M A S A R Y K O V A U N I V E R Z I T A PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce BRNO 2016 DOMINIK VELAN (Ml in I M A S A R Y K O V A U N I V E R Z I T A PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Ca 9 •&> Moduly nad Dedekindovými okruhy D i p l o m o v á p r á c e Dominik Velan Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Brno 2016 Bibliografický záznam Autor: Bc. etBc. Dominik Velan Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Moduly nad Dedekindovými okruhy Studijní program: Matematika Studijní obor: Algebra a diskrétní matematika Vedoucí práce: prof. PvNDr. Radan Kučera, DSc. Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: vii + 55 Klíčová slova: modul, torzní modul, anihilátor, projektivní modul, konečně generovaný modul, Dedekindův okruh, noetherovský okruh, lomený ideál, diskrétní valuace, okruh s diskrétní valuací, okruh hlavních ideálů Bibliographic Entry Author: Be. etBc. Dominik Velan Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Modules over Dedekind Domains Degree Programme: Mathematics Field of Study: Algebra and Discrete Mathematics Supervisor: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Academic Year: 2015/2016 Number of Pages: Keywords: vii + 55 module, torsion module, annihilator, projective module, finitely generated module, Dedekind Domain, Noetherian Domain, fractional ideal, discrete valuation, discrete valuation ring, principal ideal domain Abstrakt Tato práce se věnuje konečně generovaným modulům nad Dedekindovými okruhy. Je rozdělena do čtyř kapitol. V první kapitole jsou uvedeny základní pojmy z teorie modulů. Druhá kapitola se zabývá Dedekindovými okruhy a jejich vlastnostmi. Třetí kapitola se věnuje konečně generovaným torzním modulům nad okruhy s diskrétní valuací a nad Dedekindovými okruhy. V poslední kapitole je zformulována a dokázána věta o struktuře konečně generovaných modulů nad Dedekindovými okruhy a některé její důsledky. Abstract This thesis contains theory of finitely generated modules over Dedekind Domains. It is divided into four chapters. The first chapter introduces modules and projective modules. The second chapter contains definition and basic properties of Dedekind Domains. The third chapter deals with finitely generated torsion modules over discrete valuation rings and Dedekind Domains. The last chapter contains the fundamental theorem of finitely generated modules over Dedekind Domains and its corollaries. MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta ZADANÍ DIPLOMOVÉ PRACE Akademický rok: 2 0 1 4 / 2 0 1 5 Ústav: Ústav matematiky a statistiky Student: Be. Dominik Velan Program: M a t e m a t i k a O b o r : Algebra a diskrétni matematika Ředitel Ústavu matematiky a statistiky PřF M U Vám ve smyslu Studijního a zkušebního řádu M U určuje diplomovou práci s tématem: Téma práce: M o d u l y nad Dedekindovými okruhy Téma práce anglicky: M o d u l e s over Dedekind Domains Oficiální zadání: Vypracovat text určený čtenářům na úrovni absolventa předmětu M 3 1 5 0 Algebra II, ve kterém bude vyložena teorie Dedekindových okruhů až po větu o struktuře konečně generovaných modulů nad Dedekindovými okruhy. Literatura: Abstract algebra. Edited by David Steven D u m m i t - Richard M . Foote. 3rd ed. H o b o k e n , N.J.: John Wiley & Sons, 2004. xii, 9 3 2 s. ISBN 0 - 4 7 1 - 4 5 2 3 4 - 3 . W l a d y s l a w Narkiewicz: Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, P W N , W a r s a w a , 1990. Jazyk závěrečné práce: Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. D a t u m zadání práce: 2. 10. 2014 V Brně dne: 2 3 . 1 0 . 2 0 1 4 Souhlasím se zadáním (podpis, datum) prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. prof. RNDr. Jiří Rosi. :ký, DrSc. . íttrúvA.. £ ^ Bc. Dominik Velan student vedoucí práce ředitel Ústavu matematiky a statistiky Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval prof. RNDr. Radanu Kučerovi, DSc. za vstřícnost, cenné rady a nekonečnou trpělivost při vedení této diplomové práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 15. května 2016 Dominik Velan Obsah Úvod 1 Přehled použitého značení 2 Kapitola 1. Moduly 3 1.1 Základní definice teorie modulu 3 1.2 Projektivní moduly 13 Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 18 2.1 Noetherovské okruhy a moduly 18 2.2 Lomené ideály a Dedekindovy okruhy 21 2.3 Dělitelnost ideálů, kongruence, čínská zbytková věta 28 Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy . . . 33 3.1 Lokalizace 35 3.2 Konečně generované torzní moduly nad okruhy s diskrétní valuací 43 3.3 Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 46 Kapitola 4. Konečně generované moduly nad Dedekindovými okruhy 48 Seznam použité literatury 55 - vii - Úvod Tato diplomová práce se zabývá strukturou konečně generovaných modulů nad Dedekindovými okruhy. Jejím cílem je vyložit přehledným způsobem teorii Dedekindových okruhů a konečně generovaných modulů nad nimi tak, abychom kladli co nej menší požadavky na počáteční znalosti čtenáře. Práce proto může sloužitjako učební text pro studenty, kteří absolvovali základní kurzy algebry a lineární algebry a chtějí své znalosti rozšířit o tuto problematiku. V textu budeme dále předpokládat, že čtenář má znalost algebry v rozsahu [6] a lineární algebry v rozsahu předmětu M l 110 Lineární algebra a geometrie I. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první části první kapitoly se zabýváme základními pojmy z teorie modulů. Definujeme volný modul, torzní prvky a anihilátor. Ve druhé části této kapitoly studujeme projektivní moduly. Ve druhé kapitole se věnujeme především teorii Dedekindových okruhů. První část této kapitoly se zabývá noetherovskými okruhy. Ve druhé části definujeme Dedekindovy okruhy a studujeme jejich vlastnosti. Ve třetí části zavádíme pojem dělitelnosti ideálů a formulujeme čínskou zbytkovou větu. Třetí kapitola se zabývá konečně generovanými torzními moduly nad Dedekindovými okruhy. V první části zavedeme pojmy lokalizace okruhu a lokalizace modulu. Druhá část se zabývá konečně generovanými torzními moduly nad okruhy s diskrétní valuací. Ve třetí části ukážeme, jak nám pojem lokalizace umožní studovat konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy pomocí modulů nad okruhy s diskrétní valuací. V závěrečné kapitole se věnujeme větě o struktuře konečně generovaných modulů nad Dedekindovými okruhy. V závěru této kapitoly pak uvádíme dva její důsledky. Aplikacemi těchto tvrzení se v této práci nezabýváme, některé je možné nalézt například v [1,4]. -1- Přehled použitého značení Pro snazší orientaci v textu zde čtenáři předkládáme přehled základního značení, které se v celé práci vyskytuje. N množina všech přirozených čísel No množina všech nezáporných celých čísel Z množina všech celých čísel C množina všech komplexních čísel §>„ množina permutací množiny {1,2,..., n} C vlastní podmnožina C podmnožina \ množinový rozdíl im (p obraz zobrazení

0, n = 0, a (—n-krát) n < 0. Kapitola 1. Moduly 5 Definice. Nechť R je okruh a M, N levé 7?-moduly. 1. Zobrazení / : M —> N se nazývá homomorfismus R-modulů, jestliže (a) V x , y e M p l a t í / ( x + y ) = / ( x ) + / ( y ) , (b) Vx G M , Vr e platí /(rx) = r/(x). 2. Homomorfismus i?-modulů se nazývá izomorfismus R-modulů, jestliže je injektivní i surjektivní. Řekneme, že moduly M, N jsou izomorfní, píšeme M = N, jestliže existuje izomorfismus 7?-modulů / : M —> N. 3. Nechť / : M —> iV je homomorfismus 7?-modulů. Jádrem homomorfismu f rozumíme množinu ker/ = { m e W | / (m) = 0}. 4. Nechť / : M —ř N je homomorfismus i?-modulů. Obrazem homomorfismu f rozumíme množinu imf — {n G N \ 3m EM: f (m) = n}. Obraz homomorfismu budeme někdy značit též / (M). Příklad. / když se na okruh budeme dívat jako na modul nad sebou samým, musíme rozlišovat, zda hovoříme o homomorfismu okruhů či modulů. 1. Buď R — Z[v2] = {a + b\/2 | a,b G Z}. Uvažujme homomorfismus okruhů f: R —t R daný předpisem: f(a + bV2\ =a-bV2. Pak f není homomorfismus modulů, vždyť -y/2 = f (y/í) = / ( V 2 - l ) ^ V 2 - / ( 1 ) = V2. 2. Buď R — Z. Uvažme homomorfismus modulů f: Z —>• Z Jany předpisem f (a) = 2a. Jistě f není homomorfismus okruhů. 3. Jediné zobrazení f: R —> R, které je zároveň homomorfismem okruhů i modulů, je identita na R, vždyť f{r)=f{r-\) = r-f{\) = r. Tvrzení 1.2. Buď R okruh, M,N levé R-moduly a f: M —> N homomorfismus R-modulů. Pak 1. ker/je podmodul modulu M, 2. i m / je podmodul modulu N. Důkaz. Protože homomorfismus modulu / : M —> N je zároveň homomorfismem komutativních grup, je ker/ podgrupou M a im / podgrupou N. Stačí ukázat, že obě tyto podgrupy jsou uzavřené na násobení prvkem z R. Kapitola 1. Moduly 6 1. Buďte r e R a m e ker/ libovolné prvky, pak f(rm) — rf (m) — rO — 0, odtud rm G ker/. 2. Buďte r e R a n e i m / libovolné prvky, pak existuje m G M takový, že / (m) = n. Odtud dostáváme, že rn — rf (m) = / (rm), tedy rn e i m / . • Tvrzení 1.3. 5wď7? okruh a M\, M2, A/3 levé R-moduly. Nechtf: M\ ->• M2 a g: A/2 ->• M3 homomorfismy modulu. Pak zobrazenígof: M\ —> M3 7'e homomorfismus modulu. Důkaz. Protože tvrzení platí pro homomorfismy grup, stačí ověřit, že bude splněna i druhá podmínka z definice homomorfismu modulu. Buďte r M/N bude homomorfismus modulů, kde ker p = N. Věta 1.4. Buď R okruh, M levý R-modul a N jeho podmodul. Na faktorgrupě M/N lze zavést strukturu R-modulu tak, ze definujeme násobení prvky z R předpisem r(x + N) =rx + N Vr G R, x + N G M/N. Kanonická projekce p: M —>• M/N definovaná vztahem p {x) — x + N je homomorfismem R-modulů s jádrem N. Důkaz. Nejprve potřebujeme ukázat, že násobení prvky z R je dobře definované na každé levé třídě x + N. Nechť x + N — y + N, tj. x — y e N. Protože Af je podmodul, je uzavřený na násobení prvky z R, tedy r(x — y) — rx — ry EN. Dostáváme, že rx + N — ry + N. Ukažme, že takto definované násobení dává na faktorgrupě M/N strukturu 7?-modulu. Buďte x,y G M, r,s G R libovolné, pak 1. r((x + N) + (y + N)) =r((x + y)+N) = (r(x + y))+N = = (rx + ry)+N=((rx)+N) + ((ry)+N), 2. (r + s)(x + N) = ((r + s)x)+N = (rx + sx)+N = = ((rx)+N) + ((sx)+N) = r(x + N) + s(x + N), 3. (rs)(x + N) = (rsx)+N = r((sx)+N) =r(s(x + N)), 4. I (x + N) =x + N. Kapitola 1. Moduly 7 Protože kanonická projekce p: M —> M/N je zároveň homomorfismem grup, je její jádro N. Zbývá proto ověřit, že p je dokonce homomorfismem i?-modulů, tj. je splněna druhá podmínka v definici homomorfismu modulů. Buďte r E R a m E M libovolné, pak p(rm) — rm + N — r(m + N) — rp(m). D Definice. Modul M/N z předchozí věty se nazývá faktorový modul. Homomorfismus p se nazývá kanonická projekce na faktoromodul. Definice. Buď R okruh, M levý Ä-modul, N\,N2,...,N„ jeho podmoduly. 1. Součtem (též vnitřním součtem) podmodulů N\,N2...,Nn rozumíme množinu N\ +N2 H \-Nn — {a\+a2-\ han \ ař- G Ni pro každé i = 1,2,... ,n}. 2. Nechť A C M je libovolná podmnožina. Pro A ^ 0 definujme / M = {r\a\ + r2ú(2 H 1V m | ^ G R, a\ G A, m G N}, pro A = 0 klademe 7?A = {0}. Je-li A = {a\,..., an} konečná množina, píšeme RA —Ra\ +Ra2-\ \-Ran. Množina RA je podmodulem modulu M a nazývá se podmodul generovaný množinou A. Množinu A nazýváme množinou generátoru podmodulů RA. Snadno lze rozmyslet, že RA je nejmenší podmodul obsahující množinu A. 3. Podmodul A^se nazývá konečne generovaný, jestliže existuje konečná množina A C M taková, že N = RA. 4. Podmodul Aŕ se nazývá cyklický, jestliže existuje a G M takové, že N — Ra. 5. Je-li podmodul Af konečně generovaný, pak existuje J G No takové, že N je generovaný d prvky, ale už není generovaný žádnými d — 1 prvky. Číslo d se nazývá minimální počet generátoru. Definice. Buď R okruh, I neprázdná indexová množina a pro každé j E I buď Mj levý /ř-modul. 1. Součinem 7?-modulů (Mj,+j) pro j E I rozumíme modul jel s operacemi definovanými po složkách. Kapitola 1. Moduly 8 YljeiMj je množina všech výběrových funkcí / : / —> \JjeIMj, f (j) G My. Operace sčítání a násobení prvky okruhu z R zavádíme následujícím způsobem. Pro f 18 e HjeiM j> k d e f U) =a j a 8ÍJ) =b j P r o k a z d é j e 7 >t e d y definujeme f + g:I^\jMj, jei f+ 8- J^a j+b j rf:I^\jMj, jei rf: jt-tr-aj. V případě součinu konečného počtu modulů, tj. / = {1,2,...,«} pro nějaké n G N, budeme standardním způsobem ztotožňovat / = {a\,... ,a„). 2. Přímým součtem 7?-modulů My pro j e l rozumíme modul © M y c jel jel všech prvků majících jen konečně mnoho nenulových složek. Dostáváme 0 M y = {/: I (J My I / (j) G My a / (7) ^ 0 jen pro konečně mnoho jel}. jel jel Je-li tedy / konečná množina, pak YljElMj — 0y e /My. 3. Homomorfismus modulů i*: M^ —>• 0 y e / M y (respektive M^ —>• n ^ / M y ) , který posílá a e M[ na prvek mající na k-té složce a a ostatní složky nulové, nazýváme kanonickým vnořením (též kanonickou injekcí). 4. Homomorfismus modulů p^: 0 y e / M y : —> M^ (respektive Ílye/^K/ ~^ který posílá každý prvek na jeho k-tou složku, nazýváme kanonickou projekcí. Definice. Nechť R je okruh, / neprázdná indexová množina a M , Mř- jsou 7?-moduly pro každé i G /. Nechť jsou dále dány homomorfismy 7?-modulů (pi: Mi -»• M . Přímým součtem homomorjismů Ni + N2 H h Nk definované předpisem

- 3: Nechť ai, bi G A7 ; jsou taková, že a\ +«2 H ha* = &i +^2 H Vbk. Odtud dostáváme pro libovolné j G {1,2,..., &} b y - a ; = {a\-b\)-\ h(ay_i -bj-\) + (aj+\ -bj+\)-\ V{ak-bk). Levá strana je prvkem Nj, pravá strana je prvkem A7 ! H hA^-_i +^+1 H hA^. Nutně tedy aj — bj a vyjádření je jednoznačné. 3 =>- 1: Homomorfismus

• Nje homomorfismus R-modulů. Pak ker

N homomorfismus R-modulů. Buď N\ podmodul modulu N. Pak N/N\. Pak 10 cp 1 (N\) = {a G M I

iV/iVi je homomorfismus podle tvrzení 1.3 a jeho jádro je podmodul modulu M podle tvrzení 1.2. • Definice. Buď 7? okruh. 7?-modul F se nazývá vo/ny nad množinou A C F, jestliže pro každý nenulový prvek x E F existuje n G N a jednoznačně daná n-prvková podmnožina {a\, a2,.. •, an} C A a jednoznačně dané nenulové prvky r\, • • •, rn e R takové, že platí x — r\a\ + ľ2d2 H h rnan. Množina A se nazývá Mze modulu M. Příklad. Nechť F 7'e těleso. Pak každý F-modul je vektorový prostor. Každý vektorový prostor má nějakou bázi a platí, že libovolný prvek vektorového prostom lze jednoznačne vyjádřit jako lineární kombinace prvků báze. Každý ¥-modul je tedy volný. Věta 1.8. Pro libovolnou množinu A existuje volný R-modul F(A) nadmnožinouA splňující následující univerzální vlastnost: je-li M libovolný R-modul a • M je libovolné zobrazení, pak existujejediný homomorfismus \ff: F (A) —> M takový, že y(a) =

• R j /(a) ^ 0 jen pro konečně mnoho a G A}. Na této množině zavedeme operace sčítání a násobení prvky z R po složkách, tj. (f + g) (a)=f(a)+g(a), (rf)(a) = r(f(a)). Jestliže f,g G F (A), pak jistě (f + g)(a) ^ 0 a r (f (a)) 7^ 0 jen pro konečně mnoho a G A. Snadno se nahlédne, že takto definované operace zadávají na F (A) strukturu 7?-modulu. Můžeme ztotožnit A jako podmnožinu F (A) předpisem a ^ fa, kde fa je funkce nabývající hodnoty 1 v a a 0 jinde (tj. fa je charakteristická funkce a). Modul F (A) je pak množinou i?-lineárních kombinací prvků z A. Můžeme proto ztotožnit libovolnou funkci / 6 F(A) se součtem r\a\ + ^ 2 + rnan, kde /(a;) = rř- a na ostatních prvcích A je / nulová. Budeme-li předpokládat, že jsou v tomto vyjádření všechna ri ^ 0, má každá nenulová funkce / takové vyjádření jediné. Buď M libovolná funkce. Definujme ty/: F (A) —> M předpisem n n í=i í=i Kapitola 1. Moduly 11 Protože prvky F (A) je možné zapsatjednoznačně jako 7?-lineární kombinace au je funkce ty/ dobře definovaná. Snadno se nahlédne, že u/ je homomorfismus 7?-modulů. Z definice je \j/\A — Rn předpisem / = r\a\ + r2a2 + ...rnan \-> (n,r2,...,rn). Toto zobrazení je jistě homomorfismus modulů, který je surjektivní. Z jednoznačnosti vyjádření / ve tvaru Y!l=\r i^i plyne injektivita. Dostáváme tedy izomorfismus 7?-modulů F(A)^Rn . • Důsledek 1.9. Jsou-li F\, F2 volné moduly nad množinou A, existuje jediný izomorfismus mezi F\ a F2, který je identitou na A. Důkaz. Z předchozí věty dostáváme díky volnosti F\ a F2 existenci a jednoznačnost zobrazení y/\, i//2 takových, že diagram A F\ ^ F2 komutuje. Z jednoznačnosti navíc dostáváme, že \\f2 o \]/\ = idpl a ° Wi = idF2- Jsou to tedy jediné (vzájemně inverzní) izomorfismy modulů, které jsou identitou na A. • Poznámka. Každý volný 7?-modul nad množinou A je izomorfní s Tvrzení 1.10. Každý modulje izomorfní s faktorovým modulem volného modulu. Důkaz. Buď F volný modul nad množinou X všech nenulových prvků modulu M. Inkluze X —> M indukuje podle věty 1.8 surjektivní homomorfismus / : F —> M předpisem f&nxi) = Y,r iXiZ věty 1.6 dostáváme, že M = F/ker/. • Definice. Buď R okruh, M levý 7?-modul. Řekneme, že prvek m G M je torzní, jestliže existuje r G R, r ^ 0 takové, že rm — 0. Množinu torzních prvků modulu M značíme Tor(M) = {m G M | 3r G R, r^0:rm = 0}. Řekneme, že modul M je bez torze, jestliže Tor(M) = {0}. Modul M se nazývá torzní, jestliže M — Tor(M). Kapitola 1. Moduly 12 Tvrzení 1.11. NechtR je obor integrity. 1. Pro libovolný R-modul M je Tor(M) podmodul modulu M. 2. Modul M j Tor(M) je bez torze. Důkaz. Buď R obor integrity. 1. Buďte m, n G Tor(M). Pak existují nenulové r, s E R takové, že rm — 0 = sn. Odtud rs{m + n) = rsm + rsn — s(rm) + r(sn) — sO + rO — 0, přitom 0 ^ rs — sr platí díky tomu, že R je obor integrity. Tor(M) je tedy množina uzavřená na sčítání. Zbývá ukázat, že je uzavřená i na násobení prvky z R. Buď tedy t E R libovolný, pak r(tm) = t(rm) = íO = 0. 2. Protože z části 1 dostáváme, že Tor(M) je podmodul modulu M, můžeme uvážit projekci N a / : P —> N, kde h je surjektivní, existuje homomorfismus g: P —>• M takový, že hg — f, tj. existuje homomorfismus g takový, že diagram P M h komutuje. Definice. Nechť R je okruh 1. Řekneme, že posloupnost A^BAC 7?-modulů (případně grup) a homomorfismů mezi nimi je exaktní v B, jestliže platí ker g = i m / . 2. Posloupnost •••—>• X M _ i —>• X M —>• X M + i —>•... se nazývá exaktní, jestliže je exaktní ve všech svých členech, kde je tento pojem definován (tj. ve všech členech mezi dvěma homomorfismy). 3. Krátkou exaktní posloupností rozumíme exaktní posloupnost tvaru Poznámka. Uvažme posloupnost 1. Exaktnost v A znamená, že ker/ = 0, tj. / je injektivní. Exaktnost v C znamená, že img = C, tj. g je surjektivní. Tato posloupnost je tedy exaktní právě tehdy, když / je injektivní, g je surjektivní a i m / = kerg. 2. Je-li uvažovaná posloupnost exaktní, pak platí C ^ 5 / k e r g = 5 / i m / = 5//(A), přitom příslušné izomorfismy plynou z věty 1.6. Kapitola 1. Moduly. 14 Tvrzení 1.13. Přímý součet R-modulů 0 a e / Pa je projektivní právě tehdy, když každý jeho sčítanec je projektivní. Důkaz. Označme P — 0 a e / P a , dále ia: Pa —> P kanonické vnoření a pa: P —> Pa kanonickou projekci. Zejména pa o ia = idpa. „=>": Nechť P je projektivní, nechť h: M —> N je surjektivní homomorfismus a nechť /: Pa —> N je homomorfismus. Pak fopa: P ^ N je homomorfismus 7?-modulů. Protože P je projektivní, existuje homomorfismus g: P —> M takový, že diagram Pa M •N h komutuje. Označme

N je libovolný homomorfismus. Chceme tedy nalézt g: R^r M tak, aby komutoval diagram R M ^N h Označme /(1) = n. Protože h je surjektivní, existuje m EM takové, že h (m) = n. Definujme g předpisem g (x) — x-m. Buď x E R libovolné, pak hg(x) — h(xm) — xh(m) — xn — xf(l) — f (x), diagram tedy komutuje. • Věta 1.15. Nechť je dán R-modul P. Následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. R-modul P je projektivní. 2. Je-li posloupnost 0—>-A—>-.P—>•() exaktní, pak A® P — B. 3. R-modul P je přímým sčítancem vhodného volného R-modulu. f g Důkaz. 1 =>• 2: Nechť je posloupnost 0 — » 5 — » . P — » 0 exaktní, nutně je tedy g surjektivní homomorfismus. Protože je P projektivní, existuje h takové, že diagram P komutuje. Protože gh — id, je nutně h injektivní. Chceme dokázat, že B = A © P. Protože /, h jsou injektivní, dostáváme A = i m / , P = im/i. Buď x E B libovolný. Označme hg(x) — y E \mh. Platí hg(x -y) = hg(x- hg(x) ) = hg(x)-h gh g(x) = hg(x) - hg(x) = 0. Protože h je injektivní, platí g(x — y) — 0. Dostáváme, že z — x — y E kerg — im f. Odtud x — y + z, kde y E imh a z E i m / , tj. B = i m / + im/i. Nyní ukážeme, že im/flim/i = 0. Nechť t E im/flim/i, pak t — h(u) pro vhodné u E P. Protože i m / = kerg, je g(t) — 0, tedy g (h(u)) — 0, přitom gh — idp, nutně tedy u = 0 a t = 0. Použitím tvrzení 1.5 dostáváme, že B — imf © im h = A © P. Kapitola 1. Moduly 16 2 =>- 3: Z tvrzení 1.10 víme, že každý modul je izomorfní s faktorovým modulem volného modulu. Modul P je tedy izomorfní s faktorovým modulem nějakého volného modulu F. Existuje proto surjektivní homomorfismus p: F —> P, totiž projekce na faktorový modul složená s příslušným izomorfismem. Pro vhodný modul N je posloupnost O^N^F^P^O exaktní. Z podmínky 2 dostáváme, že N Q) P = F. 3 =>- 1: Jestliže F — P (B N je volný, pak je podle důsledku 1.14 projektivní. Protože P je přímý sčítanec projektivního modulu, je podle tvrzení 1.13 sám projektivní. • Příklad. 1. Z/6Z-moduly Z/2Z a Z/3Z jsou projektivní, vždyť jsou přímými sčítanci volného modulu Z/6Z = Z/2Z©Z/3Z. Nejsou ale volné jako Z/6Z moduly. 2. Uvažme Z-modul M takový, že Tor(M) ^ {0}, pak M není projektivní, vždyť projektivní moduly jsou přímé sčítance volných modulů a volný modul nad oborem integrity má triviální torzi. Tedy žádná komutativní grupa obsahující nenulový prvek konečného řádu není projektivní Z-modul. Věta 1.16. R-modul P je projektivní právě tehdy, když existuje množina (at)1 R takových, že pro každý prvek a E P je jen konečně mnoho t G T takových, že ft (a) ^ 0, a navíc pro každé a E P platí teT Důkaz. „=>": Nechť P je projektivní 7?-modul. Pak z předchozího tvrzení plyne, že P je přímým sčítancem nějakého volného 7?-modulu F. Díky poznámce před tvrzením 1.10 můžeme předpokládat, že F — ($teTR pro nějakou indexovou množinu T, tj. teT pro vhodný 7?-modul N. Označme p: 0 / e ; r ^ ~~^ P kanonickou projekci, i: P —>• 0 / e ; r ^ kanonické vnoření, {xt)teT množinu prvků, které volně generují 0í e 7-/?. Dále označme pt: ®teT^ R kanonickou projekci na ř-tou složku a položme ft — pt o i: P —> R. Buď a G P libovolné, pak teT pro vhodná ft(a) G R, přitom jen konečně mnoho ft(a) G i? je nenulových (vždyť na obou stranách je prvek 0 ř e r # ) . Navíc ft: P —> R jsou podle tvrzení 1.3 homomorfismy modulů. Na obě strany rovnosti aplikujme p a dostáváme teT vždyť p o i — idp (jak jsme jsme uváděli v poznámce před tvrzením 1.5) a p je homomorfismus modulů. Pokud položíme p (xt) — at, dostáváme a = teT Kapitola 1. Moduly 17 „<=": Nechť opět F — 0 r e r R a nechť (xt)teT je množina prvků, která F volně generuje. Podle věty 1.8 existuje jediný homomorfismus / : F —> P takový, že f(xt) — at. Uvažme dále homomorfismus g: P —> F daný předpisem g(a ) = Y,ft(a )x t- teľ Zobrazení je skutečně homomorfismus, protože f jsou homomorfismy a jen konečně mnoho sčítanců je nenulových. Pak f°g(a) =f[ Y,ft(a )x t = =a -. \teľ J teľ přičemž poslední rovnost je předpokladem dokazované implikace. Proto / o g je identita na P. Ukážeme, že P je přímým sčítancem F. Protože f g — idp, je nutně g injektivní a / surjektivní. Jistě P = gf (F) C F. Tedy P je izomorfní s im g/, což je podmodul modulu F. Nechť je jc G F libovolný, pak x — (x — gf (x)) + gf (x), kde x — gf (x) G ker gf, vždyť gf (x - gf (x)) = gf (x) - gfgf(x) = gf (x) - gf (x) = 0, a jistě gf (x) G imgf. Odtud dostáváme F — kergf + imgf. Nechť je nyní x G ker gf fl im gf, pak existuje y G F takové, že gf (y) — x. Pak ale x — gf (y) — gfgf(y) — gf(x ) — 0, tedy ker g / n imgf — 0. To podle tvrzení 1.5 dává, že F — kergf(Bimgf = ker gf © P. Dostáváme, že P je přímým sčítancem volného modulu, což podle tvrzení 1.15 znamená, že P je projektivní modul. Tímto je důkaz hotov. • Kapitola 2 Noetherovské a Dedekindovy okruhy V této kapitole se budeme věnovat především Dedekindovým okruhům a jejich vlastnostem. Za tímto účelem zavedeme pojem noetherovského okruhu. Poznamenejme, že noetherovský okruh nemusí být komutativní. Pro nás však případ nekomutativních okruhů nebude důležitý, proto budeme dále uvažovat pouze komutativní noetherovské okruhy. V celé této kapitole budeme vycházet z textu [5]. Poznámka. V minulé kapitole jsme uvedli, že levé ideály okruhu R můžeme chápat jako podmoduly levého 7?-modulu R. Je-li R komutativní okruh, pak jsou levé ideály právě (oboustranné) ideály. Protože v tomto případě je ideál (ai,...,an ) generovaný prvky fli,...,aB G R roven součtu cyklických levých 7?-modulů Ra\ H \-Ran i cyklických pravých 7?-modulů a\R H h anR, budeme dále využívat všech tří zápisů ... ,an) — Ra\ H \-Ran — a\R-\ \-anR. Rovnost Rai — aiR můžeme uvažovat díky tomu, že ař G R, kde R je komutativní okruh. Podobně budeme tuto rovnost využívat pro ai G K, kde K je komutativní okruh obsahující R (zejména je-li R obor integrity a K jeho podílové těleso). V těchto případech totiž {ar | r G R] — {ra \ r G R}, přitom obě množiny jsou dobře definované. Pokud tento případ nenastane, budeme 7?-modulem i nadále rozumět levý 7?-modul a budeme používat příslušné značení. 2.1 Noetherovské okruhy a moduly Definice. Komutativní okruh se nazývá noetherovský, jestliže každá rostoucí posloupnost ideálů (vzhledem k inkluzi) I\ C h C I3... je konečná. Tvrzení 2.1. Komutativní okruh je noetherovský právě tehdy, když je každý jeho ideál konečně generovaný. Důkaz. „=>": Důkaz povedeme obměnou. Buď R okruh a / jeho ideál, který není konečně generovaný. Buď x\ G / libovolný a označme I\ = (x\). Zvolme libovolně X2^I\I\ a označme h — (xi,X2), . . . , zvolme libovolně xn+\ G I\In a označme In+\ — (x\,...,xn,xn+i). Volba xn půjde udělat pro libovolné n G N, vždyť / není konečně generovaný. Tímto postupem dostáváme nekonečnou rostoucí posloupnost ideálů. R tedy není noetherovský. -18- Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 19 „<=": Buď R okruh, jehož každý ideál je konečně generovaný. Předpokládejme sporem, že existuje nekonečná rostoucí posloupnost ideálů I\ C h C — Označme / = UweN 4• P r o " tože / je sjednocením do sebe vnořených ideálů, je / také ideál, / je z předpokladu konečně generovaný. Každý jeho generátor leží v nějakém ideálu /,-, proto všechny generátory leží v nějakém ideálu 4 (kde k je největší z těchto i). Pak ale / C 4 c 4+i C /, což je spor. • Důsledek 2.2. Každý okruh hlavních ideálů je noetherovský. Věta 2.3 (Hilbertova věta o bázi). Jestliže R je noetherovský okruh, pak je noetherovský i okruh polynomů R[x\. Důkaz. Předpokládejme sporem, že R[x] není noetherovský. Buď / jeho ideál, který není konečně generovaný. Označme 0 / i G / minimálního stupně, (f\) ^ /, f2 e A (/i) minimálního stupně, (/i,/2 ) ^ 7 , ( / i ) c ( / i , / 2 ) c ( / i , / 2 , / 3 ) c . . . Označme ař- G /? vedoucí koeficient a nř- stupeň polynomu f i, přitom z konstrukce plyne, že n\ < «2 < "3 < — Jistě («l) C (ai,a2 ) C (ai,a2 ,a3 ) C ... Protože R je noetherovský, musí pro nějaké k G N nastat [a\,..., = (ai,..., a*, a^+i), zejména í=i pro vhodná rř G /?. Položme Ä = Ä+l - £ rl ŕ^-ní fi f (/,,/2 .4). (=1 Přitom ale st/z < st/^+i, což je spor s výběrem ft+i- • Příklad. /. Okruh Z je noetherovský, vždyť Z je dokonce okruhem hlavních ideálů. 2. Každé těleso je noetherovský okruh. 3. Okruh polynomů konečně mnoha proměnných nad noetherovským okruhem je no­ etherovský. 4. Okruh polynomů nekonečně mnoha proměnných x\ ,x2 ,... nad libovolným netriviálním okruhem není noetherovský, vždyť (xi) C (xi,x2 ) C (xi,x2 ,x3 ) C ... je nekonečná rostoucí posloupnost ideálů. Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 20 5. Okruh celých algebraických čísel (tj. čísel Cŕ G C, které jsou kořenem nejakého normovaného polynomu s celočíselnými koeficienty) není noetherovský, vždyť (2) C [y/l) C {y/2) C {y/l) C . . . je nekonečná rostoucí posloupnost ideálů. Definice. Nechť R je komutativní okruh. Řekneme, že 7?-modul M je noetherovský, jestliže každá rostoucí posloupnost jeho podmodulů M\ c A/2 C A/3 c ... je konečná. Lemma 2.4. Nechť R je komutativní okruh, M, M\, M2JSOU R-moduly takové, že posloupnost R-modulů O ^ A / i ^ A / ^ A / 2 ^ 0 je exaktní. Pakje M je noetherovský pravé tehdy, když jsou noetherovské moduly M\ a A/2. Důkaz. „=>": Buď M noetherovský a O ^ M i ^ A f ^ A f 2 ^ 0 exaktní. Modul M\ je vnořen do M, lze ho tedy chápat jako podmodul modulu M. Pak každý podmodul modulu M\ je též podmodulem M. Nekonečná rostoucí posloupnost podmodulů v M\ by byla nekonečnou rostoucí posloupností podmodulů v M, což není možné. M\ je tedy noetherovský. Předpokládejme sporem, že A/2 není noetherovský. Buď /j C/2 C ... nekonečná rostoucí posloupnost podmodulů M2. Protože máme surjektivní homomorfismus M —ř A/2, můžeme uvážit úplný vzor každého z podmodulů Ij v tomto zobrazení, přitom vzor podmodulů je podmodul podle tvrzení 1.7. Protože je zobrazení surjektivní, je tato posloupnost rostoucí, což je spor s tím, že A/ je noetherovský. „<^": Buďte A/i, A/2 noetherovské aO —ř Mi —ř M —ř M2 —t 0 exaktní. Homomorfismus M —> M2 označme / . Předpokládejme sporem, že M není noetherovský. Buď I\ C h C ... nekonečná rostoucí posloupnost podmodulů modulu M. Opět můžeme chápat M\ jako podmodul modulu M. Uvažme podmoduly Lj — Ij fl M\. Z noetherovskosti modulu M\ plyne existence n\ G N takového, že Lni — Lni+t pro všechna ř G N . Označme 7, = f {h). Protože J\ C J2 C ..., existuje «2 G N takové, že 7„2 = 7„2 + / pro všechna t G N. Označme dále 77 = /|/ť a položme n = max{ni,n2}- Buď r> n libovolné. Dostáváme krátké exaktní posloupnosti 0 — ^ / „ n M ^ ^ A y , , — ^ 0 c 0 7r n Aři 7r Jr 0. Buď a G Ir libovolné. Označme x — fr(a). Protože /„ je surjektivní, existuje b G ln takové, zex — fn{b). Pak ale fr{a — b) = 0, tedy a — b G IrflM\ =InC\M\. Odtud dostáváme, že a G /„. Protože a G Ir bylo libovolné, dostáváme lr — ln, což je spor. • Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 21 Tvrzení 2.5. 1. Přímý součet konečného počtu noetherovských modulu je noetherovský. 2. Homomorfní obraz noetherovského modulu je noetherovský. Důkaz. 1. Nechť A, B jsou noetherovské okruhy. Protože 0—^A—^A©5—^5—^Oje krátká exaktní posloupnost, je podle lemmatu 2.4 i A © B noetherovský. Libovolné konečné součty dostaneme indukcí. 2. Buď A noetherovský a uvažme libovolný homomorfismus (p: A —> B. Pak podle věty 1.6 je (p(A) = A/ker": Zřejmě pokud II' = R, je /' = 1'1 , tedy / je invertibilní. „<=": Nechťje / invertibilní. Protože inkluze //' C R platí vždy, stačí ukázat, že R C II'. Přitom z definice /' dostáváme, že I C/', proto R — II C II'. • Tvrzení 2.9. Každý hlavní lomený ideál je invertibilní a množina všech invertibilních lomených ideálů tvoří komutativní grupu vzhledem k násobení. Množina hlavních lomených ideálů tvoří podgrupu této grupy. Důkaz. Nechť I je hlavní lomený ideál, pak I — aR pro nějaké nenulové a E K. Pak zřejmě / 1 = a - 1 R, což je opět hlavní lomený ideál. Z lemmatu 2.7 dostáváme, že lomené ideály tvoří komutativní monoid vzhledem k operaci násobení. Množina invertibilních prvků monoidu tvoří grupu, vždyť pokud jsou I1J2 invertibilní, pak inverze k I\ • I2 je I2 I\ 1 • Konečně součinem hlavních ideálů je jistě hlavní ideál (generovaný součinem generátorů). • Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 23 Definice. Řekneme, že obor integrity R je Dedekindův okruh, jestliže jeho každý lomený ideál je invertibilní. Příklad. Z tvrzení 2.9 plyne, že každý okruh hlavních ideálů je Dedekindův. Vždyť každý lomený ideál v okruhu hlavních ideálů je hlavní, tedy invertibilní. Věta 2.10. Nechť Rje Dedekindův okruh. Pak Rje noetherovský a každý nenulový prvoideál je maximálni. Důkaz. Buď / libovolný nenulový ideál okruhu R. Jelikož R je Dedekindův, je / invertibilní. Protože I I 1 — R, existují a;- G / a bi G I 1 pro i = 1,2,..., m takové, že Y4Ĺ1 a i -bi= 1. Buď x G / libovolný prvek, pak jistě xbi G i? a dále x — x \ — {xb\)a\ + {xb^jai H Y (xbn)an. Proto / = (ai,a2, • • - ,an). Buď P libovolný nenulový prvoideál okruhu R. Buď M maximální ideál obsahující P. Dostáváme PM 1 C MM 1 — R, tedy PM 1 je ideál okruhu R. Protože P je prvoideál a platí (PM 1 ) • M = P, je PM 1 C P nebo M C P (jinak by existoval prvek x G PM 1 \ P a y G M \ P takový, že xy G P, což je spor). První možnost dává M~l — P PM C P' l P C R, což po vynásobení M dává R C M . To je ale spor, vždyť M C R je maximálni ideál. Platí proto druhá možnost, tj. M C P, přitom M je maximálni ideál obsahující P, tedy P — M. • Definice. Buď R obor integrity a L těleso, které jej obsahuje. Prvek a G L se nazývá ce/ý nad okruhem R (také R-celý), jestliže je kořenem normovaného polynomu s koeficienty z R. Věta 2.11. Nechť R je obor integrity, L těleso, které jej obsahuje, a a E L. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1. a je R-celý. 2. Okruh R[a] generovaný R a a je konečně generovaný R-modul. 3. Existuje konečně generovaný, nenulový R-modul M C L takový, že OíM C M. Důkaz. 1 =>• 2: Nechť je a R-celý. Pak existuje normovaný polynom / G R [x], jehož je a kořenem, platí tedy an + an-i(xn ~1 H \-a\a + ao — 0. Prvky 1, a, a2 ,..., a n 1 proto generují 7?-modul R [a]. 2 ^ 3 : Stačí uvážit M = /?[ce]. 3 =>- 1: Označme z i , . . . , zr generátory M. Protože aM C M, existují bij G R takové, že OCZl = b\\Z\-\ Yb\rZr, az2 = b2izi-\ \-b2rzr, CtZr — br\Z\ H YbrrZr. Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 24 Převedením levých stran vpravo dostáváme následující rovnost \ ízi\ Z2 (b\\-a bn bii b22 - 05 b\r blr \ br\ brl lrr-a) \Zrj M 0 Protože z\, Z2,---,zr jsou generátory nenulového modulu M, je alespoň jeden z nich nenulový. Sloupce matice z předešlé rovnosti jsou tedy lineárně závislé. Proto /(x) = (-iy-det (b\\-x bu bn b22~x blr \ blr \ br\ brl ••• brr-xj je normovaný polynom s koeficienty v R, jehož kořen je a, což jsme chtěli dokázat. • Důsledek 2.12. Nechť L je těleso a R jeho podokruh. Pak množina R-celých prvků a EL tvoří okruh obsahující R. Důkaz. Nechť a, b E L jsou i?-celé. Nechť M, N jsou konečně generované nenulové podmoduly 7?-modulu L takové, že aM C M, bN C N. Uvažme 7?-modul MN jakožto 7?-modul generovaný všemi součiny generátorů modulů M a N (tj. prvky tvaru x{yj, kde xř- je generátor M a yjje generátor N), přitom operaci násobení máme definovánu, vždyť L je těleso a M , N jsou jeho podmoduly. Jistě je MN nenulový a konečně generovaný 7?-modul. Přitom (a±b)MN C MN a (ab)MN C MN, tedy a + b7a-b7a-b jsou R-celé. Zřejmě libovolné a E R je R-celý prvek, vždyť a je kořenem x — a E R[x]. • Definice. Buď R obor integrity, K jeho podílové těleso a L libovolné těleso obsahující R. Okruh 7?-celých prvků a E L se nazývá celistvý uzávěr R v L. Okruh R se nazývá celouzavřený, je-li roven svému celistvému uzávěru v K. Věta 2.13. Nechť R je obor integrity obsažený v tělese K. Nechť L je libovolné rozšíření tělesa K. Je-li S celistvý uzávěr okruhu R v K, pak celistvé uzávěry R a S v L splývají. Důkaz. Nechť je dán 7?-celý prvek a EL, pak existuje normovaný polynom f E R[x], který má kořen a. Z důsledku 2.12 víme, ze R ES. Proto je f E S[x], a tedy a je S-celý. Nechť je naopak dán 5-celý prvek a EL, pak existují prvky ao, a\,..., an _i E S takové, že an +an-\(Xn ~l -\ \-a\a+ao = 0. Protože ai E SjeR-ce\ý pro každé / E {0,... ,n — 1}, je kořenem normovaného polynomu s koeficienty v R. Matematickou indukcí ukážeme, že Ri =R[a$,..., an-{\ je konečně generovaný 7?-modul. Z věty 2.11 plyne, že R[ao] je konečně generovaný 7?-modul. Předpokládejme, že R[ao,... ,a,-_i] je konečně generovaný 7?-modul, označme jeho generátory x\,... , X £ . Protože a\ ES je R-celý, je kořenem normovaného polynomu s koeficienty z R C R[ao,... ,a,-_i], proto a, je též R[ao,... ,ař-_i]-celý. To podle věty 2.11 znamená, že R[ao,..., a,-] je konečně generovaný R[ao,..., -modul. Generátory označme Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 25 yi,... ,y/. Prvky X0j pro h G {1,... ,k} a j G {1,...,/} jsou pak generátory P-modulu R[ao,...,ai]. Proto je také R\ — R[ao, a\,..., a„_i] konečně generovaný Ä-modul. Navíc prvek a je i?i-celý, tedy R\ [a] je konečně generovaný Pi-modul. Odtud plyne, že i?i [a] je konečně generovaný P-modul (opět generovaný součiny generátoru). Zřejmě je nenulový a platí ocR\ [a] C/?i[a].Z3 podmínky věty 2.11 plyne, že a je P-celý. • Důsledek 2.14. Každý celistvý uzáver oboru integrity v telese je celouzavřený. Důkaz. Plyne z předchozí věty, když položíme K— L. • Lemma 2.15. Nechť R je noetherovský obor integrity. Nechť Q ^I^Rje jeho ideál. Pak v R existujíprvoideály Pi,P2, • • • ,Pr takové, že P\Pi • • Pr Q i Q P\ nP2 n • • • npr Důkaz. Důkaz povedeme sporem. Označme I maximální prvek (vzhledem k inkluzi) množiny všech ideálů okruhu R, které tuto vlastnost nemají. Existence takového I plyne ihned z noetherovskosti okruhu R. Zřejmě I není prvoideál. Existují proto prvky a,b ER\I takové, že a-bel. Položme A = I + aRaB = I + bR. Pak AB C / CADB. Jistě A ^R^B, vždyť pokud by například platilo A — R, pak bychom dostali B — I, což nelze. Protože IcA a / C B, přičemž / byl maximální ideál, který lemma nesplňoval, musí mít A i B vlastnost z lemmatu. Proto existují prvoideály P\,...,Pr pro A&Q\,...,QS pro B. Celkem P\ • • • PrQi • • • Qs c AB c i c A n B c Pi n • • • n pr n gi n • • • n Qs, což je spor s existencí ideálu, který nesplňuje tvrzení lemmatu. • Lemma 2.16. Nechť Rje obor integrity, Pjeho nenulový prvoideál, I\,..., hjeho nenulové ideály. Jestliže I\...In C P, pak existuje i G {!,...,n} takové, že li C P. Je-li navíc li maximální ideál, pak P — li. Důkaz. Sporem předpokládejme, že pro žádné i G {1,... ,n} neplatí 7ř- C P. Pro každé i proto existuje prvek pi G li \ P. Pak p\...pn eh...In QP. Protože je ale P prvoideál a žádné pi v něm neleží, nemůže v něm ležet ani jejich součin, což je spor. Je-li C P a li je maximální, pak jistě P — li. • Poznámka. Definovali jsme součiny lomených ideálů oboru integrity R, zejména tedy součinyjeho nenulových celých ideálů. Všimněme si však, žejsme v důkazu nikde nevyužili, že R je obor integrity. Dokonce jsme ani nepotřebovali, že I\,..., ln jsou ideály. Pokud bychom definici součinu rozšířili pro libovolný okruh R a jeho neprázdné podmnožiny (kde součin neprázdných množin je množina součinů), pak by se důkaz provedl úplně stejně. Protože se však obecnějším případem zabývat nebudeme, postačí nám slabší tvrzení předchozího lemmatu. Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 26 Lemma 2.17. Nechť Rje obor integrity, který je noetherovský a celouzavřený. Nechť každý nenulový prvoideál je maximální. Pakje každý nenulový prvoideál invertibilní. Důkaz. Buď P libovolný nenulový prvoideál okruhu R. Nechť 0 ^ a G P je takový prvek, pro který hlavní ideál aR obsahuje součin P\P2-..Pr co možná nejmenšího množství nenulových prvoideálů. Existence těchto prvoideálů pro libovolný nenulový hlavní ideál plyne z lemmatu 2.15. Dostáváme PiP2...PrCaRCP. Podle lemmatu 2.16 existuje i G {1,..., r} takové, že PÍ — P, vždyť PÍ je podle předpokladu věty maximální ideál. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že i — 1, tedy P\ — P. Protože jsme prvek a a prvoideály P\,...,Pr volili tak, aby r bylo co nejmenší, nemůže být součin P2...Pr obsažen v aR, existuje proto b G P2 • • • Pr \ aR a platí bP C PP2.. .Pr C aR, tedy ba P C R. Připomeňme označení P' = {qeK\qPCR}, přitom je-li P invertibilní, což chceme dokázat, je právě P' jeho inverzí. Dostáváme, že ba-1 eP'\R,tedyRcP'. Součin PP' je ideál okruhu R. Navíc P — PR C PP' C R. Protože P je maximální ideál, je PP' — P, nebo PP' — R. Předpokládejme, že P — PP'. Pak platí P(P')n — P pro každé n G N. Odtud dostáváme, že pro každé nenulové x E P a y G P'\R platí xyn e P C R. Proto xR[y] C R, tedy xR[y] je ideál okruhu R. Protože je R noetherovský, je xR\y] konečně generovaný. Označme tyto generátory a\,a2, • • •,am. Proto má 7?-modul R[y] generátory a\x~x ,..., amx~x . Z věty 2.11 dostáváme, že y G K je R-ce\é. Protože jsme předpokládali, že R je celouzavřený, je y G R, což je spor. Proto PP' — R, což jsme chtěli dokázat. • Lemma 2.18. Nechť Rje obor integrity, který je noetherovský a celouzavřený. Nechť každý nenulový prvoideál je maximální. Pak každý ideál vI^Rlze napsatjako součin prvoideálů. Důkaz. Předpokládejme sporem, že I ^ R je ideál, který nelze napsat jako součin prvoideálů. Zřejmě 1^(0). Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že ze všech takových ideálů právě / obsahuje součin P\.. .Pr co možná nejmenšího počtu nenulových prvoideálů, což lze díky lemmatu 2.15. Označme P prvoideál obsahující /. Dostáváme Pl...PrClCP. Podle lemmatu 2.16 existuje i G {1,... ,r} takové, že PÍ — P, vždyť PÍ je maximální. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, ze i — 1. Navíc je P invertibilní podle lemmatu 2.17. Proto P2...PrCP~1 I GP~1 P = R, Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 27 přitom rovnost nastat nemůže, vždyť vynásobením P bychom dostali rovnost i výše. Proto P~ I je ideál okruhu R, který obsahuje součin méně prvoideálů než /. Jistě P I ^R. Proto P l I lze reprezentovat jako součin prvoideálů, tedy P l I — Q\...QS pro nějaké prvoideály Qi. Konečně / = PQ\ ...Qs, což je spor. • Věta 2.19. Nechť R je obor integrity. Následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. R je Dedekindův okruh. 2. R je noetherovský, celouzavřený a každý nenulový prvoideál v R je maximální. Důkaz. 1 =>• 2: Z věty 2.10 dostáváme, že R je noetherovský a každý nenulový prvoideál je maximální. Zbývá dokázat, že i? je celouzavřený. Chceme tedy ukázat, že každý /?-celý prvek leží v R. Buď tedy a G K libovolný R-celý prvek. Z věty 2.11 dostáváme, že okruh R[a] je konečně generovaný 7?-modul. Označme jeho generátory a\,... ,aT O a vyberme b ^ 0 takové, že bai G R pro 1 < i < m. Jistě potom bR[a] C R, tedy 7?[a] je lomený ideál. Protože je dokonce R[a] okruh, je R[a] -R[a] — R[a\. Dostáváme R[a] =R[a] R = R[a]-R[a] •{R[a])~i = R[a] • (^[a])"1 = R, tedy a G R, což jsme chtěli dokázat. 2 =>- 1: Chceme ukázat, že každý lomený ideál je invertibilní. Buď tedy / libovolný lomený ideál okruhu R. Pak existuje nenulové a G R takové, že al C 7?. Je-li a/ = i?, pak / = a R je hlavní lomený ideál, který je podle tvrzení 2.9 invertibilní. Nechť dále al C R. Protože al je ideál okruhu 7?, lze podle předchozího lemmatu napsat jako součin vhodných prvoideálů, tedy al — P\... Pr. Odtud I = a-1 Pl...Ps = (a-1 R)Pl...Ps. Napsali jsme / jako součin invertibilních lomených ideálů, proto je / také invertibilní. • Věta 2.20. Nechť Rje Dedekindův okruh, 0 ^ / ^ Rjeho ideál. Pak I lze napsatjako součin prvoideálů a to jednoznačně až na pořadí. Důkaz. Z lemmatu 2.18 dostáváme existenci zápisu. Zbývá dokázat jednoznačnost. Buď tedy {0} Ť^I Ť^R libovolný ideál takový, že lze zapsat dvěma různými způsoby jako součin prvoideálů I = P1...Pr = Q1...Qs, a to takový, že číslo r G N je pro všechny ideály mající dvě různá vyjádření jako součiny prvoideálů co nejmenší možné (přitom jiné pořadí v zápisu prvoideálů považujeme za stejné vyjádření). Jistě <2i • • • Qs Q P\ > proto podle lemmatu 2.16 existuje i G {1,..., s} takové, že Qi = P\. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že i — 1, tj. P\ —Q\. Proto P2...Pr = Př1 Pi-Pr = Pi1 Qi...Qs = Q2...QsProto i ideál P2 • • -Pr — Qi • • • Qs má dvě různé faktorizace. To je ale spor s volbou /, kdy jsme minimalizovali r. • Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 28 Důsledek 2.21. Grupa všech lomených ideálů v Dedekindovš okruhu je volná abelovská grupa generovaná nenulovými prvoideály. Důkaz. Nechť A je libovolný lomený ideál okruhu R. Pak existuje a G R takové, že aA C R, tedy aA je ideál v R. Dostáváme A = (aRyl -(aA), kde aR i aA můžeme zapsat jako součin prvoideálů. Proto A lze zapsat jako součin mocnin prvoideálů s celočíselnými exponenty. Proto nenulové prvoideály generují grupu všech lomených ideálů. Z věty 2.20 plyne, že ji generují volně. • Poznámka. Již dříve jsme zmínili, že abelovské grupy jsou právě Z-moduly. Volná abelovská grupa G je pak volný Z-modul, tj. můžeme psát G = 0Z aeA pro vhodnou indexovou množinu A. Důsledek 2.22. Buď R Dedekindův okruh. Každý lomený ideál I lze zapsat jednoznačně ve tvaru 1= 11 />«C), (O)CPC/? Pje prvoideál kde jen konečne mnoho koeficientů a{P) G Z je nenulových. Důkaz. Plyne z důsledku 2.21 a předchozí poznámky. • 2.3 Dělitelnost ideálů, kongruence, čínská zbytková věta Nebude-li řečeno jinak, bude v této části R značit Dedekindův okruh. Z věty 2.20 víme, že každý ideál I ^ R okruhu R lze zapsat jako součin prvoideálů. Pokud je navíc I ^ (0), je tento součin dán jednoznačně (až na pořadí činitelů). Dává proto smysl rozšířit pojem dělitelnosti, největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku na ideály. Definice. Buď R Dedekindův okruh, A, B jeho ideály. 1. Řekneme, že ideál B dělí ideál A (též Aje dělitelný B), jestliže existuje ideál C takový, že A = BC. 2. Největším společným dělitelem ideálů A, B rozumíme ideál, který dělí A i B a je dělitelný každým ideálem s touto vlastností, značíme jej (A, B). 3. Nejmenším společným násobkem ideálů A, B rozumíme ideál, který je dělitelný A i B a dělí každý ideál s touto vlastností, značíme jej [A,B]. 4. Řekneme, že ideály A, B jsou nesoudělné, jestliže (A, B) — R. Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 29 Poznámka. Existence a jednoznačnost výše definovaných pojmů plyne z jednoznačnosti zápisu každého nenulového ideálu na součin prvoideálů. Příklad. Ukažme si, že dělitelnost ideálů má stejné vlastnosti, na jaké jsme zvyklí u celých čísel. Pojem dělitelnosti ideálů v Dedekindových okruzích tedy zobecňuje pojem dělitelnosti čísel v Z. Necht A, B jsou nenulové ideály, A — Y[pPa ^ a B — YlpP Je jejich jednoznačný rozklad na součin prvoideálů (násobíme přes všechny nenulové prvoideály). Jistě a(P),b(P) G No pro každý prvoideál P. Snadno rozmyslíme, že platí následující tvrzení. • A dělí B právě tehdy, když a(P) < b{P) pro každý (nenulový) prvoideál P. • Položme c(P) — rmn(a(P),b(P)) a d(P) — max(a(P),b(P)). Pak dostáváme (A,B)=n^c(p) , M=n^( / > ) . p p • Dále platí (A,B)-[A,B] =AB. Věta 2.23. Je-li R Dedekindův okruh, pak: 1. Pro lomené ideály A, B platí A C B právě tehdy, když A — BC pro nějaký ideál C QR. 2. Pro nesoudělné ideály A, B platíAB — A DB. 3. Nechť n EN aA\,... ,An jsou po dvou nesoudělné ideály. Pak H"= — 11"= i A - 4. Pro ideály A, B platí (A,B)=A+B Důkaz. 1. „=>": Protože A C B, platí AB 1 C BB 1 = R. Položme C = AB 1 , pak BC = BAB 1 =A. „<=": Zřejmé. 2. „C": Zřejmé, vždyť AB C AR = A a AB C BR = B, tj. AB C A f] B. „D": Protože A fl B C A, dostáváme z 1, že existuje C C R takové, že A fl B — AC, tedy A dělí AD B. Podobně B dělí AD B. Protože A, B jsou nesoudělné ideály, AB dělí A D B, tedy opět z 1 dostáváme, že A n 5 C AB. 3. Plyne z části 2, vždyť pro = 2,... ,n je ideál A^ nesoudělný s nf=i^i- Použitím indukce vzhledem k n tedy dostáváme požadované. 4. „C": Jistě ACA+BaBCA+B, což podle 1 znamená, že A + 5 dělí A i 5, proto i jejich největšího společného dělitele, tedy (A, B) CA + B. „D": Protože A + 5 je nejmenší ideál obsahující A i 5 a (A, B) je nějaký ideál obsahující A i 5, je (A, B) D A + B. • Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 30 Poznámka. Věta 2.23 část 1 říká pro ideály, že dělit znamená obsahovat. Tedy ideál A dělí B právě tehdy, když A D B. Definice. Nechť R je okruh, 7 jeho ideál, a, b E R. Řekneme, že a je kongruentní s b modulo I, píšeme a = b (mod I), jestliže a —b El. Poznámka. Podmínka a = b (mod I) je ekvivalentní s tím, že a, b leží ve stejné třídě faktorokruhu R/I. Kongruence je tedy relace ekvivalence. Protože každý ideál v Z je hlavní, pojmy kongruence modulo číslo a kongruence modulo ideál v Z splývají, tj. a = b (mod m) a = Ŕ (mod (m)). Tvrzení 2.24. Nechť R je libovolný okruh, I jeho ideál a a, b G R. Kongruence ax = b (mod I) má řešení x G 7? právě tehdy, když b G I + aR. Důkaz. „=>": Nechť má kongruence ax = b (mod 7) řešení x E R. Z definice dostáváme b — axEl, tedy existuje y G 7 takové, žeb — y + axEl + aR. „<=": Nechť b E 1 + aR, pak Z? = y + ar pro vhodné r E R a y E I. Kongruence ax = b (mod 7) má tedy řešení x — r. • Důsledek 2.25. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál, a E R\P. Pro každé n G N má kongruence ax = b (mod Pn ) řešení x E R pro libovolné b E R. Důkaz. Protože a E R\P, jsou ideály P a aR nesoudělné (kdyby v rozkladu aR byl prvoideál P, musel by aR dělit, tedy i obsahovat, přitom a ^ P). Nutně jsou tedy nesoudělné i Pn a aR, tedy Pn + aR — (Pn ,aR) — R. Podmínka z předchozího tvrzení je tedy splněna vždy. • Důsledek 2.26. Nechť Rje Dedekindův okruh, P\, Pz,..., Pmjeho různé nenulové prvoideály a nechť a\,... ,am E R. Pro každé n EN existuje řešení x E R soustavy kongruencí x = a; (mod Ff) pro i = 1,2,..., m. Důkaz. Vyberme bi E (P\. ..PÍ-\PÍ+\ . ..Pm)n \ PÍ pro i — 1,... ,m. Nechť xi je řešením kongruence bixi = ař- (mod P]1 ). Pak x — b\X\-\ h bmxm je společným řešením zadaných kongruencí. • Důsledek 2.27 (Čínská zbytková věta). Nechť R je Dedekindův okruh, I\, h,...,Im jeho po dvou nesoudělné ideály. Nechť jsou dále dány a\, a2,-- - ,am E R. Pak existuje společné řešení x E R soustavy kongruencí x = at (mod 7ř) pro i — 1,2,..., m. Důkaz. Je-li některý ideál 7ř- nulový, musí být kvůli nesoudělnosti ostatní 7y = 7?, a tedy x — cii je řešením. Je-li některý ideál 7, = 7?, je každá kongruence modulo tento ideál splněna triviálně. Předpokládejme tedy, že pro každé i E {1,2,..., m} platí (0) C 7ř- c 7?, a uvažme rozklad ideálů 7ř- na prvoideály. To spolu s částí 3 věty 2.23 dává /. = p[/ A-(P) = p|pfcŤ (P)J Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 31 přičemž součin uvažujeme jen přes nenulové prvoideály P splňující bi(P) > 0. Díky tomu je tento součin konečný. Kongruence x = a, (mod /;) je ekvivalentní soustavě kongruencí x = at (mod Pbi ^), vždyť x —cit E h — H Pb '^p ' nastává právě tehdy, když x — aiE Pb >(p > pro všechny uvažované prvoideály P. Navíc platí, že x = ař- (mod T""-1-1 ) dává řešení pro JC = ař- (mod Pr ), vždyť P r dělí, a tedy obsahuje, 7""+1 . Proto uvážením soustavy tvořené všemi takovými kongruencemi přes i = 1,... ,m, volbou n — max^pb^P) a aplikací důsledku 2.26 dostáváme hledané řešení. • Důsledek 2.28. Nechť R je Dedekindův okruh, I, 7 jeho nesoudělné nenulové ideály. Pak existuje x El takový, ze (xR,J) — R, (xl~l ,/) = R. Při takto pevně zvoleném x navíc existuje pro každý ideál I\ nesoudělný s I prvek y El takový, že (yR, I\) — R, (yl~1 , /) — R axR + yR = I. Důkaz. Uvažme rozklad / na součin prvoideálů m 7 = I P f í = l Zvolme Xi E Pf' \P"i+l pro i — 1,2,...,m. Podle čínské zbytkové věty má systém kon­ gruencí X = XÍ (mod Pfi+ ) i = 1,2,... ,ra, x = 1 (mod 7) řešení x. Protože X — XÍ E Pfi+ C 7f' a jcř- G 7f', je též x E Ff', tedy podle části 3 věty 2.23 je m m * e f K = I P f = Í=I Í=I Dále 1 = JC + (1 — x) E xR + J, přitom podle části 4 věty 2.23 je (x/?, 7) — xR + 7. Odtud (xR,J) — R. Uvědomme si, že xl 1 C = i?, tedy uvažovaný největší společný dělitel (xl~l ,/) dává smysl. Pokud ( J C / - 1 , / ) C R, existuje prvoideál P, který obsahuje xl 1 i /. Prvních m kongruencí ale vynutí, že x Ffi+l a x E Ff', proto 7f' je nejvyšší mocnina PÍ, která dělí xR, tedy 7J nedělí xl 1 pro žádné i, což je spor s existencí prvoideálů P. Můžeme psát xR — Ih pro vhodný ideál h- Přitom z předchozího plyne, že [h,IJ) = R. Opětovným použitím čínské zbytkové věty dostáváme existenci řešení y soustavy y = xi (mod Ffi+ ) i = 1,2,... ,m, y = l (modlih). Prvních m kongruencí říká, že y El, tedy yR — H3 pro vhodný ideál ^3. Podobně jako výše 1 = y + (1 -y) e / 3 -\-I\I2. Opět podle části 4 věty 2.23 platí h+hh = (h,hh), tedy {hihh) — R- Protože ze zadání (7,/i) = dostáváme (Ih,h) — (yR,h) — R- Podobně jako (xrl ,I) = R je též (y/- 1 ,/) = R. Protože (72 ,/3 ) = R, je (IhJh) = (xR,yR) = I. Z části 4 věty 2.23 dostáváme, že (xR,yR) —xR + yR — I, což jsme chtěli dokázat. • Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy 32 Důsledek 2.29. Každý ideál v Dedekindově okruhu je generovaný jako R-modul nejvýše dvěma prvky. Důkaz. Plyne přímo z předchozího důsledku, vždyť máme vyjádření I — xR + yR. • Důsledek 2.30. Nechť R je Dedekindův okruh, I, J jeho nenulové ideály. Pak existuje ideál A takový, že (A, IJ) — RaAI je hlavní ideál. Důkaz. Je-li I — R, stačí uvážit A = R. Nechť proto I C R. Podobně jako v důsledku 2.22 můžeme uvážit rozklad ideálů na součin nenulových prvoideálů (O)oPcR (O)cPcR P je prvoideál P je prvoideál kde jen konečně mnoho koeficientů a(P),b(P) G No je nenulových. Označme & množinu prvoideálů, které dělí IJ. Pro každé PÍ G & uvažme prvek ai G Pf^P '' \ fp(p <>+1 m z čínské zbytkové věty dostáváme existenci prvku a G R, který splňuje a = ai (mod Pi ' ) pro každé PÍ G Zřejmě a G P^p '\ ale a ^ Pf^+1 . Přitom platí aR = \[pfi) A = IA pro vhodné A, které je nesoudělné se součinem IJ. • Věta 2.31. Nechť R je Dedekindův okruh, I jeho ideál a I = P^P^...Pfr jeho faktorizace na prvoideály. PakR/I = 0 1 < K r 7 ? / P - a ' . Důkaz. Uvažme homomorfismus /:/?—> ®\2 — t i respektive = -y-j, s\s2 sxs2 s\s2 sxs2 tedy (riJ2 + r2Ji,JiJ2) ~ (rJ 1s2 + r2s'1,s'1s2), respektive {r\r2,s\s2) ~ (r[r2,s\s2). To z definice relace ~ nastává právě tehdy, když existuje s G S takové, že s ({r\s2 + r2si)s[s'2 - (r[s2 + r'2s\) s\s2) = 0, respektive s (rir2s[s2 - r[r2sis2) = 0. Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 36 Víme, že existují t\, t2 e S takové, že t\r\sx = t\rxs\, t2r2s2 = t2r'2s2. Volbou s — t\t2 e S dostáváme s{r\s2 + r2s\)s\s'2 — t\t2r\s2s\s'2 +t\t2r2s\s\s'2 = = (hs2s2) (riní'i) + (hsis[) (t2r2s2) = = (hs2s2) (hr[si) + (tisis[) (t2r'2s2) = = t\t2 (r[s2 + r'2s\) s\s2 = s (r[s2 + r2s\) s\s2, respektíve (stejnou volbou s e S) sr[r'2sis2 = {t\r'lsi)(t2r'2s2) = (tiris\)(t2r2s2) =sr\r2s'xs'2, což v obou případech po převedení na jednu stranu dává dokazovanou podmínku. Obě operace jsou tedy definovány korektně. Ukažme, že (S~l R7 +) je komutativní grupa: • Asociativita: H f A [3 _ ns2 + r2si | r3 _ (ris2 + r2si)s3 + (sis2)r3 _ s\ s2J s3 s\s2 s3 {s\s2)s3 _ n {s2s3) + (r2s3 + r3s2) s\ _ n r2s3 + r3s2 _n_+í[2 + r 3 s\(s2s3) si s2s3 si \s2 s3 Komutativita: r\ ^ r2 _ r\s2 + r2s\ _ r2s\ +r\s2 _r2 r\ S\ S2 S\S2 S2S\ S2 S\ ' • Neutrální prvek je j, vždyť 0 r Os +1 r r - + - = — • = - . 1 S ÍS s • Opačný prvek k prvku - je I y, vždyť r —r rs+(—r)s 0 0 s s s2 s2 1 Ukažme, že (S~1 R: •) je komutativní monoid: • Asociativita plyne z asociativity násobení prvků z R. • Komutativita plyne z komutativity násobení prvků z R. Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 37 • Neutrální prvek vzhledem k operaci • je -j-, vždyť l r l r r 1 s Is s Zbývá ukázat, že operace + a • jsou svázány distributivními zákony (díky komutativitě stačí ukázat jeden). r\+ n \ r 3 _ r\S2 + r2s\ r3 _ (ns2 +r2s\)r3 si s2J s3 sis2 s3 (s\s2)s3 r\s2r3+r2s\r3 _ nr3s2s3 + r2r3s\s3 _ rxr3 ^ r2r3 S\S2S3 s\s2s\ S\S3 s2s3 • Poznámka. • Pokud je R obor integrity a S — R \ {0}, pak S l R je podílové těleso okruhu R. Lokalizace okruhu R vzhledem k množině S je tedy vlastně okruh zlomků, kde možní jmenovatelé jsou právě prvky množiny S. • Všimněme si, že v konstrukci podílového tělesa definujeme příslušnou relaci ekvivalence předpisem (a,b) ~ (c,J) 4^ ad = bc. To lze proto, že se při konstrukci podílového tělesa nacházíme v oboru integrity a množina S neobsahuje nulu. Můžeme tedy prvky množiny S krátit. S touto definicí bychom v případě obecného komutativního okruhu R a jeho multiplikativní podmnožiny S nebyli schopni dokázat tranzitivitu relace ~. • Nechť i? je komutativní okruh. Pak S_1 R — {0} právě tehdy, když 0 G S. , (1,1) - (o, 1), existuje tedy s G S takové, že s (1 • 1 - 0 • 1) = s = 0. „<^": Nechť (n,*i), (r2,s2) G R x S, pak (n, si) - (r2 , s2), vždyťO• (rxs2 -r2s\) = 0. Z tohoto důvodu se někdy přímo v definici multiplikativní podmnožiny předpokládá, že nulu neobsahuje. Věta 3.2. Nechť R je netriviální komutativní okruh, S jeho multiplikativní podmnožina neobsahující nulu a SIR lokalizace okruhu R vzhledem k množině S. Pak zobrazení X: R^S l R, i r Ä: r->• j je homomorfismus okruhů. Navíc platí, že 1. X je injektivní právě tehdy, když S C R neobsahuje nulu ani žádného dělitele nuly okruhuR. 2. Nechť S neobsahuje nulu ani žádného dělitele nuly, pak X je surjektivníprávě tehdy, když S obsahuje pouze jednotky okruhu R. Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 38 Důkaz. Buďte a, b e R libovolné, pak X(a)+X(b) = j + j = ^ = X ( a + b), A(1) = YJedná se tedy o homomorfismus okruhu. 1. Nechť a G ker A. To nastává právě tehdy, když (a, 1) ~ (0,1), tj. existuje* G S takové, že s • (a • 1 — 1 • 0) = sa — 0. Tedy ker A = {0} právě tehdy, když S neobsahuje nulu ani žádného dělitele. 2. Protože % = \ - \ , kde \ = X (a), je X surjektivní právě tehdy, když pro každé b ES existuje c e R takové, že X (c) = \ . To nastává právě tehdy, když (l,b) ~ (c, 1), tj. existuje s G S takové, že s (1 — bc) =0. Protože S neobsahuje nulu ani dělitele nuly, znamená to, že A je surjektivní právě tehdy, když bc — 1, tedy když každé Z? G S je jednotka okruhu R. • Poznámka. Jestliže S neobsahuje nulu ani dělitele nuly, budeme okruh R chápat jako podokruh okruhu S~ R. Lokalizací dostáváme univerzální objekt mezi všemi homomorfismy okruhů vycházejícími z R takovými, že obraz každého prvku s G Sje jednotka. Přesně tuto vlastnost popisuje následující věta. Věta 3.3. Buď R komutativní okruh a Sjeho multiplikativní podmnožina. Nechť (p: R T je homomorfismus okruhů takový, že

T takový, že

Z, která splňuje 1. v je surjektivní, 2. v (xy) = v (x) + v (y) pro všechna x,y eK\ {0}, 3. v(x + y) > min{v (x), v (y)} pro všechna x, y G Äľ\ {0} taková, že x+y ^ 0. Okruh {JC G Tí \ {0} | v (x) > 0} U {0} se nazývá valuační okruh valuace V. Obor integrity R nazveme okruhem s diskrétní valuací, jestliže je R valuačním okruhem nějaké diskrétní valuace definované na jeho podílovém tělese. Důkaz korektnosti definice. Potřebujeme ukázat, že R — {x G K \ {0} | v (x) > 0} U {0} je okruh. Zřejmě v(l) = v(l • 1) = v(l) + v(l), tedy v(l) = 0, a proto 1 G R. Podobně platí v(-l-(-l)) =2v(-l) =0, tedy - 1 G R. Pokud jsou a,beR\{0}, pak v (a) > 0 a v (b) > 0, proto i v (ab) — v (a) + v (Ŕ) > 0, tedy G R. Podobným způsobem dostáváme v(a + b) > min{v(a),v(^)} > 0, tedy a + b G R. D Poznámka. V definici okruhu R s diskrétni valuací vyžadujeme existenci libovolné valuace na podílovém tělese takové, že R je jejím valuačním okruhem. Ukážeme, že příslušná diskrétní valuace existuje jediná a je okruhem R jednoznačně určena. K tomu nám bude stačit následující lemma. Lemma 3.5. Nechť R je okruh s diskrétní valuací V. Nechť t G R je takový, ze v (t) — 1. Pak platí 1. Nenulový prvek u&Rje jednotkou právě tehdy, když V (u) — 0. 2. Každý nenulový prvek r G R lze napsat ve tvaru r — utn pro vhodnou jednotku u E R, kden = v (r) G No. 3. Každý nenulový ideál okruhu R je hlavní ideál tvaru tn R pro vhodné n G No. Důkaz. 1. „=>": Nechť u G R je jednotka. Pak existuje v G R takové, zeuv—l, odtud dostáváme 0 = v (KV) = v (u) + v (v), což z nezápornosti v na prvcích okruhu R dává v (u) —0. „<=": Nechť u G R je nenulový prvek takový, že v (u) — 0. Pak M - 1 G K splňuje 0 = v (uu^1 ) = V ( M ) + V ( M _ 1 ) = v (w- 1 ), tedy u~l e R. Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 41 2. Jistě V (rt n ) — O, což podle 1 znamená, že rt n — u, kde M je nějaká vhodná jednotka okruhu R. Vynásobením ŕ dostáváme r — utn . 3. Nechť / je nenulový ideál okruhu R a r G / je prvek, pro který je v (r) minimálni. Označme v (r) = n, pak podle 2 platí r — utn , kde u e R je jednotka. Proto tn R C /. Je-li nenulové a E I, pak v (a) > n díky volbě n. Pak v (at~n ) > 0, tedy at~n G R, což znamená, že a G tn R. Odtud tn R — I. • Poznámka. Všimněme si, že poslední část předchozího lemmatu říká nejen, že každý okruh s diskrétní valuací je okruhem hlavních ideálů, ale také, že R má jediný maximální ideál tR, který je zároveň jediným nenulovým prvoideálem. Nyní už snadno nahlédneme, že valuace V je určena jednoznačně. Jistě je R Dedekindův okruh, vždyť je okruhem hlavních ideálů. Nechť K je jeho podílové těleso a P jeho jediný nenulový prvoideál. Nechť 0 ^ x G K je libovolné, pak podle důsledku 2.22 můžeme uvážit rozklad lomeného ideálu xR na součin prvoideálů, dostáváme xR — Pn pro nějaké n G Z. Zřejmě musíme položit V (x) — n. Definice. Nechtěje Dedekindův okruh, K jeho podílové těleso. Buď dále x G K libovolný nenulový prvek, uvažme XR= npe{p) (0)CP P je prvoideál rozklad lomeného ideálu xR na součin prvoideálů. Nechť/3 je nenulový prvoideál okruhu R. Diskrétní valuací příslušnou prvoideálů P rozumíme diskrétní valuaci v> danou předpisem VP(x)=e(P). Důkaz korektnosti definice. Protože x ^ 0, je xR lomený ideál. Ten lze podle důsledku 2.22 jednoznačně rozložit na prvoideály. Funkce v> je tedy dobře definovaná. Ověřme, že se skutečně jedná o diskrétní valuaci. 1. Uvažme n G P\P2 , pak v> (n11 ) — n pro n G Z, v> je tedy surjektivní. 2. Vlastnost v (xy) = v (x) + v (y) plyne z důsledku 2.22. 3. Jistě (x + y)RC xR + yR. Podle části 1 věty 2.23 existuje ideál Q C R takový, že (x + y)R— (xR + yR) Q. Protože Q C R, je exponent u P v rozkladu Q na prvoideály nezáporný. Buď / C R ideál takový, že xQI i yQl jsou ideály okruhu R. Podle části 4 věty 2.23 platí xQI + yQI — (xQI,yQI). Uvažme rozklad xQI a yQl na prvoideály a označme ex a ey mocniny, ve kterých se nachází P v těchto rozkladech. Pak mocnina prvoideálů P v rozkladu xQI+yQI na prvoideály je rovna min{ex, ey}. Vynásobením I 1 dostáváme v (x + y) > min{v (x), v (y)}. • Věta 3.6. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál a K jeho podílové těleso. Nechť Vp: K \ {0} —> Z je diskrétní valuace příslušná prvoideálů P. Pak valuačním okruhem valuace Vp je okruh Rp (chápeme-li tento jako podokruh podílového tělesa K). Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 42 Důkaz této věty přejímáme z [3]. Důkaz. Nechť 7t G P\P2 . Buď r G R\ {0} libovolný prvek. Označme v>(r) = n. Nejprve ukážeme, žer—^j- pro vhodná s,t G R\P. Z věty 2.20 dostáváme vyjádření rR — Pn I, kde P nedělí /, a Kn R — Pn J, kde P nedělí 7. Podle čínské zbytkové věty (důsledek 2.27) existuje řešení s G R soustavy s = 0 (modJ), 5 = 1 (modP). Potom sR — JM pro nějaký ideál M, který není dělitelný P. Protože j^R — IJ l , platí —R = sIJ 1 = JMU 1 = MI, odtud srR = nn MI, tedy sr = 7tn t pro nějaké t G MI\P (jistě t P, vždyť v>(r) = n a Vp(í) = 0). To dává rovnost r = Buď dále a G £ \ {0}, tj. a = f pro nějaké prvky a,b e R\ {0}. Nechť v>(a) = m. Z předchozí části dostáváme vyjádření nm Hi , ^ m 2 ř 2 a = , ž> = . s\ s2 kde ři,t2 ,si,S2 0. • Důsledek 3.7. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho prvoideál. PakRp je okruh hlavních ideálů. Důkaz. Je-li P — {0}, pak je Rp podílové těleso okruhu R. V opačném případě je Rp podle věty 3.6 okruhem s diskrétní valuací, a tedy podle lemmatu 3.5 okruhem hlavních ideálů. • Poznámka. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho prvoideál. Pak lze R podle věty 3.2 chápat jako podokruh Rp. Protože Pe je ideál okruhu RaRp můžeme chápat jako P-modul, je Pe Rp také P-modul. Přitom Pe Rp C Rp má jistě též strukturu Rp moduluje to tedy ideál okruhu Rp. Předpokládejme navíc, že P je nenulový prvoideál. Pak je podle předchozí věty Rp valuačním okruhem valuace v>. Ideál Pe Rp obsahuje právě ty prvky, jejichž valuace je alespoň e. Podle lemmatu 3.5 je Pe Rp právě e-tou mocninou jediného maximálního ideálu okruhu Rp. Věta 3.8. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál, pak R/Pe ^Rp/Pe RP, kde výše uvedený izomorfismus je izomorfismus okruhů indukovaný vnořením R^ Rp. Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 43 Důkaz. Uvažme vnoření X : R —> Rp z věty 3.2 a n: Rp —> Rp/Pe Rp projekci na faktorokruh. To lze, vždyť Pe Rp je podle předchozí poznámky ideál okruhu Rp. Položme

modul, jehož anihilátor obsahuje ,Pe 7?/>, přitom Rp je okruh s diskrétní valuací. Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 44 Lemma 3.9. Nechť R je okruh hlavních ideálů, M cyklický R-modul. Pak existuje a G R takové, že M = R/aR, přitom platí aR — Ann (M). Důkaz. P-modul M je cyklický, tj. M — xR. Můžeme definovat homomorfismus modulů (p: R-řM, ty): r i—> rx. Zřejmě jety)surjektivní. První věta o izomorfismu (věta 1.6) dává M = i?/kerty>, kde ker (p je podle tvrzení 1.2 podmodul modulu R, tedy ideál okruhu R. Protože R je okruh hlavních ideálů, existuje a G R takové, že aR — ker (p, tj. M = R/aR. Navíc platí (p (r) — rx — 0 právě tehdy, když r G Ann (M), tedy ker (p — Ann (M). • Věta 3.10. Nechť Rje okruh hlavních ideálů. Nechť M je konečně generovaný R-modul a N jeho podmodul takový, že pokud m E M a r E R splní rm G N, pak existuje n EN takové, že rm — rn. Nechť je navíc R-modul M/N izomorfní s přímým součtem cyklických R-modulů, pakM = M/N (B N. Důkaz. Je-li M/N přímým součtem cyklických modulů, pak je každý sčítanec generovaný prvkemxř- + N pro vhodné xř- G Ař\N. Protože Ann (xř- + N) je ideál okruhu R, je generovaný jediným prvkem, ten označme ař-. Dostáváme ařxř- G N, existuje proto z předpokladů věty Zi G N takové, že ařxř- = am. Pak xt + N — (xř- — ZÍ) +N a a,- (xř- — ZÍ) — 0. Každý prvek R (xř- + N) je tvaru rxi + N. Uvažme proto zobrazení R(XÍ + N) —>• Ař, 5ř-: rxi + N^t r(xi-Zi). Ukažme, že si zadává (injektivní) homomorfismus modulů. Nechť rxi+N — tXi+N, pak ale (r — t)xi + N — 0+N, tedy (r — t) G ař-7?. Odtud r — t — aiq, přitom protože ai (x,- — z,-) = 0, dostáváme (r — ř)(xř- — z,-) = 0, tedy r(xř- — z,-) = ř(x,- — z/). Zobrazení s,- je tedy korektně definované. Zřejmě se jedná o homomorfismus modulů. Označme ty/: M —> A//A^ projekci na faktormodul. Protože je složení y/os; identita na R(XÍ + N), vždyť rx, + N H4 r(xř- — z/) >->• rxř- + iV, kde ZÍ G iV, je 5ř- injekce. Nechť MIN = ®k =lR{xi+N). Buď t: N -»• M vnoření podmodulu do modulu. Označmety)= (07= i s/) © t přímý součet homomorfismů, tedy zobrazení ty): M/N®N —>• Af dané předpisem 2 a předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny torzní moduly s méně generátory. Nechť Ann (/&,•) = pni R, n — m a x i = i r {«(•}. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že n — n\. Protože M/Rx\ je generovaný pouze t — 1 prvky, je tento modul přímým součtem nejvýše t — 1 cyklických modulů. Zbývá ukázat, že Rx\ splňuje předpoklady věty 3.10. Nechť tedy m G M a r G R jsou takové, že rm G Rx\. Je-li rm — 0, pak rm — rO, kde 0 G Rx\. Předpokládejme proto, že rm ^ 0. Protože rm G Rx\, existuje s G R takové, že rm — sx\. Z části 2 lemmatu 3.5 plyne, že r — upk a s — vpl , kde k, l G No a M, v jsou jednotky okruhu R. Protože navíc rm — sx\ — vpl x\ ^ 0, je / < n. Dostáváme k 1 kí—] l—k \ up m —rm —sx\—vpx\—up \u vp x\ I, stačí tedy ukázat, že / >k. Vynásobme proto obě strany předchozí rovnosti p n ^ x e R, obdržíme upk+n -l -1 m = vpn -1 x1^0) tedy k + n — l — l < n — 1, vždyť pn M — 0. To dává k < l, což jsme chtěli ukázat. • Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy 46 3.3 Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy Lemma 3.12. Buď R Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál. Buď N nenulový konečně generovaný torzní R-modul. Uvažme Ann (N) — 11;= i Pf' rozklad anihilátoru na součin prvoideálů. Pro libovolné pevné j E {!,..., t} označme Pj — P, ej — e. Pak platí k N/Pe N^Q)R/Pfi , í=l pro nějaké k E N a f i E N, kde navíc f i < e. Důkaz. Jistě je N/Pe N konečně generovaný P-modul. Na tento P-modul se můžeme dívat také jako naR/Pe modul, vždyť pokud x + Pe — y + Pe ER/Pe , pak pro libovolné n EN je (x-y)n+P6 N = 0+Pe N, tedy xn + P6 N = yn+P6 N. Vidíme, že na N/Pe N spolu struktury P-modulu a P/P^-modulu jednoznačně korespondují (tj. z násobení prvků z R/Pe jsme schopni jednoznačně zjistit, jak se bude násobit prvky z R a naopak). Z věty 3.8 víme, že R/Pe = Rp/Pe RP. Můžeme proto chápat N/Pe N jako RP/Pe RP-modul, tedy jako RP modul, jehož anihilátor obsahuje Pe Rp. Tento modul splňuje předpoklady věty 3.11, proto k N/Pe N^Q)Rp/Pfi RP. í=l Přitom jistě 1 < fi < e, vždyť N/Pe N je torzní a anihilátor N/Pe N obsahuje Pe Rp, sčítanec s fi > e by pak nebyl ideálem Pe Rp anihilován. Zbývá tedy ukázat, že Rp/Pfi RP^R/Pfi jako P-moduly. Uvažujme proto diagram fl r x A > RP Rp/Pe RP z věty 3.8. Protože (p je izomorfismus okruhů indukovaný vnořením, musí nutně platit (p(r-s) — r(p(s). Protože podmínka (p(r + s) — 0 a mocniny Pf', et > 1 ne nutně různých nenulových prvoideálů, přitom ideály Pf' jsou dány jednoznačně (až na pořadí). Důkaz. Pro N — {0} je zřejmě s — 0. Pro N ^ {0} dostáváme z věty 3.1 izomorfismus í'=l přitom Yl'i=i Pf' — Ann (N). Z lemmatu 3.12 dostáváme tvar (=1 \j=l ) kde PÍ jsou různé prvoideály. Odtud ihned dostáváme požadovaný tvar (pro s — Y?Í=I h)Zbývá dokázat jednoznačnost. Víme, že pro libovolný nenulový prvoideál P Dedekindova okruhu R je Pl N podmodulem modulu N. Díky tomu dostáváme následující podmo­ duly NDPND P2 N D • • • D Pl N D ... Faktormodul Pl ~l N/Pl N je 7?-modulem s anihilátorem obsahujícím P, je tedy též vektorovým prostorem nad tělesem R/P. Počet přímých sčítanců izomorfních s R/Pl je pak áimP1 l N/Pl N - dimPi N/Pi+l N, což je číslo jednoznačně dané modulem N. • Kapitola 4 Konečně generované moduly nad Dedekindovými okruhy V této kapitole zformulujeme a dokážeme větu o struktuře konečně generovaných modulu nad Dedekindovými okruhy a její dva známé důsledky. Vycházíme přitom z [1, 5]. Tvrzení 4.1. Buď R obor integrity a Ijeho nenulový ideál. Pak Ije projektivní jako R-modul právě tehdy, když je invertibilní. Důkaz. Nechť K značí podílové těleso oboru integrity R. „=>": Nechť / je projektivní 7?-modul. Pak podle věty 1.16 existuje množina (at)teT prvků z ideálu / a systém (ft)teT homomorfismů 7?-modulů ft: I —> R takových, že pro libovolné x G / je jen konečně mnoho t G T takových, že ft(x) ^ 0, a platí Tedy ft(x)x~ — ft(y)y G K. Pro každé t E T položme xt — ft(x)x pro libovolné nenulové x El. Jak jsme ukázali, tato xt nezávisí na volbě x a navíc platí xtI C R, tedy xt El'. Pro pevné nenulové x G / je jen konečně mnoho sčítanců x — Přitom pro libovolné t e ľ a libovolná nenulová x, y G / C R platí yft (x) = ft (xy) = xft (y). x — nenulových. Příslušné indexy označme t\,..., tn a pišme n n X — teľ i=\ i=\ i=\ Vykráčením (jsme v oboru integrity) x získáme i = Y,x tia h -48- Kapitola 4. Konečně generované moduly nad Dedekindovými okruhy 49 kde ati G / a xti G /'. Celkem R C II'. Lemma 2.8 dává, že / je invertibilní. „<=": Buď / invertibilní ideál. Protože II 1 — R, existují a\,..., an G / a x\,..., xn G I 1 takové, že n i=i Pro t = 1,..., n definujme homomorfismy f: / —>• R předpisem f (x) — xxt. Pro libovolné x G / dostáváme n n Y,ft(x)at = Y^xxta,^x. t=\ t=\ Podle věty 1.16 je / projektivní. • Důsledek 4.2. V každém Dedekindově okruhu jsou všechny jeho ideály projektivní. Důkaz. Zřejmý, vždyť každý ideál Dedekindova okruhu je invertibilní. • Lemma 4.3. Buď R obor integrity a M konečně generovaný R-modul bez torze. Pak M je izomorfní s podmodulem konečně generovaného volného modulu. Důkaz. Protože R je obor integrity, jeS = /?\{0} jeho multiplikativní podmnožina. Označme K — S X R jeho podílové těleso a = S~L M. Protože je M bez torze, je podle věty 3.4 • y injektivní homomorfismus 7?-modulů. Protože závislosti prvků modulu M se přenesou i do modulu N, generují obrazy generátorů M i modul Af jako Äľ-modul. Protože M je konečně generovaný 7?-modul, je N jako vektorový prostor nad tělesem K konečné dimenze. Označme x\,...,xm obrazy generátorů modulu M v zobrazení

n). Uvažme vyjádření xi pomocí báze: n kde i = 1,2,..., m a kij G K. Protože koeficientů kij G K je jen konečně mnoho, existuje nenulový prvek q E R takový, že všechna qkij G R. Pak můžeme každý prvek xi vyjádřit pomocí q~l yj jako 7?-lineární kombinaci, tedy P-podmodul generovaný prvky x\,... ,xm leží v P-podmodulu volně generovaném prvky q~l y\,..., q~l yn- Platí tedy M=

•R dané předpisem f(m) — rn homomorfismus 7?-modulů. Protože posloupnost 0 -»• ker/ h M -4 i m / -»• 0 je exaktní a i m / je podle tvrzení 1.2 podmodul modulu 7?, tedy ideál v 7?, je i m / podle předpokladu projektivní. Z věty 1.15 dostáváme, že M ^ i m / © k e r / . Odtud plyne, že ker/je konečně generovaný 7?-modul (je generován obrazy generátorů M v projekci na druhou složku). Jistě ker/ C Fn-\. Proto pro ker / platí indukční předpoklad a dá se tedy zapsat jako přímý součet konečného počtu ideálů. • Lemma 4.5. Nechť R je Dedekindův okruh, K jeho podílové těleso. Ideály 7,7 okruhu R jsou izomorfní jako R-moduly právě tehdy, když existuje a G K \ {0} takové, že J — al. Důkaz. Je-li některý z ideálů nulový, je tvrzení zřejmé. Předpokládejme tedy, že oba jsou nenulové. „=>": Je-li / : / — » / izomorfismus, pak pro libovolné nenulové prvky x,y G I platí x/(y) = /(xy) = y/(x), tedy /(x)x_ 1 = f(y)y~l . Položme a — /(x)x_ 1 , přitom a E K nezávisí na volbě x. Odtud dostáváme, že f(x) — ax, což jsme chtěli dokázat. „<=": Je-li J — al pro nenulové a G K, je zřejmě 7 = 7. • Důsledek 4.6. Nechť R je Dedekindův okruh, K jeho podílové těleso. Lomené ideály 7,7 okruhu R jsou izomorfní jako R-moduly právě tehdy, když existuje a G K \ {0} takové, že 7 = al. Důkaz. „<=": Zřejmé. „=>": Nechť 7 = 7. Protože 7,7 jsou lomené ideály, existují nenulové prvky r,s G 7? takové, že rl a s7 jsou (celé) ideály okruhu 7?. Přitom zřejmě rl = 7 a s7 = 7, tedy r7 = *7. Z lemmatu 4.5 dostáváme, že existuje nenulové a G K takové, že s7 = arl, tedy 7 = (ars~1 )7, kde jistě 0 ^ ars~1 EK. • Lemma 4.7. Nechť R je Dedekindův okruh, I\, 72..., Im jeho lomené ideály. Pak 7i © 7 2 © • • • © 7 m R"1 1 ©7i72 .. .7W . Kapitola 4. Konečně generované moduly nad Dedekindovými okruhy 51 Důkaz. Díky důsledku 4.6 můžeme předpokládat, že I\,..., Im jsou nenulové (celé) ideály okruhu R, vždyť každý lomený ideál 7 můžeme nahradit celým ideálem rř7ř- pro vhodné nenulové rř- G R, který je s 7 izomorfní. Jistě pak (r\I\)... (rmIm) — r\. ..rmI\ ...Im = I\...Im. Ukažme nejprve, že pro libovolné nenulové ideály 7i, 72 platí Jx ®J2^R®JXJ2. Je-li některý z ideálů 7i,72 roven R, je tvrzení zřejmé. Nechť jsou tedy oba různé od R. Nejprve ukážeme, že existuje ideál J\, který je izomorfní s 7i jako 7?-modul a který je nesoudělný s J2. Z důsledku 2.30 dostáváme existenci ideálu A C R takového, že (A,J\J2) — R a AJ\ je hlavní, tedy AJ\ — aR pro nějaké nenulové a ER. Uvažme rozklad ideálu A na součin prvoideálů A = P\l ...Pfs . Vyberme b G R tak, že b G 7 f \Pfi+l pro každé i = 1,...,s ab=l (mod Q) pro každý prvoideál Q dělící J2. To lze díky nesoudělnosti AaJ2 pomocí čínské zbytkové věty (důsledek 2.27). Jistě b ^ 0. Víme, že b G A, což nastává právě tehdy, když bR C A. To podle věty 2.23 znamená, že A | bR, tj. existuje nenulový ideál / i takový, že A / i = bR. Protože b = 1 (mod Q) pro libovolný ideál Q dělící J2, je {J\J2) — R. Protože aR — AJ\ abR— Al\, dostáváme aJ\ = AJ\J\ — bJ\, tedy ab~l J\ — J\. Podle důsledku 4.6 je 7i =J\. Uvažme nyní krátkou exaktní posloupnost 0 -h/i H72 ->-7i ©72 ->• 7i +72 ->• 0, jen->• (X,JC) (í/, v) I—^ M — V Protože 7i a 72 jsou nesoudělné, je podle věty 2.23 7i72 = 7i fi 72 a 7i + 72 = R. Dostáváme tedy následující krátkou exaktní posloupnost 0 -»• 7"i72 -»• 7"i ©72 -»• 7? -»• 0, kde 7? je projektivní 7?-modul, což podle věty 1.15 znamená, že 7 ? © 7 i 7 2 ^ 7 i © 7 2 . Protože 7i = ab~l J\, dostáváme R®J\J2 = R © ab~l JiJ2 = R © 7"i72 = 7"i © 72 = a~l bJi © 72 = Jx © 72 . Zbytek důkazu povedeme indukcí vzhledem k m. Pokud m = 1, je tvrzení zřejmé. Nechť m > 1 a nechť tvrzení platí pro přímý součet m—l ideálů, tj. / i © - - - © / m - i ^Rm -2 ®h...Im-x. Kapitola 4. Konečně generované moduly nad Dedekindovými okruhy 52 Pak jistě Z předchozího dostáváme tedy 11 ffi ''' ffi Im— 1ffiTrn — R™ ^ © I\ • • • hn 1 7i... 7m_ \@Im — R@I\... Im iInĚ což jsme chtěli dokázat. • Na začátku 3. kapitoly jsme uvedli, že každý konečně generovaný modul M nad Dedekindovým okruhem půjde napsatjako přímý součetjeho torzního podmodulu a nějakého modulu, který je bez torze. Toto tvrzení dokážeme v následující větě, přičemž hledaným modulem bez torze bude faktormodul M/Tor(M). S pomocí lemmat 4.4 a 4.7 budeme navíc schopni popsat tvar modulu M/Tor(M). Věta 4.8. Nechť R je Dedekindův okruh, M konečně generovaný R-modul a Tor(M) jeho torznípodmodul. Pak M^Rk ®I®Tov(M), kde k E No a I je vhodný ideál okruhu R. Důkaz. Nechť M je konečně generovaný modul nad Dedekindovým okruhem. Pak Mi =M/Tor(M) je podle části 2 tvrzení 1.11 bez torze. Přitom M\ je jistě generovaný obrazy generátorů M v projekci na faktormodul, je tedy konečně generovaný. Díky lemmatu 4.3 jsou pro M\ splněny předpoklady lemmatu 4.4 a platí Mi /,„. Protože ideály jsou podle důsledku 4.2 projektivní a přímý součet projektivních modulů je podle tvrzení 1.13 projektivní, je M\ projektivní 7?-modul. Posloupnost 0 -»• Tor(M) -»• M -»• M i -»• 0 je jistě exaktní, což podle věty 1.15 znamená, že M Tor(M) © Mi ^ Tor(M) ©7i © • • • © 7W, kde 7i,...,7n jsou ideály v R, přitom bez újmy na obecnosti předpokládejme, že jsou nenulové. Jsou to tedy lomené ideály a z lemmatu 4.7 dostáváme, že M ^ Tor(M) © / r ~ 1 ©/i... 7m. • V předchozí kapitole jsme jednoznačně popsali strukturu modulu Tor(M). Zbývá tedy zodpovědět otázku jednoznačnosti modulu M/Tor(M). To je předmětem následujícího lemmatu. Kapitola 4. Konečně generované moduly nad Dedekindovými okruhy 53 Lemma 4.9. Nechť R je Dedekindův okruh a M\,M2 jsou konečně generované R-moduly bez torze takové, že M, - / , /,„. M2-J\ ./„. kde I\,..., Im, J\,..., Jn jsou lomené ideály okruhu R. Pak M\ = M2 právě tehdy, když m —n a existuje nenulové a E K takové, že l\...lm — aJ\...Jn, kde K je podílové těleso okruhu R. Důkaz. „<=": Z lemmatu 4.7 dostáváme, že Mj ^Rm -l ®h...Im, M2^Rn -l @Jl...Jn, kde I\...Im = J\...Jn podle důsledku 4.6. „=>": Předpokládejme, že Mx *á M2. Položme S = R \ {0}, tedy S l R = K. Jistě platí S~l M\ = Km a S~l M2 = Kn , vždyť každá závislost prvků v M\ (respektíve v M2) se přenese do S~l M\ (respektíve do S~l M2) a naopak, vždyť • S~l M\ a (fe: M2 ->• S _ 1 M 2 jsou podle věty 3.4 vnoření. Izomorfismus M i = M2 indukuje izomorfismus Km = Äľw , nutně tedy m — n. Nechť I je libovolný lomený ideál okruhu R. Zvolme libovolný nenulový prvek x El. Pak x l I je lomený ideál, který je podle důsledku 4.6 izomorfní s I, přitom 1 G x l I, tj. R C x I. Pro libovolný lomený ideál tedy existuje lomený ideál s ním izomorfní, který obsahuje R. Můžeme proto předpokládat, že ideály I\,...,Im,J\,...,Jn obsahují R. Označme J\@h@---@Jn izomorfismus 7?-modulů. Pro i G {1,2,..., n} označme (p ((0,...,0,1,0,...0)) = (aM ,a2 h ...,a„,ř -) € 7i © J2 © • • • ©/„, kde se 1 G 7; na levé straně rovnosti nachází na /-té pozici. Protože

0 a mocniny P?', ei > 1 ne nutně různých prvoideálů. Ideály Pf' pro i — i,..., s jsou dány jednoznačně (až na pořadí). Ideál I je dán jednoznačně až na násobek hlavním lomeným ideálem okruhu R. Důkaz. Plyne z vět 3.13 a 4.8 a lemmatu 4.9. • Důsledek 4.11. Nechť R je okruh hlavních ideálů, M konečně generovaný R-modul. Pak M^Rk ®Tor(M), kde k G No. Navíc s Tor(M) 9* @R/p1% i=\ pro s > 0 a mocniny pe {R, > 1 ne nutně různých prvoideálů. Ideály p\l R pro i — 1,..., s jsou dány jednoznačně (až na pořadí). Důkaz. Plyne přímo z lemmatu 4.5 a věty 4.10, vždyť každý nenulový ideál I v okruhu hlavních ideálů R je izomorfní s R jako 7?-modul. • Důsledek 4.12. Nechť G je konečně generovaná komutativní grupa. Pak G = U@ (Z/p^Z, +)©•••© (Z/pe /Z, +), kde r G No, pi,...,ps jsou ne nutně různá prvočísla a ei G N. Tento rozklad je určen jednoznačně (až na pořadí). Důkaz. Plyne z důsledku 4.11, vždyť komutativní grupy jsou právě Z-moduly a Z je okruh hlavních ideálů. • Seznam použité literatury [1] DUMMIT, David S. a FOOTE, Richard M . Abstract algebra. 3rd ed. Hoboken, N.J.: John Wiley, 2004. ISBN 04-714-3334-9. [2] IGUSA, Kiyoshi. Algebra I: Part B: Rings and Modules [online]. Waltham, Massachusetts: Brandeis University, 2007, s. 36-45 [cit. 2016-04-25]. Dostupné z: //people.brandeis.edu/~igusa/Mathl01aF07/Mathl01a_notesBall.pdf [3] KATO, Makoto. Discrete valuation ring associated with a prime ideal of a Dedekind domain. In: Stack Exchange [online]. 2012 [cit. 2016-04-24]. Dostupné z: http //math.stackexchange.com/q/183507 [4] MEDKOVÁ, Jana. Moduly nad okruhy hlavních ideálů [online]. Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, 2010 [cit. 2015-09-25]. Dostupné z: http: / / i s . muni.cz/th/251365/prif_b/. [5] NARKIEWICZ, Wladyslaw. Elementary and analytic theory of algebraic numbers. 2nd ed. Warszawa: PWN, 1990. Chapter I, Dedekind rings and valuations. [6] ROSICKÝ, Jiří. Algebra. Vyd. 4., přeprac. Brno: Masarykova univerzita, 2002. ISBN 80-210-2964-1. [7] VOKŘÍNEK, Lukáš. Algebraická geometrie [online]. Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, 2014 [cit. 2016-04-20]. Dostupné z: http://www.math. muni.cz/~koren/ag.pdf. -55-