MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce BRNO 2025 B c . HANA DUFKOVÁ MASARYKOVA U N I V E R Z I T A P Ř Í R O D O V Ě D E C K Á F A K U L T A ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Monte Carlo simulace ve financích D i p l o m o v á p r á c e Bc. Hana Dufková Vedoucí práce: Mgr. Silvie Zlatošová, Ph.D. Brno 2025 Bibliografický záznam Autor: Bc. Hana Dufková Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Monte Carlo simulace ve financích Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Vedoucí práce: Mgr. Silvie Zlatošová, Ph.D. Akademický rok: 2024/2025 Počet stran: viii + 62 Klíčová slova: metoda Monte Carlo; oceňování opcí; techniky redukce rozptylu; Least-Squares Monte Carlo; Quasi-Monte Carlo Bibliographie Entry Author: Be. Hana Dufková Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Monte Carlo simulation in finance Degree Programme: Mathematics Field of Study: Financial and Insurance Mathematics Supervisor: Mgr. Silvie Zlatošová, Ph.D. Academic Year: 2024/2025 Number of Pages: Keywords: viii + 62 Monte Carlo method; option pricing; variance reduction techniques; Least Squares Monte Carlo; Quasi-Monte Carlo Abstrakt V této diplomové práci se věnujeme simulační metodě Monte Carlo a jejímu využití ve financích. Práce je strukturovaná do čtyř kapitol. Nejprve vysvětlíme základní typy finančních derivátů a náhodné procesy využívané při modelování vývoje cen finančních aktiv. Dále popíšeme hlavní princip fungování Monte Carlo simulace a uvedeme různé způsoby generování náhodných čísel, na nichž jsou tyto simulace postaveny. V praktické části předvedeme použití nastudovaných metod při oceňování evropských a amerických opcí za pomocí programovacího jazyka R. Abstract In this thesis we focus on Monte Carlo simulation and its use in finance. The thesis is structured into four chapters. First, we explain the basic types of financial derivatives and stochastic processes used in modeling financial asset prices. Then, we describe the main principles of Monte Carlo simulation and present the different methods for generating random numbers on which these simulations are based. In the practical part, we demonstrate the application of studied methods to pricing of European and American options using the R programming language. MASARYKOVA UNIVERZITA P Ř Í R O D O V Ě D E C K Á FAKULTA K O T L Á Ř S K Á 2 , 611 37 BRNO IČ : 0 0 2 1 6 2 2 4 D I Č : CZ 0 0 2 1 6 2 2 4 ZADANÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE Akademický rok: 2024/2025 Ústav: Přírodovědecká fakulta Studentka: Bc. Hana Dufková Program: Aplikovaná matematika Specializace: Finanční a pojistná matematika Ředitel ústavu PřF MU Vám ve smyslu Studijního a zkušebního řádu MU určuje diplomovou práci s názvem: Název práce: Monte Carlo simulace ve financích Název práce anglicky: Monte Carlo simulation in finance Jazyk práce: čeština Oficiální zadání: Cílem práce bude nastudovat vybrané techniky Monte Carlo simulací a poté je aplikovat na reálných datech. Postup práce: 1. Úvod a cíle práce 2. Rešerše literatury 3. Studium Monte Carlo simulací 4. Aplikace na datech 5. Zhodnocení výsledků a závěr Použité metody: statisticko-matematické modely, komparace, deskripce, analýza Literatura: Monte Carlo simulation and finance. Edited by Don L. McLeish. Hoboken, NJ: J. Wiley, 2005, xi, 387 p. ISBN 0471677787. WANG, Hui. Monte Carlo Simulation with applications to finance. CRC Press, 2012. Vedoucí práce: Mgr. Silvie Zlatošová, Ph.D. Datum zadání práce: 3. 8. 2023 V Brně dne: 15. 4. 2025 Zadání bylo schváleno prostřednictvím IS MU. Bc. Hana Dufková, 16. 10. 2023 Mgr. Silvie Zlatošová, Ph.D., 17. 10. 2023 RNDr. Jan Vondra, Ph.D., 18. 10. 2023 hílUlU S C I Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat své vedoucí diplomové práce Mgr. Silvii Zlatošové, Ph.D. za velmi cenné rady, připomínky a čas, který mi věnovala na konzultacích. Také bych chtěla poděkovat mé rodině a přátelům, kteří mi byli po celou dobu mého studia velkou podporou. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracovala samostatně pod vedením vedoucího práce s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 15. dubna 2025 Bc. Hana Dufková Obsah Úvod 1 Kapitola 1. Základní pojmy 2 1.1 Finanční deriváty 2 1.2 Opce 3 1.2.1 Americké opce 5 1.3 Brownův pohyb 6 1.3.1 Definice Wienerova procesu 1.3.2 Geometrický Brownův pohyb 8 1.4 Black-Scholesův model 10 Kapitola 2. Metoda Monte Carlo 14 2.1 Základní myšlenka Monte Carlo simulací 14 2.1.1 Princip metody Monte Carlo 15 2.2 Využití metody Monte Carlo 17 2.2.1 Oceňování opcí 17 2.2.2 Volatilita 18 Kapitola 3. Generování náhodných čísel 22 3.1 Ověřování náhodnosti generovaných čísel 23 3.2 Metoda inverzní transformace 24 3.3 Zamítací metoda 25 3.4 Techniky redukce rozptylu 26 3.4.1 Metoda protikladných proměnných 27 3.4.2 Metoda řídících proměnných 29 3.4.3 Stratifikovaný výběr 32 3.5 Least-Squares Monte Carlo 35 3.6 Quasi-Monte Carlo 37 Kapitola 4. Praktická část 41 4.1 Představení dat 41 4.2 Určení historické volatility 42 4.3 Ověření předpokladů 43 4.4 Generátory náhodných čísel 45 - vii - 4.5 Oceňování evropské opce 47 4.6 Oceňování americké opce 51 Závěr 54 Příloha 56 Seznam použité literatury 59 Úvod Finanční deriváty jsou instrumenty, se kterými se dnes běžně můžeme setkat při obchodování na finančních trzích. Jejich popularita výrazně vzrostla v 70. letech 20. století, kdy docházelo k vysokým výkyvům měnových kurzů a cen cenných papírů. Obchodníci se proti těmto výkyvům začali zajišťovat právě pomocí finančních derivátů, které umožňují sjednat budoucí obchod za předem stanovených podmínek. Jednou z důležitých otázek je, jaká je hodnota takového derivátu. Jednodušší typy derivátů lze ocenit známými matematickými vzorci. U některých složitějších derivátů však nemusí takový vzorec pro určení jeho hodnoty existovat. V těchto případech se používají numerické metody, ke kterým patří i Monte Carlo simulace. Monte Carlo simulace je statistická metoda určující střední hodnotu veličiny, která je závislá na náhodě. Používá se tedy v případech, kdy náhodou ovlivněný výsledek nelze určit přímým výpočtem. Funguje na principu opakovaného provádění náhodných pokusů, kterými se získá mnoho různých scénářů a z nich se pak spočítá průměrný výsledek. Tato metoda se využívá při řešení pravděpodobnostních problémů, ke kterým patří zmíněné oceňování opcí. Toto bude hlavní náplní praktické části této práce. Cílem bude spočítat ceny evropských a amerických opcí závisející na hodnotě konkrétního podkladového aktiva. Pomocí různých způsobů a počtů simulací vygenerujeme několik možných průběhů vývoje ceny a následně dopočítáme hodnoty opcí. Mimo jiné se Monte Carlo simulace využívá při správě investičního portfolia, k odhadu rizika nebo k predikci toku peněz v rámci konkrétního projektu. Práce je strukturovaná do čtyř kapitol. V první kapitole se seznámíme s typy finančních derivátů. Konkrétně si více rozebereme podmíněné kontrakty známé pod názvem opce. Dále si vysvětlíme, co je Wienerův proces, geometrický Brownův pohyb a Black-Scholesův model, kterým se za předpokladu, že se podkladové aktivum řídí geometrickým Brownovým pohybem, oceňují dané typy opcí. Ve druhé kapitole se zaměříme na samotnou metodu Monte Carlo. Podrobně si vysvětlíme způsob jejího fungování a jak lze určit přesnost výsledných odhadů. Představíme si možnosti jejího využití, a důkladněji si rozebereme, jak se touto metodou oceňují opce. Ve třetí kapitole si ukážeme několik metod, kterými lze generovat prvky simulace a také přiblížíme způsoby ověřující náhodnosti těchto prvků. V poslední kapitole nakonec nastudovanou teorii a přístupy generující simulace aplikujeme na oceňování evropských a amerických opcí, které budou závislé na dané aktuální akcii. Pro dosažení přesnějších výsledků budeme jednotlivé metody také mezi sebou vhodně kombinovat. -1- Kapitola 1 Základní pojmy 1.1 Finanční deriváty Finanční trh je podle [1] souhrn institucí a nástrojů, které zajišťují pohyb peněz a kapitálu na základě nabídky a poptávky ekonomických subjektů. Pro efektivní fungování celé ekonomiky je potřebné, aby finanční trhy byly funkční. V opačném případě omezují výkonnost subjektů. Jsou velmi citlivé na náladu jednotlivých účastníků, proto není snadné předpovídat budoucí ceny finančních nástrojů. Jejich odhady se dají modelovat analyticky (užití pravděpodobnostních funkcí), numericky (pomocí numerických algoritmů) a nebo simulačně (generace náhodných veličin), například metodou Monte Carlo. Hlavními zdroji pro tuto podkapitolu jsou knihy Simulace Monte Carlo ve financích [2] & Analytické a numerické metody oceňovania finančných derivátov [3]. Dalšími zdroji jsou materiály k předmětu M5123 [4] a prezentace Forwardy, futures a swapy, vlastnosti a použití [5]. Na finančním trhu slouží finanční instrumenty k přenosu finančních prostředků a rizika mezi účastníky, stejně jako k transformaci splatnosti a likvidity aktiv a pasiv. Podle podoby vypořádání finančních instrumentů dochází ke spotovému, či termínovému obchodu. Spotovým obchodem se myslí kontrakt, který je vypořádán okamžitě po sjednání nebo s minimálním zpožděním. Jestliže je vypořádání kontraktu sjednáno na budoucí konkrétní čas, jedná se o termínový obchod. Tento kontrakt stanovuje, že podkladové aktivum S bude v čase t dohodnuto ke směně za předem určenou částku K, která bude uhrazena v čase T — t + T, kde T označuje dobu do splatnosti (time to maturity) a K je realizační cena (excercise price, strike price). Finanční deriváty jsou termínované finanční instrumenty, jejichž hodnota je odvozena z hodnoty podkladového aktiva. V čase sjednání kontraktu umožňují zafixovat kurz nebo cenu, za kterou může být aktivum ke konkrétnímu datu prodáno nebo koupeno. Se změnou hodnoty podkladového aktiva dochází k daleko větší změně hodnoty derivátu, což vede k větším ziskům či ztrátám. Jedná se o tzv. finanční pákový efekt. Hlavním důvodem k obchodu s deriváty je zajištění (hedging), které má redukovat riziko. Díky derivátu lze zafixovat cenu či kurz daného instrumentu na konkrétní okamžik v budoucnosti. Firmy je často využívají při zahraničním obchodu k ochraně před výkyvy měnových kurzů. Například exportér si sjedná kontrakt s pevnou cenou, aby se vyhnul nejistotě spojené s budoucím kurzem. Tato cena se firmě v budoucnu vyplatí, neboť nebude záviset na spotovém kurzu. Tento postup zajišťuje stabilitu kurzu, ale může znamenat i - 2 - Kapitola 1. Základní pojmy 3 menší potenciálni zisky, pokud by kurz pro společnost výhodně vzrostl. Dalším důvodem obchodování s deriváty je spekulace, jejímž cílem je dosažení zisku. Spekulanti se snaží odhadovat chování trhu a nakupují v závislosti na tom, zda si myslí, že bude kontrakt výhodný. Pákový efekt jim umožňuje dosahovat větších zisků, ale také větších ztrát. Kupují ta aktiva, o kterých předpokládají, že jejich cena vzroste a jsou vlastně podhodnocena a prodávají ta, o kterých usuzují, že jsou nadhodnocena a tudíž jejích cena klesne. Posledním motivem koupě derivátu je hledání arbitráže, tedy realizování zisku spojeného s nulovým rizikem. Investoři se snaží najít rozdíly na spotovém a termínovém trhu stejného zboží k tomu, aby dosáhli bezrizikového zisku. Jedná se vlastně o současnou koupi a prodej stejného produktu za jinou cenu. Tomuto se však chce zabránit neustálým obnovováním efektivního tržního ocenění. Při oceňování derivátu se proto vychází z principu neexistence arbitráže na trhu. S deriváty se obchoduje buď bezpodmínečně, kdy obě strany musí splnit své smluvní povinnosti, nebo podmíněně, kdy jedna strana získává výhodu možnosti rozhodnout v den realizace, zda obchod uskuteční, či nikoliv. Mezi nepodmíněné obchody patří forwardy, futures a swapy. K podmíněnému obchodu se řadí opce. Forwardy jsou nejstarším a nejjednodušším druhem derivátu. Kupující se dostává do dlouhé pozice (long pozice), ve které má právo a přitom povinnost koupit určité množství podkladového aktiva za stanovenou cenu k určitému dni. Prodávající se nachází v krátké pozici (short pozice), ve které má právo a zároveň povinnost prodat určité množství podkladového aktiva za stanovenou částku v konkrétním čase. Forwardy se obchodují na O T C trhu (over the counter market), neboli na mimoburzovním trhu. Dělí se na měnové a úrokové forwardy. Deriváty futures jsou podobné forwardům. Liší se pouze v obchodování, které probíhá na speciálních burzách (např. Chicago Board of Trade) a ne na OTC. Jedná se tedy opět 0 pevnou dohodu, ve které jsou si obě strany rovny a mají právo i povinnost koupit, či prodat konkrétní množství podkladového aktiva za konkrétní částku v určitý den splatnosti, akorát velikost kontraktu, podmínky kontraktu nebo datum vypořádání jsou standardizovány. V porovnání s forwardy jsou futures více likvidní a jejich obchodování vyžaduje složení marže jako záruky. Futures kontrakty mohou být měnové, úrokové nebo navázané na akciové indexy. K posledním nepodmíněným obchodům patří swapy. Díky nim jsou obě strany povinny v budoucnosti provést výměny daných podkladových aktiv v konkrétních časových intervalech. Dělí se na měnové, úrokové, bázické úrokové, bázické měnové, klasické úrokové a komoditní swapy. 1.2 Opce V podkapitole zabývající se opcemi převážně vycházíme z materiálů k předmětům M5123 [4], MF002 [6] a MF003 [7] a z knih [2], [8] a [9]. V části 1.2.1 navíc čerpáme z literatury [10]. Jak již bylo zmíněno, opce jsou obchodovány podmíněně a lze je definovat následovně. 1 Definice. Opce představuje právo koupit (v případě call opce) nebo prodat (put opce) Kapitola 1. Základní pojmy 4 podkladové aktivum za předem stanovenou cenu, která se nazývá realizační cena, v pevně stanovené době (expirační doba). Vlastník má tedy právo, ne povinnost, koupit nebo prodat dané podkladové aktivum hodnoty S za předem dohodnutou realizační cenu K v konkrétním čase splatnosti T. Jelikož si vlastník opce může vybrat, zda opce bude nebo nebude uplatněna, musí za tuto výhodu zaplatit prodávajícímu opční prémii. Typickým příkladem aktiva jsou akcie společnosti, komodity (např. zlato), akciové indexy, cizí měny, futures, swapy nebo i opce. Opce existovaly již ve starověku a středověku, i když v jiných podobách než dnes. Používaly se nejčastěji ke stanovení dohody na budoucí transakce. Na burzách se standardizované začalo obchodovat až s rozvojem počítačů, které umožnily snadnější obchodování. K prvnímu obchodu s call opcemi došlo v Chicagu v dubnu 1973. Put opce byly poprvé zavedeny až o čtyři roky později, tedy v roce 1977. Opce se dělí podle • typu použití na: - call opce - jinak řečeno kupní opce, při které má vlastník opce právo koupit podkladové aktivum, - put opce - jinak řečeno prodejní opce, díky které má vlastník právo prodat podkladové aktivum, • doby, ve které mohou být uplatněny, na: - evropská opce - může být uplatněna pouze v den expirace T, - americká opce - může být uplatněna kdykoliv během celé doby platnosti opce až do času expirace a oceňuje se složitěji než evropská opce, - bermudská opce - lze j i realizovat pouze ve vybraných diskrétních termínech během životnosti opce, • podmínek opce na: - vanilla opce - jedná se o obyčejné jednoduché opce, které mají standardní vlastnosti (evropské a americké opce), - exotické opce - jedná se o alternativní opce, které mají specifické podmínky v kontraktu, • typu obchodování na: - standardní opce - jsou obchodovány na burze, - opce „na míru" - jsou obchodovány na O T C trhu. Název typu opce nemá vliv na jejich místo obchodování, tudíž je možné v Evropě obchodovat s americkými opcemi a v Americe naopak s evropskými. Opční prémie se skládá z časové a vnitřní hodnoty opce. Vnitřní hodnota, značeno VH, udává přínos z okamžitého uplatnění opce a je určena výplatní funkcí opce. Pro kupní opci je vnitřní hodnota v čase t definována VH = max(St —K,0), Kapitola 1. Základní pojmy 5 kde St je okamžitá tržní cena aktíva v čase t a K je realizační cena opce. To znamenám, že vnitřní hodnota opce je buď zisk St — K, pokud je cena aktíva St větší než realizační cena K, nebo 0, pokud je realizační cena K větší nebo rovna ceně aktíva St. Pro prodejní opci platí VH = max(K-St,0). Časová hodnota určuje, jak moc se celková hodnota opce liší od vnitřní hodnoty. Je definována rozdílem mezi celkovou hodnotou opce a vnitřní hodnotou. Při záporné časové hodnotě by bylo nevýhodné držet dále opci. Vyplatilo by se opci okamžitě uplatnit, protože pokračování v držení opce by bylo pro vlastníka opce ztrátové. Podobně jako u forwardů může být držitel opčního kontraktu v dlouhé (long) nebo krátké (short) pozici. Výplatní funkce pro dlouhou pozici je vždy nezáporná. Konkrétně u call opce není výše výplaty omezená, zatímco u put opce je maximální výplata omezena realizační cenou. Naopak, výplatní funkce pro krátkou pozici není nikdy kladná. U short callu může majitel čelit neomezeným ztrátám, kdežto majitel short putu má svou potenciální ztrátu omezenou realizační cenou, což je méně riskantní. Pro evropskou opci platí, že její hodnota je v době expirace rovna její vnitřní hodnotě v čase T. Tedy hodnota evropské call opce, označována jako HQ, je dána vztahem: Hc = max(ST-K,0). (1.1) Hodnota evropské put opce, označována jako Hp, je dána: HP = max(K-ST,0). Podle vztahu mezi cenou podkladového aktiva St a realizační cenou K se rozlišují tři pozice: • in-the-money (pozice v penězích, ITM) - když pro call opci platí vztah St > K a nebo pro put opci platí St < K, vnitřní hodnota opce je kladná, • at-the-money (pozice na penězích, A T M ) - když pro call i put opci platí St = K, vnitřní hodnota je nulová, • out-of-the-money (pozice mimo peníze, OTM) - když pro call opci platí St < K a nebo pro put opci St > K, vnitřní hodnota opce je nulová. 1.2.1 Americké opce Dalším typem opcí jsou americké opce, které se na trhu vyskytují častěji než evropské opce a mohou být uplatněny kdykoliv během doby platnosti kontraktu. Na několika burzách se standardně setkáme s možností předčasného uplatnění opcí. Jejich oceňování je složitější než oceňování evropských opcí, jelikož namísto jednoho pevného horizontu je třeba co nejpřesněji předpovědět kompletní vývoj podkladového aktiva. Proto je minimální hodnota americké opce rovna hodnotě její evropské verze. Hlavním cílem držitele americké opce je určit optimální okamžik pro její uplatnění. Ocenění americké opce spočívá v řešení klíčového rozhodnutí: uplatnit opci nyní, nebo vyčkat? Držitel opce má v každém okamžiku její platnosti dvě možnosti: buď opci uplatnit Kapitola 1. Základní pojmy 6 (koupit nebo prodat podkladové aktivum), nebo nechat si opci a rozhodnout se později. Pokud je hodnota uplatnění vyšší než hodnota vyčkání na pozdější uplatnění, držitel opci uplatní, a nebo naopak. Nejobtížnější částí tohoto procesu je správné ocenění hodnoty čekání - tedy posouzení, zda pozdější uplatnění přinese vyšší výnos. Americké call a put opce 2 Definice. Americká call opce dává držiteli opce právo (ne povinnost) koupit od upisovatele předem dané podkladové aktivum za předem stanovenou cenu K v libovolném čase mezi počátečním datem a datem vypršení platnosti T. Definice put opce se liší od call opce tím, že držitel má právo prodat, nikoliv koupit, podkladové aktivum. Pokud je opce v čase t mimo peníze (OTM), je nejlepší opci neuplatnit. Pokud je však opce v penězích (ITM), může být výhodnější počkat na pozdější dobu, kdy výplata může být ještě vyšší. Pro držitele americké call opce není nikdy výhodné uplatnit opci před datem expirace, pokud podkladové aktivum nevyplácí dividendy. Důvod je následující: Nechť St označuje cenu aktiva v čase t a nechť K je realizační cena. Předpokládejme, že držitel chce uplatnit opci v nějakém čase t < T. To je pro něj výhodné pouze tehdy, když St > K, což dává výplatu St — K v čase t. Místo toho by držitel mohl prodat aktivum nakrátko za tržní cenu v čase t a pak nakoupit aktivum v čase T a to buď: 1. uplatněním opce v čase T, 2. nákupem za tržní cenu v čase T. Tímto přístupem držitel získá částku St > K v čase t a zaplatí částku menší nebo rovnu K v čase T, což je vždy výhodnější než okamžitá výplata St — Kv čase t. Proto musí mít americká kupní opce stejnou hodnotu jako evropská kupní opce. Nejjednodušším způsobem určení její hodnoty je použití Black-Scholesova vzorce. Pro ocenění americké prodejní opce a kupní opce vyplácející dividendy však Black-Scholesův vzorec nelze přímo použít. V těchto případech se k ocenění využívají různé numerické a simulační metody. 1.3 Brownův pohyb Brownův pohyb, neboli Wienerův proces, byl objeven v roce 1827 skotským botanikem Robertem Brownem při studování pohybu mikroskopických zrn v kapce vody. Přesné matematické základy Brownova pohybu byly však poprvé stanoveny skoro o 100 let později americkým matematikem Norbertem Wienerem. Ve finanční matematice je důležitým procesem pro modelování cen cenných papírů. Zvláště v Black-Scholesově modelu se uvažuje, že se cena podkladového aktiva řídí geometrickým Brownovým pohybem. Při tvorbě této podkapitoly vycházíme ze zdrojů [6], [8] a [10]. V části 1.3.1 navíc používáme poznámky k předmětům MF002 [11] a MF001 [12] a v části 1.3.2 vycházíme ze zdrojů [3], [6], [10] a [12]. Kapitola 1. Základní pojmy 7 1.3.1 Definice Wienerova procesu 3 Definice. Stochastický proces, nebo také náhodný proces, {S(t,co);t G T} je soubor náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru (Cl,sď\P), kde T značí indexovou množinu času a S(t) je náhodná veličina. S(ŕ, (ú) značí hodnotu procesu v čase t a při scénáři co. Pro fixovaný čas t G T je náhodná veličina S(co) — S(ř, u)) realizací procesu. Pro fixované Ct) G Q. je trajektorie S(ř) = S(ř, ů)) realizací tohoto procesu. Nejprve si zadefinujeme pojem náhodné procházky, jelikož se Wienerův proces považuje za její limitní případ, ve kterém časový krok Ax a prostorový krok Ar postupně klesají k nule, tedy Ax ->• 0 a Ar ->• 0. 4 Definice. Nechť X ( 1 ) , X ( 2 ) , . . . ,X(ri) je posloupnost i.i.d. náhodných veličin. Náhodná procházka je diskrétní náhodný proces {S(n)}™=l vyhovující 1. 5(0) = 0 , 2. S(n) = S ( n - l ) + X ( n ) , p r o n = l , 2 , . . . Je-liP(X(n) = +1) = P ( X ( n ) = —l) = | , nazývá se jako symetrická jednoduchá náhodná procházka. Náhodné veličiny X(1),X(2),... ,X(n) mají střední hodnotu E(X(i)) — 0 a rozptyl Var(X(/)) = 1. Nechť pro t = n • At platí S(t)=S(n-At) = (X(l)+X(2) + ---+X(n)) -Ax. Přírůstky X(i) jsou nezávislé, a proto E(S(t)) — 0 a Vor(S(f)) = (Ax)2 -n = ( A x ) 2 — . Nechť mezi Ax a Ař existuje mocninná závislost, tedy Ař = (Ax)p . Pro p > 0 platí vztah —> 0 pro p < 2 Var(S(t)) = (Ax)2 ~ ^=t pro p = 2 . —> °° pro p > 2 Při volbě p — 2 bude rozptyl konečný a nenulový. V limitě Ař —> 0 vzniká standardní Wienerův proces. Tento proces se řídí normálním rozdělením N (Oj) na základě centrální limitní věty. Věta 1.1 (Lindebergova centrální limitní věta). Necht'X\, X±,..., Xnjsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdelením, které mají střední hodnotu / i a konečný rozptyl o . Označme _ (Xl+X2 + ---+Xn-nn) In — i— <5\Jn pro n — 1,2, — Pak Yn konverguje v distribuci k rozděleníN(0, o2 ). Kapitola 1. Základní pojmy 8 5 Definice. Stochastický proces {W(t, co); t > 0} na pravděpodobnostním prostom (Q, srf\P) se nazývá Wienerův proces, jestliže platí: 1. W(0, co) — 0 (počátek je v nule), 2. s pravděpodobností 1 jsou trajektorie procesu spojité, tedy P(co e £1: trajektorie t W(t, co) není spojitá) = 0, 3. pro libovolné 0 < s\ < t\ < S2 < ?2 < *3 < • • • < $k < ř fe < • • • jsou přírůstky Wienerova procesu {AWi(fi)),AW2 (fi)),...,AWik(fi)),...} stochasticky nezávislé náhodné veličiny, které mají normální pravděpodobnostní rozdělení, tedy ÁWk(co)~N(0jk-sk), kde ÁWk(co) = W(tk,a>)-W(sk,a>), k= 1,2,... Wienerův proces W(ř) je tedy stochastický proces ve spojitém čase a se spojitými hodnotami, který se řídí normálním rozdělením N (Oj). Přestože jsou jeho trajektorie spojité, lze dokázat, že nejsou diferencovatelné, viz materiál [6]. Zobecněný Wienerův proces je definovaný pomocí nekonečně malého přírůstku dX(t) —X(t + dt) —X(t), který je dán stochastickou diferenciální rovnicí dX(t) = fi-dt + o-dW(t), kde / i , o jsou konstanty a {W(t),t > 0} je standardní Wienerův proces. Konkrétně koeficient / i představuje koeficient driftu a koeficient o označuje koeficient volatility. V rámci finančního trhu se tyto parametry používají k popisu chování ceny akcie. 1.3.2 Geometrický Brownův pohyb Geometrický Brownův pohyb (geometrie Brownian motion, G B M ) je základním modelem používaným k popisu vývoje cen aktiv v čase. Cena aktiva buď roste či klesá s určitým trendem a podléhá náhodným výkyvům. Nechť proces {S(t); t > 0} značí cenu aktiva v čase t, pro t > 0. Zvažme malé časové intervaly d t a změnu ceny aktiva v intervalu [t,t + dt), která se značí dS(t) = S(t + dt) -S(t). Výnosnost tohoto aktiva je dána poměrem ^ňy, což vyjadřuje změnu ceny aktiva S(t) vůči jeho aktuální hodnotě a lze j i modelovat pomocí deterministické a stochastické složky. Deterministická část představuje bezrizikový trend modelu a pokud předpokládáme konstantní trend vývoje akcie ji, pak po čase dt bude rovna / i -dt. Stochastická část se týká náhodných a nepředvídatelných událostí, které jsou považovány za symetrické a mají nulový střed. Tyto vlastnosti jsou typické pro Gaussovské normální rozdělení 7V(0,1). Kapitola 1. Základní pojmy 9 Stochastická složka je tudíž vyjádřena součinem volatility časového vývoje akcie a a diferenciálem Wienerova procesu dW (t), tedy o • dW (ř). Z tohoto vztahu vyplývá rovnice = udt + odW(t). S(t) kterou můžeme upravit do tvaru dS(t) = nS(t)dt + aS(t)dW(t). (1.2) Rovnice (1.2) se nazývá jako stochastická diferenciální rovnice (stochastic differential equation, SDE). Geometrický Brownův pohyb je proces {St — S(ř), t > 0}, který j e řešením zmíněné stochastické diferenciální rovnice. Abychom ji mohli vyřešit, potřebujeme k tomu Itôovo lemma. Věta 1.2 (Itôovo lemma). NechťX(t, co) je Itóův proces zadaný stochastickou diferenciální rovnicí dX(t) = udt + vdW(t). Nechť g(t,x) : [0,oo) x l ^ l je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce. Potom náhodný proces Y(t) = g(t,X(t)) je opět Itóův proces. Jeho stochastický diferenciál má tvar rfy(ř) = ^ ( ř , z ( ř ) y ř + ^(ř,x(ř)Mx(ř) + ^ | | ( ř , x ( ř ) ) ( ^ ( ř ) ) 2 , kde {dX(t))2 = (udt + vdW(t))2 = (dX(t))(dX(t)) se počítá podle pravidel (dt)2 — dtdW(t) — 0 a dW (t)dW (t) — dt. Itóův proces je typ stochastického procesu. Uvažujme g(t,x) — \nx a yt=g(t,st)Potom lze odvodit následující derivace: • ^ = 0 St u ' Sx x' Sx 2 X 2 ' Kapitola 1. Základní pojmy 10 Použitím Itôova lemmatu lze získat dY(t) = jdSt-^(dSt)2 , (1.3) kde (dSt) — o Sfdt. Úpravou výrazu (1.3) vzniká tvar r 2 tedy platí dYt = ( ju - ^ - ) dt + odWt, Yt = Y0+[li-Y )t + aWt, kde Wo — 0. Vyjádřením Yt pomocí funkce g(t,St) lze formulovat vztah 1 ? InSr = lnSo + \it + oWt - - a t, který se řídí normálním rozdělením pravděpodobnosti, tedy lnSr ~ Ar(lnS0 + \it - ^(72 ř, a2 t). Využitím exponenciální úpravy se získává geometrický Brownův pohyb St=S0expULi-\e2 )t + oWtX, (1.4) kde Wt je Wienerův proces, So je počáteční nebo aktuální cena aktiva, ji je drift a o > 0 je volatilita časového vývoje. Geometrický Brownův pohyb tedy vzniká exponenciální transformací Wienerova procesu s driftem, což zajišťuje, že hodnota aktiva St je vždy kladná a řídí se lognormálním rozdělením pravděpodobnosti. Pro všechna t > 0 platí Ze vzorce (1.4) je patrné, že aktuální hodnota aktiva závisí výhradně na jeho historických cenách, přičemž žádné budoucí události na ni nemají vliv. 1.4 Black-Scholesův model Oceňování finančních derivátů probíhá v rizikově neutrálním prostředí, kde se předpokládá, že všechna riziková aktiva rostou stejnou rychlostí jako bezrizikový spořicí účet. K tomuto účelu se často využívá Black-Scholesův model, který předpokládá, že cena podkladového aktiva sleduje geometrický Brownův pohyb s driftem / i . Bezriziková úroková míra r je v tomto modelu obvykle považována za spojitou a v praxi se často odvozuje z výnosů státních dluhopisů. Hlavními zdroji pro tuto podkapitolu jsou knihy Analytické a numerické metody oceňovania finančných derivátov [3], Monte Carlo simulation with applications to finance [10] a učební materiály [6], [11] a [12]. Mezi další předpoklady Black-Scholesova modelu patří: Kapitola 1. Základní pojmy 11 • existence nejméně jednoho rizikového aktíva a jednoho bezrizikového aktíva na trhu, • nevyplácení dividend z aktíva, • neexistence arbitráže na trhu, • možnost půjčit si a půjčit libovolné množství hotovosti za bezrizikovou úrokovou míru, • možnost koupit či prodat libovolné množství aktiva. Cena finančního derivátu s výplatou X a maturitou T je určena V = E[e-rT X]. Z tohoto důvodu se při oceňování finančních derivátů počítá se střední hodnotou, kde e~rT je diskontní faktor, díky kterému by jedna koruna z času T měla hodnotu e~rT v čase 0. Pro tento model je nejprve důležité určit Black-Scholesovu rovnici, která se odvodí pro evropskou call opci. Uvažujme, že majitel opce bude mít v čase expirace t — T právo koupit aktivum za realizační cenu K. Za tuto výhodu volby je třeba zaplatit v čase t — 0 opční prémii V. Férová cena je určena funkcí dvou proměnných V(S,t), kde S je aktuální cena aktiva a t je čas. Hodnota V (5,0) v čase t — 0 udává hledanou opční prémii. Protože se cena podkladového aktiva řídí geometrickým Brownovým pohybem, proměnná S ve funkci V(5,ř) je zároveň funkcí času t. Platí pro ni stochastická diferenciální rovnice (1.2), která se dá zjednodušeně přepsat do tvaru dS = nSdt + oSdW. (1.5) Při použití Itôova lemmatu platí vztahy u — jlS7 v — oS a funkce V(S,t) splňuje příslušnou stochastickou diferenciální rovnici fdV dV 1 , 1d2 V\ dV dV=(^r+LiS^— + -(J2 S2 ^-T)dt + (jS^-dW. (1.6) ^dt ^ dS 2 dS2 J dS Pomocí kombinace vztahů (1.5) a (1.6) lze vytvořit portfolio složené z akcií a opcí, jehož výnos za krátký časový interval dt nebude záviset na náhodných faktorech (lze se zbavit náhodného členu dW) a bude zcela předvídatelný. Nechť n je hodnota portfolia, které je složeno z — ^ akcie a jedné opce, tedy dV n = -Ts-s+l.v. Jeho přírůstek za časový interval dt je í f f l = (-—).dS+l-dV. dSJ Když se dosadí (1.5) a (1.6), získá se tvar m ( dV „ dV dV „ ld2 V 2 r i 2 \ , / dV „ dV \ ,TI7 av , i a2 v , = J 7 d ' + 2 9 Ž a S d ' - Kapitola 1. Základní pojmy 12 který už neobsahuje stochastickou složku. Díky předpokladu neexistence arbitráže na trhu se změna hodnoty portfolia díl musí rovnat zisku, který by vznikl z investování do bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r, tedy díl = rYldt. Dosazením se získá fdV 1 d2 V , ,\ / dV \ a po úpravě vznikne Black-Scholesova parciální diferenciální rovnice (Black-Scholes equation) dV ld2 V o o dV Tato rovnice se s tzv. koncovou podmínkou V(S,T) — (St — K)+ řeší buď transformací difúzni rovnice nebo za použití Freynman-Kacovy věty. Pro Black-Scholesův model má platit, že na trhu existují nejméně dvě aktiva, • bezrizikové - nejčastěji se v praxi vyskytuje dluhopis, který má hodnotu BT v čase t > 0, přičemž BQ je cena v současnosti (v čase t — 0), • rizikové - např. akcie, která má hodnotu ST v čase t > 0. Pro cenu dluhopisu BT v čase t platí dBt •äŕ=r >B >kde rt je úroková míra s předem známým, deterministickým průběhem. Separací proměnných se získá řešení —— = rtdt, BT tedy Bt = exp ÍJ^ rsds^j Pokud na trhu neexistuje žádná možnost arbitráže, pak cena opce na počátku kontraktu v čase t — 0 odpovídá diskontovanému očekávání její hodnoty při splatnosti T a to vzhledem k tzv. risk neutrální míře Q. Tato risk neutrální míra Q, nebo-li rovnovážná pravděpodobnostní míra, existuje právě tehdy, když na trhu neexistuje příležitost arbitráže a jedná se o takovou pravděpodobnostní míru, vůči které je proces diskontované ceny akcie j- martingalem a !=*>(!)• Pro současnou cenu call opce VQ platí Kapitola 1. Základní pojmy 13 kde Bj je cena dluhopisu v čase T a | ^ se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou ln So — a rozptylem a2 t vzhledem k rovnovážné pravděpodobnostní míře Q. Výpočtem (1.8) se získává Black-Scholesův vzorec V0 = S0-(d1)-^--(d2), (1.9) kde <ř> je kumulativní distribuční funkce standardního normálního rozdělení, tedy 1 / x2 \ * { d l ) = L v ^ e x p { ~ 2 j d x ' l n ( 5 0 f ) + ^ r l n ( 5 0 f ) - $ T d l = ' 2 = ' Člen d2 se dá vyjádřit pomocí d\ jako d2 — d\ — o\/Ť. Celý postup odvození Black-Scholesova vzorce (1.9) lze nalézt v materiálu [6]. Při konstantní úrokové míře r se odvodí vzorec V0 = S0&(di) -Ke-rT {d2), (1.10) kde l n | + ( r + i ( 7 2 ) r r d\ = •= , d2 — d\—o\/T, který se na výpočty využívá nejčastěji. Hodnotu put opce je možné určit pomocí vzorce V0 = Ke-rT (-d2)-So(-d1). Kapitola 2 Metoda Monte Carlo 2.1 Základní myšlenka Monte Carlo simulací Princip metody Monte Carlo je již známý přes dvě stě let. Ve druhé polovině 18. století francouzský matematik Georges L . L . de Buffon řešil úlohu geometrické pravděpodobnosti, která je známa pod názvem Buffonova úloha o jehle. Formulace úlohy je následující: Rovina je rozdělena rovnoběžnými přímkami, které jsou od sebe stejně vzdálené. Vzdálenost těchto přímek je d. Na tuto rovinu se hází jehla, jejíž délka je 1,1 °° výraz Yi+Y2 + ...Yn-nn _ V n ( A - j U ) Oy \/n Oy konverguje ke standardizovanému normálnímu rozdělení. Což znamená, že chyba / i — jU je aproximačně z normálního rozdělení se střední hodnotou Oas rozptylem —. Tímto lze sestrojit l — ô interval spolehlivosti pro / i , IS=\ß-ZB^=,ß+ZB^=\, (2.2) 2 y/n kde z s — <ř1 - 1 (1 — f) J e 1— f kvantil normálního rozdělení. Tento interval spolehlivosti pokrývá skutečnou hodnotu ji s pravděpodobností 1 — <5. Jeho šířka se s rostoucím počtem vzorků bude zužovat. Jestliže se porovnávají dva odhady, efektivnějším a přesnějším odhadem je ten, který má užší interval spolehlivosti. Často je hodnota skutečné směrodatné odchylky neznámá, proto je při výpočtech nahrazena výběrovou směrodatnou odchylkou, která je dána SY Pro n —> °° výběrová směrodatná odchylka sy s pravděpodobností 1 konverguje k oy, a proto lze Oy nahradit hodnotou sy. Standardní chyba (standard error) odhadu ji je určena výrazem , tedy se vypočítá podle vzorce S.E. = Slouží k posouzení přesnosti metody, přičemž menší hodnota standardní chyby naznačuje vyšší spolehlivost odhadu ji. Kvalitu odhadů lze porovnávat pomocí střední kvadratické chyby (MSE) odhadu ji, která je definována vztahem M S £ ( £ ) = £ [ G u - A ) 2 ] - (2-3) Tento vztah lze dál e rozložit na dvě sl ožky MSE = Varfl + [E(n - A ) ] 2 , kde VarjX je rozptyl odhadu a [E([i — fl)]2 představuje kvadrát systematické chyby (bias). Odhad s nejmenší hodnotou MSE bude považován za nejkvalitnější, protože kombinuje jak nízký rozptyl, tak malou systematickou chybu. Toto kritérium však lze použít jen v případě, že je známa skutečná hodnota parametru / i , což nemusí být vždy splněno. Úspěch výpočtu této metody je závislý na třech klíčových faktorech: 1. kvalita generátoru náhodných čísel, 2. volba efektivního algoritmu výpočtu, 3. kontrola přesnosti dosaženého výsledku. Kapitola 2. Metoda Monte Carlo 17 2.2 Využití metody Monte Carlo Jak již bylo zmíněno v části 2.1, pomocí Buffonovy úlohy se dá metodou Monte Carlo určit hodnota Ludolfova čísla, nebo-li hodnota čísla n. V minulosti bylo provedeno několik experimentů za účelem získání tohoto čísla. Yasumasa Kanada v roce 1987, pomocí výpočetní techniky, určil číslo % na 201 326000 desetinných míst během 6 hodin. Vícerozměrné integrály, na rozdíl od jednorozměrných integrálů, které lze řešit tradičními numerickými metodami, jsou efektivněji řešeny použitím metody Monte Carlo na počítačích. Touto metodou lze snadno nalézt řešení složitých (např. nelineárních) funkcí. Další významné uplatnění má metoda Monte Carlo ve fyzice, například při určení pravděpodobnosti průchodu neutronu deskou. 2.2.1 Oceňování opcí Simulační metody se pro oceňování evropských opcí využívaly už před navržením BlackScholesova modelu. V této části si proto ukážeme, jak lze metodu Monte Carlo aplikovat na ocenění nejen evropských, ale i amerických opcí. Evropské opce Podle standardních předpokladů lze cenu evropské opce vyjádřit jako očekávanou hodnotu současné hodnoty její výplaty při použití rizikově neutrální pravděpodobnostní míry, přičemž cena akcie ST sleduje geometrický Brownův pohyb s driftem r : Sr = S 0 e x p j ( r - ^ ( 7 2 ) r + (7Wrj. (2-4) Cena evropské call opce je tak dána vztahem C = E(e-rT -Hc), kde r je bezriziková úroková míra a HQ představuje hodnotu evropské call opce v čase expirace T a platí pro ni vztah (1.1). Je zřejmé, že pro výpočet ceny je potřeba znát pouze hodnotu ceny podkladové akcie v den expirace opce. Stačí tedy generovat vzorky WV, které se řídí normálním rozdělením N{0,T), tedy WT = VŤ-Z, kde Z ~ 7V(0,1) a dopočítat cenu akcie ST podle vzorce (2.4). Odhad ceny call opce lze pak vypočítat pomocí vzorce Č=1 -te~rT HCj, kde n označuje počet simulací a Hej je hodnota evropské call opce při expiraci T pro j-tou simulaci. Analogicky se určuje odhad ceny evropské put opce, kde se místo hodnoty call opce využívá hodnota put opce. Odhad ceny je nestranný a asymptoticky normální, což zajišťuje jeho spolehlivost při dostatečném počtu simulací. Kapitola 2. Metoda Monte Carlo 18 Americké opce Oceňování amerických opcí se od evropských liší především v nutnosti určit optimální okamžik pro případné předčasné uplatnění. Jak jsme si uvedli v podkapitole 1.2.1, u amerických call opcí není nikdy výhodné uplatnit opci před datem expirace, a proto jejich hodnota odpovídá hodnotě evropské call opce. Naopak u amerických put opcí může být dřívější uplatnění výhodné. Proto se dále zaměříme výhradně jen na americké put opce. Cena americké put opce může být vyjádřena jako p= max E(e-rT Hp(Sx)), kde maximalizace probíhá přes časy zastavení (stopping times) x < T, funkce Hp(Sx) představuje hodnotu podkladové akcie v okamžiku zastavení x a očekávaná hodnota je brána pod rizikově neutrálním pravděpodobnostním měřítkem. Čas x tak určuje okamžik, kdy je opce uplatněna. Pro výpočet ceny americké put opce je tedy nutné znát vývoj ceny podkladového aktiva v různých časových okamžicích během životnosti opce. Posloupnost těchto hodnot ceny aktiva v diskrétních časových okamžicích 0 < t\ < t2 < • • • < tm — T lze pak získat použitím vztahu Sh = Sti_, e x p | (r- ^(72 ) {U - i ) + Oy/n-ti-iZ,. j, (2.5) kde Zti jsou nezávislé náhodné veličiny řídící se normálním rozdělením N(0,1). Klíčovou výzvou je, že držitel opce musí v každém okamžiku uplatnění porovnat aktuální výplatu s očekávaným výnosem z pokračování držení opce. Opce se uplatní pouze tehdy, když je okamžitá výplata kladná a vyšší než očekávaný výnos z pokračování. V opačném případě si j i držitel ponechá. Simulační metody však nedokážou přímo využít budoucí hodnoty podkladového aktiva k výpočtu očekávaného výnosu z pokračování a následnému určení ceny opce podle vztahu p = - £ m a x ( e - ^ ( S T ) ) . n t Přímé použití budoucích hodnot podkladového aktiva by vyžadovalo „dokonalou předvídavost" držitele opce, což není reálné a vedlo by ke zkresleným výsledkům. Teoreticky by bylo možné simulovat více drah aktiva pro každý možný bod uplatnění, avšak tento přístup je výpočetně neúnosný kvůli vysoké dimenzionalitě problému. Efektivní alternativou je metoda, která odhaduje podmíněné očekávání výnosu z odloženého uplatnění opce na základě dat získaných z průřezové simulace. K tomu se využívá metoda nejmenších čtverců. Tento přístup, známý jako metoda Least-Squares Monte Carlo, představuje praktický a výpočetně přijatelný způsob oceňování amerických prodejních opcí. Podrobnější popis této metody se nachází v následující kapitole. 2.2.2 Volatilita Volatilita, označována jako o, vyjadřuje míru kolísání ceny aktiva a tím i jeho rizikovost. Při oceňování opcí je však volatilita jediným parametrem, který nelze přímo pozorovat. V praxi se nejčastěji setkáváme s dvěma typy volatility: Kapitola 2. Metoda Monte Carlo 19 • implikovaná volatilita - odhaduje se zpětně z tržních cen opcí, • historická volatilita - vychází z minulého vývoje cen aktíva a je nezávislá na oceňování opcí. V našem případě se zaměříme na historickou volatilitu, označovanou 0#. Typicky by se její hodnoty měly nacházet v rozmezí od 0,15 do 0,6. V praxi se při jejím výpočtu pracuje pouze s obchodními dny, kterých bývá ročně přibližně 252, místo skutečného počtu kalendářních dnů. Roční volatilita se tedy vypočítá jako součin denní volatility a odmocniny z počtu obchodních dnů za rok, tedy arok — a^en • a/počet obchodních dnů za rok (=252). (2.6) Doba trvání opce se pak určí jako počet obchodních dnů do expirace T = počet obchodních dnů za rok Předpokládejme, že máme m+ 1 pozorování cen aktiva {So,Si, • • • , S m } , která jsou zaznamenána v pravidelných časových okamžicích řř-, kde platí řř- = iAt a S, je cena aktiva v čase ř,-. Časový interval mezi pozorováními je značen Ar. Dále logaritmické výnosy jsou definovány jako < * = - ( £ . O těchto veličinách U\, U2, • • •, Um se předpokládá, že jsou nezávislé a normálně rozdělené se střední hodnotou (ji — \o2 )At a rozptylem G2 At. Jinými slovy, logaritmické výnosy Ui jsou náhodné veličiny, které mají normální rozdělení dané vztahem Ui~N\ (n--o2 )At,o2 At). (2.7) Vzhledem k dostupnosti historických dat je možné k odhadu této střední hodnoty a rozptylu použít Monte Carlo přístup. Výběrový průměr logaritmických výnosů {Ui}f=l je dán vztahem 1 m °H + m v m kde v2 je rozptyl veličiny (U — E(Ů))2 , přičemž platí v2 = 2 c 4 . Z toho plyne, že interval spolehlivosti pro o2 má tvar 2 l,96\/2<72 2 l,96\/2<72 Podobně lze odvodit interval spolehlivosti pro samotnou volatilitu c (cg- 1 ' 9 6 < 7 H OH + 1 '96<7H ) V \j2m \j2m ) Tento interval ukazuje, že přesnost odhadu volatility roste s počtem pozorování m, což odpovídá chování standardní chyby, která klesá jako Při oceňování opcí se doporučuje, aby délka historických dat odpovídala době do expirace opce. Použití delšího časového horizontu může vést k přesnějšímu odhadu volatility a tím i ke spolehlivějšímu oceňování opcí. Pro výpočet historické volatility lze také použít upravený vzorec pro výběrový průměr. Pomocí pravidla logaritmu podílu, kde platí ln(|) = lna — ln/>, lze vzorec (2.8) zjednodušit následovně 1 m 1 \ ÍS \ am = - Y (lni,- - lnSi_i) = - (lnSm - lnS0 ) = - ln • Tento vztah ukazuje, že výběrový průměr am závisí pouze na první a poslední ceně aktiva, což výrazně zjednodušuje výpočty. Model cen aktiva pak předpokládá, že ln í ) ~ /VÍ í a - V ] mAt, o2 mAt odkud plyne Protože am má malou střední hodnotu i rozptyl, často se ve výpočtu (2.9) nahrazuje nulou, což vede k alternativnímu odhadu historické volatility Kapitola 2. Metoda Monte Carlo 21 Tento upravený odhad se v praxi považuje za spolehlivější. Historickou volatilitu lze odhadnout také pomocí metody maximální věrohodnosti (maximum likelihood estimation, M L E ) , která se od výše uvedeného vzorce (2.11) liší pouze tím, že místo korekčního členu m — 1 se uvažuje člen m. Kapitola 3 Generování náhodných čísel V následující kapitole zabývající se generováním náhodných čísel se hlavně vychází z Monte Carlo simulation with applications to finance [10], Metoda Monte Carlo a možnosti jejího uplatnění [13], Úvod do metody Monte Carlo [18] a Monte Carlo simulation and finance [19]. Uvedli jsme si, že výpočetní postup metody Monte Carlo spočívá v opakovaném provádění náhodných pokusů, které jsou modelovány pomocí operací s náhodnými čísly. Náhodné číslo lze chápat jako konečnou posloupnost číslic, které odpovídá realizaci náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením na intervalu (0,1). Ve skutečnosti jde o skupinu k náhodných číslic 0Cř, které tvoří prvních k desetinných míst desetinného rozvoje náhodného čísla ve tvaru 0, a\, «2, • • • &k — Náhodnými číslicemi se myslí konečná posloupnost číslic, kterou lze považovat za posloupnost realizací nezávislých náhodných veličin z diskrétního rozdělení s pravděpodobností P(X = i) = ^ , i = 0,...,9. (3.1) Náhodné číslice tedy nabývají hodnot 0,..., 9 s pravděpodobností JQ. Věta 3.1. 1. NechťX\,X2,... je posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s rozdělením (3.1). Pak náhodná veličina Y = £ 10 - % í=l má rovnoměrné rozdělení na (0,1). 2. Nechť náhodná veličina Y má rovnoměrné rozdělení na (0,1). Pak posloupnost Xi,X2, ...z desetinného rozvoje Y — !Q~'XiJe posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s rozdělením (3.1). Z věty 3.1 lze vyvodit, že není podstatné, zda se pracuje s náhodnými čísly nebo s náhodnými číslicemi. -22- Kapitola 3. Generování náhodných čísel 23 Existuje několik technik, jak generovat náhodná čísla. Nejjednodušším typem generátoru může být například urna s 10 stejnými koulemi, které jsou označené čísly 0, ...,9. Samotný princip generování spočívá v tom, že se z urny náhodně vybere jedna koule a její číslo se zapíše na pozici y}. která je skutečnou inverzí (^F ( F - 1 (y)) = F - 1 (F(y)) = yj, jestliže je distribuční funkce spojitá a striktně rostoucí. Pro pseudoinverzní funkci platí F " 1 ( F ( x ) ) < x a F ( F " 1 ( y ) ) > y , přičemž F - 1 ( F ( F - 1 ( v ) ) ) = F - 1 ( v ) a F ( F - 1 ( F ( x ) ) ) = F ( x ) . Metoda inverzní transformace je založena na této větě. Věta 3.2. Pokud je F libovolná spojitá distribuční funkce a U je rovnoměrné na [0,1], pak X — F~l (U) má distribuční funkci F(x). Důkaz. Nechť pro libovolné x G M platí {U < F(x)} C {X < x} C {U < F(x)}. Kapitola 3. Generování náhodných čísel 25 Dále platí F (x) = P{U < F (x)} < P (X 0 pro x < 0 a pro distribuční funkci platí F(x) — 1 — exp (—|), x > 0. Použitím inverze se získá X = -e\n(l-U), X - l n t / . (yn , ?n ), které mají následující vlastnosti: • dvojice vzorků (Yi,?i) , (Y2,Y2)(Y„,Y„) jsou nezávislé a pocházejí ze stejného rozdělení, • pro každé i platí, že pozorování Y[ a % jsou závislá a mají stejné rozdělení. Náhodná veličina Y má tedy stejné rozdělení jako jednotlivé hodnoty Y[ a %. Odhad antitetických veličin je průměrem všech 2n pozorování uhu2,...,u, pak touto metodou vzniká i posloupnost l-Uhl-U2,...,l-Un. (3.2) Z tohoto vyjádření lze vidět, že odhad ÝAV je výběrovým průměrem n nezávislých pozoro­ vání (3.3) Kapitola 3. Generování náhodných čísel 28 Z centrálni limitní věty plyne YAV-E(Y) kde alv = Var Pokud OAV nahradíme výběrovou směrodatnou odchylkou SAV hodnot (3.3), můžeme získat interval spolehlivosti: v> $AV T> SAV lAV — ZS—/=,IAV + ZS — p 2 Jn 2 Jn kde za = <ř> 1 — f ) j e l — f kvantil normálního rozdělení. Účinnost metody protikladných proměnných se určuje snížením rozptylu. Nechť Y[ má stejné rozdělení jako % a a2 — Var(Yi), pak Var{YAv) = ^f...a je známa jejich pravděpodobností funkce P i = P(Ý = yi), í = l , 2. pro všechna i = 1,..., k, je možné vybrat vzorek Y za podmínky, že Ý = ýi. Vzorkovací prostor je tedy rozdělen na k podmnožin podle hodnoty Ý. Každá podmnožina se nazývá jako stratům a veličina Ý je stratifikační proměnná. Věta 3.3 (Tower Property - věžová vlastnost podmíněného očekávání). Pro jakékoliv náhodné veličiny XaYplatí E(E(X/Y))=E(X). Z této věty vyplývá, že E(Y) lze vypočítat jako vážený průměr očekávání jednotlivých strat, tedy k E(Y)=E(E(Y | ?)) = J > . £ (Y \ Y = yt). i=\ Předpokládá se znalost pravděpodobnostní funkce p i, proto stačí pouze odhadnout podmíněné očekávání E (Y \ Ý — ýi). To je možné díky předpokladu, že lze získat vzorky Y podmíněné Ý — ýi. Celková velikost vzorku n je rozdělena stratifikovaným výběrem do k skupin n — n\ +n2-\ Yn^ a pro každé stratům určené Ý — ýi se odebere nř- vzorků {Yij : j = 1,2,... ,nř }. Odhad stratifikovaného výběru se tudíž definuje jako Kapitola 3. Generování náhodných čísel 33 Odhad Yss je nestranný, jelikož se očekávaná hodnota odhadu rovná skutečné střední hodnotě Y: = t (PÍ • ^ IE (Y IÝ = *)) = t PÍ • ~ ^ (Y I? = Ä) = f=l \ " í y=l / (=1 " í Í=I Z nezávislosti vzorku je rozptyl odhadu Í 5 5 roven Var {Ýss) = t ( p r \ t V a r (y ij) ) = t ( p r \ - mVar {Y | Ý = yt)) k , = Yäp2 r-Var(Y\Y = yl). Obvykle nejsou přesně známé hodnoty rozptylu Var (Y \ Ý = yi) pro i — 1,2,..., k. Lze je však odhadnout pomocí výběrového rozptylu. Pokud jsou k dispozici vzorky [YÍJ : j — = 1,2,..., ni} z konkrétní straty i, výběrový rozptyl se určuje podle následujícího vzorce Proto je standardní chyba odhadu Ýss ve tvaru S.E. = , P r ~ s l n, Nechť qi — ^j& podíl vzorků z /-té straty. Pro každou stratu yi j sou vzorky Yi\, ľ # , . . . , ľíW i nezávislé a ze stejného rozdělení se střední hodnotou E (ľ/,-) = £ (i7 | ? = )>;) = jU; a rozptylem Var (fy-) = Var (Y \ Ý = ýt) = of. Podle knihy [24] ze str. 216 lze odhad y/ň (Ýss - fi) asymptoticky vyjádřit lineární kombinací nezávislých normálních náhodných veličin, které mají střední hodnotu 0 a rozptyl of. To znamená, že pro rostoucí n a fixní k platí ^(Ýss-n)^N(0,ož>), 4 = E-a '(=1 li Na základě centrální limitní věty lze pro E(Y) asymptoticky vytvořit 1 — ô interval spo­ lehlivosti Ýss — zs—%7Ýss + Z8 — p 2 J n 2 J n Kapitola 3. Generování náhodných čísel 34 kde zs — í* 1 ( l — f J. Obvykle hodnota OQ není známá, ale dá se odhadnout jako 2 _ v- Pi. 2 S Q ~ L n . s i' i=l í' kde 5? je výběrový rozptyl vzorku ľ/i, ľ/2,..., ľ/W;.. Pro výběr stratifikační proměnné ľ neexistuje jeden univerzální způsob, který by se v praxi používal. Je však důležité, aby byla silná korelovanost mezi proměnnou Y a stratifikační proměnnou Y. Dále by měl být výběr vzorku podmíněný Ý efektivní, tj. neměl by vyžadovat příliš mnoho výpočetního úsilí. Rozdělení prostoru na strata vždy vede ke snížení rozptylu, proto může stratům obsahovat jen jeden vzorek a tím pádem bude n strat. Pro odhad rozptylu a konstrukci intervalu spolehlivosti je však potřebné, aby každé stratům mělo více vzorků. Počet vzorků v každé strate ni, «2, • • •, % je stanoven předem. Velikost strat lze určit podle dvou různých metod, které jsou v následujícím odstavci podrobně vysvětleny. První možností je, že velikost vzorku v každé strate je zvolena jako pevná část celkového počtu vzorku n. To lze vyjádřit vzorcem nt = n-qu kde qi > 0 je podíl vzorků přidělených do /-té straty, přičemž platí q\ + qi H—qk = lProporcionální alokace je přístup, ve kterém se qi určí jako qi — pi. Další častější strategie se zaměřuje na minimalizaci rozptylu odhadu Ý$s- Hodnoty qi,q2,...,qn se vybírají tak, aby minimalizovaly výraz Var (Ýss) ^-£p2 .-Var(Y\Ý^ yt) = - J>? • -Var (Y\Y = yt). i=l n i n i=l li Tato optimalizační úloha má řešení prJvar(Y\Ý=ýi) q\ = V , (3.11) Lk m=iPm-y/Var(Y \Y = ým) přičemž se jedná o optimální alokaci pro každé stratům. Jelikož hodnoty Var ( ľ | Ý — y/) jsou neznámé, k jejich odhadu se často používají tzv. pilotní vzorky. V porovnání s klasickou metodou Monte Carlo obě zmíněné alokace přispívají ke snížení rozptylu odhadu. Ověření, že proporcionální alokace vede ke snížení rozptylu lze nalézt např. na str. 217 v knize [24]. U optimální alokace není potřeba tento fakt ověřovat, jelikož je navržena tak, aby minimalizovala rozptyl. Kapitola 3. Generování náhodných čísel 35 3.5 Least-Squares Monte Carlo Metodu Least-Squares Monte Carlo (LSM) představili Longstaff a Schwartz ve svém článku [28]. Tato metoda kombinuje simulaci Monte Carlo s regresí metodou nejmenších čtverců pro aproximaci časových hodnot opce. Díky své flexibilitě a jednoduché implementaci se stala jedním z nejpoužívanějších přístupů pro oceňování amerických opcí. Představuje způsob, jak aproximovat optimální strategii zastavení, která zajišťuje maximální hodnotu americké opce. Dalšími zdroji jsou [16], [17] a [27]. V každém diskrétním časovém okamžiku ti porovnává metoda L S M okamžitou výplatu s odhadovanou očekávanou hodnotou budoucího výnosu z odloženého uplatnění opce. Tento očekávaný výnos je odhadován regresí realizovaných výnosů z pokračování na bázové funkce cen podkladového aktiva. Hodnoty získané z regrese slouží jako odhady očekávaných výnosů z pokračování a následně se porovnávají s výplatami z okamžitého uplatnění. Opce se uplatní pouze v případě, když okamžitá výplata převyšuje očekávaný výnos z pokračování. Regrese v metodě L S M vytváří vazbu mezi cenami na různých cestách simulace, čímž nahrazuje složitý přímý přístup k oceňování amerických opcí. Pro zajištění účinnosti metody je zapotřebí použít pouze malý počet polynomů v regresi. Algoritmus postupuje zpětně v čase, přičemž optimální výnosy jsou diskontovány k počátečnímu času (t — 0). Předpokládejme, že americkou opci lze uplatnit pouze v m diskrétních časových okamžicích 0 < t\ < t2 < • • • < tm — T. V tomto případě je přesnější hovořit o hodnotě bermudské opce, protože možnost uplatnění není nepřetržitá. Pokud však délku jednotlivých časových intervalů Ar zkrátíme tak, aby se blížila nule, bude se hodnota bermudské opce stále více přibližovat hodnotě americké opce. Jinými slovy, nepřetržitou možnost uplatnění americké opce lze dobře aproximovat dostatečně velkým počtem časových okamžiků m. Algoritmus L S M metody pro oceňování americké put opce probíhá podle tohoto po­ stupu: 1. Nejprve se vygeneruje n náhodných drah cen podkladového aktiva, označených jako (Sf, ti), kde k — 1,..., n představuje jednotlivé simulované cesty a ti — iAt jsou diskrétní časové okamžiky pro i = 0,..., m. 2. Oceňování probíhá zpětně od doby splatnosti tm — T směrem k počátečnímu času to. V každém časovém okamžiku ti se hodnotí, zda je výhodné opci uplatnit, přičemž jednotlivé kroky jsou: (a) Na konci doby splatnosti T je hodnota opce rovna maximální výplatě v čase T, tedy F* = F ( S * , r m ) = m a x ( t f - S * , 0 ) , kde K je realizační cena opce a 5^ je cena podkladového aktiva na k-té dráze v čase T. (b) Předpokládejme, že hodnota výplatní funkce Ff+X — F(S^+l, ti+u je známá pro i = m — 1,..., 1. Pro body (Sf, ti) mějme x = sl Kapitola 3. Generování náhodných čísel 36 což je aktuální cena podkladového aktíva, a Y = e-rAt F(Sl1,ti+1)) což je diskontovaná hodnota odloženého uplatnění. (c) Pro každou cestu, kde je opce v penězích (Sf < K), se hodnota pokračování Y odhaduje pomoci bázových polynomů aktuální ceny podkladového aktíva ( X , X 2 , ,Xq ). Komplexita aproximaceje řízena parametrem g, který udává maximální stupeň polynomu. Nejčastěji se používá polynom druhého stupně (q — 2), což znamená, že hodnota opce z pokračování je aproximována tvarem V(Sf,ři) ^a0 + aiX + a2X2 , kde ao,ai,a2 jsou koeficienty získané regresní analýzou metodou nejmenších čtverců. (d) Odhadnutá pokračovací hodnota V(Sf,rř ) se porovná s okamžitou výplatou max(K — Sf, 0). Opce se uplatní, pokud m a x ( A - - S ř , 0 ) > V ( S f , ř i ) . Jinak se opce ponechá. (e) Pro cesty, kde je opce uplatněna, se nastaví hodnota F(S\, ti) — max(Äľ — S\, 0), jinak F(St,ti)=F(SÍ+1,ti). 3. Po dokončení zpětného postupu se výsledná cena put opce určí jako průměr diskontovaných výplat na všech simulovaných drahách, tedy p = m a x ( t f - S T t , 0 ) , n k=\ kde Tfc je optimální okamžik, kdy byla opce uplatněna při k-té simulaci. Metoda L S M je snadno implementovatelná, protože vyžaduje pouze jednoduchou regresní analýzu. Regresní koeficienty (ao, a\,..., aq) se určují metodou nejmenších čtverců, která minimalizuje součet kvadrátů rozdílů mezi skutečnými hodnotami Y a modelovými hodnotami: min Tento přístup umožňuje odhadnout podmíněnou očekávanou hodnotu z odloženého uplatnění opce s dostatečnou přesností, což je zásadní pro určení optimální strategie uplatnění a následné ocenění americké prodejní opce. Výpočetní rychlost a efektivita L S M metody mohou být výrazně zlepšeny použitím kvazi-náhodných čísel, která jsou nedílnou součástí techniky Quasi-Monte Carlo. Jejich použití však může být komplikováno problémem vysoké dimenzionality, který lze odstranit nebo alespoň snížit konstrukcí Brownova mostu pro trajektorie v L S M metodě. Kapitola 3. Generování náhodných čísel 37 3.6 Quasi-Monte Carlo Quasi-Monte Carlo (QMC) je metoda vzorkování, která se odlišuje od tradičních metod tím, že nepracuje s náhodně generovanými čísly. Místo toho využívá posloupnosti čísel, které se systematicky tvoří za předem stanovených pravidel tak, aby body posloupnosti co nejrovnoměrněji pokryly celý pravděpodobnostní prostor. Tyto posloupnosti, známé jako posloupnosti s nízkou diskrepancí, obsahují tzv. kvazi-náhodná čísla, díky nimž metoda dosahuje rychlosti konvergence téměř Důležitým prvkem této metody je zachování specifického pořadí čísel v posloupnosti. Hlavní výhodou Q M C je její efektivita při výpočtu průměrných hodnot, například výplat derivátů. Hlavním zdrojem této části je kniha Monte Carlo methods infinancial engineering [24]. Mezi další zdroje patří [17], [18], [27], [29] a [30]. U klasické metody Monte Carlo se snažíme zjistit, jaká je očekávaná hodnota / i známe funkce h(X). Vztah (2.1) lze chápat jako výpočet integrálu nad ř-rozměrnou jednotkovou hyperkostkou [0, l)1 , tedy kdexjebodv [0, l)1 a/zjeintegrovatelnáfunkce. K určení odhadu hodnoty jU j sou potřebné body X\,X2,...,Xn, které jsou při klasické Monte Carlo metodě náhodné, nezávislé a 2 rovnoměrně rozložené na [0, l)1 . Tento odhad je nestranný a má rozptyl kde Pro a2 < °°, lze vypočítat interval spolehlivosti pro / i , přičemž s rostoucím počtem n bude chyba klesat rychlostí Quasi-Monte Carlo metoda nahrazuje nezávislá náhodná čísla deterministickou množinou bodů Pn — {xi,X2,... , x n } , které jsou pravidelně rozloženy na jednotkové hyperkostce [0,1)'. Díky rovnoměrnému rozložení bodů může Q M C metoda v ř-dimenzionálním prostoru dosáhnout rychlosti konvergence fi^p- a v ideálním případě dokonce \ . To znamená, že při stejném počtu bodů n může být chyba výrazně menší než u tradiční Monte Carlo metody. Je však důležité zmínit, že vliv exponentu t v logaritmu naznačuje, že výhody metody Q M C budou významné zejména u problémů s nižší dimenzí, zatímco při velmi vysokých dimenzí může efektivita metody klesat. Mezi nejčastěji používané posloupnosti v rámci Q M C metod patří Van der Corputova posloupnost, Haltonova posloupnost a Sobolova posloupnost, které budou podrobněji představeny v následující části. Van der Corputova posloupnost Van der Corputovy posloupnosti patří mezi jednorozměrné posloupnosti s nízkou diskrepancí, které hrají zásadní roli jako stavební kámen pro mnoho vícerozměrných konstrukcí. Uvažujme číselnou soustavu se základem b, kde b je přirozené číslo a b > 2. Každé kladné číslo k lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci nezáporných mocnin b Kapitola 3. Generování náhodných čísel 38 s koeficienty z množiny {0,1,..., b — 1}. Toto vyjádření k v soustavě b má tvar oo k=Y,aj(k)bj , ;=o kde je pouze konečný počet koeficientů aj (k), které jsou nenulové. Podstatným nástrojem při generování Van der Corputových posloupností je funkce inverzního radikálu fy, která převádí každé číslo k na hodnotu intervalu [0,1) tím, že „překlápí" jeho koeficienty aj(k) kolem desetinné čárky v b-ové soustavě. Výsledkem je zlomkové číslo tvaru .ao{k)a\{k)a.2{k)..., kde číslice aj(k) je nyní místo násobení V dělena ti+ . Inverzní radikál o základu b se tedy vypočítá jako m ) = Í a M - (3-12) j=o °J Prvních n prvků Van der Corputovy posloupnosti v základu b je určeno aplikací funkce inverzního radikálu na čísla k = 0,1,2,..., n — 1. Posloupnost pak tvoří prvky fy(0),fy(l),fy(2),...,fy(n-l). Pokud například uvažujeme základ b — 3, Van der Corputova posloupnost generuje body v intervalu [0,1) převrácením číslic každého k v trojkové soustavě. Prvních devět bodů této posloupnosti je 1 2 1 4 7 2 5 8 ° ' 3 ' 3 ' 9 ' 9 ' 9 ' 9 ' 9 ' 9 " Tyto body se rovnoměrně rozkládají na intervalu [0,1) a tím je zajištěna nízká diskrepance. Haltonova posloupnost Haltonova posloupnost představuje nejjednodušší konstrukci posloupností s nízkou diskrepancí v libovolné dimenzi t. Tato posloupnost byla navržena Haltonem jako rozšíření práce Hammersleyho a její konstrukce je založena na využití Van der Corputových posloupností v různých bázích. Nechť b\,...,bt jsou navzájem nesoudělná přirozená čísla větší než 1. Poté ŕ-rozměrný bod xt určíme jako *k = Ubl(k)Ab2(k),---AbAk )\ kde £ = 0,1,2... a fy je funkce inverzního radikál u definovaná vztahem (3.12). Důl ežitou podmínkou je, že čísla bi musí být navzájem nesoudělná, aby posloupnost mohla správně vyplnit jednotkovou hyperkostku. Nejčastěji se proto b\,...,bt volí jako prvních t prvočísel. Haltonova posloupnost je teoreticky nekonečná. Nicméně, pokud se předem určí počet bodů n, může se pracovat s Hammersleyovou množinou bodů v dimenzi t. Hammersleyova množina bodů má podobnou konstrukci jako Haltonova posloupnost, avšak každý bod Xk má první souřadnici danou zlomkem | . Tento bod je tedy definován jako *k= (-,b2 (*),.. •,(t>bt_1{k)\ Kapitola 3. Generování náhodných čísel 39 kde k = 0, . . . , n — 1, a základ bj je 7-tým nejmenším prvočíslem. Hammersleyova množina je tedy vhodná pro konečné generování bodů, které jsou rovnoměrně rozloženy v jednotkovém prostoru. Sobolova posloupnost Sobolovy posloupnosti jsou definovány v základě 2 jako sekvence bodů x^ v jednotkové hyperkostce, přičemž každá podposloupnost 2m Cl 06/02/2024 06/06/2024 07/10/2024 07/02/2025 07/01/2025 17/01/2025 i r 29/01/2025 07/02/2025 Obrázek 4.1: Roční a měsíční průběhy ceny akcie Tento vývoj cen lze pozorovat na Obrázku 4.1, který zobrazuje průběh ceny akcie za rok a za poslední měsíc. Na začátku ročního období cena akcie přibližně tři měsíce klesala, kdy dosáhla i svého minima 165 a poté již převážně rostla. To potvrzuje i proložený lineární trend, kolem kterého cena značně kolísá. Naopak, u měsíčních dat cena většinu času klesala, což se odráží i v klesající trendové křivce. 4.2 Určení historické volatility V podkapitole 2.2 jsme si uvedli, že volatilitu lze odhadnout z historických dat třemi způsoby. Prvním z nich je použití klasického vzorce (2.10), který vychází z výběrového rozptylu logaritmických výnosů a délky časového intervalu mezi pozorováními. V případě ročních dat uvažujeme At — ^ a P r o měsíční data platí At — ^ . Dále lze historickou volatilitu získat alternativním vzorcem (2.11), který se mírně liší od prvního vzorce a nakonec j i lze také odhadnout metodou maximální věrohodnosti. Všechny tyto tři přístupy aplikujeme na roční a měsíční data. Získané odhady jsou uvedeny v Tabulce 4.2. Kromě odhadů jsou v této tabulce také jejich 95% intervaly spolehlivosti, délky těchto intervalů a hodnoty volatility přepočítané na roční období, které získáme za použití Kapitola 4. Praktická část 43 Data Přístup výpočtu Odhad IS Sirka IS Roční volatilita roční klasický alternativní M L E 23,58% 23,61% 23,56% (21,52;25,64) (21,55; 25,67) (21,50; 25,62) 4,118 4,123 4,115 23,58% 23,61% 23,56% měsíční klasický alternativní M L E 9,38% 9,49% 9,258% (6,55; 12,22) (6,678; 12,356) (6,458;12,058) 5,676 5,738 5,6 32,51% 32,86% 32,07% Tabulka 4.2: Odhady historické volatility vzorce (2.6). Šířka intervalu spolehlivosti vyjadřuje přesnost odhadů - čím užší je interval, tím přesnější je odhad. Z tabulky je zřejmé, že metoda maximální věrohodnosti poskytuje nejpřesnější odhady jak u ročního, tak i měsíčního pozorování cen. V případě ročních dat získáváme přímo hodnoty roční volatility, kdežto odhady z měsíčních dat odpovídají měsíční volatilitě, a proto je třeba je vynásobit odmocninou z celkového počtu měsíců v roce, tedy \ / l 2 . Ceny akcie posledního měsíce mají téměř o 10% vyšší volatilitu než pozorované ceny za celý rok. To vysvětluje výraznější kolísání cen v měsíčním grafu na Obrázku 4.1 oproti celoročnímu průběhu. Přestože jsou odhady získané metodou M L E nejpřesnější, při oceňování opcí budeme počítat s historickou volatilitou získanou klasickým postupem, jelikož se v praxi tento přístup běžně používá a navíc rozdíly mezi těmito přístupy jsou minimální a nemají zásadní dopad na výsledky následných výpočtů. Při oceňování opcí tedy budeme uvažovat, že volatilita je 23,58 % nebo 32,51 %. 4.3 Ověření předpokladů Předpokládáme, že se zavírací ceny řídí geometrickým Brownovým pohybem. Zlogaritmované výnosy by tedy měly být nezávislé a z normálního rozdělení. Na Obrázku 4.2 jsou vykresleny zlogaritmované výnosy společně s odhadnutou střední hodnotou a se třemi odhady 95% intervalů spolehlivosti, při jejichž výpočtu jsou využity historické volatility, které jsou získané buď klasickou metodou, alternativní metodou nebo metodou maximální věrohodnosti. Pouze pár hodnot ročních zlogaritmovaných výnosů je mimo tři překrývající se intervaly spolehlivosti, což naznačuje, že v těchto dnech došlo k neobvykle velkým změnám v ceně akcie. Z obrázku ale můžeme usoudit, že více než 95% všech hodnot leží uvnitř všech tří intervalů spolehlivosti. Hodnoty měsíčních zlogaritmovaných výnosů se nachází ve všech třech intervalech spolehlivosti, které se již vzájemně nepřekrývají. Data Medián Střední hodnota Spičatost Sikmost roční měsíční 0,00159 -0,00142 0,000732 -0,00296 5,795499 2,5527992 0,2325928 -0,04197592 Tabulka 4.3: Základní charakteristiky zlogarimovaných ročních a měsíčních výnosů Normalita se testuje porovnáním základních charakteristik zlogaritmovaných výnosů Kapitola 4. Praktická část Roční zlogaritmované výnosy Měsíční zlogaritmované výnosy 44 s charakteristikami normálního rozdělení, vykreslením Q-Q-plotu a nebo pomoci Kolmogorovova-Smirnovova testu, který je detailněji vysvětlen v materiálu [33]. Základní popisné statistiky zlogaritmovaných ročních i měsíčních výnosu jsou vypsány v Tabulce 4.3. Přibližně nulové hodnoty mediánů i středních hodnot odpovídají normálnímu rozdělení. Pro výpočet hodnot šikmosti a špičatosti se v programu R využívá balíček moments [34]. U normálních dat je špičatost rovna 3 a šikmost rovna 0. Proto vyšší hodnota špičatosti u ročních výnosů značí, že hustota rozdělení je špičatější, než by měla být hustota normálního rozdělení, zatímco nižší hodnota měsíčních výnosů odpovídá menší špičatosti. Lehce odchýlená šikmost od 0 poukazuje na nesymetrii rozdělení, kterým se řídí naše zlogaritmované výnosy. Q-Q plot pro rok Q-Q plot pro měsíc c (O n a a) £ Ol o o o o o = O a CO o o Theoretical Quarrtiles Theoretical Quantiles Obrázek 4.3: Q-Q ploty ročních a měsíčních zlogaritmovaných výnosů Z vykreslených Q-Q-plotů na Obrázku 4.3 výše lze usoudit, že normalita v datech Kapitola 4. Praktická část 45 nemusí být splněna, neboť je z těchto grafů patrné, že roční i měsíční data mají mírně těžší chvosty oproti datům řídícím se normálním rozdělení. Nakonec provedením Kolmogorovova-Smirnovova testu normality, který na hladině významnosti 0,05 zamítá nulovou hypotézu o normalitě dat, u ročních dat dostáváme p-hodnotu testu 0,0041, což je méně než 0,05, a proto lze zamítnout nulovou hypotézu o normalitě dat. Nicméně zjišťujeme, že měsíční zlogaritmované výnosy lze považovat za normálně rozdělené, jelikož p-hodnota testu je 0,4929. ACF pro rok ACF pro měsíc o < co O O o o 1 , 1 , 1 i i i i i i r 0 2 4 6 8 10 Lag Lag Obrázek 4.4: Autokorelační funkce ročních a měsíčních zlogaritmovaných výnosů Nezávislost zlogaritmovaných výnosů lze prokázat kontrolou autokorelace mezi jednotlivými hodnotami, jelikož pokud jsou data normální, nekorelovanost by znamenala i nezávislost. K tomuto se použije autokorelační funkce, která je pro oba zlogaritmované výnosy vykreslena na Obrázku 4.4. V obou případech jsou všechny lagy (kromě nultého lagu) uvnitř pásma, což naznačuje, že žádná autokorelace mezi výnosy není, a tudíž se chovají nezávisle. Naše domněnky lze potvrdit provedením Ljung-Boxova testu, který je podrobněji vysvětlen na webové stránce www.statology.org [35]. Opět získáváme vysoké p-hodnoty pro roční data je p-hodnota 0,4164 a pro měsíční 0,7936. Na základě těchto výsledků lze data považovat za nezávislá. 4.4 Generátory náhodných čísel V této části se zaměříme na generování náhodných čísel z normálního rozdělení. Konkrétně budeme zkoumat, zda získaná čísla z generátorů, které jsme si naprogramovali pomocí jazyka R, pocházejí skutečně z normálního rozdělení. Celkem se zabýváme devíti generátory - klasické náhodné generování prvků z normálního rozdělení, použití metody inverzní transformace, zamítací metody, metody protikladných proměnných, metody řídících proměnných, stratifikovaného výběru a Quasi-Monte Carlo metody s posloupnostmi Van der Corput, Halton a Sobol. Speciálně se u zamítací metody využívá pomocná funkce Kapitola 4. Praktická část 46 rovnoměrného rozdělení na intervalu (—4,4). Metody protikladných a řídících proměnných se aplikují na vzorky generované klasickou metodou Monte Carlo, přičemž u metody protikladných proměnných se používá poloviční počet vzorků, aby všechny metody generovaly stejný počet čísel. U stratifikovaného výběru je počet bodů ve stratech rovnoměrně rozložený a strat je celkem 5. Posloupnost Van der Corput uvažuje základ 3 a posloupnosti Halton i Sobol, který potřebuje k programování balíček randtoolbox [36], jsou 4-dimenzionální. Tyto zmíněné generátory jsou uvedeny v příloze této práce. Klasická MC Inverzní transformace Zamhací metoda . 4 - 2 0 2 4 vzorky simulace - 4 - 2 0 2 vzorky simulace -4 -2 0 2 4 vzorky simulace Metoda protikladných prom. i -2 0 2 •.-Ork,simulace Metoda řídicích prom. -r-2 0 2 •.Tor Ir. 51 mulat 8 Stratitikované i/iorkoi/ání ~l 1 1 1 1 1 1 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 vzorky simulace Van der Corput - 4 - 2 0 vzorky simulace Halton -2 0 2 vzorky simulace - 3 - 2 - 1 0 "I 2 3 vznrky simulace Obrázek 4.5: Histogramy simulovaných vzorků s hustotou normálního rozdělení Na Obrázku 4.5 jsou zobrazeny histogramy generovaných vzorků získaných danou metodou, které jsou proložené hustotou pravděpodobnosti normálního rozdělení. Všechny metody simulují 10000 náhodných čísel, o kterých lze z obrázku usoudit, že se skutečně řídí normálním rozdělením. Můžeme si všimnout, že u metody protikladných proměnných je histogram symetrický, jelikož ke každému náhodnému číslu je vygenerované i jeho opačné číslo. Nejpřesnější se však zdá být metoda Quasi-Monte Carlo, protože také jejich histogramy působí symetricky a dobře odpovídají teoretické hustotě pravděpodobnosti. V Tabulce 4.4 jsou vypsány hodnoty, které také slouží k posouzení kvality generátorů. Výběrové průměry vzorků jsou u všech metod blízké nule, která je střední hodnotou standardizovaného normálního rozdělení a ke které by se měly tyto průměry blížit. Také výběrové rozptyly přibližně odpovídají skutečné hodnotě rozptylu normálního rozdělení, tedy hodnotě 1. Navíc vysoké p-hodnoty získané pomocí Kolmogorovova-Smirnovova testu opět nasvědčují, že používané generátory k simulaci jsou kvalitní a generovaná čísla jsou opravdu náhodná. Nakonec porovnáme empirické hustoty s teoretickou hustotou podle kroků uvedených v podkapitole 3.1. Vykreslené hodnoty proti xř- jsou znázorněny pro každou metodu na Obrázku 4.6. Průběh těchto grafů se přesně podobá histogramům z Obrázku 4.5. Kapitola 4. Praktická část 47 Metoda Výběrový průměr Výběrový rozptyl P-hodnota K. -S. testu klasická M C -0,006537 1,0249 0,3214 inverzní transformace 0,000205 1,0209 0,3879 zamítací 0,015854 0,9974 0,674 protikladných prom. 0 1,054 0,8419 řídících prom. -0,006083 1,0242 0,1375 stratifikovaný výb. 0,002048 1,0054 0,3811 Van der Corput -0,0014 0,9987 1 Halton -0,003236 0,997 1 Sobol 0,00004 0,9943 1 Tabulka 4.4: Ověření náhodnosti Na základě všech provedených testů a srovnání skutečných charakteristik či hustot s teoretickými můžeme usoudit, že všechny generátory spolehlivě vytvářejí kvalitní náhodné vzorky z normálního rozdělení. 4.5 Oceňování evropské opce V podkapitole 2.2jsme si uvedli, jakým přístupem se oceňují evropské opce pomocí metody Monte Carlo. Hodnota evropské call opce se tedy klasicky odhaduje následovně: 1. pro každé i = 1,2,..., n se provede: (a) generování náhodného čísla Z,-, které se řídí normálním rozdělením N(0,1), (b) určení ceny akcie Xi v čase T podle vzorce Xi = S0 exp | ( r - T + ay/ŤZ^, (4.1) (c) určení ceny call opce Q — e rT (Xi — K)+ pro /-tou simulaci, 2. odhad ceny opce se vypočte průměrem cen všech simulací Č = \ [C\ H V Cn), 3. standardní chyba se určí jako S.E. — vosti se vypočítá podle vztahu (2.2). \ ^I"=i c f ~ N Č^j a interval spolehliKlasická Monte Carlo metoda, metoda inverzní transformace, zamítací metoda (v tabulkách značeno klas. M C , inv. t. a zam. m.) a Quasi-Monte Carlo ovlivňují pouze způsob, jakým je generováno náhodné číslo Zř-, přičemž samotný postup oceňování opce zůstává stejný. U metod, které redukují rozptyl, se už ale postup liší speciálními dodatečnými kroky. Metoda protikladných proměnných (v tabulkách jako p. p.) vypočítá cenu akcie Xi jak podle vzorce (4.1), tak vztahem Yt = S0 exp j ( r - ^ - ) T - oVŤZ, Kapitola 4. Praktická část 48 Klasická MC Inverzní transformace Zamítací metoda - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 vzorky vzorky vzorky Obrázek 4.6: Porovnání empirické a teoretické hustoty čímž získáváme další posloupnost n hodnot Q = e~rT (Yi — K)+ . Proto stačí pouze simulovat | náhodných čísel Z,-, aby velikost vzorků byla stejná, jako u ostatních metod. Cena opce se nakonec odhadne vztahem i=\ Metoda řídících proměnných (v tabulkách jako ř. p.) postupuje stejně jako uvedený postup výše do druhého kroku. Kromě ceny call opce Q se také určuje hodnota řídící proměnné Q — e~rT Xi — So. Výsledný odhad se pak vypočítá podle vzorce č = - £ ( q - e * Q ) , i=\ kde koeficient Q* je určen vztahem (3.8). Postup metody stratifikovaného výběru (v tabulkách jako strat. v.) se od ostatních metod poměrně odlišuje. Nejprve se stanoví počet strat k a počet vzorků nř- pro každou stratu Pak pro všechna i = 1,2,..., k se generují náhodné vzorky {Vij : j = 1,..., nř } z rovnoměrného rozdělení na intervalu [0,1]. Dále se vypočítají hodnoty UÍJ — + ^ , kde j — 1,..., ni, které se pomocí kvantilové funkce normálního rozdělení převedou na hodnoty Z,y. Ty se použijí k určení odhadu ceny akcie ve vrstvě 7ř- vztahem Q = - t e - r T ( X i j - K ) \ Kapitola 4. Praktická část 49 kde XÍJ je cena akcie v čase T daná vzorcem (4.1). Nakonec se výsledný odhad získá průměrem odhadů Q. Pokud bychom chtěli mít optimální alokaci pro každé stratům, vytvořili bychom nejdříve pilotní vzorky, díky kterým bychom získali optimální přerozdělení vzorků podle vzorce (3.11). Tím by se stanovil počet vzorků ni a pokračovalo by se stejně jako při předem stanoveném počtu nř-. Více informací o těchto krocích k oceňování evropských opcí lze dočíst v literatuře [10]. Naším úkolem je vypočítat cenu měsíční evropské call opce v penězích se splatností dne 7.3.2025. K tomu je potřebné specifikovat tyto parametry: • počáteční cena akcie So - zvolí se jako průměrná hodnota otevírací a zavírací ceny akcie ze dne 7.2.2025, tedy So — 230, • realizační cena K - opci v penězích uvažujeme s realizační cenou K — 215, • bezriziková úroková míra r - aktuální úroková míra Spojených států amerických je r — 0,045 dle webové stránky www.lynxbroker.cz [37] a platí, že čím větší úroková míra je, tím vyšší je i cena opce, • volatilita o - použijí se historické volatility vypočítané klasickým přístupem z ročních a měsíčních dat, tedy 0\ — 0,2358 a 02 = 0,3251, • čas expirace T - pro měsíční opci se čas expirace stanoví jako T = ^ , • počet simulací n - při oceňování se uvažuje n — 100,1000,10000,100000. Cenu opce odhadujeme metodami zmíněnými v této podkapitole, přičemž u Quasi-Monte Carlo metody se pracuje pouze s jednorozměrnou posloupností Van den Corput (v tabulkách značeno V.d.C). V Tabulce 4.5 jsou vypsány odhady ceny evropské call opce s realizační cenou K — 215 získané desíti různými metodami. Zároveň se při simulaci uvažují historické volatility vypočítané z ročních dat a z cen akcie za poslední měsíc. Tabulka také obsahuje vypočítané ceny těchto opcí pomocí Black-Scholesova vzorce (1.10) a skutečnou cenu opce obchodovanou na burze. Můžeme vidět, že s rostoucím počtem simulací výsledné odhady konvergují k hodnotám získaným z Black-Scholesova vzorce. Avšak metody Monte Carlo, které pracují s historickou volatilitu z měsíčních dat, poskytují odhady, které se od skutečné ceny opce na burze více odchylují. Při generování 100000 náhodných vzorků se nejvíce přibližují k ceně z Black-Scholesova vzorce odhady získané metodou inverzní transformace a metodou řídících proměnných s inverzní transformací. Součástí tabulky jsou také výběrové směrodatné odchylky odhadů (SD), standardní chyby (S.E.) a šířky intervalů spolehlivosti. Směrodatné odchylky metod, které redukují rozptyl, jsou výrazně nižší než u ostatních metod. Tyto odchylky mají vliv na standardní chybu a na dolní a horní odhad intervalu spolehlivosti. Proto jsou i hodnoty standardní chyby a šířky intervalu spolehlivosti u těchto technik nižší. Odhady získané těmito metodami tedy považujeme za přesnější. Nejpřesnější technikou se však jeví metoda řídících proměnných, která už při simulaci pouhých 1000 vzorků dosahuje standardní chyby přibližně 0,09 a také má užší interval spolehlivosti než první čtyři Monte Carlo metody i při desetinásobném počtu simulací. V kombinaci se zamítací metodou je metoda řídících Kapitola 4. Praktická část 50 n Metoda Odhad ceny S.E. SD Šířka IS Odhad ceny S.E. SD Šířka IS (Ti =0,2358 ct2 = 0,3251 100 klas. M C 18,144 1,288 12,879 5,048 19,689 1,693 16,931 6,637 100 inv. t. 17,184 1,233 12,330 4,833 18,419 1,606 16,056 6,294 100 zam. m. 16,316 1,392 13,918 5,456 17,783 1,784 17,841 6,993 100 V.d.C. 16,253 1,327 13,274 5,203 17,557 1,703 17,026 6,674 100 p. p. + inv. t. 16,600 0,398 2,814 1,560 17,763 0,715 5,054 2,802 100 p. p. + zam. m. 17,173 0,463 3,277 1,817 18,861 0,830 5,868 3,253 100 ř. p. + inv. t. 17,184 0,216 2,158 0,846 18,419 0,393 3,929 1,540 100 ř. p. + zam. m. 16,466 0,331 3,312 1,298 17,966 0,532 5,316 2,084 100 strát. v. rov. 17,388 0,399 3,995 1,566 19,131 0,563 5,630 2,207 100 strát. v. opt. 17,021 0,292 2,915 1,142 18,550 0,388 3,875 1,519 1000 klas. M C 16,975 0,449 14,210 1,761 18,582 0,583 18,441 2,286 1000 inv. t. 17,021 0,447 14,149 1,754 18,583 0,583 18,429 2,284 1000 zam. m. 16,800 0,436 13,797 1,710 18,265 0,566 17,895 2,218 1000 V.d.C. 16,856 0,436 13,790 1,709 18,358 0,565 17,856 2,213 1000 p. p. + inv. t. 16,782 0,127 2,849 0,499 18,212 0,231 5,163 0,905 1000 p. p. + zam. m. 16,907 0,135 3,017 0,529 18,446 0,241 5,399 0,947 1000 ř. p. + inv. t. 17,021 0,088 2,794 0,346 18,583 0,151 4,766 0,591 1000 ř. p. + zam. m. 16,756 0,086 2,723 0,338 18,215 0,147 4,648 0,576 1000 strát. v. rov. 16,911 0,134 4,226 0,524 18,412 0,189 5,971 0,740 1000 strát. v. opt. 16,988 0,106 3,349 0,415 18,543 0,141 4,468 0,554 10000 klas. M C 16,939 0,140 13,981 0,548 18,479 0,181 18,147 0,711 10000 inv. t. 17,014 0,140 14,004 0,549 18,583 0,182 18,173 0,712 10000 zam. m. 17,172 0,139 13,937 0,546 18,757 0,181 18,119 0,710 10000 V.d.C. 16,939 0,139 13,886 0,544 18,470 0,180 18,011 0,706 10000 p. p. + inv. t. 17,066 0,046 3,242 0,180 18,707 0,081 5,729 0,318 10000 p. p. + zam. m. 16,897 0,043 3,021 0,167 18,405 0,077 5,410 0,300 10000 ř. p. + inv. t. 17,014 0,030 3,014 0,118 18,583 0,050 5,009 0,196 10000 ř. p. + zam. m. 17,090 0,028 2,849 0,112 18,645 0,048 4,799 0,188 10000 strát. v. rov. 16,969 0,042 4,226 0,166 18,514 0,060 5,972 0,234 10000 strát. v. opt. 16,952 0,033 3,295 0,129 18,488 0,044 4,380 0,172 100000 klas. M C 16,947 0,044 13,934 0,173 18,494 0,057 18,071 0,224 100000 inv. t. 16,956 0,044 13,947 0,173 18,505 0,057 18,092 0,224 100000 zam. m. 16,983 0,044 13,903 0,172 18,522 0,057 18,050 0,224 100000 V.d.C. 16,955 0,044 13,910 0,172 18,492 0,057 18,049 0,224 100000 p. p. + inv. t. 16,959 0,014 3,154 0,055 18,497 0,025 5,596 0,098 100000 p. p. + zam. m. 16,964 0,014 3,186 0,056 18,506 0,025 5,635 0,099 100000 ř. p. + inv. t. 16,956 0,009 2,972 0,037 18,505 0,016 4,950 0,061 100000 ř. p. + zam. m. 17,002 0,009 2,961 0,037 18,546 0,016 4,932 0,061 100000 strát. v. rov. 16,959 0,013 4,153 0,051 18,496 0,019 5,865 0,073 100000 strát. v. opt. 16,963 0,010 3,283 0,041 18,498 0,014 4,376 0,054 B.S.cena 16,957 18.495 skutečná cena 17,10 17,10 Tabulka 4.5: Odhady cen evropské call opce s K — 215 Kapitola 4. Praktická část 51 proměnných nejkvalitnější a při simulování 100000 náhodných čísel je odhadovaná cena opce ve výši 17,002 se standardní chybou 0,009. Další možností jak porovnat kvalitu odhadů je vypočítat střední kvadratickou chybu danou vztahem (2.3). K jejímu výpočtu je zapotřebí skutečná cena opce. Ta je 17,10. Hodnoty M S E při simulaci 10000 vzorků s volatilitou o — 0,2358 jsou pro všechny použité metody uvedeny v Tabulce 4.6. Můžeme potvrdit, že metoda řídících proměnných v kombinaci se zamítací metodou vykazuje nejlepší výsledky. Největší střední kvadratická chybaje u metody protikladných proměnných, která ke generování náhodných čísel používá zamítací metodu, tedy odhad získaný touto metodou se nejvíce liší od skutečné ceny evropské opce na burze. Metoda MSE klas. M C 0,0261 inv. t. 0,0074 zam. m. 0,0052 V.d.C. 0,0259 p. p. + inv. t. 0,0012 p. p. + zam. m. 0,0411 ř. p. + inv. t. 0,0074 ř. p. + zam. m. 0,0001 strat. v. rov. 0,0172 strat. v. opt. 0,0218 Tabulka 4.6: M S E hodnoty metod při simulaci n — 10000 Investoři, kteří počítají s roční historickou volatilitou, by pravděpodobně opci na trhu nekoupili, jelikož její prodejní cena převyšuje odhad získaný metodami Monte Carlo a opce je tedy nadhodnocená. Zatímco investoři, kteří by při výpočtu použili historickou volatilitu z posledního měsíce, by tuto opci koupili, protože by j i považovali za podhodnocenou. 4.6 Oceňování americké opce V této části se věnujeme oceňování měsíční americké prodejní opce, kterou lze uplatnit v libovolném okamžiku její platnosti. Postupujeme podle zpětného principu oceňování, který je uveden v podkapitole 3.5 zabývající se metodou Least-Squares Monte Carlo. Nejprve L S M metodu provedeme s náhodně generovanými čísly z normálního rozdělení. Dále použijeme vícerozměrné posloupnosti Halton a Sobol, u kterých už je potřebné využít při výpočtu Brownův most. Opci opět oceňujeme v penězích, proto je nyní realizační cena stanovena jako K — 240. Zbylé hodnoty parametrů, které použijeme k simulaci, jsou stejné jako při oceňování evropské opce, přičemž počet generovaných náhodných čísel n nabývá čtrnácti různých hodnot. Tabulka 4.7 obsahuje odhady cen americké opce a jejich standardní chyby pro tři různé Monte Carlo metody - klasická L S M metoda s náhodnými čísly, L S M metoda s posloupnostmi čísel Halton a L S M metoda s posloupnostmi čísel Sobol. Tyto dvě posloupnosti s nízkou diskrepancí jsou 22-dimenzní, jelikož měsíc má průměrně 22 obchodovatelných Kapitola 4. Praktická část 52 n Volatilita Klasická LSM S.E. LSM + Halton S.E. LSM + Sobol S.E. 100 o-= 0,2358 10,9213 1,1170 11,9233 1,0249 12,4132 1,0449 200 11,7953 0,6399 12,0460 0,7209 12,4262 0,7252 300 11,7198 0,6932 11,9360 0,6035 12,4122 0,6000 400 12,3371 0,6047 12,0298 0,5266 12,0851 0,5311 500 12,3079 0,5020 11,9467 0,4671 12,0833 0,4705 750 12,2581 0,4220 11,8888 0,3804 12,0191 0,3833 1000 12,3110 0,3398 12,0116 0,3295 12,0153 0,3331 2000 12,0307 0,2542 12,0106 0,2337 12,0371 0,2344 5000 12,1371 0,1521 12,0114 0,1477 12,0274 0,1478 10000 12,0832 0,1048 12,0075 0,1043 12,0158 0,1044 50000 12,0371 0,0465 12,0102 0,0467 12,0103 0,0467 100000 12,0314 0,0329 12,0096 0,0330 12,0113 0,0330 200000 12,0057 0,0235 12,0103 0,0233 12,0101 0,0234 300000 12,0158 0,0191 12,0095 0,0191 12,0102 0,0191 100 o-= 0,3251 12,8349 1,4189 13,9462 1,4101 14,5710 1,3269 200 13,8710 0,8396 14,1305 0,9687 14,2465 0,9434 300 13,8441 0,8849 14,0111 0,7894 14,3708 0,7834 400 14,5812 0,7755 14,1782 0,6924 14,3150 0,6845 500 14,7694 0,6579 14,0134 0,6065 14,1436 0,6037 750 14,6995 0,5502 14,1089 0,4983 14,0153 0,4977 1000 14,5046 0,4479 14,1377 0,4312 14,1257 0,4316 2000 14,3806 0,3503 14,1096 0,3064 14,1229 0,3059 5000 14,3141 0,1980 14,1334 0,1941 14,1389 0,1944 10000 14,1787 0,1380 14,1134 0,1372 14,1159 0,1370 50000 14,1720 0,0612 14,1159 0,0613 14,1124 0,0613 100000 14,1432 0,0432 14,1163 0,0434 14,1147 0,0434 200000 14,1295 0,0309 14,1159 0,0307 14,1158 0,0307 300000 14,1358 0,0251 14,1163 0,0250 14,1167 0,0250 Tabulka 4.7: Odhady cen americké put opce s K — 240 dnů. Horní část tabulky se týká metod, které používají historickou volatilitu ročního horizontu. Vidíme, že s rostoucím počtem simulací se odhady cen všech tří metod zhruba blíží k hodnotě 12,01. Už při simulaci 1000 vzorků odhady metod využívajících posloupnosti s nízkou diskrepancí přibližně nabývají této hodnoty, zatímco klasická metoda L S M potřebuje výrazně více simulací, aby dosáhla této hodnoty. Na základně standardní chyby můžeme usoudit, že odhady všech tří metod jsou podobně přesné, přičemž nejpřesnější se zdají být ty, které využívají posloupnosti Halton. Dolní tabulka obsahuje výsledné hodnoty metod, které počítají s historickou volatilitou získanou z měsíčních dat. Hodnoty těchto odhadů při vysokém počtu simulací se blíží hodnotě 14,12. Opět se odhady klasickou L S M metodou k této hodnotě blíží pomaleji než odhady ostatních dvou metod a zároveň častěji mají o trochu vyšší standardní chybu. Na Obrázku 4.7 jsou vykresleny dva grafy hodnot odhadů cen americké put opce pro různé počty simulací. První graf se týká metod, které využívají historickou volatilitu z ročních dat, zatímco druhý graf zobrazuje hodnoty získané použitím historické volatility posledního měsíce. Z obou grafů je patrné, že metody, které využívají posloupnosti s nízkou diskrepancí, rychleji konvergují k výsledné ceně opce a mají také menší variabilitu odhadů. Kapitola 4. Praktická část 53 Obrázek 4.7: Porovnaní odhadu L S M metod s různou volatilitou Tento fakt potvrzuje, že Least-Squares Monte Carlo metoda s kvazi-náhodnými čísly je efektívnejší než stejná metoda s náhodně generovanými čísly, jelikož není nutné generovat velké množství vzorků k dosažení přesných výsledků. To vede ke snížení časové náročnosti výpočtu i potřebného výpočetního výkonu. Závěr V této diplomové práci jsme se zabývali tím, jak lze metodu Monte Carlo využít ve financích. Cílem práce bylo seznámit se s různými technikami Monte Carlo simulací a poté je aplikovat na reálných datech. V teoretické části jsme si nejprve představili typy finančních derivátů. Podrobněji jsme si objasnili fungování opcí a zabývali jsme se důležitými pojmy spjatými s evropskými a americkými opcemi. Dále jsme k popisu vývoje cen podkladového aktiva zadefinovali geometrický Brownův pohyb a Wienerův proces, který je důležitým základem pro zmíněný geometrický Brownův pohyb. Zjistili jsme, že se cena podkladového aktiva St řídí lognormálním rozdělením se střední hodnotou a rozptylem závisejícím na čase t. V poslední části první kapitoly jsme se zabývali Black-Scholesovým modelem, kterým se standardně oceňují evropské opce. V další kapitole jsme si vysvětlili, na jakém principu funguje metoda Monte Carlo a obeznámili jsme se s jejím použitím při oceňování evropských i amerických opcí. Zároveň jsme si představili způsoby, jakými lze určit potřebnou volatilitu k oceňování. Třetí kapitola byla zaměřena na to, jak generovat prvky Monte Carlo simulace. Seznámili jsme se metodou inverzní transformace, se zamítací metodou, s Quasi-Monte Carlo metodou a se třemi technikami pro snížení rozptylu, které slouží ke zvýšení přesnosti výsledků, aniž by bylo nutné navýšit počet simulací. V závěru jsme studovali metodu Least-Squares Monte Carlo, která je jednou z nejpoužívanějších možností pro oceňování amerických opcí. V poslední kapitole jsme teoretické poznatky aplikovali na datech obsahujících zavírací ceny akcií společnosti Apple Inc. za poslední rok a poslední měsíc. Nejdříve jsme se seznámili s daty - určili jsme jejich minimální, maximální a průměrnou hodnotu a rozmezí, v jakém se ceny akcií za sledovaná období pohybují. Pomocí grafického znázornění jsme zjistili jejich roční a měsíční vývoj. Dále jsme se zaměřili na výpočet historické volatility, která je potřebná k následné simulaci cen podkladového aktiva. Volatilitu jsme odhadovali z ročních i měsíčních dat třemi způsoby - klasickým postupem, alternativním postupem a metodou maximální věrohodnosti. Následně jsme zkoumali, zda se zlogaritmované výnosy řídí geometrickým Brownovým pohybem. Normalitu jsem posuzovali pomocí Kolmogorovova-Smirnovova testu a vykreslením Q-Q plotu zlogaritmovaných výnosů. Nezávislost těchto výnosů jsme ověřili pomocí Ljung-Boxova testu a analýzou autokorelační funkce. Zda generátory opravdu vytvářejí vzorky z normálního rozdělení, jsme ověřili vykreslením histogramů generovaných vzorků a porovnáním teoretických a výběrových charakteristik. Několika technikami Monte Carlo simulací jsme ocenili evropskou měsíční call opci v penězích za použití historické volatility získané jak z ročních, tak z měsíčních dat. Z výsledných odhadů vidíme, že volba volatility při oceňování hraje zásadní roli. V našem -54- Závěr 55 případě se více hodí použít volatilitu odhadnutou z ročních dat, jelikož se tyto výsledky více přibližují skutečné tržní ceně. Porovnáním standardních chyb a šířky intervalů spolehlivosti jsme zjistili, že zamítací metoda v kombinaci s metodou řídících proměnných vykazuje nejpřesnější výsledky a zároveň stačí simulovat pouze 1000 vzorků, aby byla standardní chyba menší než 0,1. Nakonec jsme metodou L S M a jejími kombinacemi s Quasi-Monte Carlo metodami určili odhady cen americké put opce. Usoudili jsme, že metoda L S M dává nejpřesnější výsledky s posloupností Halton. Cena této opce se s volatilitou z ročních dat blíží k hodnotě 12,01, zatímco s volatilitou z měsíčních dat aproximuje k hodnotě 14,12. Opět vidíme, že výběr volatility ovlivňuje výsledné odhady ceny americké opce. Z obou dvou případů je zřejmé, že metoda Monte Carlo je vhodným nástrojem pro oceňování evropských i amerických opcí. Současně je potřeba zdůraznit, že tato metoda dává přesné odhady cen opcí, pokud nedochází k významným a nečekaným vnějším vlivům (např. začátek pandemie covid-19, invaze Ruska na Ukrajinu, uvalení nových cel ze strany U S A atd.). V těchto obdobích je stanovení férové ceny opce velmi neprůkazné. Námětem k další práci by mohlo být oceňování složitějších typů opcí. Například by se mohly odhadovat ceny opcí i u akcií s výplatou dividend, opce by mohly být závislé na více podkladových aktivech, a nebo by se mohly oceňovat různé typy exotických opcí. Dále by se práce mohla rozšířit o porovnání Monte Carlo simulací s jinou numerickou metodou. Příloha Naprogramované generátory v jazyku R Tato příloha obsahuje naprogramované funkce generátorů, které byly použity v rámci praktické části. Pro generování posloupnosti Sobol je potřebné načíst balíček randtoolbox. ### BEZNA METODA MC metoda_MC <- function(n){ # n - počet simulovaných bodu Z <- rnorm(n,0,1) return(Z) } ### METODA INVERZNÍ TRANSFORMACE metoda_inv_transf <- function(n){ U <- r u n i f ( n , 0 , l ) Z <- qnorm(U) return(Z) } ### ZAMITACI METODA f <- function(x) { # cilove r o z d ě l e n i dnorm(x) } b <- 4 g <- function(x, b) { # vychozi r o z d ě l e n i ifelse(abs(x) <= b, l / ( 2 * b ) , 0) } # volba c c <- max(sapply(seq(-b, b, length.out = 10000), function(x) f(x) / g(x, b))) metoda_zamitaci <- function(n){ Z <- rep(0,length=n) i=l -56- Příloha 57 while (i <= n) { Y <- r u n i f ( l , - b , b ) U <- runif(1,0,1) if(U <= f(Y)/(c*g(Y,b))) { Z [i] <- Y i <- i+1 } } return(Z) } ### METODA PROTIKLADNÝCH PROMĚNNÝCH metoda_proti_prom <- function(X){ # X - množina simulovaných bodu Z <- rep(0,length = length(X)*2) for (i in 1:length(X)) { Z[2*i-1] <- X [i] Z[2*i] <- -X [i] } return(Z) ### METODA ŘIDIČÍCH PROMĚNNÝCH metoda_ridicich_prom <- function(X) { V <- X~2-l # r i d i c i prom z á v i s i a na X EV <- 0 theta <- cov(X, V)/var(V) Z <- X+theta*(EV - V) return(Z) ### STRATIFIKOVANY VYBER metoda_strat_vyb <- function(n,k) { # k - počet s t r á t p_i <- rep(l/k, k) n_i <- round(n*p_i) Z <- 0 index <- 1 for (i in l:k) { U_ij <- r u n i f ( n _ i [ i ] , min = ( i - l ) / k , max = i/k) Z[index:(index+n_i[i]-1)] <- qnorm(U_ij) index <- index+n_i[i] } return(Z) Příloha 58 ### VAN DER CORPUT van_der_corput <- function(n, zaklad) { vdc <- O radikal <- 1/zaklad while (n > 0) { vdc <- vdc+(n°/„°/„zaklad) *radikal n <- floor(n/zaklad) radikal <- radikal/zaklad } return(vdc) metoda_van_der_corput <- function(n, zaklad) { U <- sapply(l:n, function(i) van_der_corput(i, zaklad)) Z <- qnorm(U) return(Z) ### HALTON metoda_halton <- function(n, základy) { haiton <- matrix(0, nrow = n, ncol = length(zaklady)) for (j in 1 : l e n g t h ( z á k l a d y ) ) ) { halton[,j] <- sapply(l:n, function(i) van_der_corput(i, z á k l a d y [ j ] ) ) } Z <- qnorm(halton) return(Z) ### SOBOL library(randtoolbox) metoda_sobol <- function(n, m){ Z <- qnorm(sobol(n,dim=m)) return(Z) } Seznam použité literatury [1] Portu. Slovník pojmů. Finanční trh. Online. C2025. Dostupné z: í t t p í - t r h / , [cit. 2025-03-24]. [2] TICHÝ, Tomáš. Simulace Monte Carlo ve financích: aplikace při ocenění jednoduchých opcí. VŠB-TU Ostrava, 2010. ISBN 978-80-248-2352-2. [3] ŠEVČOVIČ, Daniel; STEHLÍKOVÁ, Beáta a M I K U L A , Karol. Analytické a numerické metody oceňovania finančných derivátov. Online. Bratislava: S T U v Bratislavě, 2009. ISBN 978-80-227-3014-3. Dostupné z: h t t p : hy/. [cit. 2025-03-02]. [4] ZLATOŠOVÁ, Silvie. Přednášky k předmětu M5123 Finanční matematika II. Brno, Masarykova univerzita, 2022 [5] LOUŽILOVÁ, Tereza. Forwardy, futures a swapy, vlastnosti a použití. Online. Brno: Masarykova univerzita, 2012. Dostupné z: h t t p s : / / i s . m u n i . c z / a u t h / )6/um/Forwardy_futures_swapy_Louzilova.pdf. [cit. 2025-03-02]. [6] KOLÁŘ, Martin. Materiály k předmětu MF002 Stochastická analýza [pdf soubor]. Brno, Masarykova univerzita, 2013 [7] KOLÁŘ, Martin. Přednášky kpředmětu MF003 Oceňování finančních derivátů. Brno, Masarykova univerzita, 2024 [8] IACUS, Stefano M . Option pricing and estimation of financial models with R. Online. Chichester, West Sussex, U.K.: Wiley, 2011. ISBN 978-0-470-74584-7. Dostupné z: 19990079 . [cit. 2025-03-04]. [9] H I G H A M , D. J. An introduction to financial option valuation: mathematics, stochastics and computation. Online. Cambridge: Cambridge University Press, c2004. ISBN 0-521-54757-1. Dostupné z: https://doi.org/10.1017/CB09780511800948. [cit. 2025-03-04]. [10] W A N G , Hui. Monte Carlo simulation with applications to finance. Chapman & Hall/CRC financial mathematics series. Boca Raton: C R C Press, c2012. ISBN 978-1-4398-5824-0. [11] P O K O R A , Ondřej. Přednášky k předmětu MF002 Stochastická analýza. Brno, M a sarykova univerzita, 2024 -59- Seznam použité literatury 60 [12] KOLÁŘ, Martin. Přednášky k předmětu MF001 Stochastické procesy ve finanční matematice. Brno, Masarykova univerzita, 2023 [13] F A B I A N , František a K L U I B E R , Zdeněk. Metoda Monte Carlo a možnosti jejího uplatnění. Praha: Prospektrum, 1998. ISBN 80-7175-058-1. [14] DVOŘÁKOVÁ, Lubomíra. Vyzkoušejte metodu Monte Carlo. Online. JEDNOTA ČESKÝCH MATEMATIKŮ A FYZIKŮ. Rozhledy matematicko-fyzikální. 2019, roč. 94, č. 2. Dostupné z: Czech Digital Mathematics Library, https: //dm handle/10338.dmlcz/147998. [cit. 2025-03-02]. [15] K U L I C H , Michal. Přehledový větník. Online, Studijní materiál. Karlín: Univerzita Karlova, 2014. Dostupné z: https://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/ NMFM301/statistika_fm.pdf. [cit. 2025-03-11]. [16] STENTOFT, Lars. Assessing the Least Squares Monte-Carlo Approach to American Option Valuation. Online. Review of Derivatives Research 7. 2004. Dostupné z: J031176.24759. e6. [cit. 2025-03-03]. [17] JIA, Quiyi. Pricing American Options using Monte Carlo Methods. Online. Uppsala: Uppsala University, 2009. Dostupné z: https://www.diva-portal.org/smash/ get/diva2:301061/FULLTEXT01.pdf [cit. 2025-03-04]. [18] DŘÍMAL, Jiří; T R U N E C , David a B R A B L E C , Antonín. Úvod do metody Monte Carlo. Online. Brno, 2006. Dostupné z: https://www.physics.muni.cz/ "trunec/mc.pdf. [cit. 2025-03-04]. [19] M C L E I S H , Don L . Monte Carlo simulation and finance. Online. Wiley finance series. Hoboken: Wiley, 2004. ISBN 978-0-471-67778-9. Dostupné z: 6.pd: . [cit. 2025-03-04]. [20] P O K O R A , Ondřej. Přednášky kpředmětu M9211 Bayesovské metody. Brno, Masarykova univerzita, 2024 [21] BOLIA, N . a JUNEJA, S. Monte Carlo methods for pricing financial options. Online. Sadhana. 2005, vol. 30, s. 347-385. Dostupné z: https: //doi . orj 251. [cit. 2025-03-04]. [22] B A R O L A , Alberto. Monte Carlo Methods for American Option Pricing. Online, Master's Thesis. Copenhagen: Copenhagen Business School, 2013. Dostupné z: https://research-api.cbs.dk/ws/portalfiles/portal/ 58412060/alberto_barola.pdf. [cit. 2025-03-04]. [23] T E R E J A N U , Gabriel A . Tutorial on Monte Carlo Techniques. Online. New York: University at Buffalo. Dostupné z: https://cw.fel.cvut.cz/b241/_media/ es/tutorialmc.pdf. [cit. 2025-03-04]. [24] G L A S S E R M A N , Paul. Monte Carlo methods in financial engineering. Online. New York: Springer, c2004. ISBN 978-0-387-21617-1. Dostupné z: 10.1007/978-0-387-21617-1. [cit. 2025-03-04]. Seznam použité literatury 61 [25] TIAN, Tianhai a B U R R A G E , Kevin. Accuracy issues of Monte-Carlo methods for valuing American options. Online. ANZIAM J. Vol. 44, s. C739-C758. Dostupné z: 0.70! . [cit. 2025-03-04]. [26] GILES, Mike. Numerical Methods II. Online. Oxford: Oxford University. Dostupné z: Llesm/mc/mc/lec4.pdf. [cit. 2025-03-04]. [27] C A F L I S C H , Rüssel E.; C H A U D H A R Y , Suneal; Monte Carlo Simulation for American Options. Online. In: GIVOLI, D.; GROTE, M . J. a PAPANICOLAOU, G. C , A Celebration of Mathematical Modeling. Springer, Dordrecht, 2004, s. 1-16. Dostupné z: https: / / d o i . org/10.1 -4_1. [cit. 2025-03-04]. [28] LONGSTAFF, Francis a SCHWARTZ, Eduardo. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach. Online. Review of Financial Studies. 2001, vol. 14, s. 113-147. Dostupné z: https://doi.Org/10.1093/rfs/14.l.113. [cit. 2025-03-10]. [29] ŠČIGULINSKÝ, Ján. Educational materials on Monte Carlo Methods. Online, Bakalářská práce. Brno: Masarykova univerzita, 2012. Dostupné z: https: / / i s . muni. cz/th/cvv7f/325046. pdf. [cit. 2025-03-10]. [30] L E C U Y E R , Pierre. Quasi-Monte Carlo methods with applications in finance. Online. Finance and Stochastics. 2009, vol. 13, s. 307-349. Dostupné z: https: / / d o i . org/ 10.1007/s00780-009-0095-y. [cit. 2025-03-10] [31] OKTAVIANI, Indah; SULISTIANINGSIH, Evy a S A T Y A H A D E W I , Neva. PRICING O F C A L L OPTIONS USING T H E QUASI M O N T E C A R L O M E THOD. Online. BAREKENG: Jurnal Umu Matematika dan Terapan. 2023, vol. 17, no. 4, s. 1949-1956. Dostupné z: https://doi.org/10.30598/ barekengvoll7iss4ppl949-1956. [cit. 2025-03-10]. [32] Investing.com. Online. 2007. Dostupné z: https://www.investing.com. [cit. 2025-03-11]. [33] M O H D R A Z A L I , Nornadiah a Y A P , Bee Wah. Power Comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling Tests. Online. Journal of Statistical Modeling and Analytics. 2011, vol. 2, no. 1, s. 21-33. Dostupné z: https://www.researchgate.net/publication/267205556_Power_ Comparisons_of_Shapiro-Wilk_Kolmogorov-Smirnov_Lilliefors_and_ Anderson-Darling.Tests. [cit. 2025-03-10]. [34] K O M S T A , Lukasz a N O V O M E S T K Y , Frederick, moments: Moments, Cumulants, Skewness, Kurtosis and Related Tests. R package version 0.14.1, 2022. Dostupné z: https : //cran. r-pro j ect. org/web/packages/moments/index. html. [cit. 2023-04-11]. [35] BOBBITT, Zach. Ljung-Box Test: Definition + Example. Online. In: Statology. 2020. Dostupné z: https : //www. statology. org/1jung-box-test/. [cit. 2025-03-10]. Seznam použité literatury 62 [36] D U T A N G , Christophe; SAVICKY, Petr; C H A L A B I , Yohan; W U E R T Z , Diethelm; K N U T H , Donald; M A T S U M O T O , Makoto a SAITO, Mutsuo. randtoolbox: Toolbox for Pseudo and Quasi Random Number Generation and Random Generator Tests. R package version 2.0.5, 2024. Dostupné z: https : / / c r a n . r - p r o j ect. org/web/ packages/randtoolbox/index.html. [cit. 2023-04-11]. [37] Úrokové sazby centrálních bank. Online. L Y N X . C2025. Dostupné z. nxxps : / / www. xynxDi O K S i . c z / i n v e s t o v a n i / b u r z o v n i - - t r h y / i n f ormace/urokove-sazby-centralnich-bank/. [cit. 2025-03-25].