoré pozorujeme na okraji obrazu štrbiny. Keď z rovnice (1.26) vyjadríme n: a namiesto Rn dosadíme najväčší rozmer štrbiny, dostaneme definíciu tzv. Fresnelovho čísla. A k je toto číslo výrazne menšie ako 1, môžeme uvažovať Fraunhoferovu difrakciu. A k je ale toto číslo väčšie ako 1, musíme už uvažovať Fresnelovu difrakciu, pretože veľkosť otvoru je porovnateľná s polomerom fresnelovej zóny. 17 1.7 Fourierova transformácia Jedná sa o matematický objekt, ktorý má vo fyzike široké uplatnenie - stretneme sa s ňou vo fyzike pevných látok, v kvantovej mechanike a v neposlednom rade aj v optike. Jej definícií je niekoľko, väščinou sa od seba líšia len rozmiestnením konštánt. M y definujeme N- rozmernú Fourierovu transformáciu J7 {f {r}} funkcie f (f) a inverznú Fourierovu transformáciu Jr ~1 {F(k)} funkcie F (k) integrálmi: Hf (r)} = F{k) = w ••• f (r) e-ikr ~dN ř (1.28) (27r)2 J JRN F-'iFik)} = f (f) = — ^ [••• í F{k) é ? á N k (1.29) (27r)2 J JRN Predpokladá sa pritom, že funkcie f (r) a F (k) sú absolútne integrovateľné, po častiach hladké a s reálnymi premennými r, k G M.N . Integrály v rovniciach (1.26) a (1-27) sa nazývajú aj Fourierove integrály. Dá sa ukázať, že platí: r - 1 inm}}=F{r-i {f(ŕ)}} = f(r). (i.3o) Táto veta sa niekedy nazýva aj fundamentálna veta o Fourierovej transformácii. Dôkaz naznačíme pre jednorozmerný prípad, v N-rozmernom prípade by sa postupovalo analogicky. Priamo z definície vyplýva: J"-1 {HfW}} = ídk f dx'f{x')ék ^'\ (1.31) ^7R JR JR Keď zameníme poradie integrácie, na pravej strane dostaneme Diracovu ô- distribúciu a dôkaz je tým pádom hotový: / dx'f(x')^- í dkék(x -x,) = í dx'f(x')S(x-x') =f(x). (1.32) JR 27T JR JR Platnosť vzťahu J _ ľ eM*-x')ák = S(x _ x') (L33) 27T JR môžeme dokázať tak, že funkciu elk (x ~x ') formálne vynásobíme funkciou lime ^o e_ e f c 2 . Potom budeme môcť integrál (1.33) vypočítať analyticky: hm - 1 ľ e ^ d k = h m i / e - ^ = { ° ° ' k e ď X = X ' . (1.34) e^o 2TT Jr e^o 2TT V e | 0, keď x ŕ x' v 1 Ďalšou integráciou cez x1 ukážeme normovanie: lim / — J-e —dx' = l. (1.35) Vidíme, že vlastnosti integrálu (1.33) skutočne odpovedajú vlastnostiam ô - distribúcie. Význam Fourierovej transformácie v teórii difrakcie si podrobnejšie ukážeme v nasledujúcej kapitole. 18 Kapitola 2 Fraunhoferova difrakcia ako Fourierova transformácia funkcie priepustnosti V tejto a v nasledujúcej kapitole sa budeme zaoberať riešením difrakčných integrálov z pohľadu fourierovskej optiky. Mnohé z odvodení a výpočtov je možné nájsť napríklad v [3,9,11,12]. M y ale v tejto práci uvádzame pri výpočtoch vlastné postupy. 2.1 Funkcia priepustnosti Uvažujme objekt, ktorý je dostatočne tenký na to, aby sme ho mohli považovať za rovinný. Ďalej predpokladajme, že týmto objektom môže aspoň v niektorých miestach prechádzať vlnenie. Toto vlnenie je tesne za objektom charakterizované funkciou ip (£, rj). A k by tam tento objekt nebol, v tej istej rovine by bolo to isté vlnenie charakterizované funkciou ipo (£,77). Funkciu priepustnosti môžeme potom definovať nasledujúcim spôsobom: Je zrejmé, že charakterizovať objekt takto definovanou funkciou priepustnosti m á zmysel len vtedy, keď táto funkcia je v rozumných medziach nezávislá na dopadajúcej vlne (t.j. na jej tvare, uhle dopadu apod.) a platí, že \P(£,r))\ < 1. Pretože v súvislosti s difrakciou máme väčšinou na mysli otvor v tienidle, budeme naďalej namiesto objektu hovoriť o otvore. 2.2 Rozklad vlnovej funkcie do rovinných vln V tejto sekcii odvodíme vzťah pre výpočet vlnovej funkcie potom, čo vlnenie, ktoré táto funkcia popisuje, dopadne na otvor, ktorý je popísaný funkciou priepustnosti (2.1). Pritom budeme vychádzať len z toho, že poznáme tvar vlnovej funkcie v rovine z = 0 (t.j. v rovine otvoru). Budeme teda predpokladať, že na otvor dopadá monochromatické vlnenie a že zdroj vlnenia sa nachádza len v jednom polpriestore vymedzenom touto rovinou. Ďalej zvolíme z > 0 v tom polpriestore, v ktorom sa tento zdroj nenachádza. Táto situácia je znázornená na obrázku 2.1. Pre jednoduchosť a prehľadnosť výpočtu budeme uvažovať čas t = 0. Vlnovú funkciu ip (x, y, z) vyjadríme pomocou Fourierovho integrálu [11]: 19 ý (x, y, z) 1 2^ (2.2) Núka sa otázka, prečo sme vyjadrili funkciu troch premenných pomocou dvojného Fourierovho integrálu. Musíme si však uvedomiť, že pre monochromatické vlnenie platí \k\ — k0 = konšt. a preto kz bude závisieť na kx a ky nasledujúcim spôsobom: k2 — k2 — k2 kprľ k2 4- h2 < k2 iykx + ky ^o; ked fc^ + fc^ > fcg (2.3) "x Obrázok 2.1: Popis uvažovanej situácie. Integrál v rovnici (2.2) m á tvar inverznej Fourierovej transformácie, preto môžeme funkciu ip (kx, ky) vyjadriť pomocou Fourierovej transformácie funkcie ip (x, y, 0) = ip (£, rf): $ (kx, ky) = - L í í i) (£, v) e - ^ + ^ d č drj. ^ J JK2 (2.4) Integrál (2.4) sa dá ešte upraviť, keď predpokladáme, že na otvor dopadá rovinná monochromatická vlna šíriaca sa v smere osi z. V takom prípade je ipo (£, rj) = A0 = konšt. a s využitím rovnice (2.1) môžeme dosadiť do rovnice (2.4): ip (kx, ky) (2TT)S d£ d?7. (2.5) Po dosadení tohto výsledku do rovnice (2.2) dostávame integrál: A0 ý (x, y, z) (2TT)S P(^r])elkr d^dr]dkxdk u- (2.6) kde sme definovali vektory f a k nasledujúcim spôsobom: ŕ=(x-t,y-ri,z) = r (x, Y, Vl - X2 - Y2 ) ; k = (kx, ky, kz) = k0 (X', Y', Z') (2.7) 20 Koeficienty X, Y, resp. X', Y', Z' sa niekedy zvyknú nazývať smerovými kosínusmi. Integrál v rovnici (2.6) m á bezprostredný fyzikálny význam - jedná sa o dôsledok Huygensova princípu, t.j. že vlnenie v ľubovolnom bode, kam sa toto vlnenie šíri, získame ako superpozíciu vlnení, ktoré sa šíria z bodových zdrojov ležiacich na primárnej vlnoploche. V našom prípade primárnou vlnoplochou rozumieme rovinu z = 0 s rozložením amplitúdy, ktoré je dané funkciou priepustnosti P(£,r)). Zároveň n á m hovorí, že vlnu šíriacu sa z takéhoto zdroja možno chápať ako superpozíciu rovinných vln šíriacich sa všetkými možnými smermi a v danom bode musíme teda uvažovať aj príspevky vln, ktoré sa nešíria zo zdroja priamo do bodu pozorovania. Nasledujúcimi výpočtami však ukážeme, že tie vlny, ktoré sa nešíria zo zdroja priamo do bodu pozorovania, v tomto bode zinterferujú deštruktívne, pretože ich fáza sa v danom bode rýchlo mení v závislosti na smere šírenia. Definícia kz v rovnici (2.3) by sa dala interpretovať takto - v prípade, keď je kz reálne, hovoríme o tzv. šíriacich sa vlnách a v prípade, keď je kz imaginárne, hovoríme o tzv. evanescentných vlnách. Tieto sa šíria v rovine z = konšt. a ich amplitúda exponenciálne klesá s rastúcim z. M y však budeme predpokladať, že z 3> A, teda príspevok evanescentných vín môžeme zanedbať a uvažovať len príspevok šíriacich sa vín. Ďalej zavedieme substitúcie: kx = k0 (X + u), dkx = k0 du ky — ko (Y + v), dky = ko dv kz = k0^/l-(X + uf -(Y + vf Premenné u a v majú práve význam odklonu šírenia vlny od priameho smeru zo zdroja do bodu pozorovania. Skalárny súčin vektorov kar potom bude vyzerať nasledovne: (2.8) kf — k0r x ( x + K ) + y ( Y + „)+ ( 1 _ x > - y ) J i - 2 < X \ + _ Y £ : £ + *- (2.9) Výraz z rovnice (2.9) môžeme ďalej upraviť za predpokladu, že zlomok pod odmocninou je veľmi malý. Potom môžeme použiť aproximáciu: 2 (Xu + Y v) + u2 + v2 Xu + Y v u2 + v2 1 — X2 — Y2 ~ ~ 1 — X2 — Y2 ~ 2(1 — X2 — Y2 ) ^ ' ' a keď tento výraz dosadíme do rovnice (2.9), dostaneme: k ř = k 0 r ( l - ^ p ? - Y (2.11) Ďalej v rovnici (2.6) zameníme poradie integrácie a po dosadení výsledku z rovnice (2.11) dostaneme vzťah: 1>(x,y,z) = ^ f f d£driP(Z,ri)ď«r f f e ^ ^ d u d v . (2.12) (27T) J J]R2 J 7 M 2 Vidíme, že fáza vlny v bode pozorovania je priamo úmerná druhej mocnine odklonu od priameho smeru zo zdroja do tohto bodu, teda čím je tento odklon väčší, t ý m rýchlejšie sa mení aj fáza. Dvojný integrál cez u a v vyriešime pomocou substitúcie: 21 ik0rf = t2 Vhř du = dt (2.13) Touto substitúciou získame integrál z e *2 , čo sa rovná y/Ťr. Využijúc skutočnosť, že ko 2 f) získavame nasledujúci vzťah: ý (x, y, z) -L4o A 3ifc0r d£ di]. (2.14) Ďalej budeme predpokladať, že difrakčný obrazec pozorujeme velmi daleko od objektu, na ktorom k difrakcii došlo a preto môžeme tento objekt považovať za velmi malý. To odpovedá aproximácii, ktorá vedie na Frauhoferovu difrakciu. Potom platí: r = J (x - {f + {y - rif + z2 « ^ x2 + y2 + z2 f 1 ^ = = = = y \J x1 + y1 + z1 (2.15) v exponente a v menovateli r ~ ro, kde vektory r a r~o odpovedajú značeniu na obrázku 2.1. Tieto rozdielne prístupy môžeme odôvodniť tak, že funkcia elh °r je rýchlo oscilujúca funkcia a aj malé prírastky môžu spôsobiť veľké rozdiely vo fáze. N a druhej strane funkcia - je monotónna funkcia a pre veľké hodnoty r ju môžeme považovať za konštantnú. Týmito úpravami dospejeme k výsledku: j = r o ( l - * ± w ) Í> (x, y, z) ~ i>(k0) = - ^ e i f c o r o / / P (^ rj) e~ik °^d^ dr] = AD í í P (f') e ' ^ ' d V ' , (2.16) kde sme definovali vektory ko = f^(^, y, z) a ř ' E (£, 77, 0) v súlade so značením použitom v obrázku 2.1. Vidíme, že vo vzťahu (2.16) vystupuje pred integrálom faktor — i , ktorý odpovedá posunu fázy o — | . Tento faktor súvisí s tzv. Gouyovou fázou, ktorá je popísaná napríklad aj v [16]. Výsledok (2.16) je zhodný so vzťahom pre výpočet Fraunhoferovej difrakcie uvedeným napríklad v [3,9]. Skutočnosť, že tento vzťah je formálne zhodný s Fourierovou transformáciou funkcie priepustnosti, n á m umožní neskôr vykonať niekoľko numerických výpočtov súvisiacich práve s Fraunhoferovou difrakciou. V ďalších výpočtoch budeme hľadať funkciu z), ktorá bude riešením integrálu: V{x,y,z)= [f P (f') e-i f c °r ""d2 f', (2.17) J J R2 Pri určovaní rozloženia intenzity využijeme vzťah vychádzajúci z teórie elektromagnetického poľa: (2.18) M y však budeme predpokladať rovnosť ľavej a pravej strany, pretože nás bude predovšetkým zaujímať relatívne rozloženie inetenzity. 22 2.3 Analýza použitých aproximácií V predchádzajúcej sekcii sme pri výpočte difrakčného integrálu použili dve aproximácie, ktoré sú popísané v rovniciach (2.10) a (2.15). Najmä prvá z nich sa zdá byť neprimeraná, pretože na jednej strane predpokladáme, že zlomok pod odmocninou je veľmi malý, na strane druhej integrujeme cez celú množinu reálnych čísel. V nasledujúcej časti však ukážeme, že tieto dve protichodné podmienky môžu mať nenulový prienik. 2.3.1 Analýza aproximácie (2.10) Najprv sa pozrieme na integrál cez u v rovnici (2.12). Ukázali sme, že platí: f(u)du =Im e~^u du Rc 7T k0r' (2.19) Je zrejmé, že primitívna funkcia F (x) k funkcii f (u) má v bodoch — oo a oo vlastnú limitu. Zároveň sa ukazuje, že táto funkcia je Cauchyovská, t.j. že pre ľubovoľné e > 0 existuje bod u0 taký, že pre každé a, b > u0 platí: \F(a)-F(b)\ < e. (2.20) Pri hľadaní UQ budeme vychádzať z toho, že v našom prípade máme funkciu zadanú integrálom: F (x) Najprv ale určíme jej limitu v bode oo: k0r f(u)du. lim F (x) x—^oo c(>s | —^u2 I du (2.21) (2.22) x Obrázok 2.2: Graf znázorňujúci priebeh funkcie F (x) pre hodnotu k^r = 1. Vidno, že tento integrál konverguje v bodoch ± o o k hodnotám ± J . 23 Z parity funkcie F (x) (viď. Obrázok 2.2) vyplýva, že limita v bode —oo sa rovná —I. Ďalej využijeme Cauchyovskosť funkcie F (x) a budeme hľadať body a a b také, aby bola splnená podmienka (2.20). Najjednoduchšie sa javí nájsť dva susedné priesečníky reálnej časti f (u) s osou x {«„_!,«„}, pričom: \F(a)-F(b)\ cos k0r o u du (2.23) Tieto priesečníky nájdeme riešením nasledujúcej rovnice: cos hr -u 0 (2n+ 1) 7T /c0 r (2.24) Hodnotu \F(a) — F (b) | určíme tak, že na intervale [ « n _ i , « J nahradíme funkciu cos (^u2 ) funkciou cos (au) tak, aby jej dva susedné priesečníky odpovedali bodom M„_I a un. Potom môžeme využiť vzťah pre výpočet integrálu funkcie cos(x) medzi dvoma susednými koreňmi: cos (au) du «71-1 \ur. Ti Un-l] • Využijúc rovnice (2.23) môžeme dosadiť do podmienky (2.20): T " cos k 0r 2 I i u du wkor (\/2ra + 1 - y/2n - l ) < 2Je. (2.25) (2.26) e tak, ako sme ho definovali, m á v podstate význam relatívneho prírastku vzhľadom k hodnote 21, čo je hodnota integrálu funkcie f (u) cez celú reálnu os. Po úprave dostaneme: \/2n + 1 - y/2n - 1 < Ie\fn~k^r Riešením tejto nerovnice získavame podmienku pre n: 1 + ne = e. (2.27) (2.28) Využijúc toho, že v dolnej medzi integrálu sme mali koreň un-i, ktorý tiež ešte spĺňa podmienku (2.20) a že úloha je symetrická (pre zápornú poloos by sa akurát otočila nerovnosť), môžeme formulovať podmienku pre UQ: kol > n n 4/ ne (2.29) kor e y kor Vidíme, že veľkosť u záleží nielen na tom, ako presne počítame, ale aj na hodnote celkového integrálu. Keď teda budeme uvažovať elektromagnetické vlnenie vo viditeľnej oblasti a vzdialenosť r ~ 101 m, potom I ~ 10~5 a ak budeme požadovať presnosť e ~ 10~4 , zistíme, že pre u ~ 1 0 _ 1 už daný integrál konverguje k hodnote, ktorú by sme získali, keby sme integrovali cez celú reálnu os. Teraz sa ale vráťme k samotnej aproximácii (2.10). Pre účely odhadu budeme predpokladať, že u ~ v. Pretože sa ukazuje, že keď dosadíme z&u &v hodnoty rádu 1 0 ~ 2 - 1 0 _ 1 (tieto ešte spĺňajú podmienku (2.29)), tak pre rozumné hodnoty smerových kosínusov X, Y (t.j. 1-^1) 1^1 < 0,4) sa dá zlomok pod odmocninou v rovnici (2.10) ešte považovať za veľmi malý. To n á m umožní urobiť nasledujúci odhad: 24 V 1 - X 2 - Y 2 Výraz na pravej strane upravíme s využitím zobecnenej binomickej vety: (2.31) Ako sme ukázali pre prípad viditeľného žiarenia, stačí n á m u ~ 1 0 _ 1 a zjavne platí, že už druhý člen rozvoja je oveľa menší ako jedna, t .j. že u2 1. T ý m sme ukázali, že aj pre hodnoty u natoľko malé, aby sme mohli urobiť aproximáciu (2.10), môže integrál (2.19) konvergovat k hodnote, ktorú by sme dostali, keby sme integrovali cez celú reálnu os. Týmto sme zároveň dali opodstatnenie ešte jednej skutočnosti - dvojný integrál cez u a v rovnici (2.12) sme robili cez celú množinu M.2 , pritom sme však zanedbali evanescentné vlny. Mali by sme teda správne písať, že integrujeme cez množinu k2 + k2 < k\. Ako sme však teraz ukázali, výsledok by bol rovnaký. 2.3.2 Analýza aproximácie (2.15) V tejto sekcii budeme skúmať, pre akú veľkosť otvoru | ^ m a x | m á ešte táto aproximácia zmysel. Budeme teda riešiť nerovnicu: roy 1 - 2 x U a X r , - r 0 ( l - 25 m. V praxi ale môžeme túto vzdialenosť zmenšiť tak, že za otvor, na ktorom k difrakcii došlo, umiestnime šošovku 25 tak, ako je to znázornené na obrázku 2.3. Vzniknutý obrazec premietame do ohniskovej roviny tejto šošovky, ktorá sa niekedy zvykne nazývať aj fourierovská šošovka, pretože sprostredkúva Fourierovu transformáciu funkcie, ktorou je popísaný otvor, na ktorom došlo k difrakcii. Mohlo by sa zdať, že by v princípe táto šošovka mohla byť umiestnená aj v tesnej blízkosti tohto otvoru. Pretože však platí fundamentálna veta o Fourierovej transformácii (1.30), tak by malo platiť, že keby sme pomyselne otočili chod lúčov z roviny tienidla smerom k rovine otvoru, tak by sme v tejto rovine mali dostať obrazec, ktorý by odpovedal pôvodnému otvoru a to je možné len vtedy, keď je rovina otvoru totožná s ohniskovou rovinou danej šošovky. Obrázok 2.3: Experimentálne usporiadanie Fraunhoferovej difrakcie (Fourierovej transformácie funkcie priepustnosti). 26 Kapitola 3 Príklady analytických výpočtov 3.1 Difrakcia na ideálnej lineárnej mriežke Prvé dva príklady výpočtu pomocou vzťahu (2.17), ktoré tu uvedieme, budú výpočty difrakcie na lineárnej mriežke. Lineárna mriežka predstavuje objekt tvorený TV obdĺžnikovými otvormi, ktorých stredy ležia na jednej osi, ktorú budeme nazývať os lineárnej mriežky. Vzdialenosť stredov dvoch susedných obdĺžnikov budeme nazývať mriežková konštanta a označíme ju p. Najprv ale uvažujme ideálnu mriežku, kde rozmery otvoru môžeme zanedbať. Jedná sa však len o matematický model, pretože pri praktickej realizácii by sme narazili na problém, že cez takýto otvor by vlnenie takmer vôbec neprechádzalo. Uvažujme teda funkciu priepustnosti v nasledujúcom tvare: N-l P(0^Sj2^-mP)ô(rj), (3.1) m=0 n < > _ p š Obrázok 3.1: Ideálna lineárna mriežka (os lineárnej mriežky je v tomto prípade totožná s osou £). kde faktor S zohľadňuje práve skutočnosť, že čím je otvor menší, tým menej žiarenia cezeň prechádza. Riešením integrálu (2.17) potom dostaneme výsledok: N-l _ i A ľ f c o J ! L „ e r ol -ik0—p , Pre rozloženie intenzity potom bude platiť: _ — " » M J — ľ "1 9{x, y, z) = 9{x, Z)=SJ2 e~i{k 4t- (3-9) ~ nN y ' Vidíme, že čím je počet vrypov väčší, tým m á mriežka lepšie rozlíšenie. 28 3.2 Difrakcia na reálnej lineárnej mriežke V predchádzajúcej sekcii sme ukázali, aké by malo byť rozloženie intenzity ideálnej lineárnej mriežky. Toto rozloženie však nezodpovedá pozorovaniam, pretože v reálnom experimente pozorujeme to, že hodnoty intenzity sa v rámci jednotlivých maxím výrazne líšia a že niektoré maximá sa neobjavia vôbec. V tejto sekcii ukážeme, že je to spôsobené práve tým, že sme predtým zanedbali rozmery otvorov. Budeme teda uvažovať lineárnu mriežku s otvormi v tvare obdĺžnikov s rozmermi a a b, ako je uvedené na obrázku 3.3. Príspevok od m-tého otvoru získame riešením integrálu (2.17): n < > a Obrázok 3.3: Reálna mriežka. tym (x, y, z kde sme označili vektor ko #m (x, y, z) = abe-iko *mp d£ di], (3.10) Mi | ro x, y, z) = (kox, koy, koz). Po integrácii dostaneme výraz: sin (fcbaf) sin {k 0y\) v 0x 2 b b (3.11) Výsledný tvar vlny získame ako sumu príspevkov od všetkých otvorov. Tak dostaneme výsledok: N-l V(x,y,z) = J2^ e-iNk0xp p-ikoxP - m=0 sin (fctof) sin (koyi) b a ft-Ox 2 h b (3.12) Pre rozloženie intenzity bude potom platiť: 2 7,2 az b srn srn (Nk04) {koxl) srn (fcoxf) srn h 0x 2 b b (3.13) Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku 3.4. Keď sa pozrieme na vzťah (3.13), vidíme, že sa jedná o súčin dvoch faktorov. Prvý z nich odpovedá difrakcii na ideálnej mriežke s TV vrypmi - mriežkový faktor - a druhý odpovedá difrakcii na jedinom otvore - otvorový faktor. Analýzou mriežkového faktoru získame známu podmienku pre polohu n-tého maxima: x p— = p s i n á = nX. (3.14) Keď ale zohľadníme aj podmienku pre polohu m-tého minima vyplývajúcu z analýzy otvorového faktoru 29 - Mriezkový faktor - Otvorový faktor - Výsledná intenzita Obrázok 3.4: Graf znázorňujúci rozloženie intenzity odpovedajúce difrakcii na reálnej lineárnej mriežke = 13, = 0 , ľ ) . x . a— = a srna = m\. (3.15) vidíme, že môže existovať bod, v ktorom obidve podmienky budú splnené a v tomto bode maximum vymizne. To je jeden z rozdielov v zobrazovaní ideálnou a reálnou mriežkou. 3.3 Difrakcia na kruhovom otvore Ďalším zaujímavým príkladom na výpočet pomocou Fraunhoferovho integrálu je difrakcia na kruhovom otvore. Budeme teda riešiť nasledujúci integrál: V(x,y,z)= J J e"i f c o (2 S ^)dedr7, (3.16) §2+^2 .approx (x, y, z) -iA °se " (3.27) (3.28) A r 0 Vidíme, že toto riešenie dobre aproximuje výsledok (3.27) v prípade, k e ď r 0 > A a zároveň z ~ r 0 . V rovnici (3.27) sa navyše objavuje člen, ktorý veľmi rýchlo konverguje k nule, preto v praxi jeho príspevky nepozorujeme. Aj keby sme boli schopní umiestniť detektor do takej vzdialenosti, v ktorej by sa tieto príspevky už dali pozorovať, narazíme na problém, že skutočný otvor nikdy nie je bodový, nehovoriac o tom, že v dôsledku faktoru S bude intenzita prechádzajúceho žiarenia klesať so zmenšujúcimi sa rozmermi otvoru až nakoniec toto žiarenie nebude schopné cez tento otvor prechádzať. Preto je zatiaľ tento člen v rovnici (3.27) len teoretickou predpoveďou. Obrázok 3.9: Obrázky postupne znázorňujú funkcie z = 2. Vidíme, že riešenie (3.28) dobre aproximuje výsledok v prípade, keď z ~ r 0 . '•o ro ro pre hodnotu 33 Kapitola 4 SLM — Priestorový modulátor svetla 4.1 Úvod Mnohé zaujímavé optické aplikácie sú založené na princípe ovládania fázy, resp. amplitúdy použitého žiarenia. Na to existuje niekoľko spôsobov, napríklad prostredníctvom priestorového modulátoru svetla. Priestorový modulátor svetla ( S L M - spatial light modulátor) je dynamické zariadenie schopné modulovat' amplitúdu, fázu alebo polarizáciu dopadajúceho vlnenia a to prostredníctvom počítačového ovládania komplexnej funkcie priepustnosti P(£, 7)) jednotlivých pixelov, ktoré tvoria S L M [5]. Hoci výskum v oblasti optického spracovania začal ešte pred vynájdením S L M , bol to práve koncept dynamických optických elementov, ktorý pomohol odhaliť väčšinu možností využitia, ktoré poznáme dnes. Signál, ktorý prenáša informácie, býva väčšinou elektrický alebo optický [15]. Podľa mechanizmu, ktorým dochádza k zmenám optických vlastností materiálu, z ktorého je S L M vyrobené, rozlišujeme tieto základné typy S L M : elektrooptické, optooptické, mechanooptické a magnetooptické [5]. Podľa toho, ako sa svetlo šíri po dopade na S L M , rozoznávame S L M na odraz a na prechod. Je zrejmé, že využitím rôznych fyzikálnych princípov a materiálov na detekciu a moduláciu, či už vstupného signálu alebo dopadajúceho žiarenia, môžu vznikať rozmanité návrhy priestorových modulátorov. Konkrétny návrh je väčšinou daný aplikáciami, na ktoré dané S L M má byť využívané [15]. Samotná modulácia svetla nastáva v dôsledku zmien optických vlastností jednotlivých pixelov, z ktorých sa S L M skladá. Tieto zmeny sú realizované väčšinou prostredníctvom anizotropných materiálov (napr. tekutých kryštálov), u ktorých optické vlastnosti môžeme meniť práve napríklad priložením elektrického poľa. Anizotropné materiály môžu buď stáčať rovinu polarizovaného svetla alebo meniť fázu tohto svetla prostredníctvom zmeny indexu lomu. Podľa toho potom rozdeľujeme S L M na dva základné typy - amplitúdové a fázové. V prvom prípade sa využíva práve stáčanie roviny polarizovaného svetla, vlastná modulácia amplitúdy je realizovaná pomocou polarizačných filtrov. Funkcia priepustnosti m á tvar reálnej funkcie dvoch premenných a nadobúda hodnoty z intervalu [0,1]. Na princípe zmeny indexu lomu zase fungujú fázové S L M , ktoré nás budú zaujímať predovšetkým. Ich funkcia priepustnosti m á tvar e^'v \ kde fázová funkcia 4>(C,v) môže nadobúdať väčšinou len hodnoty z intervalu [0,2%]. 4.2 Možnosti využitia Priestorový modulátor svetla je možné využiť v širokej škále aplikácií. Azda najčastejšie sa s priestorovými modulátormi stretneme v digitálnych projektoroch a veľkoplošných 34 projekčných systémoch. Vďaka ich schopnosti modulovat' fázu sa stále častejšie využívajú v dvojrozmernej aj trojrozmernej [19] digitálnej holografii, prípadne aj v vo fázovej a interferenčnej mikroskopii [18]. V súvislosti z holografiou sa uvažuje o ich využití v zdravotníctve, kde by mohli napríklad spolu s fotovoltaickou retinálnou protézou [13] slúžiť na obnovu zraku [8]. Tento systém m á niekoľko výhod oproti iným podobným systémom (napr. elektrický stimulátor sietnicových neurónov spojený s fotoaparátom, fotodiódová matica, L C D zobrazovacie systémy,...), pretože nevyžaduje externý zdroj energie a teda ani zavádzanie káblov skrz očný sklovec [2], zachováva spojitosť medzi pohybom očí a vizuálnou informáciou, vyznačuje sa vysokou efektivitou (nedochádza k pohlteniu svetla na tmavých plochách výsledného obrazu) a v neposlednom rade sa jedná o kompaktný systém, ktorý sa dá umiestniť aj na okuliare [8]. S L M sa tiež využívajú pri manipulácii s laserami s vysokou energiou [4], dokonca je možné pomocou nich fokusovat svetlo aj za vrstvou rozptyľujúceho materiálu [17]. Vďaka tomu môže S L M slúžiť napríklad aj ako optická pinzeta [10] alebo na intrakavitárne tvarovanie zväzku [4]. Pretože S L M je dynamicky konfigurovatelný element, ktorý je možné programovať v reálnom čase, uvažovalo sa aj o jeho aplikácii v optickej komunikácii [1]. Ako vidno, S L M m á skutočne širokú škálu využitia. M y sa v tejto práci zameriame predovšetkým na zobrazovanie pomocou S L M , uvedieme difrakčné limity a uvedieme aj proces tvorby hologramov. Obrázok 4.1: Hologram vytvorený ideálnym S L M . 4.3 Difrakčné limity Pri popise šírenia svetla, ktoré dopadá na S L M , si musíme uvedomiť, že S L M je v podstate mriežka, ktorá m á konečné rozmery. Mali by sme teda uvažovať difrakciu na mriežke, ktorá je daná rozmiestnením pixelov. V našich výpočtoch pre jednoduchosť budeme predpokladať, že vzdialenosť medzi pixelmi je nulová a tento jav tým pádom nemusíme uvažovať. S konečnými rozmermi však súvisí difrakcia na obrube S L M , ktorú priblížime podrobnejšie neskôr. Ďalší jav, ktorý by sme mali pri úvahách o šírení svetla dopadajúceho na S L M zohľadniť, je fakt, že funkcia priepustnosti môže nadobúdať len hodnoty z určitého intervalu. 35 Dochádza tým teda k redukcii hodnôt funkcie priepustnosti a aj k ich diskretizácii, pretože v rámci jedného pixelu môžeme nastaviť len jednu hodnotu indexu lomu. Tieto efekty majú za následok tvorbu ostrých prechodov, čím vzniká ďalšia mriežka, ktorej budeme hovoriť fázová. V určitých prípadoch môže dokonca dôjsť k tomu, že fázová modulácia nebude prebiehať na intervale [0, 27r], ale napríklad na intervale o niečo menšom [0, en] . V nasledujúcich častiach si priblížime vplyv difrakcie na fázovej mriežke za predpokladu: a), že dochádza len k redukcii hodnôt a b), že dochádza aj k ich čiastočnej deformácii. V oboch prípadoch budeme pri tom uvažovať odklon zväzku o uhol a od priameho smeru. 4.3.1 Difrakcia na fázovej mriežke — redukcia hodnôt Odklon zväzku o uhol a od priameho smeru môžeme dosiahnuť funkciou preipustnosti, ktorá má tvar: P (£) = e1 t Obrázok 4.2: Blejzovaný profil fázovej funkcie odpovedajúcej odklonu zväzku o uhol a. Matematicky sa dá táto funkcia zapísať takto: 0(0 = h £ + m2?r; £ e [0 + mp; p + mp), m e { 0 , 1 , 2 , N — 1}, (4.2) kde sme definovali mriežkový parameter p nasledujúcim spôsobom: (p) = 2TT, Np = D, (4.3) kde D je rozmer uvažovaného S L M . Malo by platiť, že hodnota parametru p by mala byť rádovo väčšia ako rozmer pixelov, aby sme nemuseli uvažovať aj diskretizáciu hodnôt. Aby sme sa vyhli bodom nespojitosti, môžeme túto funkciu zapísať aj v tvare Fourierovho radu: oo Ľ 1 1 > l 2 M S1I1 0(O=TT-2^ \ P (4.4) n=l Takto definovanú funkciu priepustnosti dosadíme do difrakčného integrálu (2.17) a získame tým príspevok od pomyselného m-tého otvoru pracovnej mriežky \ ř m : #m (x, z) = í e - i ( x - f c l ) ? d £ ; £ G [0 + mp; p + mp). (4.5) 36 Po integrácii a sčítaní všetkých príspevkov dostaneme nasledujúci výraz: m=0 1 e kde sme pri úprave využili skutočnosť, že el2n = 1. Tento výraz sa dá ďalej upraviť pomocou definície mriežkového parametru p: , s s i n Í A f ) e-íNKP_1 $ ^ ^ v - 4 - ^ - i e ( 4 -7 ) a keď na záver ešte určíme rozloženie intenzity, dostaneme nasledujúci vzťah: T = = íS Í n ^D V Í ^ ^ D V „2 ^ i n ( A T A - f ) \ 2 / s i n ( K f ) P y (Ä" — J \sm(KZ) ) P { ( K - k ^ J {(K - k (4.8) Dospeli sme k zaujímavému výsledku - keď dôjde len k redukcii funkcie priepustnosti, tak v prípade odklonu o uhol a dostaneme rovnaký výsledok, ako keby k tejto redukcii nedošlo. Rozloženie intenzity teda odpovedá difrakcii na obrubě S L M . Tento fakt sa využíva v digitálnej holografii, keď sa pri zobrazovaní chceme zbaviť parazitných efektov, ako napríklad nultý difrakčný rád, ktorý vznikne ako dôsledok difrakcie na mriežke pixelov. Stačí k danej fázovej funkcii len pridať odklon o určitý uhol od priameho smeru a máme istotu, že k ďalšej deformácii hologramu nedôjde a obraz sa vytvorí mimo oblasti nežiaduceho nultého maxima. 4.3.2 Redukcia hodnôt spojená s deformáciou V predchádzajúcej sekcii sme uvažovali ideálne nastavenie funkcie priepustnosti. V skutočnosti ale môže dôjsť k deformácii tejto funkcie a to v dôsledku obmedzených možností zmien indexu lomu, ktoré sa realizujú napríklad vhodným natočením nematických kryštálov. Pretože možnosti nematických kryštálov meniť optickú dráhu nie sú neobmedzené, môže dôjsť k tomu, že zmena fázy nenastáva v intervale [0, 2TV], ale v intervale o niečo menšom [0, a]. Tým dôjde k orezaniu pôvodnej fázovej funkcie, ako je uvedené na obrázku 4.3. Ako sa táto deformácia prejaví na výslednom rozložení intenzity si priblížime na našom príklade s odklonom zväzku o uhol a. Veľkosť nedeformovanej časti označíme ako a a veľkosť deformovanej časti ako S. Platí teda: p = a + ô. (4.9) Fázová funkcia potom bude vyzerať nasledovne: a a 6 P s Obrázok 4.3: Deformácia závislosti (£) v dôsledku obmedzených možností S L M meniť index lomu pre danú vlnovú dĺžku. 37 (f)^) = íkl ^ + 7 r ' k e d ' £ e [~2 +mp;a-z + mp) ^ ^ 1 fcia , keď £ G [a — | + mp; | + mp) . Opäť túto funkciu dosadíme do Fraunhoferovho difrakčného integrálu (2.17), využijeme definície mriežkového parametru p, sčítame všetky príspevky a získame nasledujúci vzťah: -v ~1 e-íNKp iKp m=0 s i n (gj) 0 - i ( x - 2 f c l ) f _ s i n [ ( ^ ~ f c l ) f ] e i ( X - f c l ) f K (iť — fci) (4.11) Vidíme, že v tomto prípade dôjde nie len k požadovanému odklonu zväzku o uhol a, ale že v tomto prípade sa objaví aj difrakcia na mriežke vytvorenej deformáciou funkcie priepustnosti. V praxi sa dá tento problém potlačiť napríklad použitím žiarenia s vlnovou dĺžkou, pre ktorú je maximálna hodnota indexu lomu dostatočná na to, aby došlo k zmene fázy o 2-rr. Ďalšou možnosťou eliminácie tohto javu je zmena rozsahu hodnôt, ktorým odpovedajú jednotlivé zmeny idexu lomu. Napríklad sa štandardne používa 8bitové kódovanie, t.j. 256 možných hodnôt fázovej funkcie a keď použijeme laser s kratšou vlnovou dĺžkou, ako na ktorú je S L M kalibrované, môžeme tento rozsah zmenšiť (napr. na 244) a tým pádom sa zmenší aj obor hodnôt fázovej funkcie na požadovaný interval. 4.4 Rozdelenie zväzku do viacerých smerov V predchádzajúcich prípadoch sme uvažovali odklon zväzku o uhol a. V mnohých aplikáciách ale potrebujeme rozdeliť zväzok do viacerých smerov. Spôsob, akým to docieliť, budeme demonštrovať na príklade rozdelenia zväzku do dvoch smerov. Jedným spôsobom je rozdeliť vlnoplochu tzv. kolážou hranolov [5]. V našom prípade by potom funkcia priepustnosti mala nasledujúci tvar: Dosadením tejto funkcie do integrálu (2.17) dostaneme výsledok: { X ) Z } (K-h) + (K-k2) ' 1 } pre rozloženie intenzity potom dostaneme s m ^ - f e Q f j V | J sin [{K-h)*] _ (K-h) j y (K-k2) Aproximatívnosť výsledku spočíva v zanedbaní interferenčného členu. Prečo sme si to mohli dovoliť, je ukázané na obrázku 4.4. V prípade Fresnelovho dvojhranolu dochádza k interferencii v tesnej blízkosti tohto hranolu. Pretože však Fraunhoferova difrakcia predpokladá veľkú vzdialenosť od zdroja, môžeme túto interferenciu zanedbať. Ďalším spôsobom, ako dosiahnuť rozdelenie zväzku, je delenie amplitúdy. D á sa ukázať, že fázová funkcia, ktorá m á za následok rozdelenie zväzku pod uhlami ipxi,ipyi, ...,ipXN,ipyN sa dá určiť pomocou vzorca publikovaného v [6]: 38 Obrázok 4.4: Šírenie svetla na Fresnelovom dvojhranole. {£, V) = arg ' N Y > , a ' .i=i , kde Aj = k0 (£ sin tpXj + r] sin ipyj (4.15) Tento výpočet sa niekedy nazýva aj S-algoritmus [6]. Keď ale tento výpočet aplikujeme na náš rovinný prípad s odklonom do dvoch smerov, narazíme na problém v prípade, keď ífi = —if2- V tomto prípade totiž dostaneme 0 = 0. Tento problém môžeme ale vyriešiť približným vyjadrením: 0 ( 0 = ccos(fci£),c< 1. (4.16) Dosadením tejto funkcie do Fraunhoferovho integrálu (2.17) dostaneme pomocou Taylorovho rozvoja: n s i n ^ / s i n ( y ~ f c i ) D s\n(JͱMR\ *(*) - / e""* [1 + ccosfaO] de = + c + • (4-17) 2 \ 2 2 / Je vidno, že okrem požadovaného odklonu pod uhlom (pi a —ipi sa objaví aj výrazné nulté maximum. Keby sme navyše zvyšovali hodnotu konštanty c, začali by sa prejavovať aj vyššie členy rozvoja, ktorým by odpovedali ďalšie nežiaduce odklony. V reálnom experimente však môžeme nulté maximum eliminovať vhodným priestorovým filtrom. V praxi je však S-algoritmus používaný len pre malý počet odklonov, pretože sa jedná o výpočtovo pomalý algoritmus a výsledok je sprevádzaný aj nežiaducimi odklonmi. Preto sa častejšie na výpočet hologramov používa G-S algoritmus, ktorý si priblížime v ďalšej kapitole. 4.5 Holografia V roku 1948 maďarský fyzik Dennis Gabor [7] navrhol zobrazovaciu metódu, ktorú sám nazval rekonštrukcia vlnoplochy a ktorú dnes nazývame holografia. Za tento objav získal v roku 1971 Nobelovu cenu za fyziku. Základná myšlienka spočíva v tom, že optickú informáciu o objekte nenesie len amplitúda, ale aj fáza žiarenia odrazeného od predmetu, ktorý pozorujeme. T ý m holografia umožňuje trojrozmerný záznam o tomto predmete na dvojrozmerný nosič (emulzia na skle, plastové fólie a t ď ) . Záznam hologramu môže prebiehať napríklad tak, že koherentný zväzok svetelných lúčov sa pomocou polopriepustného zrkadla rozdelí na dva zväzky - osvetľovací a referenčný. Referenčný zväzok dopadá priamo na záznamové médium, zatiaľ čo osvetľovací zväzok najprv dopadá na snímaný predmet a po jeho odraze od tohto predmetu sa z neho stáva zväzok predmetový, ktorý dopadá na záznamové médium, kde dôjde k jeho interferencii s referenčným zväzkom. T ý m vzniká na záznamovom médiu interferenčný obrazec - hologram. Reprodukcia hologramu potom vyžaduje rovnaký zdroj svetla ako ten, ktorým bol tento hologram vytvorený. Záznam a 39 reprodukcia hologramu je znázornená na obrázku 4.5. Podľa difrakčných podmienok, počas ktorých k záznamu hologramu došlo, rozoznávame hologramy Fresnelovho, resp. Fraunhoferovho typu [9]. Zvláštnu kategóriu tvoria Fourierovské hologramy, ktoré sa využívajú pri holografii priesvitných objektov. Rovina záznamu v tomto prípade splýva s rovinou, v ktorej dochádza k Fourierovej transformácii funkcie priepustnosti, ktorou môžeme takýto objekt charakterizovať. Týmito hologramami sa budeme zaoberať podrobnejšie v sekciii 6.3. O H (a) Záznam O' p (b) Reprodukcia Obrázok 4.5: Priebeh záznamu a rekonštrukcie hologramu H, krorý odpovedá objektu O (symbol P značí pozorovateľa, ktorý pri rekonštrukcii hologramu pozoruje obraz O1 ). 40 Kapitola 5 Počítačové simulácie 5.1 Diskrétna Fourierova transformácia V doterajších výpočtoch sme vždy postupovali tak, že sme poznali alebo sme boli schopní odhadnúť funkciu priepustnosti a určovali sme výsledné rozloženie intenzity odpovedajúce Fourierovej transformácii tejto funkcie. V tejto kapitole ukážeme, že môžeme riešiť aj inverzný problém, t.j. že poznáme rozloženie intenzity a budeme hľadať odpovedajúcu funkciu priepustnosti, ktorú potom môžeme napríklad nastaviť na fázovom modulátore. Vďaka tomu S L M v spojení s výpočtovou technikou poskytuje takú širokú škálu aplikácií. Aby sme ale mohli nastaviť funkciu priepustnosti, ktorá spôsobí požadovanú moduláciu svetla, budeme potrebovať znalosť diskrétnej Fourierovej transformácie (DFT). Jedná sa síce o aproximáciu spojitej Fourierovej transformácie, ktorú sme už definovali, zato ale uľahčuje numerické výpočty, nehovoriac o tom, že ani funkcia priepustnosti, ktorú nastavíme na fázovom modulátore, nie je spojitá, ale nadobúda len diskrétne hodnoty odpovedajúce jednotlivým pixelom. Jednorozmernú diskrétnu fourierovu transformáciu funkcie / definujeme sumou: N-l Maticovo by sme mohli túto definíciu zapísať takto: F = Éf, (5.2) kde sme definovali maticu Emj = ^ e _ 1 N 3 . D F T má niekoľko zaujímavých vlastností. Prvá z nich je periodicita, t.j. že platí: Fm = Fm+N. (5.3) To dokážeme priamo z definície: 1 N-l i N-l w = -T= E E N f i = -/^ E E 4 N + J J /- (5 -4 ) teraz využijeme skutočnosť, že e _ l j 2 , r = 1 pre každé prirodzené j a dostávame N-l Fm+N = ^T2^ e ~ f i = F ^ (5 -5 ) j = 0 41 čo sme chceli dokázať. Ďalšou zaujímavou vlastnosťou D F T je zachovanie normy, t.j. že platí: | F | 2 = | / | 2 . (5.6) Toto tvrdenie dokážeme tiež priamo z definície, budeme však potrebovať nasledujúce lemma: ^ ^(fc-j) e i 2 ^ ) - l A r r í TV ,keďj = k J 2 é ^ ^ = - ^ - ) = NSjk=l (5-7) ^ e ' - ^ - l [0 , k e d j ^ / c Takže dosadením do definície dostaneme: N-lN-l N-l n=0 j = 0 fc=0 Keď zameníme poradie sumácie, dostaneme nasledujúcu rovnosť: 1 N-lN-l N-l N-l N-l N-l I F I 2 = ^ E E E = E E = E M " = i/i2 . (5-9) čo je priamo tvrdenie, ktoré sme chceli dokázať. Posledná zaujímavá vlastnosť D F T je existencia inverzie, t.j. že platí: /* = - / ^ E E ^ F - (5 -10 ) Dôkaz tohto tvrdenia spravíme dosadením za F z definície (3.15): 1 N-l N-l 1 N-l N-l N-l " L E " fi = Ň2^fil^e N =2^f^ = fk. (5.ii) m=0 j = 0 j = 0 m=0 j = 0 V našich výpočtoch ale častejšie budeme potrebovať dvojrozmernú D F T , ktorú definujeme dvojitou sumou: , N N 1 ^ \ ^ \ . 27rľ(m-l)(i-l)+(n-l)(fc-l)] Fmn = ^ E E E _ 1 " AT e N ; m, n G {1, 2 , J V } . (5.12) i=i fc=i V maticovom tvare by táto definícia vyzerala takto: F = ÉfÉT , (5.13) 1 • 27r(m-l)(j-l) kde sme definovali maticu Emj = -^e 1 N 5.2 Konvolúcia Jedným z príkladov aplikácie D F T vo výpočtovej technike je konvolúcia dvoch funkcií. Konvolúciu funkcií / a g definujeme integrálom: (/ * g)(x) = h(x) = í f{£)g{x - £)d£. (5.14) 42 Funkcia g sa niekedy nazývaj aj filter. Priamo z definície vyplýva, že konvolúcia je komutatívna, asociatívna a distributívna. Neutrálny prvok vzhľadom ku konvolúcii je Diracova 5- distribúcia, t.j. že platí: (f*5)(x)= í f{t)5{x-t)d£ = f{x). JR (5.15) Zaujímavou vlastnosťou konvolúcie, ktorá sa často využíva vo výpočtoch, je tzv. konvolučný teorém: Jr {f*g} = Jr {f}Jr {g}- (5.16) Toto tvrdenie dokážeme priamo dosadením do definície Fourierovej transformácie funkcie h(x) = f *g: F{h{x)} = / h(x)e-'lkx dx JR Ďalej zameníme poradie integrácie: e~ikx dx. (5.17) Hf*9}= í /(O / 9(x - 0e~ikx dxdt = í /(0e"i f e í / g(x-Oe-ikix -°dxdt. (5.18) JR JR JR JR Teraz už len zavedieme substitúciu x — £ = n, dx = dq a dostaneme výsledok: Hf*g}= í /(0e"i f c C í g(v)e-ik ^dvd^= í J"{g}f(0^ik ^ = J"{f}J"{g}, (5.19) JR JR JR čo sme chceli dokázať. Dôvod, prečo tento teorém uvádzame, je ten, že ak chceme vypočítať konvolúciu funkcií f a. g, nemusíme riešiť integrál (5.13), stačí vypočítať ich Fourierove transformácie, tie medzi sebou vynásobiť a z tohto súčinu potom vypočítať inverznú fourierovu transformáciu. Keď navyše namiesto spojitej Fourierovej transformácie použijeme diskrétnu, tak sa náš problém pôvodne integrálny transformuje na problém algebraický. Konvolučný teorém zároveň umožňuje porozumieť významu konvolúcie - môžeme si totiž konvolúciu predstaviť ako filtráciu pomocou tzv. 4 / systému, ktorý je znázornený na obrázku 5.1. Súvislosť medzi Fourierovou transformáciou funkcie priepustnosti a 2f systémom sme uviedli v sekcii 2.3.2. Vidíme, že vynásobením funkcií F{f} a F{g} dochádza k odfiltrovaniu istých priestorových frekvencií, čo m á za následok stratu informácie o pôvodnom rozložení amplitúdy. Nasledujú príklady konvolúcie funkcie, ktorá odpovedá obrázku smajlíka, s rôznymi typmi filtrov. FT (f) FT (g) f*g f f f f Obrázok 5.1: Experimentálne usporiadanie konvolúcie funkcií f & g. 43 44 (a) 9 (b) f*g Obrázok 5.4: Konvolúcia odpovedajúca filtru g — e 512 v s . Rozmazanie odpovedá smeru " roztiahnutia" Gaussovky. (a) 9 ©(b) f*g Obrázok 5.5: Konvolúcia odpovedajúca filtru g — e ^ 512. Rozmazanie odpovedá smeru " roztiahnutia" Gaussovky. 45 (a) 9 (b) f*g Obrázok 5.6: Konvolúcia odpovedajúca filtru g = e 512 . Rozostrenie je v tomto prípade výraznejšie. ©(a) 9 (b) f*g Obrázok 5.7: Konvolúcia s filtrom v tvare kruhu. V tomto prípade je deformácia obrázku podobná ako v prípade gaussovského rozloženia, ale vykazuje isté rozdiely a to preto, lebo Fourierov obraz kruhu narozdiel od Fourierovho obrazu gaussovky umožňuje prechod aj niektorých vyšších priestorových frekvencií. 46 (a) g (b) f*g Obrázok 5.8: Konvolúcia s filtrom v tvare dvojice kruhov. Vidíme, že v tomto prípade vznikli dva obrazy navzájom posunuté a že ten odpovedajúci menšiemu kruhu je ostrejší, ale menej jasný. (a) 9 (b) f*g Obrázok 5.9: Konvolúcia s filtrom v tvare štrbiny. V tomto prípade dochádza k úplnej strate informácie o rozložení amplitúdy (a aj odpovedajúceho rozloženia intenzity) vo vertikálnom smere a že v tomto smere došlo k akémusi " spriemerovaniu" pôvodného rozloženia intenzity. 47 (b) f*g O b r á z o k 5.10: Konvolúcia s filtrom v tvare trojuholníka. Vidíme, že pôvodne bodové objekty teraz skôr pripomínajú trojuholníky. 5.3 G - S algoritmus 5.3.1 Všebecný popis V sekcii o D F T sme uviedli, že pomocou výpočtovej techniky môžeme riešiť aj problém, kedy hľadáme takú fázovú funkciu priepustnosti, ktorej Fourierova transformácia odpovedá požadovanému rozloženiu intenzity. P r i jeho riešení použijeme tzv. G - S algoritmus (Gerchbergov-Saxtonov algoritmus). Jedná sa o iteračný algoritmus, ktorý opakovane využíva priamu a inverznú Fourierovu transformáciu a ktorého hlavnou výhodou oproti S algoritmu, ktorý sme uviedli v sekcii 4.4 [6], je priaznivý pomer počtu iterácií a presnosť výsledku, ktorú poskytuje. Pred začiatkom cyklu sa definuje vstupujúce vlnenie s rozložením amplitúdy A0(^,r]) a jemu odpovedajúce rozloženie fázy é1 ^'^ =